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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE L’ARBI BEN M’HIDI D’OUM EL BOUAGHI INSTITUT DES SCIENCES TECHNOLOGIQUES D’AIN BEIDA DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE Option : Construction mécanique Mémoire de Fin d'Etudes En vue de l’obtention du diplôme : MASTER Thème : Présenté par : Encadreur : Rahim Med Hamza Pr MAHFOUDI Chawki Soutenu le : 27 Juin 2018 Année universitaire : 2017 2018 Contribution à l’étude conceptuelle et dynamique du robot Ortho-glide

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Page 1: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE L’ARBI BEN M’HIDI D’OUM EL BOUAGHI

INSTITUT DES SCIENCES TECHNOLOGIQUES D’AIN BEIDA

DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

Option : Construction mécanique

Mémoire de Fin d'Etudes

En vue de l’obtention du diplôme :

MASTER

Thème :

Présenté par : Encadreur :

Rahim Med Hamza Pr MAHFOUDI Chawki

Soutenu le : 27 Juin 2018

Année universitaire : 2017 – 2018

Contribution à l’étude conceptuelle et dynamique du robot

Ortho-glide

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REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier tout d’abord ALLAH le tout puissant qui

m’a donné, durant toutes ces années, la santé, le courage et la foi pour

arriver à ce jour.

Je tenue à remercier profondément mon encadreur

MrMAHFOUDI CHAWKI pour ses encouragements, son aide, ses

Connaissances, son savoir et surtout ses conseils.

Je remercie également mes professeurs pour la qualité de

l’enseignement

Qu’ils m’ont prodigué au cours de ces cinq ans passées à l’université de

L’ARBI BEN M’HIDI D’OUM EL BOUAGHI

Enfin un grand merci tout spécial à ma famille, à mes parents qui

M’ont permis de poursuivre mes études, à mon frère et ma sœur.

Je tiens à remercier chaleureusement

Djeffal selman et Sahel Med Amine qu’ils sont toujours présents à

m’aider .

MERCI

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Dédicace

Avant toute chose je remercie Dieu le tout puissant de

m'avoir donné le courage et la patience pour accomplir ce modeste travail.

Je dédie ce modeste travail :

Aux deux êtres qui me sont les plus chères au monde, qui sont ma raison d'être et de vivre; ma mère et mon père.

Que Dieu les garde toujours auprès de moi.

A ma très chère sœur Saadia et son marie Rabah , et ses petits Alli & Yousef.

A mon très cher frère Tarek et ca femme Wahiba.

A mes tantes et oncles.

A mes cousins et cousines.

A mes meilleurs amis.

A Pr Mahfoudi Chawki.

A mes enseignants et professeurs.

Rahim Med Hamza

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Nomenclature

ddl Degrés de liberté n Nombre de corps de la structure articulée Ci Corps i Ri Repère lié au corps Ci R0 Repère lié à la base RB Repère lié au cardan RP Repère lié à la plate-forme Oi Origine du repère Ri associé à la liaison liée au corps Ci Op Origine du repère Rp liée à la plate-forme iTj Matrice de transformation homogène de Ri à Rj iA j Matrice d’orientation associé à iTj iPj Vecteur de position associé à iTj R Matrice d’orientation de RP dans R0 Ѱ, ϕ, δ Les angles de rotation de RP dans R0 Px0, Py0, Pz0 Coordonnées de l’origine du repère RP dans R0 MGD Modèle Géométrique Direct αj, dj, Ѳj, rj Paramètre de Denavit-Hartenberg pour une structure ouverte simple q Vecteur des coordonnées articulaires σj Variable binaire CѲ cos (Ѳ) SѲ sin (Ѳ) C2i cos(q2) S2i sin(q2) C3i cos(q3) S3i sin(q3) Ca(j) Corps antécédent du corps Cj CG Centre de Gravité du corps αj, dj, Ѳj, rj, ϒj, bj Paramètre de Khalil-kleifinger pour une structure arborescente Ii Longueur du segment i MGI Modèle Géométrique Inverse MCD Modèle Cinématique Direct MCI Modèle Cinématique Inverse ou p Vecteur de vitesse articulaires ou pp Vecteur des accélération articulaires p Vecteur de vitesse de la plate-forme vp Vecteur de vitesse linéaire de la plate-forme wp Vecteur de vitesse angulaire de la plate-forme pi Vecteur de vitesse du point Pi lié à la chaine cinématique i vɜi Vecteur de vitesse linéaire du point Pi lié à la chaine cinématique i Jp Matrice jacobienne de la plate-forme par rapport au repère R0 Jɜi Matrice jacobienne de la chaine cinématique i par rapport au repère R0 LK,n Vecteur d’origine Ok et d’extrémité On MDD Modèle Dynamique Direct MDI Modèle Dynamique Inverse (t) (t) (t) Evolution de la position la vitesse l’accélération articulaire dans le temps Гi Couples des articulations de la chaine cinématique i Hi Vecteur contenant les éléments des forces inertiels, de coriolis, centrifuge et de gravité fi Forces de réaction des chaines cinématique sur la plate-forme ◦Fp Forces et moments appliqués sur la plate-forme Fs Vecteur de frottement sec Fv Vecteur de frottement visqueux Mp Masse de la plate-forme Ip Matrice d’inertie de la plate-forme dans le repère R0 ◦MSp Premier moment de la plate-forme dans le repère R0

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M(i) Masse des corps i Iɜ Matrice d’identité x Symbole du produit vectoriel g Accélération du pesenteur Cg vecteur de centre de graviter de plate-forme

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Liste des figures

Figure I.1 Architectures de robot…………………………………………………………………………………………………………. 04 Figure I.2 Le premier hexapode octaédrique à sa naissance en 1957 et peu avant son transfert dans un

musée en 2000 (dunlop tyres)…………………………………………………............................................ 05

Figure I.3 Le premier Héxapode octaédrique utilisé dans un simulateur de vol, construit autour de 1965 (klaus cappel)………………………………………………………………………………………………………………..

06

Figure I.4 Exemple d’application pour un robot à 2 ddl............................................................................ 07 Figure I.5 Exemple d’application utilisant des mécanismes à 3ddl……………………………………………………….. 08 Figure I.6 Robot Delta à 3 degrés de liberté…………………………………………………………………………………………. 09 Figure I.7 Représentation du Delta à 4 ddl (ABB)…………………………………………………………………………………. 09 Figure I.8 Un robot hybride découplé composé de deux robots parallèles mis en série……………………….. 10 Figure I.9 Un robot hybride à 6 ddl………………………………………………………………………………………………………. 10 Figure II.1 Architecture de l'Ortho-glide………………………………………………………………………………………………. 13 Figure II.2 Description du robot Ortho-glide…………………………………….…………………………………………………… 13 Figure II.3 Placement des repères sur la chaîne cinématique i……….……………………………………………………. 14 Figure II.4 Repère de la base R0 et repère de la plate-forme RP…….……………………………………………………… 15 Figure II.5 Paramètres géométriques pour une structure avec arborescence……………………………………….. 16 Figure II.6 Recherche des équations géométriques pour le MGI de la chaîne cinématique i……………….. 23 Figure II.7 Trajectoire Hypocycloïde suivie par l’ortho-glide………………………………………………………………….. 25 Figure II.8 Présentation de la trajectoire suivit par le robot Ortho-glide……………………………………………….. 25 Figure II.9 déplacement suivant l’axe X…………………………………………………………………………………………………. 26 Figure II.10 déplacement suivant l’axe Y…………………………………………………………………………………………………. 26 Figure II.11 déplacement suivant l’axe Z…………………………………………………………………………………………………. 26 Figure II.12 coordonnées articulaires de la 1ere chaine………………………………………………………………………….. 27 Figure II.13 coordonnées articulaires de la 2éme chaine………………………………………………………………………… 27 Figure II.14 coordonnées articulaires de la 3éme chaine………………………………………………………………………… 27 Figure III.1 vitesse suivant l’axe X…………………………………………………………………………………………………………… 37 Figure III.2 vitesse suivant l’axe Y…………………………………………………………………………………………………………… 37 Figure III.3 vitesse suivant l’axe Z…………………………………………………………………………………………………………… 37 Figure III.4 vitesse articulaire de la 1ére chaine……………………………………………………………………………………… 38 Figure III.5 vitesse articulaire de la 2éme chaine……………………………………………………………………………………. 38 Figure III.6 vitesse articulaire de la 3éme chaine……………………………………………………………………………………. 38 Figure IV.1 Architecture de l'Ortho-glide………………………………………………………………………………………………. 40 Figure IV.2 Position quelconque du robot Ortho-glide dans l’espace……………………………………………………. 41 Figure IV.3 Présentation de la position du robot Ortho-glide pour les quatre vus………………………………… 41 Figure IV.4 Dessin d’ensembles……………………………………………………………………………………………………………… 42 Figure IV.5 Tige………………………………………………………………………………………………………………………………………. 43 Figure IV.6 Bras………………………………………………………………………………………………………………………………………. 44 Figure IV.7 Raccord……………………………………………………………………………………………………………………………..... 45 Figure IV.8 Chape………………………………………………………………………………………………………………………………….. 46 Figure IV.9 Chape…………………………………………………………………………………………………………………………………... 47 Figure IV.10 Bride…………………………………………………………………………………………………………………………………….. 48 Figure IV.11 Raccord……………………………………………………………………………………………………………………………...... 49 Figure IV.12 Plate Forme………………………………………………………………………………………………………………………….. 50 Figure IV.13 Vérin Moteur……………………………………………………………………………………………………………………….. 51 Figure IV.14 Outille………………………………………………………………………………………………………………………………..... 52 Figure IV.15 Guide Porte Outille ……………………………………………………………………………………………………………… 53 Figure IV.16 Pièce a Soudé…………………………………………………………………………………………………………………….. 54 Figure IV.17 Les paramètres d’inertiels du Tige par rapport au centre de gravité……………………………………. 55 Figure IV.18 Les paramètres d’inertiels du Bras par rapport au centre de gravité……………………………………. 56

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Figure IV.19 paramètres d’inertiels du Bride par rapport au centre de gravité………………………………………… 57 Figure IV.20 Les paramètres d’inertiels du Raccord par rapport au centre de gravité………………………………. 57 Figure IV.21 Figure IV.21:Les paramètres d’inertiels du Chape Par rapport au repère pR ……………….. 58

Figure V.1 Bilan des efforts au centre de gravité…………………………………………………………………………………… 63 Figure V.2 Forces extérieure appliquées au point P (à refaire)………………………………………………………………. 67 Figure V.3 Schéma du programme MATLAB(Simulink) utilisé pour la simulation du robot Ortho-

glide………………………………………………………………………………………………………………….………………….. 68

Figure V.4 Force de 1er vérin………………………………………………………………………………………………………………….. 70 Figure V.5 Force de 2eme vérin……………………………………………………………………………………………………………….. 70 Figure V.6 Force de 3eme vérin……………………………………………………………………………………………………………….. 70

Liste des Tableaux

Tableau II.1 : Paramètres géométriques du repère du 1er coprs de la chaine cinématiquei (pour i = 1 à 3)…. 17 Tableau II.2 : Tableau II.2 : Les 9 Paramètres géométriques de la chaine cinématique………………………………… 17

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Résumé

Le travail développé dans ce mémoire concerne la modélisation géométrique,

cinématique et dynamique d’un robot parallèle appelé Orto-glide [Gue03]. Ce type de robot

fait partie de la classe des robots rigide parallèles comportant des chaînes fermées

complexes. Nous présentons en premier lieu une étude détaillée sur les modèles

géométrique, cinématique. En deuxième lieu on propose une conception du robot sur le

logiciel solide-works permettant ainsi de recueillir les données inertielles nécessaire pour le

calcul des forces sur le robot par l’utilisation du formalisme de newton-euler. Les résultats de

la simulation obtenus par la réalisation d’un programme sur matlab-simulink confirment la

validité de la modélisation et la conception proposée.

