Résolution de problèmes au CP-CE1 et CE2

• Animation du mercredi 11 février 2015

Des représentations divergentesPour l’enseignant:

- S’approprier le problème- En avoir une représentation- Analyser les données du problèmes

et les relations qui les lient- Par analogie, comparer ce nouveau

problème aux précédents déjà rencontrés

- Avoir conscience qu’il existe différents types de problèmes

- Dessiner, schématiser- Faire plusieurs essais- Savoir expliquer ce qu’on a voulu

dire

Pour l’élève:

- Ecrire quelque chose- Trouver la solution- Faire des opérations- Calculer- Marquer une phrase-réponse

Premier constat

• Les élèves ont des connaissances mais ne les mobilisent pas par manque de disponibilité

• Ils manquent d’autonomie et de rigueur face à la tâche

• Ils manquent de stratégies même dans une situation familière

Difficulté majeure constatéeLe passage des transformations (analogiques) aux opérations (symboliques).

Le fait que les enfants perçoivent et comprennent très précocement et facilement les effets des transformations affectant la quantité (ajout, retrait, partage…) laisse souvent penser à tort qu’ils maîtrisent ou au moins comprennent les opérations (addition, soustraction, multiplication, division...).On a tendance à surestimer les capacités des enfants en ce domaine. Il paraît vraisemblable que l’accès aux opérations permettant, par exemple, d’utiliser une addition pour traiter un retrait (ex: Jean avait des billes. Il en a perdu 18 à la récréation. Il lui en reste 27. Combien en avait–il avant de commencer à jouer ?), est lent et requiert de nombreuses rencontres avec des situations diverses mobilisant chacune des opérations.

Il apparaît que dans les pratiques de classe, les situations problèmes proposées aux élèves sont souvent trop limitées (ajout –> addition ; retrait –> soustraction) et n’incitent pas assez les élèves à élaborer une conception mature des opérations .

Il faut donc envisager que c’est en variant le plus possible les situations que l’élève peut être amené à résoudre des problèmes en découvrant le sens des opérations élémentaires et à en généraliser l’utilisation en s’éloignant d’une conception immature qui associe de manière sommaire par exemple des transformations (ajout) et des opérations (addition).

L’enjeu majeur

• Du cycle 2 au cycle 3, il s’agit de conduire les élèves à résoudre des problèmes (« problèmes simples à une opération »), essentiellement additifs (qui peuvent être résolus par l’addition et la soustraction) et multiplicatifs (qui peuvent être résolus par la multiplication et la division) et de les amener à automatiser le processus de reconnaissance de l’opération.

• L’automatisation du processus de reconnaissance de l’opération n’est réellement effective que si l’élève parvient à associer une opération (la soustraction par exemple) à n’importe quelle situation nécessitant cette opération.

• Cette automatisation du processus de reconnaissance de l’opération suppose, chez l’expert, la mise en œuvre d’une démarche analogique qui lui permet de:– comparer la situation proposée à une

situation de référence, – puis de transférer cette analogie des

situations à une analogie de procédures.

• Autrement dit quand on propose à un expert un problème, ce dernier est très vite assimilé à un problème de référence que le cerveau a en mémoire et plus exactement à l’opération qui permet de résoudre ce problème de référence. L’opération adéquate est ainsi confrontée aux données disponibles dans le problème proposé pour être définie comme la procédure de résolution du dit problème.

• La construction du processus de reconnaissance de chaque opération suppose une attention sur plusieurs obstacles qu’il s’agit de différencier selon que l’élève ait déjà, ou non, une situation de référence en mémoire permettant l’analogie avec le problème proposé :

Tableau

Situation de référence inconnue Situation de référence connue

- la compréhension de la situation et la place de la manipulation ;

- la compréhension que la situation proposée n’est pas une situation de

référence connue ;

- la compréhension du passage de la situation à l’énoncé et la forme des

énoncés ;- la comparaison de la

compréhension de l’énoncé aux situations de référence connues ;

- le passage de la compréhension de la situation à l’élaboration d’une première trace d’une procédure de résolution ;

- l’identification de cette nouvelle situation de référence par rapport à une des opérations connues ;

- le passage de la compréhension de l’énoncé à l’utilisation d’une procédure de résolution ;

- la progressivité de l’élaboration de procédures plus efficaces ;- l’utilisation puis l’automatisation de la procédure générique.

