MINISTËRE DE L'AMËNAGEMENT DU TERRITOIRE DE L'EaUIPEMENT ET DES 'rRANSPORTS

LABORAlOIRES DES PONTS Er CHAUssEES

Juin 1974

~. -..- ..

Rapport de recherche N° 36

Calcul· de la stabilité des pentes

en rupture non circulaire

P. RAULIN

G. ROUQUÈS

A. TOUBOL

Calcul de la stabilité des pentes

en rupture non circulaire

P. RAULIN * Ingénieur des Ponts et Chaussées

ODE (Loire Atlantique)

G. ROUQUÈS* Ingénieur des Ponts et Chaussées

Laboratoire central

A. TOUBOL* Ingénieur des Ponts et Chaussées

ODE (Pas-de-Calais)

>1< NB : Travail de fin d'études effectué antérieurement en tant qu'ingénieurs élèves de l'ENPC.

Sommaire

Résumé en français 4

Présentation, J. Legrand 5

Symboles et notations 6

Introduction 7

Divergence des méthodes de calcul à la rupture pOUl' F 1, (équilibre limite) 12

PR EM IÈ REPARTIE - MÉTHODES ET ÉQUATIONS GÉN ÉRALES

Chapitre Conventions de signes et définition des variables 18

Chapitre 2 Mise en équations du problème 24

DEUXIÈME PARTIE - FORCES iNTERNES ET LIGNE D'ACTION

Chapitre 3 Méthode de Morgenstern et Priee 32

Chapitre 4 Méthode de Janbu et méthodes dérivées 46

Chapitre 5 Une solution analytique simple du problème dans le cas où la ligne d'action est confondue avec la courbe de rupture 59

TROISIÈME PARTIE - ÉTUDE DE LA CONTRAINTE NORMALE a ET RECHERCHE DE SA REPRÉSENTATION ANALYTIQUE

Chapitre 6 Méthode des perturbations

Chapitre 7 Méthode de minimisation énergétique

QUATRIÈME PARTIE

Chapitre 8 - Comparaison des méthodes

Conclusion

Bibliographie

Résumé en anglais, allemand, espagnol, russe

66

72

82

100

101

103

MINISTÈRE DE L'AMt:NAGEMENT DU TERRITOIRE, DE L't:QUIPEMENT ET DES TRANSPORTS

LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSt:ES - 58, boulevard Lefebvre· 75732 PARIS CEDEX 15

MAI 1974

résumé

Nos lecteurs étrangers trouveront ce résumé traduit en anglais, allemand, espagnol et russe en fin de rapport. Our readers will find this abstract at the end oj the report. Unsere Leser finden diese Zusammenjassung am Ende des Beticktes. Nuestros lectores hallaràn este resumen al.final deI injorme. Pyccrmii meKcm amlOmal{UU nO.MeU/eH (5 KOHl{e oml{ema.

Calcul de la stabilité des pentes en rupture non circulaire

De nombreuses méthodes de calcul à la rupture des pentes existent depuis longtemps.

Pour la plupart, elles ne peuvent traiter que des lignes de rupture circulaires, tout en ne vérifiant pas les équations de l'équilibre statique.

Les auteurs ne sont attachés à développer des méthodes qui, tout en respectant les équations de la statique, permettent d'étudier des lignes de rupture non circulaires.

Après avoir rappelé les hypothèses classiques du calcul à la rupture (inégalité de Coulomb, coefficient de sécurité constant le long de la ligne de rupture potentielle), les auteurs établissent les équations générales du problème et indiquent la nécessité de formuler une hypothèse complémentaire. Cette hypothèse permet de tenir compte très globalement du comportement rhéologique du sol (loi effort­déformation) sans, cependant, que le lien entre le modèle rhéologique et la formulation mathématique de l'hypothèse soit simple à établir.

Trois classes d'hypothèses ont été envisagées: a) celles qui portent sur la distribution des forces internes au talus, b) celles qui portent sur la position de la ligne d'application des résultantes des forces internes au talus, c) celles qui portent sur la distribution des contraintes normales à la courbe de rupture.

Dans chaque cas, les auteurs donnent le schéma analytique de résolution des équations. Ils analysent les méthodes de Morgenstern et Price et de Janbu et proposent de nouvelles hypothèses conduisant à la formulation de quatre nouvelles méthodes de calcul en rupture non circulaire respectant les équa­tions de la statique.

Les calculs numériques, dans l'ensemble très simples, ont permis de traiter quelques exemples qui font apparaître une bonne concordance entre ces diverses méthodes.

MOTS CLÉS: 42. Rapport de recherche - Mécanique des sols - Stabilité des talus Calcul -Rupture - Courbe - Surface - Glissement - Equation - Statique - Circulaire (Géom.) - Cisaille-ment Contrainte Coefficient de sécurité Non circulaire (64) - Loi (Phys-Math.-Stat.) (90) -Coulomb (93) Morgenstern (93) - Priee (93) Janbu (93).

4

PRÉSENTATION

J. LEGRAND Adjoint au Directeur

du Laboratoire central des Ponts et Chaussées

Professeur de Mécan ique des Sols à l'Ecole nationale des Ponts et Chaussées

Les études de stabilité des pentes se traitent couramment à l'aide de méthodes de calcul en rupture circulaire.

Ces méthodes donnent de bons résultats pour les talus de hauteur moyenne, taillés dans des sols relativement homogènes. En revanche, lorsque le site présente des hétérogénéités marquées, ou lorsque les pentes ont une très grande extension, versants naturels par exem­ple, l'hypothèse de la rupture circulaire peut se révéler inadéquate, d'où l'idée d'introduire des courbes de rupture de forme différente.

C'est à quoi se sont attachés MM. Raulin, Rouquès et Toubol, Ingénieurs Elèves à l'époque, dans le cadre du travail de fin d'études de l'Ecole nationale des Ponts et Chaussées qu'ils ont effectué dans le cadre de mon enseignement, sous la direction de MM. Pilot et Blondeau, à la section de Mécanique des Sols du Laboratoire central des Ponts et Chaussées.

Au cours des six mois qu'ils ont consacrés à cette étude, MM. Ra ulin , Rouquès et Toubol ont effectué un travail très complet et de grande qualité, qui m'a paru, lors de la soute­nance en jury à l'Ecole, mériter d'être publié, sous forme d'un rapport de recherche LPC.

Après une étude critique des principales méthodes de calcul disponibles (méthode de Janbu et ses dérivées, méthode de Morgenstern et Priee), les auteurs ont recherché des méthodes nouvelles qui, notamment, s'affranchissent des difficultés sérieuses de résolution numé­rique affectant certaines des méthodes précitées.

Dans cet esprit, ils ont étudié, programmé sur ordinateur et testé quatre méthodes, dont l'une, la méthode des perturbations, a été retenue dans l'immédiat, eu égard aux avantages qu'elle offrait: souplesse d'utilisation, bonne appréhension physique du problème, absence de difficultés majeures au niveau du traitement numérique. Par ailleurs, ils ont tenté une approche énergétique du problème qui ouvre la voie à des développements intéressants et peut-être à une méthode originale.

n convient également de souligner que, malgré la brièveté du temps dont ils ont disposé, les auteurs ont conduit leur travail jusqu'aux applications, puisqu'ils ont conclu par des programmes de calcul, aujourd'hui couramment utilisés.

Je suis donc heureux de pouvoir féliciter ici MM. Raulin, Rouquès et Toubol, aujourd'hui en service dans l'Administration, de leur excellent travail, puisque aussi bien c'est le premier des Travaux de fin d'études de l'ENPC effectué au Laboratoire central qui donne jour à une publication comparable à celles rendant compte des travaux de chercheurs confirmés.

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SYMBOLES ET NOTATIONS

x abscisse de l'extrémité gauche de la courbe de rupture 0

xl abscisse de l'extrémité droite de la courbe de rupture

y(x) ordonnée de la courbe de rupture

z(x) ordonnée de la surface du talus

a(x) angle orienté de la tangente à la courbe de rupture avec l'horizontale

s(x) abscisse curviligne de la courbe de rupture, comptée à partir du point (x , y(x ) )

o 0

S longueur de la courbe de rupture

a contrainte normale totale

a' contrainte normale effective

T contrainte tangentielle

U pression interstitielle

T composante verticale de la force inter tranche

E composante horizontale de la force inter tranche

e(x) ordonnée de la ligne de passage de la force intertranche

W(x) poids de la masse de sol en glissement comprise entre les abscisses x et x

o

W poids total de la masse de sol en glissement

h(x) épaisseur de la masse de sol en glissement à l'abscisse x

y poids spécifique moyen à l'abscisse x

c' cohésion

~, angle de frottement interne

F coefficient de sécurité à la rupture

A(x) tga + tg~'/F

B (x) 1 - tga . tg~' IF

6

INTRODUCTION

Que ce soit dans le domaine des travaux publics (terrassements des voies de communications, de barrages, d'ouvrages divers) ou dans celui du bâtiment (terrassement de fouilles de fondations), l'ingénieur praticien est, tôt ou tard, confronté au problème de la stabilité des talus.

Ce problème est important et, lorsqu'il n'est pas maitrisé, peut causer des catastrophes malheureusement mémorables, telle cette rupture du terril d'Aber1dine (Angleterre) en 1969 qui fit plusieurs morts parmi les enfants d'un groupe scolaire adjacent.

De 1963 à 1970, une enquête fait par le Groupe d'étude des talus (G.E.T.) [17] des Laboratoires des Ponts et Chaussées a permis de mettre en fiches plus

de 300 cas de glissements de talus routiers, dus très souvent à un manque d'étu­des préalables, et qui, pour certains ont nécessité des réparations s'élevant à plus de 2 millions de francs (25 millions pour l'ensemble des frais de répa­rations recensés entre 1963 et 1967). Ceci donne une idée de l'importance de cette question, ne serait-ce que dans le domaine routier (les ruptures de barrages sont évidemment d'une toute autre ampleur):

L'étude de la stabilité des talus, qui relève de la mécanique des sols, nécessite la connaissance de nombreux éléments

- géologiques: formations rencontrées, pendages. hétérogénéités,

- hydrauliques: présence d'eau sous forme d'une ou plusieurs nappes, d'écou­lements erratiques ; perméabilité des sols rencontrés ; présence de niveaux étanches ou au contraire drainants, etc ...

- géotechniques: classification des sols (granulométrie, limites d'Atterberg), poids spécifiques, analyse minéralogique. etc ...

mécaniques : caractéristiques de résistance au cisaillement à court terme, à long terme. résiduelles.

Lorsque l'on connaît ces éléments. on est à même de faire un calcul de stabilité.

Dès 1846, Alexandre Collin [6], ingénieur au Corps Royal des Ponts et Chaussées tente de donner les premières explications sur la stabilité des talus, dont il donne dès cette époque des descriptions tout à fait remarquables. Depuis, nombreux sont ceux qui se sont intéressés à ce problème et y ont attaché leur

7

nom : Fellenius [8] , Caquot [5] , Taylor [16] • Bishop [3] pour ne ci ter que les noms les plus souvent invoqués à ce sujet. Sans parler de Terzaghi qUl apporta là encore une importante contribution, comm~ il le fit dans tous les domaines de la mécanique des sols.

Plusieurs méthodes de calcul ont été ainsi proposées que nous pouvons répartir en deux groupes :

A - METHODE DES ELEMENTS FINIS

Le développement récent d'ordinateurs à grande capacité de mémoire et à grande rapidité de calcul, a permis le développement simultané des méthodes de calcul par éléments finis.

L'application de cette méthode nécessite la connaissance d'une loi de comportement (effort-déformation) pour le sol considéré. Moyennant quoi, le volume étudié est divisé en éléments géométriques simples (triangles dans le cas d'un problème à deux dimensions). Chaque élément est soumis à l'action des éléments voisins. Le calcul consiste à déterminer un champ de forces et de déplacements compatibres avec les équations de la mécanique et la loi de com­portement adoptée.

Une telle méthode qui est amenée à connaître un très grand développe­ment nécessite. cependant, des moyens de calcul très importants qui ne sont pas à la portée immédiate de tout mécanicien de sol.

B - METHODES DE CALCUL A LA RUPTURE

La quasi totalité des méthodes proposées jusqu'à ces cinq dernières années font partie de cette catégorie.

La méthode consiste à considérer l'ensemble des forces qui assurent l'équilibre d'un certain volume de sol délimité dans le talus considéré (fig. 1).

Fig. 1 - Forces agissant sur la masse de terrain en glissement potentiel.

8

En supposant dans un premier temps. qu'il n'y a pas d'eau dans ce talus, ces forces se divisent en deux groupes :

le poids (W) et les surcharges (Q) qui tendent à entraîner le volume vers l'aval,

- la réaction du reste du talus (T, N) qui tend à retenir ce même volume.

Tant que la réaction, essentiellement la force de cisaillement T, reste inférieure à la résistance maximale que peut mobiliser le sol, le talus est stable. Il est instable dans le cas contraire.

Plusieurs points sont alors à définir :

1 - Critère de rupture

Le critère de rupture utilisé dans la plupart des méthodes est le critère de Coulomb.

T ~ Cl + 0' • tg<!>'

Dans lequel T et a' désignent les contraintes tangentielles et norma­les sur une surface donnée; c' et <p' la cohésion et le frottement du sol au point considéré.

Nous ne nous étendons pas plus sur ce point qui n'est pas l'objet du présent travail.

2 - Définition du coefficient sécurité

De nombreuses publications ont été faites sur les divers coefficients de sécurité que l'on est susceptible d'adopter pour définir la stabilité des talus. A chacun de ces coefficients correspond une valeur particulière pour un talus donné. Ils prennent la valeur ] pour un talus en état d'équilibre limite (rupture).

Dans la suite de cet exposé, le coefficient de sécurité adopté sera

F == T max

T

T max désigne la résistance au cisaillement maximale que peut mobiliser le sol en un point. définie par :

T max = c' + a' . tg<!>'

T représente la contrainte de cisaillement s'exerçant effectivement en ce point.

On voit bien que F = 1 lorsque la contrainte de cisaillement est égale à la résistance maximale admissible.

