ISSN 0085-2643

, MINIST~RE DE l'~QUIPEMENT

r,

ET 0 E L'A M ~ N AGE MEN T DU TERRITOIRE

LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CH~USS~ES

Rapport de recherche LPC N° 74

Application des modèles élastoplastiques

de l'Université de Cambridge au calcul

du comportement d'un remblai expérimental sur sols mous

DANG MINH TRUONG

Décembre 1977

Application des modèles élastoplastiques

de l'Université de Cambridge au calcul

du comportement d'un remblai expérimental sur sols mous

Action de recherche pluriannuelle (AR) : 06 • Ouvrages en terre

Fiches d'action élémentaire de recherche (FAER) : • 06 11 7 : Etude en laboratoire de la compressibilité • 06 12 7 : Etude en place des tassements.

DANG MINH TRUONG Docteur-I ngénieur

J.P. MAGNAN Ingénieur des Ponts et Chaussées

Département des sols et fondations Laboratoire Central des Ponts et Chaussées

Ce rapport de recherche reprend les parties II et III de la thèse de Docteur-Ingénieur soutenue par Dang Minh Truong le 7 octobre 1977 devant la Commission d'examen présidée par M. le Professeur Siestrunck de l'Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) et préparée au LCPC sous la Direction de J.P. Magnan: « Étude du comportement d'un remblai expérimental sur sols mous (site de Cubzac-les-Ponts) . application de~ modèles élastoplastiques de l'Université de Cambridge )).

2

DANG Minh Truong né le 22 juin 1946

Docteur Ingénieur au Laboratoire Central des Pon ts et Chaussées de 1975 à 1977

Jean-Pierre MAGNAN né le 6 novembre 1949

Ingénieur des Ponts et Chaussées Entré au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées en 1974

Sommaire

Résumé 4

Présentation, par G, Pilot 5

Introduction 6

Rappel bibliographique 7

Première partie

La méthode de calcu 1 17

Méthode générale de calcu 1 : la méthode des éléments finis 18

Il

Il

III

La méthode des éléments finis appliquée aux modèles de Cambridge

Seconde partie

Application au calcul d'un remblai

Description du remblai

Application du modèle « Cam Clay modifié» : calcul du remblai B de Cubzac-les-Ponts

Résultats

Conclusion

Références bibl iograph iques

Résumé en anglais, allemand, espagnol et russe

MINISTÈRE DE L'ÉQUIPEMENT ET DE L'AMÉNAGEMENT DU TEHRITOI RE

LABORATOI RE CE NTRAL DES PONTS ET CHAUSSÉES

58, boulevard Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15

Tél. : (1) 532-31-79 - Télex: LCPARI 200361 F

DÉCEMBRE 1977

31

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66

85

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103

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résumé

vVos lecteurs étrangers trouveront ce résumé traduit en anglais, allemand, espagnol et russe en fin de rapport. Our readers will filld this abstract at the end of the report.

[Jnsere Leser finden diese Zusammenfassllllg am Elide des Berichtes. Nllestros latores hallaràll este resumen al.final deI informe. P !/(CI.ï! il lIIell('1II (/Il HO/ll (/111111 Il O.\1CUIC Il li llO/li {e (}l1l'le 111 Il .

Le modèle de comportement des argiles développé à l'Université de Caiubridge

et connu sous le nom de ""1odè~e ':::arn Clay modifié" est utilisé pour la prévi­

sion du comportement à long terme d'un des remblais sur sol mou du site expé­

rimental des Laboratoires des Ponts et Chaussées à Cubzac-'les-Ponts (Gironde)

caicul uU.lise la wéthode ·:les éléments finis (programme de calcul ROSALIE

du L.C.P.C.), la plasticité étant traitée par la méthode des contraintes ini­

tiales.

Le rapport présente l'introduction du modèle Cam Clay modifié dans le programme

de calcul, la détermination des paramètres de calcul, les résultats du calcul

et leur comparaison avec le cQmportement observé du remhlai vingt-:leux mois

après sa construction.

MOTS CLES 42 - argile - calcul - méthode - remblai - sol - mou - tassement -éléments finis (méthode) - expérimentation - programme de calcul - élasticité -plas'-.icité - modèle mathématique - bidimensionnel - thèse - rapport de recherche.

4

PRÉSENTATION

G. PILOT Adjoint au Chef du Département des sols et fondations

Laboratoire Central des Ponts et Chaussées

Le fLappofLt de 'fI.f. Dang e.t "fagnaYI conceJ1.I':ei"une deo plut-6eo d'é.tude du compofLtement d'un fLemb.taJ. COVI-6:tltU.·U: -6UfL .l'eo bO.I'-6 com)Jlteo-6ib.l'eo du .5ite expéfLimen.tct.i' de Cubzc(C-.teo-PoJ1A:o, pfLè-6 J.e BoJuieaLtx. Cet ouvfLage (dit fLemb.l'aJ. B) eot deoliné .'1. f' examen dé.taJ..e..té deo W-6eme.nt0 qui. M mctniSeote.nt Mu-6 .l'eo fLemb.tcùo de. type. fLoulie.fL et au.tonoulie.fL coufLant : i.t a été édi'5ié apfLè-6 .t'étude. de. .ta fLUp.tufLe expéfL-ime.ntcd:'e d'Ul1 C(UtILe. fLemb.l'cù (dit fLemb.tcù A) p'1.ovoqué.e -6UfL .l'e même ûte. de. Cubzac-.I'eo­Pont0 en 7974. L'ùt.téfLU mcuù'Îeoté pOM [';'utde de..5taMemen.to de. teû fLemb~ fLé.-6u.tte. du conota/: que .te.UfL évafualion deme.UfLe dihi.cile e.n dzpü deo e1SofLto déve.€.oppé.-6 depuio de. nombILeu-6eo ctnnéeo dCU'lI5 .ta pfuPMt deo ce.n.tJLeo de. fLe.clle.fLche. eH Ifécwùque deo Soû. 1) 'C(MeZ nombILeu-6eo méthoclr,o de ca.i'cu.t ont été pfLé.-6e.l1té.eo maio .l'eufL cOn~fLO;".tct.ti.on, pC(f(. exemp.te. dW10 .te cao de .l" expé./Lie.nce. "~nte.Mtate. 95 d.u 'faMacltMM..t6 (U.S.A.)" évoquée daM .te. pfLé-6e.nt fLCtppo~t, Sct.i..t ctppMCÛ.tfLe. deo d-<"ve.fLgenceo impofLtanteo c(UMi b.i.en eVl.tfLe C.tc.C.6 qu'ave.c .te.-6 cono.ta .. tctliono e.66ec.tuéeo -6UfL .l''ouvfLage.

Ce Mnt donc deo métllOdeo de cc(fcu.l' VC(üé.eo qui Ml1t teotéeo -6M ce fLemb.€.cù B, notconment ceLi'.r6 qui dée.fLivent .l'e pfu-6 comp.tètement pO-6ûb.te le CompofLtement deo Mi'..6 de )ol1dalioM : .te modè.l'e de CambILmge (CAlf CLAY modi5ié) PÜ-6 en cOMméfLccti.on dW10 .€.ct pfLéMnte é.tu.de eot .l''un deo pfu-6 fLécent0 et au-66i .l''un deo mieux ctdapté.-6. Sa m~e en oeuvfLe eot cepemcwt aMez comp.l'exe et il 6aut fLecou­fL.i.fL aux méthodeo l1uméfLique.6 deo éfémen.toS.i.vv-A pOM .tfLc(.(tefL .l'eo cafcu.l'-6 cOMeopomal1.u.

Ce fLappofLt pfLé-6 e.nte aJ.n6i .t'avantage de fLegfLoupe.fL .teo .tfLo~ ao pem p:ùnc..i.paux d'une bonne fLeche.fLche -6M .t'application d'une méthode de cai'.cu.t à un type d'ouvfLage :

- deoe.fL.i.plion du modè.l'e de M.I' e.t deo pMconè;"ILeo fLecue.ilf.w expêILime.l1..tccfemel'l..t (modè..te CAl.1 CLAY mod.i.6ié) ,

- con6fLol1..ù.tlion deo fLé.-6u.€.ta.u du cai'.cu.l' e.t deo miY5u'1.eo .5Wt oUV'1.((ge en vfLa.i.e. gfLame.UfL (fLembfui. B de Cubzac -.l'eo - Po n.U) .

Leo conCfu-6.i.on5 ne VOI1..t peu, dano .te -6elU def 'adopttol1 MM fLé.-6e.fLVe6 de ce modè.te pOM feo étudeo d eo ouvfLag eo : ûi'.eo n'en -601U pa-6 mo.i.11-6 .i.ntÎ'ILeoMU1tiY5 p:.tüqu' eUeo p'técü ent b.i.en .l'eo d.i.61icu.t­térz.-6 ILencon:tltéeo, .teo écc(f(..to cOM.tccté6 e.t .teo )Jltob.tème-6 qu.i. .5ub-6~.ten.t. EUeo Six elu pM .l'a même .l'eo pfLochaJ.ne-6 étctpeo de cette fLechefLclle.

5

INTRODUCTION

Les méthodes de calcul utilisées pour la prévision du comportement des remblais sur sols mous ont évolué progressivement des méthodes semi-empiriques dérivées de la théorie du comportement des sols à l'oedomètre vers des méthodes plus complexes et en principe plus rigoureuses utilisant la méthode des éléments finis et fondées sur des modèles de comportement déterminés en laboratoire.

La validité et donc l'intérêt de ces nouvelles méthodes dépendent essen­tiellement de la justesse des comportements élémentaires introduits dans les calculs, les méthodes de résolution numérique ayant atteint à l'heure actuelle une précision très suffisante. Les premiers modèles rhéologiques utilisés pour le calcul des remblais sur sols mous ont été l'élasticité linéaire, l'élasticité non linéai.re et l'élastoplasticité. Les thèses de M. VOGIEN (1975) et Y. MEIMON (1975) présentent des exemples de tels calculs élastoplastiques effectués sur des remblais expérimentaux des Laboratoires des Ponts et Chaussées. Parmi les autres modèles développés pour les sols compressibles, les modèles élastoplastiques avec écrouis­sage développés à l'Université de Cambridge présentent un intérêt tout particulier parce qu'ils combinent de façon séduisante les comportements élémentaires du sol en compression et en cisaillement et constituent une approche intéressante des lois de comportement réelles du sol.

La programmation de ces modèles est malheureusement complexe et leur utilisation encore peu fréquente, ce qui n'a pas encore permis de juger de leur validité pour la prévision du comportement des remblais sur sols mous.

L'objet de cette étude est l'introduction d'un de ces modèles dans le programme de cal~ul par éléments finis ROSALIE du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées et son test sur le cas d'un remblai sur sols compressibles édifié en 1975 par les Laboratoires des Ponts et Chaussées sur le site expérimental de Cubzac-les-Ponts.

L'étude est divisée en deux parties, précédées d'un résumé bibliographi­que des modèles de Cambridge et de leurs applications:

- la première partie présente la méthode de calcul (formulation théori­que et programmation)

- la seconde partie est consacrée à l'examen des résultats du calcul et à leur comparaison avec les mesures effectuées sur le site.

6

RAPPEL BIBLIOGRAPHIQUE

Ce chapitre résume l'étude bibliographique de la thèse (DANG, 1977).

1. HISTORIQUE

Les modèles élastoplastiques " de Cambridge ", dont ce rapport présente une application au calcul du comportement à long terme d'un remblai sur sol mou, sont nés de plus de quinze années de recherches du Groupe de Mécanique des Sols de l'Université de Cambridge, sous la direction du défunt Professeur ROSCOE puis de ses collaborateurs.

Comme la plupart des théories nouvelles, ils n'ont pas été crees in­dépendamment de toute la science antérieure, mais sont le résultat d'un arran­gement nouveau de concepts et d'idées proposés çà et là par différents cher­cheurs. La liste de ces ingrédients est relativement limitée:

- le concept de surface d'état limite (RENDULIC, 1936; HVORSLEV, 1936);

- la notion d'indice des vides critique et d'état critique (ROSCOE, SCHOFIELD et WROTH, 1958; ROSCOE, SCHOFIELD et THURAIRAJAH, 1963);

- le concept d'état stable (DRÜCKER, 1961, 1964) et sa formulation énergétique;

- l'idée de diviser la déformation en une partie réversible (élastique) et une partie irréversible (plastique) (ROSCOE et POOROSHASB, 1963);

- l'application du principe du travail maximal en utilisant la surface d'état limite comme potentiel plastique.

Lors d'un Symposium sur la Plasticité et la Mécanique des Sols organisé à Cambridge (G.B.) en 1973, WROTH présente de la façon suivante les origines des "modèles de Cambridge" : "[ ... ] Un grand pas dans l'application de la théorie de la

" plasticité a été fait dans l'article de DRÜCKER, GIBSON et HENKEL: "La Mécanique " des Sols et les théories de la plasticité avec écrouissage" (1957) [ ... J. Cet " article comporte deux innovations importantes. La première est l'idée que la " courbe de consolidation classique est un cas particulier de loi de comportement " avec écrouissage et qu'on peut l'associer à une série d'enveloppes de rupture

successives telles que celles indiquées sur la figure 0-1.

La seconde innovation, qui est une conséquence directe de la premlere, " est l'idée que, si l'on charge de façon isotrope un sol isotrope normalement " consolidé, il se produit une plastification du sol, ce qui suppose que la sur­" face limite passe par le point A d'état du sol. Il en résulte que la surface " d'état limite doit comporter deux parties: le cône de Mohr-Coulomb et une " surface qui le ferme, surface supposée sphérique par DRÛCKER, GIBSON et HENKEL, " faute de données expérimentales suffisantes [ ... ]

7

cercle (s hère)

(cône) de Coulomb

0.].- EVO{ut1:on des surfaces de yJupture du (d'app~s DROCKER, GIBSON et HENKEL,

f2it de Za 1957).

consolidation

L'introduction de la plasticité avec écrouissaqe en mécanique des sols " a fait naître à son tour la famille des modèles développés à Cambridge. " L'élément supplémentaire de tous ces modèles a été le concept d'état critique " proposé par ROSCOE, SCHOFIELD et WROTH (1958) et formulé indépendamment par " PARRY (1958).

La courbe d'état critique est le lieu des points représentant les " conditions finales de tous les essais de cisaillement réalisés sur un même " sol supposé homogène pendant tout l'essai [ ... J.

Les modèles de Cambridge diffèrent aussi par le fait qu'ils ne sont pas fondés sur le critère de rupture de Mohr-Coulomb. A la place, ils utilisent une équation d'énergie précisant comment l'énergie reçue de l'ex­térieur se répartit en énergie emmagasinée (élastique) et en énergie dissipée (plastique), l'~ner$ie dissipée dépendant du paramètre de frottement interne du sol (M ou q,) L ••• J.

La série des modèles est devenue de plus en plus complexe à mesure que l'on prenait en compte de nouveaux aspects du sol. Il faut insister sur le fait qu'ils reflètent, avec une précision variable, les principales carac­téristiques du comportement de l'argile en cisaillement comme en consolidation. Le modèle Carn-Clay, par exemple, est complètement déterminé par quatre cons­tantes du sol seulement:

l'indice de compression Cc ou À

- l'indice de gonflement Cs ou K

- le paramètre de frottement interne ~ ou M

- la position de la courbe d'état critique r. [ ... ]" . Les principaux modèles du comportement des argiles, les modèles "Cam­

Clay", "Carn-Clay modifié" et "Carn-Clay modifié révisé" ont été présentés res­pectivement en 1963 (ROSCOE, SCHOFIELD et THURAIRAJAH), 1965 (BURLAND) et 1967 (BURLAND) .

La formulation de ces modèles pour l'utilisation de la méthode des éléments finis (méthode des matrices de rigidité variable) a été faite par ZIENKIEWICZ et NAYLOR (1971) puis par SIMPSON (1973).

8

Parmi les recherches plus récentes, on peut citer les travaux de ADACHI et OKANO (1974) sur la déformation élasto-visco-plastique des sols, de PREVOST et HOEG (1975) sur une amélioration du modèle "Carn-Clay modifié révisé" et de TAVENAS et al. (1977) sur le comportement des sols consolidés anisotropiquement et les conséquences qualitatives de ces concepts dans la pratique.

Les applications des modèles de Cambridge au calcul d'ouvrages réels sont rares: pour les remblais on trouve le calcul du remblai de King's Lynn par WROTH et SIMPSON (1972) et la prévision du comportement du remblai du M.I.T. par WROTH (1975). Dans un cas on a utilisé le modèle cam-Clay, dans le second le modèle Carn-Clay modifié.

Le calcul présenté dans ce rapport est à notre connaissance le troisième calcul d'un remblai réel à l'aide d'un modèle de Cambridge et le second utilisant le modèle Carn-Clay modifié.

2. LE MODELE CAM-CLAY MODIFIE

Vocabulaire

Avant de décrire le modèle proprement dit, il est indispensable de dé­finir son langage. Les modèles de Cambridge sont avant tout des modèles élas­toplastiques avec écrouissage. A un instant donné, l'état du sol est repré­senté par un point de l'espace (p,q,v) ou (p,q,e) ou encore (s,t,v) ou (s,t,e), selon que l'on se place dans un espace tridimensionnel

{ : = } (0' 1 + 0'2 + 0 '3 )

= f [(0'1 - 0'3 )2+ (0'3

contrainte moyenne

, ) 2 -0 7 + (0 ~

ou dans un espace bidimensionnel

{ : 1 (0' 1 +0' 2 "2

1 (0 ' 1 -0'2 "2

contrainte moyenne

contrainte déviatorique,

contrainte déviatorique,

et que les volumes sont décrits en termes d'indice des vides e ou de volume spécifique v (0'1 > 0'2 >0'3 désignent les trois contraintes effectives prin­cipales)

Pour l'application décrite dans ce rapport, c'est un modèle bidimen­sionnel qui a été utilisé. Toutes les équations ont donc été formulées en paramètres s et t, la variable de volume étant l'indice des vides e.

Suivant les valeurs relatives de s, t et e, le point d'état du sol peut se trouver dans le domaine élastique ou sur la frontière de ce domaine, appelée surface d'état limite et sur laquelle le point d'état se déplace en s'accompagnant-dë-déformatlons irréversibles (plastiques). Les points situés à l'extérieur de la courbe d'état-limite ne peuvent être atteints (figure 0.2.)

Le plan (s,t) est appelé ~~p~~~_~~§_~~~~~~~~~~~. Ses points sont dési­gnés sous le nom de p~~~~§_~~_~~~~~~~~~~ (s,t). Le ~b~~~~_~~_~~~~~~~~~~ est la courbe de l'espace des contraintes que décrit le point représentant l'état de contrainte du sol au cours du temps. De façon analogue, le chemin d'état est la courbe de l'espace des états (s,t,e) décrite par le pOint-dïétat-dü-sol au cours du temps.

La ~~~~~~_~~~~~~_~~~~~g~~ (notée C.E.C. et représentée par une ligne double) est le lieu de tous les points critiques dans l'espace des états. Comme la distorsion ne fait pas partie des paramètres du modèle, chaque point critique ne correspond pas à un état de déformation unique du sol, mais seule­ment à un état d'écoulement à volume (indice des vides) fixé, ce qui est la conclusion normale des essais de cisaillement dans lesquels le sol reste tou­jours homogène.

9

La courbe d'état limite (notée C.E.L.) ou courbe de limite élastique est le lieu des-polnts-de-IÎespace des contraintes (s,t) limitant le domaine en dehors duquel des déformations permanentes apparaissent lors d'une augmenta­tion des contraintes.

La ~2~~~~_~~~~g~_Q~_~2~~~~_~ s'obtient lors d'un essai drainé de com­pression isotrope dans le plan e-s. Les ~2~~~~§_9~_g2~~~~~~~~:~~~b~~g~~§~~_2~ courbes K schématisent les chemins des points (e,s) lors d'un cycle de déchar­gement:rechargement. Ces courbes sont analogues à celles que l'on obtient à l'oedomètre (dans lequel Ko= constante): on trouve expérimentalement qu'elles leur sont parallèles et ont pour équations: e = e),o ), ln s

e = eK

- K ln s

Le mur élastique est la partie de la surface cylindrique à génératrice verticale (parallèle à l'axe des t) appuyée sur une courbe K (gonflement­rechargement) qui se trouve à l'intérieur de la surface d'état limite. C'est l'ensemble des points d'état que l'on peut atteindre à partir d'un état donné sans apparition de déformations irréversibles. Il existe une infinité de tels murs élastiques (un par courbe K).

e

La figure 0.2. illustre les définitions précédentes.

t

}-----~~----------~s

d'Etat-limite e

5 o

ln 5

Fig. 0.2. - SUi"face d'état limite du modèle Cam-Clay modifié.

Description du modèle

Si l'on fait abstraction de sa genèse, le modèle Cam-Clay modifié peut être décrit de façon simple : il est défini par

- une surface d'état limite, elle-même déterminée par les quatre cour-bes À K, d'état critique et d'état limite.

- l'hypothèse que la surface d'état-limite (critère de plasticité) peut servir de potentiel plastique (que la loi de normalité s'applique et que le principe du travaii maximal est respecté) .

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- quelques hypothèses annexes : isotropie du sol, élasticité non linéaire à l'intérieur de la surface d'état-limite, conservation de l'isotropie lors de l'écrouissage.

La surface d'état-limite est définie (figure 0.2.) par les équations

- courbe \

- courbes K

- courbe d'état critique

e= e À - ,\ ln s = e,\ - 0, 435 Cc ln s

e= e K - 'Cln s = e,c - 0,435 Cs ln s

( e = r - \ Ins = [' - 0,435 Cc ln s (t M . ( =]s = sln4>.s

- courbes d'état limite ellipses (projections sur le plan (s,t) de l'intersection de la surface d'état limite avec les murs élastiques)d'équa-tions :

e.l. - e exp (----).

\

L'application de la loi de normalité à la surface d'état-limite conduit aux expressions suivantes pour les déformations plastiques volumiques et de cisaillement.

2(t/s)

+e ~ + (t/s)2 3

2(t/s)

K-(t/s)2 3

l'v.

Le fonctionnement du modèle Cam-Clay modifié peut être décrit de façon qualitative simple (SCHOFIELD et WROTH, 1968) en suivant le comportement du sol le long d'un chemin de contraintes donné.