Mots clés : Robots parallèle, Orto-glide, modélisation cinématique, dynamique, conception.

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Sommaire

Introduction générale……………………………………………………………….

1

Chapitre I : Etat de l’Art

I.1 Introduction……………………………………………………………………. 3

I.2 Constituants d'un robot…………………………………………………………. 3

I.3 la robotique parallèle :………………………………………………………….. 4

I.4 Caractéristiques d'un robot……………………………………………………… 6

I.5 Différents robots parallèles……………………………………………………... 7

I.5.1 Robot à deux degrés de liberté………………………………………………... 7

I.5.2 Robots a Trois degrés de liberté ..……………………………………………. 7

I.5.3 Robots a Quatre degrés de liberté……………………………………………. 9

I.6 Les robots hybrides……………………………………………………………... 10

1.7Conclusion……………………………………………………………………… 11

Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

II.1. Introduction………………………………………………………………… 12

II.2. Description du robot Ortho-glide…………………………………………….. 12

II.2.1. Le robot Ortho-glide………………………………………………………... 12

II.2.2. Données numériques……………………………………………………….. 18

II.3. Modélisation Géométrique…………………………………………………… 19

II.3.1. Modèle géométrique direct de la chaîne cinématique i…………………… 20

II.3.2 Modèle géométrique inverse de la chaîne cinématique i et du robot……….. 22

II.4 Application : suivi d’une trajectoire complexe dans l’espace par le robot

ortho-glide ………………………………………………………………………….

25

II.4.1 : formule mathématique de la trajectoire hypocycloïde……………………… 25

II.5 les déplacements de la plate forme selon les trois axes……………………….. 26

II.6 Les coordonnées articulaires des trois chaines………………………………. 27

II.7 Conclusion……………………………………………………………………. 28

Chapitre III : Modélisation cinematique du robot Ortho-glide

III.1 Introduction ……………………………………………………………….. 29

III.2 Définition de la Jacobienne………………………………………………… 29

III.2.1 Calcul de la matrice Jacobienne de base…………………………………… 29

III.2.2 Calcul de la matrice i

nJ…………………………………………………….

30

III.2.3 Calcul du modèle cinématique inverse (MCI)……………………………… 31

III.3 Application au robot ortho-glide…………………………………………….. 31

III.3.1 Modélisation cinématique…………………………………………………. 31

III.3.2 Modèle cinématique du robot………………………………………………. 36

III.4 les vitesses de déplacement de la plate forme selon les trois axes…………. 37

III.5 les vitesses articulaires (qp1,qp2,qp3)pour les trois chaine………………… 38

III.6 Conclusion………………………………………………………………… 39

Chapitre VI : Conception avec SolidWorks

IV.1 Introduction………………………………………………………………….. 40

IV.2 Robot Ortho-glide…………………………………………………………… 40

IV.3 Positionnement d’Ortho-glide sur l’logiciel (SolidWorks)………………….. 41

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IV.4 Conception des composants du corps d’Ortho-glide…………………………. 42

IV.5 Paramètres inertiels…………………………………………………………... 55

IV.6 Conclusion…………………………………………………………………… 59

Chapitre VI :L'etude Dynamique du robo Ortho-glide

V.1. Introduction………………………………………………………………… 60

V.2 Notation…………………………………………………………………….. 60

V.3 Le modèle dynamique inverse (MDI)…………………………………………. 61

V.3.1. Formalisme de Newton Euler……………………………………………… 62

V.4 Calcul du modèle dynamique inverse de la chaine cinématique i…………….. 66

V.4.1 Calcul 0fi en utilisant le modèle dynamique de la chaine cinématique i……. 66

V.4.2 dynamique de la plate-forme………………………………………………. 67

V.5 Résultats de l’application sur le robot ortho-glide……………………………. 69

V.6 conclusion……………………………………………………………………… 72

Conclusion générale……………………………………………….. 73

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Introduction générale

1

Introduction générale

La robotique est un ensemble de disciplines techniques (mécanique, électronique,

automatique et informatique) articulées autour d’un objectif et d’un objet communs. Cet

objectif est l’automatisation flexible de nombreux secteurs de l’activité, et l’objet est le robot,

sorte de machine universelle dont l’homme rêve depuis toujours [Fis 04].

Ces robots sont en train de révolutionner l’industrie moderne. Ils s’avèrent particulièrement

précieux dans de nombreuses applications industrielles, en particulier la manutention, la

peinture, la soudure, le contrôle et l’assemblage mécanique…etc.

Les robots industriels, tout comme les unités de fabrication modernes, ne sont autres que

des systèmes automatisés de haut niveau qui utilisent des ordinateurs comme partie intégrante

de leur chaîne d’asservissement. Ces systèmes sont des appareils où le mécanisme de

préhension, appelé manipulateur, simule les gestes d’un bras humain. Il possède donc des

articulations que l’on appelle, par analogie, épaule, coude ou poignet [Che09].

On peut dire que ce temps est l’ère de la robotique qui a investi beaucoup de domaines par

des différentes recherches scientifiques, ces domaines sont les suivants [Fis 04] :

- Le domaine de la production qui est caractérisé par la répétition des taches à accomplir,

la production de séries moyennes, meilleurs utilisation de la capacité de production, le

caractère pénible ou dangereux des opérations, la qualité du produit et la manutention.

-Le domaine de l’exploitation caractérisé par l’exécution des opérations d’accès difficile

comme l’exploitation forestière, la construction, les lignes électriques…et aussi le milieu

hostile ou dangereux pour l’homme comme le milieu sous marin, spatial….

-Le domaine de l’assistance individuelle aussi caractérisé par le remplacement de

l’homme dans les taches fatigante ou dangereuses exemple la robotique médicale permettant

d’améliorer les conditions de vie des personne handicapées…

Un robot manipulateur est constitué par deux sous-ensembles distincts, un organe terminal

(dispositif destiné à manipuler des objets) et une structure mécanique articulée (architecture

composée de plusieurs chaînes de corps rigides assemblés par des liaisons appelées

articulations). Les chaînes peuvent être soit ouvertes ou en série (tous les corps ont au plus

deux liaisons), arborescentes (au moins l’un des corps a plus de deux liaisons) ou fermées

(l’organe terminal est relié à la base du mécanisme par plusieurs chaînes).

Les robots les plus répondus et les plus connus sont les robots sériels qui sont composés

d’une chaîne cinématique ouverte. Ces manipulateurs sont capables d’atteindre un grand

espace de travail, mais ne peuvent garantir une grande précision quand à la position et

l’orientation de son organe terminale. En effet, les erreurs de positionnement et d’orientation

s’additionnent de la base à l’effecteur. Les manipulateurs sériels présentent aussi

l’inconvénient d’un faible rapport charge/poids, En effet, en plus du poids des membrures

s’ajoutent le poids des moteurs qui sont placés au niveau des articulations. D’un autre coté,

ces manipulateurs présentent des faiblesses au niveau de rigidité, vu que les membrures

supportent le poids des moteurs qui entraîne une déformation en flexion. Les manipulateurs

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Introduction générale

2

sériels ne devraient donc pas être conçus pour des applications nécessitantes une grande

vitesse, une grande rigidité et charge.

Les besoins en robotique sont, la précision qui est une exigence majeur pour beaucoup de

tâche (par exemple la fabrication), quant à la dynamique nous savons que les robots série ne

permettent pas d’effectuer des taches pour les quelles une rapidité de réaction est nécessaire.

Un autre point important est la notion de complaisance. D’une manière générale, si l’on

soumet l’organe terminal d’un manipulateur à un torseur de forces sa position subira de

légères variations : c’est le phénomène de complaisance. Donc certaines applications en

robotique nécessitent un manipulateur pour l’exécution des mouvements fins, qui doit être

doté d’une grande précision, et pouvoir manipuler une charge pouvant être élevée [Amo11].

Un autre manipulateur est en train de ce développer, ce sont est les manipulateurs

parallèles jouissent d’une grande précision, rigidité et rapport, charge/poids, en effet, les

membrures ne supportent pas les poids des moteurs ce qui améliore la rigidité et la précision,

en plus, et grâce à leur chaîne cinématique fermée, les erreurs de positionnement et

d’orientation ne s’additionnent pas mais s’annulent

Un manipulateur parallèle est un mécanisme à chaîne cinématique fermée, composé d’un

organe terminal possédant n degrés de liberté, souvent appelé « plate-forme », d’une base fixe

et de plusieurs chaînes cinématiques indépendantes reliant cette dernière à la plate-forme.

Chaque chaîne cinématique se compose de segments articulés et motorisée par un actionneur

à un degré de liberté qui peut être linéaire (prismatique) ou rotatif (rotoïde).

Parmi ces manipulateurs on trouve robot ortho-glide composée d’une plate-forme mobile

liée à une base par l’intermédiaire de 3chaînes cinématiques, chaque chaîne cinématique est

composée de huit articulations, (7 articulations rotoïdes passives), un vérin (une articulation

prismatique motorisée) [Gue03],[Wen02].

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Chapitre I : Etat de l’Art.

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

3

I.1 Introduction :

Un robot est un dispositif mécatronique (alliant mécanique, électronique et

informatique accomplissant automatiquement soit des tâches qui sont généralement

dangereuses, pénibles, répétitives ou impossibles pour les humains, soit des tâches plus

simples mais en les réalisant mieux que ce que ferait un être humain.

le terme robot apparaît pour la première fois dans la pièce de théâtre (science-fiction) de

l'auteur Karel Čapek : R. U. R. (Rossum's Universal Robots). Le mot a été créé par son

frère Josef à partir du mot tchèque « robota » qui signifie « travail, besogne, corvée ».