9

3 - Géométrie de la rupture

Deux cas peuvent' se présenter :

a - On étudie l'instabilité d'un talus qui a subi un glissement. On peut, dans certains cas, déterminer la forme de la surface de rupture par les moyens d'investigation de la mécanique des sols et de la géologie (sondages, tubes clinométriques, etc •.• ). L'analyse de stabilité s'appliquera alors au volume ainsi délimité par une surface de forme a priori quelconque.

b - On veut dimensionner un talus en projet. Il faut alors chercher quel est le volume de talus dont la stabilité est la plus critique. Comme il n'est matériellement pas possibie d'étudier toutes les surfaces de rupture possibles, deux solutions peuvent être envisagées :

- Le talus est tel que la surfaca de rupture est évidente: c'est le cas lorsque l'on est en présence d'une couche de sol de caractéristiques nettement plus faibles que les sols adjacents, (fig. 2) dans laquelle se propagera la rupture.

Fig, 2 - Cas d'une couche «savon».

- Il n'y a pas, a priori, de cheminement préférentiel. L'expérience montre qu'en général, la rupture de tels talus est assimilable à une calotte sphérique, qui dans le cas de talus de grande longeur (cas bidimensionnel) peut être appro­chée par une surface cylindrique à directrice circulaire. L'étude consiste dans ce cas à déterminer le "cercle" de coefficient de sécurité minimum.

Les premières méthodes de calcul proposées par Fellenius, Taylor, Caquot et Bishop considéraient des courbes de rupture circulaires. Depuis. Morg~nstern, Janbu, Frolich et Nouveiller ont mis au point des méthodes utilisant une courbe de rupture de forme quelconque.

4 - Hypothèses complémentaires

L'étude de stabilité, ne peut se faire que moyennant un certain nom­bre d'hypothèses complémentaires.

a - Le coefficient de sécurité F est constant le long de la surface de rupture. Autrement dit, la contrainte de cisaillement est en tout point, une

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même fraction de la résistance au cisaillement maximale admissible en ce point. Ceci est éminemment contestable dans le cas de sols fortement hétérogènes et n'est pas compatible avec la notion de "rupture progressive".

b - Il est enfin nécessaire de se donner une loi de variation afin de pouvoir résoudre le système des équations de la statique appliquées au volume étudié. C'est essentiellement cette dernière hypothèse, outre celle de la forme de la surface de rupture, qui distingue les diverses méthodes envisagées.

Considérons le talus de la figure 3.

Sans entrer dans le détail qui sera exposé dans un paragraphe ultérieur, nous voyons que si nous décomposons ce talus en tranches, afin de pouvoir en étudier l'équilibre local, chacune de ces tranches est soumise à diverses forces F l' F ,N l' T j' W l' Les méthodes envisagées font comme hypothèse: n- n n- n- n-

l,

Nn -1

Fig. 3 - Forces agissant sur une «tranche».

-- .,. - Fellenius Fn-l parallèle à Bn-l Bn pour toute tranche

... - Bishop Composante verticale de Fn - Fn_1 nulle -- Frohlich Hypothèse sur la répartition des forces N n-J -- Morgenstern Hypothèse sur l'inclinaison de F n-J

en fonction de n --- Janbu Hypothèse sur le point de passage Fn-1

Les méthodes de Caquot et de Taylor sont des méthodes globales qui - ~ font une hypothèse sur la résultante des efforts Tn-1

et Nn_ 1

11

C - OBJET CETTE ETUDE

Jusqu'à présent, les Laboratoires des Ponts et Chaussées utilisaient la méthode de Bishop simplifiée. Un tel choix, s'il a donné satisfaction dans la grande majorité des cas, avait cependant deux inconvénients

- la forme de la surface de rupture est circulaire, ce qui est parfois limi­tatif, nous en verrons des exemples (remblais sur sols mous ou sur versants, pentes naturelles),

- la méthode simplifiée ne satisfait pas à toutes les équations de l'équilibre, ce qui n'est pas satisfaisant du moins pour l'esprit.

En contrepartie, elle est d'emploi facile, ce qui lui a conféré le succès qu'elle a rencontré un peu partout dans le monde de la mécanique des sols.

L'analyse a,d'autre part, montré que d'autres méthodes plus sophisti­quées telles que celles de Morgenstern et price, Janbu, Nonveiller, donnaient lieu, soit à des difficultés de calcul, soit à des erreurs dans l'analyse des équations.

Dans le but de déterminer une méthode de calcul plus générale que la méthode de Bishop et d'usage relativement fiable et simple, on a développé les points suivants :

- Ecriture des équations générales du problème

2 - Analyse et modification de certaines méthodes existantes

3 - Elaboration de méthodes nouvelles

4 - Applications de ces méthodes sur des exemples de cas réels

Les programmes de calcul auxquels ont abouti les présentes recherches sont disponibles au Laboratoire Central des Ponts et Chaussées - Département des sols et fondations.

Les calculs numériques ont été effectués en partie sur le CAE 510 du L.C.P.C., en partie sur le C II 10070 de l'Institut de Recherche des Transports (I.R.T. - Arcueil).

Certains calculs analytiques ne sont pas développés dans ce document. Ils figurent dans le rapport interne [18J .

12

DIVERGENCE DES MÉTHODES DE CALCUL A LA RUPTURE POUR F 1

(ÉQUILIBRE LIMITE)

Ce rapport présente plusieurs méthodes de calcul des pentes à la rupture : avant de les décrire et de les comparer, nous voudrions insister sur l'idée suivante:

Il est bien connu que les méthodes classiques en rupture circulaire ne fournissent pas des valeurs identiques du coefficient de sécurité. Or il apparaît que c'est principalement pour des valeurs de F voisines de 1 qu'il serait souhaitable que les méthodes convergent. On voit souvent écrit dans la littérature les affirmations suivantes :

- Les coefficients de sécurité fournis par l'ensemble des méthodes de calcul forment une classe d'ordre par rapport à 1 C'est-à-dire que si deux méthodes A et B fournissent. pour une pente donnée, des valeurs de F égales respecti-vement à FA et FB on a

> entraine FB >

entraine FB

< entraine FB <

Cela implique en particulier que toutes les méthodes fournissent le même résultat F = 1 à l'équilibre limite.

Si d'un point de vue logique, il serait souhaitable d'une telle propo­sition soit vraie, il apparaît malheureusement qu'il n'en est rien et nous allons essayer de le prouver.

Pour simplifier les notations, nous ferons le raisonnement dans le cas d'un talus homogène et hors d'eau. La démonstration se généralise aisément à n'importe quelle configuration de pente.

Avant d'aborder le vif du sujet, nous précisons que nous ne comparons que les résultats de méthodes pour lesquelles le coefficient de sécurité est défini comme le rapport du cisaillement admissible au cisaillement réel :

F ::::: c' + tg1J'. 0'

et est supposé constant tout le long de la ligne de rupture potentielle.

Dans les conditions définies précédemment, nous envisageons un talus de géométrie donnée et dans ce talus une courbe donnée de rupture potentielle.

13

Il reste donc deux paramètres à fixer pour déterminer complétement la configuration de pente

ce sont Cl et tg~1 • sur lesquels nous allons faire porter le raisonnement.

Pour calculer F, nous utilisons deux méthodes appelées méthode A et méthode B.

Les équations en F que l'on obtient sont de la forme

A [ts;' f-J o , pour la méthode A

B [tg;' f-] '" o , pour la méthode B

Les formes analytiques de A et talus et sont donc indépendantes de

B tg~

1 ne dépendent que de la géométrie du et de Cl.

A ces deux équations correspondent deux valeurs de F appelées FA et

La forme de ces équations montre que si l'on multiplie tg~' et Cl par un même coefficient À, la valeur correspondante de F est elle aussi multipliée par À

Il apparaît donc que les coefficients de sécurités fournis par les méthodes A et B avec des valeurs de l'angle de frottement interne et de la cohésion égales à :

tg~1 1 t8~'

FA

c' 1 Cl

=:

FA

sont égaux à FA

FA pour la méthode A

FB

FA pour la méthode B

Donc, si toutes les méthodes convergent pour F l, on doit avoir

soit

14

On en déduit que si, dans une configuration de pente donnée, deux mé­thodes fournissent la même valeur de F, alors elles donnent des résultats iden­tiques quelles que soient les valeurs de c' et tg~'.

Corrélativement, il apparaît que si, dans une configuration donnée, deux méthodes ne donnent pas la même valeur de F • elles ne pourront pas fournir en même temps la valeur F 1.

Il en ressort qu'il est possible de trouver, en utilisant deux méthodes différentes des valeurs de F encadrant la valeur 1

PREMI~RE PARTIE

MeTHODES ET enUATIONS GeNeRALES

y

o

CHAPITRE 1

CONVENTIONS DE SIGNES ET DÉFINITION DES VARIABLES

z (X) r-

-- E ---

X o

Fig. 4 - Conventions de signes et notations.

On supposera, dans ce qui suit, que la surface de rupture est cylindrique.

18

X

On se place dans repère orthonormé (xOy).

-Oy est vertical, dirigé vers le haut

-Ox est horizontal, dirigé de gauche à droite (fig. 4)

Dans ce repère, la ligne de talus est z(x). La ligne de rupture potentielle est y(x) la courbe de rupture est limitée aux abscisses Xo et xl ; on a donc :

y(x) == z(x) o 0

et

On a de plus y(x) z (x)

On appelle

- a(x) l'angle orienté dans le sens trigonométrique de la tangente à la ligne de rupture avec l'axe des x :

dy tga

dx

- s(x) l'abscisse curviligne comptée positivement de gauche à droite

s(x ) == 0 o

S s(x1) = longueur totale de la courbe de rupture

et dx cos a.ds

dy == Sl.n a.ds

Le talus est orienté de façon à ce que le glissement éventuel se pro­duise de la gauche vers la droite (vers les x positifs).

19

Envisageons maintenant les actions qui s'exercent dans le talus.

a

Xt-dx -2-

x x

Fig. 5

A l'abscisse x, l'élément de courbe de rupture compris entre

dx et x + dx x -2 2

de longueur ds, est soumis à une force totale qui peut se décomposer en (fig. 5)

-+ cr.ds (angle avec Ox

-Cl + 2!.-)

2

T.ds (angle avec Ox : Cl + TI )

où cr et T sont la contrainte normale et le cisaillement au point d'abscisse x.

D'après Terzaghi, cr peut se décompos~r en

cr "" cr' + U

où cr' est la contrainte normale effective, U la pression interstitielle cr' et U ont la même orientation que cr

20

Y(x)

o~------~----------------------------------------------~ x

Fig. 6

Si nous séparons le talus en deux parties (fig. 6) limitées par la verticale d'abscisse x, l'action de la partie droite sur la partie gauche, se décompose en :

T force verticale orientée vers le haut

E force horizontale orientée vers la gauche

On appelle e(x), l'ordonnée du point d'application de la force E + T au point d'abscisse x. On doit donc avoir:

e(x ) o

On pose x et x.

o

:::

On a donc

y(x ) o

W(x)

W(x ) o

et

poids du volume de talus compris entre les abscisses

= a

'" W =: poids de la masse en glissement potentiel.

21

W(x) est compté positivement. On appelle dW, la masse d'une tranche de talus, compr~se entre les abscisses :

dx :x ---2

et dx :x +--2

dW est donc positif (fig. 7).

y (x)

o dx

x x Fig. 7

On appelle h(x) la hauteur de talus comprise entre les lignes de talus et de rupture.

h(x) = z(x)- y(x)

h(x) ~ a

h(x ) a 0

h(x I ) ::: a

On appelle y(x) le poids spécifique total moyen d'une tranche d'épais-seur d:x.

si une verticale d'abscisse x rencontre plusieurs couches (sur la fig. 8 : 3 couches), on aura

h == h 1 + +

y ==

22

o

Fig. 8

yh . dx est donc le poids d'une tranche d'épaisseur dx et

couche 2

couche 3

dW dx

Y3

yh

Les orientations ont été choisies de telle sorte que, dans la majo­rité des cas, cr , T ,E et T soient positifs.

23

CHAPITRE 2

MISE EN ÉQUATIONS DU PROBLÈME

A - LES EQUATIONS DE LA STATIQUE

Envisageons l'équilibre d'une tranche d'épaisseur dx (fig. 9).

- E+ dE 2

y (x)

o

2

x- dx 2

1. 1

....... 1 ....... -1 .......

1 --e)/I -1

: e+de l 1 2j 1 1 1 1

x

Fig. 9 - Equilibre d'une tranche

24

--

x

E + d E 2.

a- Par projection sur les axes de référence, on obtient

sur ox " 0

sur oy dT + 6'coso\ds - 1: sinO\ds " " h dl(

dE (J tg (lOt + 't 0 --+ " ( 1 a )

dl( soit

dT (( _ 't'tg()l. ih --+ " \ 1 b) dl(

ce qui peut s'écrire

( 2 Ci)

( 2 b)

b- Ecrivons l'équation des moments des forces appliquées à la tranche, par rapport au point [x, y(x)] (en supposant que la contrainte est appliquée au milieu de la tranche, ce qui devient exact si dx tend vers 0) .

Tdl( + dT.~+ Ede + dE.( Il: -1- d Il: - Y - ..!!L ) " 0 2 2

soi t:T dT cie dE dy

+ --+E --+ -_ «(I! -1- de - y- ::: 0 2 dl( dx 2

si dx tend vers 0 T 1'E ~-I- (e-y)~::: 0 cl X dx

(3 )

(moment d'une tranche)

Cette équation peut s'intégrer et donne (en supposant e(xo) = y(xo) )

Q(X):::Y(x}- (4 )

E Cx )

25

ce qui donne la ligne d'action e en fonction de T et E.

L'équation d'équilibre des moments de l'ensemble du talus (prise par rapport à l'origine des axes) est:

J '. [~ ( H Y t. d.) + T (y - ,t 9 '" ~ d, "

Xc

(5 )

ce qui ?eut s'écrire aussi, compte tenu des équations précédentes

(6 )

Il faut ajouter aux équations précédentes les équations aux limites suivantes (valables en l'absence de toutes forces extérieures, en particulier, sans nappe en pieds de talus)

E(x ) '" E(x j ) == 0 } 0 (7)

T(x ) '" T(xj

) ::: 0 0

Remargue l -

Les équations 3 (ou 4) et 6 (ou 5) ne sont pas indépendantes.

A partir de l'équation (4) on peut écrire que

e (Xj) :: y (Xj )

or { il faut donc avoir

(qui est l'équation 6), pour que le point d'application de la force reste à distance finie.

26

- ~ E + T

Il Y a donc équivalence entre les deux propositions suivantes

- la ligne d'action est partout à distance finie,

- le moment global du système des forces appliquées est nul.