On montre par exemple (figure 0.3.) que, lors d'un essai drainé à rap-t este, le cheminement du p·oint (e, ln s) est parallèle à la courbe vierge port s

\, et que, lors d'un essai non drainé à charge latérale 0'3 constante, le che­min de contraintes effectives s'écarte progressivement du chemin de contraintes totales dans le domaine élastique avant de suivre la courbe d'état-limite. La différence correspond aux pressions interstitielles générées. (figure 0.4.).

t t

s

e

e L-____________ s

Fig. 0.3. - Cheminement du point d'~tat lors d'un s

essai à este.

11

e

t

t

Fig. 0.4.

t

Chemin de contraintes effectives

Chemin de contraintes totales (6s~6t)

~------~--~~~r-------- s

e

s

Chqrylineme t dLl point d'~tat 1()l~S J'un eSSQL non drain~ cl charge Lat4ra!e constante.

Ces exemples permettent de saisir intuitivement le fonctionnement du modèle: lorsque le pointd 'état initial se trouve à l'intérieur de la surface d'état limite, l'application d'un incrément de contrainte provoque le déplacement du point d'état sur le mur élastique correspondant à l'état initial du sol. Si l'on atteint la surface d'état limite, le point d'état reste sur cette surface et les valeurs des paramètres s'adaptent de façon à remplir les conditions im­posées (dans le premier cas c'est l'indice des vides e qui s'adapte, dans le second, où la valeur de e est imposée, ce sont les contraintes t et s qui s' adaptent). Lorsque l'on se trouve dans le secteur du plan des contraintes limité par l'axe des s et la courbe d'état critique, l'évolution de l'état du sol se fait de façon stable (écrouissage ou déchargement élastique) . Pour la partie du plan (s,t) comprise entre la courbe d'état critique, SCHOFIELD et WROTH (1968) indiquent que l'état du sol est instable quel que soit le chargement appliqué. On peut penser au contraire que le comportement du sol n'est in­stable que si l'incrément de charge est dirigé vers-l'extérieur de la courbe d'état-limite (figure 0.5.).

2

3

4

5

6

7

8

Déplacement sur la surface d'état-limite avec écrouissage (changement de mur élastique)

Déplacement sur le mur élastique

Déchargement (le point d'état suit le mur élastique)

Rupture du sol (instabilité)

Déplacement sur le mur élastique

Déchargement élastique

Déformations élastiques

Ecoulement à volume constant (rupture) ~ ______________ ~ ______________ ~ __ ~__ s

Fig. 0.5. - Evolution de l'~tat du sol sous un incr~ment de charge.

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Détermination des paramètres

Les paramètres nécessaires au calcul peuvent être répartis en deux groupes

- les paramètres décrivant la surface d'état-limite : À, K, M, eÀo ' r (4 paramètres indépendants)

- les paramètres décrivant l'état initial du sol (e o , a 'vo ,Ko) •

ou

Les paramètres du premier grou?e peuvent être déterminés par des mé­thodes approchées (SCHOFIELD et WROTH, 1968) ou par interprétation d'essais conventionnels. Les paramètres du calcul présenté dans ce rapport ont été déterminés de la façon suivante :

- À, K et eÀ o à partir d'essais oedométriques classiques dépouillés en contraintes moyennes et non en contraintes verticales;

- r K) ;

- M V3 sin Q' à l'aide d'essais de cisaillement de type CD ou CU avec mesure de la pression interstitielle.

La détermination des paramètres définissant l'état initial du sol est aussi classique :

- l'indice des vides e o est déterminé en laboratoire

- o'vo est déduit des poids volumiques du sol au-dessus du point considéré et de la position de la nappe;

- le coefficient Ko peut être déduit d'essais triaxiaux, mesuré directement en place au pressiomètre, calculé à l'aide de la formule

Ko = 1 - sin <p'

ou de la formule voisine

sin cp')

si le sol est surconsolidé, ou encore déduit de la formule (BURLAND, 1971)

K 0 = 2

- 1.

3. APLICATIONS PRECEDENTES A DES CALCULS DE REMBLAIS

Ainsi qu'on l'a déjà mentionné, les deux seuls calculs de remblais avec les modèles de Cambridge ont été publiés :

- en 1972, pour le remblai d'essai de King's Lynn réalisé en vue de la construction d'une déviation autoroutière dans le NORFOLK (Angleterre);

- en 1975, pour le remblai d'essai du M.I.T. (Massachusetts Institute of Technology) qui devait précéder la construction de l'autoroute fédérale 1-95 à Boston (Etats-Unis).

Calcul du remblai de King's Lynn

Le calcul du remblai de KING's LYNN (WROTH et SIMPSON, 1972) a été effectué sur la base de la schématisation de la figure 0.6., avec un maillage de 156 éléments triangulaires pour le calcul à court terme et de 200 éléments triangulaires pour le calcul à long terme.

13

Les résultats du calcul ont été jugés satisfaisants (allures semblables des courbes de déformation latérale et de tassement) malgré des différences d' ordre quantitatif.

/r- - ---" couche 1

./ , .~- - - -- '~'T'. couche 2

-'/~ 1 l' .... /' ........... couche 3

couche 4

0' = 31 ° Cc: = 0,85 Ko = 0,8 C' = 1,7 C = 0,089 1'=2,15 2,74m 0 s

0' = 46° Cc = 0,44 Ko = 0,8 e o = 6,6 Cs = 0,44 1'=9,5 1,22m

0" = 31° Cc = 0,85 K = 0

0,8 eo = 1,45 Cs = 0,080 r=2,15 2,14m

0" = 34° Cc = 0,39 Ko = 0,8 e o = 0,9 Cs = 0,055 f=1 ,3 1,83m

Fig. 0.6. - Schéma de calcul du eemb!ai de King's Lynn (WROTH et SIMPSON, 1972).

Calcul du remblai du M.I.T.

Le calcul du remblai du M. I.T. (WROTH, 1975) a été réalisé sur un schéma beaucoup plus simple du sol de fondation (figure 0.7.).

~ ____ sa_b __ 1_erd __ e __ L_e_irg_h_t_o_n __ BrU=Z=z=a=r=d~(=S=I~M=P=S=0~N~,~1=9~7=3~)~} couche (1)

K v

couche (2)

26,5° 0,338 0,138 2,15 0,8

Fig. 0.7. - Schéma de calcul du Y'emblai du M.I.T. (WROTH, 1975).

Les résultats du calcul ont été comparés aux mesures (figure 0.8.) et jugés satisfaisants, notamment pour les prévisions des pressions interstitielles au cours de la construction du remblai.

14

1

1

H cU 1

1 1 0.. (lJ 1

(fJ t.J> (fJ (fJ

(lJ '0 (fJ (lJ (lJ

-H -H \(lJ r-I r-I

.:: H H cU cU H .Q :J S S :J S (fJ -H -H 0 cU (lJ x .::

4-l U S cU -H

COMPARAISON DES RESULTATS S S U) (lJ (fJ

>=: '0 .jJ (fJ (fJ

CALCULES ET MESURÉS 0 rd .:: >=: -H (lJ .jJ 0 0 (fJ 0.. r-I -H -H

-H :J :J (fJ (fJ

:> 0 (fJ -H -H \(lJ H \(lJ :> :> H t.J> ~ \(lJ \(lJ

t:4 H H (lJ 1 t:4 t:4

1 r-I 1 1

Incréments des déplacements hori zontaux dûs à 1 ,83m de remblai : mm mm mm mm

{au niveau - 9,15m 41 13 ± 8 218 4,3 au point 81-3

au niveau -21,35m 15 8 ± 5 218 0,4

{au niveau - 9,15m 18 0 ± 5 135 6,3 au point SI-4

niveau -21,35m 57 0 au 0 0

i

Incréments de tassement dûs à 1,83m de remblai : mm mm mm mm

au point SP-1 : 66 17 348 19

Incréments des pressions inter-stitielles dûs à 1,83m de remblai kPa kPa kPa kPa

au point p-3 (-9,8m) : 27,4 28,7 79,7 18,3

au point p-4 (-17,lm) : 29,3 19,5 67,1 22,0

au point P-6 (-9,8m) : 17,7 17,4 39,6 7,6

Incréments des soulèvements dûs à 1,83m de remblai : mm mm mm mm

au point H-1 0 -3 ± 5 122 0

au point H-2 0 -4 ± 5 158 0

Hauteur de remblai ajoutée pour causer la rupture :

1

m m m m 1 6,40 5,70 8,23 2,40

Incréments des pressions inter-stitielles à la rupture : kPa kPa kPa kPa

au point p-3 (-9,8m) : 82,3 66,8 115,9 39,0

au point P-4 (-17,lm): 86,3 66,5 128,1 38,1

au point p-6 (-9,8m) : 24,1 33,3 79,3 12,2

Fig. 0.8 - Comparaison des calculs et des mesures pour le remblai du M.I.T. (WROTH, 1975).

15

PREMIÈRE PARTIE

LA MÉTHODE DE CALCUL

17

- CHAPITRE 1 -

METHODE GENERALE DE CALCUL : LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

INTRODUCTION

La méthode des éléments iinis a connu depuis une dizaine d'années un développement considérable grâce à l'augmentation de la puissance des ordinateurs. Appliquée d'abord en mécanique des milieux continus dans le domaine de l'élasticité linéaire, cette méthode s'étend actuellement dans des domaines beaucoup plus com­plexes, tels que milieux discontinus, élasticité non linéaire, élastoplasticité, etc ...

La section des Modèles Nu~ériques du Département de Géotechnique du Laboratoire Central des Ponts et Chaussées a conçu un prosralline baptisé ROSALIE permettant de traiter de très gros problèmes, notamment en mécanique des roches et en mécanique des sols. Pour tous les renseignements théoriques et te~hniques qui y sont liés, nous renvoyons les lecteurs aux publications de GUELLEC (1973, 1976)

Nous ne rappellerons ici que très brièvement le principe et la tech­nique de cette méthode des éléments finis. Nous présenterons ensuite en détail la méthode de calcul pour le cas du crit0re de plasticité des modèles de l'Université de Cambridge.

1.1 - LA METHODE DES ELEMENTS FINIS

J.1/1 - Les principes variationnels en m~canique - Mod~les de calcul

La méthode des éléments finis est une méthode variationnelle approchée, dérivée de la méthode de Ritz. Il existe principalement trois principes variation­nels, chacun d'eux conduisant à un modèle de calcul:

le théorème de l'énero,ie potentielle minimum donne naissance au modèle déplacement

- le théorème de l'énergie complémentaire minimum conduit au modèle d'é­quilibre

- et enfin avec le principe de Reissner, on peut construire un modèle mixte.

J.l/l/l - Th~or~me de l'~nergie potentielle minimum

Nous nous intéresserons particulièrement au modèle déplacement, utilisé dans le programme ROSALIE, dont le théorème de l'énergie potentielle minimum s'énonce:

18

"De tous les champs de déplacements admissibles, c'est le champ réel qui rend stationnaire l'énergie potentielle".

Soit un solide en équilibre statique sous l'action de forces de volume et de surface données, avec :

Su surface où les déplacements u sont imposés

So - surface où les forces extérieures T sont appliquées.

Efforts imposés S °

Déplacements imposés

a - SoLédc.'Léc . .i' b - So.i'ide idéafihê

Fig. 1.1

Soit oUi un déplacement virtuel à partir de l'état d'équilibre, compa­tible avec les conditions aux li~ites imposées et satisfaisant aux conditions d'équilibre.

on a

Le principe des travaux virtuels s'scrit

ü (1.1)

S'il exisLe une fonction énergie de déformation W (eij) telle que:

J O~~ 1J V

Si

OUp

avec Up

F

0ij avec eij

et T dérivent des potentiels

0 , 't oUi admissible

l (W + P) dv + JQ ds

s

(1.2)

o (1.3)

P et Q, (1. 3) s'écrit

(I. 4)

L'énergie potentielle up est stationnaire pour tout déplacement virtuel admissible à partir d'un état d'équ1libre.

19

I.1/1/2 - Mod~Ze d~placement :

Le principe de la méthode consiste donc à calculer les énergies d'ori­gine externe et interne de chaque élément, à les sommer et à écrire que l'état d'équilibre correspond à une énergie globale minimum.

Nous allons expliciter la succession de ces opérations dans le cas de l'élasticité linéaire, où :

CJ

avec E

Ee

matrice d'élasticité

CJ xy

CJ yz cr zx J

(1. 5)

(1. 6)

on se donne une fonction de déplacement vérifiant les conditions de compatibilité

u(M) = qi li (M) en M (1.7)

où li est une base,

qi sont les composantes généralisées du déplacement dans cette base.

On peut écrire les relations (1.5) et (1.7) sous forme matricielle en utilisant les matrices U(M) = matrice colonne des déplacements du point M selon les axes de coordonnées et Q = matrice colonne des coefficients qi de la formule (1.7)

U(M) lM Q (1. 8)

e = DQ (1.9)

où D est un opérateur différentiel déduit de (1.2) et de (1.7).

écrire UE

Si UE désigne la matrice colonne des déplacements aux noeuds, on peut LE Q. On en déduit:

e =

et cr

DL- 1 U E E ( 1.10)

(1.11)

D'autre part, la fonction énergie de déformation W peut s'écrire W eT Ee, d'où

20

(QT DT E D _ F TL) ve E 6Q dv et 6U p

o , 'if 6Q admissible,

Fve désignant les forces volumiques généralisées dé~inies par

F T QUE l oUi dv ve = Fi

On obtient finalement

FE RE UE

RE = (L~l ) T (1 (DT E D) dV) (L- 1 )

E v

RE est dite matrice de rigidité élémentaire.

(1.12 )

( 1.13)

(1.14)

FE et UE sont les forces et les déplacements généralisés élémentaires.

Ensuite on assemble les éléments pour reconstituer le solide idéalisé en

faisant les hypothèses que les déplacements sont continus dans toute la structure et gue l'énergie potentielle de l'assemblage est minimum. On aboutit à la formule

FG = RG UG (1.15)

où FT G est la matrice globale des forces nodales,

RG est la matrice de rigidité globale,

U~ est la matrice globale des déplacements nodaux.

Pour trouver UG, on doit résoudre un système linéaire. Puis, connais­sant les déplacements, on calcule les contraintes par:

o

I.l/2 - Technique de caZcul (Gue! cc, lD73)

On cherche à résoudre dans un domaine Si de frontière S l'équation:

Au = f

où A est lm opérateur sYIT1étriCJue, défini, positif sur un espace de fonctions DA'

(1.16)

f f (P) est une fonction continue par morceaux (telle que Il f Il soit

bornée dans Si) .

u = u (P) est la fonction inconnue, P e Si.

Résoudre (1.16) revient à chercher la fonction u (P) qui rend minimum la fonctionnelle

F tu) (AU, u) - 2 tu, f) + ~ N tu) dS (LU)

Techniquement, les différentes phases de calcul sont les suivantes

- calcul d'un élément, - assemblage des éléments, - résolution du système linéaire, - calcul des différents résultats.

I.l/2/1 - Calcul d'un ~l~mcnt

Soit à minimiser la fonctionnelle (1.17) sur l'élément Sii

(1.18)

T où l'on se donne N tu) = 2 T un

On détermine celte solution en utilisant des fonctions de base lij (P) telles que

- pour i fixé, elles soient linéairement indépendantes sur un sous­domaine (~i) et constituent une base de l'espace de fonctions,

- lij (P) = 0 si P 1 Sii, - lij (P) vérifient les conditions nécessaires de continuité et de

dérivabilité - 'fi, 'fj

Les sous-domaines Sii sont appelés éléments finis.

21

On approche u (P) par un (P) tel que

un (P) = qij lij (P) i

j

l, 1

l, J (1.19)

qij désignant les coordonnées généralisées de un dans la base (li ,). On peut uti­liser les déplacements généralisés ij obtenus en inversant (I.19Y dans Qi. Les ij

un un

sont liés géomètriquement à Qi, ils peuvent être des valeurs de un aux points pij de Qi. Dans ce cas (1.19) équivaut à :

un - unij N, ' (1.20) - l]

Les Nij sont appelés les modes de un. Si on utilise pour base (lij) les polynômes élémentalres homogènes

x y Z x 2 xy xz y" yz z X 3 etc ...

les Nij sont alors des polynômes et un est un polynôme d'interpolation.

Posons : l

Q

il vient: UE

(lij)i fixé

(qij) i fixé

la matrice formée des matrices lignes l (pij)

la matrice colonne des un (pij)

soit encore: Q LË1 UE , d'où la matrice

N

obtient En calculant la variation de (1.18) en fonction de celle de UE , on

comme o

soit :

V QUE' on déduit (1.21) que

(1 NT AN dQ) UE Qi

RE est appelée matrice de rigidité élémentaire.

I.1/2/2 - Assemblage des ~l~ments :

(1.21)

(1.22)

(1.23 )

Physiquement, la méthode de calcul équivaut à rendre mimimum l'énergie de l'assemblage des éléments finis Qi. On cherche donc à minimiser la fonctionnelle (1.17) dans le domaine Q entier en imposant à la fonction un la continuité dans Q et en supposant que la méthode converge. On peut alors relier l'ensemble des para­mètres du domaine entier UG à celui des paramètres de l'élément d'indice k :

U~ par une égalité :

(1. 24)

où pk est une matrice de connexion dont les éléments sont zéro ou un si les systèmes d'axes locaux et globaux sont identiques. D'après (1.22), on peut écrire

(1. 25)

22

avec 2 FT G U -1 2 G - Il

En utilisant

F (un) = UT

G RG

T 1 T f Un dll + 2 T un dS S

(1. 24) , (1. 25) devient

U - 2 T G FG UG

avec RG = !: ( (pk) T Rk E

pk ) k

(1. 26)

(1.27)

(1. 28)

La minimisation de (1.27) conduit à la résolution du système linéaire

FG = RG UG

RG est dite matrice de rigidité globale.

(1.29)

1. 1 / 2 / ~~ - Rés () ~ ~~ t- i ,::; rI ~~ 8 Y s t è ni e Lin é Q i }l C

On peut vérifier que la matrice RG est symétrique et tridiagonale par blocs. Elle est inversible par plusieurs méthodes

- méthode itérative de surrelaxation ; - méthode directe d'élimination de Gauss - méthode directe de Choleski par bande, quand celle-ci n'est pas trop

large (Rosalie, version 1976) - méthode directe d'élimination par blocs en inversant les sous-matrices

diagonales par la méthode de Choleski (méthode des sous-structures) .

Les trois dernières mpthodes sont les plus précises et les plus rapides. Pour les calculs utilisés dans la troisième partie, on utilise la méthode directe de Choleski par bande (programme Rosalie, version 1976).

l.1/2/4 - Ca!cu~ Q2S diffépents pés:A.Ztats

On connaît u sous la forme un. On l'utilise pour déterminer tous les autres résultats: contraintes, déformations. On corrige les imprécisions en faisant des calculs de moyennes.

1.2 - ELASTOPLAST1C1TE

La plasticité est caractérisée par la présence d'un seuil de chargement au-delà duquel une partie des déformations devient permanente ; elle correspond donc à l'apparition d'une irréversibilité dans la loi de comportement déformations­contraintes.

a a

e o C

Fig. I. 2

a o

A B

L-____ ~~______________ e

o C

b - Mat~~lau pa~6altement pia,stlque.

23

La figure 1.2 présente deux schémas simples de comportement déformations-contraintes uniaxiales ; on voit que :

- le long de OA, le comportement du matériau est élastique. Il peut être non linéaire pour certains matériaux.

- Au-delà de A (0 ~ °0 ), l'irréversibilité apparaît: en déchargement, le matériau subit une déformation permanente dite déformation plastique e P . Cette déformation peut prendre deux formes selon que:

a) le seuil de plasticité 0) croît avec e : 0) > °0 , On dit qu'il y a écrouissage.

b) le seuil de plasticité reste égal au seuil initial de plasti­cité °0 , quel que soit e. On dit qu'il y a plasticité parfaite.

~.2/1 - Lois de ~cmpoPt ~e~t en ~!astop.asticit6

1.2/1/1 - Cpit~pe d'~co~Zement

On admet qu'il existe une fonction scalaire f de l'état de contraintes telle que

f < 0 corresponde au comportement élastique du matériau,

f 0 2 l'apparition des déformations irréversibles.

L'équation f = 0 est l'équation de la frontière élastique. La fonction f est appelée indifféremment fonction de charge, critère d'écoulement ou critère de plasticité. Deux cas se présentent

a) f f (oij, k) avec k constante: f ne varie pas, c'est le cas de plasticité parfaite.

b) f f (oij, k (el j ) (1.30)

avec k = k (e~,) où ef, est la partie plastique de la déformation: f varie au fur et à mêéure de§Jdéformations plastiques ; le matériau est écrouis­sable et k désigne l'ensemble des paramètres d'écrouissage.

1.2/1/2 - Prin~ipe du tpo~ci ~ox~mai

On peut déterminer les propriétés de f moyennant une hypothèse sup­plémentaire, le principe du travail maximal:

Un matériau obéit au principe du travail maximal lorsque

(oij - o~j) delj ~ 0

F ~9. 1. 3

oij, o~j désignant des tenseurs de contraintes tels que

et de~, le tenseur de vitesse de déformation plastique correspondant. lJ

24

(1. 31)

Il en résulte que la surface f (0) = 0 est convexe et que deP est dirigé suivant une normale extérieure à cette surface au point o. On en déduit que

de:!? 1J

èIÀ. di

doij

où À est un scalaire positif. La fonction f est alors potentiel plastique.

I.2/1/3 - Relations controintes-d~formations

(I. 32)

La loi de comportement n'est plus, comme en élasticité, une relation biunivoque entre l'état de contraintes actuel et la déformation actuelle. La défor­mation actuelle dépend du trajet de charge suivi pour atteindre l'état de charge actuel.

Si l'on connaît l'état de contrainte actuel et l'état d'écrouissage, c'est-à-dire l'histoire du chargement, on peut alors formuler des relations entre l'accroissement de contrainte do et l'accroissement de déformation de. Une telle loi de comportement est dite de type incrémentaI.

