memoire du fin d’etudes etude analytique des...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE L’ARBI BEN M’HIDI

FACULTE DES SCIENCES ET SCIENCES APPLIQUEES

OUM EL BOUAGHI

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

MASTER 2

MEMOIRE DU FIN D’ETUDES

ETUDE ANALYTIQUE DES POUTRES NON AMORTIES SOLLICITEES PAR DES

CHARGES MOBILES

Encadré par : Présenté par :

Mme. OUCHENANE M

Mme Adjemi Meroua

Année: 2017/2018

Remerciement Je tiendrai à remercier Allah, de m’avoir donne la patience et

le courage, afin d’achever toutes ces années d’étude.

A l’issue de mémoire, je tiens à exprimer profondément et

sincèrement mes vifs remerciements a mon encadreur: Mme-Ouchenane

Meriem pour ses précieuses conseils qui m’a éclairer et diriger pour

élaborer ce travail et pour sa patience, au chef département de G.C et

a l’ensemble des enseignants du département qui nous a apportes leurs

conseils et leurs soutien moral tout au long de ma formation.

Je tiens à remercier tous mes profs .et ma gratitude aux

membres de jury qui me font l’honneur de juger mon travail de fin

d’étude.

Je remercie toute personne du corps enseignant ou

administratif de génie civil, ayant contribue de prés ou de loin a ma

formation.

Et principalement ma famille j’ai mentionnée mes parents, mon mari

et je les remercie avec leurs encouragement.

Nomenclature

A : Aire de la section de la poutre (ou du pont).

D.D.L : Degré de liberté.

: Pulsation propre en (rad/s).

: Degré de liberté.

: Facteur d’amplification dynamique.

: Fonction de la Dirac à la position .

: Coefficient d’amortissement du système vibratoire.

F : force du chargement génératrice.

E : Module de Young.

I : L’inertie de la poutre du pont.

L : La longueur de la poutre.

p : La masse volumique.

g : la gravité qui est égale à 9.81m/s.

: Déplacement statique maximale et dynamique maximale.

: Pas de temps.

Déplacement, vitesse, et accélération.



Force généralisée du mode j.

K, M, C : Rigidité, masse, amortissement.

Masse de la poutre.

Vecteur propre nodal correspondant au mode m.

La fore d’inertie.

La force d’amortissement.

La force de rappel.

Table des matières

Remerciement

Nomenclature

Table des matières

Liste des figures

Liste des tableaux

Chapitre0 Introduction ……………………………………………………………….………1

Chapitre1 ……………………………………………………………………………………..2

1.1.Problématique……………………………………………………………………………...2

1.2.Bibliographie……………………………………………………………………………….3

1.2.0. Généralité ………………………………………………………………………....3

1.2.1. Le régime harmonique ………………………………………………………...3

1.2.2. Le régime périodique ………………………………………………………….3

1.2.3. Le régime transitoire …………………………………………………………..3

1.2.4. La réponse dynamique ………………………………………………………...3

1.2.5. La relation entre le pont et véhicule …………………………………………...5

1.2.6. Dynamique de l’interaction pont véhicule ……………………………………7

1.2.7. Facteur d’amplification dynamique …………………………………………..9

Chapitre2 : Résolution du problème analytique non amortie……………………..…………11

2.1. Généralité……………………………………………………………………… ….11

2.2. L’écriture de l’équation de mouvement par l’équilibre dynamique……………..11

2.3. Méthode modale de Duhamel………………………………………….12

2.3.1. Présentation de la méthode……………………………………………………….12

2.4. Poutre sous véhicule mobiles………………………………………….. 15

2.4.1. Vibration libre des poutres…………………………………………………………. 15

2.4.2. Poutre sous la sollicitation d’une force mobile…………………………………….. 17

2.5. Calcule du facteur d’amplification dynamique (FAD)………………………………19

Chapitre3 : Etude numérique……………………………………………………………….21

Exemple de validation………………………………………………………………………..21

1. Détermination des modes, des fréquences, des déplacements et des facteurs

d’amplifications dynamiques………………………………………………………21

2. Etude paramétrique………………………………………………………………...24

3. Comparaison avec HANCHI-K…………………………………………………….28

La conclusion

Référence

Liste des figures :

- Fig 1.1. Interaction poutre et la force mobile………………………………………..2

- Fig1.2.: Mouvement oscillatoire d’un système en régime harmonique……………..4

- Fig 1.3. : Mouvement oscillatoire d’un système en régime périodique……………..4

- Fig 1.4. : Mouvement oscillatoire d’un système en régime transitoire………………4

- Fig 1.5. : Différent types de modélisations simplifiées de véhicules………………...7

- Fig1.6. : Les déférents cas des problèmes étudié par les auteurs cité précédemment