Les premiers robots industriels apparaissent, malgré leur coût élevé, dans le début des

années 1970. Ils sont destinés à exécuter certaines tâches répétitives, éprouvantes ou toxiques

pour un opérateur humain : peinture ou soudage des carrosseries automobiles. Aujourd'hui,

l'évolution de l'électronique et de l'informatique permet de développer des robots plus précis,

plus rapides ou avec une meilleure autonomie. Industriels, militaires ou spécialistes

chirurgicaux rivalisent d'inventivité pour mettre au point des robots assistants les aidant dans

la réalisation de tâches délicates ou dangereuses. Dans le même temps apparaissent des robots

à usages domestiques : aspirateur, tondeuses, etc. La robotique possède de nombreux domaines

d'application. Les robots ont été installés dans les industries, ce qui permet de faire des tâches

répétitives avec une précision constante. À la suite de l'évolution des techniques on retrouve

des robots dans des secteurs de pointe tels que le spatial, médecine, chez les militaires.

Depuis quelques années on les retrouve même à domicile.

I.2 Constituants d'un robot :

Un robot manipulateur est constitué par deux sous-ensembles distincts, un organe

terminal (dispositif destiné à manipuler des objets) et une structure mécanique articulée

(SMA) (architecture composée de plusieurs chaînes de corps rigides assemblés par des

liaisons appelées articulations). Les chaînes peuvent être soit ouvertes ou en série (tous les

corps ont au plus deux liaisons), arborescentes (au moins l’un des corps a plus de deux

liaisons) ou fermées (l’organe terminal est relié à la base du mécanisme par plusieurs

chaînes). Ces différentes structures sont montrées dans la Figure I.1 [Amo11].

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

4

Figure I.1: Architectures de robot

I.3 la robotique parallèle :

Un robot parallèle est un mécanisme dont l'architecture lui confère des propriétés

remarquables dont la définition scientifique, est un Mécanisme en chaîne cinématique fermée

dont l'organe terminal est relié à la base par plusieurs chaînes cinématiques indépendantes.

En quelques sortes, l'organe terminal ou effecteur — partie qui agit sur l'environnement,

l’outil est relié au bâti par plusieurs bras, chaque bras étant une « chaîne cinématique »

(association de plusieurs pièces articulées entre elles). Sa mobilité est donc restreinte,

puisqu'elle est limitée par les divers bras ; par contre, cela confère une plus grande résistance

et précision, puisque les efforts sont répartis.

Le plus répandu parmi les mécanismes parallèles est connu sous des dénominations

comme « hexapode », « plate-forme de Gough-Stewart », « plateforme synergétique ». Il peut

se présenter sous différentes formes mais comporte en général 6 actionneurs identiques dont

le couplage assure les qualités du système : 6 degrés de liberté dans les déplacements c’est-à-

dire x, y, z, tangage, lacet et roulis.

le premier l’hexapode octaédrique afin de tester des pneus en appliquant des charges

(Figure I.2)

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

5

Figure I.2 : Le premier hexapode octaédrique à sa naissance en 1957

et peu avant son transfert dans un musée en 2000 (dunlop tyres)

Avant l’ère de l’information, le premier inventeur n’était pas nécessairement celui qui

rend son invention populaire. En 1965, le célèbre article de Stewart a été publié. Dans cet

article, M. Stewart décrit essentiellement le croquis d’une variante de l’hexapode et propose

qu’elle soit utilisée comme simulateur de vol. Mais cette variante est très loin de la

géométrie de l’octaèdre. Puisque cet article a eu un impact majeur sur le monde académique

et déclenché la recherche sur la robotique parallèle, les hexapodes octaédriques sont souvent

appelés plate- forme de Stewart. Mais ironiquement, ce n’est pas Stewart non plus qui est

le pionnier de l’industrie des simulateurs de vol. En 1962, le Franklin Institute Research

Laboratories aux États-Unis demande à son employé, l’ingénieur Klaus Cappel

(récemment décédé) d’améliorer rigidité d’un MAST avec sept cylindres. C’est en

essayant d’éliminer la redondance, et sans connaître les travaux du Dr. Gough, que M.

Cappel réinvente l’hexapode octaédrique (Figure I.3).

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

6

Figure I.3 : Le premier héxapode octaédrique utilisé dans un simulateur de vol, construit autour de 1965 (klaus cappel)

En 1967, M. Klaus obtient un brevet américain pour son invention et l’utilisation de

son invention comme simulateur de mouvement. Les fabricants de simulateurs de vols

(Link et ensuite autres) ont immédiatement adopté la nouvelle architecture et pendant deux

décennies se sont conformé au brevet. Ainsi, c’est l’ingénieur Klaus Cappel qui est le

véritable pionnier qui a lancé l’industrie de la robotique parallèle. Après une quinzaine

d’années sans nouveaux développements, voilà qu’en 1983, le Pr Kenneth Hunt publie un

article qui propose une grande partie des architectures parallèles utilisé dans l’industrie

aujourd’hui. Ce qui suit, c’est un boom exponentiel de projets de recherches en robotique

parallèle. Parallèlement, plusieurs compagnies se sont lancées dans la production de robots

parallèles [Lad15].

I.4 Caractéristiques d'un robot

Un robot doit être choisi en fonction de l'application qu'on lui réserve. Voici quelques

paramètres à prendre, éventuellement, en compte :

La charge maximum transportable (de quelques kilos à quelques tonnes), à

déterminer

dans les conditions les plus défavorables (en élongation maximum).

L’architecture du SMA, le choix est guidé par la tâche à réaliser.

La répétabilité, ce paramètre caractérise la capacité que le robot a à retourner

vers un point (position, orientation) donné. La répétabilité correspond à

l'erreur maximum de positionnement sur un point prédéfini dans le cas de

trajectoires répétitives. En général, la répétabilité est de l’ordre de 0,1 mm

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

7

La vitesse de déplacement (vitesse maximum en élongation maximum),

accélération.

La masse du robot.

Le coût du robot.

La maintenance, …[Amo11]

Les robots parallèles se différencient principalement par le nombre de degré de liberté (ddl).

I.5 Différents robots parallèles

I.5.1 Robot à deux degrés de liberté :

Ce sont des robots simples utilisés dans les lignes de production lentes

ou Intermittentes, seuls deux ddl sont nécessaires : les translations suivant x et z

(architecture 2T). Dans l’exemple présenté à la Figure I.4.

Figure I.4 : Exemple d’application pour un robot à 2 ddl

I.5.2 Robots a Trois degrés de liberté :

Il y a quelque déférent types des robots à Trois degrés de liberté:

Les mécanismes 2T1R sont utilisés dans des applications dont lescaractéristiques sont

similaires au cas précédent (ligne très lente ou intermittente), maisl'objet à manipuler

demande à être orienté.

Les ddl de ces mécanismes doivent donc être deux translations en x et z et une rotation

autour de z. Un exemple de ce type d'application est présenté à la (Figure I.5a).

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

8

Le mécanisme 3T dans le cas d’applications rapides pour les quelles un suivi de

convoyeur (appelé « tracking ») est indispensable, l’organe terminal du robot doit

pouvoir se déplacer suivant les trois translations x, y, z. Un exemple de ce type

d’application est présenté à la Figure I.5b Le mécanisme 3T dans le cas d’applications

rapides pour les quelles un suivi de convoyeur (appelé «tracking ») est indispensable,

l’organe terminal du robot doit pouvoir se déplacer suivant les trois translations

x, y, z. Un exemple de ce type d’application est présenté à la (Figure I.5.b).

a) application nécessitant 2T1R b) application nécessitant 3T

Figure I.5 : Exemple d’application utilisant des mécanismes à 3ddl

Les robots parallèles présentent de nombreux avantages pour les tâches de pick-and-place

(prise et pose d’un objet), notamment grâce à leur surprenante vélocité. Ainsi le célèbre robot

Delta (Figure.6), avec ses trois degrés de liberté en translation, permet de manipuler un objet

dans les trois directions de l’espace avec des cadences de plusieurs Hertz sur de distances

de quelques centimètres voire dizaines de millimètres.

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

9

Figure I.6 : Robot Delta à 3 degrés de liberté

I.5.3 Robots a Quatre degrés de liberté :

Le Delta à quatre degrés de liberté Afin de répondre aux besoins des applications de

manipulation d’objets, l’architecture Delta, originalement pourvue de trois ddl, fut modifiée

afin d'y ajouter une quatrième mobilité. Ainsi, la rotation est obtenue en ajoutant une liaison

rotoïde à la plateforme dont la rotation est commandée à l'aide d'une chaîne cinématique de

type RUPU (Figure I.7).

Figure I.7 : Représentation du Delta à 4 ddl (ABB)

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

10

I.6 Les robots hybrides

Nous avons vu que les manipulateurs à structure ouverte avec des corps montés en

sérient des avantages et des inconvénients, leur avantage l’espace de travail, les inconvénients

de ces systèmes sont relativement lents dans leur réponse et peuvent manquer de rigidité.

Pour les manipulateurs parallèles ont un espace de travail réduit mais leur rigidité, la grande

vitesse et la précision est plus importante. L’idée des structures hybrides série-parallèle c’est

de combinais les avantages des deux structures parallèles et sérielles, la structure hybride

consistant à disposer en série des modules de structure parallèle. Parmi les réalisations de ce

genre de structures, on trouve le robot hybride de [Zhang] qui est constitué de deux

manipulateurs parallèles mis en série (Figure I.8), chaque manipulateur a 3 ddl, la plate-

forme inférieure et supérieure contrôlent respectivement la position et l’orientation de

l’effecteur. Ce type de manipulateur permet de découpler la position et l’orientation de

l’organe terminal. On trouve une autre structure similaire dans (Figure I.9).

Figure I.8 : Un robot hybride découplé composé de deux robots parallèles mis en série

Figure I.9 : Un robot hybride à 6 ddl

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Chapitre 1 : Etat de l’Art

11

I.7 Conclusion :

Dans ce chapitre nous avons présenté comment les robots parallèles sont développés depuis le

premier hexapode octaédrique de Gough-Stewart en 1947 pour tester les pneus en appliquant

des charges, en 1965 le célèbre article de Stewart décrit l’hexapode et propose qu’elle soit

utilisée comme simulateur de vol. Nous avons aussi cité les robots parallèles utilisés dans les

différents domaines en les classant selon les nombres des degrés de liberté, comme exemple :

- Les mécanismes à deux et trois degrés de liberté utilisée aux taches de pick-and-place

(prise et pose d’un objet).

- Le célèbre robot Delta créé en 1985 qui a révolutionné les robots parallèles moins de six

degrés de liberté et qui présente de nombreux avantages pour les tâches de pick-and place

Dans les trois directions (robot Delta de 3 ddl) et la manipulation des objets dans les trois

directions avec orientation (robot Delta de 4 ddl).

-Les structures hybrides série-parallèle qui combinent les avantages des deux structures

parallèles et sérielles [Amo11].

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Chapitre II : Modélisation géométrique

du robot ortho-glide.

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

12

II.1. Introduction

La conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles

mathématique tels que les modèles de transformation entre l’espace opérationnel (dans lequel

est définie la situation de l’organe terminal) et l’espace articulaire (dans lequel est définie la

configuration du robot).

On distingue parmi ces modèles :

- les modèles géométriques direct et inverse, qui expriment la situation de l’organe terminal

en fonction des variables articulaires du robot et inversement.