Remarque 2-

L'équation (3) appliquée aux points

car

T(x ) o

e

+

+

E(x ) o

y pour { : = ::

x = x o

'" 0

== 0

et x "" xl donne

Les quatres relations aux limites (7) ne sont donc pas indépendantes et on peut se limiter à :

E(x ) o '" 0

B - LA RELATION DE COULOMB

Nous admettons la validité de la loi de Coulomb

T max Cl + tgq,' • a'

OÙ a' est une contrainte effective.

Avec la définition classique du coefficient de sécurité F

nous pouvons donc écrire :

T ,., c' - U . tgq,' F

+ ~ F

a , a contrainte totale (8)

T max T

c' et tgq,1 étant évidemment fonction de x dans le cas où le sol n'est pas homogène.

L'équation (8), compte tenu des équations (2) peut s'écrire, en posant

Abd ::: tg ot + tg f

F

B( x) 1 - tg c::(. tg f

:::

F

1 f A . ..!I.. -B.~ :::

C -I:g . U + Ayh dx dx F cos 2 d.

(9)

27

C - BILAN DES EQUATIONS

Compte tenu des considérations précédentes, il résulte que nous avons 5 fonctions inconnues

T(x) • E(x) , cr(x) , T(X) , e(x)

et 1 coefficient de sécurité inconnu F.

Nous disposons de 4 équations différentielles (2a). (2b), (3), (6), des conditions aux limites (7) et de la relation de Coulomb (9).

Ce système ne peut se résoudre sans une hypothèse complémentaire sur les fonctions inconnues. ainsi que cela sera montré plus loin.

Les diverses méthodes de calcul à la rupture présentées dans la litté­rature ne diffèrent essentiellement que par la nature de l'hypothèse complémen­taire. La difficulté principale réside dans le fait que cetie condition ne doit pas être incompatible avec les équations de la statique. Il est de plus souhai­table quelle soit réaliste.

Cette hypothèse peut porter soit une répartition des forces internes E et T • soit sur la position de la ligne d'action e, soit sur la contrainte normale cr. Il Y a donc au moins trois façons d'aborder la résolution des pro­blèmes de stabilité des pentes par un calcul à la rupture.

Rappelons que pour simplifier les écritures, nous avons posé

A(x) tga + tg~'/F

B(x) 1 - tga . tg~'/F

a - Hypothèse sur les forces internes Eet T

Les €quations à résoudre sont :

A . ...!!... - B . .!!L. • tg,' u ®

c - A.:rh ::: + ( 9 ) dx dx F. cos2 ot

® E (xo ) ::: E (x1 ) ::: 0 (7 )

(ce qui entraine

+ E. tg 01. ) dx ::: 0 ( 6 )

28

Bishop et Fellenius ont fait des hypothèses simplificatrices portant sur E et T. Mais, alors, les équations précédentes ne sont pas toutes vérifiées.

Morgenstern et Price ont proposé une relation linéaire entre T et E, du type :

T :::: À. • f(x) . E

Cette méthode sera développée plus loin.

b - Hypothèse sur la position de la ligne d'action e

Les équations à vérifier sont les suivantes :

1

A . .!L _ B.~::: Cl -tg~. U + AYh (SI )

d x d x F. co;' cl

ce qUl. entraine T (xo ) :: T (x 1 ) ( 7 )

T + E . ..!!. + ('(1; - y ). ::: 0 ( 3 ) dx dx

La méthode de Janbu consiste à se fixer la position de la ligne d'action e(x), aux environs du tiers central. On obtient alors un système différentiel en E et T (équations 3 et 9) dont la solution dépend du paramètre F que l'on ajuste de façon à vérifier les conditions aux limites (7).

Cette méthode sera développée plus loin.

C - HYPOTHESE SUR LA CONTRAINTE NORMALE cr

Les équations à résoudre sont :

J" _ )" 1 1

® A.tS. dx c - tg~. U

.dx :::

F Xo Xci

1" w+j" c' - ·tg~'. U ® B·er.dl< :: tg 0\ dà

F Xo Xo

(11 )

29

Cl + tg~:(6' -u ) ] F (y-xtg ct ) dx

Si on se donne une expression de 0" dépendant de deux paramètres À

et II , du type :

0" 0" (x, F, À , II ),

on obtient un système de 3 équations à 3 inconnues F,À ,ll •

Moyennant certaines conditions, le système admet une solution.

La méthode de Bell consiste à poser :

À • yh + II sin [" x - Xo

J 0"

X - Xo 1

-=-=~=-= ..... =-=-=-

30

DEUXIÈME PARTIE

FORCES INTERNES ET LIGNE D'ACTION

Dans cette deuxième partie, on trouvera l'analyse des méthodes de Morgenstern, Price et Janbu, ainsi que la présentation d'une nouvelle méthode dite de «la ligne d'action confondue avec la courbe de rupture»,

CHAPITRE 3

MÉTHODE DE MORGENSTERN ET PRICE

A - L'HYPOTHESE DE MORGENSTERN ET PRIeE

Morgenstern et Price ont développé une méthode de calcul de stabilité des pentes, en rupture non circulaire, et vérifiant les équations de la statique.

L'hypothèse proposée consiste à se donner une relation simple entre les forces E et T, ce qui peut se justifier de la façon suivante.

Envisageons un élément de sol à l'interface de deux tranches verticales de terrain (voir figure JO). Les contraintes agissant sur cet élément sont décrites dans la figure Il .

o x

Fig. 10 - Position d'un élément de l'interface.

32

1 ax

y

ay j Txy

f/w

l ..

J Txy

dTXY 1 Txy + ~y .dy 1 o a y +

1 TXy

...

d a' .......-_.~y'- • dy IY

+

a' x

Fig. 11 - Contraintes agissant sur un élément de l'interface.

a TXy dx ~ X

d a~ .dx + o x

On obtient E et T en intégrant cr et T le long de la ligne x xy

interface.

E f cr dy T fTxy dy (13)

x

En s'inspirant de la relation de Coulomb (qui n'est valable qu'à la rupture, il est vrai), il est naturel de se donner une loi linéaire entre cr et T ,donc aussi entre E et T. x xy

Morgenstern et Price ont donc posé

T À • f (x) . E (14)

où f(x) est une fonction donnée et À un paramètre dont la valeur est à cal­culer.

Compte tenu de (14). l'équation (9) peut s'écrire

[1 A .• (,)- al :: + A.,t. E " 1 .!.'

c - tg,!" U . ( 1 + y"1') + A.Y h F

( 1 5 )

E étant une fonction de x. À et F, le problème revient à déterminer les para­mètres À et F de façon à ce qu'il existe une solution de l'équation diffé­rentielle (15) vérifiant les conditions aux limites (7).

33

B - METHODE NUMERIQUE EMPLOYEE PAR MORGENSTERN ET PRIeE

Pour pouvoir résoudre l'équation différentielle Morgenstern et Priee ont fait l'hypothèse qu'ils pouvaient découper le segment (Xo • xI) en segments

[Xj_l • xj J tels que dans chaque segment, toutes les fonctions nécessaires

au problème soient linéaires, (fig. 12) à savoir:

- f (x) kx + m

- courbe de rupture linéaire de pente y'

- Àh = px + q (ce qui implique que les lignes intercouches sont droites entre

x. 1 etx.). r J

y

o

- K

- L

- N

- P

couche

--------couche 2

x j-1 x·

J x

J ( x )

f ( x )

ÎÎ h

0=

:=

""-

Fig. 12 - Tranche (xj_1' Xj) selon le découpage de Morgenstern et Priee.

si l'on pose alors

À k [t:~' + yJ

À [~ + yJ - 1 + yI . tg~1 m F F

P [t:~1 + yi U • (1 + y,2) t:~IJ

P

c' • (1 + y'2) [~ + yI _ U . (1 + yI 2) . t ~~ 1 J + q F F q

34

(l'x+B

k )< t" m

px + q

l'équation (15) s'écrit

d dx [(Kx + L) N x + P

où K, L, N, P sont constants sur (x. l' x. ) , (ceci suppose que les caracté-r J ristiques du terrain sont fixes dans l'intervalle (x. l' x.) ) . r J

et F

On peut alors calculer E(x) pour

E(x) Ej + Kx + L [+ x appartenant

2 N . x +

à (x. l' r x. ) J

Le problème se ramène à résoudre les deux équations implicites en À

E (xl ' À • F) :: E (À, F) n

o

. E +À f E] dx o

Pour ce faire, Morgenstern et Price ont utilisé une méthode d'itéra­tion à deux variables du premier ordre (du type Newton-Raphson).

Partant d'un couple de valeurs

E (À + oÀ, F + oF) n 0 a

et

M (À + oÀ, F + oF) n 0 0

E (À oÀ F + oF) E + , n a 0 n

M (À oÀ F + oF) M + , n a 0 n

La candi tian: E 0 , M n n

aE E ( À • F ) oÀ n

+ aÀ n o 0

aM M ( À , F ) oÀ n

+ n 0 0 aÀ

35

(À , F ) on calcule au premier ordre o 0

aE ( À • F ) + oÀ

n oF . + . o 0 aÀ

dM ( À , F ) + oÀ n oF . + . o 0 dÀ

entraîne

aE oF n

0 + aF

aM oF n

0 + == aF

dE n

aF

aM n

aF

Ce système permet de calculer oÀ et oF ainsi que deux nouvelles valeurs de À et F :

ÀI "" À + oÀ FI F + oF. 0 0

Et ainsi de suite jusqu'à ce que oÀ et oF soient inférieurs à la précision fixée.

Morgenstern et Price ont montré alors que si l'on n'effectue pas un certain nombre de contrôles sur oÀ et oF, le schéma ne converge pas dans la plupart des cas.

Ces contrôles sont les suivants

1°) - il faut éviter que (Kx + L) ne s'annule dans l'intervalle (x. 1 • x.) • J- ]

car sinon E devient infini. ce qui est physiquement inacceptable.

Ceci délimite un domaine dans le plan (À • F) où (L + Kx) ne s'annule pas. (Nous retrouverons ce problème dans le méthode exposée au paragr?phe C).

Quand on étudie ( L + Kx) en fonction de À et F, on voit que. à À fixé , F doit rester entre 2 valeurs F

min et F qui sont

F min Sup r

F ::: Inf { max

max

~' -H tgiP' .1 Hy' 0 } pour + > 1 + Hy" •

y' - >cf • tgiP' • pour 1 + Àfy' < 0 }

1 + Hy'

2°) - une restriction s'applique à l'amplitude des pas oÀ et oF.

3°) Morgenstern et Price ment d'égaliser les ordres

ont introduit enfin un troisième contrôle qui per­de grandeur des variations de E et M, pour

n n éviter que le schéma ne converge très rapidement vers E ::: 0 alors que M

n' n resterait élevé.

Ils ont introduit pour cela une forme quadratique

2 2 if> ( À. F) = E + c . M

n n

avec 2

Id E

n c Z

Id M n

36

oÀ et oF doivent alors tendre à mInImIser ~ soit

oÀ • + élF o

Morgenstern et Price ont conclu de leur travaux qu'avec ces 3 contrôles sur À et F, dans 80 % des cas, le processus converge en moins de 10 itérations.

Dans le cas contraire, ils partent d'une valeur de À fixée et font converger F jusqu'à ce que:M = 0 par une méthode de Newton-Raphson.

n

En conclusion, la méthode de Morgenstern et Price a le mérite de vérifier les équations de la statique, mais le schéma numérique utilisé nous a paru relativement compliqué et nécessite de nombreux contrôles de conver­gence.

Nous avons donc cherché, en partant des mêmes hypothèses, à construire une méthode numérique différente, plus simple du point de vue applications sur ordinateur, et qui nécessite, si possible, moins de contrôles sur les variables pendant le cours du calcul. Pour ceci, nous avons séparé les diffi­cultés numériques, puis compte tenu des observations faites sur la fonction E (x, À , F), nous avons essayé de bâtir un schéma numérique qui tienne compte des propriétés de cette fonction.

Il n'en reste pas moins que ces résultats sont fondés sur une étude plus expérimentale que théorique, car il ne nous a pas été possible de démon­trer les propriétés constatées sur la fonction E,et ceci même dans les confi­gurations de pentes les plus simples.

C - METHODE NUMERIQUE PROPOSEE

Les difficultés numériques de résolution des équations

E (x , À , F) n

M (À, F) 0 n

E (À, F) = 0 n

sont principalement de deux natures :

a - Définition de E pour toute valeur de la variable x; c'est le problème de la stabilité du schéma d'intégration de l'équation différentielle.

b - Propriétés de la fonction E (À, F) fonction de deux variables. n

Ces propriétés interviennent dans le choix des schémas numériques de résolu­tion du système.

Nous étudierons successivement ces deux aspects des problèmes que nous avons rencontrés.

37

1 - Stabilité du schéma d'intégration de l'équation différentielle

L'équation différentielle (15) peut s'écrire:

AI (x, À, F) . E' + BI (x. À, F) • E '" CI ( x, À, F) (16)

où les coefficients AI' BI' Cl dépendent de la géométrie du talus, de la

courbe de rupture et des caractéristiques du sol.

si on pose comme Morgenstern et Priee :T::::: Àf (x) . E,on obtient

Al (x) - 1 + ' ~ y . F + À f [yi + t~~IJ

BI (x) :::: Àf 1 .• [Y' + t~~'J

Cl (x) =. [1 + y,2 ] • [c' _ U ; tg~'] + yh . [ y' t~~' ] + F

L'équation (16) permet de calculer les valeurs de la fonction E (x, À, F), à À et F fixés, à condition que le coefficient Al ne s'annule pas sur (xo • XI)'

L'étude générale de la nous plaçons dans le cas d'un une fonction f(x) constante

fonction Al (x. À, F) étant trop complexe, nous talus homogène (c'. tg~') et nous choisiRsons f(x)::::: f > 0 .

On obtient alors :

Al (x, A. F) == - 1 + y' t~ ~' + Àf . [yi + t~cp' J F F

et d AI

y" [A f + t~~1 ] dx F

Compte tenu des orientations choisies, nous nous limitons à Àpositif, donc Àf est positif, de même que y", car la courbe de rupture tourne sa conca­vité vers les y positifs.

d Al Il s'ensuit que dx est positif sur (xo ' Xl) • Al est donc une

fonction croissante de x, et ceCl pour toute valeur de À et F.

vaut

Lorsque y' s'annule, donc au point bas de la courbe de rupture, AJ

- 1 + A • f tg~1

F

Dans ce binôme le terme - est prépondérant, comme l'on fait remar-quer Morgenstern et Price ; nous l'avons d'ailleurs vérifié sur les exemples traités.