(tab1.1)………………………………………………………………..……………....9

- Figure2.1 : Vibration transversale des poutres-Cas général…………………………15

- Figure 2.2 : Vibration transversale des poutres-Conditions aux limites…………….16

- Figure 2.3 : Poutre sous l’effet d’une force mobile………………………………….18

- Figure 3.1. Poutre simplement appuyée sous force mobile………………………….21

- Figure 3.2. Les fréquences propres de vibration pour le premier mode…………….22

- Figure 3.3. Les fréquences propres de vibration pour le deuxième mode…………..22

- Figure 3.4. Les fréquences propres de vibration pour le troisième mode…………..23

- Figure 3.5. Les fréquences propres de vibration pour le quatrième mode………….23

- Figure 3.6. Le déplacement maximale lorsque la charge est appliquée au milieu de la

poutre pour V=10m/s................................................................................................23

- Figure 3.7. Le facteur d’amplification dynamique maximale lorsque la charge est

appliquée au milieu de la poutre pour V=10m/s…………………………………….24


poutre pour V=10m/s, 20m/s et 30m/s…………………………………………..…25

- Figure 3.9. Les fréquences propres de vibration pour le premier mode de

vibration………………………………………………………………………………25

- Figure 3.10. Les fréquences propres de vibration pour le deuxième mode de

vibration………………………………………………………………………………26

- Figure 3.11. Les fréquences propres de vibration pour le troisième mode de

vibration………………………………………………………………………………26

- Figure 3.12. Les fréquences propres de vibration pour le quatrième mode de

vibration………………………………………………………………………………26


poutre pour V=10m/s.......................................................................................27


appliquée au milieu de la poutre pour V=10m/s……………………………………..27

- Figure 3.15. Poutre simplement appuyée sous force mobile…………………………28


appliquée au milieu de la poutre pour V=60m/s………………………………….....28

- Figure 3.17. Comparaison des résultats du facteur d’amplification dynamique pour

l’exemple de comparaison avec celui de Henchi K 1999 pour une vitesse de 60

m/s…………………………………………………………………………………....29

Liste des tableaux :

- Tab 1.1 : les différents auteurs et leurs problèmes étudié avec le pays et l’année……8

- Tab 3.1 : La pulsation de la vitesse 10m/s…………………..……………………….22

- Tab 3.2 : la pulsation : pour la vitesse de 20 m/s………………………….…………24

- Tab 3.3 : la pulsation : pour la vitesse de 30 m/s…………………………………….24

- Tab 3.4 : La pulsation de la vitesse 10m/s pour autre module de Young……………25

- Tab 3.5 : La pulsation de la comparaison avec l’exemple de HANCHI – K………. 28

Etude analytique des poutres non amorties sollicitées par des charges mobiles Page 1

Introduction

L’objectif de cette recherche est de développer analytiquement un modèle d’une poutre

d’Euler-Bernouli simplement appuyée sous l’effet de passage de forces mobiles pour

comprendre le comportement dynamique de cette dernière et de mettre en évidence l’effet du

chois du modèle mathématique de la poutre ou de la charge sur le comportement mécanique

de la structure complète sous l’effet des forces mobiles afin de prédire la réponse dynamique.

Concernant ce travail, nous avons défini d’une manière explicite la problématique qui

consiste à traduire convenablement les phénomènes de l’interaction poutre-force

mobile ou le modèle linéaire.

Concernant la recherche bibliographique nous avons définie tout les paramètres et le

développement des équations différentielles qui régissant le mouvement dynamique

avec les cas des poutres selon les conditions aux extrémités.

Aux niveaux de chapitre quatre nous présentons les différents aspects de la

modélisation de l’interaction poutres-charge mobile par logiciel Matlab qui donne les

résultats de la pulsation, les modes, les fréquences, les périodes, les déplacements, le

facteur d’amplification dynamiques FAD…. Ets.

La dernière partie est consacrée à la validation du modèle numérique par un exemple

tiré de la littérature.

A la fin une conclusion concernant l’étude présentée et des remarques tirées de la

recherche bibliographique.


Chapitre 1

Problématique et étude bibliographique

1.1. Problématique

Le pont est un élément singulier du réseau routier ou ferroviaire qui supporte les différents

chargements au dessus, que nous traduisons en des forces mobiles affectant ainsi la structure

du pont modélisé comme modèle unidimensionnel par poutre.

La poutre concernée dans cette étude est considère non amortie c'est-à-dire (on néglige tout

les effets de tassement et les actions climatiques et chimiques) sollicité par des forces mobiles

dont la vitesse est constante dans le temps. Le problème des charges mobiles résulte par le

déplacement de la charge sur la poutre, lorsque elle est appliquée à un point x, un

déplacement dus à cette charge est remarqué sur les autres points de la poutre (principe des

lignes d’influences), ce déplacement varie en fonction du temps et de la position de la charge

sur la poutre et du point de calcul du déplacement.