Obstacles: 3 temps distincts

• Ces obstacles sont donc classés au travers des trois opérations mentales distinctes chez l’élève :

- représentation du problème ; - opérationnalisation de la représentation du

problème ;- résolution du problème.

• Malheureusement, généralement, on observe que les aides mises en place dans les classes correspondent à celles apportées à la seule résolution du problème alors que près de 80% des opérations sont effectuées.

Ces obstacles doivent être explicites pour les enseignants et explicités pour les élèves puisque ces derniers y seront confrontés d’une manière ou d’une autre lorsqu’ils progresseront dans la construction du processus de reconnaissance de chaque opération.

Ne pas les expliciter serait laisser les élèves les affronter seuls et reviendrait à amplifier les inégalités scolaires liées aux inégalités sociales. Ne pas se poser la question de quand les affronter ni de comment les affronter, sans aide, reviendrait à creuser les inégalités scolaires liées aux inégalités sociales.

• Cette condition implique que l’élève doit être confronté à la diversité des situations additives et multiplicatives regroupant les problèmes d’addition, de soustraction, de multiplication et de division. Or tous les problèmes additifs, soustractifs, multiplicatifs et de division ne sont pas résolus avec le même taux de réussite. Cela tient principalement à leur inégale difficulté. Il faut donc aborder les différentes catégories de problèmes de manière structurée et progressive.

Intérêts

Intérêts à travailler à partir de la typologie de problèmes

La connaissance des différentes structures par le maître va lui permettre de mettre en place une progression.

Cette connaissance va permettre aux élèves d’effectuer des catégories et des comparaisons.

Ces catégorisations et comparaisons contribuent à la création du concept mathématique.

Le processus d’identification de la structure par analogie permet l’automatisation.

L’automatisation permet de libérer de l’énergie cognitive qui sera dévolue à des tâches annexes.

Comment agir et organiser les apprentissages

• Rappel de la catégorisation des problèmes à travailler au CP-CE1 puis au CE2

Catégories

I- Pour les problèmes additifs et soustractifs:4 catégories de problèmes simples

• Transformation : (ete)

• Composition d’états ou (combinaison): (eee)• Comparaison (ece)• Composition de transformations (non traitée au cycle 2): (ttt)

1ère Catégorie : Transformation: (ete)

Problèmes du type : état initial –

transformation (positive + ou négative -) – état final

?

?

Contexte ordinal

?

?

Contexte ordinal

?

?

?

Contexte ordinal

?

Contexte ordinal

?

?

?

Contexte ordinal

Contexte ordinal

?

2ème Catégorie : Combinaison: (eee)

• Problèmes du type : partie – partie – toutIl s’agit ici de problèmes dits « statiques », les états ne subissant pas de transformation

?

?

3ème Catégorie : Comparaison d’états : (ece)

• problèmes du type :

état 1 comparant

comparaison (positive + ou négative -)

état 2 comparé

1

2

+?

+?

Contexte ordinal

II- Pour les problèmes de multiplication et de division

(jusqu’au CE2):2 catégories de problèmes simples

• Les problèmes de multiplication

• Les problèmes de division partage et ceux de division groupement

1 a

b ?