38

Donc, si l'on veut que Al ne s'annule pas sur (~o ',Xl)' il faut que sa valeur maximale, donc sa valeur pour XI' soit negatlve.

On arrive alnSl à la condition

tQ:ip' -l+y'(x j )'F + + o

ce qui délimite dans le quart de plan (A > O,F > 0) un domaine dans lequel la fonction Al (x, A , F) garde un signe constant.

L'égalité correspond à l'équation d'une hyperbole dans le plan ( A.F). Les asymptotes sont données par :

A -- +

A-=';;:' F - 00 fy'(x1

)

Sur la figure 13, le point de coordonnées (A .F) doit se trouver dans la zone hachurée.

F

o 1 1 1

1 1 ~ -- - -!-~- --1-----. 1 !

Fig. 13 - Domaine de convergence de l'équation 16.

39

.,.1 '" ::f)

F~-~_' y'(xi)

Dans le cas général, nous avons constaté pratiquement l'existence d'un domaine du plan (À , F) dans lequel Al garde un signe constant. Le

domaine à l'allure de celui qui est donné dans la figure 14.

Si tgw' = O. Al ::: - 1 + Àf . y' • Al est donc indépendant de F. Compte

tenu de l'ordre de grandeur de Àf, en général très inférieur à A et de y'(xj).

il n'y a pas non plus dans ce cas de problème de convergence.

Dans tous les cas que nous avons étudiés, les valeurs de À et F utilisées dans la suite du calcul se sont très bien trouvées à l'intérieur du domaine de convergence.

F

o À

Fig. 14 - Allure du domaine de convergence de l'équation 16 (cas général).

2 - Schémas numériques de résolution du système ::: 0

Une fois résolue l'équation différentielle (16), on connait à À et F fixés, les valeurs de la fonction E (x,À • F) et on est donc en mesure de calculer

Pour trouver À et F qui annulent E et M on transforme l'équation n n

MOde la façon suivante : n

40

ce qui peut s'écrire

Il faut donc résoudre le

E (À. F) a n

À "" H ( À , F)

système

}

)

XI

f (x). E • dx

Xo

L'étude théorique de ce système ne semblant pas possible (les calculs analytiques deviennent rapidement inextricables), nous nous sommes contentés d'étudier numériquement sur divers exemples les propriétés de E et H. Il

n en ressort que E est une fonction croissante de À et F. De plus, à À fixé,

n s~ F n'a pas rigoureusement la valeur qui annule E • E devient rapidement

n n grand, alors que les variations de H en fonction de À et F sont faibles.

Ces propriétés nous conduisent à proposer le schéma de calcul suivant on fixe À et on recherche la valeur de F qui annule E (À. F) ; on défini

n ainsi une fonction de F(À). Il ne reste plus alors qu'à résoudre l'équation implici te

À "" H (À , F (À ) )

Pour déterminer la fonction F (À). compte tenu de la forme du domaine de convergence de la solution de l'équation (16), on encadre la racine par deux valeurs F et FI telle que: E (À, F ).E (À, FI) < O. o non

A partir de Fo et Fl~ on construit par interpolation linéaire une suite de

segments emboités qui converge vers la racine.

Comme la dérivée de la fonction H (À, F (À» est en général très inférieure à l, un schéma d'itération du type

À "" H (À n+l n

F

converge rapidement. Dans tous les exemples traités, la solution a été obtenue à 0,001 près en au plus 4 itérations. Au cas éventuel où il n'y aurait pas convergence, on conseille de modifier la fonction f (x).

D - CONCLUSION

Nous venons de constater que la méthode Morgenstern et Price pose de nombreux problèmes d'analyse numérique. Néanmoins, ces difficultés ne doivent pas faire oublier les autres problèmes qui peuvent se poser :

41

Nous en relèverons principalement trois

- Difficulté de toute étude théorique.

- Dépendance de F en fonction du choix de f (x)

- Dépendance de F en fonction du nombre de tranches dans le découpage numé­n.que

Nous avons vu au cours de cette étude que pour calculer F, il nous fallait résoudre une équation implicite à deux variables E (À, F) = O.

n

Pour pouvoir démontrer l'existence de l'unicité de la solution, il faut connaître les propriétés de cette fonction de deux variables ; or, E est intégrale d'une équation différentielle, dont les coefficients ne sont pas simples. Il est très probable, néanmoins, que la solution F est unique, car sur tous les exemples étudiés, nous avons constaté que E était une fonction monotone de À et F et que H était aussi une fonction monotone de À •

Nous avons traité de nombreux exemples de talus, en essayant diverses possibilités pour la fonction f(x).

Le premier exemple traité a été un talus en rupture circulaire, dont Morgenstern et Price avaient donné les résultats dans leur étude (12).

Ce talus est décrit dans la figure 15.

&'=1 TI m2

)f =21 1m3

tg (j)' = 0.364

Fig. 15 - Cercle étudié par Morgenstern et Priee.

42

Les calculs ont été effectués avec trois types de fonction f différents, qui sont représentés sur la figure 16.

f (X)

3

2

1

___ 18 hypothèse

___ =_=_ =_ 28 hypothèse ____ 3e hypothëse

--'-. , -.......

1. OL---~----------------------------~X-1------~

xo

Fig, 16 - Différentes hypothèses sur la fonction F (xl.

Les valeurs de F et de À correspondantes sont indiquées dans le tableau ci-dessous

Bishop Hypothèse Hypothèse 2 Hypothèse

M et P 1,960 2,045 2,136 2,134

F 2,037 2,040 2,044

0,256 0,209 0,393 À

0,313 0, 169 0,324

Tableau comparatif des résultats

43

3

Nous voyons sur ce tableau que F dépend très peu du choix de f(x), mais

par contre À est plus sensible (cela vient du fait que ~~ est très faible,

une faible variation de H entraîne une forte variation deÀ ). Nous avons pu observer la même propriété sur tous les exemples traités.

Une relations entre T et E s'est révélée particulièrement intéressante pour deux raisons : cette relation est la suivante :

T :::: À (c' . h ( x) + t g<fJ ' E)

La fonction f vaut alors tg<fJ'. Cette fonction ne pose pas de problèmes de convergence pour le schéma décrit plus haut ; dans tous les cas où elle a été utilisée, le calcul a convergé rapidement.

De plus, dans le cas d'un terrain homogène, le coefficient À vaut

À T

c' . h + tg<!>' ~ E

où T est la résultante de l'effort tranchant le long de la ligne inter tranche et c' • h(x) + tg<fJ' • E est la valeur de l'effort tranchant maximal mobili­sa~le le long de cette ligne, valeur obtenue en intégrant la relation de Coulomb le long de la ligne intertranche.

Donc, si À est inférieur à l, on est sûr que toutes les tranches ne seront pas en glissement l'umpar rapport à l'autre.

Autrement dit, -r- représente la valeur du coefficient de sécurité de chaque tranche vis-à- vis du glissement par rapport à la tranche voisine.

Il n'en reste pas moins que l'incertitude sur le choix de la fonction f reste un problème important inhérent au type même de l'hypothèse faite par Morgenstern et Priee. Il est heureux que le coefficient de sécurité F ne semble dépendre que fort peu de ce choix.

Le calcul des intégrales et la résolution numérique de l'équation (16) reposent sur un découpage de l'intervalle (x ,xl) en une suite d~inter­valles (x. )' x.). On introduit donc une err~ur à chaque calcul d'intégrale,

J- J lorsqu'on utilise la méthode des trapèzes.

Or, il apparaît à la lumière de tests que nous avons effectués, qu'il faut un nombre relativement gran.d de tranche donc une largeur (x. , x. 1)

J r relativement petite pour que F se stabilise.

Ainsi, pour un talus bicouche en rupture circulaire, calculé par la méthode que nous venons de décrire, nous avons obtenu les résultats suivants pour 20 tranches, F valait O. 609 et cette valeur est montée à 0.640 pour 50 tranches, soit 5 % d'écart.

44

Cette différence provient, non seulement du découpage en tranches, donc de l'erreur systèmatique faite sur les intégrales, mais aussi en partie, de l'erreur faite au passage d'une couche de terrain, à une couche différente.

Il faut donc prendre un nombre de tranches assez élevé surtout en terrain hétérogène, pour être sûr de la valeur de F. Il semble qu'aux environs de 50 tranches la valeur de F se stabilise.

45

CHAPITRE 4

MÉTHODE DE JANBU ET MÉTHODES DÉRIVÉES

A - METHODE DE JANBU

- Hypothèses

La méthode de Janbu (10) est une méthode des tranches qUl a pour objec­tif de vérifier l'ensemble des équations de la statique.

Cette méthode comporte les hypothèses suivantes :

a - Les efforts normaux et tangentiels sur la base d'une tranche sont appliqués au milieu de la base de cette tranche.

b ~ Les efforts transmis par une tranche à la suivante sont réductibles à Un vecteur unique dont le point d'application est situé sensiblement au tiers inférieur de la tranche.

c - Une hypothèse supplémentaire sera précisée lors de la résolution théorique.

Comme il s'agit d'une méthode de "tranches", elle ne s'adapte pas par­faitement aux équations différentielles de la première partie. Ces équations ont donc été rétablies dans les lignes qui suivent.

2 - Résolution théorique

Les conventions de signe sont rappelées dans le figure 17.

-E

1 T+dT

E + dE

Fig. 17 - Schéma d'une tranche.

46

Rappelons les équations d'équilibre d'une tranche

Projection de la résultante sur les axes :

dE = - T. ds . cosa 0. ds . s1na

dT dW T. ds sina 0. ds cosa

Equation de moment

o := T + de dx E +

dE dx

(e - y)

( 17)

(18)

(3)

L'hypothèse supplémentaire signalée en c) consiste à négliger le terme :

dE dx

o =

(e - y) dans l'équation de moment qU1 devient

T + de dx E (I9)

La résolution du système des équations (17) , (18) , (19) • conduit, compte tenu des hypothèses (a), (b), (c), à la formule générale suivante:

dT ""dX

L c' + (p - t - U) t~<P ' dx

F (20) L - (p - t) tga. dx

(1 - tg a . tg<P' IF)

p. dx représente le poids des terrains, éventuellement déjaugés, de la

tranche d'épaisseur dx (fig. 18).

47

extérieure

Fig. 18 - Calcul du poids déjaugé d'une tranche.

La méthode théorique ne permet pas de dépasser le stade de cette équation implicite en F.

3 - Méthode numérique de résolution

Pour résoudre l'équation (20) implicite en F, la méthode de Janbu pro­cède par approximations successives. Cette approximationse fait en trois étapes

Première étape. on suppose: t = 0 et na = J en tout point.

ce qu~ permet de calculer une coefficient primitif FPO

l (c' + (p - U) • tgw') dx FPO

l - p tga dx

Deuxième étape, on recalcule n (FPO) (valeur de n pour FPO) , en a a supposant toujours t O. Ceci conduit à un coefficient de sécurité F 0

FO

Cl + (p - U) • tg no: (FPO) dx

l - p • tga • dx

Troisième étape, au moyen de FO. on calcule toutes les forces inter­tranches puis on recalcule un coefficient FI par la formule:

FI

l Cl + (p - t - U) • tgw l dx na (FO)

l - (p - t) . tga . dx

48

Par le même processus, on passe de FI à F2, puis on itère pour passer de FN au coefficient suivant. On continue jusqu'à obtenir une stabilité du coefficient.

4 - Conclusion

Etude des résultats -~----~------------

Dans la plupart des cas. nous avons pu constater que la convergence des FN vers une valeur stable est très rapide. Il n'est pas nécessaire de dépasser F3.

Problèmes rencontrés

a) - Cas de divergence

Au cours des essais, nous avons rencontré un exemple où la méthode divergeait: il s'agit d'un talus théorique (fig. 19) et la méthode a été appliquée à une courbe de rupture circulaire.

y

Fig. 19

Cas de divergence de la méthode.

On peut s'interroger sur les raisons de cette divergence. Ceci vient du fait que pour les méthodes itératives de ce type, on n'est sûr de la convergence que si on part d'un voisinage de la solution et si l'application F(N) ~ F(N + 1) est contractante.

49

b) - Problèmes théoriques

L'hypothèse (c) de la méthode de Janbu est trop restrictive. dE si on annule le terme dx . (e - y) on ne peut se placer que dans l~deux cas

suivants :

Premier cas : dE dX 0, ce qui implique E(x) = constante.

Or, les efforts étant nuls au deux extrémités, nous avons donc E(x) O. En utilisant l'équation (19), il vient:

T(x) a

On retrouve ainsi les hypothèses de la méthode de Fellenius.

Deuxième cas (e - y)

( 19) devient T + y' E ::::: O. d'action est confondue avec la

0, ce qui . l' de lmp lque dx

On retrouve dans ce cas la ligne de rupture, que nous

~ dx

et l'équation

méthode où la ligne étudierons plus loin.

c'est donc sur ces points que nous avons porté notre attention pour définir la méthode modifiée.

B - METHODES DERIVEES

Notre souci principal fut de respecter l'ensemble des équations de la statique et en particulier l'équation de moment.

1 - Méthode à ligne de passage fixe

Nous reprendrons les hypothèses (a), (b) de la méthode de Janbu. Nous ajouterons la donnée de la fonction e (x) pour tout x (xo Xl)'

Résultats ---_ ..... _-- .....

Nous avons conservé le même algorithme de résolution que celui de la méthode de Janbu en ne modifiant que la relation entre T et E : nous avons

pris la relation: T + de dx

tion exacte de moment.

E + dE dx

. (e - y) = a ,qui représente l'équa-

Tous les points de passage sont ainsi fixés dès le début< La convergence de la méthode itérative reste rapide, quand elle existe, mais on a pu constater qu'une partie de l'hypothèse n'est plus verifiée : on a supposé E(x ) = a

o T(x

o) = 0, la méthode conduit à E(x

l) = a mais on constate que T(x) est

toujours différent de a même au terme de l'itération.