Fig 1.1. Interaction poutre et la force mobile


1.2. Etude Bibliographique

1.2.0. Généralité :

La dynamique des structures est un domaine de la mécanique des structures traitant de

problèmes très variés et faisant donc appel à des méthodes numériques différentes. Sans être

exhaustif, on peut citer :

le comportement des structures soumises à des chocs (crash automobile, chute

d’emballage de transport, impact d’avion)

le mouvement causé par un séisme ou une explosion

les vibrations induites par un écoulement (pont soumis au vent, tuyaux d’un circuit

industriel sous écoulement interne…), une machine tournante (turbines,

réacteurs…) ou un contact (contact roue-chaussée, frottement des freins à disque…)

Tous ces problèmes ont en commun, d’une part, un chargement qui varie au cours du temps

(mais ceci est le cas pour des problèmes statiques tel que la fatigue ou le fluage) et, d’autre

part, l’importance des forces d’inertie (masse de la structure) dans le problème.

Lorsqu’on essaie de classer les calculs dynamiques par ordre croissant de complexité, on peut

se ramener en fait à des systèmes à quelques degrés de liberté. Les calculs statiques peuvent

être considérés les plus simples et un des buts des méthodes de calcul utilisées dans les

bureaux d’études est de se ramener à un chargement statique. Ceci est particulièrement utile

car il faut cumuler le(s) chargement(s) dynamique(s) aux autres cas de charge dimensionnant

qui sont statiques. Le cas du système dynamique à 1 degré de liberté est fondamental pour

bien comprendre le comportement dynamique d’une structure.

Les notions de base en dynamique tel que la résonance, les vibrations libres, le rôle de

l’amortissement ou les spectres de réponse peuvent être expliquées sur ce type de système.

Les modèles de calculs comportent toujours plusieurs (et souvent un grand nombre) degrés de

liberté.

Les différents régimes d’un mouvement oscillatoire sont : le régime harmonique, périodique

et transitoire.

1.2.1. Le régime harmonique : décrit un mouvement oscillatoire au voisinage d’une

position d’équilibre stable


Fig1.2.: Mouvement oscillatoire d’un système en régime harmonique

1.2.2. Le régime périodique : décrit un mouvement oscillatoire de manière périodique.

Fig 1.3. : Mouvement oscillatoire d’un système en régime périodique

1.2.3. Le régime transitoire : décrit un mouvement oscillatoire à caractère aléatoire.

Fig 1.4. : Mouvement oscillatoire d’un système en régime transitoire

1.2.4. La réponse dynamique :

Est la solution de l’équation ou du système d’équations différentielles qui forment le modèle

mathématique de la structure. Il existe deux réponses dynamiques correspondant à deux types

de comportements dynamiques.

Vibrations libres : c’est le comportement dynamique d’un système résultant

uniquement de ses conditions initiales (déplacement et vitesse à l’instant t=0).


Vibrations forcées : c’est le comportement dynamique d’un système résultant de

l’action d’une force excitatrice déterminé.

Ainsi l’analyse dynamique consiste tout d’abord à établir un modèle analytique, formuler le

modèle mathématique correspondant, puis le résoudre pour obtenir la réponse dynamique du

système considéré.

1.2.5. La relation entre le pont et véhicule :

La prédiction de la réponse dynamique des ponts qui résulte du passage des charges vives le

long des travées est un important problème dans le domaine de l’analyse et de la conception

des ponts.

Les charges mobiles (véhicules) traversant les ponts à des vitesses normales provoquent des

contraintes (déplacements, vitesses, accélération, déformation…) plus importantes que celles

provoquées par des véhicules qui demeurent dans leurs positions statiques.

Au début des années 50, beaucoup de ponts ont été testés expérimentalement (fenves et at

1962), pour élaborer un facteur d’amplification dynamique dit FAD. Les méthodes existantes

utilisées pour prévoir la réponse dynamique sont basées sur des abaques et des formules

empiriques simples qui dépendent de la longueur et du comportement statique du pont ainsi

que du chargement. Les normes Américaines (AASHTO 1989) utilisent pour les ponts routes

un FAD=1+15.24/(L+38.1) ou’ L est la longueur de la travée (en mètre) alors que les normes

françaises utilisent :

Pour les ponts routes :

Où l est la longueur de la travée (m)

S est la surcharge maximale (selon la nature et la classe du pont) :

G est la charge permanente.

Dans le cas des ponts rails :

Avec

: est la longueur caractéristique, donnée dans le tableau suivant :

Poutre sur appuis portée des poutres principales.