Posons les paramètres sous forme matricielle :

f (oij, k) F (0, k)

( di ) C;~j) F doij 0

c:) c:) Fk

(Eijkl) E matrice d'élasticité

(deij) de incrément de déformation totale

e (de ij ) dee incrément de déformation élastique

P (deij ) deP

incrément de déformation plastique

A l'équilibre, on a

F (0, k) o

FT do + Fk dk 0

0

de de e + de P

avec dee E-1 do

et deP dÀ F 0'

d'où E de do + EF à\ si F = 0 0

soit A dk dÀ

(A : paramètre lié à l'écrouissage)

FT 0

E de

A dÀ + FT 0

E F dÀ , 0

d'où d,\ FT

E de 0

A + FT E F 0 0

La relation entre les incréments de contraintes et de déformations peut finalement s'écrire

do (E - a E F

o ---A + FT

o

de (I.33)

E Fo

25

ou do

avec c( o si F < 0 : domaine élastique

et G o et FT do ~ 0 domaine plastique. o

si F

Nous présenterons ici quelques critères de plasticité utilisés pour les sols en supposant qu'ils sont isotropes et que l'écrouissage conserve l'iso­tropie. Dans ce cas, la symétrie des critères est respectée. En effet f ne dépend que des invariants du tenseur des contraintes oij et peut se mettre sous la forme d'une fonction symétrique des contraintes principales 01 , 02, 0 3.

I.2/2/1 - Crit~re de CouZomb

Ce critère correspond à une fonction f de la forme

f = (Cll - a ,) + sin (1.34)

01 et ," étant les deux contraintes principales majeure et mineure.

En axes 1/2 (Gl + '3), 1/2 (Gl - ,,~c critère est représenté par deux droites symétriques inclinées de l'angle ± (angle de frottement) sur l'axe des abcisses, et d'ordonn6es à l'origine ±C (cohésion).

On remarque l'absence de la contrainte intermédiaire. C'est le critère le plus connu pour les sols mais expérimentalement, il

ne vérifie pas le principe du travail maximal.

L'équation s'exprime simplement en fonction des contraintes principales supposées ordonnées selon o[ > 'J" > (J, :

f = Cll - 03 - 2 k (1.35)

k désignant la limite élastique lors de l'essai de cisaillement simple. Ce critère est non seulement indépendant de la contrainte intermédiaire,

mais aussi de la contrainte hydrostatique (contrainte moyenne). En appliquant l'hypothèse du travail maximal [équation (32)J, on voit que la déformation volu­mique plastique est nulle (de P = de P + deP = dl - d\ = 0). Il en résulte que ce

v 1

critère correspond tout à fait au cas du court terme pour les sols saturés en plas­ticité parfaite et que k n'est autre que la cohésion non drainée Cu.

Tout en gardant l' hypothèse 01 > 02 > 03, Mohr puis Caquot ont proposé une généralisation du critère de Tresca sous la forme

f = 01 - 03 - g (Ul + 03) (1. 36)

La fonction g est à déterminer expérimentalement, comme par exemple g sin cp (01 + 03) - 2C cos cp dans le cri tère de Coulomb.

Dans l'espace des contraintes 01,02,03, le critère de Drücker s'écrit

(1.37)

01 + 02 + 03 premier invariant du tenseur des contraintes;

J 2 1 [(0, - (2) 2 + (02 - OJl2 + (03 - 01) 21 deuxième invariant du 6" . déviateur des contraintes

26

a et k sont des constantes caractéristiques du matériau.

Ce critère est comparable au critère de Coulomb dans lequel on pren-drait

tg <P et K 3C (1. 38)

(9 + 12 tg 2 <P) 1/2

où <p et C sont l'angle de frottement et la cohésion du matériau.

I.2/2/5 - Repr~8entation graphique

C::lU lo'nb

/ /

1--------- 02

Fig. 1.4 - Rep~E6entation g~aphique de quelque6 c~it~~e6.

Dans l'espace des contraintes principales 01, 02, 03, ces critères sont des surfaces ayant la diagonéllc 01 02 = 03 corrune axe de symétrie et ont une forme de

pyramide pour Coulomb, dans laquelle est inscrite le cône de Drücker - prisme hexagonal pour Tresca.

I.2/3 - M~thode de calcul en ~lastoplasticit~ (Ricard, 1975)

En élastoplasticité, le comportement du matériau est non linéaire et la déformation dépend du trajet de chargement : On procède donc à un chargement pas à pas. Pour un incrément de charge donné, on est soit dans le domaine élastique (F f (oij) < 0) et l'on passe au chargement suivant, soit en dehors de ce domaine (F > 0), une méthode itérative permettant alors de se ramener sur la surface F = o.

Deux méthodes sont envisageables :

a) Méthode de la matrice de rigidité variable :

L'équation (1.33) : do = EP

de se traduit, lorsqu'on minimise la fonc­tionnelle associée (l'énergie potentielle minimum pour le modèle déplacement), par

où RP est la matrice de rigidité associée à la matrice EP . Le système est résolu en modifiant R à chaque itération, tandis que la matrice EP est calculée en fonction des contraintes calculées au cours de l'itération précédente.

27

b) Méthode des contraintes initiales

On écrit l'équation (I.3~) sous la forme

do E de - do o

avec do o o si l'on est dans le domaine élastique,

do O (E - EP ) de si l'on sort du domaine élastique.

En résolvant le problème par la méthode des éléments finis, on est ramené au système :

6Q (0) + 6F = R6U

où 6Q (c) sont les forces généralisées correspondant aux contraintes initiales dao (on les appelle forces de rééquilibraqe) .

C'est cette dernière ô6thode que nous avons utilisée. Elle est avanta­geuse car elle n'impose pas de recalculer la matrice de riqidité globale et de l'inverser. F

contraintes initiales

28

1 t.h

}-~=-________ ~~ __ ~~ __ ~ do

~ ____ ~ ____ ~ ______ ~k-~~-+ _______ 0

-~ _ pente E

e de

Fig. 1.5 - Comparaison des différentes méthodes itératives pour une contrainte ayant une seule composante non nulle.

de

de

F

°e~------~--~--~~~--~--~L----~-----)----___ do

pente E

pente E

pente E pente E

Fig. 1.6 - Convergence de la méthode des contraintes initiales

Evaluation des contraintes 60 0

do surface F = 0

zone élastique

pente E

~ ____ ~~ ________ ~ __________________ ~ de

Ftg. I. 7

soit 60 0 la partie de do située en dehors de la zone élastique pondre à la partie plastique de la déformation

elle doit corres-

600 = - E de P .

D'autre part, le principe du travail maximal nous donne

deP

d \ Fa

- d\ E Fa

A l' itéra tion suivante, on cherche donc à obtenir do 2 tel que F (0 2) = o. D'où, en plasticité avec écrouissage [F = F (0, k (eP))] :

F (0 - d \ E Fa, k + dk) = 0

Développons au 1er ordre

Posons

d'où

et

F 0 ~ F (0, k) - d\ F~ E Fu + dk Fk

A

F (0, k) E Fa

A + F~ E Fa

- F (0, k) E Fa

A + F6 E Fa

(en plasticité avec écrouissage)

(1. 39)

où A caractérise le paramètre d'écrouissage k et devient nul en plasticité parfaite (k constante)

- F E Fa

F~ E Fa (1. 40)

(en plasticité parfaite)

Exemples

Appliquons les formules de 600 aux critères de plasticité décrits en I.2/2. Nous avons en déformation plane:

a) critère de Coulomb: La fonction

f = (al - 03) + sin'Î' (al + 03) - 2C cos'Î'

29

peut s'écrire

avec A sin<P et K 2C cos<P.

Il vient :

(\ + \1 ) A - il (ox - Oy) B

\ et \1 - coefficients de Lamé en élasticité.

b) Critère de Tresca

s'écrit f g - 2 K .

On suppose dans ce cas à priori que Oz est la contrainte principale moyenne. On a :

avec

Posons

30

0x - Uy 2

0x - Oy 2

c) Critère de Drücker

f a Il + J 2 1/2 - K

Il °x + 0y + Oz

J 2 l [(0 x - Oy) 2 + (Oy -6" ° z) 2 + (Oz - 0X) 2J + O~y

Oz v (Ox + Oy)

° et A l

On a, en formulant la matrice d'élasticité en [4, 4]

(3\ + 2\1)a + 2\l(ox - O)A

(g - K)

3 (3\ + 2\1)0,2 + U (3\ + 2p)0, + 2u (Oz - o)A

2\1 0xy A

- CHAPITRE II -

METHODE DES ELEMENTS FINIS APPLIOUEE AUX MODELES DE CAMBRIDGE

Nous avons vu dans le chapitre l que la méthode des éléments finis permet d'aborder les problèmes d'élastoplasticité en procédant à un chargement pas à pas et en ramenant l'état des contraintes vers la surface de la fonction de charge toutes les fois qu'il la dépasse: méthode des contraintes initiales. Cette méthode peut donc être appliquée aux modèles de Cambridge dont les lois du comportement élastoplastique ont été bien définies. Mais une telle méthode dépend en premier lieu de l'exactitude de la limite des zones Œlastiques/plastiques donc du critère de plasticité.

Nous allons d'abord décrire le critère de plasticité des modèles de Cambridge.

II.1 - CRITERES DE PLASTICITE

Nous supposons que :

- la surface d'état limite décrj_te dans les modèles de Cambridge (enve­loppe de tous les états de contraintes admissibles que l'argile peut supporter sans rupture) est la surface de la limite élastique ;

- la loi de normalité est vérifiée ; - l'argile est normalement consolidée ou légèrement surconsolidée, elle

est isotrope et l'écrouissage conserve l'isotropie

Les modèles sont des modèles élastoplastiques avec écrouissage et les critères peuvent se mettre sous la forme générale

où p

q

(II .1)

(3 J 2) 1/2

paramètre d'écrouissage, fonction de la variation plastique de l'indice des vides e.

Pour preclser la forme de l'équation (11.1), nous utiliserons le para­mètre h introduit par Zienkiewicz et Naylor (1971), qui caractérise l'ensemble des phénomènes d'écrouissage

h P

e,\o - e (II. 2)

constante, valeur de l'indice des vides à l'intersection de la courbe vierge '\0 avec la droite Pl = 1 dans le plan (e-ln p) ,

e P sert à repérer les courbes déchargement-rechargement K dans le plan (e-ln p) .

31

Le paramètre e P peut être déterminé à chaque instant en fonction de l'indice des vides et de la contrainte moyenne p :

eP - e ee

e + K ln (12-) Pl

e P (II.3)

où e est l'indice des vides correspondant à un état de contrainte p,

ee est la variation élastique de l'indice des vides dans un processus de déchar­gement de p à Pl = l,

e P représente la déformation plastique correspondant à un glissement des courbes K

Ainsi peut-on transformer la surface d'état limite définie dans l'es­pace (p-q-e) en une surface d'état limite définie dans l'espace (p, q, eP), comme le montre la figure II.1.

forme

('

,. cOIJr-lH-

-'-'-' ____ !J,,!J..,.,

\ l,

, , ln p

L'équation du critère de plasticité se met donc finalement sous la

F = f (p, q) + eP - eÀü

= f (p, q) + e + K ln (~l) - eÀü

= 0 (II. 4)

On voit que F varie au fur et à mesure de la déformation plastique eP ; F définit donc le critère de plasticité avec écrouissage des modèles de Cambridge.

Il nous reste à définir l'expression de f dans ces modèles.

Ir. 1/ 1 - Critère du modè le "Cam Clay" "

Dans l'espace (p, q, e), la surface d'état limite du modèle "Cam Clay" est représentée par l'équation

Rappel

M

À, K

32

~ p

!.L (À - K) M

(f + À - K)

pente de la courbe d'état critique,

(II. 5)

pentes de la courbe de consolidation isotrope et des courbes de

déchargement-rechargement isotropes,

r indice des vides critique, intersection de la courbe d'état critique avec la droite Pl = l dans le plan (e - ln p) .

e

r

courbe À

courbe K

---~ ----J--1 À - K À

K - -- - - --

Po .?,}18i

p o

I" P

Fig. II.2 - Relation e\ o

r + \ - K

On peut montrer (figure II.2) que le paramètre eÀo qui intervient dans la définition de l'écrouissage est lié aux paramètres précédents par:

(II.6)

La combinaison des équations (11.4), (11.5) et (11.6) nous donne:

f (p , q) = (\ - K) (ln ~l + ~) et l'équation (11.4) devient:

F = (\ - K) [ln ~l + ~ ] + e + K ln ~ - e \ 0 = 0 ,

qui est le critère de plasticité du modèle "Cam Clay". f

II.l/2 - Cpit~re du mod~le nCam Clay modifi~n :

(II.7)

(II .8)

Dans l'espace (p-q-e), l'équation de la surface d'état limite du modèle "Cam-Clay modifié" a pour expression

(II. 9)

(équation (11.36) de l'étude bibliographique)

(~< e J , avec Pe = Pl . exp \: ) (II .10)

déduit de e À 0 = e + À ln Pe, Pe étant la contrainte équivalente définie par Hvorslev.

La combinaison des équations (11.4), (11.9) et (11.10) aboutit à

33

f (II .11)

Il vient enfin :

F=(À-K) ln [k (l + ~)J + e + K ln k - e À 0 PI M2 PI

o , (II.12)

qui est le critère de plasticité du modèle "Cam Clay modifié".

Utilisons les paramètres de contraintes s, t en déformation plane

al + a 3 2

et t = al ; a 3 ]

et remplaçons dans l'équation (11.12) p par s, q par t dans n et M par M

V3 (Burland, 1971). Il vient:

o (II.13)

où SI a la même signification que PI à 1.

contrainte moyenne de référence, prise égale

t

<- (1 • r l, l~ :;' t'· 1 cl i c ~ i ~ i que ; r ~.'

.~~~) .. l_ (PO)I {p o)::!( i ())3

/ , -; 1 \.?

.'J'-;

(~'o~(So);> {JC,)1

( cl )

'Carn Clay'

.:Ji (rO i 1 i que

(b)

'Cam Clay mod­ifié'

en déformations planc3

Fig. II.3 - Chit~he6 de pla6ti~it~ de6 mod~le6 de Cambhidge.

Les projections des fonctions (11.8) et (11.13) dans les plans (p - q) et (s - t) sont respectivement :

- pour le modèle "Cam Clay", des courbes en forme d'amande, d'équation:

~ + ln p = ln Po (II.14)

- pour le modèle "Cam Clay modifié" en déformations planes des ellipses d'équation

t 2 M 2 S + 3 - = M 2 So

S (II.15)

où Po et So sont des contraintes de préconsolidation isotropes.

Pour un Po donné ou un So donné, on peut donc construire ces courbes, connaissant la pente des courbes d'état critique [figure II.3,0 et ®J.

34

1I.1/3 - Convention de signe

Dans les modèles de Cambridge, comme en général en mécanique des sols, les contraintes de compression sont supposées positives ; comme le programme de calcul a été construit avec les conventions de la mécanique des milieux continus (compression de signe négatif), il faut prendre pour définition de s et p

p = -3

et s = -

Ceci concerne en pratique les équations suivantes

- pour le modèle "Cam Clay"

F o (II .16)

- pour le modèle "Cam C1Lly r.1odifié" :

(II. 17)

et, en déformation plane

F = (\ - K) ln [ +2 SI

(II.18)

et surtout leurs dérivées par rapport aux contraintes.

Pour les déformations, on conserve la convention de signe de la mécanique des milieux continus soit EV positif lorsque le volume augmente.

II.2 - METHODE DE CALCUL

Il.2.1 - Formulation matricielle du comportement des mod~les de Cambridge

F

ou F

Soit l'équation:

f (oij) - (e\o - eP

)

f (oij) - h = 0

avec les notations

f (oij) - fonction de charge, égale à

( ;\ - K) [ ln ..12._.!l] PI M

o

(11.19)

pour le modèle "Cam-Clay"

( \ - K) ln [~I (1 + ~:)] pour le modèle "Cam-Clay modifié"

h P - d" , = e \ 0 - e : parametre ecroulssage.

La figure (11.4) montre lLl variation de h au cours d'un chargement quel-conque.

En faisant l'hypothèse du travail maximal, on peut appliquer la loi de normalité à la fonction f (oij)

r dE P d\ df

dE~ . df v 3TPl d\ ~

, lJ l lJ -P df dE d\

aq

où dEP

est la déformation plastique volumique, v

dEP

est la déformation plastique de cisaillement,

f (oij) sert de potentiel plastique.

(II.20)

35

w 0)

t

1;

(\ 1 0

(d) - dans le? pliln (t-:,)

ID' lE l ' 1 1 1

1 1 1

1 1 1

i' , 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1 - 1 1

1

1

1

(b) - ddns 1(; pldn (c,-',)

T \

1'1

fi)

hi

.. '::>

Fig. 11.4 - Modèle "Cam-Clay ITDdifié" en déformation plane. Variation du paramètre d'écrouissage h avec eP au cours d'un chargement.

(.0

()

('

,\

Il

(';~o ___ L __

(' P ;;

1 (' 2 ,Il "- ___ c'

l

I( l

l 1

(c) - dans 10 plan s)

5

Une construction analogue à celle décrite dans (1.2/1/3) nous donne la relation matricielle du comportement élastoplastique, analogue à l'équation (1.33)

fT [ E f :0

1 do = E - a a a

dE (II.2l) A + f~

avec dans

E

l'espace à trois dimensions

a =

E

dE

E

A

[ °x, 0y' oz, °xy' °yz' Ozx]T

IH lÀ À

l:

dE e

211 \ ,\ 0

À + 211 À 0

À À + 2 u 0

0 0 Il

0 0 0

0 0 0

cnmporteme~t élastique

comportement plastique

df 30 z '

0

0

0

0

u

0

+ dE P Déformation totale

0

0

0

0

O[ fJ

(somme élastique et plastique)

Ccx, Ey, EZ' Exy, Eyz' EzxJT

des déformations

dh dÀ

deP P dÀ (car h = e \ 0 - e ) , paramètre lié à l'écrouissage

II.2/2 - M~thode je calcul - Mod~le "Cam-Clay modifi~" en d~formation plane

Nous utilisons le procédé itératif de la méthode des contraintes ini­tiales (1.2/3).

Soit 60 0 la partie de do située en dehors de la zone élastique. Elle est déterminée, dans le cas de la plasticité avec écrouissage, par l'équation (1.39 )

- F (o· . k (de P) ) 60 0

l] , E F

FT a

A + E F a a

P - .-(f (Oij) e,\ 0) + e f (11.22) ou 60 0 E fT a

A + E f a a

II.2/2/1 - Evaluation de 600 :

Pour le modèle "Cam-Clay modifié" en déformation plane, on a

P a) Calcul du numérateur (f(oij) + e - eÀo) E fa

On peut écrire successivement

ail f (oij) + P

e - e À 0 (,\ - K) ln l- S 3112 J P

(l + -M?) - (e - ~\r;) s)

37

38

l + 2 \1 \ a

] a/2 E .\ .\ + 2 )1 a

a a )1

où .\ et )J sont les coefficients de Lamé

" ,\ vE

(l + v) (1 - 2 v)

(> E Module d'Young

E \1 Coefficient de Poisson. )1 2(1

a/3 f o

avec f (J i

et f oxy

Posons

Il vient

f 0

d'où

Ef 0

ou Ef 0

+ v)

f ox

f Gy

1 1

f 1 oxy

--'

(\ - K)

S

0: = 3 (\ - K)

0 - Bs x

Ci. 0 y - Bs

2 0 xy

.\ + 2Jl

\

a

r

0 -x

2u Ci. 0 y

l

)

j"

- 3 Il - 6)s + ~ 2s (t1 2 + 3 112)

et 3

a l i

6+3112-M 2

6

0 - Bs x

i

+ 2:1

: j 0: 0 - Bs y

a 2 0 xy

B's

B's avec S' S - \ \1

(1 -

0 xy

Finalement, pour le numérateur, on a

[ 0 - B's

x

Numérateur [f (0 ij) + (eP - e )] 2:1Ci 0 S's A a y

0 xy

x, y

S)

1

b) Calcul du dénominateur A + fT E f cr cr

calcule de la façon suivante : dEP e

Le dénominateur se

deP b/1 A = - d:\ v (1 + 0

dÀ (e

o : indice des vides initial)

D'autre part d f dS

d'où

A - (1 + e o ) (À - K)

S

(M 2 - 311 2

)

(M 2 + 311 2)

Transformons A en fonction de a et S

b/2

avec

d'où

avec

A = - (l

fT E f cr cr

fT Ci cr

+ e o ) 2 s 0,

[cr x /\

o - SIS y

o xy

(l - S)

cr Ss 2 crxyl y

J~2 + 0 2 - 2S's - 2SS2 + 2SS'S2 + 20 2 '1 - x y xy'

o 2 + 0 2 + 2 cr 2 X Y xy

2 t 2 + 2 S2 déduit du cercle de Mohr

fT E f o cr

rI vient donc, comme expression de 600

60 o

II.2/2/2 - Proc~d~ it~ratif.

Soit le critère de plasticité

F = f (cr,.) + e P - e = 0 lJ Ào

lox-S's

o -SIS y

o xy

(rI.23)

Supposons qu'à un stade de chargement sr on soit en dehors de la surface

de la limite élastique. Des calculs itératifs vont évaluer la partie (6s )1 et rame-ner l'état de contraintes sr à (s réel)r sur la surface limite Posons: o -

(s virtuel)r = (s réel)r + (6so )r 1 on a :

(eP ) = e P - K ln [s virtuel/ s réel]r r 0 (rl.~~L))

39

avec

e o

e o + K ln so = constante,

indice des vides initial,

contrainte initiale.

(eP)1 définit la valeur du paramètre d'écrouissage hl.

Il s'agit donc, pour un incrément de charge en dehors de la zone élastisue, d'accumuler les "contraintes initiales" 6s des itérations et de recalculer le e~ correspondant, d'où la valeur de F . 0

On procède ainsi jusqu'à ce qu'on ait

F = 0 + une certaine tolérance de calcul.

L'état de contraintes est alors supposé approximativement sur la surface de la limite élastique, et l'on passe à l'incrément de charge suivant.

Les figures (11.5) et (11.6) illustrent le déroulement de ce procédé it~ratif en projection sur les plans (e-ln s) et (s-t).

ln 5

511 virtuel

L (1':,5) + L (L5 ) o 1 0 II

51 virtuel 511 réel

réel

5 o

5) = 1

5 II

e P II

Fig. II.S - Déroulement des calculs par la méthode des contraintes initiales (plan e - ln s). Les calculs itératifs ramènent les points l et II aux points l' et II' pour lesquels F = f + eP - e Ào = o.

e

La figure II.6 montre de façon claire le processus d'écrouissage du matériau du fait de la déformation plastique: lorsque l'on passe de l'état de contrainte

initial 1 à l'état I? (calculé en fonction de l'incrément de charge, de la matrice o

de rigidité initiale, de la surface d'état limite initiale [définie par (sc)o] et des

conditions aux limites) situé en dehors de la courbe d'état limite initiale, on 1 2 3

amorce un processus itératif qui ramène le point I? en Il Il, Il ... I~ ,

40

tout en faisant évoluer la courbe d'état limite de (s) à (s )? - (s ) c 0 c - co'

(sc)~. Les itérations s'arrêtent lorsque le point I~ n suffisamment proche de la courbe d'état. limite correspondante (sc) l'

est

courbe d'état critique

(5) M c 0

2 13

5

2

Fig. II.6 - Evolution de Zr~tat de contrainte (s-t) au coups des it~rations

Les courbes (sc) sont définies par l'équation p

Sc ex 1 e À 0 - e-I p À - K

(II-25)

déduite de l'équation f + e P - eÀo

= 0 dans laquelle f = (À-K) ln Sc avec s

et n = 0 (car t = 0).

