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  • MINISl'RE DE L' AM~NAGEMENT DU TERBITOIRE DE L'~QtJIPEMENT. DU LOGEMENT ET DU TOURISME

    .... ~ABORA;rOIRES DES PONTS ET CI'IAUSS~ES ",

    Novembre 1973

    Calcul des contraintes dans ,un massif d'paisseur Ii~.ite sou,m.is une 'charge trapzodale

    B.MANDAGARAN

  • Calcul des contraintes dans un massif d'paisseur limite soumis une charge trapzodale.

    B. MANDAGARAN Ingnieur civil des Ponts et Chausses

    Section de mcanique des sols Dpartement des sols et fondations

    Laboratoire central des Ponts et Chausses

  • Sommaire

    Rsum en franais

    Prsentation, G. Pilot

    Introduction

    1 -- Mthode de calcul

    1.1

    1.2

    1.3

    Mthodes dj utilises

    1.1.1 Historique 1.1.2 Aspect mathmatique des diffrentes mthodes

    La mthode des sries de Fourier

    1.2.1 Prsentation des hypothses 1.2.2 Les quations de l'lasticit 1.2.3 . Rsolution formelle des quations

    Les conditions aux limites dans la mthode des sries de Fourier

    1.3.1 Les diffrents problmes 1.3.2 Expression dtaille des conditions E:UX limites 1.3.3 Dnombrement des conditions aux limites

    4

    5

    7

    8

    8

    9

    14

    MINISTRE DE L'AMNAGEMENT DU TERRITOIRE, DE L'QUIPEMENT, DU LOGEMENT ET DU TOURISM.E

    LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSES - 58, boulevard Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15

    NOVEMBRE 1973

  • 2 - UtiliSation pratique du programme

    3 -

    2.1

    2.2

    2.3

    Liste des donnes et des formats

    2.1.1 Cas du morlocouche 2.1.2 Cas du bicouche 2.1.3 Utilisation d'une console de tltraitement

    Prsentation des rsu Itats

    Convergence de la mthode

    Rsultats pour un remblai type

    3.1

    3.2

    3.3

    3.4

    Valeurs des contraintes sous l'axe

    Valeurs des contraintes verticales mi-pente du remblai

    Evolution des contraintes sur une horizontale

    Discussion des rsu Itats

    3.4.1 Influence de la gomtrie du remblai 3.4.2 Influence des caractristiques mcaniques

    du sol de fondation

    17

    18

    22

    22

    23

    24

    25

    25

    26

    Conclusion 28

    Bibliographie 30

    Annexes 33

    Rsum en anglais, allemand, espagnol, russe 61

  • Rsum

    Nos lecteurs trangers trouveront ce rhum traduit en angLais, allemand, espagnol et russe en fin de rapport. Our readers wiLlfmd this ahstract at the end of the report. Un.\ere Leser./inden dine ;z,usammerifassung am Ende des Berichtes . . Nuestros Leetores hallarn este resumen aLfmal dei informe. !>!lfl'lmiI ll/ellfll/ (/III/Oll/II//1I1I llO/lieU/Pli (J tilllli/e IIll1'lI'.lTlll.

    Calcul des contraintes dans un massif d'paisseur limite soumis une charge trapzodale

    Le problme dl' la rpartition des contraintes sous une charge trapzodale s'exer~:ant sur une couche de fondation de profondeur limite est trait par la mthode des sries de Fourier. Le calcul est effectu sous les hypothses suivantes:

    ~~~ la charge trapzodale s'exerce sans cisaillement sur la couche de fondation; - le sol de fondation est form d'une ou plusieurs couches lastiques et isotropes; - le substratum est une profondeur finie et est rugueux; -- le problme est bidimensionnel.

    Aprs un rappel des diffrentes mthodes utilises pour le calcul des contraintes dans un massif lastique, le problme est trait math('matiquement; cette tude dbouche sur la mise au point d'un programme de calcul sur ordinatcur, dont on explique l'utilisation pratique.

    EHfin, sont tudis les difTrents paramtres ayant une influence sur la rpartition des contrain-tes: la profondeur du substratum, le coellicient de Poisson de la couche compressible, la go-mtrie du remblai. Une srie d'abaques esl prsenll~e en annexe; elle montre l'influence de ces difTrents paramtres. .

    MOTS CLI~S : 42. Happort de recherche - :\lcaniquc des sols --- Calcul -- Contrainte --Sol de fondation -~ Hcmblai -- Epaisseur -- - Charge -- Profondeur --~ Cocllicient de Poisson -- Couche - Compressibilit(' -- ~ Abaque -- Programme (ordinateur) ~- 1 LCPC (!H).

    4

  • PRISENTATION

    G. PILOT

    Chef de la Section de mcatlique des sols Dpartement des sols et fondations

    Laboratoire central des Ponts et Chausses

    L'utilisation de la thorie de l'lasticit pour calculer les composantes de la contrainte , dans un sol de fondation supportant un ouvrage n'est pas nouvelle: ce titre, plusieurs publications et ouvrages ont dj explicit des rsultats partiels:

    L'intrt de la mthode et du programme de calcul prsents dans ce rapport rside dans la possibilit de calculer les composantes du tenseur de contraintes et les dpla-cements en tout point de la fondation et non pas, comme c'est souvent le cas, dans l'axe seulement du remblai. A ce titre, ce programme constitue un outil de recher-che dans les cas suivan ts :

    - tude du comportement du sol de fondation en laboratoire en appliquant le sys-tme de contraintes en place sous l'ouvrage (dans la mesure o l'on est assez loin des conditions de rupture) ;

    -' interprtation de mesures en place des pressions interstitielles induites par la construction d'un remblai ;

    - interprtation des mesures de dplacement sur ouvrage rel.

    Ce mode de alcul a t largement appliqu par M. Mandagaran, dans le 'premier cas, l'occasion d'une thse de Docteur-Ingnieur prpare au Laboratoire central et qui sera soutenue en novembre 1973 l'Universit de Paris VI, sur l'aspect tridimensionnel du tassement des remblais construits sur sols mous.

    5

  • INTRODUCTION

    Une des tendances actuelles ,de la mcanique des sols pour l'tude du comportement des fondations d'ouvrages, est d'appliquer une ou plusieurs prouvettes de sol reprsentatives, les sollicitations que subira le sol en place lors de la construction de l'ouvrage, et d'extrapoler les rsultats obte-nus en laboratoire (tassements, pressions interstitielles), la couche de fon-dation.

    Une telle mthode comporte deux ,phases

    Un calcul des contraintes,

    Une exprimentation l'appareil triaxial.

    D'autre part dans de nombreux cas, on a besoin de connatre la distribu-tion de la pression interstitielle dans un massif de sol soumis un cha~gement. Cette distribution peut tre estime partir des contraintes totales, l'aide de coefficients de pression interstitielle dtermins exprimentalement par-tir de formules du type

    + 6u

    + 6u = ----------------- + Ct V (6 0 l - 6 02) 2 + (6 02 - 6 03) 2 + (6 03 - 60 1) z' 3

    Le prsent rapport propose une mthode de calcul des contraintes dans le massif de fondation, selon la thorie de l'lasticit linaire; Le calcul , est effectu pour un remblai de longueur. infinie, le sol de fondation reposant ou non sur un substratum rigide.

    Dans une premire partie, nous prsentons la mthode de calcul qui est caractrise par l'utilisation de sries de Fourier. La deuxime partie est constitue d'un programme de calcul sur ordinateur. Enfin, dans une troisime partie, nous donnons des abaques pour un remblai type et nous discutons leur utilisation.

    Cett~ tude reprend pour une large part, un "travail personnel" effectu en fin d'tude l'Ecole Nationale des Ponts et Chausses pr M. Le Bourdonnec [ 6 ], qui s'appuyait sur un ' article de Sovinc 19] .