- les modèles cinématique direct et inverse, qui expriment la vitesse de l’organe terminal en

fonction des vitesses articulaires du robot et inversement.

La modélisation géométrique des robots existe depuis le début des années 1970 avec un

développement spécialement important dans les années 80. Il existe donc de nombreux outils

et formalismes mis au point dans le cadre de la modélisation des robots. Il faut toutefois noter

que la grande majorité des ouvrages sur la robotique ne prennent en compte que l’étude de la

modélisation des robots sériels, car ce sont les plus utilisés et les mieux maîtrisés dans le

monde industriel. Dans la première partie du chapitre, et comme les robots parallèles sont des

structures fermées, les chaînes cinématiques par rapport à la base forment une structure

arborescente et la chaîne cinématique est une structure ouverte simple. On décrit d’abord les

différentes descriptions géométriques telles que, la description géométrique d’une structure

ouverte

simple, la description géométrique d’une structure arborescente et la description géométrique

des structures fermées puis la description de la plate-forme de 3ddl.

II.2. Description du robot Orth-oglide

II.2.1. Le robot Ortho-glide

L'Ortho-glide est un robot parallèle à trois degrés de liberté en translation. Il est composé

d'une plate-forme mobile et de trois chaînes cinématiques identiques. Chaque chaîne est

composée d'un actionneur prismatique (P) liant la base à la chaîne (point Ai pour i = 1, 2, 3)

d'une articulation rotoïde (R), d'une articulation de type parallélogramme (Pa) et d'une

articulation rotoïde liant la chaîne à la plate-forme (figure II.1).

Le robot a une structure complexe avec 2 boucles spatiales et 3 boucles planaires.

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

13

La structure arborescente équivalente est obtenue en isolant la plate-forme et en coupant les

trois articulations passives q8i (i = 1, 2, 3) (figure II.2) :

Figure II.1 :Architecture de l'Ortho-glide

Figure II.2 :Description du robot Ortho-glide

Parce que son architecture se rapproche des machines standards d'architecture série PPP

(espace de travail Cartésien régulier et performances uniformes) et avec, en plus,les propriétés

des structures parallèles (inerties moins importantes et meilleures performances dynamiques)

l'Ortho-glide est dédié à l'usinage à grande vitesse. Son espace de travail est proche d'un cube

et ne possède aucune singularité à l'intérieur de cet espace. Il existe une configuration, appelée

position isotrope, où la matrice jacobéenne est isotrope avec tous ces facteurs d'amplification

de vitesse égaux à 1.

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

14

Figure II.3 :Placement des repères sur la chaîne cinématique i

Les axes des trois actionneurs se coupent au point K, qui sert d'origine pour le repère fixe

RK. Les axes XK, YK, ZK sont définis par les axes des trois actionneurs (q1i), respectivement

q12,q13, q11. Nous définissons également deux repères : le repère R0 fixe par rapport à la base

et le repère RP fixe par rapport à la plate-forme, respectivement d'origine A1 et P. Leurs axes,

respectivement

(X0, Y0, Z0) et (XP, YP, ZP), sont parallèles aux axes (Xk , Yk , Zk). De plus, nous introduisons

3 repères R0i d'origine Ai. Leurs axes sont définis de la manière suivante : l'axe z0i est le long

de l'axe de l'actionneur i et le plan (X0i, Z0i) est défini pour i = 1 à 3 respectivement par :

(A1, K, A2), (A2, K, A3), (A3, K, A2). La Figure II.4 indique l'emplacement de ces repères :

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

15

Figure II.4 : Repère de la base R0 et repère de la plate-forme RP

Le placement des repères d'une chaîne cinématique est indiqué sur la Figure II.3. On peut

remarquer que l'on utilise deux repères R8i et R9i, pour l'articulation coupée q8i. Les

paramètres géométriques nécessaires pour définir le repère du 1er corps de chaque chaîne

cinématique R1i, dans le repère de base du robot R0, sont donnés dans le Tableau II.1. Le

Tableau II.2 donne la description du reste de chaque chaîne cinématique : Les six paramètres

permettent de construire la matrice de passage iTj du repère Rj au repère Ri , cette matrice est

donnée par la relation suivante :

iTj= Rot(z, γj)×Trans(z, bj)×Rot(x, αj)×Trans(x,dj)×Rot(z, θj)×Trans(z,rj)

Pour le passage du repère Ri au repère Rj, on définit les 6 paramètres géométriques suivants

(figureII.5) :

- γj : angle entre xi et uj autour de l’axe zi

- bj : distance entre xi et uj le long de zj

- αj : angle entre les axes zi et zj est une rotation autour de uj

- dj : distance entre zi et zj le long de uj

- θj : angle entre les axes xi et uj correspondant à une rotation autour de zj

- rj : distance entre xi et uj le long de zj.

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

16

Figure II.5 :Paramètres géométriques pour une structure avec arborescence

i ij ji

j

1×3

A PT =

0 1

(II.1)

j j j j j j j j j j j j

ij j j j j j j j j j j j j

j j j j j

Cγ Cθ -Sγ Cα Sθ -Cγ Sθ -Sγ Cα Cθ Sγ Sα

A = Sγ Cθ +Cγ Cα Sθ -Sγ Sθ +Cγ Cα Cθ -Cγ Sα

Sγ Sθ Sα Cθ Cα

(II.2)

j j j j j

ij j j j j j

j j j

d Cγ + r Sγ Sα

P = d Sγ - r Cγ Sα

r Cα + b

(II.3)

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

17

C’est cette méthode qu’on va utiliser dans nos calculs car elle représente la forme générale de

la matrice de transformation qui décrit les robots aux structures ouvertes simples et s’étend

aux structures arborescente et fermée.

iJ iA(j ) jiμ jiσ

jiγ jib

ji jid

ji jir ji

l1 0 1 1 0 0 0 0 0 q11 0

l2 0 1 1 π/2 a π/2 0 0 -a+q12 0

l3 0 1 1 0 a π/2 0 π/2 -a+q13 0

Tableau II.1 : Paramètres géométriques du repère du 1er coprs de la chaine cinématique

i (pour i = 1 à 3)

iJ iA(j ) jiμ jiσ

jiγ jib

ji jid

ji jir ji

2i 1i 0 0 0 0 -π/2 0 q2i r2i 1

3i 2i 0 0 0 0 -π/2 0 q3i 0 1

4i 3i 0 0 0 0 0 D4i q4i 0 1

5i 4i 0 0 0 0 π/2 0 q5i r5i 1

6i 5i 0 0 0 0 0 D6i 0 0 1

7i 2i 0 0 0 7iΒ -π/2 0 q7i 0 1

8i 7i 0 0 0 0 0 D8i q8i 0 1

9i 4i 0 0 π/2 0 0 D9i 0 0 1

Tableau II.2 : Les 9 Paramètres géométriques de la chaine cinématique

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

18

On peut observer, sur la Figure II.3, les relations suivantes entre les paramètres géométriques,

pour i = 1 à 3 :

b7i = −2r2i

D9i = 2r2i

r5i= −r2i

D8i= D9i (II.4)

Le point terminal de chaque chaîne cinématique est le même. Il correspond à P, origine du

repère RP. La plate-forme n'ayant que 3 degrés de liberté en translation, il y a 3 variables

indépendantes (q1i, q2i et q3i) pour chaque chaîne cinématique i. En effet, on peut retrouver la

valeur des autres variables articulaires (q4i,q5i,q7i et q8i)à partir des équations de contrainte de

fermeture de boucle suivantes (pour i = 1 à 3) :

q7i= q3i

q8i= q4i= −q3i (II.5)

q5i= −q2i− /2

Le vecteur de gravité 0g exprimé dans le repère R0 est le suivant :

II.2.2. Données numériques :

Les valeurs théoriques des paramètres géométriques de chaque chaîne cinématique du

prototype du laboratoire sont (i = 1 à 3) :

D4i= 0.212m

D6i= 0.03m (II.6)

r2i= 0.04m

b = 0.1m

ai= 0.34m (II.7)

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

19

II.3. Modélisation Géométrique

Les notations suivantes seront utilisées :

0PP Vecteurs des coordonnées du point P exprimés dans le repère R0:

T0 0 0 0

p P,1 P,2 P,3P = P P P

(II.8)

0P0i : Vecteur des coordonnées du point Ai exprimés dans le repère R0:

T001P = 0 0 0

T T0 0 002 02,1 02,3 2 1P = P 0 P = a 0 a

(II.9)

T T0 0 003 03,2 03,3 3 1P = 0 P P = 0 a a

Le choix de l'emplacement du repère de base du robot au point Ai diminue le nombre de

coordonnées non nuls des vecteurs 0P0i (pour i=1 à 3) :

q : vecteur composé des positions des articulations indépendants de la chaine cinématique i :

T

i 1i 2i 3iq = q q q (II.10)

3i

π π- < q <

2 2

0Pp vecteurs des coordonnées du point P exprimées dans le repère R0 :

0 0 0 0

p P P,2 P,3P = P P P

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

20

II.3.1. Modèle géométrique direct de la chaîne cinématique i

Ce modèle donne les coordonnées cartésiennes du point P, exprimées dans le repère R0, en

fonction des variables articulaires indépendantes

(q1i, q2i, q3i pour i = 1 à 3). On calcule la matrice de transformation qui définit le repère R6i,

dont l'origine est l'extrémité de la chaîne cinématique i (point P), dans le repère de base du

robot R0. On parcourt une des branches du parallélogramme pour l'obtenir (Figure II3) :

0 0 1i 2i 3i 4i 5i

6i 1i 2i 3i 4i 5i 6iT = T T T T T T (II.11)

0 00 6i 6i

6i(1×3)

A PT =

0 1

(II.12)

Résultats obtenues par MATLAB :

En se basant de Tableau II.1 et Tableau II.2

Pour 0A61

syms q1 q2 q3 r2 D4 D6 q5 r5 B7 q7 D8 q8 D9 a

A61=[cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*sin(q2),-cos(-pi/2-

q2)*sin(q2)-sin(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2),0

0,0,cos(q3)^2+sin(q3)^2

-cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*cos(q2),sin(-pi/2-

q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-cos(-pi/2-q2)*cos(q2), 0 ];

simplify(A61)

Pour 0P61

P61 = [D4*cos(q2)*cos(q3)-D6*(sin(-pi/2-q2)*sin(q2)-cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2 +

cos(q2)*sin(q3)^2))

r2-D4*sin(q3)-r2*(cos(q3)^2+sin(q3)^2)

q1-D6*(cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)+sin(-pi/2-q2)*cos(q2))-

D4*cos(q3)*sin(q2)];

Pour 0A62

A62=[-cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2 + sin(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*cos(q2),sin(-pi/2-

q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2 + sin(q2)*sin(q3)^2)-cos(-pi/2-q2)*cos(q2),0

cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2 + cos(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*sin(q2),-cos(-pi/2-

q2)*sin(q2)-sin(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2),0

0,0,cos(q3)^2+sin(q3)^2];

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

21

Pour 0P62

P62=[q1-a-D6*(cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)+sin(-pi/2-q2)*cos(q2))-

