contrôle des systèmes linéaires conservatifs en dimension...

UNIVERSITE LARBI BEN M'HIDI OUM El BOUAGHI

Faculté des sciences exactes et sciences de la nature et de la vie

Département de Mathématiques et Informatique

MEMOIRE

Pour l’obtention du diplôme de Master en Mathématiques

Option : Mathématiques appliquées

Présenté par : AZZOUZ Saliha

Soutenu le 10/06/2018. Devant les membres du jury :

Année universitaire: 2017/2018

Pr. AYADI Abdelhamid Prof à l’université d’Oum El Bouaghi Président

Dr. REZZOUG Imad MCA à l’université d’Oum El Bouaghi Rapporteur Dr. DIAR Ahmed MCB à l’université d’Oum El Bouaghi Examinateur Dr. BERHAIL Amel MCB à l’université de Guelma Examinatrice Dr. BRAGDI Mabrouk MCB à l’université d’Oum El Bouaghi Examinateur

Contrôle des systèmes linéaires conservatifs en dimension infinie

REMERCIEMENTS

Au début et avant tout, je rends grâce à dieu tout puissant qui m’a aider à terminer ce travail.

Je tiens à remercier mon encadrant Dr. REZZOUG Imad, pour l’orientation, la confiance, la patience qui ont constitué un apport considérable sans lequel ce travail n’aurait pas pu être mené au bon port. Qu’il trouve dans ce travail un

hommage vivant à sa haute personnalité.

Je tiens à remercier le professeur AYADI Abdelhamid pour l’honneur qu’il me fait de présider le jury de ce mémoire, qu’il soit assuré de notre profond respect.

J'adresse aussi mes vifs remerciements aux membres des jurys Dr. DIAR Ahmed et Dr. BRAGDI Mabrouk et Dr. BERHAIL Amel pour avoir bien voulu

examiner et juger mon travail et d’avoir consacré de leur temps à la lecture de ce mémoire.

Je tiens également à remercier spécialement Dr. Oussaif Taki Eddine et Dr. Merad Ahcene.

Je tiens à remercier Dr. Ghoraf Namir pour tout le soutien qu'il m'a apporté au fil des années et pour tous les précieux conseils qui m'ont aidé à accomplir mon

travail avec sérieux.

Enfin, je remercier tous ceux qui m'ont aidé de près ou de loin à accomplir ce travail, en particulier Dr. Guerarra Siham, Dr. Makhlouf Seddik et Dr. Saadi

Mouhamed.

إهداء.يستحيل ءال شي يقظ بقلب

ىلإالعلم، ىل من حصد األشواك عن دريب ليمهد يل طريقإىل أعظم انسان رأيته يف حيايت، إ.أيب العزيز ىل من ال ميكن لألرقام أن حتصي فضائلهإالقلب الكبري،

.أميىل رمز احلب وبلسم الشفاء إىل من أرضعتين احلب واحلنان، إ

.نذير و سارةىل رياحني حيايت إىل القلوب الطاهرة الرقيقة والنفوس الربيئة إ

.فؤاد ىل الروح اليت سكنت روحيإىل الذي ميثل ضوء وجودي ونبض قليب، إ

يل يف ا سنداتأمجل أيام حيايت و كانىل األختني اليت مل تنجبهما أمي واللتان عشت معهما إ.شيخةكنزة بن و خولة عماريمجيع ظرويف

.هدى ،خولة عزوز، أمساءىل كل صديقايت إ

.عزوزعائلة ىل كلإ

.السيد كمالو السيدة نزيهةعلى وجه اخلصوص أسرة الرياضيات و ىل كلإ

وجودهم ملا فلوال ن وقف يف طريقي وعرقل مسرية حبثيىل كل من مل يقف اىل جانيب، ومإوصلت اليهأحسست مبتعة البحث، ولوالهم ملا وصلت اىل ما

الشكر. فلهم مني كل

Table des matières

Table des notations 3

Introduction générale 4

1 Notions préliminaires et semi-groupes 6

1.1 Notions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Théorie des opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Semi-groupes uniformément continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2 Semi-groupes fortement continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Contrôle des systèmes linéaires conservatifs en dimension innie 23

2.1 Contrôlabilité en dimension nie. Les critères de Kalman et de Hautus 28

2.2 Contrôlabilité en dimension innie. Critère de type Hautus . . . . . . . . 32

2.2.1 Quelques mots danalyse fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.2 Contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.3 Caractérisation de la contrôlabilité exacte . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.4 Caractérisation fréquentielle de la contrôlabilité . . . . . . . . . . . 41

2.3 Caractérisation spectrale de la contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 Cas avec gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1

Table des matières

2.3.2 Cas sans gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Exemples dapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.1 Equation des ondes 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.4.2 Equation des plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.3 Equation des plaques dans un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Bibliographie 55

Table des matières 2

Table des notations

Nous utiliserons les notations suivantes tout au long du travail :

intervalle ouvert de R ou ouvert borné régulier de Rd.

| le corps R ou C.

U espace de contrôle.

SG (M;w) lensemble des C0-semi-groupe S (t) 2 L (E) t.q. : kS (t)k �Mewt;8t � 0;M � 1:

Cp () ; p 2 N espace des fonctions de à valeurs dans R (ou C) de classe Cp.

C10 () espace des fonctions de classe C1 à support compact contenu dans .

L2 (0; � ;X) espace des fonctions f de lintervalle (0; �) à valeurs dans X t.q kf (t)k 2 L2 (0; �) :

L (E;F ) espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F .

Mm;n (|) ensemble des matrices carrées à m lignes et n colonnes à coe¢ cients dans |.

Mn (|) ensemble des matrices carrées dordre n à coe¢ cients dans |.

eA =P1

k=0Ak

k!exponentielle de la matrice A.

Les abréviations

ev espace vectoriel.

sev sous espace vectoriel.

i.e. cest à dire.

t.q. tel que.

p.p. presque partout.

3

Introduction générale

La contrôlabilité des équations aux dérivées partielles est un sujet en plein développement.

Son histoire a commencé avec le cas de la dimension nie, son extension à la dimension innie a

connu plusieurs temps. La théorie de la contrôlabilité aux trajectoires a été développée dans les

années 70, en particulier autour des systèmes paraboliques.

La notion de la contrôlabilité est dune grande importance dans la théorie du contrôle, cest

une propriété de base dans lanalyse des systèmes dynamiques. De nombreux problèmes fonda-

mentaux de la théorie du contrôle (stabilité, contrôle optimal, ...) ne peuvent être résolus que

sous lhypothèse que le système soit contrôlable.

Un système de contrôle est un système dynamique sur lequel on peut agir au moyen dun

contrôle ou dune commande.

Le problème modèle traité peut sénoncer comme suit : étant donné un système décrit par une

variable détat z (t) dépendant du temps et prenant des valeurs dans un espace X (de dimension

nie ou innie), est-il possible dagir sur le système, via un contrôle u (t) pour lamener dun état

initial z0 donné à un état nal cible z� à linstant t = � :

La contrôlabilité peut réduire la douleur et de prolonger la vie. Par exemple, on étudie la

régulation de température dun four ou dune pièce, système de pilotage automatique dun avion

ou guidage de satellites, régulateur de vitesses dune voiture, ....

Lorganisation de ce travail est donnée sous la forme :

Dans le premier chapitre sont données, à titre de rappel, quelques résultats préliminaires,

particulièrement danalyse fonctionnelle et les propriétés élémentaires des semi-groupes.

4

Le second chapitre, est consacré à létude de contrôlabilité des systèmes linéaires conservatifs

en dimension innie.

Une liste bibliographique appropriée est donnée à la n du mémoire.

Enn, il convient de signaler que notre travail est essentiellement basé sur le travail de K.

Ramdani [3].

5

Chapitre 1

Notions préliminaires et semi-groupes

Le but de ce chapitre est de rappeler quelques résultats classiques des espaces de Banach, de

Hilbert, espaces de Sobolev et les espaces Lp, la théorie des opérateurs linéaires, de semi-groupes,

utiles pour aborder la suite.

Les résultats des notions préliminaires sont présentés sans démonstrations. Pour approfondir

ces résultats, on pourra consulter les ouvrages suivants : H. Brezis [17], S. Saïdi [1] :

1.1 Notions préliminaires

1.1.1 Espaces fonctionnels

Dénition 1.1 (Espace vectoriel)

Soit E un ensemble non vide muni dune opération interne notée + (addition) et dune opé-

ration externe sur le corps | notée � (multiplication par un scalaire), i.e. une application qui au

couple (�; x) 2 |� E associe un élément � � x 2 E.

On dit que (E;+; �) est un espace vectoriel sur | si :

1. (E;+) est un groupe commutatif,

2. 8x; y 2 E; 8�; � 2 |; on a :

� � � (x+ y) = � � x+ � � y;

� (�+ �) � x = � � x+ � � x;

6

Chapitre 1. Notions préliminaires et semi-groupes

� � � (� � x) = (��) � x;

� 1 � x = x:

Les éléments de E sont appelés points, éléments ou vecteurs (selon le contexte), ceux de |

scalaires.