    7

  • 1 , - M~THODE DE CALCUL

    1.1 . METHODES DEJA UTILISEES

    1.1.1. Historique

    La premire approche du problme ' est celle de Boussinesq [IJ qui a cal-cul ' les contraintes dans un massif infini et homogne soumis une charge ponctuelle. Par intgration, on a tendu ces solutions diffrents types de chargement. Scott ISI et . Harr [S],donnent les rsultats fournis par ces m-thodes et prcisent les rfrences des articles originaux. (Fadum [IOJ , Steinbrenner [1 IJ ) .

    Malheureusement, on ne peut tendre ces rsultats au cas d'un massif. li -mit infrieurement par un substratum rigide. Le cas des problmes multic6u-" ches a t tudi par Burmister [2J et Egorov [3 J . Mais les rsul tats concer-nent principalement les diffrentes couches d'une chausse etne sont pas direc-tement transposables la mcanique des sols, ' puisque les couches d'u~echausse ont des modules d'lasticit trs diffrents. Poulos [ 7J prsente des t- . . sultats pour une charge ponctuelle reposant sur une touche de fondation de pro-fondeur limite. Ces rsultats sont ensuite intgrs pout une section circu-laire et c'est l'utilisateur de faire une deuxime intgration, selon son cas de rpartition de charge.

    C'~stGiroud [4J qui donne les premiers abaques utilisables directemt:nt p'otrr un remblai. Les rsultats sont tablis dans le cas d'un sol monocouche adhrant parfaitement au substratum, pour une valeur du coefficient de Poisson de v = 0,3.

    1.1.2. Aspect mathmatique des diffrentes mthodes

    Les mthodes utilises dans ces calculs sont de deux types

    les solutions analytiques exacte~,

    les soltions numriques (diffrences ou lments finis).

    L'avantage des premires est que l'on obtient une solution explicite on peut donc trs facilement faire varier les diffrents paramtres et obtenir dans chacun des cas les rsultats numriques. Elles ont pour inconvnient de convenir certains problmes bien particuliers et de devenir impraticables si l'on change certaines hypothses . .

    Inversement, les mthodes purment numriques sont longues et le calcul entier doit tre fait pour toutes les valeurs des paramtres; par contre, ces mthodes sont extrmement souples et s'adaptent trs bien des changements de conditions aux limites.

    8

  • 1.2; LA METHODE DES SERIES DE FOURIER

    1.2.1. Prsentation et hypothses

    L'ide directrice de cette mthode e.st l'utilisation de fonctions per~odiques. En effet, les problmes d'lasticit ont des solutions trs simples pour des chargements sinusodaux ; on superpose donc une infinit de distri-bution de charges sinusodales dont la somme reprsente la charge relle.

    Nous appliquons alors cette mthode aux calculs des contraintes cres dans un massif de fondation par une distribution de charge trapzodale appli-que la surface d'un massif lastique reposant sur un substratum rigide.

    Les hypothses faites pour mener le calcul sont les suivantes

    ~lE~!~~~~_~~_~~~E~~!~~~_~!~~~ C~tte hypothse se justifie par la longueur infinie du chargement.

    ~~~~~~~_~~_~E~~~_~~!~~~g~~~ . En effet, le ca~cul effectu est celui des .surcontraintes cresdaus le . massif par le chargement; on superpose ensuite l'tat decontrainteirii-tia1d~ au poids propre du massif.

    g~~~g~~~i~~_~~_i~~~E~Ei~ du sol de fondation l'intrieur d'une mme couchehoriznnta1e.

    1.2.2. Les quations de l'lasticit

    Le systme d'axes choisi est orthonorm et cartsien t la figure 1.

    H

    0'

    il est reprsen-

    Il Substratillfi rigide

    Fig. 1 - Systme d'axes choisi -L'axe des x est la ligne de contact avec . le substratum.

    9

  • Les inconnues du problme sont ls trois fonctions de dplacement

    u (x, y, Z) v (x, y, Z) W (x, y, Z)

    On adoptera les notations

    x = Xl Y = Xz Z = X3

    u (x, y, Z)

    v (x, y, Z) W (x, y, Z)

    Les dformations sont donnes par dfinition par

    e .. ~J

    1 -2 (u .. + u .. )

    ~,J J,~

    o par convention u .. ~,J

    dU. 1.

    dX. J

    =

    ==

    (1 )

    L'expression des contraintes est alors donne par la loi de comportement:

    (2)

    o ekk e Il

    + e22 +eH

    et II coefficients de Lam

    0 sj1nbole de Kronecker

    ~. contraintes doivent d'autre part, vrifier les quations d'quilibre, c'est--dire en l'absence de forces volumiques

    (5 ... = 0 1.J ,]

    (3)

    En tenant compte de (1), (2), (3)", on obtient les quations que doivent vrifier les fonctions de dplacement

    (1 - 2 v) u. .. + U. = 0 1.,JJ J']~

    (4~

    L'hypothse de dformation plane entrane que u et w sont fonctions de x et Z uniquement, et que

    v(x, y, z) = U2 (Xl' X2, X3) = 0

    Le systme (4) se rduit alors :

    ( 1 2 v) 6u + de 0 - --i... = dX

    (1 2 ~) /:'W + de

    0 - -= dZ

    10

  • on 6 est l'opErateur laplacien

    dU 3w = + dX az e

    REMARQUE

    Les Equations (3) ne sont valables que si 0 < V < ~. Le cas V

    est un cas limite ; c'est -~dire qu'on considre que la solution pour

    1 V = 2 est la ~imite de la solution pour

    1.2.3. REsolution formelle des Equations (5)

    1 2

    Les Equations (5) sont les Equations classiques de l'ElasticitE plane; on ne sait pas trouver une expression analytique de leur solution gErale. Pour les rEsoudre dans le cas qui nuus intEresse, on considre que le massif est chargE par une infinitE de distributions de charges trapEzoda1es identi-ques, rgulirement espace (fig. 2). La distance sparant deux charge's voi -sines est suffisamment grande pour que leur interaction soit ngligeable.

    1 , / 1 ,

    Fig. 2 - Priodisation du problme par adjonction d'une infinit de remblais grande distance les uns des autres. a L.

    On cre ainsi la surface du massif une distribution de charge per1o-dique dEcomposab1e en sries de Fourier qui reprEsente une bonne approximation du problme rel.

    La symtrie de la figure 2 indique

    u (x, z) w (x, z)

    est une fonction impaire de est une fonction paire de

    11

    x, x.

  • Dans ces conditions, les fonctions de dplacement u et w sont de la forme

    a m

    =

    u (x, z)

    w (x, z)

    m~

    3.

    00

    = E U (z) sin a x m=O . m m

    /

    . 00

    E W (z) cos a x M'*O m m

    U m

    et W m sont fonctions de

    (6) avec

    z uniquement.

    REMARQUE

    Dans le cas d'une charge asymtrique (barrage par exemple), les fonc-tions u et w n'ont pas de parit; il faudrait alors considrer les d-veloppements complets en srie de Fourier.

    gn reportant les expressions de u et w dans les quations (5), on a:

    ! E (1 - v)d::~ a2 (1 - 2 V) Wm HI :~m ]cos am x = 0 . [ d

    2Um dWmJ ; (- 2 0.

    2 ) (1 - v) Um + (1 - 2 v) ---2- ~ a d sin am x = 0 dz z

    z sont ainsi spares, en effet les quations

    (5')

    Les variables x et (5') doivent tre vrifies ~ions . diffrentielles e~ z

    identiquement en x. Elles se ramnent aux qua-suivantes pour chaque valeur de ln

    d2

    Wm (~!- 2 U 2 (1 - v) - a (1, - 2 v) W rJz) + a~= 0 dz 2 dz

    (7)

    d2 Um (z) VI

    -2 a 2 (1 - v) U (z) + (1 - 2 v) - a d m (z) = 0 m dz 2 dz

    La solution (8) de tels systmes du 2 ordre est connue, elle dpend dS quatre constantes Cl' C2 , C3 , C4 , ces 'constantes tant diffrentes pour

    Chaque valeur de m.