Connaissant e P (équation II.24) à la fin de chaque itération, on peut déterminer la courbe (sc) correspondant au nouveau point d'état de contraintes.

II.3 - PROGRAMHATION DU MODELE "CAM CLAY MODIFIE"

II.311 - Incorporation du crit~re "Cam Clay modifi~" dans le programme

ROSALIE.

La méthode de calcul décrite dans la chapitre II (II.2/2) a été introduite dans le programme de calcul ROSALIE de la Section des Modèles Numériques du Labora­toire Central des Ponts et Chaussées.

Ce programme a été décrit dans plusieurs rapports de GUELLEC (1973, 1976). Nous n'en rappellerons que la structure générale avant d'indiquer en détail les éléments du programme qu'il a fallu modifier pour introduire le critère de plasticité du modèle "Carn Clay modifié".

II.31lll - Structure du programme ROSALIE

Le programme ROSALIE est articulé en quatre blocs réalisant des opérations spécifiques (figure II.7)

le programme MAILLE prépare le maillage et les données nécessaires au calcul ;

- le programme TEST vérifie les données calculées par MAILLE et prépare le calcul proprement dit (cartes de commande)

- le programme CALCUL ;

- le programme TRACE présente les résultats du calcul sous forme graphique.

La figure II.7 est extraite de GUELLEC (1976, figure 1.31).