Poutre continue de n travées

n 1 2 3 4 5

α 1 1.2 1.3 1.4 1.5

Or la réponse dynamique réelle du pont due aux véhicules mobiles dépond en générale des

facteurs suivants :

Caractéristiques des véhicules telles que l’amortissement et la suspension.

Vitesse, poids et type de véhicules (espacement des essieux, etc…)

Caractéristiques des ponts, telles que l’amortissement et les fréquences de

vibration ;

Rugosité du profil de la route (tablier).

Intensité du trafic routier.

Position transversale des véhicules sur le pont.

Plusieurs auteurs ont abordé les aspects analytiques et numériques de la charge dynamique

exercée sur les ponts (poutre), (Veletsos et Huang 1970) ; Biggs 1964 ; Huang 1960 ; Fryba

1972, Ting rt al 1974 ; Hutton et Cheung 1979 ; Hwang et Nowak 1991). La majorité de ces

auteurs ont utilisé des modèles pont-véhicule très simplifié. Ceux-ci modélisent le pont par

une poutre dans le plan et le véhicule par une force constante ou par des systèmes

dynamiques très simples à 1 ou DDL (figure1.4). (Wang et al 1992a ont démontré

numériquement que les ponts sont fortement influencés par la distribution des charges au

niveau des essieux, et que les effets ne sont plus les mêmes sur toutes les poutres du pont

(figue). Ceci démontre bien que le FAD n’est plus nécessairement le même sur une section

donnée.


Fig 1.5. : Différent types de modélisations simplifiées de véhicules

1.2.6. Dynamique de l’interaction pont véhicule :

Depuis environ un siècle, plusieurs recherches ont été menées pour étudier la dynamique des

ponts et pour modéliser, d’une façon réaliste, la force d’interaction pont-véhicule. Les

premières recherches se sont concentrées sur les développements de résolution analytiques

pour des cas très simples des forces mobiles (voir tableau1.1).

Plus tard le développement rapide de l’informatique a permis aux chercheurs d’atteindre un

nouveau niveau de précision sur la modélisation de la force d’interaction. Ainsi, Biggs et

Suer, 1959 ont modélisé le système dynamique pont-véhicule, par une poutre sur appuis

simples traversée par un modèle simple de véhicule à un seul degré de liberté. Puis, d’autres

modèles de véhicules plus complexes ont été développés, soit des modèles à 2 et 4 d.d.l en

deux dimensions (Huang 60, Hutton et Cheung 79, Veletsos et Huang et Nowak 91), ainsi que

des modèles à 12 d.d.l en trois dimensions (Fafard et al 93, Savard et al 93, Wang et al 92).


Auteur Année Pays Problème étudié

- Wilis

- Stockes

- Krylov

- Timoshenko

- Inglis

- Biggs et Suer

- Fryba

- Huang

- Fenves et al

- Veletsos et Huang

- Ting

- Hutton et Cheung

- Hwang et Nowak

- Wang et al

- Savard et al

- Fafard et al

- L. Majumder, C.S.

Manohar

- ZhengZhang, Farid

Taheri

- S.S.Law_,X.Q.Zhu

- JunLeia,Yue-

ShengWanga,*,

Dietmar Grossb

- Hai-Ping Lin_,

Shun-ChangChang

- X.Q. Zhua, S.S.

Lawb

- A.Ariaei(a),

S.Ziaei-Radb,n,

M.Ghayour b

1849

1849

1905

1911

1934

1957

1972

1960

1962

1970

1974

1979

1991

1992

1993

1993

2003

2003

2004

2005

2006

2007

2010

Angleterre

Angleterre

Russie

Russie

Angleterre

E.U.A

Tchéq

China

E.U.A

E.U.A

E.U.A

Canada

E.U.A

E.U.A

Canada

Canada

India

Canada

China

China

Taiwan

Australia

China

Iran

- Cas 2 expérimental


- Cas 1

- Cas 1 avec - Cas 3


- Cas 1 Cas 2 Cas 3 Théorique

- Cas 3+véhicules à 2 et 4 D.D.L

- Cas 3+véhicules à 2 et 4 D.D.L

- Cas 3+véhicules à 7 D.D.L

- Cas2


- Cas 3+véhicules à 7 D.D.L+rugosité

- Cas 3+véhicules à 11 D.D.L+rugosité


- Cas 3en 3D+véhicules à 11 D.D.L

Tab 1.1 : les différents auteurs et leurs problèmes étudié avec le pays et l’année.

La compréhension du phénomène de l’interaction pont-véhicule revient à bien détailler la

représentation de la charge qui s’exerce sur le pont par le véhicule et réciproquement.

