Résolution de problèmesM2 AltUE72011-2012

Résolution de problèmes• Résoudre des problèmes fait partie de l'activité mathématique

• C'est dans l'action que l'on apprend : l'apprentissage se fait au moins en partie à travers les adaptations que les élèves vont devoir faire de leurs connaissances mathématiques pour les mettres en oeuvre dans les problèmes

Différents types de problèmes•Problèmes de découverte : pour lequel l'élève va

devoir construire une nouvelle méthode ou connaissance à partir (ou contre) ce qu'il sait déjà.

•Problèmes d’application•Problèmes d’approfondissement, de

réinvestissement :ce type de problème nécessite de réunir conjointement plusieurs savoirs ou savoir-faire pour pouvoir le résoudre.

•Problèmes d’évaluation•Problèmes ouverts ou de recherche : ce type

de problème est destiné à mettre l’élève en situation de recherche et de développement de compétences d’ordre méthodologique.

Problèmes et opérations• Les élèves rencontrent des situations additives (pour lesquelles l'addition est un outil de résolution), avant même de savoir poser une additionex : compléter une collection pour réaliser une collection équipotente

• Souvent, résoudre un problème revient à choisir et à effectuer la ou les bonnes opérations (+, -, x, :)mais pas toujours...

Exemple de problème sans opération

il suffit donc de prendre 4 bonbons pour être sûr d'en avoir au moins 2 de la même couleur

Dans un bocal opaque il y a 5 bonbons rouges, 6 bonbons bleus et 8 bonbons jaunes. Combien de bonbons dois-je tirer au maximum pour être sûr d'en avoir au moins 2 de la même couleur ?

on n'a pas fait d'opération, et pourtant les élèves répondront :

5 + 6 + 8 = 19 bonbons ! pourquoi ??

Le contrat didactique

L’âge du Capitaine …

Une expérience maintenant célèbre de l’IREM de Grenoble. On a proposé à des élèves de CE1 et CE2 le problème suivant :

Sur un bateau il y a 26 moutons et 10 chèvres. Quel est l’âge du capitaine ?

76% ont donné l’âge du capitaine !

Le contrat didactique Réponse de Matthieu au problème : 36 ans

•Mère : tu as dix crayons dans la poche de ton short et dix crayons dans la poche de ta chemise. Quel est ton âge ?

•Mat : facile ! 20 ans.

•Mère : enfin Matthieu, quel âge as-tu ?

•Mat : en vrai, j’ai 6 ans.

•Mère : pourtant, tu as répondu que tu avais 20 ans !

•Mat : oui, mais ton problème, c’est du faux, c’est comme un conte … quand c’est du vrai, je n’ai pas besoin d’un problème pour savoir mon âge …

•Père : j’ai 2000 F et Maman a 1000 F. Quel est mon âge ?

•Matthieu va chercher la calculatrice dans le cartable et répond :3000 ans

Le contrat didactiqueOn peut se demander ce qui motive chez

les enfants le choix d’une opération :

- Quel rôle jouent les mots de l'énoncé ?

- Quelle est l’influence des apprentissages scolaires récents ?

- Quel rôle joue la vraisemblance du résultat ?

on va s'intéresser autant à l'exactitude de la solution proposée qu'à la procédure employée

par l'élève : elle est révélatrice de ses connaissances

Procédures des élèvesUn chien essaie de rattraper un renard. Le renard démarre avec 30 m d'avance sur

le chien, et pendant que le chien fait un bond de 2 m, le renard, lui, fait un bond de 0,50 m.

Trouve en combien de bonds le chien aura rattrapé le renard.

stratégie essai / erreur

elle fait partie de la démarche scientifique

Procédures des élèves

Parmi les procédures utilisées par les élèves, certaines seront considérées comme plus expertes que d'autres, (et pas seulement en fonction de l'exactitude du résultat) :- suivant la rapidité et l'économie de la procédure- suivant les connaissances mathématiques mises en oeuvre- suivant l'interprétation et la cohérence du résultat obtenu

Procédures des élèves

•problème : 108 coureurs prennent le départ d'une

course. Il y a beaucoup d'abandons. 85 coureurs seulement terminent la course.Combien de coureurs ont abandonné ?