41

MAPLAN module

plan

MAILLE

MATRID module

MACOPO module

tridimensionnel structure

Différents groupes

~~~ TEST groupe nO i

1 br-:=-CALCUL groupe nO i

mauvais maillage 1

dessins des résultats de TEST, impression, perfora­tion

sorties imprimées et éventuellement perforées ou écrites sur un support magnétique

TRACE groupe nO i - sorties graphiques

Fig. II.? - Structure du programme ROSALIE.

II.Z/l/2 - Structure du programme CALCUL

Pour les calculs en déformation plane que nous allons faire sur le remblai de Cubzac-les-Ponts, le bloc "CALCUL" du programme ROSALIE est constitué d'un programme principal et de trois ensembles de sous-prograrrmes appelés modules et désignés sous le nom de

- GROUPE 5

- PLAN 5

- CALCUL l .

I~our les autres types de calcul, la structure reste la même mais on n'utilis~ pas les mêmes modules] .

Le module GROUPE 5 regroupe l'ensemble des sous-programmes de gestion du calcul, qu'il s'agisse des calculs de matrice de rigidité, de la prise en compte de la loi de chargement et des conditions aux limites ou de la résolution numéri­que du système linéaire.

Le module PLAN 5 regroupe l'ensemble des sous-programmes de calcul des matrices de rigidité des différents types d'éléments.

Le module CALCUL l regroupe les sous-programmes nécessaires à la résolution numérique (algorithmes de calcul) .

Lors des calculs, le programme principal appelle immédiatement le sous­programme GROUP 5 (de GROUPE 5 ) qui gère le déroulement du calcul.

42

TI.3/1/3 - Structure du sous-programme GROUP 5

Pour simplifier cette présentation de la structure du sous-programme GROUP 5, nous nous limiterons aux sous-programmes appelés lors du calcul présenté dans la 3ème partie de cette thèse.

La figure II.8 présente le déroulement des calculs dans un tel cas en précisant :

- l'ordre d'appel des sous-programmes

- les opérations que chacun d'eux réalise.

Lecture

des

données

Q)

'ri ~

.j.J IQ)

8 o IQ)

tJ!

cO ri

Variable selon le type de problème traité (élastiCi-" té, plasticité, visco-élasticité) __

Sous-pgm spécialisés

............................................ e ....

Sous-pgm spécialisés

Sous-pgm spécialisés

Fig. II.8 - Structure du sous-programme

Lecture des coordonnées

Lecture de la numérotation

Lecture tiques

des caractéris-

Appel des sous-programmes des matrices élémentaires (PLAN 5) Calcul et stockage de la matrice de rigidité glo­bale

Impose les conditions de déplacement nul dans la matrice de rigidité (mo­dification de la diagonale

Transforme les chargements imposés en système forces nodales

Résoud le système linéaire et le stock

Calcule les contraintes à ?illi:ir des déplacements

Gère les corrections de contraintes 6°0 Imprime les résultats en fin de cycle itératif Calcule explicitement le critère et les corrections 6°0

43

II.3/1/4 - Modificatùm du Sous-pY'Ograr1me PLAST 1 de GROUPE 5

Le sous-programme PLAST 1 effectue deux calculs distincts :

- le calcul de la valeur du critère de plasticité en un point donné, C (1)

- le calcul de la correction de contrainte 60 en fonction de la valeur du critère au point considéré. °

Un paramètre de la liste d'appel (K) sert à aiguiller le calcul vers la section souhaitée du sous-programme : calcul du critère (K = 0) ou calcul des corrections de contraintes (K = 1).

Dans chaque cas, on utilise des formules explicites différentes selon le critère utilisé.

L'insertion du critère du modèle "Cam Clay modifié" dans PLAST 1 s'est traduite par l'ad­jonction d'un pôle supplémentaire dans les deux aiguillages multiples du sous-programme (pour IN = 5, indice de ce critère) avec les formules correspondantes (étiquettes 43 et 33 respectivement) .

Les figures 11-9 et 11-10 présentent l'ensemble des modifications apportées au sous-pro­gramme PLAST 1.

44

Les notations utilisées dans le programme de calcul sont les suivantes

Formules C(I)

- 21Ju. C (I) iox - S'S] 10 S's l YOxy _ - (l + eo) 2so. (1 - B) + 41J 0.

2 S2 f (1 - S) (1 - S') + n2

f

Notations

À = l\L0E IJ =AM 3 (À - K)

K = AK0E (J = ALPH0 S2 + [M2 + 3 TlLJ

s SK(I) e =0ED 0

Tl RAP B = BErA

M = AMC S' BEr0

eP(I) = EP(I) 0 x S (l, 1)

e Ào =AK 0 Y

S (2, 1)

s c(I) SC(I) 0 S (3, 1) xy

[60 lT - oJ [p (l,I) P (2,1) P (3,1) J

et SK(I) et SKD(I) contrainte moyenne réelle et contrainte déviatorique réelle (voir figure II.5)

SK0(I) cumul [60 + 60 1 °1,1 °2,1

ST SK(I) - SK0(I) : contrainte moyenne virtuelle, (voir figure II.5), le signe - correspond à SK négative en compression.

C(I) valeur du critère F au point l

SC(I) ieÀo-eP(I)!

exp 1 À-K . .

contrainte de préconsolidation isotrope définissant la courbe d'état limite correspondant au point l à l'incrément i et à l'itération j.

l - indice du point pour lequel on fait le calcul.

PLAST 1 (point 1 •.. )

1 DEBUT 1

non ~ oui r--------..... f-----"'=------<::~TE~ 5?-~-----------___ ----.... 1

SK(1) : contrainte moyenne de compression s

22 SKD(1) : contrainte déviatorigue t '---------------.... --r--..... -l RAP = -SK(1)/SK{1) c'est n =! > 0

s ST = SK - SKO(1)

EP(1) = EP0 = AK0E xlll!0G (ST/SK) K = 0 (Calcul du critère) TEST ~-----___ .. ____________ <:d'orientation~~ ______ K_=~l .. {~C_a_l_c_u_l_d_e __ 6_0~0~) ______ ~

Aiguillage vers 1~_~ ___ 4~0~ TRESCA COULOMB le critèrINe ~ calculer 2J l

5~

f-__ ~ ___ 50_tl:DR:U:C=KE:R======~r_I---------.----_l p3~~ ____ ~ __ ~4~5IPAmUDLE 1

V 43

C(I)

421 VON MISES avec écrouissage 11-----4

= (;\-K) ln [(-SK) x (1 + 3~2)] + EP(1)

SC(I) = - EXP

- e Ào

reÀO - EP(1)l L À - K j

1 Rc,'"'I'URN 1

60

TRESCA-COULOMB Calcul de 60 et de P - S = P + 60

000

20 Aiguillage en fonction du critère

VON MISES avec ECROU1SSAGE

CAMBRIDGE - Calcul de 60 o

30

35

32

- 2wa C{I) critère , --------------------------~~~~~~~~----------~---x 0 - S s - (1 + e

o) 2s a (1 - S) + 4W a 2

S2 I~ (l - S) (1 - S') + n2J y

Fig. II.9 - Stpuctupe de PLAST 1 appès modification

o xy

IN=

4

33

45

Fig. II.10 S@US PR@GRAMME PLAST 1 après incorporation du critère du modèle "Cam Clay modifi~" (parties encadr~es).

S lJ b 1-{ U i 1 TT i"J f PLA,.) T 1 le, ~_, , ~ 1 11'\" ,'1 , ,. L , ~\ .\" 1 (11\ , J , i\ , !1 , I\;\. li!' , l' .': ( , ./ r 1 J , ~ t\. 1 ! , ,') l~ r

ltfJ,tr'U)

U T ,"1 t.,~ S 1 (] r, C ( 1 ) , ') \ .) , 1 ) , t-' ( ~, 1 ) , ,) ~ , , 1 1 ) ,i 1 1 1 l , t.'" ( ~ )

r' S = 0 • 'i * 1\ L / ( AL + A'I

[F(H'JJe.'i)',,! lu "2 ALUt-A .s"=(S(l,I)+Slè,I)I*.'-,

~" lJ = • 'î * C ( S lI, j ) -" 1 ~, 1 1 J * * " + 4 • ','0 ( ), 1 ) * * r' '1 * * • '-, "At-'=-')~,i;/Sl\

ST =S":-;:'''ll ( 1) t PlI) = t fJ il + IH, iJ f' * AL'; ,; CA",' ( ,,~ / ,,1 1 )

0'2 IF C.\. !:"~.1) 1.," T" h'. C; Il 1 li C 41' , 'J il, LI '-" y cO , .j , : , J ;,

t) U CCII;: CC," ( l , 1 ) -::; ( r' , l ) .1 * * l' + LJ • +, ( ,), , ) • * " ) * * • '-, - I, " + 1 :" ( 1 , j ! + ') 1 r, ( 1 ) * .\ f<~. Til" "

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46

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II. 3/1/5 - Autres modifications

Lecture des données (CALCTE)

On a introduit dans le sous-programme CALCTE une section d'étiquette 64 effectuant la lecture des données dans le cas du critère d'indice ICRIT = 5 (modèle Cam Clay modifié) .

Stockage des données (CONTB 5 et PLAST0)

La prise en compte des hétérogénéités du massif à calculer nécessite le stockage des caractéristiques des différentes zones. Cette opération a été programmée dans les deux sous-programmesCONTB 5 (pour la lecture) et PLAST0 (pour l'utilisation) de façon indentique à ce qui existait pour les autres critères.

Impression des résultats (PLAST0)

Afin de faciliter le contrôle des résultats du calcul et notamment de l'écrouissage, il nous a paru utile de faire imprimer la valeur de la contrainte Sc qui définit de façon simple la courbe d'état-limite dans le plan s-t. Cette valeur a été ajoutée à chaque ligne du tableau des déplacements et contraintes (résultats du calcul). Une séquence d'impression spéciale est appelée lorsque l'indice du critère est égal à 5.

II.3/2 - Convergence du calcul

Avant d'utiliser le programme de calcul sur le cas du remblai de Cubzac-les­Ponts, on a réalisé un essai simple sur la convergence du modèle. Le maillage utilisé est du type "tube épais", formé de 65 points et de 16 éléments quadrilatères à 8 noeuds (Fig. II.11).

Les paramètres nécessaires pour le calcul sont

a) Comportement élastique

- E module d'Young (YG)

- v coefficient de Poisson (PS)

b) Comportement plastique

À pente de la courbe vierge (AL0E)

- K

- M

- e o

pente des courbes déchargement-rechargement (AK0E)

pente de la courbe d'état critique (AMC)

indice des vides initial (0ED)

- e Ào

indice des vides limite (AK) intersection de la courbe vierge

- e P o

avec la droite s. = 1 valeur initiale àe la première courbe déchargement-rechargement (EP0)

Pour cet essai, on a choisi des paramètres arbitraires mais cohérents entre eux. La détermination des paramètres utilisés pour les calculs sera décrite en détails dans la troisième partie.

Pour le chargement, on a crée un état de contrainte isotrope dans le mail­lage en appliquant des pressions uniformes intérieures Pl et extérieures QI = Pl. Ensuite, on a donné deux incréments de charges uniformes extérieures 6Q2 et 6Q3.

Le tableau II.1 présente les valeurs des paramètres utilisés pour cet essai.

47

Etat initial

e 2,00 À 0

PI + QI S 2 K

0

50 kPa M

t PI - QI eÀo 0 2

=0 eP 0

E

v

CONVERGENCE

TABLEAU II.1

Paramètres utilisés pour l'essai

Caractéristiques du matériau

= 0,2

= 0,075

1

2,8

eo + K ln So = 2,293

3 (1 - 2v) (l + ea) s K 0

= 0,3

2400 kPa

Chargement

20 kPa

20 kPa

Les calculs convergent assez rapidement, dix itérations étant suffisantes pour cet essai.

Examinons maintenant la convergence du modèle suivant le schéma déjà décrit (figure II.5).

48

On utilise les notations suivantes

s~ l

i indice de l'incrément de charge

j indice de l'itération

t~ l

1~ l

c j i

(s ) ~ C l

valeurs de s et t au moment Î point d'état de contraintes au moment Î courbe de limite élastique correspondant au point 1~

l

contrainte de consolidation isotrope définissant la

courbe C~ comme montre la figure II.12 ci-dessous. l

t

M x Sc Tl T

s Sc/2 Sc

Fig. IJ.12

J / /

/

, {) .')sa1~

QI = Pl ~ 50 kPa

6Q2 20 J<-.Pa

20 kPa

Représentons graphlquement les résultats du calcul pour un point représen­tatif du maillage (point 29). [Tableau II. 2 J

Au premier chargement on arrive au point Ii

r 1/

Il "

1 SI 50 kPa

o

Ce point est à l'intérieur de la courbe limite élastique C: on passe donc au deuxième incrément

57,743 kpa)

l ~ f l

75,58 kPa

18,80 kPa

Comparé avec la courbe C! (ou c: car s C2 1

1 S ), ce point est en dehors de

CI

la zone élastique avec pour valeur du critère C(I)2 calcul) Les calculs itératifs commencent, jusqu'à laquelle on obtient

= 0,05494 > 0,01 (tolérance de la dixième itération pour

, 1 0 72,58

10< S2 kpa

1 2 1 0

L t2 14,47 kPa 1 0

et C (1) 2 = 0,00504 < 0,01 1 0 1 0

Le point 1 2 est pratiquement sur la courbe C2 , compte tenu de la tolérance de calcul 0,01 valable pour ce critère dont l'ordre de grandeur est celui des indices des vides.

analogue. On passe donc au troisième chargment et le processus se poursuit de façon

1 1 Remarque: On note que la courbe C3 du point 13 n'était pas confondue avec la courbe c~o comme il se doit théoriquement. Celà est dû au fait que les contraintes de l'itération actuelle j ont été calculées par

49

l'itération précédente j-l. Mais étant donné qu'on est toujours en dehors de la zone élastique, on se rattrappera dans les calculs des itérations suivantes (figure II.13).

La vitesse de convergence obtenue a .été jugée satisfaisante et l'on est passé directement à l'utilisation du programme sur le cas plus complexe du remblai de Cubzac-les-Ponts.

TABLEAU II. 2

Résultats des calculs itératifs pour les 3 incréments de charge

I~ - sj kPa t j kpa C (1) j (s ) j kpa l l l -C l

1

1

Il 50 ° -0,01799 57,74

1

l ~ 75,58 18,80 0,05494 57,74

1 2 72,68 15,80 0,02112 70,09 i 1

I? 74,23 : 15,66 0,01546 74,34 '. i

le 71,85 i 13,98 0,00284 78,20 i

le 74,09 ! 14,81 0,00829 77,64 ~ ! 1 2 73,57 ; 14,45 0,00674 77,76

7 i 17 72,69 , 14,44 0,00518 77,99

8 i 1 2 72,57

1 14,43 0,00494 78,02

q

1 2 72,65 i 14,51 0,00523 78,00 1 0

! , I~ 72,58 ; 14,47 0,00504 78,01

i l

1 l, 98,16 1 33,27 0,07385 73,10

7 1

l J 102,60 32,24 0,06041 82,01 )

l J 103,03 30,21 0,04559 90,00

l J 103,06 29,08 0,03544 96,14 5

13 103,36 28,39 0,02866 100,78 h

l J 103,14 27,30 0,02201 104,66 7

l J 101,77 26,13 0,01496 108,15 8

l J 99,68 24,30 0,00699 111,06 9

l J 103,45 26,81 0,01592 109,44 1 0

13 102,21 24,84 0,00888 112,06

50

t(k~a) ! :r ) ,- Il ; i "IIJ'

./

1 J

l

"

c

50 kPa 70 kPa

~ Fig. II .1'3 - Etude graphique de la =nverqence du calcul

/ _8 ( J

l,

.2 , ~3 ~4 \ 5

6 ! 7 /'9

8/1' 10 13

~~o

100kPa s (kPa)

SECONDE PARTIE

APPLICATION AU CALCUL D'UN REMBLAI

53

- CHAPITRE 1 -

DESCRIPTION DU REMBLAI

INTRODUCTION

En 1972, les laboratoires des Ponts et Chaussées ont entrepris une campagne d'étude de remblais sur sols mous sur un site expérimental situé dans la commune de Cubzac-les-Ponts, au nord de Bordeaux. Trois remblais expéri­mentaux ont été prévus sur ce site :

- le remblai A (juin 1974) devait être construit jusqu'à ce que la rupture se produise. Le but de cette expérience était d'étudier en particulier les conditions d'apparition de la rupture et la forme du glissement. La hauteur finale du remblai A (4,50m), pour laquelle la rupture s'est produite, permet maintenant de prévoir avec précision la hauteur à donner aux remblais suivants en fonction du coefficient de sécurité désiré (Vogien, 1975).

- le remblai B (octobre 1975) a été construit avec un coefficient de sécurité plus fort. Compte tenu de l'expérience tirée du remblai A, la hau­teur du remblai B correspondant à un coefficient de sécurité souhaité de 1,5 a été fixée à 2,30 m. Ce remblai est consacré essentiellement à l'étude de la consolidation du sol de fondation sous le remblai et dans son voisinage.

- le remblai C (1978), construit avec un coefficient de sécurité assez faible (1,2), sera destiné à l'étude de l'intéraction des phénomènes de consolidation, de plastification et de fluage au voisinage de la rupture.

Ce chapitre a pour but de décrire le remblai B où les calculs des déformations seront effectués en appliquant le modèle "Cam Clay modifié" en déformation plane. La description générale de préparation de l'expérience est inspirée du dossier établi par les Laboratoires des Ponts et Chaussées (MM. Magnan, Mieussens et Queyroi) .

I.l - LE SITE

54

Sur la base de certains critères pratiques et techniques, le site expérimental a été choisi sur la commune de Cubzac-les-Ponts à environ 30 km de BORDEAUX, sur la rive droite de la Dordogne. La cote N.G.F. au niveau du sol est de + 2 m. Cette zone était déjà relativement bien connue étant donné les nombreuses interventions réalisées pour l'étude de l'autoroute A.62 qui passe à proximité de ce site (voir plan général, fig. 1-1).

Les alluvions compressibles de la plaine alluviale de la Dordogne, où se trouve le site expérimental, sont constitués de haut en bas de

- une argile limoneuse d'épaisseur 1 à 2 m. Cette couche de surface forme une croût" surconsolidée et altérée.

'. \

"

\

.' . \ . . .

D'ESSAI DE PIEUX \ ,

'~rB~~~3fl SITE

EXPERIHENTAL

."

EXPERUŒNTAUX

(1969)

Est~y

• · ·

"erdv~ __ ~.~.4· . ...

Fig. I.I - Localisation du site expérimental de Cubzac-les-Ponts

55

une argile molle grise plus ou moins organique légèrement surcon­solidée.

de graves, située vers 9 à 10 m m et reposant directement sur du

, "

i ~

19 c,' »_

h~ ---' ----'-------'-----,---L---'--Lc--"-c------c--:-'--L--:-'-::--o---c----c:----'-''------ . ___ _ Fig. général du site

1.2 - DIMENSIONNEMENT DU REMBLAI B

On voulait construire 10 :"mblai B avec un coefficient de sécurité égal à 1,5. Le remblai A s'étant rompu pour une hauteur de 4,5 m, pour avoir un coefficient de sécurité de 1,5 il fallait réduire cette hauteur d'environ 1,5 fois, soit 3 m. Toutefois dans la mesure où sous le remblai B, la cohésion moyenne du sol au scissomètre de chantier n'était égale qu'à environ 75 % de la cohésion moyenne sous le remblai A, la hauteur du remblai B à retenir n'était plus que les 3/4 de 3 m, soit 2,25 m.

On a arrondi cette hauteur à 2,30 TI1. Les calculs de stabilité effec­tués par la méthode de Bishop simplifiée (rupture circulaire) à l'aide du pro­gramme de calcul RRT (RAULIN, ROUQUES, TOUBOL, 1974) du LCPC ont confirmé que le coefficient de sécurité valait approximativement 1,5 pour cette hauteur de 2,30 m.

La figure 1.3 présente l'implantation et les dimensions du remblai B sur le site expérimental. La plateforme du remblai a pour dimensions 17,5 m x 6D,0 m, la pente des talus étant égale à 3 de base pour 2 de hauteur. La largeur a été choisie de façon à valoir à peu près le double de l'épaisseur de la couche compressible. (Cette condition est généralement considérée comme suffisante pour que l'on puisse comparer le comportement sous l'axe du remblai à des calculs uni­dimensionnels). La longueur de la plate forme a été déterminée de façon plus empirique, l'objectif étant d'obtenir un état de déformation plane au centre du remblai. La rampe reliant les remblais A et B sert uniquement pour la construc­tion, le remblai B étant construit avec du matériau prélevé dans le remblai A.

1.3 - IMPLANTATION DES SONDAGES ET ESSAIS EN PLACE

56

Outre les essais en laboratoire, cette expérience a nécessité de nombreuses interventions sur le site. La figure 1.4 présente l'implantation de ces diverses interventions.

1.3/1 - SUlidage.}

Des sondages carottés de diamètres 80 et 100 mm (carottier à piston stationnaire CPS) étaient prévus. Par suite d'ennuis techniques les sondages carottés de 0 100 mm n'ont été réalisés que plus tard et l'on a réalisé dans un premier temps tous les carottages en diamètre 0 80 mm.

1. 3/2 - E66ato en ptacf' :

Deux types d'essais en place ont été prévus

- des essais destinés à vérifier l'homogénéité du sol de fondation dans la zone d'implantation du remblai: essais au scissomètre et au pénétromètre.

- des essais utiles pour l'étude des déformations et de la consoli­dation du sol de fondation : pressiomètre normal et pressiomètre autoforeur, mesure du coefficient de perméabilité k et du coeffi­cient de consolidation Cv en place.

Pour le principe et la technologie des appareils d'essais en place et des appareils de mesure, nous renvoyons à la thèse de Vogien (Etude du compor­tement avant la rupture d'un remblai expérimental (remblai A) construit sur le sol mou à Cubzac-les-Ponts, 1975) et aux différentes publications des L.P.C. sur l'utilisation de ces appareils.

-

IOm

:1 E

o ...

25m REMBLAI B

~----,--..-~_ '" /l + 24m R2l+ 17,5m ~ (Q)

---- - r-I-- --- --- - -- - - 5ml-r- --3,25> 60m~ r ~ - 'U'm " "m

E o V)

t-----r---------------l E 1 1

:6 : REMBLAI C : Nil

1 1 t-----L--------------- J

E o C"'I

1

""''r----(/

/

REMBLAI

A

\

Fig. 1.3 - Implantation et dirnensionnernent du remblai B

57

Prcf i 1 C~il tr-J 1 K

P 20 P 22 r A 22 ~1 S/\iO PA 21 n

~~------~!~,!-------~/ r ,

KA 23 A 21' KC, 20 KC 21 KA 22 /

--- +--+--2 m - __ -____ -. ~ ~A2o_--~-----I---2 mE[]---- ---~ f ï~-- ---~s 22

F 20, ,PA,20 k--~---

v Il ~

P 0 S 6. F • PAl::, KC Cl

A 2'\.IU 1 Cl r: 3? 21

15 m 2 m ~1---l2 m

Pénétromètre à pointe électrique Scissomètre classique Pressiomètre normal Pressiomètre auto foreur Mesure de K et C

I<A [) r1esure de ]<: v

A 0 Sondage carotté 0 80

15 m

P 20, P 21, S 20, S 21, F 20, F 21 PA 20, PA 21 KC 20, KC 21 FA 22, Kl\ 23 A 21, 1\ 22

Fig. 1-4 - Implantation des sondages et essais en place du remblai B

P 23 S 23

1.4 - IMPLANTATION DES APPAREILS DE MESURE

58

Le plan d'implantation des appareils de mesure comporte deux volets

- un ensemble d'instruments de mesure des déplacements: tassomètres de surface et de profondeur, inclinomètres, jalons, capteurs de déformations horizontales relatives.

- un ensemble d'appareils de mesure des contraintes piézomètres et capteurs de pression totale.

On note que les p~ézomètres pneumatiques à contre pression (PAC) ont montré lors du dépouillement des mesures du remblai A une très grande fia­bilité dans les conditions du site (dégagements gazeux dans le sol). Mais leur prix élevé ne permet pas de les utiliser partout et l'on a conservé une majorité de sondes hydrauliques (type LPC) dont le comportement est satisfaisant lorsque les pressions à mesurer sont suffisamment élevées et dont le prix est beaucoup moins important. En ce qui concerne les capteurs de pression totale, les capteurs à contre pression n'ont pas donné satisfaction, et l'on n'a placé sous le remblai B que des capteurs de type électrique (LPC).

La plupart de ces appareils de mesure sont situés dans le profil transversal central (profil K) du remblai mais on a aussi équipé de quelques appareils les deux profils transversaux de contrôle l et M ainsi que le profil ° (axe longitudinal du remblai). Le nombre de ces appareils de mesure est in­diqué sur la figure 1.5. Le Tableau 1-1 présente le déroulement des opérations effectuées.

(J1 CD

- Sc i ssomè· r ru - Pressiom~i-re norrneJ!

- Prcsslorn~·tr~ Ju1·()for~l~r

- r :(]dorn0tn~

- e'r.,rrl,--,b i 1 i tt,

- Trii.lxiôl

!_',lE~d~iJ 1

- Çab 9nu_ Je mesure.,s

- ~ éjCo~_nè!res

_ ~a2t~ur~ '!..e Eres:;_~or~_

- Tassomètres

- Incl inomètres

- ~ap.!e~rS,\jl' cJtt. -lOr.

- Jalons

Calculs prél iminaires

Construction du remblai

TABLEAU I-1

CUBZAC-les-~DNTS - REMBLAIS B (1975)

Chronologie des opérations

~~p, ! 1'1 N JJ 1 l,LET

--~'

SEPTEMBRE OCTOBRE

III

~ Prévu

~ réalisé

NOVEMBRE Df:CE.MBRI,

l inclinanètre Ts tassamètre surface

T tassamètre de profondeur p

P piézanètre Pt capteur de pression totale

~ déformation horiz. relatives

Profil 0 1=0 T =5 T =6 __ s _ --12-_

P=16 Pt=O Dh=O

Sur chaque prof il, les appareils sont canptés dans trois zones - sous le remblai - hors du remblai, au-dessus - hors du remblai, au-dessous

Prcy il prqj il prC),J il

l Jo ='1 l =10 T =l 0 Ts = 0

T; =10 1

Tp

=10

P' = 1 P = 1 P =10 Pt = 0 t ~ 0 D =10

h

l ='0 l =10 l =,0

Ts =\ 0 Ts =\0 Ts =\0 T = 0 T = 0 Tp = 0 p , p 1

P =11

P =16 p =10

Pt = 0 Pt = 1 Pt =1 0 Dh = 0 Dh = 0 Dh = 0

Fig. 1-5 - Implantation des appareils de mesure du remblai B

1-5 - REMBLAI CARACTERISTIQUES - CONSTRUCTION

60

1.5/1 - Ca~a~t~~l6tlQue6 du mat~~lau de ~emblal

Une partie du matériau du remblai A a été réutilisée pour cons­truire le remblai B. Ce matériau est constitué essentiellement de graviers et gros sable :

% passant à 0,2 mm

% passant à 20 mm

2 %

75 %

L'absence totale de fines entraîne que ce matériau ne présente aucune cohésion (C' = 0) et est caractérisé par un angle de frottement ~. = 35°

Des mesures de la densité en place ont été faites au cours de la construction du remblai A : 18 mesures ont été exécutées, donnant comme poids volumique moyen :

y = 21,2 kN/m 3

Ce poids volumique est très élevé.

1.5/2 - Con6t~u~tion du ~emblai

Le remblai a atteint en fin de construction une hauteur de 2,3 m au-dessus du terrain naturel que l'on peut considérer comme horizontal.

Le remblai a été construit assez rapidement en 3 couches et à une vitesse assez régulière, à part l'interruption de la fin de semaine (samedi­dimanche) entre la première couche (à 0,70 m) et les 2 autres couches. (à l,90m et 2,30 m) .

Le tableau 1.2 et la figure 1-6 présentent le calendrier selon lequel ces trois hauteurs de remblai ont été atteintes.

TABLEAU 1.2

Calendrier de la construction du remblai B

2,3

1,9

1,6

Hauteur Couche du Date / heure

remblai

1 0,70 m 10 octobre / 11 h

1 1,20 m 14 octobre / 9 h

2 1,60 m 14 octobre / 11 h

1,90 m 14 octobre / 17 h