    U (z) -W [aci sh az +ac2 ~h az + az C3 ch az + az C4 sha z] m

    W (z) li (3 ~ 4 v) + ] (3 C3 - a CI l (8) C4 - aC 2 shaz 4 v) m 2G + a C3 Z shaz]

    E Chaz + a C4 zchaz G

    2 (1 + v)

    12

  • Les expressions de fo nction des constantes

    u (x, z) et w (x, z) CI' C2 , -C3 , C4

    sont alors connues (6) en

    Les quations ( 1 ) permettant alors de trouver l'expression du tenseur des dformations

    du e

    dX xx

    dW e a; ( 9) zz

    1 [ du dW l e + xz 2 dZ dX Les quations (2) donnent l'expression du tenseur des contraintes

    Ox - \8 - 2 ]J e xx

    OZ - \8 2 ]J e zz (10)

    T 2 ]J e xz xz

    avec les conventions de s~gne de la mcanique des sols (compression positive).

    On obtient ainsi une expression des contraintes sous la forme de sries de Fourier.

    oc

    O' x L: m=O

    Nlm (z) sin a x m

    oc O'z L: N3m (z) cos a x m=O m

    oc T L: Tm (z) sin a x xz m=O m

    avec

    Nlm (z) - \ (aUIT. (z) + ;1Wm) dZ

    - 2 ]J a Um

    N3m

    (z) - \ (aUm (z) + dWm) - 2 ]J dWm

    dZ dZ

    d W T (z) -]J ( -a W (z) + dZ

    m) m m

    En reportant les expressions (8) de on obtient

    13

    U (z) m

    et

    (II)

    (12)

    W (z) dans (12) m

  • 2 - a C4 z shcz

    N3m (z) = a[a C2 - 2 (J - V)JC 4 chuz + a [ac J,- 2 (J - V)C3

    ]ShOZ

    2 C4

    z shaz + a 2 z C3 chaz (J3) + a

    2 ' + a G4 z shaz +

    2 ' a z C3 shaz /

    J.3. LES CONDITIONS AUX LIMITES DANS LA METHODE DES SERIES DE FOURIER

    J.3.J. Les diffrents problmes

    Les expressions (JI) et (13) donnent la forme gnrale de la solution. Il reste dterminer les constantes par l'expression des conditions aux li-mites. Ces conditions aux limites dpendent essentiellement du type de pro-blme envisag. En effet, le ,sol de fondation peut entrer dans l'une des C?-tgories suivantes

    milieu infini homogne,

    milieu infini multicouche,

    milieu monocouche limit infrieurement par un substratum indformable,

    mili~.multicouche avec substratum.

    D'autre part, plusieurs types de contacts entre les diffrentes couches ou entre la dernire couche et le substratum peuvent tre envisags.

    Pour un problme dtermin, on exprime que les conditions aux limites sont vrifies

    la surface libre du sol de fondation, et au contact du remblai,

    au contact avec le substratum

    l'interface de deux couches.

    D'une part, on connat une expression du dplacement et des contraintes (7) et (8) dpendant de constantes, d'autre part, on connat les dplacements bu les contraintes imposes en diffrentes surfaces, il s'agit alors d'identi-fier deux types d'expression. La forme des expressions (7) et (8) amnent donc dcomposer la charge en srie de Fourier.

    14

  • 1.3.2. Expression dtaille des conditions aux limites

    a). En surface

    Deux conditions sont imposes

    le cisaillement est nul T (x, H) o Vx

    La contrainte verticale 03 est impose.

    ex: r N

    3 cos x = p (x)

    m=o m am

    avec p (x) distribution de charge de remblai.

    En dcomposant p (x) en srie de Fourier :

    a o ID

    p (x) = cos a x m

    On obtient alors la condition

    T (H) = 0 \lm m

    a ID

    V m

    (a tant connu) fi

    b). Au contact du substratum --------------------~~--

    L encore, on a deux conditions

    W (x, 0) = 0 Vx W (0) = 0 m

    Vm

    La deuxime condition dpend de l'hypothse concernant le substratum

    ou bien substratum rugueux u (0, x) o \Ix

    ou bien substratum lisse T (0, x) = 0 Vx

    c). A un interface

    On doit crire quatre conditions

    Continuit de la contrainte sur l'interface

    (h. ) ~

    = (h. ) ~

    (ho ) ~

    (h. ) ~

    15

    U (0) = 0 m

    T (0) m

    o

    Vm

    \lm

  • Continuit du dplacement vertical

    Cette condition dpend du contact entre les couches

    Soit ce contact est rugueux

    ," Soit ce contact est lisse

    (Voir dveloppement de l'annexe 1) .

    1.3.3. Dnombrement des conditions aux limites

    Comme il a t vu ci-dessus ( 1.3.2.) le nombre de conditions aux li-mites dpend du nombre de couche du substratum.

    g~~_~~_~~~~~~~~~~ , avec substratum rigide.

    t ' 1

    ! / ~ C' impos

    impos

    ou r

    Fig 3 - Conditions aux limites du problme.

    La solution dpend de 4 n constantes (si l'on arrite le dveloppement en srie au ne terme).

    Pour chaque terme, on dispose (fig. 3)

    de deux conditions en surface,

    16

    o

  • de deux onditions le long du substratum.

    On peut donc dterminer les constantes.

    ~~~_~~_~~l!i~~~~~~ (k couches) avec substratum rigide.

    La solution dpend de k (4 n) constantes. Pour chaque terme on a

    deux conditions en surface,

    deux conditions au contact avec le substratum,

    4 conditions chaque interface et il y a (k - 1) interface s .

    Le nombre de conditions est donc

    n [2 + 2 + 4 (k - 1)] k (4 n)

    On peut donc dterminer toutes les constantes.

    ~~~_~~_~~!!~~~~~~~~ dont la dernire couche est infin~e.

    Dans la derniye couche, on ne dispose que de deux constantes CI et C1 , en effet C2 = C4 = a car ce sont les coefficients de" termes en chaz et ct QZ qui tendraient vers l'infini avec z.

    Deux constantes ont donc disparu ; mais on dispose de deux conditions de moins puisqu'il n'y a plus de contact avec un substratum.

    2 - UTILISATION PRATIQUE DU PROGRAMME

    Les programmes existant actuellement permettent le calcul des contrain-tes sous une charge trapzodale reposant sur un massif mono couche ou bi~ouche. Leur extension est possible dans plusieurs directions.

    chargement quelconque mais admettant un axe de symtrie

    chargement quelconque

    sol de fondation multicouche.

    Les programmes rdigs en langage Fortran IV sont adapts l'ordinateur CIl 10070 et peuvent tre traits partir d'une console de tltraitement.

    17

  • On trouvera ci - dessous une liste des donnes, des symboles qui les re-prsentent, ainsi que des formats dans lesquel selles ont t exprimes. On traite ensuite un exemple type auquel on peut se reporter.

    On trouvera galement en annexe tin organigramme ainsi qu'un listing.

    2.1. Liste des donnes et des formats

    2.1.1. Cas du monocouche (Fig. 4)

    r----. ..,.----------------------.,-----.---r-------. Variable

    XL

    XLL

    Q

    H

    NU

    A

    E

    PH

    PV

    NN

    MM

    KA

    Signification de la variable

    Demi largeur en tte du remblai

    Demi l~rgeur en pied du remblai

    Charge due au remblai dans la partie horizontale

    Profondeur de la couche compressible

    Coefficient de Poisson

    Distance laquelle on estime ngligea-ble l'influence du remblai

    Module d'Young

    Pas horizontal du quadrillage

    Pas vertical du quadrillage

    Nombre de verticales prospecter

    Nombre d'horizontales prospecter

    Nombre de termes de la srie (100 ou 200 en pratique)

    18

    Unit

    mtre

    mtre

    bar

    mtre

    mtre

    mtre

    bar

    mtre

    mtre

    mtre

    mtre

    Format

    F 4

    F 4

    F 4 2

    F 4

    F 4 2

    F 6 1

    F 7 1

    F 4 1

    F 4 1

    l 2

    l 2

    l 3 ou l 4

  • Les donnes sont introduites par les quatre cartes suivantes

    Monocouche

    CARTE 1

    Il 1\ 1-1 lili-III 1 1-1111111 1111111 A XL )(LL H

    CARTE 2

    : 1 11 1 1 \ 1 1 \.\ 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 [.

