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Rapport de recherche lPC N° 107

EI.de de pieux sOl!llRi:s à d,es poussées ·Ialérales

pail la· Blélhode d lU m,OdlUtlle de .,éaction

Etude de pieux soumis à des poussées latérales

par la méthode du module de réaction

Action de recherche pluriannuelle (AR) : 05 • Fondation des ouvrages.

Fiches d'action élémentaire de recherche (FA ER) : 0505 et 05 JO

Roger FRANK Docteur-Ingénieur

Michel KUTNIAK Technicien

Section des fondations (Paris) Département des sols et fondations

Laboratoire central des Ponts et Chaussées

• Efforts parasites sur les pieux - Poussées latérales. • Etudes théoriques et acquisitio~ de données appliquées aux fondations.

Roger FRANK né le 5 novembre 1949

Ingénieur civil des Ponts et Chaussées Docteur-Ingénieur Entré au LCPC en 1972

Michel K UTNIAK né le 22 novembre 1947

Technicien Entré au LCPC en 1974

Rapport rédigé en 1979

Ce document est propriété de l'Administration et ne peut être reproduit, même partiellement, sans l'autorisation du Directeur du Laboratoire central des Ponts et Chaussées

(ou de ses représentants autorisés)_

©1981 - LCPC

ISBN 2-7208-7160-5

Sommaire

Résumé

Présentation par Samuel Amar

1 ntroduction

1 - Considérations générales

1. Approche physique du mécanisme

2. Méthode de résolution. Conditions aux limites possibles

3. Conventions de signe

Il - Étude paramétrique en sol homogène (monocouche)

1. Ëtude dimensionnelle

2. Cas étudiés

3. Résultats

III - Étude du moment en pointe bicouche

1. Influence des conditions idéales en pointe

2. Ëtude d'un bicouche

Conclusion

Références bibliographiques

Annexe: Partie 1 - Formulaire de pieux soumis à des efforts horizontaux

Partie Il - Appl ication

Résumé en anglais, allemand, espagnol et russe

MINISTERE DE L'URBANISME ET DU LOGEMENT - MINISTERE DES TRANSPORTS

LABORATOIRE CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSËES 58, boulevard Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15

Tél. : (1) 532-31-79 - Télex : LCPARI 200361 F

Décembre 1981

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résumé

Nos lecteurs étrangers trouveront ce résumé traduit en anglais, allemand, espagnol et russe en fin de rapport. Our readers will find this abstract at the end of the report. Unsere Leser finden diese Zusammenfassung am Ende des Berichtes. Nuestros lectores hallaràn este resumen al.final deI iriforme. PycoîUu meKcm aHHomaLfuu nOMellleH 8 JWHL{e om'lema .

Après certaines considérations générales (approçhe physique du mécanisme, méthode de résolution, conditions aux limites possibles ••. ), la prés e nte étude, stricte­ment théorique, e~t une étude "paramétrique" du problème. Dans la première partie, on étudie systématiquement l'influence de la rigidité sol-pieu, de la forme de la déformée propre du sol en l'absence de pieu et des conditions de chargement et d'en­castrement en tête et en pointe sur le déplacement en tête des pieux et sur le mo­ment maximum. Le sol est homogène, caractérisé par un module de réaction ES unique. Les résultats sont présentés sous forme adimensionnelle. Ils permettent de répondre au but fixé: comment varient les déplacements ou les efforts lorsque l'on fait va­rier tel ou tel paramètre? Les conditions au bas de la couche étant des conditions idéales débouchant, notamment dans certains cas sur des moments importants en pointe, la seconde partie examine le cas, plus réaliste, oa le pieu est fiché dans une cou­che sous-jacente plus raide (cas d'un bicouche) et étudie l'évolution du moment à l'interface de d e ux couches en fonction des caractéristiques de cette couche. En annexe uri formulaire pour pieux soumis à des efforts horizontaux est donné. Toutes les solutions analytiques que l'on peut obtenir pour ces problèmes (efforts e n tête ou poussées parasites) y sont démontrées et rassembl ées .

M()'I'S-Cr.,~:S - 42 - Happor ts de recherche - Pi.e u - Coef ficie nt de réi1ctiol1 du sc'1 -l'(JUSS(,0 - L.at(,ral - Hi'Jidité - Sol - Enc as trement - Théorie - Ch'll'qL' - nl'pL\l:l'lllc'l1t (ffl()UV(~ ffl(~ flL) - Morn0 nl. (mec) - Max .imumjDéform6c.

PRÉSENTATION

Samuel AMAR Chef de la section des fondations, Paris

Laboratoire centra l des Ponts et Chaussées

Il n'est pas rare, encore actuellement, de trouver, dans les ouvrages spécialisés en pathologie des fondations , des cas de rupture de pieux par flexion. Les explications de ces ruptures sont, en général , la mauvaise prise en compte des poussées sur l es pieux , induites par un fluage latéral de la couche de sols compressibles qu'ils traversent .