D4*cos(q3)*sin(q2)

D4*cos(q2)*cos(q3)-D6*(sin(-pi/2-q2)*sin(q2)-cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2

+cos(q2)*sin(q3)^2))

a+r2-D4*sin(q3)-r2*(cos(q3)^2+sin(q3)^2)];

Pour 0A63

A63=[0,0,cos(q3)^2+sin(q3)^2

-cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*cos(q2),sin(-pi/2-

q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)-cos(-pi/2-q2)*cos(q2),0

cos(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2)-sin(-pi/2-q2)*sin(q2),-cos(-pi/2-

q2)*sin(q2)-sin(-pi/2-q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2),0];

Pour 0P63

P63=[r2-D4*sin(q3)-r2*(cos(q3)^2+sin(q3)^2)

q1-a-D6*(cos(-pi/2-q2)*(sin(q2)*cos(q3)^2+sin(q2)*sin(q3)^2)+sin(-pi/2-q2)*cos(q2))-

D4*cos(q3)*sin(q2)

a-D6*(sin(-pi/2-q2)*sin(q2)-cos(-pi/2-

q2)*(cos(q2)*cos(q3)^2+cos(q2)*sin(q3)^2))+D4*cos(q2)*cos(q3)];

d’ou:

0

61

0 1 0

A = 0 0 1

1 0 0

et

41 21 31

0

61 41 21

11 41 21 21 61

D C C

P = -D S

q - D S C + D

(II.13)

0

62

1 0 0

A = 0 1 0

0 0 1

et

2 12 42 22 32 62

0

62 42 22 22

2 42 32

-a + q - D S C + D

P = D C C

a - D S

(II.14)

0

63

0 0 1

A = 1 0 0

0 1 0

et

42 33

0

63 3 13 43 23 33 63

3 43 23 33

-D S

P = -a + q - D S C + D

a + D C C

(II.15)

Avec C2i, S2i, C3i et S3i désignent respectivement cos (q2i),sin (q2i),cos(q3i) et sin(q3i).

T

0 0 0 0 0 0 0

61 62 63 P p,1 p,2 p,3P = P = P = P = P P P (II.16)

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

22

Dans la relation (II.11) : 0T1i peut être décomposer en deux matrices de transformation pour les chaînes cinématiques

2 et 3 (on rappelle que R01 est confondu avec le repère de base du robot R0) :

0 0 0i

1i 0i 1iT = T T (II.17)

Les matrices de transformation du repère R0i dans le repère R0 pour i = 2 à 3, s'écrivent :

0 0

01 010

01

(1×3)

1 0 0 0

A P 0 1 0 0T = =

0 1 0 0 1 0

0 0 0 1

2

0 0

02 020

02

(1×3) 1

0 0 1 a

A P 1 0 0 0T = =

0 1 0 1 0 a

0 0 0 1

(II.18)

0 0

03 03 30

03

(1×3) 1

0 1 0 0

A P 0 0 1 aT = =

0 1 1 0 0 a

0 0 0 1

(II.19)

II.3.2 Modèle géométrique inverse de la chaîne cinématique i et du robot

Le modèle géométrique inverse de la chaîne cinématique i donne les variables articulaires

indépendantes (q1i,q2i et q3i) en fonction des coordonnées (0PP,1 ,

0PP,2 et

0PP,3) du point P

exprimées dans le repère R0. Il existe deux solutions à ce modèle mais une seule est accessible

physiquement.

On retrouve facilement ces relations à partir des expressions de 0P6i (pour i = 1 à 3) données

par les équations (II.1), (II.2) et (II.3). On obtient de manière séquentielle les variables

articulaires indépendantes des 3 chaînes cinématiques, de la façon suivante :

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

23

-1 3i3i

4i

-Δq = sin

D

Avec physiquement : 32 2iq

(II.20)

-1 22i

34i

-Δq = cos

Di

iC

avec physiquement : 2i

0 < q (II.21)

21 311i 1i 4i 6iq = Δ +S C D -D (II.22)

011 ,3

021 ,1

031 ,2

Δ = P

Δ P

Δ P

P

P

P

,

012 P,1 2

022 P,2

032 P,3 1

Δ = P

Δ = P

Δ = P -a

a

et

013 P,2 3

023 P,3 1

033 P,1

Δ = P

Δ = P

Δ = P

a

a

(II.23)

On peut remarquer que le modèle géométrique inverse des chaînes cinématiques peut se

déduire aussi de la Figure II.5, en utilisant des équations géométriques élémentaires :

Figure II.6 : Recherche des équations géométriques pour le MGI de la chaîne cinématique i

Page 37: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

24

A partir des relations (II.18), (II.19) et (II.20), on détermine le modèle géométrique inverse du

robot, qui donne les positions des actionneurs (q11,q12 et q13) en fonction des coordonnées

(0PP,1 ,

0PP,2 et

0PP,3 ) du point P [Gui03]

0P,3 31 21 41 61

110

12 P,1 32 22 42 62

013

P,2 33 23 43 63

P +C S D -Dq

q = P +a +C S D -D

q P +a +C S D -D

(II.24)

-1 031 P,2 41q = sin - P / D et -1 0

21 P,1 31 41q = cos P / C D

-1 032 P,3 1 42q = sin - P +a / D et -1 0

22 P,2 32 42q = cos P / C D (II.25)

-1 033 P,1 43q = sin - P +D et -1 0

23 P,3 1 33 43q = cos P -a / C D

avec physiquement 20 iq et 32 2

iq

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

25

II.4 Application : suivi d’une trajectoire complexe dans l’espace par le

robot ortho-glide :

II.4.1 : formule mathématique de la trajectoire hypocycloïde :

qx = α[(q+1)cos(t)-cos(q+1)]t

qy = α[(q+1)sin(t)-sin(q+1)]t

Avec :

qb

α : le rayon du cercle de base

: le rayon du cercle qui entoure le cercle de base b

q : lenombre du cercle qui entoure le cercle de base

Figure II.7 : Trajectoire Hypocycloïde suivie par l’ortho-glide

Figure II.8 : Présentation de la trajectoire suivit par le robot Ortho-glide

Page 39: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

26

II.5 les déplacements de la plate forme selon les trois axes :

Figure II.8 : déplacement suivant l’axe X

Figure II.9 : déplacement suivant l’axe Y

Figure II.10 : déplacement suivant l’axe Z

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Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

27

II.6 Les coordonnées articulaires des trois chaines

Figure II.11 : coordonnées articulaires de la 1ere chaine

Figure II.12 : coordonnées articulaires de la 2éme chaine

Figure II.13 : coordonnées articulaires de la 3éme chaine

On remarque que toutes les courbes représentées concordent exactement avec le suivi

de la trajectoire choisie, cela nous a permis la validation de la résolution du modèle

Géométrique inverse.

0 1 2 3 4 5 6 7 0.55

0.6

0.65

0.7 q

1 [m/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 1.6

1.7

1.8

1.9 q

2 [rad/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

les trois premières coordonnées sur la 3ème chaine q1,q2,q3

[q 3 rad/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 0.5 0.55 0.6

0.65 0.7

q 1 [m/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 1.4

1.6

1.8

2 q

2 [rad/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.1 0.2 0.3 0.4

les trois premières coordonnées sur la 2ème chaine q1,q2,q3

q 3 [rad/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 0.55

0.6

0.65

0.7 q

1 [m/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 1.4

1.6

1.8

2 q

2 [rad/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2

0

0.2

0.4

les trois premières coordonnées sur la 1ère chaine q1,q2,q3

q 3 [rad/s]

Page 41: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre II : Modélisation géométrique du robot Ortho-glide

28

II.7 Conclusion

Dans ce chapitre, une description géométrique du robot ortho-glide à été faite, on se

basant sur la structure arborescente équivalente minimale obtenue par la décomposition du

robot en deux parties à savoir la plate-forme et les chaînes cinématiques attachées à la base.

Ce qui nous a permis d’appliquer les différentes techniques utilisées pour le robot série,

arborescent ou à boucles fermées. La modélisation géométrique est basée sur le calcul du

modèle géométrique inverse qui est facile est unique contrairement au modèle géométrique

direct.

Après cette modélisation géométrique inverse du robot, on va aborder dans le chapitre

qui suit l’étude cinématique, qui va nous permettre de calculer les vitesses cartésiennes et

articulaires de tous les éléments constituants le robot.

Page 42: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique

du robot ortho-glide.

Page 43: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

29

III.1 Introduction :

Le modèle cinématique est littéralement un modèle des vitesses. Il exprime les relations

entre les vitesses articulaires de chaque liaison et les vitesses cartésiennes d’un corps de la

chaîne cinématique, généralement l’organe terminal.

Ce modèle est donc un modèle par accroissements infinitésimaux : chaque variation

élémentaire de la valeur d’une articulation implique une variation de position de l’organe

terminal, et inversement. Lorsque ces variations infinitésimales sont exprimées par rapport au

temps, on peut les considérer comme des vitesses.

Le modèle cinématique permet donc de compléter éventuellement le modèle géométrique

en tenant compte des vitesses.

III.2 Définition de la Jacobienne : Les mathématiciens parlent de matrice Jacobienne alors que les roboticiens utilisent plutôt

les termes Jacobien ou Jacobienne. C’est une matrice qui relie les vitesses de l’organe

terminal (la poignée du robot) aux vitesses articulaires du robot [Kha99].

v.

= J qw

V et ω sont les vitesses translationnelles et rotationnelles de l’organe terminal. Ces

composantes sont choisies pour pouvoir identifier d’une manière unique la vitesse de ce

dernier.

III.2.1 Calcul de la matrice Jacobienne de base

Si on écarte les méthodes de calcul symbolique permettant de dériver les équations du

modèle géométrique direct, On peut utiliser une méthode très répandue pour le calcul

cinématique, qui permet d’obtenir la matrice Jacobienne par un calcul direct fondé, d’une

part, sur la relation entre les vecteurs des vitesses de translation et de rotation Vn et wn du

repère n et les vitesses articulaires q , qui est donnée par:

.n

n

n

qv

Jw

(III.1)

Page 44: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

30

III.2.2 Calcul de la matrice i

nJ

La matrice Jacobienne est souvent exprimée dans le repère de base R0 que dans le repère

de l’organe terminal n. D’une façon générale, projetée dans le repère i la matrice

Jacobienne notée i

nJ s’écrit :

1 ,1 1 1 1,

1 1

a a ... .. a a

a ...... an

nn n n n nnin

n

L LJ

1 1 ,1 1 1,

1 1

a a ... .. a a

a ...... an

i i i i

i i

n n n n nnin

n

L LJ

(III.2)

En remarquant que :

iak×

iLk,n =

iAk(

kkLk,n ) (III.3)

Avec :

kak=[ ]001

T (III.4)

iLk,n =

kPn = [ ] k

Pnx kPny

kPnz (III.5)

On calcule alors la kième

colonne de la matrice Jacobienne, notée iJn;k, projetée dans le repère

Ri par la formule :

, ,

,

(i k i k i

k k k n y k n x ki

n ki

k k

a P s P nJ

a

i = 0,…n ; k = 1,….n

Où:

- isk ,

ink et

iak : sont respectivement le 1

er , 2

ème et le 3

ème vecteurs de la matrice

iAk ;

- kPnx et

kPny : sont respectivement la 1

ère, 2

ème composantes du vecteur

kPn qui la quatrième

colonne de kTn calculée précédemment par le modèle géométrique direct.