50

Nous avons tenté d'expliquer cette anomalie en faisant le décompte du nombre des équations et de celui des inconnues (fig. 20)

Considérons un découpage en n tranches. Dans une tranche les incon­nues sont: E, T, N, S, e ; pour l'ensemble, il faut ajouter le coefficient de sécurité F. Les inconnues sont donc

F ~nconnue ) )

El , E2' e '" 0 !li (1 fi .. ,E n' E n+l n+l ~nconnues )

)

TI • T2 , e '" (1" (1 G '" oT n' T n+1 n+1 ~nconnues )

)

SI S2' o 0 fi '" fi 0 (1 Il S inconnues ) 5 n + 2 inconnues , n n )

NI , N2

, (1 (1 0 (1 fi"" eN n inconnues ) n

)

el , e2

, !li 8 0 0" • Il 0 8 e n-J n-J inconnues )

Fig. 20 - Forces internes au talus.

51

Ces lnconnues sont liées par les relations

T n+1

o

fournies par la donnée de la ligne de passage

3 équations de la statique

équation déduite du critère de Coulomb

( ) (

pour chaque tranche

Soit au total 5 n + 3 relations. Il y a donc une relation de trop ce qui explique que l'on ne puisse pas fixer dans ce cas T '1 = 0 les autres relations

n+ étant par ailleurs vérifiées. Nous avons ainsi été conduits à introduire un paramètre supplémentaire.

2 - Méthode à ligne de passage variable

La première façon d'introduire un paramètre supplémentaire consiste à libérer un des points de la ligne de passage et à l'ajuster de telle sorte que la conditionT(x

j) = 0 soit vérifiée. Cette solution n'est pas satisfaisante

car le point trouvé est totalement incompatible avec la géométrie du talus et de la ligne de passage.

Nous définissons la ligne de passage par la relation e(x) = y(x) + f(x). (z(x) - y(x)) où f(x) est une fonction arbitraire. Cette représentation permet d'avoir:

e(x ) :::: y(x) z(x) 000

L'idée de la méthode est de remplaçer f(x) par H{x) où À est un para­mètre. Ce paramètre nous permet alors d'obtenir en plus T(x)) = O. Nous avons ainsi résolu l'un des problèmes que nous avions soulevés à la suite de la méthode de Janbu.

Il ne restait alors à résoudre que le problème de convergence. Devant l'échec de la méthode itérative, nous avons opté pour une méthode de descente. Le principe en est le suivant :

On choisit une fonction f(x) et une valeur de À à partir de ces données, on recherche la valeur de F annulant E(x\). On fait alors un accrOlS-

52

sement dÀ et on étudie la variation de T(x 1) lors de cet accroissement. Trois cas sont possibles :

- T(x1

) change de signe on procède alors par interpolation

1 T(x1

) 1 croît et T(x1

) ne change pas de signe on change alors le

signe de dÀ et on itère.

1 T(x1

) 1 décroît et T(x1

) ne change pas de signe. On pose alors

ÀJ = À + dÀ et on itère le processus à partir de À) avec le même

dÀ

La solution ainsi trouvée satisfait à toutes les équations de la statique.

Résultats -------_._..,..

Les cas où l'algorithme précédent divergeait, ont pu être traités avec succès par cette méthode qui présente cependant deux inconvénients

- la méthode est lente car elle nécessite une double itération,

- pour certaines fonctions f(x), il n'existe pas de solutions en F.

Il nous a été impossible de démontrer théoriquement l'existence et l'unicité de F pour une fonction f(x) donnée. Cependant, dans tous les cas numériquement traités, nous avons trouvé une valeur unique.

Les valeurs ainsi trouvées sont voisines de celles que fournissent les autres méthodes comme on peut le constater dans le chapitre 8.

Nous avons testé l'influence de différentes formes de ligne de passage sur le coefficient de sécurité. Les résultats consignés dans le tableau ci­dessous se rapportant respectivement aux fonctions f(x) de la figure 22 montrent que, lorsque la solution existe, elle dépend assez peu de la ligne de passage choisie.

- fO(x) est une constante sur l'intervalle (xO ' xI)

Fonction fO(x) Fonction fi (x) Fonction f 2 (x)

r------------------r-------------------~-----------------F '" 2.030 F = 2.029 F. 2031

Valeurs de F pour différentes lignes de passage (voir figures 21 et 22)

53

Des essais ont été réalisés afin de déterminer l'influence du nombre de tranches sur la valeur de F. Les résultats représentés dans le tableau ci-dessous montrent que le coefficient de sécurité est sensible au nombre de tranches quand ce nombre est faible et qu'il se stabilise au-delà de 50 tranches.

N 10 25 30 50 --- ..... _-------- ..... ----_ .......... - !-------- ~~_ ..... _~-

F 0.736 0.644 0.630 0.626

Variation de F en fonction du nombre de tranches

c) Les forces inter tranches

Si la fonction E(x) est peu sensible aux différents facteurs pré­cédemment cités, il n'en est pas de même de la fonction T(x) pour laquelle on constate une oscillation (figures 21 et 22). On remarque que cette oscillation se produit essentiellement lorsque T est petit devant E. Nous proposons une @

explication intuitive de ce phénomène (exemple 2, chapitre 8).

Considérons la tranche (fig. 23) : comme le point A situé au milieu de la tranche 1 est un point de moment nul NI ' SJ ' W] , nous en déduisons

que RI passe par A.

y

10m X

Fig. 21 - Talus étudié pour deux fonctions fI et f2 (voir Fig. 22).

54

5

°1 1

1

1

1 1

1

1 1

1

1

Tonnes/métre linèaire

01

xC) 0

1

1

1

1 1

Tonnes / mètre linéaire

5

o

x

1 F2 =2,031 1

1

1

1 1 FI =2,029

IX1

1

1

1

1

1

1

fonction Ei)<!' / 1

1

1 1

1

1 1

x

Fig. 22 - Répartitions de E et T pour les fonctions fI et f 2 (talus de la Fig. 21).

55

Fig. 23 - Analyse des forces en haut de talus .

. R) a donc un moment négatif par rapport à B, situé au milieu de la tranche 2 qU1 est lui-même un point de moment nul N2 , 82 , W2 • Il faut

donc que R2 ait un moment positif par rapport à B. Or, nous supposons que E

est resté positif ce qui nous conduit soit à changer le signe de T, soit à le faire varier assez fortement car, nous le rappelons, il était dans ce cas petit par rapport à E.

En poussant plus avant cette prem1ere explication intuitive, il a été facile de trouver une ligne de passage particulière qui permettait de stabi­liser la fonction T. En effet, pour que les équations des moments soient toutes satisfaisantes, il suffit que, si une action Ri passe par le point de moment nul de la tranche (i - 1), elle passe aussi par le point de moment nul de la tranche i (fig. 24).

On obtient donc par ce moyen tous les points de passage des forces et par conséquent la ligne de passage.

Ce système a été effectivement essayé et programmé et on a pu constater la stabilité de la fonction T(x). On peut se demander pourquoi, dans ce cas, on peut délibéremment bloquer la ligne de passage. c'est-à-dire se priver du paramètre À. tout en vérifiant l'ensemble des équations de la statique. La remarque de base qui explique ceci est : si les actions R. et R. . sur la 1 1+1 tranche i passent par le point de moment nul par rapport à N. , 8 .• W. , 111 alors l'équation d'équilibre de moment de la tranche 1 est automatiquement vérifiée.

56

c Fig. 24 - Ligne de passage permettant la stabilisation de T(x).

Un rapide bilan des inconnues et des équations prouve alors que le paramètre À est inutile. Pour faire ce bilan, remarquons qu'un vecteur dont la direction est donnée n'est plus équivalent qu'à une seule inconnue scalaire (fig. 25).

Fig. 25 - Schéma des inconnues dans le cas de la ligne de passage de la figure 24.

57

Les lnconnues sont :

E2

, E3' & é fi é e " 0 (1 " , E Cn - } ) lnconnues n

N} , N2

, li 0 • 0 li & 0' • iii , N n inconnues n

. S} , S2' Il 0 •• Il " • e 01 , S n lnconnues n

. F inconnue

Pour chaque tranche il reste seulement

- 2 équations de projections

- 1 équation déduite du critère de Coulomb

( ) (

Soit au total 3.n relations pour 3.n lnconnues.

( )

C )

3 n lnconnues ( ) (

3 relations

si on passe à la limite en faisant tendre le nombre de tranches vers l'infini, on peut remarquer que cette méthode tend vers la méthode où la ligne de passage est confondue avec la ligne de rupture (voir chapitre 5).

Dans la plupart des cas, la ligne de passage déterminée comme solution des équations, s'est située dans le tiers inférieur du talus et souvent proche de la ligne de rupture. Cependant, pour certains talus, la ligne de passage est située à l'extérieur du talus:ceci n'est pas particulièrement gênant car nous avons admis que le torseur des efforts sur une verticale était réductible à une force unique ce qui excluait la présence d'un moment.

Conclusion

Cette méthode de la ligne de passage a donc apporté une plus grande rigueur dans la résolution des équations de stabilité du talus. Mais ceci est obtenu au prix d'un calcul relativement long et l'usage d'un ordinateur est absolument nécessaire.

58

CHAPITRE 5

UNE SOLUTION ANALYTIQUE SIMPLE DU PROBLEME DANS LE CAS

OÙ LA LIGNE D'ACTION EST CONFONDUE AVEC LA COURBE DE RUPTURE

A - INTRODUCTION

Les calculs de divers talus, par les méthodes de Janbu et de Morgenstern et Priee, ont montré qu'en général la ligne d'action est proche de la courbe de rupture, et, dans l'ensemble, nettement plus basse que le tiers central.

On sait qu'en cas de rupture, seule une zone de sol sur la ligne de rupture est en équilibre limite, le reste du talus étant en équilibre surabon­dant. Il n'est pas déraisonnable d'admettre que c'est dans cette zone que le sol va mobiliser les contraintes les plus fortes.

Si nous traçons la courbe donnant la contrainte a normale à une verti­cale, notre hypothèse consiste à admettre que la réparti~ion de a présente un pic au voisinage de la courbe de rupture (fig. 26). n

Résultante E

l e(x)-y{x)

Fig. 26 - Hypothèse sur la répartition de OTj.

59

E est la résultante des contraintes cr • Son point d'application, d'ordonnée e(x), sera d'autant plus proche d~ y(x) que le pic des cr sera

n plus accentué.

Nous admettons donc, comme hypothèse simplificatrice, qu'il y a accumulation de contrainte au niveau de la ligne de rupture, et donc que

la ligne d'action de la force E + f est confondue avec la ligne de rupture. Cela se traduit par la relation:

e(x) y(x)

Nous verrons plus loin que cette hypothèse permet de pousser les calculs analytiques pratiquement jusqu'à la résolution complète des équations. On remarque que cette méthode peut être considérée comme un cas particulier de la méthode de Morgenstern et Price et de celle dérivée de la méthode de Janbu.

B - DEVELOPPEMENT ANALYTIQUE

Nous avons à résoudre les équations (4), (7) et (9) compte tenu de l'hypothèse

e(x) :::: y(x)

L'équation (4) devient

T + E ~ dx "" 0

ce qui entraîne par dérivation par rapport à x:

dT dx +

dE dx

dy dx + E

L'équation (9) peut donc s'écrire, compte tenu de

dE dx + 2 Ay" . cos Cl'. . E +

c' - tgcp' U ____ ~_L-__ • __ + Ayh F

o

tgCl'. "" È.L.. dx

2 cos Cl'. o (21)

Pour vérifier les conditions (7), nous devons trouver F tel que la solution de l'équation (21) vérifiant

vérifie aussi

E(x ) "" 0 o

60

Pour cela, nous allons transformer l'équation (21) en tenant compte des relations suivantes

dx cosa. ds

ds "" R da (R "" rayon de courbure)

3 1 == y" . cos a R

L'équation (21) s'écrit donc

dE ds

A.E + --R

+ cosa ( c' - t~~' . U + A yh cos 2a ) "" 0

Si nous posons Z

nous avons

E cos a . Z

T - sin a.

ce qui entraîne

z2 "" E2 +

1 zi est donc le module de

Z vérifie l'équation (23) :

Z

T2

la

E cosa

force -+ E

dZ ds + ~ Z

R +

c' - tg~ 1 • U F F

dont la solution telle que : Z (0) ""

-+ + T.

+ Ayh .

0 est

2 cos a o

Ol •

(22)

(23)

d-

-j~d~ s 1 ~d~ , eto F

-01" [ e' - tg ljI • U A.Yh.CO;(O!)] !t Z (s) ::: - e + ds (24)

F

Pour aV01.r Z(S) = 0, F doit vérifier l'équation (25)

• 1

C - tg ~ • U :: 0

F (25)

61

On démontre aisément que, dans le cas d'un terrain homogène, cette équation en F admet une solution unique positive. La résolution numérique ne pose pas de problèmes particuliers.

Si nous supposons connue la valeur de F qui vérifie (25). la fonction 2(s) est entièrement déterminée.

Calcul de E

E ( s) 2 ( s ) • co sa.

T ( s) - 2 ( s ) . s i na.

Calcul de C5

On sait que dE dx

+A.C5+ c' - tg4>' • U

F

ce qui entraîne

dE ds + (A. C5

+ c' - tg4> 1 • U ) F

cos (a. )

Compte tenu de (22), nous pouvons écrire

C5 yh

soit

C5 yh

Remarque yh .

C - APPLICATIONS

2 cos a +

2 cos a +

E (s) R • cosa

Z(s) R

2 cos a est la contrainte de Fellenius.

Etudions deux cas particuliers classiques :

tg<I>' "" 0

L'équation (25) devient explicite en F

1

C . S F ::

62

o

o

Nous retrouvons ainsi une formule connue dans le cas de la rupture circulaire :

moment moteur

moment résistant

et F

Xl J R. sina. yh . dx X

o

c' . S • R

moment résistant

moment moteur

La ligne de rupture est plane donc

ce qui entraîne

a = yh • 2 cos a

R

Pour l'équation (25) soit vérifiée, il faut avoir

c' F

+ A . yh • 2 cos a '" 0

o

ce qui peut s'écrire, en appelant L l'angle que fait le terrain avec l'hori­zontale :

Cl

F '" ~----~~~------~~ yh • sin (i) . cos (i) + ~ tg(i)

ce qUL est la formule classique du glissement plan.

D - CONCLUSION

Les résultats fournis par cette méthode seront comparés dans un chapitre suivant à ceux fournis par d'autres méthodes. La concordance des coefficients de sécurité est en général très bonne.