Les méthodes d'évaluation existantes sont peu satisfaisantes . Il est vrai que les phénomènes de poussées l atéral es sur les pieux sont complexes et que l'on cerne encore mal tous les éléments qui les régissent. Les Laboratoires des Ponts et Chaussées ont a insi entrepris des recherches ex­périmentales et théoriques dans ce domaine, avec comme objectif de proposer une nouvelle méthode de calcul qui serait moins empirique et moins arbitraire que les méthodes préconisées jusqu ' alors.

Le travail présenté dans ce rapport a été entrepris en 1979 dans le cadre des études théoriques menées au LCPC dans le domaine des fondations (FAER 05 10). Après avoir décrit d ' une manière c laire l es mécanismes physiques du phénomène, les auteurs présentent une étude paramétrique du problème pour un pieu isolé. Cette étude théorique , avec certaines hypothèses (forme de la loi de réaction , module de réaction unique dans une ou deux couches de sol , pas de chargements imposés en tête des pieux), permet d'analyser l ' influence s ur le déplacement en tête des pieux et sur les moments ma­ximaux de :

- la r i gidité relative sol-pieu,

- l a forme de la déformée propre du sol ,

- des conditions d ' encastrement en tête et en pointe.

Les résultats présentés sous forme d ' abaques permettent au projeteur de savoir comment v arient les déplacements ou les efforts lorsqu'on change tel ou tel paramètre. Précisons cependant que dans l e cas du bicouche , les pieux sont toujours libres en tête , et une seule déformée propre du sol a été étudiée.

Il est évident que cette étude , en tant que telle, ne peut répondre à toutes les questions r e l a­tives au dimensionnement d ' un pieu soumis à des efforts parasites. Elle peut par con tre , moyennant une simplification du problème réel, alerter l e projeteur en lui donnant un ordre de grandeur des efforts ou déplacements attendus. Son but réel, pleinement atteint , est de guider le choix du pro­jeteur qui effectue un calcul complet (par le code de calcul "pil a t e ", par exemple ) en ce qui con­cerne l e choix de ses courbes de réaction ou de ses conditions aux limites. Ainsi, les résultats de cette étude touchant à ces points ont été utilisés pour rédiger les récentes recommandantions sur ce sujet (Not e technique du Département sols et fondations " Ca1c ul des efforts et des dépl ace­me nts engendrés par des poussées latérales de sol sur l es pieux", 1980).

5

On peut dire que l'on dispose maintenant d'une méthode de calcul opérationnelle relativement satis­faisante. Son application intégrale, telle qu'elle est définie dans la Note technique sus-mention­née, au pieu expérimental de Provins, a abouti à des résultats assez proches du comportement réel du pieu (Bigot, Bourges et Frank, 1982 : "Etude expérimentale d'un pieu soumis aux poussées laté­rales du sol", Revue française de géotechnique, à para!.tre).

Les points de recherche futurs doivent porter, au vu de ces premiers éléments, sur une meilleure estimation des déplacements propres du sol en l'absence de pieu (on continuera donc les mesures de déplacements horizontaux et on cherchera à aéve10pper des modèles de prévision théorique) ainsi que sur l'influence des vitesses de chargement sur les lois de réactions à prendre en compte. En­fin, les effets de groupe devront être abordés car c'est certainement le point faible à l'heure actuelle de cette méthode de prévision.

6

INTRODUCTION

Lorsque l'on fonde une structure sur pieux dans un so l mou se déplaçant latéra­lement sous l'action de surcharges dissymétriques (cas des sols de fondations de cu­lées ou de piles de ponts surchargés par des remblais ou de fondations de bâtiments de stockage, par exempl e), les pieux sont soumis à des poussées latérales (hori zonta­les) "parasites " dues au dép l acement du sol.

Les méthodes de calcul l es plus utilisées jusqu'à présent, Tschebotarioff (1973) et De Beer et Wallays (1972) sont de nature empiriques et ne semblent s'adapter qu'à des cas bien particuliers. Elles ne donnent qu'une estimation du moment maximum que subissent les pieux et ne tiennent pas compte de l'interaction réelle entre l e sol et le ?ieux.

Poulos (197 3) et Marche (197 3 ) ont proposé des méthodes plus générales tenant compte de la rigidité relative sol-pieu ainsi que du déplacement propre g (z) du sol en l'absence de pieux. Ces méthodes permettent de calculer l es déplacements d'équili­bre des pieux ainsi que les distributions des moments.

Les Laboratoires des Ponts et Chaussées ont appliqué et développé ces concepts tant sur le plan expé rimenta l que théorique. Tout d'abord, un programme sur ordinateur "PILATE" permettant de prendre e n COID?te des courbes de réaction non linéaires quel­conques a été mi s au point (Baguelin, Frank et Guégan, 1976) . Il constitue une géné-ralisation du cas avec module de réaction E constant avec le déplacement et g ~ 0, largement traité par ailleurs. s

L' expérimentation de Provins (Bigot, Bourges, Frank et Guégan, 1977) a permis ensuite, grâce à la mesure des déplacements horizontaux du sol et des moments et des déplacements du pieu d' essai, une première vérification de la méthode, basée sur la notion de module ou de courbe de réaction comme dans l e cas des pieux soumis à des c hargements en tête. Enfin, Bourges et Mieussens (1979) ont réce mment proposé une méthode d'évaluation des déplacements latéraux à proximité des remblais, après l'analyse et la synthèse de mesures sur dix sites expérimentaux.