1 ?

b c

1 a

? c

Pour aider les élèves à passer les différents obstacles, le chemin d’enseignement doit être organisée de façon à permettre la progressivité des apprentissages

• Les différentes étapes à respecter: -Séance de découverte (apprentissage)-Séance de création d’outil de résolution-Séance d’entraînement-Séance de réinvestissement-Séance d’évaluation-Séance d’entretien

Situation inconnue1 nouvelle catégorie de problème: 1ère étape essentielle: la situation d’apprentissage ou de la situation non écrite à l’énoncé écrit

En maternelle, les élèves de la maternelle sont confrontés aux problèmes par des « situations » proches de la vie courante de l’élève (des pratiques où le rapport à l’objet et les manipulations sont directs). Dès la GS, on enseigne le passage de la « situation » à des « représentations » (verbales, dessinées, schématiques et numériques).

Au CP, quand lorsque l’écrit s’installe, il sera question de faire comprendre que l’énoncé écrit d’un problème n’est souvent que l’habillage particulier d’une histoire que les élèves, ou d’autres personnes, auraient pu vivre.

Le passage de situations réellement vécues à des problèmes évoqués, et qu’il fautmentalement se représenter, est à aménager par l’enseignant au cours du chemin d’apprentissage.Il se fera par exemple à partir des séances d’entraînement. …*La progression conduit à se dégager progressivement des manipulations et à amenerl’élève à dépasser le simple stade de l’action afin de s’engager dans un processusde conceptualisation.

Suite

• 1er obstacle: Comprendre la situation (rôle de la manipulation):

L’utilisation d’objets familiers aux élèves, l’action concrète des élèves sur ces jetons ou cubes et le fait de pouvoir les sentir, les manipuler sont autant de précautions prises pour faciliter l’accès au sens : l’élève ne peut bâtir une représentation qu’à partir de manipulations ; la présentation d’un problème sous forme d’énoncé est encore une phase ultérieure.

Le fait d’évoquer la situation, de réaliser des actions faites ou de mimer l’action à faire pour retrouver les jetons présents au début dans l’enveloppe (enlever ceuxqu’ils ont ajoutés) sont d’autres possibilités permettant aux élèves de comprendre la situation.

• 2ème obstacle: Dissocier cette situation d’autres déjà rencontrées (problématique analogique)

Les élèves ont ensuite à se rendre compte que cette situation ne correspond à aucune autre déjà rencontrée. De ce fait, ils n’ont pas encore d’opération à associer à cette situation et doivent alors comprendre qu’il faut en « inventer » une.

Mais le fait de dissocier cette situation des autres déjà rencontrées auparavant ne va pas de soi, surtoutquand le terme « ajouter » fait automatiser l’utilisation de la soustraction ! Une évocation des différences entre les problèmes (problème de transformation ou problème d’état ou « statiques ») et dubut à atteindre (recherche de l’état initial) est un premier moyen d’y parvenir quand il s’agit d’une nouvelle catégorie qui met en jeu une opération connue ou déjà rencontrée. La comparaison avec les affiches référentes servant à regrouper les problèmes de même « type » est un support et un recours essentiels pour cette structuration.

NB: Dans ces deux situations, et dans toutes les situations ultérieures, le lexique utilisé avec les élèves sera singulier à chaque classe mais en aucun cas il ne sera celui utilisé par la typologie. La terminologie « état initial – transformation – positive – négative – état final » est réservée aux enseignants. Les termes « problème avec une action », « problème sans action », « quantité avant l’action », « quantité après l’action » sont des exemples de termes plus en rapport avec le lexique à utiliser avec les élèves.

3ème obstacle: Élaborer une première procédure

Le fait de savoir qu’il faut élaborer une solution non automatique engendre un tâtonnement (quelle trace est attendue du maître : un dessin, un texte, un calcul ?), la réutilisation par les élèves des outils les plus rassurants, leur permettant d’être le plus proche de la « vérité ».

Ainsi les procédures n’utilisant ni signe ni nombre et les procédures dessinées (dessins d’enveloppes et de jetons) sont très largement répandues.L’utilisation de l’addition à trou est également une possibilité offerte aux élèves voulant spontanément élaborer une écriture symbolique (utilisation des nombres et des signes) car elle permet à l’élève de « suivre » la chronologie de l’énoncé.