Dénition 1.2 (Sous-espace vectoriel)

Toute partie non vide F dun espace vectoriel E sur |; stable pour laddition interne de E

(i.e. x + y 2 F;8x; y 2 F ) et la multiplication externe (i.e. �x 2 F;8 (�; x) 2 | � F ) a une

structure despace vectoriel sur | induite par celle de E.

On dit que F est sous-espace vectoriel de E.

Dénition 1.3 (Espace vectoriel normé)

Soit X un espace vectoriel sur le corps |. Une norme sur X est une application de X dans

R+ noté x 7�! kxk ou N (x) qui vérié 8x; y 2 X et 8� 2 | les propriétés suivantes :

1. kxk = 0() x = 0 (Séparation)

2. k�xk = j�j kxk (Homogénéité)

3. kx+ yk � kxk+ kyk (Triangulaire).

On dit que (X; k:k) est un espace vectoriel normé sur |:

Remarque 1.1

Si lapplication x 7�! kxk vérié uniquement les propriétés (2) et (3), on parle alors dune

semi-norme.

Espace Lp () ; p 2 [1;1]

Dénition 1.4 (Espace Lp () ; p 2 [1;1[)

On dit que f 2 Lp () si et seulement si f mesurable etR

jf (x)jp dx


Dénition 1.5 (Espace L1 ())

On dit que f 2 L1 () si et seulement si f mesurable et 9 M 2 R+ t.q. jf j �M p.p. sur .

La topologie naturelle de L1 () est dénie par la semi-norme N1 ou k:kL1() ; t.q. N1 est

dénie par :

N1 (f) = kfkL1() = inf fM 2 R+ ; jf j �M p.p. sur g ; f 2 L1 () :

Dénition 1.6 (Espace de Banach)

Un espace normé E est dit espace de Banach sil est complet, i.e. si tout suite de Cauchy

convergentes vers un élément de E.

Exemple 1.1

Lespace Lp () ; p � 1 des fonctions mesurables de à valeurs dans R (ou C), de puissance

p intégrable est un espace de Banach.

Dénition 1.7 (Suite de Cauchy)

Soit (xn)n2N une suite dans un espace normé E. On dit que (xn)n2N est de Cauchy si :

8" > 0;9 N" 2 N t.q. 8n;m � N" : kxn � xmk � ":

Espace de Hilbert

Dénition 1.8 (Produit scalaire)

On appelle produit scalaire sur H toute application (:; :) de H �H dans | t.q. : 8x; x0; y 2 H

et 8�; � 2 |; on ait les propriétés suivantes :

1. (�x+ �x0; y) = � (x; y) + � (x0; y) (Linéarité en x)

2. Si | = R; (y; x) = (x; y) (Symétrie)

Si | = C; (y; x) = (x; y) (Anti-symétrie)

3. (x; x) 2 R+ (Positivité)

4. (x; x) = 0() x = 0:

1.1. Notions préliminaires 8


Dénition 1.9 (Espace préhilbertien)

Un |-espace vectoriel X muni dun produit scalaire est appelé espace préhilbertien (réel si

| = R ou complexe si | = C).

Corollaire 1.1

Soit X un espace vectoriel muni dun produit scalaire (:; :). La relation

kxk = (x; x)1=2 ;

dénit une norme sur X.

Dénition 1.10 (Espace de Hilbert)

Un espace préhilbertien complet pour la norme dénie par son produit scalaire est appelé

espace de Hilbert.

Exemple 1.2

Lespace L2 () des fonctions de carré intégrable muni du produit scalaire

(f; g)L2() =

Z

f (x) g (x) dx;

dénit un espace de Hilbert.

Remarque 1.2

Tout espace préhilbertien de dimension nie est un espace de Hilbert (cest le cas de Rn et Cn

munis de leurs produits scalaires canoniques respectifs).

Dénition 1.11 (Base Hilbertienne)

Une famille (�n)n2N dun espace de Hilbert X est une base Hilbertienne de X si et seulement

si :

1. k�nkX = 1; 8n 2 N:

2. h�n; �miX = 0; 8n;m 2 N; n 6= m:

3. Lespace vectoriel engendré par la famille (�n)n2N est dense dans X.



En particulier, pour tout élément z de X, on a :

�z =1Xn=1

hz; �ni�n i.e. limN!1

z �NXn=1

hz; �ni�n

X

= 0.

� kzk2X =1Xn=1

jhz; �nij2 :

Dénition 1.12 (Espace séparable)

Un espace séparable est un espace topologique contenant un sous-ensemble dense et au plus

dénombrable

Théorème 1.1

Toute espace de Hilbert séparable de dimension innie possède une base hilbertienne dénom-

brable.

Espaces Hk () et H10 () ; k 2 N

Dénition 1.13

Soit un ouvert non vide de Rn, pour tout p 2 [1;+1] et tout k 2 N, on pose :

Hk () = fu 2 L2 () ; D�u 2 L2 () , 8� 2 Nn; j�j � kg :

En particulier, H0 () = L2 () et

H1 () =�u 2 L2 () ; ru 2 (L2 ())n

:

Dénition 1.14

Soit 2 C1 (régulier), alors on a :

H10 () = fu 2 H1 () ; u = 0 sur @g.

1.1.2 Théorie des opérateurs linéaires

Dans toute la suite E; F sont des espaces normés sur le même corps |:

Opérateurs linéaires



Dénition 1.15

Un opérateur linéaire de E dans F est une application A dun sous-espace D (A) � E à valeur

dans F t.q. :

8x; y 2 D (A) ;8�; � 2 |; on a : A (�x+ �y) = �A (x) + �A (y) :

Avec D (A) est le domaine de lopérateur A:

- Limage de A est le sous-espace :

R (A) = ImA = fA (x) : x 2 D (A)g = A (D (A)) � F:

- Le noyau de A est le sous-espace :

N (A) = kerA = fx 2 D (A) : A (x) = 0g � E:

Remarque 1.3

1. En disant que A est un opérateur de E dans F; il est possible que D (A) soit un sous-espace

propre de E, par contre lécriture A : E ! F signie que D (A) = E:

2. A est surjectif si et seulement si R (A) = F:

3. A est injectif si et seulement si N (A) = f0g :

4. Dabitude en écrit simplement Ax au lieu de A (x) :

Dénition 1.16 (Inverse dopérateurs)

Soit A un opérateur de E dans F: On dit que A à un inverse ou que linverse de A existe si

A est injectif.

Dans ce cas linverse est lopérateur linéaire de domaine R (A) et dimage D (A) dénie par :

A�1y = x lorsque Ax = y:



Dénition 1.17 (Opérateur diagonalisable)

Un opérateur linéaire A dun espace de Hilbert X sera dit diagonalisable si et seulement sil

existe une base hilbertienne de X constituée de fonctions propres1 de A, i.e. sil existe une base

hilbertienne (�n)n2N de X et une suite de nombres complexes (�n)n2N t.q. :

D (A) =

(z =

1Xn=1

hz; �ni�n :1Xn=1

j�nj2 jhz; �nij2 < +1

);

Az =1Xn=1

�n hz; �niX �n; 8z 2 D (A) :

Dénition 1.18 (Opérateurs linéaires positifs)

Soit A un opérateur linéaire déni sur un espace de Hilbert H dans lui-même. On dit que A

est un opérateur positif et que lon note A � 0 si :

8' 2 H : hA';'i � 0:

Dénition 1.19 (Racine carré dun opérateur)

Soit A un opérateur linéaire positif déni sur un espace de Hilbert H dans lui-même, alors

lopérateur positif R est dit racine carré de lopérateur A si :

A = R2 ou R = A12 :

Dénition 1.20

Soit A : D (A) ! X un opérateur non borné diagonalisable, 8� > 0; on dénit lopérateur

A� : D (A�) �! X par :

D�A

12

�=

(z 2 X :

1Xn=1

j�nj jhz; �nij2 < +1

);

1Une fonction propre f dun opérateur linéaire A sur un espace fonctionnel est un vecteur propre de lopérateurlinéaire. Cette fonction satisfait : Af = �f:



A12 z =

1Xn=1

�12n hz; �niX �n; 8z 2 X:

T.q. (�n)n2N est une base hilbertienne de X formée de fonctions propres de A et (�n)n2N la

suite des valeurs propres correspondantes.

Opérateurs linéaires continus

Dénition 1.21

Soit A un opérateur linéaire de E dans F: On dit que A est continu en un point x0 2 D (A)

si lune des conditions équivalentes suivantes est satisfaite :

1. 8" > 0;9 � > 0 t.q. 8x 2 D (A) : kx� x0k � � =) kAx� Ax0k � ":

2. Pour toute suite (un)n2N � D (A) de limite x0, on a : limn!1Aun = Ax0:

- A est dit continu sil est continu en tout point de D (A) :

Opérateurs linéaires bornés

Dénition 1.22

Soit A un opérateur linéaire de E dans F: On dit que A est borné sur D (A) sil existe une

constante c > 0 t.q. :

kAxk � c kxk ; 8x 2 D (A) : (*)

Remarque 1.4

La plus petite valeur possible de la constante c dans (�) est notée kAk et est appelée norme

de lopérateur A t.q. :

kAk = supx2D(A)x 6=0

kAxkkxk :

Doù linégalité (�) sécrit :

kAxk � kAk kxk ; 8x 2 D (A) :

Lemme 1.1



Pour tout opérateur linéaire borné A de E dans F; on a :

kAk = supx2D(A)kxk=1

kAxk = supx2D(A)kxk�1

kAxk :

Corollaire 1.2

Soit A un opérateur linéaire de E dans F; alors : A borné sur D (A) si et seulement si A est

continu.