    NU E.

    CARTE 3

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Il 1 1 Il! 1 1 1 1 1 1 1 1 Il! l KA

    CARTE 4

    1 \1.\ 1 ! \.\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 TJJ PV PH NN ~t"

    !- XL oJ / '

    1 MM : 9 '~ PH 9 i ~ Il - 1 --l I! te XI...\... ' 1 , 1.

    1 1 - l? ii 1 1 pvq~ I!

    --1 1 1

    1

    . _ "w ____ _ ._" -_.-

    1

    1 HI 1 15

    1

    -_.-

    ~. " 1:

    if 1 1 il -1 i to Il IZ NN:::6 " - ---1 l 1 f" 2- A 5 6 1 1 i- A 1

    Fig. 4 - Donnes pour le programme.

    19

  • 2.1.2. Cas du bicouche

    Les donnes comprenn0nt celle du monocouche plus des donnes relatives la deuxime couche (fig. 5) .

    Variable Signification de la variable Unit Formule

    H Epaisseur totale de la couche com- m F 4.1 pressible

    HI Epaisseur de la couche infrieure m F 4.1

    MMI Nombre d'horizontales prospecter - l 2 dans la couche suprieure

    MM2 Nombre d'horizontales prospecter - I2 dans la couche infrieure

    E 1 Module d'Young

    Poisson }

    de la cou-Bar F 7.1

    NU 1 Coefficient de che sup- F 4.2 rieure

    E 2 Module d'Young } de la c.ou- Bar 7.1 che inf- F NU 2 Coefficient de Poisson rieure F 4.2

    1 1

    '" 1

    . MM1 = 3

    , X

    ~E 1

    ~ 0 H MM2_ 4 1

    H1

    1

    0

    e 1

    Fig. 5 - Donnes pour le prog~amme bicouche.

    20

  • 8icouche

    CARTE 1

    [1 1 1 11 1 1 111 1 1 1 11 1 111 1 1 1-1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

    A XL XLL H Hi

    CARTE 2

    Il 11111-11 11111-111 Il 1 11111 1 W NVJ NU '1 El

    CARTE 3

    1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 J J{A

    CARTE tl

    WIIIIIIII! I! Il! !! Il! 1111 i Il PY PH NN ;"1Hl "112

    2.1.3. Utilisation d'une console de tltraitement

    A'J. moment de l'excution, on reoit le signe :

    On tape alors avec le clavier le contenu de la carte 1, suivi de ~et (return).

    On reoit alors le signe :

    On tape la carte 2 etc ...

    21

  • 2.2 . PRESENTATION DES RESULTATS

    On obtient d'abord un rappel des donnes; puis les valeurs de la con-trainte verticale sur la surface de contac t avec le remblai sont imprimes. L'imprimante donne alors les rsultats de la deuxime ligne et ainsi de suite jusqu' puisement du maillage. Ensuite, la contrainte horizontale, le ci-saillement et les dplacements horizontaux et verticaux sont donns selon le mme procd (voir fig. 6).

    1 \ " 2- 4- S G ~ e q 1\0

    1 1\1\ 1\1. 1\3 JIll. 1\1:

    AG "''\ I\~ I\q 1..0

    T '2..2. 2.3 2.4 2.S

    Fig. 6 - Maillage pour la sortie des rsultats.

    On trouvera en annexe un listing de prsentation de rsultats.

    2.3. CONVERGENCE DE LA HETRODE

    Comme nous l'avons vu, le calcul consiste dcomposer la charge en srie de Fourier. Ces sries convergent assez lentement. (Le reste est en

    1 effet d'ordre M)' Le nombre KA est la donne qui reprsente le nombre

    de termes calculer. En l'absence d'une tude exhaustive de la convergence on retiendra les lments suivants qui se sont dgags de divers essais

    Pour le programme monocouche une valeur K..\ prise entre 100 et 200 donne de bons rsultats.

    Pour le programme bicouche, le choix de KA est parfois plus dlicat. En effet pour chaque terme de la srie, on ~nverse par le sous programme HAT

    22

  • la matrice Rij (voir annexe) ; or cette. matrice est "de plus en plus singu~ lire" quand M augmente. On a donc introduit un test qui arrte le program-me si cette matrice n'est plus inversible par le sous programme RESOL.

    Dans un tel cas, on obtient l'indication

    M = K\DD = a MATRICE SINGULIERE

    La sommation des termes de la srie est alors arrte au rang (M - 1) et les tableaux de sortie son~ remplis par. ces rsultats.

    Il faut alors diminuer KA, cela bien sr au dtriment de la preC1s~on du calcul ; mais on peut aussi augmenter A (dfini dans le tableau des don-nes) puisque c'est la suite

    am 2 II m

    A

    qui dtermine la rapidit de convergence de la srie.

    :3 - RSUL TATS POUR UN REMBLAI TYPE

    On a trac des abaques pour l'utilisateur qui ne dispose pas d'un or-dinateur ou pour celui qui dsire obtenir rapidement une valeur approche des rsultats.

    L'importance du nombre des paramtres exclut que l'on fa.sse des abaques pour tous les cas. On a donc choisi un remblai type (o a = ~ . ..,c'I,66) pour lequel on dorme des rsultats quand les autres paramtres varient, puis

    L on discute la variation 'de ces rsultats quand a =. ~ varie; les autres

    paramtres tant fixs.

    23

  • Paramtres intervenant dans les abaqus (fig. 7)

    1-

    L~ 3

    H M r-

    Fig. 7 - Paramtres choisir pour les abaques.

    "3.1. VALEURS DES CONTRAINTES SOUS L'AXE

    Ces valeurs sont calcu1es dans les cas suivants

    \)

    f3 =

    z = 0 H

    avec

    0.3

    H

    \)

    H

    0.4

    0.5

    3

    O. J

    coefficient de Poisson

    3.5

    0.2

    hauteur de la couche compressible largeur moyenne du remblai Ltt

    0.5

    1. 25

    4

    J .5

    5

    1

    ft

    z profondeur i laquelle on calcule la contrainte.

    Les abaques donnent les valeurs de K, K, K dHinis par T

    a K q

    } v v ah Kh q avec q charge de remblai T = K q = 0

    T

    Planches n 0 J. 2, 3, 4, 5 ,

    24

    L + 1 = 2

    H = -1

    J. 75 2 2.5

    0.9

  • 3.2. VALEURS DES CONTRAINTES VERTICALES A MI-PENTE DU REMBLAI

    Q L+Q = 2

    {3 H = -Il

    Fig. 7 bis - Droite verticale mi-pente du remblai.

    Les . valeurs de av et ah sont prsentes pour V = 0.3 (v n'a pour

    ainsi dire aucune influence sur a). v

    Planche 6, 7

    Les valeurs de la contrainte de cisaillement pour V = 0.3 v = 0.5

    Planche 8, 9 .

    Les paramtres sont les mmes que sous l'axe.

    a v

    T

    K v

    q

    q

    q

    On prendra garde dans ce cas l'influence

    (En effet, les abaques sont traits dans le cas

    du calcul rigoureux dans la partie suprieure de diffrents de ceux des abaques.

    de la gomtrie du remblai. L l = 1,66). Les rsultats

    la couche, peuvent tre assez

    3.3. EVOLUTION DES CONTRAINTES SUR UNE HORIZONTALE

    Nous prsentons galement la distribution des contraintes sur des sur-faces horizontales (planches 10 17); Les surfaces choisies sont la surfa-ce de contact -avec le remblai, la surface horizontale mi-profondeur, ainsi que la surface de contact avec le substratum. Ces rsultats sont prsents titre indicatif pour V = 0.3 pour diverses profondeurs du substratum; ils mettent en vidence la rapide dcroissance de la contrainte quand on s'loigne de l'axe et "l'amortissement" de l'influence du remblai avec la profondeur.