4ème obstacle: Identifier cette nouvelle catégorie de problème et commencer à construire une nouvelle procédure de résolution: la structuration des connaissances (création d’outils de résolutions)

La construction de l’affiche de référence permet de reconnaître les particularités de cette situation et de la dissocier d’autres situations ou problèmes en comparantdes points précis comme: « Y a–t–il une action ? Si oui, quel type d’action ? Recherche–t–on la quantité (la place) avant ou après l’action ? »

La collection de procédures différentes (procédures dessinées, addition à trou, soustraction, multiplication, division...) sur cette affiche permet aussi la construction de leurs équivalences en associant par exemple la soustraction comme procédure symbolique de résolution pour un type de problème pour lequel spontanément des élèves y auront associer une addition à trou. Chaque affiche de référence sera différente dans chaque classe, puisque renseignée avec les dessins, schémas, calculs spécifiques à chacune d’elles.

L’écriture collective d’affiches de référence menée avec la classe participe à la construction de la notion et à la structuration des connaissances. Pour les élaborer, le support de l’affiche (avec l’énoncé du problème choisi) pour représenter le type de problèmes auquel sera associée la procédure de résolution retenue) permet de composer un exemple générique auquel seront apparentés les énoncés de la même catégorie de problèmes rencontrés lors des séances d’entraînement, de réinvestissement ou d’entretien.

Objectif: progressivement, pour une catégorie de problèmes donnée, l’enseignant amènera les élèves à optimiser les procédures mobilisées, à les comparer et à se rapprocher des procédures les plus adaptées. Cette mise en relation des problèmes d’une même catégorie amènera aussi les élèves à réinvestir les procédures précédentes et à les associer à la catégorie de problèmes ainsi construite.

Situation connue: Situations d’entraînement et de réinvestissement• 1er obstacle: Le passage de la situation à

l’énoncé

L’énoncé est source de difficultés multiples en fonction de ses différents habillages.Différentes aides peuvent être proposées: faire référence à l’univers des élèves, décrire les événements dans l’ordre de leur survenue, proposer des données numériques à la portée des élèves, placer la question en début d’énoncé.

2ème obstacle: Automatiser l’utilisation d’une procédure générique

Après une première représentation de la situation ou de l’énoncé, il reste encore à l’élève à élaborer une procédure de résolution, si possible d’y associer la procédure générique attendue et ce de façon la plus automatique possible. Le choix de la fiche de référence correspondant à l’énoncé est un moyen de contribuer à l’automatisation de la reconnaissance de la catégorie de problème et de transférer des procédures de résolution analogues.

Le fait de pouvoir s’y référer lors de la rencontre de chaque problème de cette catégorie est un médiateur entre l’automatisation assistée et l’automatisation autonome.

Enfin la création d’énoncés de la catégorie de problème travaillé permet aux élèves, au–delà de l’énoncé et du contexte, de reconnaître une structure identifiée comme invariant d’une catégorie de problème.

Outils pour le maître:

• Dans le cas de la non–réussite de l’élève, des critères de réussite sont obligatoirement définis pour permettre à l’enseignant de définir exactement les capacités à faire évoluer et à l’élève pour conscientiser progressivement ses points de résistance.

• Ces repères (qu’on peut également qualifier de critères de réussite en cas d’évaluation sommative ou formative) quand on analyse des réponses

erronées ou partielles sont les suivants. Ils constituent surtout la feuille de route de l’enseignant qui accompagne les élèves au long de l’apprentissage :

– l’élève sait-il évoquer la situation concrète?– l’élève sait-il identifier et évoquer les données connues et inconnues et la relation

qui les lie?- l’élève parvient-il à identifier le but à atteindre? – l’élève sait-il évoquer la catégorie de problèmes (le fait que ce soit un problème

avec une transformation (action) par exemple)?- l’élève parvient-il à se lancer dans une procédure de résolution personnelle? Ou

experte?

Analyse de production d’élèves

C’est fini….