3 2,30 m 15 octobre / 12 h

Hauteur du remblai (m)

- - - - ,-,------

,

30

00

30

00

00

l, 2 -- - - - - - -- - - - - - - - -

0,7

0,0 --+---~--_4----+---~--_41--------------~~ jours 10 11 12 13 14 15/10/1975

Fig. 1-6 - Diagramme de construction du remblai

1-6 - SOLS DE FONDATION - CARACTERISTIQUES GEOTECHNIQUES ET MECANIQUES

L'étude d'identification géotechnique et sédimentologique et d'analyse textura le de l'argile de Cubzac-les-Ponts a été effectuée dans le cadre d'une étude plus générale des relations entre les propriétés physico­chimiques et les caractéristiques mécaniques des sols compressibles (Vidalie, 1977) .

Les alluvions compressibles de la plaine alluviale de la Dordogne où se trouve le site expérimental sont constituées (fig. 1-7) de haut en bas de

61

Une très mince couche de terre végétale d'épaisseur approxima­tive 0,3 m;

- Une couche d'argile vaseuse molle d'épaisseur inférieure à 2 m, formant une croûte de surface surconsolidée et altérée par dessication. (A l'endroit du site, le niveau de la nappe phréa­tique varie du terrain naturel en hiver à -1,5 m en été; au moment de la construction du remblai (octobre 1975), la nappe était située à -1,5 ml;

- Une couche fortement compressible d'argile tourbeuse molle dont le degré de surconsolidation varie de 1,4 à 2 m de profondeur à 1,13 à 6 m de profondeur;

Une couche d'argile vaseuse molle organique grise et légèrement surconsolidée.

Le substratum situé entre 8,5 m et 9 m de profondeur est constitué, au contact des vases, d'un sable parfaitement drainant d'une épaisseur moyenne de 5 m reposant directement sur un second substratum marneux imperméable.

L'existence de la couche marneuse imperméable et des alluvions fines qui la recouvrent permet d'assimiler la nappe alluviale que l'on rencontre dans la grave à une nappe captive. Cette nappe alimente un léger écoulement ascendant dans la couche supérieure d'argile vaseuse molle.

Dans l'ensemble, l'argile de Cubzac présente une bonne homogénéIté. Cependant on observe des litages de fibres végétales bien conservées, ce qui lai.sse penser à un transport par flottation de ces dernières par les cours d'eau et à un piégeage rapide lié à une sédimentation importante dont témoigne la bonne conservation des végétaux (Vidalie, 1977) .

. '''J '''C 1 l ,c fort,)mp·11 comp res~ i b 1 e

"L f'!cl J, It'g0remcr~' sllrconsol id6e

5ucstra+u~ s3t10uX drainant

Fig. 1-7 - Sols de fondation du site

CARACTERISTIQUES GEOTECHNIQUES ET MECANIQUES

La figure 1-8 présente de façon schématique les variations des caractéristiques géotechniques et mécaniques des sols de fondation en fonction de la profondeur sous le remblai.

On trouve sur cette figure les courbes moyennes correspondant aux paramètres suivants :

- teneur en eau W et limites d'Atterberg wp et wL '

- indice des vides e o - poids volumique \ et poids volumique du sol sec Yd '

- teneur en matières organiques,

62

"i:

\Np - W - WL e

()

1

(1):,' (2):,' +24kPa "

c kv cm/s

(3) :Il -=() - 0+48, 3kPa

c v cm:'/s

/\1' i ()-: ['up i,' k, /~.

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( kl ' ,)

LL~~~~~~~~~~~L'~~~~~~~~-rmwrl~1i

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{/ .

Fig. 1.8 - Cubzac-les-Ponts - Remblai B Variation des caractéristiques géotechniques et mécaniques avec la profondeur.

\ \ \ . \ / \ . \ 1

\ 0 •

\ 1

\ ) ° '0 l 'j

• • 1

1 1"" / l·iL.

\ •

;0 t't.tJcu'GtUX

UU

- contrainte verticale effective initiale en place a vo et contrainte de préconsolidation a c

indices de gonflement C et de compression Cc déterminés à l'oedomètre, s

- coefficient de perméabilité kv déterminé en laboratoire (essai oedométrique) ,

- coefficient de consolidati~n Cv déterminé en laboratoire (essai oedométrique) ,

- rapport d'anisotropie de perméabilité mesuré en place,

- cohésion non drainée Cu mesurée en place (scissomètre) et en laboratoire.

Le tableau 1-3 récapitule les valeurs moyennes de principaux paramètres de compressibilité et de perméabilité pour chaque mètre de la couche compressible. Les paramètres Av et Bv sont ceux de la relation e = Av + Bv 19 kv

Les paramètres Ah et Bh sont ceux de la relation analogue pour la perméabilité horizontale.

64

Q)

U1

Couches

° à 1 ID

1 à 2 ID

2 à 3 ID

3 à 4 ID

4 à 5 ID

5 à 6 ID

6 à 7 ID

7 à 8 ID

8 à 9 ID

e 0

1

2,6

3,15

3,3

2,42

2,07

2,13

2,5

2,2

0'0 0' c

kPa kPë

8,4 78

20 1 68 1

24 36

28 36

32 38,5

36 41

40 46

45 57

48 68

C C A s c v

0,04 0,28 2,2

0,05 1,22 8,24

0,21 1,75 13,4

0,18 l,7O 10,5

0,12 1,28 8,95

0,10 1,18 7,46

0,08 1,11 7,01

0,10 l,3O 8,42

0,11 l,2O 7,52

TABLEAU I.3

SYNTHESE DES ESSAIS DE COMPRESSIBILITE EN LABORATOIRE

Drainage vertical Drainage horizontal

+~ JXlur , , , = 0

, 0' = 0' o + 48,3 0

, = 0' 0 = 0 0

0 0 2 0 0' = 0' B

Ah Bh v 0 k C k c k c ~ khjkv v v v v ." v

crn/s crn2/s crn/s crn2/s crn/s crn2/s crn/s

0,17 9.10-8 -4 -8 -3 -8 -3 2,3 -8 0,51 8,6.10 6,5.10 2,4.10 5,7.10 3,6.10 0,19 4,6.10

0,81 -7 -3 -7 -3 -7 -21

1 1

1,25.10 4,2.10 1,2.10 8,7.10 1,15.10 1,3.10

1,39 -8 -4 -8 -5 -8 -5 -7 3,26 4,3.10 4,7.10 2,5.10 6,6.10 1,7.10 5,7.10 11 1,13 1,4.10

1,03 1 .10-7 1,6.10 -3 5,4.10

-8 1,5.10 -4 2,9.10 -8 1,1.10 -4 12 1,24 3,6.10 -7

3,60

0,93 -8 2 .10-3 -8 1,8.10-4 -8 -4 .10-7 . 3,09 9,7.10 5,6.10 3,4.10 1,5.10 10 1,07 1

0,78 -7 -3 -8 -4 -8 -4 6,23 -7 1,2.10 3,2.10 6,8.10 2,3.10 4,1.10 1,8.10 0,65 1,9.10 2,42

0,70 -7 -3 -8 -4 -8 2 .10-4 8 0,84 -7 1,1.10 3,9.10 6,4.10 2,5.10 3,9.10 1,1.10 1

0,84 .10-8 -3 -8 -4 -8 -4 7,4 10,74 -7

1,67 9 3,3.10 6,6.10 2,7.10 4,1.10 2,2.10 1,5.10

-8 -3 7 .10-8 .10-4 -8 -4 0,75 8,2.10 2,6.10 3 4,4.10 2,4.10

- CHAP ITRE l l -

APPLICATION DU MODELE "CAM CLAY MODIFIE" CALCUL DU REMBLAI B DE CUBZAC-LES-PONTS

INTRODUCTION

66

Nous avons porté notre choix sur le modèle "Cam Clay modifié" pour les deux raisons suivantes :

- Les modifications concernant la dissipation d'énergie et la forme elliptique de la surface d'état limite rendent le modèle "Cam Clay modifié" plus séduisant. Plus séduisant d'abord parce que le modèle définit un comportement unique au point de la courbe d'état limite situé sur l'axe des contraintes moyen­nes (un vecteur de déformation plastique au lieu de la fourchette de deux vecteurs limites du modèle Cam Clay - fig. II.1).

q (a) ~!Iodè 1 c "C'arn-C 1 ay mod if i :,11

vecreur d'incré ment de dé forrna­

ion

p

(b) ~1odè 1 e "Cam-C 1 ay"

vecteurs 1 i mi tes

p

Fig. II.1 - Vecteurs d'incrément de déformation plastique au "coin" Po

Plus séduisant en second lieu car la forme elliptique du modèle facilite le contrôle graphique des calculs : on peut déterminer rapidement la position d'un point d'état de contraintes donné par rapport à sa courbe limite élastique définie par la contrainte de préconsolidation isotrope correspondante (Sc),

- Enfin, Simpson (1973) a signalé que le modèle "Carn Clay" n'est valable que pour de grandes valeurs du rapport des contraintes n (n = q/p > 0,3) et que, lorsque n est inférieur à 0,3, on a intérêt à utiliser le modèle "Carn Clay modifié". Or la plupart des remblais, en fonction de leur géométrie, du chargement et surtout du coefficient de pression des terres au repos sont souvent dans le cas de n < 0,3.

II.1 - COMPORTEMENT DE L'ARGILE DE CUBZAC

Les modèles de Cambridge sont avant tout des modèles d'étude du comportement des argiles normalement consolidées ou légèrement surconsolidées. Nous allons examiner cette hypothèse dans le cas de l'argile de Cubzac.

A part la première couche (de 0,3 m à environ 2 m de profondeur), où l'argile est très surconsolidée et altérée par dessication, l'argile de Cubzac possède un rapport de surconsolidation variant de 1,14 (valeur la plus faible, pour la couche de 5 à 6 m de profondeur) à l,50 (valeur la plus forte, pour la couche de 2 à 3 m de profondeur), ce qui fait une valeur moyenne de 1,28 : l'argile de Cubzac peut donc être classée comme légèrement surconsolidée.

Le tableau II.1 donne les valeurs du rapport de surconsolidation de l'argile de Cubzac à partir de 2 m de profondeur et pour chaque mètre de pro­fondeur.

TABLEAU II.1

Rapport de surconsolidation de l'argile de Cubzac (Rs

Couches R 0 , cIo

,

s 0

2 à 3 m l,50

3 à 4 m 1,29

4 à 5 m 1,20

5 à 6 m 1,14

6 à 7 m 1,15

7 à 8 m 1,27

8 à 9 m 1,42

L'hypothèse de l'argile légèrement surconsolidée étant justifiée, nous allons à présent schématiser le comportement de l'argile de Cubzac.

Dans le cas de l'argile légèrement surconsolidée, il n'est pas certain,d'après Wroth et Simpson (1972), que la surface d'état limite soit confondue avec la fonction de charge comme cela a été supposé pour l'argile normalement consolidée. Cette surface devrait envelopper une partie de déformations plastiques. Mais, de toutes façons, l'effet de ces défor­mations est sans importance étant donné que le rapport de surconsolidation est faible et l'on peut assimiler la surface d'état limite à la fonction de charge sans que le comportement de l'argile en soit grandement modifié.

67

On peut donc interpréter le comportement de l'argile de Cubzac selon le modèle "Cam Clay modifié" de la façon suivante (fig. II.2).

D G

(l'.i

Fig. II.2 - Interprétation du comportement de l'argile de Cubzac selon le modèle "Cam Clay modifié" en déformation plane.

Soit A le point d'état initial de l'argile et ABC le chemin de contraintes effectives sur les figures II.2 (a) et (b)

- le segment AB représente la reconsolidation du sol (B, point représentatif de la contrainte de préconsolidation est sur une première courbe d'état limite DBEF),

- le segment BC correspond à la consolidation du sol,

- le segment DG représente la courbe de consolidation isotrope (0'1 = 0'2 = 0'3)

- et enfin la courbe EH caractérise les états critiques du sol.

On voit que les deux points B et C correspondent à des courbes d'état limite distintes. La détermination de la courbe d'état limite corres­pondant à un point d'état donné dépend donc de la contrainte de préconsolida­tion isotrope correspondante.

Compo~tement ~la6tlque

Le comportement élastique est supposé isotrope avec un module d'élasticité E dépendant directement de la contrainte moyenne s actuelle.

Soit (eo ' sol l'état initial nous avons à l'état (e, s)

s Cs s e - e C 19 (~) 2,3 ln (~)

0 s s s S

K ln (~) s

68

Ôe et ôv v o 1+ e

o

K ôs 1+""8 s

o (11.1 )

du sol

et enfin

On en déduit le module de compressibilité volumique du squelette

K ôs

_ ôv v K

E 3 K (1 - 2 v) 3 (1 - 2 v) . s (II.2)

K

On voit que l'équation (11.2) fait dépendre E de la contrainte actuelle s cette détermination est plutôt favorable pour les calculs utilisant la méthode de la matrice de rigidité variable décrite dans la deuxième partie. Nous verrons au paragraphe II.2/1 la détermination de la valeur de E = constante utilisée dans la méthode des "contraintes initiales".

Finalement, les paramètres caractéristiques du sol nécessaires pour le calcul élastique sont: K et v .

Compontement pla~tique

Soit CC>, un incrément de contrainte appliqué au point C sur la courbe d'état limite G CHI [fig. II.2 (a)]. La déformation volumique plas­tique correspondant à la consolidation du sol est donnée par la relation

ou

IS C ,) etC) - e (C') = C 19 --

c \ Sc Cc (SC') - --- ln --

- 2,3 Sc

e (C) - e (C') À ln G~') tandis que la distorsion plastique se déduit de la déformation volumique plas­tique par l'application de la loi normale de plasticité sur la courbe d'état limite.

11_2 - DETERMINATION DES PARAMETRES NECESSAIRES POUR LE CALCUL.

Nous pouvons classer les paramètres nécessaires pour le calcul en trois groupes :

- les paramètres utilisés dans le calcul élastique : E et v

- les paramètres particuliers au critère de plasticité À , K , M et e

À o

- le paramètre déterminant la distribution des contraintes horizon­tales initiales : K o

69

L'expression (11.2) , E 3 (1 + eo

) (1 - 2v) S/K que nous avons

obtenue au paragraphe précédent n'est pas directement utilisable pour la méthode des contraintes initiales puisque E varie avec l'état de contrainte. Il faut en effet, pour cette méthode, déterminer une valeur constante pour le module d'Young et le coefficient de Poisson.

Le choix de la valeur du E = constante de l'élasticité linéaire ne peut être effectué que de façon approchée car la loi d'élasticité du modèle est linéaire en coordonnées semi-logarithmiques et non en coordonnées naturelles (fig. II.3). e

e

ln ~ 5 L-__ -L ________ ~_L~--____________ ~S

a - Coordonnées semi-logarithmiques b - Coordonnées naturelles

Fig. II.3 - Loi de compressibilité volumique du modèle Cam Clay modifiÉ

Le choix de la valeur du module E utilisé dans la méthode des con­traintes initiales est lié à la linéarisation de la section s - s de la courbe de

o c la figure 1I-3.b .

Plusieurs solutions sont a priori possibles

- choix d'un module sécant sur la droite de la courbe OC ;

- choix d'un module tangent en un point de la courbe OC ;

- choix d'un module sécant entre le point (e , s = 0) et le point (ec ' sc)

La troisième solution permettrait de recalculer exactement l'état correspondant à Sc à partir d'un état initial sans contraintes. Elle est malheu-

reusement impraticable du fait que l'on ne connaît pas l'état du sol sous contrainte nulle.

Parmi les deux autres solutions, la premlere est séduisante puisqu'elle permet de recalculer exactement l'état du sol sous Sc connaissant son état sous so.

l'expression

70

L'expression du module E (11.2) du module tangent en

correspondant s'établit de façon analogue à remplaçant do/de par 6o/6e . Il vient :

E 3 6s

(l - 2v) 6e 3 (l - 2v)

soit E

(II. 4)

Ce module sécant présente toutefois un inconvénient non négligeable : au delà de s la droite OC s'éloigne sensiblement de la courbe de compressibilité c élastique théorique. Or la méthode des contraintes initiales utilise beaucoup cette partie des lignes K puisque, comme le rappelle la figure II.4 , on calcule des contraintes correctrices permettant d'obtenir la déformation réelle (déterminée par la courbe vierge) en restant sur la courbe de compressibilité linéaire initiale.

e

e ('

5 o

c

Domaine

élastiq e

I~ourr'e éiast ioue rée! le

- Courbe élastique 1 inéarisée

correction {l,o o

1_ '.JIJ \' i {~r go

__ r_·~"'~ ____________ . ________________________ ~ __ ~_ 5

Fig. II.4 - La méthode des contraintes initiales - Rappel

Ces contraintes sont calculées entre la courbe linéarisée OC et la courbe vierge (fig. II.4), ce qui présente l'avantage de compenser l'approximation faite sur la déformation volumique lors de la linéarisation de la courbe de compres­sibilité élastique (courbe K).

Sur le plan des distorsions l'influence de l'approximation linéaire sur les valeurs calculées est difficile à évaluer. Nous nous contenterons ici de poser le problème avant d'expliquer ce que nous avons fait pour le minimiser autant que possible.

La figure II.5 illustre ce problème: si l'on fait l'approximation linéaire OC de la courbe de compressibilité élastique, après résolution on obtie~t un point fictif B que l'on ramène au point réel 0 de la nouvelle courbe d'état limite correspondant à s (il y a eu écrouissage au cours de la déformation) .

Cl

Si l'on avait suivi la courbe de compressibilité élastique réelle, (,~ aurait obtenu lors du premier calcul élastique et avant évaluation des contraintes ~o un point A correspondant à une valeur nettement plus élevée de la contrainte

o s. Aurait-on obtenu, après correction, le même point 0 de la courbe d'état-limite

ou un autre point E d'une autre courbe d'état-limite?

Il est pratiquement impossible de répondre à cette question. Par

conséquent, nous avons choisi de minimiser autant que possible l'importance du pro­

blème en prenant une approximation linéaire plus proche de la courbe K réelle au-delà

de s c La droite choisie est la tangente à la courbe de compressibilité élastique

réelle (courbe K) au point , droite qui correspond à une valeur du module d'Young

E d'expression (Eq. II.2)

71

e

e 0 o e c

t

Courl1e K rée Ile

~ourbG K ! inéarisée

Courbe il réelle

s

A

L-----________ ~ __ +L--------------~- S

Fig. II.5 - Influence de la linéarisation de la courbe de compressibilité élastique sur le résultat du calcul.

avec

E 3 (l - 2v)

K

eo

- indice des vides initial,

v - coefficient de Poisson,

s c

(II. 5)

K Cs 2,3 ' Cs désignant l'indice de gonflement du sol à l'oedomètre,

s c (1 + KO)

2 o c

Ko coefficient de pression des terres au repos,

o'c -contrainte de préconso1idation verticale déterminée à l'oedomètre.

Cette approximation minimise l'erreur au-delà de Sc mais crée une

erreur supplémentaire entre So et Sc Nous avons pourtant fait ce choix car l'errem

commise dans la phase surconsolidée ne doit pas être très importante compte tenu de la faible amplitude des déformations.

En ce qui concerne le coefficient de Poisson v , il n'existe pas de relation adéquate pour le déterminer. On suppose qu'il est constant et prend une valeur proche de 0,5 lorsqu'il s'agit d'un problème à court terme, tandis que pour un calcul à long terme il peut avoir des valeurs plus faibles (de l'ordre de 0,35).

72

II. '2/2- Pa.JLamètlLe.-6 palLt-tc.u.U.elL-6 au c.1L-ttèlLe. À , K , M et

a) - Les paramètres À et K sont les pentes de la courbe vierge et des courbes déchargement-rechargement d'un essai de reconsolidation-consolidation iso­trope. Wroth et Simpson (1972) ont proposé un passage direct de ces pentes aux pentes correspondantes Cc et Cs déduites d'un essai oedométrique classique. Le

passage se fait par une transformation de logarithme népérien en logarithme décimal, soit :

avec C c

et

C À '" c 2;3 et K

C s 2,3

(II.6)

indice de compression (pente ·de la courbe de consolidation uniaxiale oedométrique)

indice de gonflement (pente de la courbe de reconsolidation uniaxiale oedimétrique)

b) - Le paramètre M est la pente de la courbe d'état critique. Ou~re

la méthode graphique décrite dans l'étude bibliographique, on peut déterminer le paramètre M par les deux 'formules suivantes :

- A court terme, le paramètre M est déduit de l'expression (Schofield et Wroth, 1968)

C u

~1 2 exp (II. 7)

où Cu est la cohésion non drainée d'un essai de compression simple et e o est l'in­

dice des vides initial, tandis que r es~ l'indice des vides critique, lié au para-mètre e

À par la relation e

À '" r + A - K •

o 0

- A long terme, Burland (1972) a proposé

M 6 sin cp

3 - sin cp (II.8)

où cp est l'angle de frottement interre.

Les deux relations (11.7) et (11.8) correspondent au cas de la défor­mation A symétrie axiale. Dans le cas des déformations planes, on remplace M par:

M (déformation plane) M (déformation A symétrie axiale)

13 (II.9)

c) - La paramètre e A que nous désignerons sous le nom d'indice des o

vides de référence, correspond A l'intersection de la courbe vierge avec la droite s '" 1 kPa dans le plan (e - ln s). Nous proposons ci-dessous deux méthodes pour déterminer ce paramètre.

- Méthode directe ou méthode graphique: Comme dans l'interprétation des paramètres A et K , on peut déterminer graphiquement le paramètre e

À de manière

o analogue c'est-A-dire en utilisant le graphique oedométrique classique. Soit (e, a') un point quelconque sur la courbe de consolidation uniaxiale. On transforme ce point

en (e , s) où s = a' (12+ Ko) Ensuite, A partir de ce point dans le plan (e - 19 sJ,

on trace une droite de pente Cc jusqu'A son intersection avec la droite s '" 1 kPa .

- Méthode indirecte: considérons la surface d'état limite du modèle "Cam Clay modifié" dans l'espace (e - s - t), représentée de façon simplifiée par le

73

schéma de la figure II.6. Supposons que l'état initial du sol [point A (eo

' so)] soit un état isotrope (t

o = o).

élastique

5

Fig. II.6 - Paramètre eÀ

o

Chargeons maintenant le sol du point A jusqu'au point B situé sur la surface d'état limite du premier mur élastique. L'état de contraintes au point B (sc ' tc) vérifie le critère de plasticit§ en ce point :

FB h + e P - e

À = 0

0 0 0

h ( À K) ln [s (l 3 n 2 (II. rO) avec + --]

0 C M2

et e P e + K ln s 0 0 0

Connaissant les valeurs de h et de e P , on peut déterminer la valeur 0 0

de eÀ

Cette détermination fait dépendre le paramètre eÀ

de K par l'intermé-0

0 t (l Ko) 0

diaire du rapport des contraintes c -n = s (1 + Ko) c

II.2/3 - Pa~am~t~e Ka

Soit Ko = 0 3 / O~l le coefficient de pression des terres au repos. Ce

coefficient est déterminé d'après les modèles de Cambridge par les formules suivantes:

- Modèle "Cam Clay" : Schofield et Wroth (1968) ont proposé une inter­prétation de Ko déduite d'un essai de compression isotrope à l'appareil triaxial

(étude bibliographique) et ont abouti à une expression dépendant des paramètres À , K et M :

ri pour M < 3 A 2"

0 ~ radial 3 - n

=t: (II .11) K

0 o~axial 3 + 2n 2 M + 3 A 3 -

1 A < pour M > 2" + 4 M - 6 A

74

avec A K 1- À

Les valeurs de Ko déduites de l'équation (11.11) sont souvent supé­rieures à celles que l'on mesure en pratj.que.

- Modèle "Cam Clay modifié" : Burland (1969, 1972) estime que dans une première approche, on peut évaluer la valeur de Ko par la formule empirique

proposée par Jacky :

KO = 1 - sin <p

où <p désigne l'angle de frottement interne.

(II .12)

Pour un calcul plus précis (étude bibliographique), lorsque les défor­mations latérales sont nulles (par exemple pour un essai oedométrique où dE3 = 0) et dans le cas de la déformation plane, on peut poser la vitesse de déformation plasti­que égale à 1.

incrément de déformation volumique plastique

incrément de déformation déviatorique plastique

MI/3 2 _ n 2

2 n 1 •

Dans ces conditions, Ko se déduit de l'équation ci-dessus en tenant

compte de la relation n = t/s = (1 - Ko) 1 (1 + Ko)

2 K

o MZ 1/2- 1

(1 + 3) (II .13)

D'après Burland, l'équation (11.13) donne des valeurs de Ko plus

raisonnables que celles données par le modèle "Cam Clay".

Notons au passage que dans un milieu élastique isotrope semi-infini on peut lier le coefficient Ko au coefficient de Poisson v par la relation Ko = v/(l-v).

Cependant les valeurs de Ko trouvées au pressiomètre autoforeur sur différents sites

conduisent à des valeurs de v inadmissibles, ce qui veut simplement dire que Ko et v

ne sont pas liés par une relation de ce type.

II.3 - CALCULS DU REMBLAI B DE CUBZAC

Avant d'effectuer le calcul des déformations à long terme du remblai B de Cubzac les Ponts, nous rappellerons que les modèles de Cambridge sont des modèles analysés en contraintes effectives. Il faut donc :

- pour un calcul à court terme, posséder une connaissance exacte de la distribution des surpressions interstitielles et pouvoir les introduire dans les calculs sous forme d'une distribution de forces

- pour les calculs à moyen terme, connaître également la distribution des pressions interstitielles au temps considéré.

Seuls les calculs à long terme, c'est-à-dire à surpression intersti­tielle nulle, sont possibles si l'on ne dispose pas d'information suffisante sur la distribution des pressions interstitielles au cours du temps. Ils ne sont cependant exacts que si la construction a été suffisamment lente pour que les surpressions interstitielles soient restées nulles à tout instant (sinon les déformations peuven~ être différentes) .

75

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Fig. II. 7 - IVlaillage du remblai B de Cubzac et conditions aux limites.

CUBZAC LES PONTS 1 REMBLAI B éléments T 6 HAUTEUR DU REMBLAI A O,10M

\ --+~~~~r-~~. *---~--~~-~~~----~~----~~----~ \

k-~-_ --:::-.c-''Z: '--...~, .

215 éléments T 6 HAUTEUR DU REMBLAI A 1 f 90M

226 éléments T 6

._--_ .. _~----._-----~-_. __________ ._ J

77 Fig. II.8 - Maillages successifs