Théorème 1.2 (Banach-Steinhaus 1927)

Soient E un espace de Banach et F un espace normé. Soit (Ai)i2I une famille (non nécessai-

rement dénombrable) déléments de L (E;F ) :

On suppose que 8x 2 E; supi2I kAixk < +1; alors on a : supi2I kAik < +1:

Orthogonalité

Dénition 1.23

Dans un espace préhilbertien H, deux vecteurs x et y sont orthogonaux si :

hx; yi = 0:

Dénition 1.24

Soit A une partie non vide dun espace préhilbertien H. Lorthogonal de A dans H est sous-

espace fermé de H noté A? t.q. :

A? = fx 2 H : hx; yi = 0;8y 2 Ag :

Dénition 1.25

Dans un espace de Hilbert séparable H, on a les dénitions suivantes :

1. Une famille fei; i 2 Ig est dite orthogonale si :

8i; j 2 I; i 6= j : hei; eji = 0:



2. Une famille fei; i 2 Ig est dite orthonormée si :

8i; j 2 I : hei; eji = �ij =

8


où A est une matrice sous la forme :

etA =

1Xn=0

tnAn

n!

Ce résultat a été étendu aux équations di¤érentielles opérationnelles Y 0 = AY , où A est un

opérateur linéaire borné dans un espace de Banach E, qui a pour solution fondamentale donnée

par :

y (t) = eAty0; t.q. y0 donné dans un espace de Banach E

Nous avons considéré des exemples si A est un opérateur linéaire non borné. Par exemple

dans un espace de Hilbert L2 (U), la solution du problème (1) est donnée par la formule :

y (t) = S (t) y0;

Où S est un opérateur borné dans E; vériant certaines des propriétés de lexponentielle eAt

ci-dessus, et plus précisément

8>>>>>:S (0)

S (t+ s)

limt!0 S (t) y0

=

=

=

I;

S (t)S (s) ;

y0; dans E:

Dénition 1.27 (Semi-groupe)

Soient E un espace de Banach sur le corps C et L (E) lalgèbre de Banach des opérateurs

linéaires bornés sur E:

La famille fS (t)gt�0 � L (E) est appelée semi-groupe si :

1. S (0) = I:

2. S (t+ s) = S (t)S (s) ; 8t; s 2 R+.

De plus si : limt!0 kS (t)� Ik = 0; alors fS (t)gt�0 est dite semi-groupe uniformément

continu.

1.2. Semi-groupes 16


Dénition 1.28 (Semi-groupe fortement continu)

Le semi-groupe fS (t)gt�0 est appelé semi-groupe fortement continu et noté C0-semi-groupe si

lapplication t 7�! S (t) est continu pour la topologie forte dopérateurs sur L (E) :

i.e. : limt!t0 kS (t) f � S (t0) fk = 0; 8f 2 E; 8t 2 R+.

Dénition 1.29 (Générateur innitésimal)

Soit S (t) un semi-groupe sur E, le générateur innitésimal de S (t) est lopérateur linéaire

non borné A déni par :

A : D (A) � E �! E

D (A) =

�x 2 E t.q. lim

t!0

S (t)� It

x existe�;

où

Ax = limt!0

S (t)x� xt

; 8x 2 D (A) :

Remarque 1.5

Les semi-groupes uniformément continus sont C0-semi-groupes puisque :

kS (t)x� xk � kS (t)� Ik kxk

Mais il existe des C0-semi-groupes qui ne sont pas uniformément continu.

1.2.1 Semi-groupes uniformément continus

Propriétés élémentaires des semi-groupes uniformément continus

Dénition 1.30

On appelle générateur innitésimal du semi-groupe uniformément continu fS (t)gt�0 lopéra-

teur linéaire A : E �! E ; A = limt!0 S(t)�It :

Lemme 1.2

Soit A 2 L (E), alors�eAtt�0 est un semi-groupe uniformément continu dopérateurs li-

néaires bornés sur E dont le générateur innitésimal est A.



Preuve voir [14 p 18] :

Lemme 1.3

Étant donné un opérateur A 2 L (E), il existe un unique semi-groupe uniformément continu

fS (t)gt�0 t.q. : S (t) = eAt; 8t � 0; dont le générateur innitésimal est A.


Théorème 1.3

Un opérateur A : E �! E est le générateur innitésimal dun semi-groupe uniformément

continu si et seulement si A est un opérateur linéaire borné.


1.2.2 Semi-groupes fortement continus

Propriétés élémentaires des C0-semi-groupes

Dénition 1.31

On appelle C0-semi-groupes dopérateurs linéaires bornés sur E une famille fS (t)gt�0 � L (E)

vériant les propriétés suivantes :

1. S (0) = I.

2. S (t+ s) = S (t)S (s) ; 8t; s 2 R+.

3. limt!0 S (t)x = x; 8x 2 E.

Théorème 1.4

Soit fS (t)gt�0 un C0-semi-groupes dopérateurs linéaires borné, alors :

1. Il existe T > 0 et M � 1 t.q. : kS (t)k �M; 8t 2 [0; T ] :

2. Il existe w 2 R et M � 1 t.q. : kS (t)k �Mewt; 8t � 0:

Preuve



1. Supposons que 8T > 0 et M � 1, 9 t 2 [0; T ] t.q. : kS (t)k > M: Pour T = 1net

M = n 2 N�; 9 tn 2�0; 1

n

�t.q. kS (t)k > n. Donc la suite (kS (tn)k)n2N� est non bornée.

Si la suite (kS (tn)xk)n2N� était bornée 8x 2 E; alors daprès le théorème de Banach-

Steinhaus, il en résulterait que (kS (tn)k)n2N� serait bornée, mais cela contredit la¢ rmation

précédente. Donc 9 x0 2 E t.q. : (kS (tn)x0k)n2N� soit non bornée. Ce qui contredit la

dénition de semi-groupe uniformément continu.

2. Soient h > 0 et t > h, et M > 0 t.q. : kS (t)k �M:

Étant donné S (0) = I, on a : M � 1.

Nous noterons m =�tn

�2 N�; avec r 2 [0; h] t.q. : t = mh+ r; alors :

kS (t)k = kS (mh+ r)k = kS (mh)S (r)k � kS (h)mk kS (r)k �MmM =Me th lnM

Il su¢ t de prendre w = 1hlnM:

Donc la preuve est terminée.

Proposition 1.1

Soient fS (t)gt�0 2 SG (M;w) et A son générateur innitésimal.

Si x 2 D (A) ; alors S (t)x 2 D (A) et on a :

S (t)Ax = AS (t)x; 8t � 0:

Preuve

Soit x 2 D (A) ; alors 8t � 0; nous avons :

S (t)Ax = S (t) limh!0S(h)x�x

h= limh!0

S(t)S(h)x�S(t)xh

Donc S (t)x 2 D (A) et on a : S (t)Ax = AS (t)x; 8t � 0:

Proposition 1.2

Soient fS (t)gt�0 2 SG (M;w) et A son générateur innitésimal, alors lapplication : t 2

[0;1[ 7�! S (t)x 2 E est dérivable sur [0;1[, pour tout x 2 D (A), et on a :

d

dtS (t)x = S (t)Ax = AS (t)x:



Preuve

Soient x 2 D (A) ; t � 0 et h > 0, alors :

S(t+h)x�S(t)xh � S (t)Ax

� kS (t)k

S(h)x�xh � Ax

�Mewt

S(h)x�xh � Ax

Par conséquent :

limh!0

S (t+ h)x� S (t)xh

= S (t)Ax;

doùd+

dtS (t)x = S (t)Ax; 8t � 0:

Si t� h > 0; alors :

S(t�h)x�S(t)xh � S (t)Ax

� kS (t� h)k

S(h)x�xh � Ax+ Ax� S (h)Ax

�Mew(t�h)

�

S(h)x�xh � Ax

+ kS (h)Ax� Axk�Par suit

limh!0

S (t� h)x� S (t)x�h = S (t)Ax

etd�

dtS (t)x = S (t)Ax; 8t � 0:

Il sensuite lapplication considérée dans lénoncé est dérivable sur [0;1[ ; 8x 2 D (A) :

De plus, on a :d

dtS (t)x = S (t)Ax = AS (t)x:

Donc la preuve est terminée.

Lemme 1.4

Soit fS (t)gt�0 un C0-semi-groupe, alors :

limh!0

1

h

Z t+ht

S (s)x ds = S (t)x; 8x 2 E; 8t � 0

Proposition 1.3

Soient fS (t)gt�0 2 SG (M;w) et A son générateur innitésimal.