Le plus grand intérêt de cette méthode est de donner des répartitions de a, E ,et T très régulières, et en général, mécaniquement acceptables. Les calculs numériques sont aussi simples que ceux de la méthode de Bishop.

63

TROISIÈME PARTIE

eTUDE DE LA CONTRAINTE NORMALE cr ET RECHERCHE DE SA REPR SENTATION ANALYTIQUE

Les méthodes de Bishop et Fellenius donnent des expressions simples de la contrainte normale a. Mais la contrainte déduite de la méthode de Bishop simplifiée présente l'inconvénient de pouvoir devenir localement infinie, en traction ou en compression, et de ne pas vérifier les équations de la statique. La contrainte de Fellenius conduit à des coefficients de sécurité jugés en général trop faibles. La méthode du chapitre 5 donne une expression simple de a en fonction de la contrainte de Fellenius. L'objet de cette troisième partie est de généraliser ces résultats en cherchant la forme analytique la plus générale de la contrainte a. Nous avons pour ce faire élaboré deux méthodes nouvelles:

- une méthode dite de «perturbation)}, en partant des propriétés tensorielles du champ des contraintes,

- une méthode dite de «minimisation», en partant de la notion d'énergie potentielle de la courbe de rupture.

CHAPITRE 6

MÉTHODE DES PERTURBATIONS

A - ETUDE TENSORIELLE

- Forme analytique générale de a(x)

Nous nous proposons de déterminer la forme analytique de a en faisant appel aux propriétés tensorielles du champ des contraintes. Dans la base orthonormée xOy, la matrice représentative du tenseur des contraintes en un point a la forme générale suivante :

M '" (26)

où gl ' g2' g3 ' et g4 sont des fonctions du point considéré.

Le vecteur normal à la courbe de rupture est

La contrainte en ce point est

Les composantes de sont :

<P "" - g sina + g2 cosa x 1

Nous en déduisons la valeur de a(x)

-+ -+ <P "" M . n

a (x) "" - <P sina + ~ cosa x y

-+ n (- sina , cosa )

soit, en posant 2 aF

"" yh cos a (contrainte de Fellenius)

(x) [~ 2 g3 + g2 y' ~] (27) a "" aF

yi _ + yh yh yh

L'objet du paragraphe suivant est de préciser les relations de dépen-dance entre les paramètres gj , g2' g3 et g4·

66

2 - Etat de contrainte étudié par la méthode du pole

Si nous étudions la répartition des contraintes à l'aide de la méthode du pôle, nous obtenons le diagramme suivant (fig, 27) :

Fig. 27 - Méthode du Pôle.

Un calcul simple montre que 13 cp'

2

a

-+ -+ ce qui définit deux directions principales, de vecteurs directeurs VI et V2 ,

-+ -+ ) VI (cos 13 sin 13) V2 ( - sln 13 , cos 13

Exprimons -+ -+

matrice que VI et V2

sont des vecteurs propres de la M,

c'est-à-dire que -+ -+ -+ -+

MV I et MV 2 sont respectivement parallèles à VI et V2

,

Nous sommes conduits au système suivant

g2 "" g3

2 . 2 (g4 - g 1) sini3 g2 cos 13 - g , Sln 13 - ,

3 cos 13

ce qui peut encore s'écrire :

g2 = g3

} 1 (g4 - g 1) tg (213) g2 2

(28)

67

En tenant compte des relations (27) et (28), nous pouvons écrire

sina 8 1 • cos26 s1.n (a - 26 )

3 - Etude des problèmes soulevés

+ cos a

84 . cos2S • cos (a - 26 ) (29)

L'équation (29) pose quelques problèmes lorsque 6

cos2 6 '" 0

ïT --4-- , ce qui en-

traîne

Si nous voulons que 0 reste bornée dans ce cas, il faut avoir

sin a . cosa s1.na cosa o

La quantité sina . cosa ne peut pas être nulle car on aurait

Comme

ou ïT -4-

6 :::: a

a "" 0 ou

3ïT +-

4 2

ïT a=:- -2-

prendrait les valeurs

qui sont toutes deux différentes de ïT

4

3ïT

4 4> '

2

Il faut donc avoir gl "" g4 au point où 6 ïT

-4- c'est-à-dire au point

où 4>' ïT

a == -2- "'""2

Deux cas peuvent se présenter :

. d'ff~ d 4>' a est toujours 1. erent e --2-ïT

2 , ce qui est le cas le plus fréquent,

et il n'y a pas de condition spéciale à vérifier sur gl et g4 .

En certains points de la courbe de rupture on a

4>' ::::

2 ïT

2

et il faudra choisir gI et g4 égaux en ces points.

4 - Conclusion

Cette étude montre que o(x) s'exprime en fonction de a de 4>' (par l'intermédiaire de 6 ). et dépend linéairement de 1.nconnues gl et g4 qui ne peuvent être choisies indépendemment

68

(donc de yi), deux fonctions l'une de l'autre.

B - LA METHODE DES PERTURBATIONS

Le calcul des valeurs de o(x) par les méthodes précédemment décrites montre qu'en général 0 est de l'ordre de grandeur de oF' contrainte de

Fellenius.

Il est donc naturel d'étudier le rapport P ""

de perturbation, que l'on espère trouver voisin de 1.

P est le rapport

1 - Les paramètres

Ainsi que nous l'avons vu précédemment, ° dépend des quantités Cl • <!l' • h, y, y'.

° et T doivent vérifier les trois équations de la statique et la relation de Coulomb, l'une de ces relations sert à définir T en fonction de cr ,une autre sert à calculer F il nous reste donc deux relations indépendantes ce qui nous conduit à faire dépendre

P "" de deux paramètres À et jJ

En introduisant deux fonctions f) et f 2 ( qui jouent le rôle de gl et

g4 dans la relation (29)>. nous posons donc

f 1 et f 2 sont des fonctions construites à l'aide de h, h'. y', y", etc.

L'influence des termes en <!lI et Cl est globalement traduite par les deux coefficients À et jJ .

2 - Calcul de F

A F fixé, les deux prem~eres équations de la statique, dans lesquel­les cr est remplacée par son expression en fonction de À et jJ forment un sytème linéaire en À e r jJ. La résolution de ce système permet donc de définir deux fonction À(F) et jJ(F).

Il reste ensuite à vérifier l'équation des moments avec

On obtient ainsi une équation en la seule variable F, qui se présente, ainsi qu'on peut facilement le vérifier sous la forme d'un polynôme du 3°degré.

69

3 - Choix des fonctions f et f 2

Les essais que nous avons effectués ont montré que l'utilisation de h (qui intervient dans oF)' h' et y" dans la construction de fI et f 2 conduit

à des répartitions de contraintes inacceptables, faisant apparaître de larges zones de terrain en traction. Les meilleures répartitions sont obtenues en combinant y' et y'2 et une constante.

Trois formes simples semblent alors possibles

° .. oF (À of- ]1 y' ) (forme J)

° ::: oF (ÀY' of- 11 ,2 ) Y (forme 2)

° = oF ( À of- j.l y ,2 ) (forme 3)

La forme 2 peut être à priori rejetée, car au point le plus bas de la courbe de rupture elle entraîne : y' = 0 donc ° = O. Par contre les formes 1 et 3 conduisent à des résultats satisfaisants.

4 - Résultats

La méthode a été soumise à des tests sur des courbes circulaires et des courbes non circulaires. Les résultats nous ont conduits aux remarques suivantes :

-Influence du nombre de tranches. La valeur de F dépend du nombre de tranches en lequel on décompose l'inter­valle d'intégration (xO• xl)' Cette dépendance a été testée sur l'exemple 2

(chapitre 8). Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous:

nombre de tranches 10 15 25 50

F 0.720 0.670 0.640 0.628

Au-delà de 50 tranches la valeur de F ne varie plus. Il semble que cette dépendance soit beaucoup plus faible dans le cas d'un sol homogène.

-Influence du choix de y' ou de y,2

Les deux choix ont été comparés sur les exemples J. 2 et 3 de la 4ème partie. Les résultats sont les suivants:

70

F o "" o O.+lJY') F o "" oF 0. + lJ y,2)

Exemple 1 2.029 2.031

Exemple 2 0.626 0.629

Exemple 3 3.451 3.448

Nous constatons que la concordance de ces résultats est très bonne.

-Forces inter tranches et lignes de passage

Les forces E et T sont très régulières; la ligne de passage semble être généralement située dans la masse en glissement potentiel, tant que E ne s'annule pas (voir chapitre 8, exemple 2). Le choix de y' ou de y'2 influe assez peu sur les forces E et T, ainsi que sur la ligne de passage.

71

CHAPITRE 7

MÉTHODES DE MINIMISATION ÉNERGÉTIQUE

L'objet de ces méthodes est de cherch~la forme analytique la plus générale que l'on peut donner à la fonction 0. Pour cela nous supposons qu'il existe une fonction "potentiel de la courbe de rupture fi,

Parmi toutes les répartitions de contraintes satisfaisant aux équations de la statique nous choisirons celle qui rend le potentiel minimum,

A - LA MINIMISATION DU POTENTIEL ENERGETIQUE

Envisageons une zone de sol d'épaisseur 01 et de longueur ds le long de la ligne de rupture (fig. 28),

Fig. 28 - Elément de la ligne de rupture potentielle.

72

La partie inférieure de cette zone est soumise aux forces ods et T ds. On sait (7) que le potentiel énergétique accumulé dans un solide

soumis à des actions FJ ' F2' .•.... · .. Fn est la forme:

a. F~ P 2 ~

+ l b .. F. F. i "2 ~ ij ~J ~ J

Nous admettrons donc que le potentiel de la zone de sol envisagée plus haut est :

1 2 2 (ds)2 -2- ( 0 + T ) . 81

Le potentiel par unité de longueur comptée le long de l'axe des abscisses et par unité de longueur en épaisseur est donc :

1 2 2 (ds) 2 2 ( 0 + T ) dx

ou bien

2 2 (.s!L.) 2 ( 0 + T ) dx

2 dx

Le potentiel de l'ensemble de la ligne de rupture est donc

2 2 P = (0 +T ) (ds) 2 d

dx . x

Parmi toutes les répartitions de contraintes satisfaisant à l'équili­bre, nous allons choisir celle. qui rend le potentiel minimum et qui vérifie la relation de Coulomb.

Nous sommes donc amenés à minimiser la fonctionnelle

L ( O,T ) '" dx

compte tenu des équations (10) , (Il) (12) et de la relation de Coulomb

T .. c' + tg<P' . (0 - U)

F

73

L'équation d'Euler

3 30 ( 1

2

(1) , (5)

( a 2 +

du problème est

= À • A + ]J . B

où À et ]J sont les deux multiplicateurs de Lagrange correspondant aux équations (10 ) et (Il) .

1 3 ( ( 2) sait 2 30

a on que

1 3 ('(2) t~q,' 2 30 F

Cela entraîne donc

a(x) = a (x) + (À • A + ]J. B) .0 (x, F) o

a (x) tgq, , . (c' - tgq,1 • U)

0

F2 + tgq,,2

avec 2 (a) • F2

o (x. F) cos

F2 + tgq,,2

c' + tSq,' . (a - U) F

À et]J sont déterminés en fonction de F à l'aide des équations (10) et (11) En effet, si nous posons

< f, g>

x o

f (x) • g (x) . o(x,F) . dx

les équations (10) et (11) peuvent s'écrire

jX1

1

c' _ tg~ U '" - [ F + ~ (x) . A ] d x

Xo

" w j XI[_cl

- t",,----9 ~' U I!:' J - . tg{ol) - B V o (x) .dx F

Xo

74

Nous obtenons a~ns~ un système linéaire en ( À,~ ). Ce système est toujours de Cramer car son déterminant vaut :

< A,A > • < B,B > 2

-< A,B >

f::, est toujours positif strictement (on utilise le fait que 0 (x,F) > 0 et On applique l'inégalité de Cauchy-Schwarz).

Donc, à F fixé, À et ~ sont déterminés sans ambiguïté.

F est alors calculé en écrivant que l'équation (12) est vérifiée, en prenant pour a(x) la valeur :

a(x) a (x,F) + o

B - GENERALISATION

(À(F). A+~(F). B J. 0 (x,F)

Nous avons remarqué au paragraphe précédent que le potentiel énergétique est une forme quadratique définie positive de a et T • et nous en avons donné une expression plausible. D'autres formulations sont à priori possibles pour ce potentiel :

si 1 2 Q ( a,T) est une forme quadratique définie positive en a et

T • elle peut Jouer le rôle de potentiel énergétique.

Nous pouvons à partir de Q construire une répartition de contraintes vérifiant les équations (10), (11) et (12) en minimisant la fonctionnelle:

1. ( cr, T ) r + Q (cr, T ) clx

X

L'équation d'Euler est alors

1 -2- +

1 2

o

~ F

À • A + ~ • B

Cette équation est linéaire en a et T a est donc de la forme

6 (x) ::: a;, ( x) F ) + a (x 1 F ) . ( i\ A + l-' B ) 1

, , èJQ (1 ~) ~ ( XI F) ::: _ ~ • c - tg ~ . U W' F

'2 F ~

Ô(x,f).::----­t '" 1 Q(1,-g-'I'-

F

> 0

Q ( 1 ) F

75

(30)

A partir de ces expressions analytiques, À, ~ et F de la façon suivante :

sont calculés

- en remplaçant 0 par sa valeur dans les équations (10) et (II), on obtient un sytème linéaire de Cramer en À et ~ , à F fixé

- la résolution de ce système fournit deux fonctions À(F) et ~(F).

- F est solution de l'équation (12) dans laquelle on a remplacé 00

, À , ~

et 0 par leurs valeurs en fonction de x et de F.

On remarquera que les équations (30) représentent la forme analytique la lus énérale de 0 ui soit solution du roblème. En effet, toute répar-tition de contrainte • vérifiant les équations du problème peut être obtenue par la méthode de minimisation: il suffit pour cela d'utiliser la fonctionnelle :

!.(O,T) IX

I -21

( 0 - l o

dont la minimisation, compte tenu des équations (10). (Il) et (12) donne o = l . ainsi qu'on peut le vérifier aisément.

Le calcul de la stabilité des pentes à la rupture se ramène donc. par l'application de cette méthode, au choix d'une forme quadratique définie positive. Il convient alors de faire ce choix de manière à ce que les répar­titions de contraintes que l'on peut obtenir soient mécaniquement acceptables.