utilisation d'un schéma

utilisation d'un schéma et du groupement par 10

utilisation d'un décomptage

utilisation d'un calcul réfléchi

avec complément à la dizaine supérieure

avec complément à la centaine supérieure

utilisation d'une opération posée

addition

addition à trou

soustraction

Problèmes et opérations

•on distingue 2 grandes catégories de problèmes en fonction des opérations qu'ils nécessitent :

- problèmes additifs (addition et soustraction)

- problèmes multiplicatifs (multiplication et division)

les problèmes additifs

Problèmes additifs▫ADDITION▫ Opération, transformation = ajout

▫ Aspect cardinal = réunion

▫ Aspect ordinal = surcomptage

SOUSTRACTION▫ Opération, transformation = retrait

▫Aspect cardinal

▫Aspect ordinal = décomptage

A B

a a+b

A B? ?

bb - a

Evaluations en CE2

73%

30,5%

29,2%

Classification des problèmes additifs

= Classification de Vergnaud•Réunion de deux collections ou

composition de mesures

on peut rechercher :

- la collection totale- une sous-partie de la collection connaissant le total

le premier de ces deux types de problèmes est le plus simple à résoudre pour les élèves

Classification des problèmes additifs

•Transformation d’état

dans un tel problème, on peut rechercher :

- la situation finale- la transformation effectuée- la situation initiale

Annie avait 14 billes, elle en a gagné 7, combien en a t elle maintenant ?

Annie avait 14 billes, elle a joué et elle en a maintenant 21. Que s’est il passé ?

Annie a gagné 7 billes, elle en a maintenant 21. Combien avait elle de billes avant le jeu ?

?+7

21

?+7

14

?

2114

Classification des problèmes additifs :trois exemples de transformations

ces deux derniers types de problèmes sont plus difficiles à résoudre que le premier

Classification des problèmes additifs

• Comparaison

On peut rechercher : - l’un des deux états- la relation entre les deux états (combien X a-t-il de ± que Y ?)

c'est le type de problème qui pose le plus de difficulté aux élèves

Classification des problèmes additifs

• Composition de transformations

type de problème plus rare à l'école primaire

Des erreurs qui peuvent être liées à :

▫Aux calculs à effectuer▫Au type de problème

73%

30,5%

Réunion de deux collections ou composition de mesures

76

34?

85

?108

Addition ou soustraction

Quelles sont les variables qui rendent ces problèmes plus ou moins complexes ?

1) On achète 3 chaises pour 45€. Combien coûte une chaise ?

2) On achète 3 chaises pour 45€ et 1 table pour 50€. Combien a-t-on dépensé ?

3) On achète 3 chaises et une table pour 95€, puis on rachète 2 chaises pour 30€. Combien coûte une chaise ? une table ?

4) On achète une table et 2 chaises pour 80€, puis 2 tables et 6 chaises pour 130€. Combien coûte chaque meuble ?

Les difficultés peuvent être relatives à :

• Des facteurs « mathématiques »▫Relations entre les nombres▫Nombres en jeu▫Grandeurs en jeu

• D’autres facteurs▫Place de la question▫Complexité linguistique▫Chronologie de l’énoncé▫Nombre d’étapes pour résoudre le

problème et gestion des résultats intermédiaires

▫Interprétation sociale/subjective de l’énoncé.

Des problèmes « faciles » ou non ?Posés à l’entrée en CE2

210

19

- Soustraction ou 210 avec ou sans unités : 59,2%

- Autres réponses : 36,9% (démarche additive : 18,9%)

- 19 : 27,3%

- Autre : 68,4%

et dans les manuels ?

•rechercher les problèmes additifs dans les manuels de l'école élémentaire

- comment sont-ils signalés ?- où sont-ils placés ?- quelles catégories de problèmes trouve-t-

on ?- quelle progression entre les différents

problèmes ?

dans les manuels :•on trouve plutôt des "problèmes"

d'entraînement liés aux opérations mais pas de vrais problèmes

• la progression se fait par rapport aux opérations, et aux nombres mais pas par rapport au type de problème dans la plupart des cas (réunion, transformation, comparaison ne sont pas forcément dans cet ordre voire pas tous représentés)

•on trouve beaucoup plus de problèmes de transformation