    On constate d'autre part que la valeur maximum de T est obtenue sur la verticale mi-pente du talus de remblai. Ce rsultat empirique permet donc de tester rapidement la validit de l'hypothse sur le contact avec le substratum.

    25

  • Si Test infrieur i Cu (dans le cas du court ~erme)et infrieur i cr tg c.p + C' dans le cas du long terme, on peut considrer que l'hypothse de contact sans glis'sement avec le substratum est correcte, dans le cas contrai-re, il est difficile de conclure.

    3.4. DISCUSSION DES RESULTATS

    3.4.1. Influence de la gomtrie du remblai

    Nous avons prsent dans ce qui prcde les rsultats pour un remblai ty-pe o le rapport . des longueurs en pied et en tte de remblaitait L 1= 1.66.

    Il faut cependant noter que la gomtrie du remblai a une influence sur les contraintes dveloppes dans le massif de fondation. Mais la pente du remblai n'est pas la caractristique qui nous intresse. En effet on voit la figure 8 deux remblais qui se dduisent l'un de l'autre par une affinit . d'axe Oz.

    z

    Remblai 2

    Remblai 1

    )(

    o Fig. 8 - Non influence de la pente.

    Les deux chargements (remblai 1 et remblai 2) sont proportionnels. Par application du thorme de superposition des tats d'quilibre, on voit qu'ils dveloppent dans le sol des contraintes proportionnelles, bien que les deux remblais aient des pentes diffrentes. On a don~ choisi comme paramtre carac-trisant la gomtrie du remblai le rapport

    a = L .e Nous avons effectu le calcul pour les valeurs suivantes de a

    L = .t

    l, 3, 1 .66, 1.22, 1. Il

    26

  • 0< = " 66 1

    \ \ -==< ::.' 2.2 , 0

  • sent dans le bas de la couche compressible.

    Le cas que nous prsentons est un des plus dfavorables puisque le subs-tratum est peu profond.

    3.4.2. Influence des caractristiques mcaniques du sol de fondation -Modu-le d 'YOU:1g.

    Le premier rsultat connu depuis longtemps est que pour un massif de fondation monocouche, le module d'Young du sol de fondation n'intervient pas dar.s le calcul des contraintes (il a par contre une influence sur l'amplitude des dplacements).

    Ceofficient de ~oisson

    Notre tude confirme le fait que le coefficient de Poisson a une in-fluence ngligeable sur la contrainte verticale (planche 1 et 2). Par con-tre, cette influence est sensible sur la contrainte horizontale. Au contact avec le substratum, on notera que l'on a

    - \J K

    o ( 1 )

    puisqae la condition de non dformation latrale est vrifie.

    Pour les valeurs \J = 0.5 et \! = 0.3, on a K = o ".

    et K = 0,43. o

    La valeur de \J peut donc avoir une influence de 100 % sur la con-trainte latrale.

    CONCLUSION

    Nous avons prsent une mthode de calcul des contraintes dans un massif de fondation mono couche ou bicouche limit par un substratum rugueux et sou-mis ~ une distribution de charge trapzodale, en appliquant la th~orie de l'lasticit linaire.

    Tous les mots de la phrase prcdente sont, pour certains, une source d'extension, pour d'autres une limitation de la mthode.

    Des massifs monocouches et bicouches, on peut passer au cas plus gnral d'un massif compos de n .couches horizontales.

    La distribution de char~e peut ne pas tre trapzodale et peut mme devenir asym~trique (ex. barrage en terre).

    ( 1) Ce coefficient K joue un rle analogue au rapport des contraintes o oH

    effectives dans un sol

    latrale est vrifie. 0 '

    v K

    o

    28

    quand la condition de non dformati.on

  • On peut choisir comme hypothse que le substratum est lisse ; par contre on ne saurait supposer que le frottement avec le substratum est du type cou-lombien T< c + a' tg ou T < Cu. Une ingalit met en effet la mthode en chec. D'autre part, on ne peut pas supposer non plus que t = a tg ce qui n'a pas de sens sous l'axe du remblai o t = a et a, # 0 (par sy-mtrie) .

    On ne peut pas non plus tendre' la mthode au cas de l'lasticit non linaire (module d'Young fonction des contraintes au point considr).

    D'au~re part, cette mth8de rvle ses limites dans certains calculs: il est frquent de trouver que les contraintes calcules dpassent l'tat limite de rupture, alors qu'on sait par ailleurs que le remblai est stable. Cela met en vidence la prsence de zones "plastiques". La limite essentie1-' le de cette mthode est en effet celle de l'lasticit ...

    Nanmoins, ces calculs sont trs instructifs, en particulier pou~ la recherche de la valeur de la contrainte horizontale. C'est en effe~ sur cet-te dernire que la profondeur du bed-roc~ et la valeur du coefficient de Poissn ont le plus d'influence. C'est prcisment la va.leur attribu~~e ah et par l mme, la connaissance du chemin de cvntraintes qui perr.lettellt ri' ef-fectuer des essa~s reprsentacifs l'appareil triaxia1 et de dvelopper nos connaissances quant au tassement des sols compressibles.

    29

    ~ . . .

  • BIBLIOGRAPHIE

    [1] BOUSSINESQ, Application des potentiels l'tude de l'quilibre et u mouvement des solides lastiques, Gauthier-Villars (paris, 1885). .

    [2] BURMISTER, Stress and displacement characteristics of a two layer r.igid b.ase soil system, HRB 35, p: 773.

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    30

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    [10] FADUM. Influence l'alues for estimating stresses in dastic foundatio/ls, Compte rendu du 2e Congo Int. Me. Sols et Trav. Fond. (Rotterdam), vol. 3, p: 77 (1948).

    [11] STEINBRENNER, Tafeln zur Setzungsberechnung (Strasse) vol. 1 (1934).

  • ANNEXES

    31

  • ANNEXE 1

    EXPRESSION EXPLICITE DES CONDITIONS AUX LIMITES

    Rappelons que l'expression des dplacements et des contraintes est .. 0

    u (x, z) = ?= 0 Um (2) sin am x 0()

    =L m = 0 w (x, z) Wm (z) cos am x

    o les expressions dtai lles de Um (z) et ~';m (:2:.) sont donnes par les formules (8) p. 8

    Les contraintes

    0x (x, z)

    sont exprimes par : a.o

    = '2-- N-im (z) sin am x m = 0

    .00

    Oz (x, :::) = L N3m (z) cos am x ln ::: 0

    T (x, z) =LTm III ::: 0

    (z) sin am x

    o N'lm, N3m, Tm sont donns par les formules (13) p. 9

    l - CAS DU MONO COUCHE

    Dans le cas d'une couche de fOI\dation monocouche reposant sur un substra-tum rugueux, il y a 2 conditions aux limites en surface et deux conditions au contact du substratum

    En surface Tm (H) = 0

    a (a CI - (1 - 2V) c31 chaH + a(a 'CI - 2 (1 - v) C3) shaH + a 2 C4 H chaH ( 14)

    + a 2 ~3 H ~h aH = 0

    N 3 m (H) = am

    33

  • (15) a(a C2 - 2 (1 - V) C4) chaH + a(a CI - 2 (1 - v) C3 ) shaH + a 2 C4 H shaH

    + a 2 C3H chaH = a m

    Au contact du substratum

    W (0) = 0

    (16) (3 - 4v) C3 - a CI = 0

    (17)u (0) = 0 C2 = 0

    En reportant (16) et (17) dans (14) et (15) on obtient deux quations en C3 et C4.