Cette étude traite le cas des déformations à long terme. On a utilisé pour cela le poids volumique déjaugé des couches de sol au-dessous du niveau de Id nappe (-lm pour les calculs).

II.3/1/1 - Typf6 d'~l~mfnt :

Pour réaliser le maillage du modèle (une section transversile du remblai et du sol de fondation), on peut utiliser des éléments quadrilatères à 8 noeuds (0 8), des éléments triangulaires à 3 noeuds (T3), des éléments triangu­laires à 6 noeuds (T6) ou encore des éléments triangulaires à 9 noeuds (T9).

Dans le cas considéré, la symétrie de la géométrie du site et l'homo­généité des couches du sol de fondation permettent de limiter le maillage et le calcul à un demi-profil (profil central K du remblai)

Des considérations de précision et d'économie conduisent à choisir l'élément de base T 6 qui est un bon compromis entre la précision insuffisante de l'élément T 3 et le coût de calcul de l'élément T 9.

L'élément T 6 est un élément à 12 paramètres qui sont les déplacements aux 3 points sommets et aux 3 points milieux des côtés. Le déplacement en un point quelconque de l'élément est déterminé par interpolation quadratique des déplacements aux 6 points de base.

Les points du maillage correspondant au contact sol-remblai et aux interfaces des couches ont été dédoublés, avec des éléments de continuité de type C T 1 (Guellec, 1976).

II.3/1/2 - Maillagf :

La figure (11.7) illustre .le maillage correspondant à la hauteur finale du remblai (2,30 m). Ce maillage est constitué de 660 points (501 points effectifs plus 159 points dédoublés) ; il est formé par 226 éléments triangulaires T 6 et 159 éléments de continuité C T 1 qui assurent la continuité entre les couches dans les deux directions verticale et horizontale.

Le terrain naturel et le substratum ont été pris horizontaux. La pro­fondeur du substratum a été fixée à -9 m, le sommet du modèle étant à + 2,30 m (c'est à dire que la base du remblai est à la cote 0). Le modèle est limité verticalement aux abcisses x = -12 m et x = +24 m. La pente du talus a été prise proche de 3/2.

Le remblai est divisé en 4 couches correspondant aux 4 incréments dE charge, tandis que le sol de fondation se compose de 5 couches aux caractéristiques mécaniques différentes.

La construction du maillage a respecté approximativement le plan d'ins­trumentation suivant le profil en travers central K.

II.3/1/3 - Conditlon6 aux llmltf6

Compte tenu de la géométrie du maillage, nous avons supposé dans tous les cas de calcul un encastrement "semi parfait" [Fig. (11.7) J. Les déplacements horizontaux et verticaux sont nuls au contact du substratum (u = v = 0), tandis que pour les limites verticales du modèle on suppose seulement l'absence de déplacements horizontaux. En effet, la longueur du maillage n'est pas suffisante pour justifier la condition de déplacement vertical nul à la limite extérieure (x = +24 m) .

Le contact argile/grave au niveau du substratum n'est certainement pas un glissement parfait ; mais comme il est difficile de schématiser un frottement, 01'

suppose qu'il n'y a aucun déplacement au contact du substratum.

78

II.3/7/4 - Cha~gement :

Compte tenu du calendrier de la construction du remblai et pour amélio­rer la convergence des calculs, le remblai a été divisé en quatre couches que l'on introduit successivement dans le calcul

- La 1ère couche correspond à une hauteur de remblai de 0,70 m,

- La 2ème couche à une hauteur de remblai de 1,20 m,

- la 3ème couche à une hauteur de remblai de 1,90 m,

- la 4ème couche à une hauteur de remblai de 2,30 m.

La figure (11.8) représente les quatre maillage correspondant à ces quatres hauteurs du remblai.

Dans les calculs, le chargement s'opère de la façon suivante:

- pour le premier incrément de charge, on calcule sur le premier maillage (hauteur du remblai à 0,70 m) formé de 187 éléments T 6,

- pour le deuxième incrément de charge, on ajoute les 15 éléments complémentaires T 6 situés entre 0,70 m et 1,20 m,

- pour le troisième incrément de charge on ajoute 13 éléments T 6 (1,20 m à 1,90 m),

- pour le quatrième et dernier incrément, on ajoute Il éléments T 6 (1,90 à 2,30 m) qui permettent d'obtenir le maillage final (660 points, 226 éléments

T 6) représenté sur la figure (11.7).

Pour préparer les quatre maillages nécessaires au calcul, on réalise d'abord un maillage global auquel on enlève ensuite des bandes d'éléments pour obtenir des maillages de plus en plus petits (sous-programme NEXTRA du programme de maillage MAPLAN de ROSALIE).

II.3/7/5 - Nomb~e d'lt~~atlon6 - Conve~genee.

Nous avons indiqué précédemment que les calculs effectués en élasto­plasticité sont des calculs itératifs utilisant la "méthodes des contraintes initiales"

Si, pour un incrément de charge donné, on est dans le domaine élastique en tout point du maillage, on passe au chargement suivant.

Si, par contre, en un point le seuil de plasticité est dépassé, on rajoute en ce point des forces amenant le niveau de contraintes le plus près possitle du seuil de plasticité et on recommence le calcul jusqu'à ce que l'écart entre le niveau de contraintes atteint et le seuil soit le plus petit possible. Cet écart dépend du nombre des itérations effectuées et de la convergence des calculs qui est assez rapide si la plasticité est contenue.

Dans les calculs par éléments finis on peut mettre en évidence un phé­nomène analogue à la "rupture" c'est-à-dire que la divergence ou une convergence très lente est en général un signe de destruction de la structure : il y a écoulement plastique, les déformations augmentant rapidement pour un niveau constant de con­traintes.

Pour nos calculs, compte tenu d'un calcul préalable effectué en élas­ticité incrémentale et compte tenu de la vitesse de convergence du modèle, nous avons utilisé 15 itérations pour chacun des quat:re incréments de charge. Elles ont été suffisantes et la convergence est bonne.

II.3/2 - Caleul6

79

II.3/2/1 - Cahact~hl6tlque6 lnthodulte6 dan6 le6 calcul6

a) - Caractéristiques utilisées pour le remblai

Les caractéristiques du remblai nécessaires pour le calcul restent inchangées dans tous les cas de calculs :

-y C rjJ E v

21 KN/m 3 100 kPa 35° 30000 kPa 0,33 i

Critère de plasticité utilisé critère de Tresca-Coulomb

F = (01 - 03) + (01 + 03) sin rjJ - 2 c cos rjJ

Remarque sur la valeur de la cohésion c bien que la cohésion c du remblai soit nulle, il nous paraît plus prudent de lui donner une valeur assez for~e (100 kPa) ~our les raisons suivantes:

- La divergence des calculs plastiques provoquée par les contraintes de traction dans le remblai pour des valéurs faibles de la cohésion de celui-ci nous a conduit à étudier l'évolution des déformations du sol en fonction de la cohésion du remblai : les résultats des calculs ont montré que la cohésion du remblai est sans influence sur le comportement du sol de fondation.

- D'autre part, nous ne nous intéressons qu'au comportement du sol de fondation ; il vaut mieux dans ce cas augmenter la cohésion du remblai pour éviter des écueils sérieux sur le plan du calcul, tels que le décalage des vitesses de convergence dG à la différence des tolérances entre le critère de Tresca-Coulomb et celui du modèle "Cam-Clay modifié".

b) - Caractéristiques utilisées pour le sol de fondation :

A part les trois paramètres e o ' A et K que l'on a gardés constants

pour tous les calculs, les valeurs des paramètres varient d'un cas à l'autre. Ces

valeurs sont indiquées dans les tableaux II-2, II-3 et II-4.

Le critère de plasticité utilisé est le critère du modèle "Cam-Clay modifié" en déformation plane :

avec e P

1

- 3 2 l F = (A - K) ln .- :1 (l + +).1 +

- K ln [s virtuel/s réel]

Les paramètres à introduire dans le sol de fondation sont alors

- pour le comportement élastique

- pour le comportement plastique

E et v ,

A , K , M e o

II.3/2/2 - Calcul6 e66ectu~6

Trois calculs ont été effectués

a) - CALCUL 1

Les paramètres utilisés sont calculés à l'aide des formules proposées par les auteurs des modèles de Cambridge. Pour le coefficient de Poisson, on a utilisé la relation v = Ko/ (1 + Ko).

80

\!

La détermination des paramètres s'effectue d'après le schéma suivant

Ko

1 + Ko

[J ~~ 1 M = ~in ~ 1

K 2

0 M2 , 1/2 ( 1 + ]/

E

- 1

eP e 0

avec s

~

+ K ln s 0 0

( 1 + KO) = 0 2 0 0

1 r

3 (1 - Ko) 2

(l + 12 - 3 (1 + Ko) 2

Connaissant la valeur de ~ , e o ' 0 0 ' À (= Cc /2,3), K (= Cs /2,3) et

oc' on peut calculer les autres paramètres.

En prenant une valeur moyenne de ~ égale à 26° pour toutes les couches de fondation, nous avons

M = 1

KO = 0,73

\! = 0,42

En combinant ces valeurs avec le tableau I.3 du chapitre l (synthèse des essais de compressibilité en laboratoire), on obtient le tableau II.2 des paramètres introduits dans le calcul 1.

81

TABLEAU II. 2

Pa~amètres utilisés pour le calcul 1

1 Paramètres Paramètres de plasticité

1 Couches d'élasticité

! E \! À K M e eÀ ; e P

kpa 0 0 0

Couche 1 3600 0,42 0,12 0,018 1 1,00 1,46 1,03 0-1 m

Couche 2 4650 0,42 0,53 0,022 1 2,60 4,77 2,66 1-2 m

Couche 3 800 0,42 0,68 0,085 1 3,23 5,58 3,49 2-4 m

Couche 4 1150 0,42 0,53 0,048 1 2,25 4,16 2,41 4-6 m

Couche 5 1800 0,42 0,52 0,044 1 2,28 4,35 2,44 6-9 m

b) - CALCUL 2

Le premier calcul a donné des résultats jugés exagérés en ce qui concernent les déplacements verticaux et horizontaux. Celà est certainement dû au fait que le module d'Young E (calculé avec la valeur du coefficient de Poisson \! = 0(42) ne correspondait pas au comportement du sol pour un problème à long terme (Le tassement du centre du remblai atteignait 1,35ml.

Nous avons donc procédé à un deuxième calcul en formulant les valeurs de E avec \! = 0,35 (valeur habituellement utilisée). Les autres paramètres restent inchangés, en particulier Ko 0,73 (Ce qui revient à dire que \! et Kô ne sont pas liés par la relation \! = Ko / (1 + Ko) comme nous avons remarqué antérieu­rement [section II.2/3]).

TABLEAU II. 3

Paramètres utilisés dans le calcul 2

Paramètres Paramètres de plasticité Couches

d'élasticité

E \! À K M e eÀ e P

kPa 0 0 0

Couche 1 6800 0,35 0,12 0,018 1 1,00 1,46 1,03 0-1 m

Couche 2 8690 0,35 0,53 0,022 1 2,60 4,77 2,66 1-2 m

Couche 3 1440 0,35 0,68 0,085 1 3,23 5,58 3,49 2-4 m

Couche 4 2140 0,35 0,53 0,048 1 2,25 4,16 2,41 4-6 m

Couche 5 3360 0,35 0,52 0,044 1 2,28 4,35 2,44 6-9 m

82

Le tableau II.3 précédent présente les valeurs introduites dans le calcul 2.

c) - CALCUL 3

Les résultats du calcul 2 ont montré une fois de plus que les para­mètres de calcul ainsi déterminés surestiment les déplacements dans le sol de fon­dation, en particulier le tassement en surface sous l'axe du remblai, égal à 1,10 m (au lieu de 0,56 m mesuré à 611 jours). Cela peut s'expliquer par le fait que le paramètre de calcul Ka aété formulé suivant l'hypothèse de l'argile normalement consolidée. Il n'en est pas ainsi dans la réalité puisque l'argile de Cubzac est fortement surconsolidée dans les deux premières couches (de 0 à 1 m et de 1 m à 2 m) et légèrement surconsolidée de 2 m à 9 m de profondeur (le rapport de surcon­solidation a une valeur moyenne de 1,28 dans ces couches, cf tableau II.1). Ceci nous a conduits à effectuer un troisième calcul dont les paramètres sont figurés dans le tableau II.4

TABLEAU II. 4

Paramètres utilisés dans le calcul 3

Paramètres !

Paramètres de plasticité ;

d'élasticité Couches E v \ K M e e.\ eP

kpa 0 0 0

Couche 1 7180 0,35 0,12 0,018 1 1,00 1,48 1,04 0-1 m

Couche 2 9220 0,35 0,53 0,022 1 2,60 4,80 2,67 1-2 m

Couche 3 1530 0,35 0,68 0,085 1,2 3,23 5,62 3,50 2-4 m

Couche 4 2250 0,35 0,53 0,048 1,2 2,25 4,18 2,42 4-6 m

Couche 5 3530 0,35 0,52 0,044 1,2 2,28 4,36 2,45 6-9 m

Ce tableau est établi en tenant compte de deux modifications :

- Pour tenir compte de la surconsolidation de l'argile le coefficient ~o

a été calculé en multipliant les valeurs précédentes (obtenues dans l'hypothèse d'un sol normalement consolidé) par la racine carrée du rapport de surconsolidation

Rs = / ::c o

KO (calcul)

Ko (calcul)

K (Cambridge) 1 o~ /o~ o c 0

0,83

qui est une valeur moyenne pour l'ensemble des couches.

0,73 ll;28

- D'autre part, les essais triaxiaux en laboratoire effectués sur des échantillons prélevés en profondeur ont donné une valeur moyenne de ~ de l'ordre de 30°. Il en résulte que:

M 6 sin ~

3-sin ~

1,2 .

83

Cette valeur moyenne est utilisée pour les trois couches profondes, de 2 m à 9 m.

Les autres paramètres E, eÀ

o trouvent par conséquent légèrement modifiés.

et e P qui sont fonction o de Ko' s'en

Le calcul 3 a donné des résultats satisfaisants. Le chapitre III présente les résultats de ce calcul ainsi que leur comparaison avec les mesures.

84

- CHAP lTRE III -

RES U L T A T S

111.1 - RESULTATS DU CALCUL

Les résultats du calcul 3 sont représentés sur les figures 111.1 à 111.7 qui comportent chacune quatre graphiques correspondant aux quatre incré­ments de charge.

III. 1/1 - CoufLbfOo d'ÙOc.Ovt;(:fLaivt;(:fOo p!tùtc.ipaffOfl maxùnaffOo [6i9. III.I)

La figure 111.1 présente la répartition des contraintes principales maximales a] dans le remblai et dans le sol de fondation.

Pour chaque stade du chargement, le nombre inscrit en bas et à droite du graphique indique la valeur de a] correspondant à la courbe "unité", portant le numéro 1. Pour connaître la valeur correspondant à la courbe numéro i, il suffit de multiplier la valeur indiquée par i.

Les signes moins (-) indiquent les contraintes de compression.

III.I/2 - CoufLbfOo d'iooc.Ovt;(:fLaivt;(:fOfl pfLinc.ipaffOfl minimaffOfl [6i9. 111.2)

Les conventions de la représentation graphique sont les mêmes que pour la figure 111.1, les valeurs se rapportant cette fois à la contrainte 03.

III. 1/3 - ZonfOfl pfaoüqufOo [6i9. III.3)

charge L'évolution des zones plastiques correspond bien aux incréments de

elles se développent au fur et à mesure que le chargement augmente.

On remarque que le passage du troisième au quatrième incrément entraîne la disparition d'une zone plastique. Cela est dû au fait que l'état de contrain­tes de cette zone se trouve juste à la limite de plasticité lors du troisième incrément et qu'il devient "élastique" lors du calcul suivant du fait de l'écrouis­sage du critère et d'un rééquilibrage local des contraintes, d'autant plus que l'incrément de charge est assez faible (la hauteur du remblai passe de 1,90 m à 2,30 m) par rapport à la correction 60() (méthode des contraintes initiales).

On notera que les zones "plastiques" ne sont pas nécessairement en état de rupture car la plasticité des modèles de Cambridge inclut les phénomènes d'écrouissage.

85

111.1/4 - Cou~b~~ d'i~odépla~~m~n~~ v~~~{~aux !6ig. II1.4)

L'amplitude des déplacements verticaux a été divisé en dix niveaux, la valeur sur la courbe d'indice i étant égale au produit de la valeur indiquée par i.

Les courbes d'isodéplacements évoluent de façon progressive avec l'aug­mentation des charges. Leurs déviations aux interfaces des couches correspondant aux discontinuités des caractéristiques mécaniques.

La convention de signe est indiquée sur le schéma suivant +'tr

I--________________ --;~ + u

III.l/5 - Cou~b~~ d'Üodér.fa~~m~n~~ ho~izovdaux !6ig. IlL 5)

Les conventions sont les mêmes que pour les déplacements verticiux (fig. III. 4) .

III. 1/6 - Vé6Mmé~~ d~ .fa ~u~6a~~ !6ig. 1II.6)

Cette figure présente pour chacun des incréments de charge du calcul l'allure de la déformée de la surface du sol de fondation, supposée horizontale avant la construction du remblai. On notera qu'au quatrième incrément le tas­sement en surface et sous l'axe du remblai atteint une valeur de 0,83 m.

III. 1/7 - Vé6Mmé~~ du maiUag~ !6ig. II1.7)

Cette figure présente l'allure des déformées du maillage du sol de fondation. On voit que le sol de fondation tasse sous le remblai et se déforme vers l'extérieur du remblai au fur et à mesure que le chargement augmente.

111.2 - COMPARAISON DES RESULTATS DU CALCUL ET DES MESURES

86

Les dernières mesures réalisées à la date de cette étude correspondent au temps suivants depuis la construction du remblai :

- pour les tassements : 688 jours

- pour les déplacements horizontaux : 611 jours

- pour les pressions interstitielles : 611 jours

Les excès de pression interstitielle correspondant à un degré de conso­lidation moyen voisin de 50 %, les mesures de déplacements ne donnent pas encore les valeurs finales qui seraient directement comparables aux résultats du calcul. Les comparaisons qui suivent ne sont donc pas définitives, les déformations à venir ne pouvant être évaluées que de façon relativement imprécise (pour les tassements) ou même pas du tout évaluées (déformations latérales).

CUBZAC LES PONTS / RErlBLA l B . ____________ ~~ _ _, o n HAUTEUR DU REM8LAI A D,tOM

.------

--------~-~.-------------------------_. __ ._----~--------~---~---------_._----- -_ .. _----_._--_._----

~~========------~&---------------------_._----

-- --._-------------------------CONTRAINTE MAXIMUM EN O,5950E01 KPA

-~~ HAUTEUR DU REMBL.AI A 1,20M ----. JL 0 -

~--------J ~-~~~ - .. ~-~_...:::::::::.:: .-1 \"-- ..

~ Î'-J,J~-______ -;v

--------- - '0 i--""'" ---- -. . .. b;' ---- -,

- .- .- ~

----------

CONTRA 1 fllTE MAXIMUM EN OnlG50E01 KPA ~ --- ---------~ ----- ---'

HAUTEUR DU REMBL.AI A 1,90M

-----------------~------ '\

CONTRAINTE MAXIMUM EN 001500E02 KPA

HAUTEUR DU REMBLAI A 2,30M

~-------------------~--------------------~~~~------- ----

r-------------=====================~ .~ --

CONTRAINTE MAXIMUM EN On1500E02 KPA

Fig. 111.1 - Courbes d'isocontraintes principales maximales

CUBZAC LES PONTS / F~EMBLAI B ______________________________ ~

r======""""--:::::::-==--=-~--J-r-({?" < Hl\Un:UR DU REMBLA 1 AC, 10r.

I-~---r----~ _______ '=_-:--------

HAUTEUR DU REMBLAI A 2,30M

~------

------------- ------­

~ -----CONTRAINTE MINIMUM EN 0.2500E02 KPA

Fig. III.2 - Courbes d'isocontraintes principales minimales

CUBZAC LES PONTS / REMBLAI B

'-----------------------------------------

, , , .

HAU~EUR DU REMBLAI A 0,10M "-.-.'-. -.

HAUTEUR DU REMBLAI A 1,20M

"

" " "

"-

" "

" " " " " " " "

HAUTEUR DU REMBLAI

HAUTEUR DU REMBLAI

, " " " "

" " " " " " " " " "

,

" " " " "

A 1,90M

A 2,30M

" " " "

89

" "

Fig. 111.3 Zones plastiques

CUBZAC LES PONTS / RE~lBL.A l B ______________ --,

/

HAUTEUR DU REnnLA l A 0,. 'TOM

---------------------------1

~------------

.-/­

DEPLACEMENT VERTICAL EN 0,9000E-02 METRE

HAUTEUR DU REMBLAI A 1,2OM

::~~-~~~~----~------------~---I o

~~ DEPLACEMENT VERTICAL EN O,0300EOO METRE

HAUTEUR DU REMBLAI A 1,90"

I----+----j-----+---+_-+-+_ -t----\---+----'I;---------------------

~--

METRE

HAUTEUR DU REMBLAI A 2,301'1

DEPLACEMENT VERTICAL EN O,0850EOO l'1E:TRE

90 Fig. III.4 - Courbes d'isodéplacements verticaux

CUBZAC LES PONTS / RE~lBLAI 8-----------------11

HEMBLAI .~ 0.10"1

---- --- ----------- DEPLACEMENT HOR l ZONT AL EN 0, 2000E-02 METRE

HAUTEUR DU REMBLAI A 1,20M

-1-------------

==:=:::==~-=-=_._---------

"---- ----------- DEPLACU1ENT HORIZONTAL &:N 0,6500E-02.

HAUTEUR DU REMBLAI A 1,SOM

DEPLACEMENT HORIZONTAL EN 0,0100EOO METRE

HAUTEUR DU REMBLAI A 2,30M I--~~~-=-=·=-=-=·~=-~-~=· ~~==~----------------=------y-======-

--==- ::-----.-..

HORIZONTAL F-N 0,0150EOO METRE

Fig. 111.5 - Courbes d'isodéplacements horizontaux

CUBZAC LES PONTS / REMBLAI B ______________________________ ~

HAUTEUR nu REMBLAI A O,lOM - - .- ~u ~ - _-;. T -- _u '::;::'=-'.;..:...=.0.,-,-."'-"'-'~_~._--------------------__,

DEFOR~EE DU CONTOUR

CONTOUR INITIAL

HAUTEUR DU REMBLAI A 1,20M

-T . I TT T ·T1LlJ.j] r ï -=:=-~~--------

DEFORMEE ou CONTOUR

CO~JTOUR IN l T l ."L

HAUTEUR DU REMBLAI A 1,90M .. -- - •.• - -- T - - ____ .• __ ._::..:.:...:.:.~~~~~""'___" .................. - .. __ --....... - ..... - .... - -..... - ..... - . __ ~

DEFORMEE DU CONTOUR

CONTOUR r NI TI AL

HAUTEUR DU REMBLAI A 2,30M - - . - - . - -..- - .- r - - - ....... - - ........... - - - -~ -- - - - - -- - - -. -- - _. - - -_. - - -. _.

DEFORMEE DU CONTOUR

CONTOUR IN l T l ."L

Echelle des dé~ormations verticales 1000 METRE 1 1

92 Fig. 111.6 - Déformées en surface

CUBZAC LES PONTS / REf1BLA l B _______________ ----,

Echelle des déformations verticales 1,00 METRE 1 1

Fig. III.7 - Déformées des maillages du sol de fondation

94

Le tableau III.l compare les tassements mesurés à 494 jours et à 688 jours avec ceux du calcul. Ces mesures se situent en surface dans le profil transversal K à 0 m , à 4 m et à 8 m de l'axe longitudinal.

Le tableau III.2 présente la même comparaison pour des points situés à 2 m de profondeur dans le profil ~ransversal K à 0 m, à 4 m, à 12 m et à 16 m de l'axe longitudinal.

La concordance est bonne, compte tenu de l'évolution des mesures et de l'allure des déformées (fig. III.8 pour les tassements en surface).

TABLEAU IIL1

Tassements en surface mesurés et calculés Profil transversal K à o m, à 4 m et à 8 m de l'axe longitudinal.

Profils :

Points cc:mparés :

Mesures à 494 jours (24/2/1977)

Mesures à 688 jours (17/8/1977)

Résultats du calcul

. Iœsures il. 494 jours

• Iœsures il. 688 jours

x valeurs calcUlées

:

:

:

50

80

OK 4 K l' 4 m + j ..

. G)

1 1

52,4 cm 45,7

1 1 56,0 cm 48,8

1 1 83,1 cm 75,2

tassement en cm

8 K

4 m

'*' -, ------

G) ~

1

cm 32,9 cm

1 cm 35,2 cm

1

cm 57,2 cm

Om

Fig. III. 8 - Tassement en surface cc:mparaison des courbes mesurées et calculée

TABLEAU III. 2

Tassements à 2 m de profondeur mesurés et calculés : profil

transversal K à a m, à 4 m, à 12 m et à 16 m de l'axe longitudinal.

Prof ils : 15 K 11 K 7 K 3 K o K ~ 4 m l ~ ~ 4 m X 1 ..

8 Lm ,- 1 , ,

V , ,

1

1 1 . 1 1 1 1 1 Points comparés : -0 ® ® 0

1 1

1

1 1 Mesu res à 494 1

jours ·4,8 cm 10,9 c: 36,0 cm 39,0 (24/2/1977)

1 1 1 1 1

1

Mesures à 688 jours ·6,8 cm 16,0 cm 40,3 cm 43,3 ( 17/8/1977)

1 1 1 1 1

1

Résultats du calcul 18,3 cm 34,7 cm 73,5 cm 80,7

111.2/2 - Vép!ae~m~nt~ hon~zontaux :

E

t<1

N'

E

0,

N

cm

cm

cm

Les comparaisons des déplacements horizontaux mesurés à 611 jours et calculés de la surface jusqu'au substratum sont présentées dans les tableaux 111.3 et 111.4 et sur les figures III.9 et 111.10 :

- le tableau III.3 et la figure III.9 du remblai (profil 7 K),

comparent les valeurs sous la crête

- le tableau 111.4 et la figure 111.10 comparent les valeurs sous le pied du remblai (profil Il K).

Les valeurs calculées cadrent bien avec les valeurs mesurées et les déformées ont des allures analogues. Le point "aberran~ situé à la profondeur de 6 m est vraisemblablement dû à un mauvais choix des paramètres de rigidité des éléments de continuité au contact des couches dont l'interface est à ce niveau.

Profondeur (m)

TABLEAU III. 3

Déplacements horizontaux mesurés et calculés (sous la crête du remblai)

0,0 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0

Mesures à 611 jours, -1,30 5,80 8,09 10,00 11,60 12,20 Il,40 21/6/1977 (cm)

Calcul 2,10 6,08 8,45 10,86 12,28 11,87 10,09 (cm)

profil 7 K

6,0 7,5 9,0

9,00 3,03 0,20

4,82 4,10 0,00

95

96

TABLEAU III.4

Déplacements horizontaux mesurés et calculés (sous le pied du remblai)

- ,

Profondeur 0,0 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 (m)

Mesures à 611 jours, 10,40110,20 -3,20 6,20 7,92 9,40 9,60

21/6/1977 (cm) 1

!

Calcul 1,98 5,71 8,14 10,78 11,70 10,87 9,75 (cm)

1 - - __ L....-_ "1------ l --1

x

x

,,)

Fig. 111.9 - Déplacements horizontaux sous la crête du remblai Comparaison des courbes mesurée et calculée.

Prof il JI K

o points rne::,ur'és à 61t JCUf'"S

x pojnl~ calculés

Fig. III.l0 - Déplacements horizontaux sous le pied du remblai canparaison des courbes mesurée et calculée.

profil 11 K

6,0 7,5 9,0

1

8,07 1

l 4,64 0,76

1 1

5,08 ! 3,90. 1

0,00

u (cm)

111.2/3 - Vé6okmatio~~ à ve~ik

La fiqure 111.11 donne les valeurs de la surpression intersti~iel18 mesurées 611 jours après la construction sous l'axe central du remblai.