Parmi les choix "raisonnables", nous pouvons citer

a) - m~n~mum du module de la contrainte

:2 :2 ds:2 Q :: (G'+l).(-) a clx

1

- tg ~ • U )

.l.' :2 tg",

+ (À.A +llB) .

:2 :2 (.0$ (0() • F

b) - minimum du carré de la variation de la force inter tranche E .. T

:2 :2 (~) .. (~)

cl x cl x

81"h

l ,

( c' - tg~.u ) tg~

F:2cos2(0{)

.. :2 :2

A .. 8

76

c) - minimum du carré de la différence entre a et la contrainte de

Féllénius y h. cos 2 (a )

2 2 Ôc ::: y h cos (0.) + (À. A + 1L 8 ) . COS (ex )

c - INFLUENCE DU CHOIX LA FORME SUR LA VALEUR DE F

Il semble que d'une man~ere générale, la valeur obtenue pour F ne dépend que très peu (2 à 3 %) du choix de Q. Il n'en est pas de même de a, T, et E.

Nous allons prec~ser ce phénomène dans le cas d'un talus homogène. sans eau. de pente 1/1. étudié en rupture circulaire (fig. 29).

Les caractéristiques du sol sont

Cl T/m tg<I>' yT/m

cas 1 1.0 0.0 2.0 ,...----------1----------------------- """----= .......... _---

cas 2 0.0 0.5 2.0 ,...---------- ----------------------1-----------

cas 3 1.0 0.5 2.0

Les formes Q choisies sont Q • Qb' Q définies au paragraphe précédent. a c

77

y

x

Fig. 29

Nous allons comparer les valeurs de F obtenues à celles calculées en utilisant la méthode de Bishop simplifiée modifiée par le Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.

Valeurs 'comparées du coefficient de sécuri té

F cas J cas 2 cas 3

Qa 0.356 1.557 J.907 ------_ ..... ---------------------------- _____ =<0 ..... __

Qb 0.356 1.505 1.863 ..,.,-<=-~------------------,------------- .................... _ .... _ ..........

Qc 0.356 J.503 1.857 ..... _ .......... """' ..... -----------------1------------- ..... _-_ ..... _ .............

Bishop 0.356 1.380 1.734

Nous constatons au vu de ces résultats que :

- Il Y a une bonne concordance entre les résultats de Qa' Qb' Qc(~; = 3%)

- Les valeurs données par la méthode de Bishop sont plus faibles dans les cas 2 et 3 (environ 6 %) : cela vient probablement du fait que cette méthode ne respecte pas les équations de la statique.

78

Dans les cas l, (tg~' = 0) les quatre résultats sont identiques: cela vient de ce que pour un sol purement cohérent le cisaillement mobilisable est c' .

- Il Y a une bonne concordance entre ces résultats et ceux donnés par d'autres méthodes satisfaisant aux équations de la statique. Cela sera précisé dans le chapitre de comparaison des diverses méthodes.

Il semble que, d'une manière générale, la forme Q donne les réparti­e

tions de cr, E et T qui paraissent être mécaniquement les meilleures. C'est cette dernière que nous conseillons de retenir.

79

QUATRIÈME PARTIE

COMPARAISON DES MI:THODES

CHAPITRE 8

COMPARAISON DES MÉTHODES

Dans les chapitres qui prêcêdent, nous avons dêcrit plusieurs mêthodes de calcul de stabilitê en rupture non circulaire.

Mêthode

Méthode 2

Méthode 3

Mêthode 4

Mêthode 5

Mêthode 6

Mêthode 7

Mêthode de Morgenstern et Priee, avec la variante numêrique que nous avons mis au point (2° partie, chapitre 3)

Mêthode de Janbu (2° partie, chapitre 4)

Mêthode de la ligne de passage imposée (2° par~ie, chapitre 4)

Mêthode de rêsolution lorsque la ligne d'actio~ est confondue avec la courbe de rupture (2° partie, chapitre 5)

Mêthode de minimisation (3° partie, chapitre 7)

Mêthode des perturbations (3° partie, chapitre 6)

Dans le cas de talus en rupture circulaire, nous avons aussi utilisé la méthode de Bishop simplifiêe, modifiée par le Labo­ratoire Central des Ponts et Chaussées.

La modification apportée par le LCPC a pour objet d'éliminer les contraintes a de module infini en compression, et les contraintes

a de traction, ce qui peut se produire si la quantité :

1 - tg (a) . tg<P' / F

change de signe.

On opère de la façon suivante

le aB de la contrainte calculée par la méthode - Sl rapport aF aB

de Bishop à la contrainte de Fêllénius = yh.cos 2 est aF a

supérieur à 2, on remplace aB par ap'

- Sl aB est négative, on fait T = 6.

- dans tous les autres cas, on utilise la valeur de aB calculée par la méthode de Bishop simplifiée.

82

La modification va dans le sens de la sécurité.

Remarque Nous avons utilisé la méthode de Morgenstern et Price avec la relation :

T "" À(c' • h(x) + tg1>' . E)

(2°partie. chapitre 3)

Nous avons utilisé la méthode de minimisation avec la forme quadratique

Q - [cr - y h. cos2 a J (~)2

dx

(3°partie. chapitre 7)

Nous allons comparer ces différentes méthodes sur plusieurs exemples pour lesquels nous donnerons les valeurs de F et les lignes d'actions des forces inter tranches E + T.

Exemple

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Remarque

Talus homogène, en rupture circulaire. traité par Morgenstern et Price (12; et cité dans le chapitre 3.

Remblai sur sol mou (sol frottant sur sol cohérent), en rupture circulaire.

Talus homogène. en rupture non circulaire. cité par J.M. BELL ( 1 )

Glissement de versant naturel instable, situé à Ville au Val

Les courbes de rupture utilisées dans les exemples l, 2 et 3 ne sont pas les courbes critiques. Dans l'exemple 4, nous avons utilisé la courbe suivant laquelle se produit actuellement le glissement.

A - CARACTERISTIQUES GEOMETRIQUES ET MECANIQUES DES EXEMPLES PRESENTES

On les trouvera dans les pages suivantes.

83

Exemple 1 (fig. 30)

a) - talus homogène en rupture circulaire, pente 2/1 hauteur 5 m

b) - caractêristiques du sol :

y = 2 T/m , c' = T/m ,~ = 20°

c) - le talus est hors d'eau

d) - courbe de rupture: cercle de centre ~ (5,10) et de rayon 10 m.

y

1Üm

Fig. 30 - Exemple 1

84

:x Q (5,10)

10m X

Exemple 2 (fig. 31)

a) - remblai sur sol mou,

pente 2/1 hauteur 10 m

b) - caractéristiques du terrain

remblai y 2,1 T/m c' 0 T/m <il'''' 30°

sol mou y 2 T/m c' == T/m <il'= 0°

c) - le talus est hors d'eau

d) - courbe de rupture: cercle de centre ~ (12,17) et de rayon 20 m

0 0 (12,17)

y

Remblai

-- -~----------~--------------------~--~----o Sol cohérent

bedrock

Fig. 31 - Exemple 2

85

y

Exemple 3 (fig. 32)

o 5

a) - talus homogène,

pente 4/1 hauteur 6,23 m

b) - caractéristiques du sol

y >= 2 Tlm c' == 1 Tlm

c) - le talus est hors d'eau

d) - la courbe de rupture est schématisée sur la figure 32. Elle n'est pas très éloignée d'une courbe circulaire

Fig. 32 - Exemple 3

----- -10 15 20 2530 35 40 45 50 55 60 65 70m X

Fig. 33 - Exemple 4

86

Exemple 4 (fig. 33) Glissement de Ville au Val

a) - pente naturelle, faiblement inclinée,

b) - caractéristiques moyennes du sol :

y :::: 2 Tlm • c' = 0 Tlm • .p'= 11 0 20'

Ci est ici la cohésion résiduelle que l'on admet être nulle. La valeur de .p' n'a pas pu être déterminée avec précision sur le terrain: le problème qui nous était posé était de déterminer .p' de façon à obtenir F:::: 1. Nous avons adopté pour cela la valeur tg.p' =: 0.2.

c) - la pente est le siège d'une nappe légèrement inclinée, donnée par son toit. La pression interstitielle U a été calculée par la formule

avec

2 ~ :::: y • h . cos B

w

Yw poids spécifique de l'eau

(fig. 34)

B =: angle du toit de la nappe avec l'horizontale

Ce calcul suppose que les équipotentielles soient sensiblement paral­lèles, ce qui est le cas 1C1.

A 1

1 1 '- direction

1

toit de la nappe

AB" AD.cos 2 ,B

des équipotentielles

Fig. 34 - Calcul de la pression interstitielle.

87

F

B - VALEURS DU COEFFICIENT DE SECURITE

Les valeurs de F correspondant aux exemples décrits précédemment sont rassemblées dans le tableau ci-après. Les calculs ont été effectués sur l'ordinateur du LCPC (CAE 510) et sur celui de l'IRT (CIl 10 070).

2,090 2,031 2,029 2,033

,634 0,629 0,642

3,321

,916 0,942

Les valeurs de F données dans le tableau précédent sont dans l'ensemble très cohérentes.

a) - Les valeurs données par les méthodes vérifiant les équations de la statique (l, 3, 4, 5, 6) sont très voisines les une des autres, ainsi que l'on peut s'en rendre compte à la lecture du tableau ci-après des moyen­nes et écarts de F.

F Valeur moyenne Ecart maximum avec la moyenne en valeur relative

Ex. 1 2,032 0,25 %

Ex. 2 0, 630 2 %

Ex. 3 3,372 2,4 %

Ex. 4 0,922 2,2 %

A"F L'écart maX1mum est de : -p- = 2,4 %. ce qui est de l'ordre de gran-

deur de la précision des calculs numériques que nous avons effectués : nous avons remarqué en particulier. que la nature du découpage et le nombre de tranches peuvent avoir une influence sur la valeur de F de l'ordre de 3 à 4 %. Il apparaît donc que les méthodes 1. 3, 4, 5 et 6 sont équivalentes en dehors de toute autre considération. en ce qui concerne les valeurs de F.

88

Les valeurs données par Morgenstern et Price (12) sont voisines

des nôtres (6 F = 5 %). F

Nous remarquons une concordance analogue dans les résultats donnés par J.M. BELL (1) (~ F 1,5 %)

b) - Les valeurs calculées à l'aide de la méthode de Bishop modifiée par le LCPC sont assez voisines et légèrement inférieures aux valeurs données par les autres méthodes. Il faut, toutefois, ne pas généraliser ces conclusions car nous avons rencontré d'autres cas où la différence est nettement plus marquée (voir par exemple le chapitr~ 7, 3°partie).

c) - La méthode de Janbu semble fournir des résultats superleurs à ceux des autres méthodes. Signalons que dans l'exemple 1, la suite des valeurs de F n'a pas convergé, mais prenait successivement les valeurs 2~072 et 2, J07 (voir 2° partie, chapitre 4).

Remarque: Nous avons donné les résultats précédents au 1/1000 près, ce qui est bien sûr illusoire compte tenu des incertitudes inévitables sur les caractéristiques mécaniques des sols, et superflu dans la pratique.

C - LES LIGNES DE PASSAGE

Dans les pages qui suivent, nous donnons les lignes de passage des efforts internes E + T calculées par les méthodes l, 3, 5 et 6. Il ne nous a pas semblé utile de calculer ces courbes pour les méthodes 2 et 7 qui ne satisfont pas aux équations de la statique; rappelons, d'autre part, que la méthode 4 suppose que la ligne de passage est confondue avec la courbe de rupture. Il faut noter cependant que les efforts internes calculés par cette dernière méthode sont très proches de ceux qui ont été calculés par les méthodes 1, 3, 5 et 6.

Les lignes de passage dessinées sur les figures 36 à 43 ont en commun le fait d'être dans l'ensemble voisines de la courbe de rupture potentielle cela tend à justifier l'hypothèse faite au chapitre 5, 2°partie (ligne de passage confondue avec la ligne de rupture).

Les courbes présentées comportent dans les exemples 2 et 4 des irrégu­larités

Exemple 2

Les méthodes 1, 5 et 6 donnent des courbes qui présentent une asymptote au voisinage de la séparation entre le remblai frottant et le sol cohérent. Cela tient au fait qu'aux alentours de ce point, la force E qui est norma­lement positive s'annule et devient négative. Comme l'ordonnée de la ligne de passage e(x) est calculée par la formule (4) .

e(x) y(x) . r ( T + E. y' J Xo

s'annule. e(x) devient infini.

E dx

(4)

on voit que si E

89

Ce problème ne s'est pas posé avec les méthodes 3 et 4 qui reposent sur la donnée de la ligne de passage, Il faut toutefois noter que toutes les méthodes ont donné des distributions de E très voisines, Nous pouvons interpréter ce phénomène de la façon suivante

Si nous assimilons la masse de sol en glissement potentiel à un solide formé de deux blocs distincts ABC et BCD (fig, 35), et si nous calculons

A

Remblai

D

sOl

Fig. 35 - Schématisation de l'exemple nO 2.

le coefficient de sécurité de chacun des blocs séparément, nous constatons que :

- le bloc ABC repose sur un sol dont l'angle de frottement interne élevé ( ~' = 30°). son coefficient de sécurité est voisin de F

~' est 0,7,

- le bloc BCD repose sur un sol de caractéristiques très faibles (c' = 1 t/m2 , ~I = 0°) • Son coefficient de sécurité est F 0.575,

Il apparaît donc que le bloc BCD est nettement moins stable que le bloc ABC; il est donc normal d'avoir une zone de traction à la limite entre le remblai et le sol cohérent.

