soit lapplication f de, définie et continue sur un intervalle [a,b]. la dérivée de f au point est...

Soit l’application f de , définie et continue sur un intervalle [a,b].La dérivée de f au point est définie par

Définition

B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT

Conséquences . Géométriquement, la dérivée est le coefficient angulaire(la pente) de la tangente à f(x) en . En physique, elle exprime la vari -ation locale (ou instantanée lorsque x désigne le temps) de la fonction f.

0 [a,b]x

1

t f(t)

0f'(x )

h

f(x)

0f(x )

0x +0x h

+0f(x h)

a b

x

x 0h 0

0 00

f(x +h)-f(x ) ff'(x ) = lim = lim

h x

tangente sécante

0x

dff'(x) =

dxNotation :

Exemple.

B. Rossetto, EuroMed Management, ESCT 2

h 0

h 0 h 0

h 0

2 20 0 0 0

0

2 2 2 20 0 0 0

0

f(x +h)-f(x ) (x +h) -xf'(x ) = lim =lim

h h

x 2x h+h -x 2x h+h =lim lim = 2x

h h

2f(x) = x

h

f(x)

0f(x )

0x +0x h

+0f(x h)

x

0

Equation de la tangente.

1. Elle passe par le point 2. Son coefficient angulaire est

On trouve

,0 0(x xf( ))

0f'(x )

tangente

)0 0 0y= f'(x )(x - x +f(x )

Exemple 1.


dyy y t, ou encore y

dt

La croissance exponentielle de la population.

Soit y(t) la population (en milliers) et le taux de croissance (par millierset par an). On a l’équation différentielle (la relation entre y et sa dérivée):

dont la solution est

ty(t) y(0) e

y

0 t

Cette croissance est très rapide (l’exponentielle croît plus vite que n’importe quelle puissance de x). Par exemple

La population double tous les

Cas où >0et y(0) = 0.

3e 20, 10e > 20 000

(e = 2,7 1828)

20,69

t =

Exemple 2.


Décroissance exponentielle de la population.

Si < 0, la population décroît

ty(t) y(0) e

y

0 t

La population a diminuée de moitié lorsque

Cas où < 0

y(0)

1

y

0 t

y(0)

Cas où < 0

y(0)

2

0,69

12

0,69t =α

La tangente recoupe l’axe horizontal pour

1t=α

Exemple 3.


dyy y t t, ou encore y

dt

Intervention extérieure par apport de population.

Pour remédier à cette situation, on apporte milliers d’individus par an

L’état stationnaire (encore appeléétat permanent) correspond à

Cas où < 0 et > 0.

dy0

dt

soit

β β

y( )=-α α

∞

y

0 t


Théorème.

dya y b, où a et b sont des réels quelconques, avec

dty(0) comme condition initiale (C. I .)

La solution de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec une entrée extérieure est :

estat atb

y(t) (1 e ) y(0) ea

y

0 t

Si , la solution s’écrit : y(0) 0

atby(t) (1 e )

a

ba

Cas où b et a > 0 et où y(0) = 0Preuve : on vérifie qu’elle obéit àl’équa. diff. et qu’elle vérifie la C.I.

5 10 15 20t

0 .5

1 .0

1 .5

y

Exemple 4.


Apport de population dépendant du temps.

La solution asymptotique de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, avec une entrée externe sinusoïdale, est difficile à obtenir mathématiquement. La simulation numérique montre qu’elle est elle-même sinusoïdale, mais que son amplitude est d’autant plus faible que est grand devant et devant =2

dy 2 y 1 sin( t)

dt T

On tient compte des variations saisonnières de l’apport de la population par une fonction sinusoïdale de période T=1 an.

=1, =1 et =1

Exemple 5.


Système linéaire prédateur-proie.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

y a y t a y t

y a y t a y t

soit

Soit y1(t) la population d’une proie et y2(t) celle d’un prédateur. Ce dernier prélève individus par milliers (de prédateurs) et par an. Cette nutrition amène un supplément de a21 prédateurs par milliers de proies et par an. Les taux de croissance respectifs sont a11 et a22. On obtient un système d’équations différentielles linéaire homogène à coefficients constants du second ordre, avec a12 < 0 et a21 > 0 dans un système prédateur – proie, que l’on sait résoudre mathématiquement:

12a

111 1 12 2

221 1 22 2

dya y a y

dtdy

a y a y dt

Systèmes linéaires du second ordre.


On pose S = a11+a22 et P = a11a22 - a12a21 et on cherche les racines de l’équation caractéristique suivante, qui sont aussi les valeurs propres de la matrice 2x2 des 4 coefficients [aij] :

2 – S+ P = 0

1.COL. Lorsque P<0, les racines (les valeurs propres) 1 et 1 sont réelles et de signe contraire. Le point singulier (point d’équilibre, point de repos), localisé en l’origine, est un col. Un col est toujours instable.2.NŒUD. Lorsque P>0 et S2-4P>0, les racines sont réelles et de même signe. Le point singulier est un nœud, stable si S<0, instable si S>0.3.FOYER. Si P>0 et S2-4P<0, les racines sont complexes conjuguées. Le point singulier est un foyer, stable si S<0, instable si S>0.4.CENTRE. Si P>0 et S2-4P=0, les racines sont imaginaires pures et de signe contraire. L’amplitude de l’oscillation est constante. Le point singulier est un centre.



1. COL dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de signe contraire. Un col est toujours instable : quelles que soient les C. I. y1(0 et y2(0) - excepté sur l’une des séparatrices du col, ce qui constitue une situation très instable - la solution va à l’infini.



2. NŒUD dans le plan des phases. Les valeurs propres sont réelles et de même signe. Le nœud est

- instable si S>0, - stable si S<0 (cas

de la figure)



3. FOYER dans le plan des phases. Les valeurs propres sont complexes conjuguées. Le foyer est

- instable si S>0, - stable si S<0 (cas de

la figure)

Exemple 6.


Equations de Volterra-Lotka.Nous avons vu que le prélèvement est proportionnel à la population des prédateurs y2, mais il est justifié de considérer qu’il est aussi proportionnel au nombre de proies y1. Les taux de croissance respectifs sont inchangés : a11 et a22. Ces hypothèses conduisent à un système différentiel non linéaire homogène du second ordre, que l’on ne sait pas résoudre mathématiquement:

111 1 12 1 2

221 1 2 22 2

dya y a y y

dtdy

a y y a y dt

Le tracé du portrait en phase des solutions de l’équation de Volterra-Lotka permet une étude qualitative globale des solutions.

Exemple 6.


Equations de Volterra-Lotka.

1. Points singuliersCe sont les points d ’équilibre, définis par : .On trouve :

2. Matrice JacobienneL’équation aux variations y1 et y2 autour d’un point y1 et y2 est un système linéaire à coefficients constants que l’on sait résoudre :

1 2dy dy0 et 0

dt dt

1 2

22 111 2

21 12

1. y 0 et y 0

a a2. y et y

a a

111 12 2 1 12 2

221 1 22 21 1 2

d y(a + a y ) y a y

dtd y

a y a a y y dt

Exemple 6.


Equations de Volterra-Lotka.

3. Nature des pointssinguliers

1

2

221

21

112

12

y 01. est un COL

y 0

ay

a2. : CENTRE

ay

a

Ci-contre : les solutions de l’équation de Volterra - Lotka dans le plan des phases pour l’équilibre d’un système phytoplancton – zooplancton.

0 1 2 3 4 5P hy top lankton0

1

2

3

4

5Zoop lankton

soit lapplication f de, définie et continue sur un intervalle [a,b]. la dérivée de f au point est...

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