Page 45: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

31

III.2.3 Calcul du modèle cinématique inverse (MCI)

Le modèle cinématique inverse (MCI) d’unrobot permet de calculer à partir d’une

configuration q donnée les vitesses articulaires q qui assurent au repère terminal une vitesse

opérationnelle imposée, il est calculé par :

. .

1q J X (III.6)

Le calcul du modèle cinématique inverse revient à l’inversion de la matrice Jacobienne du

robot. Dans le cas régulier où la matrice Jacobienne est carrée d’ordre net son déterminant est

non nul, son inversion est simple.

III.3 Application au robot ortho-glide

III.3.1 Modélisation cinématique :

La chaine cinématique de notre robot i étant isolée de la plate-forme, et les articulations ,

et sont actives. Dans le modèle complet du robot, on rappelle que seules les

q1i (i = 1 à 3) sont motorisées.

Soit : qai le vecteur contenant les articulations actives, et qpi le vecteur contenant les

articulations passives.

1 2 3 q = q q q T

ai i i i (III.7)

Le modèle cinématique directe (MCD) de la chaine cinématique i donne la vitesse linéaire du

point Pi on fonction de la vitesse des articulations de la chaine cinématique

. . .

1 1 1( )i i iq q q

.0 0

P i iV J q

Où :

0

iJ =0

6iJ Est la matrice Jacobienne de la chaine cinématique

Et pour la simplifier on calcule la matrice (3*6) 6

6

i

iJ du point terminal de la chaîne

cinématique i exprimée dans le repère R6i :

Page 46: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

32

.

0 0 6

6 6 ( )1

i

p i i iV A J Giq

(III.8)

On construit la matrice Gi à partir des équations de contrainte de fermeture de boucle (III.7)

de la manière suivante :

arii

ai

qG

q

q = q q ari ai pi (III.9)

On obtient :

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 1 0 1

T

iG

(III.10)

Et il faut calculer la matrice Jacobienne :

D’après

, ,

,

(i k i k i

k k k n y k n x ki

n ki

k k

a P s P nJ

a

(III.11)

6 2 6 2 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5 6 5 6 6 6 6 6

6 1 6 2 6 2 6 3 6 3 6 4 6 4 6 5 6 5 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6

2 3 4 5 60

Y x Y x Y x Y x Y xa P s P n P s P n P s P n P s P n P s P nJ

a a a a a

(III.12)

Page 47: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

33

Les remplacements dans la matrice [III.11] nous donnent les résultats suivants :

Si :k=1

1 1 2 3 4 5

6 2 3 4 5 6T T T T T T OU 1 1 2

6 2 6T T T

1

2

2 2 0 0

0 0 1 2

2 2 0 0

0 0 0 1

C S

rT

S C

; 2

3

2 3 0 0

0 0 1 0

3 3 0 0

0 0 0 1

C S

TS C

3

4

3 3 0 4

3 3 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

C S D

S CT

; 5

6

1 0 0 6

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

D

T

Si :k=2

2 2 3 4 5

6 3 4 5 6T T T T T

2

5

2 2 0 4 3

2 2 0 0

0 0 1 2 3 4

0 0 0 1

C S D C

S CT

r S D

2

6

2 2 0 2 6 4 3

0 0 1 2 6

0 1 0 3 4

0 0 0 1

C S C D D C

S DT

S D

; 2

6

2 0 0

2 0 1

0 1 0

T

C

A S

Page 48: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

34

Si :k=3

3 3 4 5

6 4 5 6T T T T

3

5

3 2 2 3 3 2 3 4

3 2 3 2 3 2 3

2 2 0 0

0 0 0 1

C C S C S r S D

S C S S C r CT

S C

3

6

3 2 2 3 3 6 3 2 2 3 4

3 2 3 2 3 6 3 2 2 3

2 2 0 2 6

0 0 0 1

C C S C S D C C r S D

S C S S C D S C r CT

S C S D

; 3

6

3 2 3 2 2

2 3 3 2 2

3 3 0

T

C C S C S

A S C S S C

S C

Si :k=4

4

6

2 2 0 2 6

0 0 1 0

2 2 0 2 6

0 0 0 1

C S C D

TS C S D

; 4

6

2 0 2

2 0 2

0 1 0

T

C S

A S C

Si :k=5

5

6

1 0 0 6

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

D

T

; 5

6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

TA

6

6

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

T

; 6

6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

TA

Page 49: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

35

Finalement après les simplifications on trouve :

0

1

0 4 3 2 4 2 3

0 0 4 3

1 4 3 2 4 2 3

D C S D C S

J D C

D C S D S S

; 0

2

1 4 3 2 4 2 3

0 4 3 2 4 2 3

0 0 4 3

D C S D S S

J D C S D C S

D C

0

2

0 0 4 3

1 4 2 3 4 2 3

0 4 3 2 4 3 2

D C

J D C C D S S

D C S D S C

(III.13)

On utilise l’inverse de la matrice Jacobienne pour le modèle cinématique inverse de la chaîne

cinématique i, qui s'écrit:

.0 1 0

i piq J V (III.14)

0 1

1

1/ 2 3 / 2 1

1 3 / 4 3 2 0

0 1/ 4 3 0

T T S

J T D C T

D C

0 1

2

1 1/ 2 3 / 2

0 1/ 4 3 2 3 / 4 3 2

0 0 1/ 4 3

T T S

J D C S T D C T

D C

0 1

3

3 / 2 1 1/ 2

3 / 4 3 2 0 1/ 4 3 2

1/ 4 3 0 0

T S T

J T D C T D C S

D C

(III.15)

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Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

36

III.3.2 Modèle cinématique du robot

Le modèle cinématique inverse du robot donne la vitesse des variables prismatique

Motorisées

. . .

1 1 1( )i i iq q q : en fonction de la vitesse de la plate-forme :

.

0 1 0

p pJ Vlq

Où :

0 1

pJ : est la matrice Jacobienne inverse du robot que l'on retrouve en utilisant les 1ères

Lignes des matrices Jacobienne inverse des chaînes cinématiques :

0 1

1/ 21 31/ 21 1

1 1/ 22 32 / 22

33 / 23 1 1/ 23

p

T T S

J T T S

T S T

(III.16)

Avec :

2 2 3 3 3 3tan( ) S sin( ) tan( )i i i i i iT q q T q

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Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

37

III.4 les vitesses de déplacement de la plate forme selon les trois

axes :

Figure III.1 : vitesse suivant l’axe

Figure III.2 : vitesse suivant l’axe Y

Figure III.3 : vitesse suivant l’axe Z

Page 52: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

38

III.5 les vitesses articulaires (qp1,qp2,qp3)pour les trois chaine :

Figure III.4 : vitesse articulaire de la 1ére chaine

Figure III.5 : vitesse articulaire de la 2éme chaine

Figure III.5 : vitesse articulaire de la 3éme chaine

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2 -0.1

0 0.1 0.2

qp 1 [m/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2

0

0.2

0.4 qp

2 [rads/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4

les trois premières vitesses articulaires sur la 3éme chaine qp1,qp2,qp3

qp 3 [rads/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2 -0.1

0 0.1 0.2

qp 1 [m/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4

qp 2 [rads/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.2 -0.1

0 0.1 0.2

les trois premières vitesses articulaires sur la 2ème chaine qp1,qp2,qp3

1

qp 3 [rads/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.1 -0.05

0 0.05 0.1

qp 1 [m/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4

qp 2 [rads/s]

0 1 2 3 4 5 6 7 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4

les trois premières vitesses articulaires sur la 1ère chaine qp1,qp2,qp3

qp 3 [rads/s]

Page 53: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre III : Modélisation cinématique du robot Ortho-glide

39

III.6 Conclusion :

Dans ce chapitre, une description cinématique du robot Orthoglide a été faite, on se basant

sur la structure arborescente équivalente minimale obtenue par la décomposition du robot en

deux parties : la plate-forme et les chaînes cinématiques attachées à la base. Ce qui nous a

permis d’appliquer les différentes techniques utilisées pour le robot série, arborescent ou à

boucles fermées, La modélisation cinématique du robot a été établie par le calcul du modèle

cinématique des chaînes cinématiques i et par le calcul de la matrice Jacobienne inverse du

robot parallèle. Ce calcul sera nécessaire pour compléter la modélisation dynamique par le

formalisme de Newton-Euler.

Page 54: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec

Solidworks.

Page 55: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

40

IV.1 Introduction

La conception d’un manipulateur parallèle n’est pas une chose simple, car les robots

Parallèles présentent intrinsèquement des potentialités intéressantes, mais choisir une

Architecture, une géométrie pour les différents éléments mécanique du manipulateur dans le

but de satisfaire un cahier des charges définissant les contraintes d’exploitation Par exemple :

L’espace de travail, la précision, la vitesse d’exécution et le poids …etc est difficile.

Dans ce chapitre nous proposons une structure pour de robot Ortho-glide et nous donnons une

Description générale de sa structure.

L’idée de la conception et de proposer un prototype dont le calcul est basé sur une charge

Supposer supporter par la plate-forme. Le but de la conception est de calculer les paramètres

Inertiels : la masse, les moments d’inerties…..etc. par la programmation DAO/CAO utilisé

Pour la conception.