Supposons qu’un véhicule traverse un pont avec une vitesse constante, et qu’il reste en

contact permanent avec la chaussée. Au fur et à mesure que le véhicule progresse sur le pont,

ce dernier subit une déformation et la forme de l’ouvrage est alors modifiée. Ceci provoque

un déplacement relatif des extrémités des amortisseurs du véhicule, et par la suite l’intensité

de la charge développée sous chaque pneu est modifiée. Sous ces nouvelles sollicitations, le

pont se déforme de nouveau et occupe une autre configuration d’équilibre, et il modifie de


nouveau l’intensité de la charge sous chaque pneu, et ainsi de suite. Ce processus

d’ajustements successif se poursuit jusqu’à ce que le véhicule quitte complètement le pont, les

vibrations de l’ouvrage se poursuivent et sont amorties progressivement à une vitesse qui

dépend de l’amortissement du pont.

Lors des calculs, les effets dynamiques causés par les charges vives peuvent être pris en

compte d’une façon implicite en les représentant par une amplification dynamique des effets

statiques tels que :

Fig1.6. : Les déférents cas des problèmes étudié par les auteurs cité précédemment (tab1.1)

1.2.7. Facteur d’amplification dynamique :

Le facteur d’amplification dynamique FAD est un paramètre important dans la conception et

l’analyse des ponts. Jusqu’à maintenant il n’existe aucun consensus international quant à son

calcul, certaines divergences existent entre les recommandations de différentes normes

nationales de calcul des ponts. Ceci est du au fait que le FAD dépend de plusieurs paramètres

dont, entre autres, la portée, les premières fréquences propres du pont, l’état de la structure,

les types d’appuis, l’état du profil de la chaussée, l’interaction sol structure, la vitesse et les

caractéristiques dynamiques des véhicules.

L’amplification dynamique, résultant du passage d’un véhicule sur un pont est donnée par :

(Claude Broquet 1995)

Est la réponse dynamique maximale.

Est la réponse statique maximale.

Le facteur (1+AD) représente le facteur d’amplification dynamique. Par exemple un facteur

d’amplification FAD = 1.5 correspond à une amplification dynamique de 50 . Les réponses

et peuvent être soit des déplacements (flèche), soit des efforts (moment ou

autres).


Plusieurs tests sur des ponts ont été effectués au début des années 50 et ce dans le but

d’évaluer un FAD, (Biggs et Suer (1955) ; Biggs et al (1956), Fleming et Romualdi (1961),

Fenves et al (1962). De ces tests, on tire les conclusions suivantes :

- Pour de courtes travées (<13 m), le FAD est plus grand que celui donnée par les

recommandations AASHTO. Par contre pour les travées moyennes (>13 m), le FAD

est en concordance avec les recommandations.

- Pour les problèmes de forces mobiles, la vitesse est le paramètre le plus important à

avoir une influence directe sur le FAD.

- Les conditions initiales de vibration du véhicule augmentent le FAD.

- Généralement, le FAD croiit avec l’augmentation du paramètre de vitesse

Où : la vitesse de véhicule,

: La longueur de la travée

: est la période fondamentale du pont.

- La rugosité du profil de la route influe d’une façon important sur le FAD.

- Le FAD décroit avec la longueur de la travée (Coussy et al 1989), mais d’une façon

progressive, contrairement aux FAD donnés par les codes des différents pays.

- En revanche, la fréquence de vibration du pont a une influence considérable sur la

réponse dynamique. Actuellement, la majorité des ponts modernes possèdent des

fréquences fondamentales comprises entre 2 et 5 HZ. Or, ceci correspond aux

fréquences de résonance des véhicules commerciaux. Ces fréquences peuvent

provoquer une amplification importante de la réponse dynamique. D’ailleurs les

résultats numériques sont ici en concordance avec les résultats expérimentaux.

La prédiction d’un FAD adéquat et de la réponse dynamique ne sont pas évidentes, sur tout

pour des ouvrages complexes. Elles nécessitent le développement d’un modèle numérique

sophistiqué, pour se rapprocher le plus possible de la réalité de l’analyse dynamique des ponts

sous les effets des véhicules mobiles.

Cela revient à représenter les forces d’interaction ponts-véhicules d’une manière précise. Il

faut alors une représentation tridimensionnelle de l’ouvrage pour tenir en compte des rigidités

transversales et longitudinales. Il faut aussi une modélisation détaillée du véhicule, en tant que

système dynamique, tenant compte des suspensions, des amortisseurs, de l’espacement des

essieux et de la vitesse, ainsi que la modélisation adéquate du profil de la route.