Le degré de consolidation U % au temps t = 611 jours est égal à (fig. III.11)

Ôo

couche p'_' r ,"éa L,le ,,' : . . '. . , .. . .' .

LIu

0 kPa 1 -=-. 10 kPa 2

26 kPa il

" 0' 30 kPa l,'

U %= aire ABDCMA ft 56 %

aire ABDC

.' Z A iD

d;1, _) kP21 n 2(:, lU B

n1 1---------~~~-r~~~~~~_,~,_,_._-----.-- Ôu ( kPa)

IY'

rn

t = 0 Hé

rn

20 kPa d [ri -t----------+--------""7f--

. .. ',' ..... ','

' ... , .. couche perméable

(a)

. , C 1

o

(b)

Fig. 111.11 - Excès de pression interstitielle mesurés sous l'axe central du remblai à 611 jours (la pression de référence est la pression hydrostatique, nappe à -1 m).

Il est évident que le sol de fondation sous le remblai continue à se consolider. Faute d'une méthode plus précise, on peut évaluer le tassement à venir à l'aide de calculs de type oedométrique classique:

- si a ~ < a f c

Llh Ôh t C 00 s Ig (0

~

/ ~

t) Il - 11 1 f a + e 0

- si a ~ > a ~ > a f t c

Llh Llht C 00 c Ig (0

~

/ ~

t) 11 - 11 1 f a + e

0

97

, avec CJ t

ri c

lIh '"

lIht

, CJ f

contrainte verticale effective à 611 jours,

contrainte de préconsolidation verticale,

tassement final,

tassement à 611 jours,

CJ a (contrainte effective en place) + poids du remblai , contrainte effective finale.

La variation des contraintes CJ'a ' CJ c ' CJ't et CJ'f avec la profondeur

est indiqué sur la figure 111.12. Le tableau 111.6 donne les résultats

(lIh", - lIht) pour chaque mètre du sol de fondation.

2

3

4

5

8

9

Z (m)

Fig. 111.12 - Variation des contraintes effectives avec la profondeur

obtient Si l'on ajoute le tassement à venir au tassement mesuré en surface, on

lIh (prévu)

56 cm (mesuré à 688 j.)

+ 37,9 cm (lIh", - lIht)

lIh (calcul)

93,9 cm

83,1 cm

On voit que la différence n'est pas grande. Elle est peut-être due au fait que le calcul effectué par le modèle ne tient pas compte du tassement secon­daire correspondant à des phénomènes de fluage, ou au fait que le tassement final est surestimé (mauvaise répartition des contraintes verticales) ou bien tout sim­plement à un mauvais choix des paramètres de calcul, ou encore à la mauvaise adé­quation du modèle "Cam Clay modifié".

98

TABLEAU 111.6

Tassement à venir (6hoo

- 6ht )

Profondeur C C o 'f 0' t 6h 00

- 6h t 1 + e (m) 0 s c (kPa) (kPa) (cm)

0,5 2,00 0,04 - 57 57 0

1,5 3,60 0,05 - 68 63 0,04

2,5 4,15 - 1,75 72 58 4

3,5 4,30 - 1,70 77 55 5,08

4,5 3,42 - 1,28 81 52 7,02

5,5 3,07 - 1,18 84 55 7,07

0,5 3,13 - l, Il 88 60 5,9

7,5 3,50 - 1,30 93 68 5,05

8,5 3,20 - 1,20 96 84 2,2

(6hoo

- 6h t ) total : 37,9 cm

CONCLUSION

L'ensemble de ces comparaisons montre que la concordance entre les mesures et les calculs est bonne. On notera toutefois que :

- pour les déplacements verticaux, comparés aux mesures à 688 jours, les calculs donnent des valeurs plus fortes (en particulier 56 cm mesuré de tasse­ment en surface et sous l'axe du remblai au lieu de 83 cm calculé). Cependant, compte tenu du degré de consolidation et du tassement à venir, il serait hâtif de conclure que les calculs surestiment les déplacements verticaux.

en ce qui concerne les déplacements horizontaux, les valeurs mesurées à 611 jours sont très proches des valeurs calculées. Il est donc à prévoir qu'en fin de consolidation les calculs sous-estimeront les d2placements horizontaux.

99

CONCLUSION

Les enseignements que l'on peut tirer de cette étude concernent:

- le fonctionnement du modèle de calcul en lui-même (difficultés de program­mation, vitesse de convergence, coût des calculs) ,

- la validité du modèle comme mode de prévision du comportement des remblais sur sols mous (comparaison avec le comportement observé du remblai B de Cubzac) et la validité a posteriori des hypothèses de base du modèle Cam-Clay modifié.

En ce qui concerne le fonct iOnnel1i(~nt du modèle de calcul, on peut noter que :

- pour simplifier le modèle rhéologique à introduire dans le progralnme ROSALIE, on a linéarisé le comportement élastique non linéaire du modèle Cam-Clay modifié, ce qui introduit au niveau du calcul des contraintes correctrices 60 de la méthode des con-

o traintes initiales des distorsions dont l'influence sur le résultat des calculs est dif­ficile à évaluer. Sien que cette influence ne nous paraisse pas importante, il serait intéressant de l'étudier pour décider au besoin de passer à des calculs élastiques non linéaires ;

- la programmation du critère de plasticité du modèle Cam-Clay modifié ne pré­sente pas de difficulté particulière quand il s'agit de modifier un prograITme élasto­plastique existant ;

- la méthode des contraintes initiales telle qu'elle existe dans le programme ROSALIE assure une bonne convergence des calculs. Du fait de l'écrouissage du critère de plasticité, cette convergence est plus rapide que pour les calculs élastoplastiques sans écrouissage ;

- le coût des calculs est raisonnable : le calcul 3 de cette étude (4 incré­ments, 15 itérations, 1320 équations, Largeur de bande 98) ,par exemple,a demandé 5 mi­nutes de calcul sur l'ordinateur IBM 370-168 du Centre Inter Régional de Calcul Elec­tronique (C.I.R.C.E.) d'Orsay.

En ce qui concerne la validité du modèle comme mode de prévision du comporte­ment des remblais sur sols compressibles, on peut tirer les conclusions suivantes :

- les résultats du calcul sont, comme d'ailleurs tous les résultats de calculs élastoplastiques, très sensibles à la valeur du paramètre Ko ' coefficient de pression des terres au repos;

- l'utilisation des procédures proposées par BURLAND (1972) pour la détermina­tion des Daramètres K ,v et M du calcul conduit à une surestimation sensible des déformati~ns ; 0

- pour le dernier calcul, qui donne des valeurs raisonnables des déformations, les déplacements latéraux finaux calculés sont égaux aux dernières valeurs mesurées à l'heure actuelle (environ 50 % de consolidation), ce qui laisse à penser que le calcul sous-estimera les valeurs finales. Pour les tassements, les valeurs mesurées à l'heure actuelle sont encore nettement inférieures au résultat du calcul et l'estimation "oedo­métrique" du tassement à venir permet de penser que le tassement final réel sera égal ou légèrement supérieur au tassement calculé. Il semble donc que les paramètres intro­duits dans ce dernier calcul donnent une estimation correcte des tassements mais sous­estiment les déplacements latéraux.

En conclusion, à l'heure actuelle les calculs utilisant le modèle Cam-Clay modifié souffrent, comme tous les autres calculs élastoplastiques traités par éléments finis, de l'incertitude sur l'état initial du sol, ce qui empêche de juger du reste du modèle rhéologique. A ce titre, ils ne peuvent pas encore être considérés comme opéra­tionnels pour le dimensionnement des remblais sur sols compressibles. Le modèle Cam­Clay modifié est pourtant une étape vers des modèles de comportement que nous croyons préférables aux modèles élastoplastiques classiques. La suite de l'étude que nous avons effectuée devrait être l'application du modèle au comportement à court terme des remblais, ce qui suppose l'introduction dans le calcul d'une loi de génération des pressions interstitielles.

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102

abstract

THE APPLICATION OF CAMBRIDGE UNIVERSITY ELASTOPLASTIC t,'10DELS

TO THE CALCULATION OF 'l'HZ BEHAVIOUR OF AN EXPEqI~ENTAL

E"1BA1\)K'1EN']' BUlL']' C,,~ SOPT SaIL (CUBZAC-LES-PONTS)

The model of behaviour of clays dsveloped at Cambridge University, known as the modified Cam Clay model, is being used to predict the long term behaviour of one of the embankments built on soft soil at the LPC experimental site at Cubzac-les­Ponts (Gironde).

The calcula tion uses the method of fini te elements (LCPC "Rosalie" computer pro­gramme), plasticity being treated by t~e method of initial stresses.

This report presents the introduction of the modif ied Cam Clay model in the com­pute:r: prcgr"lI'Ul\s, the de~ermination of the para'1leters of calculation, the results of the calculation, and their comparison with the observed behaviour of the embank­mer..t t",enty-tv'o r:lonths after its construction.

zusammenfassung

ANWENDUNG DER ELASTOPLAST:;:SCHEN ~ODELLE DER UNIVERSITAT CN1BRIDGE .. FUR DIE BESTI'1"1UNG DES Vr:RHAL'T'ENS EINER VER SUC HSDA'1MSC HlTTTUNG.

AUF WEICHE'~ DODE1\) (CUBZAC-LES-PON'T'S)

Das von der Universitat Cambridge für die Bestimmung des Verhaltens von Tonboden entwickelte und unter dem Namen "mcX\ifiziertes Cam-Clay-'10dell" bekannte '10dell konunt für die Bestimmung des langfristigen Verhaltens einer der Dammschüttung auf weichem Boden im Versuchsbaustelle der Labors für Strassen und Brücken in Cubzac­les-Ponts (Gironde) zur Anwendung.

Die Berechnung stiit7,t sj,ch auf die '1Ethode der finiten Elp-ment,p (Re:r:echnungspro­gramm ROSALIE des 7.entrallabors für Strassen und Brücken), wahrend die Plastizitat an f{ar:d è'er Anfar'.gs",pann'~ngsmethode erfasst wird.

Vor]_i8gender '3ericht behandelt die Einführung des modifizierten Cam-Clay-'1odells in das Berechnungsprogramm und die Bestimmung der Berechnungsparameter ; die Ergebnisse der Berechnung und i_hr Vergleich mit dem tatsachlichen Verhalten der Dammschüttung zweiundzwanzig '10nate nach ihrem Bau werden vorgestellt.

103

resumen

APL ICAC ION DE LOS '10DELOS ELAS'rOPLAS'rICOS DE LA Ul\)I\lERSIDAD DE CAMBRIDGE

PARA EL CALCULO DEL CO'1PORTAMIENTO DE UN TERRAPLEN EXPERI'1ENTAL

El\) TERRENOS BLAl\lDOS (CUBZAC-LES-PONTS)

Se utiliza el modela de comportamiento de arcillas, desarrollado en la Universidaè de Cambrijge y conocido con e l nombre de "'10d e lo Cam Clay modificado", para la previsiôn del comportamiento a largo plazo de unD de los terraplenes en terreno blando del paraje Experimental de los Laboratorios de "Ponts et Chaussées " en Cubzac-les-Ponts (Gironda).

El calculo utiliza el método de elementos finitos (programade calculo ROS~LIE del L.C.P.C.), siendo tratada la plas~icidad con e l método de tensiones iniciales.

En el informe se presenta la introduccion del modela Ca~ Clay modificado e n el programa de calcula , la determinacion de los parametros de calcula, los resulta­ios del calcula y su comparacion con el comporta~iento observado del terraplén veintidos meses después de su construccion.

pe310me

OpHMeHeHl1e ynpyro-IlJlaCTl1Y:eCKI1X MO.r\eJleH K3Mf.PI1.r\lKcKoro YHI1BepCI1TeTa .r\ng paCqëTa

nOBe.r\e HI1H 3KCnepl1MeHTanbHo~ HaC~nl1, B03Be.r\eHHoH Ha cnae~x rpyHTax /K~63aK-ne-OOH/.

MO.r\enb nOBe.r\eHI1H rnl1H , pa3pa6oTaHHaH B K3MUPI1.r\lKCKOM YHI1Bepcl1TeTe 11 113BeCTI1H no.r\ Ha3BaHI1eM "I1 3MeHëHHaH K3M-Kn 3 MO.r\enb", I1cnonb3yeTcl1H .r\nH nporH03 11pOBaHI1H .r\nI1Tenb­Horo nOBe.r\eHI1H O.r\HOH 11 3 3KCnepl1MeHTanbH~x Hac~neH Ha cnaEOM OCHOBaHI1I1 , B03Be.r\eH­HOH Be.r\OMcTBeHH~MI1 na60paTOpl1HMI1 aBTOMOCl1nbH~X MOCTOB 11 .r\opor B K~63aK-ne-OoH /.r\enapTaMeHT ~I1POH.r\~/.

Opl1 paCqëTe I1cnonb30BanCH MeTO.r\ KOHeqeH~X 3neMeHTOB /no nporpaMMe P03AJUI IJ,eHTpanb­HOH na60paTopl111 Be.r\OMcTBa aBTOMOCl1nbH~X MOCTOB 11 .r\opor/, npl1qëM nnaCTl1qeCKaH 3a.r\a­qa pewanacb MeTo.r\OM HaqanbH~X HanpHlKeHI1H.

B oTqëTe OnI1CaH~ BBe.r\eHl1e 11 3Me HëHHOH K3M-Kn3 MO.r\enl1 B nporpaMMy paCqëTa , onpe.r\ene­Hl1e paCqeTH~X napaMeTpoB, pe3ynbTaT~ pa3qëTa 11 I1X cpaBHeHHl1e c pe3ynbTaTaMI1 Ha6nw­.r\eHI1H 3a nOBe.r\eHl1 eM HaC~nl1 B TeqeHl1e .r\BauaTI1 .r\ByX MecHueB nocne ee B03Be.r\eHI1H.

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RAPPORTS DE RECHERCHE

DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSS~ES

publiés par le LCPC

Recherche sur l'évolution des propriétés des matériaux alluvionnaires dans un bassin et mise en évidence de quelques caractéristiques générales, L. Primel (1969) -AR 04: Reconnaissance des tracés et sites.

Application de la spectrométrie infrarouge à l'étude des argiles et ciments hydratés, A. Baron (1969( - AR 63: Méthodes chimiques et physico-physiques. (épuisé)

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Mesure des teneurs en eau des sols par les méthodes électriques - Etude d'une méthode capacitive, Tran Ngoc Lan, P. Chaigne et A. Philippe (1970),(épuisé)- AR 03: Terrassements.

La gélivité des roches - Application aux granulats C. Tourenq (1970) - AR 35: Granulats.

Corrélation entre frottement longitudinal roue bloquée et frottement transversal à dérive élevée, B. Torchet et B. Lajoinie (1970) - AR 02: Confort et sécurité de la circulation (en relation avec la glissance et l'uni des chaussées).

La méthode des éléments finis et ses applications aux problèmes de génie civil, P. Guellec (1970), (épuisé)­AR 09: Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

Interprétation des vibrations de surface sur les structures routières, R. Guillemin (1970) - AR 01: ~imension. nement des chaussées.

Remblais sur sols compressibles· Synthèses des recherches effectuées dans les Laboratoires des Ponts et Chaussées, F. Bourges (1970),(épuisé)- AR 06: Ouvrages en terre.

Calcul des écoulements en milieu poreux par la méthode des éléments finis, P. Guellec (19701. épuisé - AR 09.: Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

Chaussées en béton . Constatations 1966·1967·1968, Groupe de travail LCPC·LR (1970) - AR 31 : Bétons et liants hydrauliques.

Consolidation d'un sol sous charge variable· Théorie· Vérification en laboratoire, M. Peignaud (1971) - AR 05 : Fondations des ouvrages. (épuisé)

Etude de la pression interstitielle, H. Josseaume (1971), (épuisé)- AR 06 : Ouvrages en terre.

Fissuration du béton par hydratation localement différée du ciment, J. Baron (1971) - AR 31: Bétons et liants hydrauliques.

Identification et dosage des différents sucres présents dans les plastifiants réducteurs d'eau, C. Laval et F. Durrieu (1971) - AR 31 : Bétons et liants hydrauliques.

Etude de la terre armée à l'appareil triaxial, Nguyen Thanh Long, Y. Guégan et G. Legeay (1972) - AR 06: Ouvrages en terre. (épuisé)

Contribution à l'étude de la dilatation thermique des bétons, Mahmoudzadeh·Rahimi (1972) - AR 31: Bétons et liants hydrauliques.

Elaboration de liants goudrons époxydes pour enrobés à hautes performances mécaniques, G. Brun (1972) -AR 33: Liants hydrocarbonés et enrobés.

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Machines foreuses pour tunnels et galeries . Techniques et bases théoriques de l'abattage mécanique des roches, D. Fourmaintraux (1972) - AR 09: Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

1 nfluence des gradients de pression interstitielle sur les résultats de l'essai triaxial, H. Josseaume (1972) -AR 06: Ouvrages en terre.

Mesure des pressions derrière et sous un mur de soutè· nement, J.·P. Levillain (1973) - AR 06: Ouvrages en terre.

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Compactage des terrassements·· Efficacité en profondeur de trois rouleaux vibran.ts, P. Chaigne, E. Leflaive, J. Oczkowski, R. Franceschina, G. Morel et A. Ouibel (1973) - AR 03: Terrassements.

Remblais sur sols mous équipés de banquettes latérales· Elaboration des abaques de calcul de stabilité, G. Pilot et M. Moreau (1973) - AR 06: Ouvrages en terre.

Etude des voûtes en terre armée, C. Behnia (1973), (éouisé) - AR 06: Ouvrages en terre.

Contribution à l'étude de la cohésion dans une pâte de laitier granulé, Ph. Petit (1973) - AR 63: Méthodes chimiques et physico·chimiques.

La stabilité des ouvrages souterrains - Soutènement et revêtement, M. Panet (1973) - AR 09: Mécaniqui! des roches et ouvrages souterrains.

Calcul des contraintes dans un massif d'épaisseur limitée soumis à une charge trapézoïdale, B. Mandagaran (1973) -AR 06: Ou vrages en terre.

Etude des murs en terre armée sur modèles réduits bidimensionnels, Nguyen Thanh Long, F. Schlosser, Y. Guégan et G. Legeay (1973) - AR 06: Ouvrages en terre.

Etudes sur l'uni des revêtements routiers et le confort du véhicule automobile, M. Abrache (1974) - AR 02 : Confort et sécurité de la circulation (en relation avec la glissance et l'uni des c:Jaussées).

Dispositif d'enregistrement adaptable à l'essai de clas· sement des sols selon leur degré de gélivité, J.·C. Laporte (1974) - AR 01: OilJ1Rnsionnement des chaussées.

Compactage des terrassements· Compactage en grande épaisseur au moyen de rouleaux à cylindres vibrants lourds et d'un comp~cteur à pneus lourd, P. Chaigne, R. Franceschina, G. Morel, J. Oczkowski et A. Ouibel (1974) - AR 03: Terrassements.

Auscultation dynamique des superstructures par les mé· thodes classiques, G. Cannard, J. Carracilli, J. Prost et Y. Vénec (1974) - AR 62 : Auscultation des ouvrages d'art.

Etude du mécanisme de modification des propriétés des bétons, mortiers et coulis hydrauliques par addition de résines thermodurcissables, A.-M. Paillère (1974) -AR 31: Bétons et liants hydrauliques.

Calcul de la stabilité des pentes en rupture non circulaire, P. Raulin, C. Rouquès et A. Toubol (1974) - AR 06 : Ouvrages en terre.

Etude expérimentale de la mise en frais, R. Lesage (1974) - AR 31 hydrauliques.

place du béton Bétons et liants

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38 Mécanisme de la prise du laitier granulé sous activation alcaline, R. Dron (1974) - AR 63 ; Méthodes chimiques et physico·chimiques.

39 Contribution à l'étude de l'hydratation des silicates calciques hydrauliques, R. Sierra (1974) - AR 63 ; Méthodes chimiques et physico-chimiques.

40 Etude expérimentale de la compatibilité de résines épo· xydes avec le bitume - Application à la prévision de systèmes compatibles, C. Laval et B. Brûlé (1974) -AR 63; Méthodes physiques et physico·chimiques.

41 Etude d'un remblai sur tourbe à Caen. J. Vautrain (1975) - AR 06; Ouvrages en terre. (épuisé)

42 Ettlde théorique et expérimentale de la préparation d'une résine époxyde compatible avec le bitume, B. Brûlé et C. Laval (1975) - AR 63; Méthodes chimiques et physico-chimiques.

43 Redistribution des effets hyperstatiques des ponts en béton précontraint par fluage linéaire, M.·Y. Lau (1975). épuisé - AR 10; Ponts en béton précontraint.

44 Etude des massifs continus [, comportement non linéaire · . Applications aux problè~es de génie civil, A. Ricard

(1975) - AR 09; Mécanique des roches et ouvrages souterrains. (épuisé)

45 Evolution sur route de liants et d'enrobés bitumineux · Etude de laboratoire sur prélèvements, Doan Tu Ho, A . Grignard et P. Ugé (1975) - AR 33; Liants hydro· carbonés et enrobés.

46 Etude théorique du comportement des pieux sous charge verticale· Introduction de la dilatance, R. Frank (1975) -AR 05; Fondations des ouvrages.

47 Consolidation d'un sol avec drains verticaux sous charge variable, D. Chaput et G. Thomann (1975) - AR 06 : Ouvrages en terre. (épuisé)

48 Centrifugation de modèles réduits d'ouvrages en terre et de fondations, G. Pilot (1975) - AR 06; Ouvrages en terre.

49 Influence des matières minérales en suspension sur la qualité des eaux de surface, D. Robbe (1975) - AR 67 ; Eau.

50 Etude expérimentale des phénomènes différés dans les ouvrages en béton précontraint, M. Diruy (1975) -AR 10; Ponts en béton précontraint.

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Les meulières du sud de la région parisienne, J. Prévot (1975) - AR 04 ; Reconnaissance des tracés et sites.

Etude hydrogéologique des formations de pente de la butte d'Amance, M. Livet (1976) - AR 04; Recon· naissance des tracés et .<ites.

Etude de mortiers de résine pour revêtements superficiels routiers, A. Denis (1976) - AR 35; Granulats.

Utilisation des textiles non-tissés pour le drainage Application aux remblais de sols fins en cours de consolidation, M. Bourdillon (1976) - AR 03; Terras· sements.

Etude lithologique du calcaire de Saint·Ouen dans la région parisienne - Quelques conséquences d'ordre géo· technique, B. Caron (1976) - AR 04; Reconnaissance des tracés et sites.

Dalles orthotropes, M.·Y. Lau (1976) - AR Il; Ponts métalliques et ponts mixtes.

Méthodes de contrôle de la pollution des eaux - Utilisation des électrodes spécifiques, M . Cathelain (1976) - AR 63;' Méthodes chimiques et physico·chimiques.

Influence des paramètres de formulation sur le compor· tement à la fatigue d'un enrobé bitumineux, S. Soliman (1976) - AR 33; Liants hydrocarbonés et enrobés.

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Interprétation de l'efficacité des compacteurs vibrants, J.·M. Machet (1976) - AR 03; Terrassements et AR 34; Assises traitées.

Etude des mortiers des graves traitées aux liants hydrau· liques et aux liants mixtes en vue de la réduction de leur fissuration de retrait, Y. Toklu (1976) - AR 34; Assises traitées.

Les roches granitiques et leu r altération· Reconnaissance géotechnique de tracés en Bretagne, G. Chevassu (1976) -AR 04; Reconnaissance des tracés et sites . .

Revêtement en béton de liants hydrocarbonés modifiés· Etude de laboratoire, J.-P. Grimaux, A. Grignard et M. Huet (1976) - AR 33; Liants hydrocarbonés et enrobés.

Compactage des graves-bitume au moyen de rouleaux vibrants, J.-M. Machet, G. Morel et J.·C. Valeux (1976) -AR 33 ; Liants hydrocarbonés et enrobés.

La composition du béton hydraulique du laboratoire au chantier, J. Baron et R. Lesage (1976) -AR 31; Bétons et liants hydrauliques .

Relat ions entre les propriétés physico·chimiques et les caractéristiques mécaniques des sols compressibles J.-F. Vidalie (1977) - AR 03; Terrassements.

Contribution à l'étude de la tensio·activité cationique des bitumes routiers, F. Durrieu (1977) - AR 63 ; Méthodes physiques et physico-chimiques.

Contribution à l'étude des propriétés de matériaux . ­Le tra itement des sables, M. Hamzé (1977) - AR 33 et 34; Liants hydrocarbonés et enrobés - Assises traitées.

Effets des forces de précontrainte concentrées dans les poutres caissons, Ly Kim Ty (1977) - AR 10: Ponts en béton précontraint.

Comportement du béton hydraulique fissurabilité et fragilité - Etude bibliographique et critique, J. Baron (1977) - AR 31 Bétons et liants hydrauliques.

Compactage des terrassements - Efficacité en profondeur de plaques et de rouleaux vibrants et influence de l'épais­seur des couches sur la qualité du compactage, P. Chaigne, R. Franc:eschina, J. Oczkowski et A. Quibel (1977) -AR 03; Terrassements.

Comportement en traction simple des enrobés hydro­carbonés, R. Linder (1977) - AR 33; Liants hydro­carbonés et enrobés.

Détermination de la te !leUr en eau des granulats et du béton frais par méchode neutronique, J.-P. Baron (1977) - AR 65; Méthodes physiques.

73 Stabilisation des mas~ifs rocheux fissurés par barres d'acier scellées, J.-J. Azuar (1977) - AR 09; Méca­nique des roches et ouvrages souterrains.

74 Application des modèles élastoplastiques de l'Université de Cambridge au calcul du comportement d'un remblai expérimental sur sols mous (Cubzac-les-Ponts), M.-T.Dang et J. -P. Magnan (1977) - AR 06 ; Ouvrages en terre.

75 Contribution à l'étude des états structuraux des bitumes, R. Dron, M. Bestougeff et I.A. Voinovitch (1978) AR 63; Méthodes chimiques et physico-chimiques.

76 Contribution de la chromatographie sur gel perméable (G .P.C.) à la caractérisation qualitative et quantitative des bitumes. Structure colloïdale, B. Brûlé (1978) -AR 33 et 63 ; Lian ts hydrocarbonés et enrobés - Méthodes chimiques et physico-chimiques.

77 Application de la chromatographie sur gel perméable à l'analyse des liants de peinture pour signalisation horizon­tale, F. Migl iori (1978) - AR 63 ; Méthodes chimiques et physico-chimiques.

Les rapports de recherche disponibles peuvent être demandés au Service des Publications du LCPC.

Les rapports de recherche épuisés peuvent être fournis sous forme de micro-fiches 105 x 148 mm.

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Publié au LCPC, 58 boulevard ~efebvre - 75732 PARIS CEDEX 15, sous le numéro 502485

Dépôt légal: 4e trimestre 1977