IV.2 Robot Ortho-glide

Le robot parallèle est composé d’une plate-forme mobile connectée à une base fixe par trois

Chaînes cinématiques extensible. Les longueurs des chaînes cinématiques sont actionnées par

Des articulations prismatiques actives. (Figure IV1,IV2, IV3)

Figure IV.1:Architecture de l'Ortho-glide

Page 56: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

41

IV.3 Positionnement d’Ortho-glide sur l’logiciel (SolidWorks)

Figure IV.2 : Position quelconque du robot Ortho-glide dans l’espace

Figure IV.3 : Présentation de la position du robot Ortho-glide pour les quatre vues

Page 57: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

42

IV.4 Conception des composants du corps d’Ortho-glide

Figure IV.4 : Dessin d’ensemble

Page 58: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

43

Figure IV.5 : Tige

Page 59: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

44

Figure IV.6 :Bras

Page 60: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

45

Figure IV.7:Raccord

Page 61: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

46

Figure IV.8:Chape

Page 62: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

47

Figure IV.9:Chape

Page 63: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

48

Figure IV.10:Bride

Page 64: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

49

Figure IV.11:Raccord

Page 65: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

50

Figure IV.12:Plate Forme

Page 66: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

51

Figure IV.13:Vérin Moteur

Page 67: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

52

Figure IV.14:Outille

Page 68: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

53

Figure IV.15:Guide Porte Outille

Page 69: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

54

Figure IV.16:Pièce a Souder

Page 70: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

55

IV.5 Paramètres inertiels

Pièce N°02 : Tige

Figure IV.17 : Les paramètres d’inertiels du Tige par rapport au centre de gravité

Page 71: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

56

Pièce N°03 : Bras

Figure IV.18:Les paramètres d’inertiels du bras par rapport au centre de gravité

Page 72: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

57

Pièce N°07 : Bride

Figure IV.19 :Les paramètres d’inertiels du Bride par rapport au centre de gravité

Pièce N°08 : Raccord

Figure IV.20:Les paramètres d’inertiels du Raccord par rapport au centre de gravité

Page 73: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

58

Pièce N°09 : Chape

Figure IV.21:Les paramètres d’inertiels du Chape

Par rapport au repère pR

Page 74: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre IV : Conception avec Solid-Works

59

IV.6 Conclusion

Dans ce chapitre on a proposé une conception mécanique prototype pour le robot parallèle

orth-glide sur lequel on a placé une plate-forme mobile de forme circulaire ou prismatique

centré par un trou pour l’emplacement d’un effecteur. La plateforme est liée à la base fixe

par trois chaines cinématiques identiques, chaque chaine cinématique est composée d’une

structure de forme parallélogramme elle-même formée de huit articulations dont une seule

active représentant un vérin qui est le seul actionneur motorisé, le vérin utilisé est un vérin

mécanique à vis, on peut utilisé aussi des vérins hydrauliques pour avoir de grande vitesses,

plus de précision et manipuler des charges lourdes. Le cahier de charge sur le quel est basé la

conception on trouve une seul contrainte qui est la charge supporter par la plate-forme, toute

les autres contraintes sont négliger ou prise aléatoirement comme l’espace de travail, la

vitesse et la précision car le but de la conception est d’avoir les paramètres inertiels

directement par la programmation DAO/CAO de la chaine cinématique et de la plate-forme,

qui sont présentés dans les pages 54-57.

Page 75: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre V : L’étude Dynamique du

Robot Ortho-glide.

Page 76: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

60

V.1. Introduction

Tandis que les équations cinématiques décrivent le mouvement du robot sans

considération des forces et des moments produisant le mouvement, les équations dynamiques

décrivent explicitement le rapport entre les couples (et/ou forces) appliqués aux actionneurs et le

mouvement (positions, vitesses et accélérations articulaires).

Les principaux problèmes dans la dynamique du robot sont [ChE] :

* La dynamique directe : (donner les forces et établir les accélérations), elle est employée

principalement pour la simulation.

* La dynamique inverse : (donner les accélérations, établir les forces), elle a des diverses

utilisations, incluant : commande en ligne des mouvements et des forces de robot,

conception de trajectoire et optimisation, conception du mécanisme du robot et le calcul

des coefficients de l'équation du mouvement.

* L’identification des paramètres inertiels.

V.2 Notation

Les principales notations utilisées sont les suivantes :

im : la masse du corps Ci

g : accélération de la pesanteur.

i,0L : vecteur d’origine 0O et d’extrémité iO égal à i

0P .

iL : vecteur d’origine 1iO et d’extrémité iO égal à i

1iP

.

i et i : vitesse et accélération de rotation du corps Ci.

iV et iV : vitesse et accélération du point iO

GiV et GiV : vitesse et accélération du centre de gravité (Gi) du corps Ci

Ti 100 a

iF résultante des forces extérieures sur le corps Ci.

Page 77: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

61

iC Moment des efforts extérieurs exercés sur le corps Ci autour de Oi.

iS vecteur d’origine Oi et d’extrémité Gi.

h le tenseur du vecteur h tel que :

0hh

h0h

hh0

h

xy

xz

yz

:désigne le produit vectoriel.

ik tenseur d’inertie du corps Ci par rapport au repère Ri qui s’exprime par :

ii

ii

iii

22

22

22

i

IzIyzIxz

IyzIyIxy

IxzIxyIx

dm)yx(yzdmxzdm

yzdmdm)zx(xydm

xzdmxydmdm)zy(

k

GiI tenseur d’inertie du corps Ci par rapport à un repère parallèle à Ri et d’origine Gi.

if et ic résultante et moment du torseur dynamique exercé sur le corps Ci par son antécédent et par

l’actionneur i.

eif et eic résultante et moment du torseur dynamique exercé par le corps Ci sur l’environnement.

Tsn1ss FFF , avec siF le paramètre de frottement sec de l’articulation i.

Tvn1vv FFF , avec viF le paramètre de frottement visqueux de l’articulation i

V.3 Le modèle dynamique inverse (MDI)

Le modèle dynamique inverse (ou le modèle dynamique tout court) d’un robot permet de

déterminer les équations du mouvement, c'est-à-dire : la relation entre les couples appliqués aux

actionneurs et les positions, vitesses et accélérations articulaires [KHA 99].

Il est exprimé sous la forme :

Page 78: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

62

)f,q,q,q(f e

(V-1)

Dans cette équation et q,q,q sont, respectivement, les vecteurs de position, vitesse,

accélération et force, dans l’espace articulaire. Chacun est un vecteur de dimension n. Les

variables de force sont définies tels que Tq est la puissance fournie par au système. Ainsi, q

et qualifiés comme ensemble de variables généralisées de vitesse et de force pour le système.

ef est un vecteur (6) ; dénote la force externe agissant sur le robot, dû au contact avec

l'environnement ,ainsi le robot exerce une force de ef sur l'environnement.

Les deux principaux formalismes utilisés pour obtenir les équations différentielles qui

décrivent le comportement d'un mécanisme à plusieurs corps articulés sont le formalisme de

Newton (théorèmes généraux de la mécanique classique) et celui de Lagrange. [AIS 06]

V.3.1. Formalisme de Newton Euler

Cette méthode est fondée sur une double récurrence ; la récurrence avant de la base du robot

vers l’effecteur, calcule successivement les vitesses et accélérations des corps, puis leur torseur

dynamique, une récurrence arrière de l’effecteur vers la base, permet le calcul des couples des

actionneurs en exprimant pour chaque corps le bilan des efforts. [KHA 99]

Les équations de Newton Euler expriment le torseur dynamique en iG des efforts extérieurs

sur un corps i par les équations :

)ω(IωωIC

VmF

iGiiiGiGi

Giii

(V-2)

Cette méthode permet d’obtenir un MDI non linéaire par rapport aux paramètres inertiels,

pour qu’il soit linéaire, le MDI doit être calculé en exprimant le torseur dynamique des efforts

extérieurs en iO plutôt que iG .

Les équations de Newton Euler ainsi modifiées s’écrivent :

iiiiiiii

iiiiiiii

VmS)k(kC

)mS(mSVmF

(IV-3)

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

63

Récurrence avant : elle permet de calculer iF et iC à partir de la relation (V-4)

Pour ce faire, il faut calculer iii V, et .

Les formules de composition des vitesses donnent :

......n1iaq)P(VV

aq

iiii

1i

1i1ji

iii1ii

(V-5)

La dérivée de l’équation (IV-4) par rapport au temps s’écrit :

...n1i)aqaq()aqP()P(VV

)aqaq(

iiiiiiiiiii

1i

iiiii

1i

1i1ji

iiiiiii1ii

(V-6)

Ce qui donne :

)aq2aq()P()P(VV iiiiiiii

1i

iiiii

1i

1i1ji

(V-7)

On peut finalement calculer iF et iC , on initialise cette récurrence par 0V,0 00 et

00 .

Récurrence arrière : Les équations composant la récurrence arrière sont obtenues à

partir du bilant des efforts sur chaque corps, écrit à l’origine iO , on obtient (FigureV.1)

eiii1i1i1iii

eii1iii

cgmSfLccC

fgmffF (V-8)

Figure V.1 : Bilan des efforts au centre de gravité

On peut faire intervenir l’effet de la gravité sans avoir à la prendre en compte dans le bilan des

i-1 i+1

Oi+1 Oi

Gi

Li+1

Si

i -fi+1

fi - fei

ci-cie -ci+1

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

64

efforts, pour cela on prend:

gV0 (V-9)

D’où l’on tire les équations suivantes :

ei1i1i1iii

ei1iii

cfLcCc

ffFf (V-10)

On obtient alors les couples aux actionneurs i en projetant, suivant la nature de

l’articulation i, les vecteurs if ou ic sur l’axe du mouvement :

i

T

iiiii a)cf( (V-11)

Les frottements doivent être pris en compte dans l'équation dynamique. Le modèle du type

frottement sec (ou de Coulomb) fait l'hypothèse d'un couple constant de frottement en opposition au

mouvement. Au début du mouvement (vitesse nulle), un couple supérieur au couple de frottement

sec doit être développé pour amorcer le mouvement. De nombreuses études ont été réalisées afin de

mieux analyser les frottements, menant à l'approximation suivante [VIV 04] :

) visif Fq(DiagF)]q(Sign[Diag (V-12)

On ajoute à ’équation (V-10) les termes correctifs représentant l’effet des frottements et des

inerties des actionneurs, aiI , ce qui nous donne la relation suivante :

iaiifi

T

iiiii qIa)cf( (V-13)

Les inerties des actionneurs sont calculées comme suit :

mi

2

iai JNI (V-14)

miJ est le moment d'inertie du rotor de l'actionneur i, iN est le rapport de réduction de l'axe i égal à

imi q/q et miq désigne la vitesse du rotor de l'actionneur i.

On déduit directement de l’équation (V-9) que les termes if et ic ne dépendent que des

paramètres inertiels du corps i et de ceux des corps situées en aval qui sont introduit par les termes

1nf et 1nc de la récurrence.

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

65

Pour utiliser pratiquement l’algorithme de Newton Euler exposé ci-dessus, il faut projeter dans un

même repère les vecteurs et tenseurs qui apparaissent dans une même équation. [BOI 88]

Les équations de la récurrence avant peuvent être présentées par l’algorithme suivant:

Récurrence avant :

Conditions initiales : i0

T

0

0T

0

0gaV000,000 0et

i 1

1 1 1

i i

1

i i-1 i

1 1 1

i i-1 1 1 i

1 1 1 1

i

i i i i

pour 1,2,...,

( )

( ) (2 )

( )

i i

i i i

i i i i i

i

i i i i i i i i i

i i i

i i i i i i i i i i i

i i

i i i i i i

i i i

i i i i i i i i

i n

A

q a

A q a q a

V A V b P q a q a

F m V b m S

C k k m S

iV

(V-15)

i

i

i

i

i

i

i

i ˆˆˆb (V-16)

Les équations de la récurrence arrière peuvent être présentées par l’algorithme suivant:

Récurrence arrière :

Conditions initiales:

)5:4(fc)3:1(ff e1n

n

e1n

n

1

1 1

1 1 1

1 1

pour , 1,...,1

i i i i

i i i ei

i- i i

i i i

i i i i i i

i i i i i ei

i- i i

i i i

i i T

i i i i i i f i ai i

i n n

f F f f

f A f

c C C P f c

C = A c

Γ (σ f σ c ) a Γ I q

(V17)

Dans cette formulation (Newton Euler), l'effet de la pesanteur est introduit par une

accélération verticale de la base du robot. Si le robot manipulateur est situé sur un véhicule dont le

mouvement est connu, on peut donc également introduire les fonctions du temps correspondantes

(vitesses et accélérations) dans les premières récurrences directes qui partent de la base [TEC 07].