Avec un sol cohérent de cohésion c' sécurité du bloc BCD est de : F = 1,15,

2 t/m, le coefficient de

BCD est stable et retient le bloc ABC qui ne l'est pas, nous avons pu constater par le calcul que l'ensemble de la masse en glissement est alors en compression,

Cet exemple montre que les limites de l'hypothèse qui consiste à adopter un coefficient de sécurité unique le long de la courbe de rupture, sont vite atteintes,

Exemple 4 (glissement de Ville au Val)

Les méthodes 5 et 6 ont donné des lignes de passage sortant de la masse

90

en glissement. Dans ces deux méthodes qui reposent sur une hypothèse por­tant sur les contraintes o(x), nous avons calculé numériquement F et la répartition de d (x), et ensuite E et T par les formules:

E(x) r[ A.o (x) c' - tg<P ' . U ) . dx = +

F

x 0

T(x) fr-

B.a (x) +y h c' - tg,p , . U • tg (a) ) . dx = +

F

x 0

La ligne de passage a été ensuite calculée numériquement par la for­mule (4), en partant de l'extrémité gauche du talus. Or, même en déterminant F et o(x) avec une précison de 1/1000, les valeurs de e(x) résultant de deux intégrations numériques successives sont entachées d'une erreur abso­lue non négligeable dans la mesure où le glissement se produit sur une très grande longueur. Cela explique que les lignes de pasBage soient correctes dans la partie gauche du talus et ne le soient plus dans la partie droite. Le calcul de e(x), effectué à partir de l'extrémité droite, a donné de bons résultats dans la partie droite et des irrégularités dans la partie gauche.

Remarquons que les méthodes 1 et 3 (hypothèse sur E et T) donnent des lignes de passages correctes: il n'y a qu'une seule intégration numé­rique pour obtenir e(x).

Il faut retenir de cela que le calcul numérique précis de la ligne de passage peut être parfois assez délicat.

91

Lignes de passage

y

o x

Exemple 1 Méthode 1

y

x

Fig. 36

Exemple 1 Méthode 3

92

Lignes de passage

y

o x

Exemple 1 Méthode 5

y

o x

Fig. 37

Exemple 1 Méthode 6

93

Lignes de passage

Remblai

------ -Sol cohérent

\ \\\\\\\\\\\\\\\'\ ;\ \:\\\\ \\\\\\~ \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ ~ bedrock

Exemple 2 Méthode 1

y

Remblai

----- --- - - - ----"'---o x sol cohérent

\\\ \ \ \\ \ \ \ \ \\ \\\\\'\\\ \\\\ \\\ \\\~\\\'\'\ \\'\ bedrock

Fig. 38

Exemple 2 Méthode 3

94

Lignes de passage

Exemple 2 Méthode 5

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \ \

Fig. 39

Exemple 2 Méthode 6

95

Lignes de passage

Exemple 3 Méthode 1

Fig. 40

Exemple 3 Méthode 3

96

Lignes de passage

Exemple :3 Méthode 5

Fig. 41

Exemple :3 Méthode 6

97

Lignes de passage

Méthode 1

Exemple 4

Fig. 42

Méthode 3

Exemple 4

98

__ cal,ul ",. (.1 ,>""" .. " gau,", du "lu'

___ e>IWI do' 1.1 ,p.rt"" " d"'" du "'U'

fig. 43

99

CONCLUSI)N

A ceux qui pourraient trouver paradoxal de s'attacher à améliorer des méthodes de calcul à la rupture qui ne tiennent pas compte des lois effort­déformation des sols alors que cela apparaît aujourd'hui possible par la mé­thode numérique des éléments finis, nous répondrons simplement que les seules méthodes ayant eu jusqu'à présent un réel support expérimental permettant d'en tester la validité sont justement les méthodes de calcul à la rupture qui serviront encore longtemps de référence dans les calculs de stabilité des pentes.

Il faut d'ailleurs remarquer que la déformabilité du sol n'est pas tout à fait absente dans le calcul à la rupture : on en tient compte plus ou moins globalement en faisant l'hypothèse complémentaire décrite dans le premier chapitre de ce rapport. On constate cependant que le lien logique entre cette hypothèse complémentaire et le comportement rhéologique du sol est loin d'être apparent.

Dans ces conditions, quelle méthode de calcul faut-il choisir pour se rapprocher le plus possible de la réalité?

Si on se contente d'évaluer un coefficient global de sécurité à la rupture, le choix importe peu' dans la mesure où les équations de la statique sont toutes vérifiées, car alors les divers 'coefficients de sécurité sont très voisins (nous avons pu le constater sur quelques exemples ; il est peut­être possible de le démontrer en utilisant la méthode énergétique généralisée présentée au chapitre 7). Le choix d'une méthode devrait à notre avis dépendre essentiellement de la commodité des calculs sur ordinateur. Par contre, si l'on désire restituer les contraintes internes du talus, des divergences peuvent apparaître entre les méthodes et le choix est moins aisé.

Dans la pratique, nous conseillons de s'attacher à une seule méthode (par exemple la méthode dite des perturbations - chapitre 6) et de l'utiliser pour chiffrer d'une manière relative l'efficacité des paramètres géométriques et hydrauliques des systèmes confortatifs, sans accorder à la valeur F = 1 une trop grande importance.

100

[ 5]

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101

GROUPE D'ETUDE DES TALUS

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"Rapport interne sur les programmes de calcul RRT. CA7, RUP8'!

102

zusammenfassung

StabiIitatsberechnungen von Boschungen bei nicht

kreisformigen Gleitflachen

Seit langem bestehen zahlreiche Berechnungsverfahren für Boschungsbrüche.

Diese Verfahren kannen meist nul' kreisfOrmige GleitfHichen behandeln; statische Gleichgewichts­gleichungen werden nicht berücksichtigt.

Deswegen haben sich die Verfasser des vorliegenden Berichtes bemüht, Verfahren zu entwickeln, die untel' Berücksichtigung der statischen Gleichungen die Untersuchung nicht kreisfOrmiger GleitfHichen ermoglichen ..

Der Bericht enthiHt zunachst einen Überblick über die klassischen Berechnungsannahmen (Coulomb'­sches Prinzip, konstanter Sicherheitskoeffizient Uings der potentiellen Gleitlinie). Anschliessend werden die im vorliegenden Fall anzuwendenden allgemeinen Gleichungen entwickelt ; dabei ist es notwendig eine zusatzliche Hypothese einzuführen, wodurch dem rheologischen Verhalten des Bodens (Ver­formungs - Spannungsgesetz) generell Rechnung getragen werden kann. Es ist jedoch nicht leicht das rheologische Modell und die mathematische Formulierung der Hypothese in Zusammenhang zu bringen.

Drei Hypothesenarten werden untersucht, und zwar hinsichtlich : a) der Verteilung der innerhalb der Boschung vorhandenen Krafte, b) der Lage der Anbringungslinie der Resultanten diesel' innel'en Kl'iifte, c) der Verteilung der Spannungen, die senkrecht zur Gleitflache wh'ken.

Fül' jeden diesel' drei Falle entwickeln die Vel'fasser ein analytisches Vel'fahren zur Lasung der Glei­chungen. Die Methoden von Morgenstern und Price und von Janbu werden untersucht und dieVerfasser schlagen neue Hypothesen VOl', die zur Formulierung von 4 neuen Berechnungsverfahl'en für nicht kreisfOrmige Gleitflachen führen, die den statischen Gleichungen Rechnung tragen.

Rein rechnungsmassig sind diese Verfahren recht einfach. Eînige Beispiele wurden durchgerechnet, wobei eine gute Übereinstimmung zwischen den verschiedenen Verfahren festgestellt wurde.

103

abstract

CaIculation of the stability of sI opes interms of non-circulaI' failure

Numerous methods of calculating the failure of slopes have existed for a long time.

Most of them can deal only with circular lines of failure, and do not verify the equations of static equilibrium.

The authors have attempted to develop methods whieh, while conforming to static equations, make it possible to study non-circular lines of failure.

After reviewing the classie hypotheses of failure calculation (Coulomb's inequality, constant coefficient of safety along the line of potential failure) the authors establish the general equations of the problem and indicate the need to formulate an additional hypothesis. This hypothesis makes it possible to take account, very generally, of the rheological behaviour of the soil (stress-strain law), though the link between the rheological model and the mathematical formulation of the hypothesis is not easy to establish.

Three types of hypotheses have been envisaged : (a) those relating to the distribution of internaI forces in the slope, (b) those relating to the position of the line of application of the resultants of the internaI forces in the sI ope, (c) those relating to the distribution of stresses normal to the curve of failure.

In each case, the authors give the analytie pattern of solution of the equations. They analyse the methods of Morgenstern and Priee, and of Janbu, and propose new hypotheses leading to the formula­tion of four new methods of calculation of non-circular failure conforming to static equations.

Numerical calculations, on the whole very simple, have made it possible to deal with sorne examples which show good agreement between these various methods.

104

resumen

Cakulo de estabilidad de pendientes en ruptura no circular

Desde hace tiempo existen mùltiples métodos de câlculo en la ruptura de las pendientes.

En la mayoria de los casos, tan sôlo pueden tl atar de las lineas de ruptura circulares, si bien no verifican las ecuaciones deI equilibrio estâtico.

Los autores se han dedicado a desarrollar métodos que, si bien respetan las ecuaciones de la estâtica, permiten estudiar lineas de ruptura no circulares.

Tras recordaI' las hipôtesis clâsicas deI câlculo en la ruptura (desigualdad de Coulomb, coeficiente de segu­ridad constante a 10 largo de la linea de ruptura potencial), establecen los autores las lineas generales deI problema, indicando la necesidad de formulaI' una hipâtesis adicional. Con esa hipâtesis se puede tener en cuenta muy globalmente el comportamiento reolôgico deI suelo (ley esfuerzo-deformaciôn) sin que, pOl' 10 mismo, sea sencillo establecer el nexo entre el modela reolôgico y la formulaciôn matemâtica de la hipôtesis.

Se consideran tres clases de hipôtesis : a) aquellas que se refieren a la distribuciôn de las fuerzas internas al talud, b) aquellas que se refieren a la posiciôn de la linea de aplicaciôn de las resultantes de las fuerzas internas al talud, c) aquellas que se refieren a la distribuciôn de las tensiones normales en la CUl'va de ruptura.

En cada caso, dan los autores el esquema analitico de resoluciôn de las ecuaciones. Analizan los métodos de Morgenstern y Price y de Janbu, proponiendo nuevas hipôtesis que llevan a la formulaciôn de cuatro nuevos métodos de câlculo en ruptura no circulaI' que respetan las ecuaciones de la estâtica.

Con los câlculos numéricos, pOl' 10 general muy sencillos, se pudieron tratar algunos ejemplos que dejan aparecer correcta concordancia entre los diversos métodos.

105

pe:nome

PaClIeT YCTOÜll]IBOCTH CHJlOHOB MeTOJJ.OM CJJ.BHra no nOBepXHOCTSIM

He HpyrJlOUHJlHHJJ.pHlIeCKoro OllepTaHHSI

.IlaBHo H3BeCTHhI MHOrO'lHCJ1eHHhIe MeTO}J;hI paC'IeTa yCTofi'lHBOCTH CHJ10HOB.

B 60J1hIIUmCTBe CJ1y'laeB B 3TH X MeTO}J;ax 3a}J;aeTCH HpyrJ10IIHJ1HH}J;pH'leCHaH cpOpl\1a J1HHHfi CHOJ1hmeHHH H He npOBepHlOTCH ypaBHeI-IHH CTaTH'leCHOrO paBI-IOBeCVlH.

ABTOphI 3a}J;aJIHCh IjeJ1hlO pa3pa6oTaTh MeTO}J;hI paC'leTa, HOTophle, npH COXpaIleHHH ypaBHeHHfi paBHO­BeCHH, n03BOJIHlOT IICCJ1e}J;OBaTh nOBepXHOCTII C}J;BIIra He HpyrJ10IjHJIIIH}J;pII'leCHOrO O'lepTaHIIlL

PaCCMOTpeHhI HJIaCCH'leCIŒe }J;onyIIJeI-UlH paC'lëTa no MeTO}J;y HapyweHHH yCTofi'lHBOCTH (HepaBeHCTBO HyJ10Ha, rrOCTOHHHoe 3Ila'leHHe H03cpcpHIIHeHTOB 3arraca B}J;OJ1h B03MomHofi JIHHHH CHOJIhmeHHH); 3aTeM BhIBep;eHhI 06IIJHe ypaBlleHHH 3a}J;a'lH H BhlHBJIeHa He06xo}J;HMOCTh }J;orrOJ1HHTeJ1hHOrO yCJ10BHH. 81'0 yCJ10BHe n03BOJI>IeT y'lHThIBaTh B caMOM 06IIJeM BH}J;e pe0J10rH'leCHHe cBoficTBa rpyHToB (3aHoH HX HarrplDReHHo-}J;ecpop:MHpyeMoro COCTOHHHH), HO 31'0 He 3Ha'lHT, '11'0 TaHHM 06pa30M y}J;aeTcH JIerHO yBH3aTh peOJIOrH'lecHylO MO}J;eJ1h C MaTelVIaTH'leCHOfi qJOplVlyJIHpOBHOi1.

PaCCMOTpeHhI l'pH BHAa yCJIOBHfi :

a) yCJ10BHH, HOTophle HacaIOTCH pacnpe}J;eJ1eHHH BHyTpeHHHX CHJ1 B OTHoce,

b) yCJIOBHH, HOTOphIC HacalOTCH n0J10mCHHH J1HHHH npHJ10meHHH paBHOAcficTBylOIIJHX BHyTpeHHHX ClIJ1 B OTHOCC,

c) yCJ10BlIH, HOTOphIC r-\acalOTCH pacnpCAeJ1eHHH HanpHmCHHH rrepncHAlIHyJ1HpHhIX H JIHHlIH CABHra.

B HamAOM CJIY'Iae rrpeAJIaraCTCH cxeMa pcweHHH rrOJIY'IaCMhIX ypaBHeHHH. AHaJIH3HpyIOTCH MeTOAhI MopreHcTepHa - IIpafica H lliaH6y (Morgcnstern et Pricc, Janbu); npeAJ10mCHhI HOBhIe rHnOTC3hI, HOTophle npHBoAHT H 'leThlpeM HOBhIM MeTOAaM paC'lCTa Ha CABHr no rrOBepXHOCTHM He HpyrJ10IjH­mmAPH'leCHOrO O'lepTamfH C c06mOAeHHCM ypaBHeHHfi CTaTH'leCHOfi yCTofi'lHBOCTH. BhIHJ1aAHH, HaH rrpaBHJ10 npOCThle, rr03BOJIHJ1H Ha HeCHOJIhHHX rrpHMepax BhIHBHTb XOpOWyIO CXOAH­MOCTb pe3yJ1hTaTOB peweHHfi, nOJ1y'laeMhIX 3THMH pa3J1H'lHbIMH MeTOAaMH paC'leTa.

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Dépôt légal: :le trimestre 1974

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