    ( B C3 + C C4 = 0 ( 18) (

    ( D C3 + E C4 am

    o B, C, D, E sont des coefficients donns par

    ( B - 2 a( 1 - v) chaH + a 2 H shaH ( ( C a (1 - 2 v) shaH + a 2 H chaH

    ( 19) ( ( D = - (1 - 2 v) shaH + aH chaij ( ( E 2 ( 1 - v) chaH + aH shaH

    Le systme (18) se rsoud alors en

    am D C 3 = ---=-=----:=--BE - CD

    - am E BE - CD

    II - CAS DU BICOUCHE

    Les formules (8) et (13) qui donnent .les expressions de Um (z), Wm (z), N m (z), N3m (z), Tm (z) sont ddoubles puisque les constantes CI, C2, C3, C4 ne sont pas les mmes pour les deux couches.

    , On a appel ces constantes:

    34

  • CI, C2, C3, C4 pour la couche suprieure

    DI, D2, D3, D4 pour la couche infrieure

    Les quantits Um, Wm, Nlm, N3m, Tm sont indices

    en Uml Wml N1m1 N3rn ] Tm] pour la couche suprieure

    en !Jm2 Wm2 N]m2 N3m2 Tm2 pour la couche infrieure

    On a alors huit conditions aux limites

    Au contact du substratum

    (20) U = 0

    (21) W = 0

    ) ) ) )

    substratum rugueux

    A l'interface

    (22) Um] = Um2

    (23) Wml = Wm2

    (24) N3ml = N3m2

    (25) Tm] = Tm2

    En surface

    (26)

    (27) N3m] = am

    ) ) ) )

    ) ) ) )

    ) ) ) )

    continuit des dplacements

    continuit de }Z et T

    contraintes imposes par le chargemnt

    Ces huit conditions s'explicitent en

    (20) ,

    (2]) ,

    (22) , G: ( C] shah] + C2 chah] + hl C3 chah] + h] C4 shah)

    - G~ (D) shah) + D2 chah 1 + h) D3 chah) + hl D4 shah 1 ) = 0

    35

  • (23) ,

    (24) ,

    (25) ,

    (26) ,

    (27) ,

    _1 l--a chahl CI -a shah 1 C2 + ( (3 - 4VI) chah 1 - ah! shahl) C3 GI "

    + ( (3 - 4VI) shah 1 - ah 1 chah 1) C4J

    - G~ [ -a chah 1 DI - ashahl D2 + ( (3 - 4V2) chah 1 -a hl shahl) D3 + ( (3 - 4\>2) shah 1 -a hl chah 1) D4 J = a

    acl shahl + aC2 chah 1 + r ahl chahl - 2 (1 - VI) shah l ] C3

    + (ahl shah 1 - 2 (1 -VI) chahl) C4

    - aDI shah 1 - aD2 hahl - ( ahl chah 1 - 2 (I - V2) shah 1 :. D3

    - (ahl shah 1 - 2 (1 - v2) chahl) . D4 = a

    achah l CI + ashahl C2 + (ah 1 shah 1 - (1 - 2vI) chah 1

    + (ahl chahl - (1 - 2VI) shahl) C4

    - achahl DI ..:. ashahl D2 -( ,:;., hl shah 1 - (1 - 2v2) chah 1 ) D3

    - (ahl chah 1 - (1 - 2V2) shahl) D4 a

    achah CI + ashah C2 + (ah shah - (1 - 2vI) chah)

    + ah chah - (1 - 2vI) shah a

    a 2 shah CI + a 2 chah C2 + (0) h chah - 2a (1 - vI) shah)

    + Cih shah - 2a (1 - VI) chah) C4 am

    Ces 8 conditions sont linaires en CI, C2, C3' C4, DI, D2, D3, D4 elles peuvent s'crire sous la forme

    r f l ra

    C2 a i 8

    C3 a C4 a J 8

    Rij DI ()

    D2 a D3 a D4 am

    36

  • o les coefficients Rij sont donns par

    R2l = R22 = R23 = R24 = 0 R2S = - a R26 = 0 R27 = (3 - 4 )2)

    R28 = 0

    shah 1 Gl

    -shahl R3S = G2

    R41 =

    R44 =

    -a chah 1 Gl

    (3 - 4vl)

    GI - R42 tf2

    chah 1 Gl

    -chah 1 G2'

    hl chah 1 R 33 = ---=---GI

    -hl chah 1 R37 = --:---G2

    hl shah 1 R34 = ~~.:....;:"..;. Gl

    -hl shah 1 G2

    R42 = -Ct shahl

    R43 = (3 - 4vl) chahJ -6: hl

    Gl Gl

    shCthl Gl

    -a hl chah 1 R4S - R41 Cl = G2

    = (3 - 4V2) chah 1 -a hl shah 1 G2

    (3 - 4V2) shah 1 -a hl chah 1 R48 = ...:.-._-~---:::------

    G2

    ~hahJ

    RSI = ashahl RS2 =0. chah 1 RS3 =0. hl chah 1 - 2 shah 1 (1 - VI)

    RS4 =0. hl shah 1 - 2 chah 1 (1 - VI) RSS = - RSI RS6 = - RS2

    RS7 = ( ahl chah 1 - 2 shah 1 (1 - V2) ) RS8 = - Ca hl shah 1 - 2 chah 1 (1 - V2

    achahl R62 =0. shah 1

    R63 =0. hl shah 1 - (1 - 2vl) chah 1 R64 =0. hl chah 1 - (1 - 2VI) shahl

    R67 -(ahl shah 1 - (1 ~ 2V2) chah 1 ) R68 =-( ~ hl chah 1 - (1 - 2V2) shahl)

    37

  • chah R72 = shah ah shah - (1 - 2vl) chah

    ah chah - (1 - 2VI) shah a

    a 2 shah R82 = a2 chah a 2h chah - 2a (1 - VI) shah

    a 2 h shah - 2a (1 ..: VI) chah R88 a

    an remarquera que l'on aurait pu rduire assez facilement le systme de 8 7 ou 6 inconnues. Cependant on a gard cette forme brute pour que la transposition au tricouche (ou davantage) soit plus facile.

    qe systme est rsolu par une mthode numrique l'ordinateur (sous progranune RESaL de la bibliothque CIl)

    38

  • ANNEXE 2

    o

    0.1

    0.2

    ABAQUES

    PLANCHE 1

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE VERTICALE SOUS L'AXE v = 0,3

    0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    0.3+-____ ~~-----_+------~--~_+~-~4_~

    0.4 '1"-------1~----+-

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8 +-----j- -----+-+-+-+--l-+---I--I--+---+-

    1 Z H

    39

  • o

    O. 1

    PLANCHE 2

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE VERTICALE SOUS L'AXE Il = 0,5

    0.2 0.4 0.6 0.8 t

    0.2 --____ +-____ -+ ______ ~----~~~~

    0.3 -t-----I-----f-----+--I---f.--!-.L--I---I--l+I

    04 -t----+-----I----I-I~ i--+---I+---+--++-H

    0.6

    0.7 ------f-

    0.8 -.---+-----1'-+--+--+--++---+-- . .....,/-+1--+--+-+--1

    1 Z H

    40

  • PLANCHE 3

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE HORIZONTALE SOUS L'AXE v = 0,3

    o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

    0.1+~ ______ ~~~~~ ____ -+ ______ ~ _____ --,

    0.2 +--;.--r t.t.:'.Io'-:-tL--.'-Hf++~------+-------t------;

    0.3+4,y~-+~~+-~------+------4-----~

    0.5

    0.6 +H-t--!--+--II--z+---H-------l-------t------t

    0.8~~~~~~---0~,-5----r_----~------~

    09+---+-'\-\-+-\-1.-\---\--\--\--+1- -----t-------+------i

    1 Z H

    41

  • PLANCHE 4

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE HORIZONTALE SOUS L'AXE v = D,il

    0.2 0.4 . 0.6 0.8 1.0

    05 -tl-H--I-+ FSr-+- +t----+-t------+-----

    06

    07

    Z H

    0, 5

    ---\---t-+---- -------1

    42

  • PLANCHE 5

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE HORIZONTALE SOUS L'AXE v. = 0,5

    0.2 0.4 0.6 0.8 10

    0.4++~~-+-~--+-+-4+---+--+------++------~

    1 Z H

    ,25

    43

  • PLANCHE 6

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LES VALEURS DE av SUR LA DROITE A MI -PENTE - " = 0,3

    o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Kv

    0.4

    0.6 -.---+----+~--f_l__1_Jj__+__+_-_!_---_+_--___l

    0.8+ ____ ~--+~I--~~~~~~--_+----_+-----~

    Z H

    PLANCHE 7

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LES VALEURS DE aH SUR LA VERTICALE A MI-PENTE v = 0,3

    o

    0.2

    0.4

    0.6 .