Si x 2 E; alorsR t0S (s)x ds 2 D (A) et on a :

A

Z t0

S (s)x ds = S (t)x� x

Preuve

Soient x 2 E et h > 0; alors :S(h)�Ih

R t0S (s)x ds = 1

h

R t0S (s+ h)x ds� 1

h

R t0S (s)x ds = 1

h

R t+hh

S (u)x du� 1h

R t0S (s)x ds

= 1h

R t+h0

S (u)x du� 1h

R h0S (u)x du� 1

h

R t0S (u)x du

= 1h

R t+ht

S (u)x du� 1h

R t0S (u)x du

Par passage à la limite pour h! 0; on obtient daprès le lemme précédent :

AR t0S (s)x ds = S (t)x� x; 8t � 0 et

R t0S (s)x ds 2 D (A) :

Remarque 1.6

x 2 D (A) et Ax = y , S (t)x� x =R t0S (s) y ds; 8t � 0.

Théorème 1.5

Soient fS (t)gt�0 2 SG (M;w) et A son générateur innitésimal, alors :

1. D (A) = E:

2. A est un opérateur fermé.

Preuve

1. Soient x 2 E et tn > 0; n 2 N t.q. : limn!1 tn = 0: Alors :

xn =1

tn

Z tn0

S (s)x ds 2 D (A) ; 8n 2 N:

Doù

limn!1

xn = limn!1

1

tn

Z tn0

S (s)x ds = S (0) x = x

Donc D (A) = E:

2. Soit (xn)n2N � D (A) t.q. : limn!1 xn = x et limn!1Axn = y; alors :

kS (s)Axn � S (s) yk � kS (s)k kAxn � yk �Mewt kAxn � yk ; 8s 2 [0; t] :



Par suite S (s)Axn �! S (s) y; pour n!1; uniformément par rapport à s 2 [0; t] :

Dautre part, puisque xn 2 D (A) ; nous avons :

S (t)xn � xn =Z t0

S (s)Axn ds;

doù

limn!1

(S (t)xn � xn) = limn!1

Z t0

S (s)Axn ds;

ou bien :

S (t)x� x =Z t0

S (s) y ds;

nalement, on voit que :

limt!0

S (t)x� xt

= limt!0

1

t

Z t0

S (s) y ds = S (0) y = y;

doù

Ax = y et x 2 D (A) :

Alors A est un opérateur fermé.


Chapitre 2

Contrôle des systèmes linéaires

conservatifs en dimension innie

Dans ce chapitre, on sintéresse au contrôle des systèmes dynamiques. Le problème modèle

traité peut sénoncer comme suit : étant donné un système décrit par une variable détat z (t)

dépendant du temps et prenant des valeurs dans un espaceX, est-il possible dagir sur le système,

via un contrôle u (t) pour lamener dun état initial z0 donné à un état nal cible z� à linstant

t = � :

En général, le contrôle est obtenu en temps réel à linstant t à partir de la connaissance de létat

(ou de manière plus réaliste dune partie de létat, appelée sortie du système) aux dates antérieures.

On parle de contrôle en boucle fermée ou contrôle par feedback.

Système contrôlé par Feedback/Rétroaction.

On restreindra ici notre analyse aux systèmes linéaires autonomes1. De tels systèmes sont

1système dont la dynamique est linéaire et indépendante du temps.

23

Chapitre 2. Contrôle des systèmes linéaires conservatifs en dimension innie

modélisés par léquation suivante :

_z (t) = Az (t) +Bu (t) : (*)

Le problème de contrôle consiste alors à savoir sil existe un contrôle u (t) permettant de

conduire le système dun état z (0) = z0 donné à un état nal z (�) = z� prédéni.

Premièrement, nous répondrons à cette question dans le cas où lespace des états X est un

espace de dimension nie (typiquement Rn), A et B étant alors des matrices. Lexemple le plus

simple de tels systèmes est le système masse-ressort, régi par lEDO de loscillateur harmonique

linéaire

m::x (t) = �kx (t) + u (t) :

On notera que cette EDO linéaire du deuxième ordre décrit bien sous la forme (�) dun

système di¤érentiel dordre un, en introduisant la nouvelle variable z (t) =

24 x (t):x (t)

35 ; avecA =

24 0 1�k=m 0

35 ; B =24 01=m

35 :24


Dans un grand nombre de problèmes issus de la physique, létat du système ne peut être

décrit par un nombre ni de variables, mais fait intervenir un nombre inni de degrés de libertés.

En voici deux illustrations. Un premier exemple, que lon rencontre en astronomie, est fourni

par les télescopes utilisés en optique adaptative. En e¤et un miroir déformable est utilisé pour

corriger en temps réel les déformations du front donde générées par la turbulence atmosphérique

et mesurées via un analyseur de front dondes. Depuis une vingtaine dannées, les miroirs utilisés,

qui sont déformés par des actionneurs ferro-électriques, sont de taille si importante et comportent

une densité dactionneurs si élevée quune modélisation de type discret devient inadaptée.

Il est alors plus judicieux de passer à une modélisation continue, dans laquelle le contrôle

(la fonction décrivant la surface du miroir en loccurrence) est décrit par une fonction du temps

à valeurs dans un espace fonctionnel de dimension innie. Le contrôle des systèmes vibratoires

(une corde, une poutre, ...) fournit un autre exemple de problème de contrôle en dimension in-

nie. Létat du système est alors décrit à chaque instant par une fonction de la variable spatiale2

(z (t) : x 7�! z (x; t) représentant par exemple le déplacement du point x la corde, de la poutre) :

Pour de tels problèmes de contrôle en dimension inni, on est alors conduit à étudier des

systèmes de la forme (�), où A et B non plus des matrices, mais des opérateurs sur des espaces

fonctionnels de dimension inni, typiquement des opérateurs aux dérivées partielles. Ainsi, en

acoustique par exemple, le contrôle dun système de type ondes est modélisé par une équation

aux dérivées partielles de la forme :

8


Les deux exemples décrits ci-dessus présentent la particularité commune de correspondre à

des problèmes de contrôle de systèmes conservatifs3. On désignera par ce terme des systèmes

idéaux dont lénergie est conservée au cours du temps. Dun point de vue mathématique, ils

peuvent être décrits comme des systèmes dont la dynamique :

_z (t) = Az (t) ;

Fait intervenir une matrice ou un opérateur A anti-adjoint. Pour sen convaincre, il su¢ t de

remarquer que lénergie E (t) = kz (t)k2 du système vérie :_E (t) = d

dthz (t) ; z (t)i = hAz (t) ; z (t)i+ hz (t) ; Az (t)i = hAz (t) ; z (t)i+ hA�z (t) ; z (t)i = 0:

Cette classe de systèmes linéaire savère très importante notamment parce quil est dans ce

cas possible de transposer les critères de contrôlabilité connus pour les systèmes de dimension

nie.

Nous verrons en particulier dans ce chapitre que ces critères de contrôlabilité sont de type

spectral (critère de Hautus). Après un bref rappel de ce critère en dimension nie, nous détaille-

rons la caractérisation de la contrôlabilité (exacte) des systèmes conservatifs.

Système perturbé contrôlé avec estimateur détat.

3Les systèmes conservatifs sont caractérisés par lexistence dune quantité, une fonction des variables du sys-tèmes, se conservant au cours du mouvement ou lorsque son énergie mécanique E (t) est constante.

26


Systèmes non linéaires : _z (t) = f (z (t) ; u (t)) où f est une fonction non linéaire ;

Systèmes non autonomes : _z (t) = f (t; z (t) ; u (t)) (la dynamique varie au cours du temps) ;

Systèmes avec perturbations : _z (t) = f (z (t) ; u (t) + w (t)) où w représente une perturba-

tion inconnue (mais également petite), prenant en compte par exemple des incertitudes ou

du bruit.

De plus, nous naborderons que la question préliminaire de la contrôlabilité dun système. Un

grand nombre de questions doivent être généralement étudiées :

Comment déterminer le contrôle permettant datteindre létat nal souhaité,

notamment lorsquon na pas accès à létat du système z (t) mais seulement

à une mesure partielle y (t) (par exemple dépendant linéairement de létat :

y (t) = Cz (t)) ?

Comment déterminer, parmi lensemble des contrôles, celui qui optimise un

critère de coutdonné ? Cest lobjet de la théorie du contrôle optimal.

Comment garantir que le contrôle obtenu est robustevis-à-vis des perturba-

tions ?

Enn, on citera aussi la problématique de stabilisation dun système (autour

dune trajectoire cible) qui est très étroitement liée au problème de contrôle.