Chapitre 02

Résolution du problème analytique non amortie

2.1. Généralité :

Dans ce chapitre, nous présentons la modélisation d’un système à un degré de liberté avant ca

on fait l’écriture de l’équation du mouvement par l’équilibre dynamique. Puis nous étudions

le comportement dynamique des poutres sous les sollicitations des charges mobiles par les

approches analytiques pour obtenir aux équations du déplacement, la flèche dynamique, la

flèche statique et le facteur d’amplification dynamique. La charge mobile est exprimée par

une force mobile et ne pas prendre en considération l’effet d’amortissement dans notre étude.

2.2. L’écriture de l’équation de mouvement par l’équilibre dynamique :

Le principe de D’Alembert stipule que si une masse est écartée de sa position initiale

d’équilibre, elle produit une force d’inertie proportionnelle et opposée à son accélération.

Donc, en plus des forces caractérisant le système à un seul degré de liberté, une autre force

appelée force d’inertie va intervenir dans l’établissement de l’équilibre dynamique de ce

système. Les forces agissant la direction du degré de liberté de déplacement sont donc ; le

chargement et trois forces engendrées par le mouvement : la fore d’inertie , la forces

d’amortissement et la force de rappel . L’équation du mouvement est exprimée tout

simplement par l’écriture de l’équilibre de ces forces :

Tels que :

En reportant les équations (2) dans l’équation (1), on obtient :

On divise l’équation (2.3) sur m :


,

,

Est appelée pulsation propre du système (en rad/s).

La fréquence propre du système est par définition

(en Hz)

Et la période propre

Démarche de résolution :

Il existe deux approches pour obtenir la réponse dynamique du système.

Méthode modale : on transforme le système couplé en un système de quelques

équations découplées, en utilisent une des méthodes de l’espace modal. chaque

équation représente un système à un seul degré de liberté dont la solution peut être

obtenue soit par la méthode de Duhamel soit par ma méthode fréquentielle.

Méthode directe : on utilise un schéma d’intégration de type Newmark ou différences

finies pour obtenir la solution temporelle pas à pas.

2.3. Méthode modale de Duhamel :

2.3.1. Présentation de la méthode :

Cas générale :

Soit l’équation des vibrations forcées d’un système à un seul degré de liberté :

Avec les conditions initiales sont :


Méthode modale de Duhamel (Bigg 64, Humar 90) consiste à transformer la relation non-

homogène en ensemble de relations homogènes et obtenir la solution par superposition des

solutions de chaque relation homogène, soit :

- les conditions initiales :

Avec et les conditions initiales.

- Pour chaque (τ>0), et chaque équation homogène :

Avec :

Donc : Avec :

D’où :

En effet on résout chaque relation homogène pour .

Pour cette représentation on peut utiliser le principe de Newton :

- La solution de (2.8) est donnée par :

.

Ou

- De même la solution de (2.9) s’écrit ( :

.

En remplaçant (2.10) dans (2.13a) nous avons ainsi :

.


Ou encore

.

L’intégrale (2.13b) est connue sous le nom de l’intégrale de convolution ou de Duhamel la

solution finale de (2.7) est obtenue par la superposition des solutions de (2.8) et (2.9)

.

Ou encore

.

Dans notre cas l’effet d’amortissement est n’est pas prise en compte ; l’étude

est des poutres non amorties. Alors l’équation de mouvement devient :

Pour les mêmes conditions aux limites on trouve :

- La solution de (2.18) est donnée par :

Ou

- De même la solution de (2.17) s’écrit ( :

.

- En remplaçant (2.10) dans (2.20a) nous avons :


Ou encore

L’intégrale (2.20b) est connue sous le nom de l’intégrale de convolution ou de Duhamel la

solution finale de (2.17) est obtenue par la superposition des solutions de (2.17) et (2.18)

.

Ou encore

.

2.4. Poutre sous véhicule mobiles :

2.4.1. Vibration libre des poutres :

Le modèle de vibration libre d’une poutre mince dans le plan x-z est donnée par :

Où EI(x) est la rigidité de la poutre, est la masse de la poutre par unité de longueur et w

est le déplacement transversal.

Figure2.1 : Vibration transversale des poutres-Cas général


En chaque point x=0 et x=L, on définit deux conditions aux limites. La solution est

représentée sous forme modale par :

Où est la pulsation propre du Jaime mode. La relation s’écrit () sous la forme (on omet

l’indice j) :

La solution de cette équation s’écrit :

.

Où

=0 (2.29a)

Pour obtenir une solution non triviale, alors :

Les coefficients sont choisis tel que :

Poutre simplement supportée :

Les conditions aux limites sont :


Figure 2.2 : Vibration transversale des poutres-Conditions aux limites

D’où :

Conduit à : soit

D’où

et

Propriété des modes :

Les relations (2.26) et (2.29) donnent :

On peut démontre que (Clough et Penzlen 93) :

Pour les conditions aux limites homogènes.