    0.8

    Z H

    0.2

    15

    1 1

    0,4 0.6 0,8 1,0

    '1 1

    1 1 1

    1 1

  • PLANCHE 8

    COEFFICIENT D'INFLUENCE POUR LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT SUR LA VERTICALE A MI-PENTE Il = 0,3

    a 0,05 0,1 0,15

    q25+---------------~--*_-----------_4--_+_4~~~W--------

    0,5 -I---~- -------+-~--__/_+__--~_lIH~_

  • o

    02

    PLANCHE 9

    COEFFICIENT D'INFLUEfJCE POUR LA CONTRAINTE DE CISAILLEMENT SUR LA VERTICALE A MI-PENTE v = 0,5

    0,05 0,1 0,15

    ~ ::0,5

    0,5+-__ ,--__

    1 Z H

    46

  • (0)

    ( b)

    (c)

    cry q

    PLANCHE 10

    EVOLUTION DE av SUR DES HORIZONTALES v = 0,3 (3 = 0,5

    47

    0+-.----......

    Cille H

    Cole li 2

    Cole 0

    x

    x

    x

  • PLANCHE 11

    EVOLUTION DE_ aH SUR DES HORIZONTALES

    v = 0,3 ~ =0,5

    eTk . H

    q 0 1 .~

    Cole H (0 )

    x

    x

    Cole a (c)

    x

    48

  • PLANCHE 13

    EVOLUTION DE (JH SUR DES HORIZONTAlES-.

    V = 0,3 ~. = 1

    (c)

    0,5

    0,5

    50

    H -1""''"'''''------

    o -t------- -+

    Cole H

    Cote H 2

    Cote 0

    x

    x

    x

  • PLANCHE 14

    EVOLUTION DE Uv SUR DES HORIZONTALES v = 0,3 {3 = 2

  • PLANCHE 15

    EVOLUTION DE aH SUR DES HORIZONTALES

    v = 0,3 ~ = 2

    0,5

    (c )

    a

    0,5

    ( b)

    0,5

    52

    a

    . Cole H

    Cole H 2

    Cole a

    !:1 2 ,.

    X

    x

    X

  • PLANCHE 16

    EVOLUTION DE av SUR DES HORIZONTALES v :: 0,3 {3 :: 4

    H -f'L'ULA"------H/2

    o +-------IIit ......

    (0 ) Cole H

    x

    (b)

    x

    x

    53

  • PLANCHE 17

    EVOLUTION DE aH SUR DES HORIZONTALES

    v = 0,3 (3 = 4

    0.51 r Cote .!!

    (:l) 1-----1B!!!I!!!!!~~~2 ~2 ~2~2!:L2 :L2~2~2z::22~2~ZZ22:LZ:Z2::ZZ27:?~?z2 7Z?~72:7Z2/~~ x

    0,5

    (0) Cot.e 0

    x

    54

  • , , , o 02 o 04 06

    0,2 5.

    0,5 '-

    0,75

    Z

    0 8 , 1 Kv

    1

    / a.=

    !J a-3 /~ a= 11 - ,

    /~ PLANCHE 18 INFLUENCE DU RAPPORT a SOUS L'AXE

    v = 0,3

    L = .,..- SUR Kv Q

    o 0,2 0,4 0,8 KH o ~------+-----~r---~'+-------r------;---------------~~_

    0.5

    0,7

    1

    z 'Fi

    55

    PLANCH E 19

    INFLUENCE DU RAPPORT a = !:. SUR KH Q

    (SOUS L'AXE) v = 0,3

  • o 04 02 , , o

    0,2 5

    '- 1 0,5

    1

    0,7 s. i

    1 Z H

    o o

    0,2 5.

    0,5

    0,75 '+

    -

    z -H

    06 , 08 1 Kv

    1.6~ CC = 7 3 Il

    1

    '1 ,

    ,

    r- I q2~ v-::: ~ ;/ 11 f{ Y

    1

    !

    \ ~

    Ct=7 J La: = 1,6

    56

    PLANCH E 20

    IN FLUENCE DU RAPPORT Cl! = ~ SUR KV Q

    (SOUS LA VERTICALE A MI - PENTE) v = 0,3

    Ct=16 Ct .. 135 Ct =12 K r' r' r- , 0,4 .---:::: 1-: 0,6

    PLANCHE 21

    INFLUENCE DU RAPPORT Cl! = ~ SUR KH Q

    (SOUS LA VERTICALE A MI -PENTE) v = 0,3

    H

  • PLANCHE 22

    INFLUENCE DU RAPPORT 0: = f SUR Kr (SOUS LA VERTICALE A MI-PENTE)

    v = 0,3

    0,4 K o -r~:::=~~~:::::::=:::~-I-- 1 ~ t

    1 1

    0,2 5 _ _ _

    0,5

    0,75

    1 -r---------~--------~~------~~-------J

    Z H

    57

  • ANNEXE 3

    ORGANIGRAMME DU PROGRAMME DE CALCUL AUTOMATIQUE

    1 , 1

    1 i 1

    1

    1

    1 1 1

    1 i

    1

    1

    58

    1

    I-1

    1

    1

    1 1

    1

    1

    t 1

    !

    O;mensionnement des tableaux

    donne5

    de. tableaux

  • ANNEXE 4 (cf. p. 23)

    LISTING DE PRSENTATION DE RSULTATS

    VALEUR DE LA SURC5'-TRAI"JTE HflFdZ\TALE 3Z'OOO ... 420 -.457 "534 400 ,244 .096 ,016 ".OC4 .. '017 "'031 '023

    29(:100 ... 389 -.,98 -.399 240 '029 '023 ,002 ".018 -025 ".023 '019 25'600 -,352 -.3'+5 -298 -197 "'137 -0'+6 -.028 -.028 "'027 022 "'018 22400 ... 317 -.101 "'240 - 0187 .. 0181 -098 .055 .0~8 "'029 .022 "'017 19'200 ... 290 .269 -211 - 0186 ... 197 "'131 -.076 -.01+7 "'031 -'022 "n16 16'000 .273 ".l'52 -'20?' -.189 .. ,201 .148 -089 -.052 '032 .021 '015 12'800 -,269 -.249 206 .. 0194 -198 -. H,2 -.094 ".053 ... 031 '019 '013

    :3.600 -.280 -.260 -220 ... 201 .. 0191 11+6 .090 -.ObO 027 .016 '" :)11 6400 -0304 -.;>86 -244 -.210 0179 "'129 ".076 ".041 "021 "'012 "'008 3.200 ... 344 -.326 -.?79 ... 221 ... 160 -101 .054 .026 .013 .008 "'005

    '000 -. ~399 -.382 .328 -.235 - 0133 -059 -.022 .007 .::103 002 . '002 VALEUR DE LA SURC5~ j TRAINTE VERTICALE 32'000 -.999 -1'006 -999 -.742 033 -.005 -.012 .005 006 006 .0002 28 0800 "1'002 -1005 999 "0708 "'009 -.003 "0006 .001+ .004 .003 .0001 25 0600 -1'006 -1.:)05 -.980 -.662 "'077 -005 .001 .005 .003 -0001 "0000 22400 -1'011 1.003 -949 .628 ... 138 ... 014 .004 .006 oCOIt .001 '000 19200 -1012 -.997 -.914 .605 -.186 -030 .003 .007 005 .002 '00,) 16 0000 -1009 -.987 -.882 -.589 .222 -048 ".000 .008 005 ,002 '000