Pour clore cette courte introduction, ci-dessous quelques références (en français) pour le lec-

teur qui souhaiterait approfondir le sujet :

- Analyse Fonctionnelle : H. Brezis [17] :

- Semi-groupes : Cazenave et Haraux [16] :

- Système de Dimension Finie : E. Trélat [13] :

Pour les systèmes de dimension innie, seules des références en anglais sont disponibles :

J-. M. Coron [10] ; W. Liu [4] ; M. Tucsnak et G. Weiss [6] ; E. Zuazua [11] :

27


2.1 Contrôlabilité en dimension nie. Les critères de Kal-

man et de Hautus

Étant données deux matrices A 2Mn (C) et B 2Mn;m (C), on considère le système linéaire

contrôlé :

8


En introduisant lapplication contrôle �! état nal

�� : L2 (0; � ;U) �! X

u 7�!Z �0

e(��s)ABu (s) ds:

On est alors naturellement conduit à la dénition suivante de la contrôlabilité.

Dénition 2.1

Le système (A;B) est dit contrôlable en temps � sil existe un temps � > 0 t.q. �� soit une

application surjective sur X i.e. :

Im�� = X:

An de caractériser limage de lapplication �� (linéaire et continue de L2 (0; � ;U) dans X) ;

on utilisera les deux résultats préliminaires suivantes :

Lemme 2.1

Soient E;F deux ev munis de produits scalaires, avec dim F


Nous pouvons maintenant obtenir la première caractérisation de contrôlabilité en dimension

nie, à savoir le critère de Kalman.

Proposition 2.1 (Critère de Kalman)

Le système (A;B) déni par (1:1) est contrôlable en temps � si et seulement si la matrice de

Kalman

K =�B j AB j ::: j An�1B

�2Mn;nm (C)

est de rang maximal i.e. :

rg K = n:

Preuve

Comme dim X


K�z0 =

26666666664

B�z0...

B� (A�)k z0...

B� (A�)n�1 z0

37777777775= 0:

Comme chaque puissance Ak pour k � n est une combinaison linéaire des I; A; :::; An�1; la

relation ci-dessus entraîne que :

B� (A�)k z0 = 0; 8k 2 N:

Par conséquent, la fonction y (t) = B�etA�z0 est donc identiquement nulle, comme le montre

son développement de Taylor à lorigine. Il en est même pour ��z0 = y (� � �) :

Donc z0 2 Ker �� ; et �� nest pas surjectif.

Remarque 2.1

Le critère de Kalman ne dépend pas du temps � ; ce qui montre que, lorsque quun système

linéaire autonome est contrôlable, il lest en temps arbitrairement petit. Ce résultat est propre à

la dimension nie et nest plus vrai en dimension innie.

Proposition 2.2 (Critère de Hautus)

Le système (A;B) déni par (1:1) est contrôlable en temps � si et seulement si pour toute

fonction propre � de A�; on a :

B�� 6= 0:

Preuve

Supposons que le système (A;B) nest pas contrôlable, ce qui revient à dire que N =

Ker (�� ) 6= f0g :

Le sous-espace N étant stable par etA� ; il lest aussi par A� (par exemple en remarquant que

A�z = limt!0etA

�z�zt

, 8z 2 X). Notons alors A�N 2 L (N ) la restriction de A� à N . Clairement,

son spectre � (A�N ) est un sous-ensemble de � (A�) ; et puisque N 6= f0g ; � (A�N ) est non vide.

2.1. Contrôlabilité en dimension nie. Les critères de Kalman et de Hautus 31


Étant donné une valeur propre � 2 � (A�N ) ; et si z0 2 N , z0 6= 0; est un fonction propre

associée, on a :

B�z0 = (��z0) (�) = 0;

et donc le critère de Hautus nest pas vérié.

Réciproquement, supposons quil existe un vecteur propre z0 2 X de A� t.q. : B�z0 = 0: Alors

z0 2 Ker (�� ) ; puisque 8t 2 (0; �) ; on a :

(��z0) (t) = B�e(��t)A

�z0 = B

�e�(��t)z0 = e�(��t)B�z0 = 0:

Ce qui montre que (A;B) nest pas contrôlable.

2.2 Contrôlabilité en dimension innie. Critère de type

Hautus

Maintenant, on sintéresse aux systèmes linéaires contrôlés de la forme :8


A nest pas borné au sens où il nexiste pas de constante C > 0 t.q. :

kA'k � C k'k ; 8' 2 D (A) :

En dautre terme, il existe une suite 8'n 2 D (A) t.q. :

k'nk = 1; kA'nk �! +1:

Exemple 2.1 (Opérateur de dérivation en dimension 1)

Il ne peut être déni de X = L2 (0; 1) dans lui-même, mais comme un opérateur de lespace

D (A) =

�' 2 L2 (0; 1) ; d'

dx2 L2 (0; 1)

�;

dans X, avec :

A' =d'

dx; 8' 2 D (A) :

De plus, cet opérateur nest pas borné, comme le montre le choix de la suite : 'n (x) = einx:

Soit A : D (A) �! X un opérateur non borné diagonalisable. On note (�n)n2N une base

hilbertienne de X formée de fonctions propres de A et (�n)n2N la suite des valeurs propres

correspondantes. 8� > 0; on dénit lopérateur A� : D (A�) �! X par :

D (A�) =

(z 2 X ;

1Xn=1

j�nj2� jhz; �nij2 < +1

);

A�z =1Xn=1

��n hz; �niX �n; 8z 2 X:

Dénition 2.2

Soit A : D (A) �! X un opérateur non borné de X de domaine dense.

Ladjoint A� : D (A) �! X de A est lopérateur déni par :

D (A�) = fv 2 X t.q. : 9 w 2 X j (v; Au) = (w; u) ; 8u 2 D (A)g ;

2.2. Contrôlabilité en dimension innie. Critère de type Hautus 33


A�v = w:

Lunicité de w donnant un sens à la dénition ci-dessus découle de la densité de D (A) dans

X.

De plus, on notera que lopérateur adjoint vérie la propriété suivante :

(v; Au) = (A�v; u) , 8u 2 D (A) ;8v 2 D (A�) :

Exemple 2.2

On considère lopérateur non borné A de X = L2 (R) de domaine D (A) = H1 (R) et déni

8u 2 D (A) par :

Au = u0 + u:

Alors A� est lopérateur de domaine D (A�) = H1 (R) t.q. 8v 2 D (A�) ; on a :

A�v = �v0 + v:

En e¤et, soit v 2 D (A�) � L2 (R) : Alors 9 w 2 L2 (R) t.q. 8u 2 H1 (R) ; on ait :

ZR(u0 + u) v =

ZRuw:

En particulier, en prenant u = ' 2 C10 (R) dans la relation ci-dessus, on obtient quau sens

des distributions w = �v0 + v: Donc v0 = v � w 2 L2 (R) et par suite v 2 H1 (R).

Ainsi, D (A�) � H1 (R) et A�v = �v0 + v: Enn, on vérie aisément que H1 (R) � D (A�) ;

ce qui conclut la preuve.

Dénition 2.3

On dira que :

A est auto-adjoint si et seulement si A� = A; i.e. si :

D (A�) = D (A) et A�u = Au; 8u 2 D (A�) :



A est anti-adjoint si et seulement si A� = �A; i.e. si :

D (A�) = D (A) et A�u = �Au; 8u 2 D (A�) :

Dorénavant, on se place sous les hypothèses suivantes. On se donne deux espaces de Hilbert

X; U respectivement munis des produits scalaires h:; :i et h:; :iU ; les normes correspondantes

étant notées k:k et k:kU :

Soient A : D (A) �! X un opérateur non borné de X et B un opérateur de contrôle supposé

borné i.e. : B 2 L (U;X) :

Transposer les problématiques de contrôlabilité décrites précédemment en dimension nie à

ce contexte inni-dimensionnel suppose de répondre à plusieurs questions :

Quel sens donner aux trajectoires solutions de (2.1) ?

Comment dénir la contrôlabilité ?

Nous verrons quil existe en dimension innies deux notions de contrôlabilité exacte (�� sur-

jectif i.e. : Im�� = X ) et la contrôlabilité approchée�� dimage dense i.e. : Im�� = X

�:

Comment caractériser la contrôlabilité exacte ?

Le critère de Kalman nétant pas transposable en dimension innie, la question est de savoir

si cela peut-être en visage pour le critère de Hautus.

Pour répondre à ces questions, nous allons nous restreindre au cas des systèmes conservatifs,

i.e. au cas où A est un opérateur anti-adjoint.

2.2.1 Quelques mots danalyse fonctionnelle

Nous avons vu dans la Section 1 que la famille dopérateurs�etA�t�0 jouait un rôle fondamen-

tal, notamment car elle permettait dexprimer lévolution de létat du système libre (en labsence

de contrôle) et du système contrôlé-via la formule de Duhamel (1:2) :

An détudier la contrôlabilité des systèmes de dimension innie, il nous faut donc au préalable

généraliser la notion dexponentielle de matrice à des opérateurs A : D (A) �! X non bornés.

Ceci est lobjet de la théorie de semi-groupes. Ce sujet étant bien au-delà de lobjet de ce chapitre,

nous renvoyons le lecteur intéressé aux livres généraux de H. Brézis [17].



Nous nous contentons donc de rappeler ici -sans démonstration- quelques résultats qui nous

seront utiles dans la suite de ce chapitre.

Théorème 2.1 (Théorème de Stone)

Soit A : D (A) �! X un opérateur non borné dun espace de Hilbert X de domaine dense.

Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. A est auto-adjoint.

2. A est le générateur dun groupe unitaire�etA�t�0 sur X :��

etA 2 L (X)

et0 = Id

e(t+s)A = esAetA

limt!0+ etAz0 = z0

etAz0

= kz0k

8t 2 R

8t 2 R

8t; s 2 R

8z0 2 X

8t 2 R;8z0 2 X

Dénition 2.4

Soit A : D (A) �! X un opérateur anti-adjoint. On considère le problème de Cauchy non

homogène suivant : 8


Étant donné u 2 L1 (0; � ;U) ; on considère le problème dévolution suivant :8 0 dépendant

uniquement de � , de A et de B t.q. :

k��uk � k� kukL2(0;� ;U) ; 8u 2 L2 (0; � ;U) :

De plus, ladjoint �� de �� est donné par la proposition qui suit.

Proposition 2.3

Soit �� 2 L (2 L2 (0; � ;U) ; X) lopérateur dénit par (2:5). Son adjoint �� 2 L (X;L2 (0; � ;U))

est lopérateur :



�� : X �! L2 (0; � ;U) (2.6)

z0 7�! v (t)

avec :

v (t) = B�e�(��t)Az0; 8t 2 (0; �) : (2.7)

Preuve

Comme �� est un opérateur borné, il su¢ t de remarquer que 8u 2 L2 (0; � ;U), 8z0 2 X, on

a :

(��u; z0) =R �0

�e(��s)ABu (s) ; z0

�ds =

R �0

�u (s) ; B�e�(��t)Az0

�Uds = (u; v)L2(0;� ;U) : (car

A� = �A).

De sorte que lon a bien v = ��z0:

Lopérateur �� nous permet de donner la dénition de la contrôlabilité.

Dénition 2.5

Soit �� lapplication linéaire dénie par (2:5). On dira du système déni par (2:3) quil est

exactement contrôlable en temps � si et seulement si �� est surjectif sur X i.e. :

Im�� = X:

2.2.3 Caractérisation de la contrôlabilité exacte

En dimension nie, on a vu que la contrôlabilité (�� surjectif) était équivalente à linjectivité

de lopérateur �� . En dimension innie, cette injectivité nest plus su¢ sante, comme le montre

le résultat suivant.

Proposition 2.4

Soient E et F deux espaces de Hilbert. Ladjoint T � 2 L (F;E) dun opérateur borné T 2

L (E;F ) déni par (1:3) vérie :

Ker T � = (ImT )? ; (Ker T �)? = ImT :



La di¤érence principale avec le cas de la dimension nie (pour le problème de contrôlabilité

qui nous intéresse ici) apparait dans la seconde relation ci-dessous : alors quen dimension nie

on avait (Ker T �)? = ImT ; cette relation relie en dimension innie le noyau de ladjoint à

ladhérence de son image.

En particulier, linjectivité de �� garantit seulement que �� soit dimage dense (autrement

dit quon peut sapprocher aussi près quon veut de nimporte quel état nal). Une condition

nécessaire et su¢ sante est donnée par le résultat suivant.

Théorème 2.2

Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le système (2:3) est exactement contrôlable en temps � > 0:

2. Lopérateur �� est borné inférieurement, i.e. 9 k� > 0 t.q. :

k��z0kL2(0;� ;U) =�Z �

0

B�esAz0

2U ds�1=2 � k� kz0k ; 8z0 2 X: (2.8)En e¤et, on a le résultat danalyse fonctionnelle suivant :

Théorème 2.3

Soient Y; Z deux espaces de Hilbert et G 2 L (Y; Z). Alors G est surjectif si et seulement si

son adjoint G� est borné inférieurement, i.e. 9 C > 0 t.q. :

kG�zkY � C kzkZ ; 8z 2 Z:

Preuve

Il su¢ t dappliquer le lemme ci-dessous en prenant X = Z et comme opérateur F lidentité

sur Z.

Lemme 2.3

Étant donné trois espaces de Hilbert X; Y et Z, soient F 2 L (X;Z) et G 2 L (Y; Z) : Alors

les assertions suivantes sont équivalentes :

1. ImF � ImG:



2. Il existe une constante C > 0 t.q. :

kG�zkY � C kF �zkX ; 8z 2 Z:

3. Il existe un opérateur H 2 L (X; Y ) t.q. : F = GH:

Preuve

Tout dabord, il est claire que (3) implique (1), mais également (2) avec C = kHk�1L(X;Y ).

Si H = 0, alors les assertions (1) et (2) sont trivialement vériées.

Maintenant, montrons que (1) entraîne (3) : On construit lopérateur H 2 L (X; Y ) comme

suit. 8x 2 X; on a : Fx 2 ImF � ImG; donc 9!y 2 (Ker G)? t.q. : Fx = Gy:

Posons Hx = y. Donc Fx = GHx; alors F = GH.

Pour montrer que H 2 L (X; Y ), il su¢ t de montrer que H est fermé. Grâce au théorème

du graphe fermé (tout opérateur fermé de X dans Y de domaine égal à X est borné). Soit donc

(xn; yn)n�0 une suite déléments du graphe de H (i.e. yn = Hxn; 8n � 0) qui converge vers

(x; y) 2 X � Y pour la norme du graphe. Comme yn = Hxn; on a : Fxn = Gyn; 8n � 0:

Par passage à la limite, et grâce à la continuité de F et G on a : Fx = Gy:

Dautre part, y 2 (Ker G)? ; puisque cest la limite dune suite déléments (yn)n�0 de

(Ker G)? qui est fermé. Par conséquent, on a : Hx = y et L est fermé, et donc borné.

Pour conclure, montrons que (2) entraîne (3). Pour ce faire, nous allons obtenir lopérateur

H en construisant son adjoint.

Supposons quil existe C > 0 t.q. :

kG�zkY � C kF �zkX ; 8z 2 Z: (2.9)

Introduisons lapplication linéaire D : Im (G�) � Y �! Im (F �) � X t.q. 8z 2 Z on ait :

D (G�z) = F �z: Cette application est bien dénie, puisque si z1; z2 2 Z t.q. : G�z1 = G�z2; alors

(2:9) montre que F �z1 = F �z2: Dautre part, (2:9) montre également que :

kG�zkU � C kDG�zkX ; 8z 2 Z;



de sort que D peut être étendu de manière continue à Im (G�): Si lon prolonge D par 0 sur�Im (G�)

�?; on obtient un opérateur D 2 L (Y;X) vériant DG� = F �:

Lassertion (3) est alors obtenue en posant H = D�:

2.2.4 Caractérisation fréquentielle de la contrôlabilité

Avant de fournir une version inni-dimensionnelle du critère de Hautus (critère spectral de

la contrôlabilité exacte), nous allons dabord obtenir un critère fréquentielle de la contrôlabilité

exacte. Ce critère ne fait pas intervenir le temps, mais uniquement les opérateurs (A;B) ainsi

quun paramètre -la fréquence- pour lequel une certaine inégalité (voir (2:10)) doit être vériée

de manière uniforme.

Grâce à ce critère, létude du problème de contrôle, qui est de nature purement transitoire,

se ramène ainsi à létude dune famille de problèmes périodiques en temps.

Théorème 2.4

Soient A : D (A) �! X un opérateur anti-adjoint et B 2 L (U;X) un opérateur de contrôle.

Le système (A;B) déni par (2:3) est exactement contrôlable si et seulement sil existe une

constante � > 0 t.q. :

k(iwI � A) z0k2 + kB�z0k2U � � kz0k2 ; 8w 2 R; 8z0 2 D (A) : (2.10)

Preuve

Supposons que (A;B) exactement contrôlable en temps � ; et soient w 2 R, z0 2 D (A) :

Posons v (t) =�etA � eiwt

�z0: Alors :

:v (t) = Az0e

tA � iwz0eiwt = Az0etA + iw�v (t)� z0etA

�;

ou encore:v (t) = iwv (t) + etAf; avec f = (A� iw) z0:



Comme v (0) = 0; on en déduit que :

v (t) =

Z t0

eiw(t�s)esAf ds;

et par Cauchy-Schwarz, on obtient :

kB�v (t)k2U � tZ t0

B�esAf

2Uds:

Compte tenu de légalité z0etA = v (t) + z0eiwt et de linégalité (2:8) ; linégalité ci-dessus

entraîne que :

k2� kz0k2 �

R �0

B�z0etA

2U dt � 2 R �0 t�R t0

B�esAf

2U ds�+ 2� kB�z0k2U� � 2

R �0

B�esAf

2Uds+ 2� kB�z0k2U

� � 3 kB�k2L(X;U) kfk2 + 2� kB�z0k2U

� � 3 kB�k2L(X;U) k(A� iw) z0k2 + 2� kB�z0k2U :

On a ainsi obtenu linégalité fréquentielle annoncée (2:10), avec � = k2�=max�� 3 kB�k2L(X;U) ; 2�

�:

Réciproquement, supposons (2:10) satisfaite. Daprès le lemme ci-dessous, on a pour

toute fonction � 2 C1 (R) et tout élément z0 2 D (A) :ZR

z0etA

2 ��2 (t)� :�2 (t)� dt � ZR

B�z0etA

2U �2 (t) dt: (2.11)Étant donnés � > 0 et une fonction non nulle 2 C1 (R) à support compact dans ]0; 1[,

posons � (t) = (t=�) : Alors :

ZR

B�z0etA

2U �2 (t) dt � k k2L1(R) Z �0

B�z0etA

2U dt: (2.12)Et comme etA est unitaire, on a :RR

z0etA

2 ��2 (t)� :�2 (t)� dt = kz0k2 RR ��2 (t)� :�2 (t)� dt= kz0k2

R �0

�� 2 (t=�)� (1=� 2)

:

2(t=�)

�dt

= kz0k2�� k k2L2(0;1) � (1=�)

:

2L2(0;1)

�� kz0k2 :

Où lon a choisi � assez grand pour obtenir la dernière inégalité.