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

66

Application au robot ortho-glide

V.4 Calcul du modèle dynamique inverse de la chaine cinématique i :

Chaque chaine cinématique du robot est composée d'une boucle planaire de type

parallélogramme. On calcule le modèle dynamique de la structure arborescente équivalente en

coupant l'articulation passive ( q8i ) du parallélogramme (Figure V.2) [Gue 03] :

=

) (V-18)

Avec :

= T

Le modèle dynamique de la boucle fermée est obtenu à partir de et des équations de

Contraintes (III.10).

Dans le modèle complet du robot, on rappelle que seule q1i est motorisée er que l'on considère les

couples et de valeurs nulles :

T =

(V-19)

=

) = ) (V-20)

Ou Gi est donné par la relation (III.10) [Gue]

) Est le modèle dynamique de la chaine cinématique i. Lorsque l'on prend en compte

la force de réaction fi sur le point terminal de chaque chaine cinématique, la forme générale du

modèle dynamique de la chaine cinématique i, devient :

= ) 0JiT 0fi (V-21)

V.4.1 Calcul 0fi en utilisant le modèle dynamique de la chaine cinématique i

On reprend la forme générale du modèle dynamique de la chaine cinématique i relations (V-20)

est composé des couples/forces de la chaine cinématique i ou sont nuls :

= T = T

(V-22)

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

67

En utilisant l'équation (IV-20), les forces réaction 0fi peuvent s'écrire :

0fi =

0Ji

T

(V-23)

0fi =

0Ji

T +

0Ji

T (V-24)

En remplaçant 0Ji

T par ) dans l'équation (IV-23), On obtient :

0fi = +

0Ji

T (V-25)

exprime le vecteur dans l 'espace cartésien de position au point Pi

[Khatib ,lilly et orin]

En utilisant l'équation (GUIGAN) , on obtient pour la chaine cinématique 1 :

0fi =

(V-26)

On peut observer que le coefficient de dans l'équation (IV-25)correspond à la première colonne

de la matrice jacobienne inverse transposée du robot voir chapitre cinématique. II en est de même

pour les chaines cinématique 2 et 3. Leurs coefficient respectifs et correspondant

respectivement à la deuxième et la troisième colonne de la matrice jacobienne inverse transposée du

robot :

0fi = +

0J

-Tp [:,i]

(V-27)

Où 0 -Tp,i

J ; représente la ième colonne de la matrice jacobienne inverse transpose du robot.

V.4.2 dynamique de la plate-forme :

Les équation de Newton-Euler appliquées à l 'origine de la plate-forme s'écrivent

(pas de rotation) :

0Fp = 0 p Mp Mp

0g (V-28)

0Fp force totale exterieure appliquée sur la plate forme au point P . Puisque

0 p est connue, alors

0Fp peut-être calculé à partir de l'équation (V-28)

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

68

Les forces appliquées à la plate forme dues aux forces de réaction de toutes les chaines

cinématiques (Figure V.2) sont calculé en utilisant l'équation suivante :

3

0 0p i

i=1

F = f

(V-29)

Figure V.2 : Forces extérieure appliquées au point P

En substituant l'équation (V-26) dans l'équation (V-28) , On obtient :

0 0 -T

p xi i i i p p[:,1] 1i

i=1

3

F = H q ,q ,q + J G

(V-30)

ou : 0 T

p robotΓ = J F

0 -T 0

p p i i i

i=1

3

xiJ Γ = F + H q ,q ,q

0 -T 0

p p i i i

i=1

3

xiJ G = F + H q ,q ,q

(V-31)

On peut en déduire la forme suivante :

0 TP robotΓ= J F

avec :

11 12 13 T

(V-32)

robotF = 0

p i i i

i=1

3

xiF + H q ,q ,q (V-33)

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

69

Figure V.3 : Schéma du programme MATLAB(Simulink) utilisé pour la simulation du robot

Ortho-glide

V.5 Résultats de l’application sur le robot ortho-glide

Données numériques :

*Corps 1 : Tige

Masse=119.01 (grammes)

centre de gravité G1=[X=106.24 , Y=0 , Z=0] (mm)

Inertie I1=Lx=[1 0 0] Px=1902.09

Ly=[0 1 0] Py=591179.98 (gramme*mm^2)

Lz=[0 0 1] Pz=59204.83

*Corps 2 :Bras

Masse=69.6 (grammes)

centre de gravité G2=[X=11.80 , Y=0 , Z=-27.12] (mm)

Inertie I2=Lx=[-1 0 0] Px=1015.56

Ly=[0 0 -1] Py=2138.70 (gramme*mm^2)

Lz=[0 -1 1] Pz=2367.88

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

70

*Corps 3 :Bride

Masse=126.11 (grammes)

centre de gravité G3=[X=-46.42 , Y=0 , Z=-32.99] (mm)

Inertie I3=Lx=[0.65 0.02 0.76] Px=564.38

Ly=[-0.76 0.02 0.65] Py=183141.94 (gramme*mm^2)

Lz=[0 -1 0.03] Pz=191397.13

*Corps 4 :Raccord

Masse=29.10 (grammes)

centre de gravité G4=[X=0 , Y=16.70 , Z=0] (mm)

Inertie I4=Lx=[0 1 0] Px=907.73

Ly=[0 0 -1] Py=8900.73 (gramme*mm^2)

Lz=[-1 0 0] Pz=-0.03

*Corps 5 :Chape

Masse=18049.83 (grammes)

centre de gravité G5=[X=97.99 , Y=-41.28 , Z=-37.64] (mm)

Inertie I5=Lx=[0.47 0.66 -0.58] Px=84002698.57

Ly=[0.24 0.54 0.81] Py=1156148060.62 (gramme*mm^2)

Lz=[0.85 -0.52 0.09] Pz=1503149434.76

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

71

Les figures suivantes représentent les différentes forces sur les vérins obtenus lors du suivi

de la trajectoire désirée et après introduction des données inertielles de la structure, obtenues par le

chapitre précédent.

Figure V.4 : Force de 1er

vérin

Figure V.5 : Force de 2eme

vérin

Figure V.6 : Force de 3eme

vérin

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Chapitre V : L’étude Dynamique du robot Ortho-glide

72

V.6 conclusion

Dans ce de chapitre nous avons établi le modèle dynamique inverse, en utilisant les étapes

suivante :

- calcul du modèle dynamique de chaque chaîne cinématique par le calcul de Hi ;

- calcul du modèle cartésien de chaque chaîne cinématique Hxi ;

- calcul des forces et moments °Fchaine qui correspondent à tous les Hxi ;

- calcul du modèle dynamique de la plate-forme ;

- calcul de couple Γ.

En déduit que la plate-forme peut être représentée par un corps unique ayant les mêmes

paramètres inertiels que la plate-forme, sur la quelle on applique des forces extérieures -Hxi à

chaque point Pi. Les résultats obtenus sont logique et concordent avec les dimensions inertielles du

robot ainsi que la tâche à exécutée de même cela va servir pour le dimensionnement des trois

actionneurs.

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Conclusion générale

73

Conclusion générale :

Dans ce travail, on s’est intéressé à la modélisation des robots parallèles et proposé une

conception mécanique prototype à un robot parallèle définit par une plate-forme mobile liée à

une base fixe par trois chaînes cinématiques identiques, chaque chaîne cinématique est

composée de huit articulation de forme parallélogramme et un vérin qui est le seul actionneur

motorisé. Dans le premier chapitre intitulé état de l’art nous avons présenté comment les

robots parallèles sont développer depuis le premier hexapode de Gough Stewart en se basant

sur le nombre de degré de liberté pour les différencier, commençant par deux degrés de

liberté, trois degrés de liberté …..jusqu’au six degrés de liberté et aussi les structures

hybrides.

Le deuxième et troisième chapitre consacré à la modélisation géométrique et cinématique

du robot ortho-glide, au premier temps on définit le robot parallèle qui est considéré comme

une structure à boucles fermées puis définir les différents repères et l’énumération des corps

de la structure arborescente qui est faite chaîne par chaîne. La modélisation géométrique est

basée sur le calcul du modèle géométrique inverse qui est simple et unique, ce calcul nous a

permis de tracer quelque configuration du robot. La modélisation cinématique nous à permis

de calculer le modèle cinématique inverse symboliser par le calcul de la matrice jacobienne

inverse du robot parallèle qui est la matrice jacobienne inverse de la plate-forme mobile, le

résultat obtenu est vérifier par une simulation faite sur Matlab, ce calcul nous à permis de

tracer les vitesses articulaires des actionneurs motorisées ainsi que les vitesses de la plate-

forme.

Dans le quatrième chapitre on a présenté une conception mécanique du robot ortho-glide

dont le cahier de charge se base sur une seul contrainte qui est la charge supporter par la plate

forme, toute les autres contraintes sont négliger ou pris aléatoirement comme l’espace de

travail, la vitesse et la précision car le but de la conception est d’avoir les paramètres inertiels

directement par la programmation DAO/CAO.

Le cinquième chapitre représente une modélisation dynamique par l’application du

formalisme de Newton-Euler. Cette modélisation est la résultante des deux parties obtenues

par le découpage du robot parallèle. D’une part la plate-forme, sur laquelle sont appliquées les

forces extérieures et les paramètres inertiels pris en considération. D’autre part les six chaines

cinématiques dont les quels les seuls actionneurs sont les vérins, leurs modélisations est

établies par le modèle dynamique inverse de chaque chaîne cinématique. La résultante

s’exprime par les forces nécessaires pour actionner le robot.

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Conclusion générale

74

Perspectives futures

Notre projet s’est focalisée sur la conception et la modélisation dynamique du robot ortho-

glide à trois degré de liberté, basées sur les paramètres inertiels obtenus par la conception du

robot et le formalisme de Newton-Euler pour la modélisation dynamique. A la fin de cette

étude, on peut affirmer que l’objectif est atteint. Ce pendent les conclusions formulées

permettent la suggestion de quelques pistes pour la poursuite de ce travail. Les propositions

suivantes sont avancées pour un éventuel travail futur :

- une conception basée sur un cahier de charge bien précis comme exemple l’utilisation

du robot sur machine-outil.

- Vu la complexité du robot et leur exigences précisément la précision, on propose

d’étudier la commande du robot.

- Les robots parallèles peuvent présenter une élasticité non négligeable dans les

articulations ou dans les structures des chaines cinématiques. Dans ce cas

l’introduction d’une flexibilité localisée des articulations dans le modèle dynamique

pourrait nous fournir un modèle plus réel pour l’étude du comportement du robot.

Page 91: MASTER - bib.univ-oeb.dz:8080

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