2.4.2. Poutre sous la sollicitation d’une force mobile :

Soil une poutre simlement supportée soumise à l’action d’une force ponctuelle mobile à

vitesse constante :


Figure 2.3 : Poutre sous l’effet d’une force mobile

La relation différentielle correspondante est (Diggs 64, Fryba 72) :

Avec :

;

Et

En utilisant la représentation modale avec les propriétés (2.31) :

La relation (2.32) s’écrit alors :

Si on suppose que le système possède un amortissement visqueux, l’équation (2.35) peut se

mettre sous la forme suivante :


La solution de (2.35) ou (2.36) est donnée dans ce chapitre dans la partie de l’intégrale de

(2.22) Duhamel :

Dans le cas où l’amortissement est négligeable, on a alors :

.

Dans le cas où l’amortissement est non négligeable, la solution de l’équation (2.37) devient :

, N est le nombre des modes dominants et et sont respectivement la

fréquence et l’amortissement naturels du mode j.

Dans le cas d’une poutre non amortie, sur appuis simples avec vitesse constante, on aura :

L’équation modale devient :

La solution pour

est :

2.5.Calcule du facteur d’amplification dynamique (FAD) :


Si nous considérons la poutre non amortie sur appuis simples soumise à la sollicitation

d’une force constante ponctuelle mobile, le facteur d’amplification dynamique est donné

par :

La flèche dynamique correspondant à un seul mode est :

.

Où

La flèche statique maximale :

.

De (2.42) et (2.44) , on auras :

.

.

Avec :

et

(temps nécessaire pour parcourir toute la poutre)


Exemple de validation :

1- Détermination des modes, des fréquences, des déplacements et des facteurs

d’amplifications dynamiques

Exemple 01 : pour une vitesse de v=10 m/s

Cas d’une poutre sur appuis simples :

Figure 3.1. Poutre simplement appuyée sous force mobile

Objective:

Dans cet exemple nous étudions le modèle d’une poutre mince non amortie sur appuis simple

sous l’effet d’une force mobile à vitesse constante.

Description physique :

La pulsation analytique est donnée par :

La flèche dynamique analytique est donnée par :

Moment statique maximal est :

Donnée de la poutre donnée

du véhicule

L=26.625 m

P=2.5 kg/m³

g=9.81 m/s

ml=4.46e2kg

F=-300e3 N

V=10 m/s


Les résultats numériques :

la pulsation :

Le nombre du mode La pulsation w ( 1 0.1074

2 0.4298

3 0.9670

4 0.7191

Les fréquences :

Figure 3.2. Les fréquences propres de vibration pour le premier mode

Figure 3.3. Les fréquences propres de vibration pour le deuxième mode

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

La longueur en (m)

La

fréq

uen

ce p

ou

r le

pre

mie

r m

od

e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

La longueur en (m)

La

fréq

uen

ce p

ou

r le

deu

xiè

me

mo

de


Figure 3.4. Les fréquences propres de vibration pour le troisième mode

Figure 3.5. Les fréquences propres de vibration pour le quatrième mode

Les déplacements :

Figure 3.6. Le déplacement maximale lorsque la charge est appliquée au milieu de la poutre

pour V=10m/s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

La longueur en (m)

La

fréq

uen

ce p

ou

r le

tro

ixiè

me

mo

de

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

La longueur en (m)

La

fréq

uen

ce p

ou

r le

qu

atiè

me

mo

de

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-3

Le temps en (s)

Le

dép

lace

men

t en

(m

)


Le facteur d’amplification dynamique (FAD) :

Figure 3.7. Le facteur d’amplification dynamique maximale lorsque la charge est appliquée au

milieu de la poutre pour V=10m/s

2- Etude paramétrique :

Exemple 02 : pour une vitesse de v=20 m/s et de v=30 m/s

Pour les paramètres précédents mais avec une vitesse de 20 m/s et de v=30 m/s puis on

affiche les résultats suivants :

la pulsation : pour la vitesse de 20 m/s :


2 0.4298

3 0.9670

4 0.7191

la pulsation : pour la vitesse de 30 m/s :


2 0.4298

3 0.9670

4 0.7191

Pour une vitesse de v=10 m/s, v=20 m/s et v=30 m/s pour les mêmes paramètres on aura les

deux graphes des résultats du déplacement et de FAD.