Linégalité (2:8) recherchée sobtient alors simplement en injectant la dernière inégalité et

(2:12) dans (2:11) :

Lemme 2.4

Supposons linégalité (2:10) satisfaite pour une certaine constante � > 0: Alors pour toute

fonction � 2 C1 (R) à support compact et tout élément z0 2 D (A) ; on a :ZR

z0etA

2 ��2 (t)� :�2 (t)� dt � ZR

B�z0etA

2U �2 (t) dt:Preuve

Étant donné � 2 H1 (R) et z0 2 D (A), posons

z (t) = z0etA, Z (t) = � (t) z (t) et f (t) =

:

Z (t)� AZ (t) = :� (t) z (t) :

Par application de la transformation de Fourier, on a :

bf (w) = (iw � A) bZ (w) ; 8w 2 R:En appliquant linégalité (2:10) à z0 = bZ (w) 2 D (A), on obtient après une intégration en

w :

�

ZR

bZ (w)

2 dw � ZR

bf (w)

2 dw + ZR

B� bZ (w)

2Udw;

Par linégalité de Parseval on obtient :

�

ZRkz (t)k2 �2 (t) dt �

ZRkz (t)k2

:

�2 (t) dt+

ZRkB�z (t)k2U �2 (t) dt:

Donc la preuve est ainsi complet.

2.3 Caractérisation spectrale de la contrôlabilité

Il est clair que le critère de Hautus des vecteurs propres est une condition nécessaire de

contrôlabilité exacte pour les systèmes linéaires de dimension innie (voir Proposition 2.2). En

revanche, nous verrons que ce critère ne su¢ t plus à sassurer lexistence de la borne inférieure.

2.3. Caractérisation spectrale de la contrôlabilité 43


2.3.1 Cas avec gap

Théorème 2.5

Soient A un opérateur anti-adjoint diagonalisable dun espace de Hilbert X et B 2 L (U;X)

un opérateur de contrôle.

Soit (�n)n2N une famille orthonormée de fonctions propres de A associés aux valeurs propres

(i�n)n2N : On suppose que la suite de valeurs propres vériée une condition de gap uniforme :

9 > 0; j�n � �mj � ; 8n;m 2 N; n 6= m: (3.1)

Alors, le système (A;B) est exactement contrôlable si et seulement sil existe � > 0 t.q. pour

toute fonction propre � de A; on a :

kB��kU � � k�k : (3.2)

Preuve

Daprès le Théorème 2.4, le système (A;B) est exactement contrôlable si et seulement sil

existe une constante � > 0 t.q. :

k(iwI � A) z0k2 + kB�z0k2U � � kz0k2 ; 8w 2 R; 8z0 2 D (A) : (3.3)

Si (A;B) est exactement contrôlable, alors on obtient immédiatement que le critère spectral

(3.2) est satisfait en appliquant (3.3) avec w valeur propre de A et z0 fonction propre associée à

w:

Inversement, supposons que (3.2) vériée et que (3.3) ne lest pas. Alors il existe une suite de

réels (wn)n2N et une suite de données initiales (zn0 )n2N ; t.q. :



zn0 =Xm2N

cnm�m 2 D (A) ; cnm 2 C;8n 2 N:

kzn0 k2 =

Xm2N

jcnmj2 = 1; 8n 2 N: (3.4)

k(iwI � A) zn0 k2 =

Xm2N

ji (�m � wn) cnmj2 �! 0: (3.5)

kB�zn0 k2U �! 0: (3.6)

8n 2 N; on introduit lunique entier m (n) 2 N t.q. :

��wn � �m(n)�� = infm2N

jwn � �mj :

Et on notera que par la condition de gap uniforme (3:1), on a :

jwn � �mj �

2; 8m 2 N;m 6= m (n) ;8n 2 N: (3.7)

On décompose alors la suite de données initiales en zn0 = Zn0 + �

n avec

Zn0 = cnm(n)�m(n) et �

n =Xm2N;

m6=m(n)

cnm�m:

Par les relations (3:5) et (3:7), on obtient :

k�nk2 =Xm2N;

m6=m(n)

jcnmj2 �! 0; (3.8)

et donc, par (3:4), on a : kZn0 k �! 1:



Dautre part, par la continuité de B� et les relations (3:6) et (3:8) ; on a :

kB�Zn0 kU = kB�zn0 �B��nkU �! 0:

Les deux dernières relations montrent que la suite (Zn0 )n2N est une suite de fonctions propres

qui contredit le critère spectral (3:2) :

Les systèmes conservatifs de types ondes (système dordre 2) constituent un cas particulier

important.

Soient H; U deux espaces de Hilbert respectivement munis des normes k:k ; k:kU . Soient

A0 : D (A0) �! H un opérateur auto-adjoint déni positif et B0 2 L (U;X) :

On considère le système suivant :8>>>>>:::w (t) + A0w (t)

w (0):w (0)

=

=

=

B0u (t) ;

w0;

w1:

(3.9)

On peut réécrire le système (3:9) sous la forme (2:3) dun système contrôlé du premier ordre,

avec :

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

z =

24 w:w

35 ; z0 =24 w0w1

35 ;X = D

�A

120

��H; D (A) = D (A0)�D

�A

120

�;

A =

24 0 I�A0 0

35 : D (A) �! X;B =

24 0B0

35 2 L (U;X) :En munissant X de la norme :

24 '

35

2

=

A 120 '

2

H+ k k2H :



On vérie aisément que A déni un opérateur anti-adjoint :

8

24 '1 1

35 ;24 '2 2

35 2 D (A) = D (A�) : *A24 '1 1

35 ;24 '2 2

35+ = �*24 '1 1

35 ; A24 '2 2

35+ :On obtient alors la caractérisation spectrale suivante de la contrôlabilité exacte du système

dordre 2 (3:9).

Proposition 2.5

Soient A0 : D (A0) �! H un opérateur auto-adjoint déni positif diagonalisable et B0 2

L (U;X) un opérateur de contrôle. Soient (�n)n2N� la suite croissante des valeurs propres de A120

et (�n)n2N� une suite de fonctions propres correspondante, formant une base orthonormée de H.

On suppose que la suite (�n)n2N� vériée une condition de gap uniforme :

9 > 0; �n+1 � �n � ; 8n 2 N�:

Alors, le système (A;B) est exactement contrôlable si et seulement sil existe � > 0 t.q. pour

toute fonction propre � de A120 ; on a :

kB��kU � � k�k :

2.3.2 Cas sans gap

Théorème 2.6

Soient A un opérateur anti-adjoint diagonalisable dun espace de Hilbert X et B 2 L (U;X) un

opérateur de contrôle. Soit (�n)n2N une famille orthonormée de fonctions propres de A associées

aux valeurs propres (i�n)n2N (N étant un ensemble dénombrable).



Pour tout w 2 R et tout " > 0; on pose :

J" (w) = fm 2 N ; j�m � wj � "g :

Alors, le système (2; 3) est exactement contrôlable si et seulement si lune des assertions

équivalentes suivantes est satisfaite :

1. Il existe " > 0 et � > 0 t.q. 8w 2 R et tout z =X

m2J"(w)

cm�m :

kB�zkU � � kzk :

2. Il existe " > 0 et � > 0 t.q. 8n 2 N et tout z =X

m2J"(�n)

cm�m :

kB�zkU � � kzk :

Théorème 2.7

Soient A0 : D (A0) �! H un opérateur auto-adjoint positif dinverse borné et à résolvante

compacte. Étant donné lopérateur de contrôle B0 2 L (U;X), on considère le système suivant :8>>>>>:::w (t) + A0w (t)

w (0):w (0)

=

=

=

B0u (t) ;

w0;

w1:

(3.10)

On note (�n)n2N� la suite croissante constituée par les valeurs propres de A120 et (�n)n2N�

une suite orthonormée (dans H) de fonctions propres associées. 8w > 0 et 8" > 0; on dénit

lensemble

J" (w) = fm 2 N� ; j�m � wj < 0g :

Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. Le système (3:10) est exactement contrôlable.