    12800 1'002 -.973 -.854 -.578 -.249 -067 -.Oon .006 .005 .001 '001 9600 .990 -.957 "'830 .569 .270 085 :)15 .003 .003 .001 '001 6.400 .. 974 -.938 -(i08 ... 562 -.285 "0102 ".025 -.002 001 ".001 '002 3200 -.95'+ -.917 -.787 -.556 ".298 \19 -.037 .009 003 .003 '003

    '000 -.930 -d.18 012 VALEUR DE ... 32000 1'1'+9 1.129 1.034 .684 0137 -016 -.055 .061 ".055 .01+6 "01+3 28800 1038 1. ;:' 19 .927 .605 0137 .016 .053 .056 -. :)49 ".042 "'038 25600 .924 .90:; .H14 .526 0141 .012 .049 .051 "0'+4 ".037 "'034 22'400 .808 .789 'b99 .452 0139 .005 ... 01+3 -.044 ... 038 ".032 "'029 19200 .689 .670 .587 .381 131 .002 ... 034 .037 032 .027 '024 16000 .569 .552 .1+79 .313 .118 009 ".026 .029 ... 026 .022 "'020 12800 ,+50 't3~ 374 .247 .10'1 .013 -.017 .022 .019 017 015

    9600 331 .319 .274 0183 .080 0015 .009 - .011+ .013 .012 '011 6'+00 .216 .208 177 .121 .056 014 -.003 -.008 008 ".007 .007 3 0200 0105 0101 .086 .059 .030 .009 .000 0003 .. 003 ... 003 ".003

    .000 .000 .000 -.00:) .000 .000 -.000 .000 .000 .00:) .000 0000 VALEUR DE U

    32000 000 .001 '026 .090 0036 .030 .058 .061 ... 053 .0'+2 .033 28.800 000 .016 -'027 055 .05'+ "'060 .065 .060 -0051 .040 '031 25'600 000 -.835 -078 .136 - 0121 '090 ".071t -.061 .049 ".038 ... 029 22400 000 -.052 -115 -181 ... 164 .115 ... Q83 .062 ... 047 -.036 ".027 19 0200 000 -.:.>64 "0139 .202 "-0187 0132 .089 -.062 "044 ".033 .02'+ 16'000 000 ".071 148 ... 206 .. 0193 -.138 ".091 .060 .. 01+1 .029 "'021 12800 000 -.u71 -144 -.194 -184 -133 -.Q86 -054 .. 036 .02'+ '018

    9 0600 000 .:::64 .127 -.169 - 0160 - 0117 - .074 .046 -.:)29 .019 ... 011+ 6'400 '000 -.050 -098 -129 .123 "0090 ".056 ... 033 020 .013 ".009 3200 .000 :-}28 -'056 '074 -070 .O~l -.031 .018 011 .0007 .005

    .000 .000 .OUo '(lUO .000 .000 .000 .000 .000 ::100 .000 '000

    N.B. : La premire colonne reprsente l'ordonne des points o sont calcules les contraintes.

    59

  • ABSTRACT

    The calculation of stresses ina mass of iinitethickness subjected to a trapezoidal load

    The problem of the distribution of stresses under a trapezoidalload exerted on a sub-base of finite thickness is dealt with by thc mcthod of Fourier series. Thc calculation is pcrformed on the following assumptions :

    -- the trapezoidalload is exerted without shering on the sub-base ; - the subgrade consists of one or more clastic and isotropie layers ; - the substratum is at a limited depth and is rough ; -----'- the problem is two-dimensional.

    After reviewing the different methods used for ca,lculating stresses in an elastic mass, the author treats the problem mathematically. This Ieads to the development of a computer programme, the practical utilization of which is explained.

    The different parameters affecting the distribution of stresses are examined : ~he depth of sub-. stratum, Poisson's ratio of the compressible layer, and the geometry of the embankment. The influence of these l arameters is shown in a series of design ch arts given in an appendix.

    ZUSAMMENFASSUNG

    Berechnung der Spannungen einer trapezformig belasteten Bodenschicht begrenzter Starke

    Die vorliegende Arbeit beschl'eiht die Berechnung dei' Spallllungsverteilung einer tl'apezfOrmig belastetell Tragschicht begrenzter Starke mit Hilfe von Fouriel'l'eihen. Dus Berechnungsverfahl'en beruht auf den folgenden Annahmen :

    - die trapezfOrmige Last wirkt auf die Tragschicht ohne Scherheanspruchung ein ; -- der tragende Boclen besteht aus ciner oder mehreren elastischen und isotropen Schichten ; - dei' Untergrrind beginnt in einer endIichen Tiefe und weist eine rauhe Oberflache auf; - es handelt sich um ein zweidimensionales Problem . .

    Zuerst werdefl die yel'schiedenen zur Spanllungsberechriung eines elastischen Massives verwende-ten Methoden wiedergegeben. Dann wird das gestellte Problem mathematisch behandelt. Auf~ grund der vorliegenden Ul1tersuchung konnte ein EDV Rechcnprogramm entwickelt werden, dessen praktische ~ Ariweridurig beschrieben wird.

    Schliesslich werden die verschiedenen Einflussfaktoren der Spannungsverteilung untersucht : Starke des Untergrundes, Poisson'sche Konstante der zusammendrckbaren SChicht, Abmessun~ gen des . Dammes .. Eine Reihe von Nomogrammen werden in einem Anhang wiedergegeben ; diese zeigen den Elnfluss der genannten Faktoren. . .

    61

  • RESUMEN

    Pe310Me

    Calculo de las presiones experimentadas por una base de espesor Iimitado, bajo el influjo d~ una carga trapezoidal

    El problema dei reparto de tensiones bajo una carga trapezoidal que se ejerce sobre una capa de subbase de espesor Umitado, es anaUzado pOl' el mtodo de las series de Fourier. Se efecta el calcula teniendo en cuenta las siguientes hiptesis :

    .- que la carga trapezoidal se ejerza sin cizallamienlo sobre la subbase ; - que cl terre no de cimentaci6n est fOl'mado pOl' una 0 varias capas clsticas e isotr6picas ; ---- que el substrato se encuentre a una profundidad acabada y sea rugoso; - que el problema sea bidimensional.

    Tras trazar un hist6rico de los diversos mtodos empleados para calculaI' las tensiones en una base elstica, St' anaUza el problema matematicamente. Este estudio se termina con la elaboraci6n de un pro gram a de calcula pm ordcnador, explicl1dose la utilizaci6n pretica.

    Finalmente, sc estudian los diversos parllletl'Os que presentan a lgn influjo sobre el reparto de las tensiones : profundidad dei substrato, coeflciente de Poisson de la capa compresible, la goe-metria dei terrapln. Se presenta en anexo una serie de abacos que muestran el influjo de los distintos parametros.

    PAC4ET HAnp51}KEHVlVl, B03HVlKAIOLUVlX B OCHOBAHVIVI OrPAHH 4EHHOn TOnLUHHbI nO,a BnVl51HVlEM TPAnEUEVI,UAnbHOV!

    HArpY3KVI

    3aAa'la pacnpe)(e,lieHHfl HanpmHeHuH, BOaIUUIOIUIiIX nOA TpaneuelilAa.TIbHOVI Hat'py3HOVI B OCHO-BaHlm OrpaHlil'-lelHH>ii rJlyOIilHbl peIllacTcfl MeTO)lOM pa3JIOHeHlilfl B Pfll~bl

  • Imprim au LCPC. 58 bd Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15, sous le numro 502427

    Dpt lgal: 4e trimestre /973