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Le temps en (s)

Le

FA

D (

fact

eur

d'a

mp

lifi

cati

on

dy

nam

iqu

e)



pour V=10m/s, 20m/s et 30m/s

Exemple03 : pour les mêmes données, mais pour un autre module de YOUNG on aura les

résultats suivante :

la pulsation :


2 0.7333

3 1.6499

4 2.9331

Les fréquences :

Figure 3.9. Les fréquences propres de vibration pour le premier mode de vibration

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4.5

-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-3

timee(s)

ep

lace

me

n(m

)

V=20m/s

V=10m/s

V=30m/s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

La longuer de la poutre en metre

La

fréq

uen

ce p

ou

r le

pre

mie

r m

od

e


Figure 3.10. Les fréquences propres de vibration pour le deuxième mode de vibration

Figure 3.11. Les fréquences propres de vibration pour le troisième mode de vibration

Figure 3.12. Les fréquences propres de vibration pour le quatrième mode de vibration

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015


La

fréq

uen

ce p

ou

r le

dex

ièm

e m

od

e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015


La

fréq

uen

ce p

ou

r le

tro

ixiè

me

mo

de

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

La longueur de la poutre en metre

La

fréq

uen

ce p

ou

r le

qu

atri

ème

mo

de


Les résultats de la flèche dynamique :


pour V=10m/s

Les résultats du FAD :

Figure 3.14. Le facteur d’amplification dynamique maximale lorsque la charge est appliquée

au milieu de la poutre pour V=10m/s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0x 10

-5


La

flèc

he

dy

nam

iqu

e

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


Le

fact

eur

d'a

mp

lifi

cati

on

dy

nam

iqu

e


3- Comparaison avec HANCHI-K :

Figure 3.15. Poutre simplement appuyée sous force

mobile

La pulsation:


2 192.6452

3 433.4517

4 770.5808

FAD:

Figure 3.16. Le facteur d’amplification dynamique maximale lorsque la charge est appliquée

au milieu de la poutre pour V=60m/s

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Le

fact

eur

d'a

mp

lifi

cati

on

dy

nam

iqu

e

Donnée de la poutre donnée

du véhicule

L=25 m

P=2.5 kg/m³

g=9.81 m/s

ml=5.96e3kg

F=-1461.69 N

V=60 m/s


Figure 3.17. Comparaison des résultats du facteur d’amplification dynamique pour l’exemple

de comparaison avec celui de Henchi K 1999 pour une vitesse de 60 m/s.


Conclusion

Cette étude nous à pérmis de bien cerner le problème de la vibration des poutres sous

chargement mobile surtout lorsque cette poutre est simplement appuyée et sollicité par charge

modélisé par une force constante doté d’une vitesse constante, on peut tirer les conclusions

suivantes :

- Quand on augmente la vitesse, les résultats montre que la pulsation ne change pas de

valeur par ce qu’elle est en fonction des paramètres telle que : la masse, la longueur, le

module de Young et l’inertie qui sont constant dans le premier exemple.

- L’effet de la vitesse de passage des forces mobiles est un facteur très important,

surtout lorsque l’inertie de la charge mobile est considérable (l’effet de la masse n’est

négligé ’l’accélération verticale de la masse’), conclusion tiré par Hench K. 1999.

- Les valeurs des facteurs d’amplification dynamiques (FAD) à mi-travée de la vitesse

10 m/s est plus importants (4.5 ) que pour la vitesse de 20 m/s (3.2 ) par

contre la vitesse 30 m/s donne un FAD plus petit (2.3 ), donc on peut conclure

que la vitesse la plus importante donne un effet dynamique moins important sur la

poutre et l’inverse pour le déplacement, c.-à-d. le déplacement est plus grand pour la

vitesse la plus petite.

- L’influence des paramètres caractéristique de la poutre telle que : le module de Young

et la section (ou l’inertie) est très important sur le comportement dynamique des

poutres sollicitées par charges modélisées par forces mobile, les résultats montrent que

on diminuant les valeurs des caractéristiques géométriques ou du matériau (module

d’Young), cela provoque directement une augmentation des déplacement et aussi de

l’amplification dynamique, avec la pulsation et les fréquences qui change puisqu’ils

sont fonction de ces paramètres (voir l’exemple1 et l’exemple3 d’une vitesse de 10

m/s).

- Les résultats de notre étude sont en parfaite concordance avec ceux tirés de la

littérature Henchi K. 1999.

Référence

CLAUDE BROCKUET

- Comportement dynamique des dalles de roulement des ponts en béton sollicités par le

trafic routier, école polytechnique fédérale de LAUSANE (EPFL) 1999.

HENCHI KAMEL

- Analyse dynamique des ponts par éléments finis sous la sollicitation des véhicules

mobiles, université de COMPIEGNE, COMPIEGNE, France, 243 pages 1995.

INTERNET

- Eléments de dynamique des structures illustrations à l’aide de CAST3M, D.

COMBESCURE, Septembre 2006.

Cour dirigé par Mr BOUDCHICHA-A

- Vibration libre et vibration force pour un système de 1DDL.

Programmes utilisées :

- Matlab

- Microsoft Word.

- Microsoft Excel.

- Paint.

memoire du fin d’etudes etude analytique des...

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