2. Il existe � > 0 t.q. 8' 2 D (A0) et 8w > 0, on a :

�w2 � A0�'

2H + kwB�0'k2U � � kw'k2H :3. Il existe " > 0 et � > 0 t.q. 8w > 0 et tout ' =

Xm2J"(w)

cm�m, on a :

kB�0'kU � � k'kH :

4. Il existe " > 0 et � > 0 t.q. 8n 2 N� et tout ' =X

m2J"(�n)

cm�m, on a :

kB�0'kU � � k'kH :

2.4 Exemples dapplications

2.4.1 Equation des ondes 1D

On sintéresse ici à la contrôlabilité exacte de léquation des ondes4 dans = (0; �) par un

contrôle interne agissant sur un sous-intervalle O = [a; b] arbitraire de :

En dautre terme, si 1O désigne la fonction caractéristique de O, alors on considère8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@2w@t2(x; t)� @2w

@x2(x; t)

w (x; 0)

@w@t(x; 0)

w (0; t)

w (�; t)

=

=

=

=

=

1O (x)u (x)

w0 (x)

w1 (x)

0

0

x 2 (0; �) ; t 2 (0; �)

x 2 (0; �)

x 2 (0; �)

t 2 (0; �)

t 2 (0; �) :

(4.1)

4 léquation des ondes est léquation générale qui décrit la propagation dune onde, qui peut être représentéepar une grandeur ou vectorielle.

2.4. Exemples dapplications 49


Il est clair que ce système sécrit sous la forme :

8>>>>>:::w (t) + A0w (t)

w (0):w (0)

=

=

=

B0u (t) ;

w0;

w1;

si lon introduit les notations suivantes :

� A0 est lopérateur de H = L2 (0; �) de domaine D (A0) = H2 (0; �) \H10 (0; �) t.q. :

A0' = �d2'

dx2;8' 2 D (A0) :

� U = L2 (O) ; lopérateur de contrôle B0 2 L (U;H) est déni par :

B0u = 1Oeu; 8u 2 U;où eu désigne le prolongement de u par 0, donc eu 2 H. Alors ladjoint de B0 est déni par :

B�0' = 'jO; 8' 2 H:

On vérie aisément que A0 est auto-adjoint, positif, et que

D�A

120

�= H10 () ;

et que les valeurs propres de A120 sont :

�p = p; 8p 2 N�:

Un système orthonormé (dans H) de fonctions propres est donné par :

'p (x) =

r2

�sin (px) , 8p 2 N�;8x 2 :

La contrôlabilité exacte du système (4.1) est vériée si et seulement si la suite�

B�0'p

U�p2N�est



bornée inférieurement par une constante � > 0: Or :

B�0'p

2U =

'p

2L2(O) = 2�Z ba

sin2 (px) dx:

Le lemme ci-dessous assure lexistence de la constante �, et donc le système (4:1) est exacte-

ment contrôlable.

Lemme 2.5

Étant donné a 6= b, il existe une constante � > 0 t.q. :

Z ba

sin2 (px) dx � �; 8p 2 N�:

Preuve

CommeR basin2 (px) dx = 1

2

R ba(1� cos (2px)) dx; et

limp!+1

Z ba

sin2 (px) dx =b� a2

:

Alors le résultat annoncé en découle immédiatement.

2.4.2 Equation des plaques

On sintéresse au contrôle de léquation des plaques en 1D. Soit le système suivant :8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@2w@t2(x; t) + @

4w@x4(x; t)

w (x; 0)

@w@t(x; 0)

w (0; t) = w (�; t)

@2w@x2(0; t) = @

2w@x2(�; t)

=

=

=

=

=

1O (x)u (x)

w0 (x)

w1 (x)

0

0

x 2 (0; �) ; t 2 (0; �)

x 2 (0; �)

x 2 (0; �)

t 2 (0; �)

t 2 (0; �) :



Il est clair que ce système sécrit sous la forme :

8>>>>>:::w (t) + A0w (t)

w (0):w (0)

=

=

=

B0u (t) ;

w0;

w1;

si lon introduit les notations suivantes :

� A0 est lopérateur de H = L2 (0; �) de domaine :

D (A0) =

�' 2 H4 (0; �) ; ' (0) = ' (�) = d

2'

dx2(0) =

d2'

dx2(�) = 0

�;

t.q. :

A0' =d4'

dx4;8' 2 D (A0) :

� U = L2 (O) ; lopérateur de contrôle B0 2 L (U;H) est déni comme dans lexemple précé-

dent par :

B0u = 1Oeu; 8u 2 U;où eu désigne le prolongement de u par 0, donc eu 2 H. Alors ladjoint de B0 est déni par :

B�0' = 'jO; 8' 2 H:

Mais cette fois les valeurs propres de lopérateur A120 sont :

�p = p2; 8p 2 N�:

Avec un système orthonormé (dans H) de fonctions propres le même que précédemment, à

savoir les fonctions

'p (x) =

r2

�sin (px) , 8p 2 N�;8x 2 :

Par conséquence, on est en présence dun spectre ayant un gap uniforme, et le même raison-

nement que ci-dessus montre que lon a bien contrôlabilité exacte de léquation des plaques.



2.4.3 Equation des plaques dans un carré

Soit le carré (0; �)� (0; �) et O � le rectangle [a; b]� [0; �], avec 0 � a < b � �:

On note 1O la fonction caractéristique de O et on considère le problème de contrôle suivant :8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

@2w@t2(x; t) +42w (x; t)

w (x; t)

4w (x; t)

w (x; 0)

@w@t(x; 0)

=

=

=

=

=

1O (x)u (x)

0

0

w0 (x)

w1 (x)

x 2 ; t � 0;

x 2 @; t � 0;

x 2 @; t � 0;

x 2 ;

x 2 :

(4.4)

Le système (4:4) sécrit sous la forme abstraite dordre 2 (3:9) si lon introduit les espaces et

les opérateurs suivants :

�A0 est lopérateur deH = L2 () de domaineD (A0) = f' 2 H4 () \H10 () : 4 ' = 0 sur @g

t.q. :

A0' = 42'; 8' 2 D (A0) :

� Si U = L2 (O) ; alors lopérateur de contrôle B0 2 L (U;H) est déni par :

B0u = eu 1O; 8u 2 U;où eu désigne lextension de u par 0, donc eu 2 H. Alors ladjoint de B0 est déni par :

B�0' = 'jO;8' 2 D�A

120

�:



� Lopérateur A0 est auto-adjoint dénit positif et

D�A

120

�= H2 () \H10 () ;

avec

k'k212=

Z

j4' (x)j2 dx:

Les valeurs propres de A120 sont :

�p;q = p2 + q2; 8p; q 2 N�:

Une famille orthonormée de fonctions propres associées (dans H) est :

'p;q (x) =2

�sin (px1) sin (qx2) ; 8p; q 2 N�;8x = (x1; x2) 2 :

Daprès le Théorème 2.7, le système (4:4) est exactement contrôlable si et seulement sil existe

"; � > 0 t.q. 8p0; q0 2 N�;8' =X

(p;q)2J"(p0;q0)

cp;q'p;q :

kB�0'kU � � k'kH ;

avec

J" (p0; q0) = fp; q 2 N� : j�p;q � �p0;q0j < "g :

Pour " = 1; on a :

J" (p0; q0) =�p; q 2 N� : p2 + q2 = p20 + q20

:

Dautre part, on a :

kB�0'k2U =

ZOj' (x)j2 dx =

X(p;q)2J"(p0;q0)

X(m;n)2J"(p0;q0)

cp;qcm;n

Z ba

Z �0

'p;q (x)'m;n (x) dx:


Lorthogonalité de la famille fsin (nx)gn2N� dans L2 (0; �) montre que dans la somme sur

(m;n) ci-dessus, on a nécessairement n = q; donc m = p.

Par conséquent, on a :

kB�0'k2U =

2

�

X(p;q)2J"(p0;q0)

jcp;qj2Z ba

sin2 (px1) dx1:

Daprès le Lemme 2.5, on a : 9� > 0 t.q.

kB�0'k2U � �

X(p;q)2J"(p0;q0)

jcp;qj2 = � k'k2H :

Ce qui montre que le système (4:4) est exactement contrôlable.

55

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: ملخص

الثابتة )احملافظة( يف ة اخلطية ذات الطاقةمراقبة األنظم امكانية دراسة اهلدف من هذه املذكرة هو تمدنا لى معيار جوتيستنتي. من جل قحيي هذا اهلدف ا املالبعد الغري

.األنظمة اخلطية، مراقبة، معيار جوتيس :الكلمات املفتاحية

Résumé:

L’objectif de ce mémoire est d’étudier la contrôlabilité des systèmes linéaires à énergie constante (conservatifs) en dimension infinie. Pour atteindre cet objectif, nous avons adopté le critère de Hautus. Mots clés: Systèmes linéaires, Contrôlabilité, Critère de Hautus.

Abstract:

The objective of this thesis is to study the controllability of linear systems with constant energy (conservative) in infinite dimension. To achieve this objective, we have adopted the Hautus criterion.

Keywords: Linear systems, Controllability, Hautus criterion. 2010 Mathematics subject classification: 35K05, 35K15, 35K20.

contrôle des systèmes linéaires conservatifs en dimension...

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