Apr ès certaines considérations générales destinées à introduire l e sujet, la pré­sente étude, purement théorique, est une étude "paramétrique" du probl ème. Dans la première partie on étudie l'influence d e la rigidité r e lative sol-pieu, de la forme d e la déformée propre du sol et des conditions de chargement et d'encastrement en tête et en pointe sur l e déplacement en tête des ?ieux e t sur l e moment maximum. Le sol est homogène, caractérisé par un module de réaction E unique. Les résultats sont présen­tés sous forme adimensionne lle. Ils perme ttent desrépondre au but fixé: comment va­rie nt les déplacements ou les efforts lorsque l'on fait varier tel où tel paramètre? Les conditions au bas de la couche étant des conditions idéales débouchant notamment, dans certains cas, sur des moments im?ortants en pointe, la seconde partie examine le cas, plus réaliste, où le pieu est fiché dans une couche sous-jacente plus raide (cas d'une bicouche donc) et étudie l'évolution du mome nt à l'interface de s deux couches en fonction des caractéristiques de cette couche. Cette seconde partie est entièrement inspirée du travail de Roux (1978).

7

1 - CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES

1. APPROCHE PHYSIQUE DU MECANIS~E

Le ~roblème de l'interaction entre sol et pieux dans le cas des poussées para­sites est ~articulièrement complexe . L ' on note, tout de suite , par rapport au problè­me des pieux soumis à d e simples efforts en tête , que le pieu est sollicité jusqu ' au bas de la couche de sol mou. L'on ne peut plus , dans le cas des pie ux souples par exemple, négliger ce qui se passe au-delà d 'une .certaine profondeur. D' autre part, le sol joue à la fois un rôle moteur et un rôl e résistant . Son rôle moteur ce sont ses déplacements pro~res (et plus précisément sa déformée en l ' absence de pieux ) qui ten­dent à entrainer les pieux. Son rôle résistant ce sont les pressions de réaction qu'il o?pose aux dé?lacements des pieux. L'équilibre de l ' ensemble dépe nd , de plus , de la rigidité relative des pieux par rapport au sol ainsi que des conditions de liaison et d ' encastrement des pi e ux.

Illustrons le phénomène par le cas simole d'un pieu isolé, libre en tête~ dans un sol homog ène de déformée "roDre g (z) U ig -. 1)

y.g

sol mou 1> --, --, Y(Z)

-' 1 -g(2)

----substratum

2

Fig . 1 Pieu libre en tête

Le déplacement d'équilibre y (z) doit s'établir de telle manière que les pres­sions de réaction du sol (là où y > g) équilibrent les pressions d'entraînement (là où 9 > y) (ainsi que les éventuels efforts de flexion en tête de pieu , bien entendu) .

Ains i, oour le cas où g (z) a l'allure représentée à la figure 1 (allure assez classique) et-où le pieu est relativement souple (ou long) le sol joue - schématique ­ment- un rôle moteur dans la partie inférieure de la couche molle (g > y) et un rôle résistant dans la partie supérieure (y > g). Mais ce serait l'inverse si g (z) avait sa concavité tournée vers les y positifs.

Faisons maintenant varier la rigidité relat i ve du pieu pour g (z) fixé. Un pieu plus souple (pieu nO 2, Fig . 2) (ou un sol ~ lus raide) conduit à une déformée y (z) plus proche de g (z) et , dans le cas de figure, cec i s'accompagne d ' une diminution du dé~lacement en tête (qui tend vers g (0)). A la limite, un pieu aussi souple que le sol suivrait entièrement le so l dans ses déplacements propres et y (z) ;; g (z) .

8

pieux

sol mou :0

----substratum

z

Fig . 2 Influence de l a rigidité du pieu

A l'inverse , un pieu plus rigide suit moins l e sol . Cependant , à partir d 'une certaine rigidité on doit tenir compte des conditions d'encastrement dans le substra­tum pour se prononcer , par exemple , sur l ' évolution des déplacements en tête .

Ainsi , pour un pieu faiblement encastré (que l ' on pourrait considérer , pour sim­plifier , comme articulé au bas de la couche molle : y = M = 0) l es déplacements e n tête augmentent avèc la rigidité relative et peuvent parfaitement dépasser l e maximum de g (z) (Figure 3). A la limite , un pieu infiniment rigide pivotera purement et sim­p l ement autour de sa pointe .

sol mou l>

pieu encastré en pointe

o 1

1 1

i i i

/

sub~tratum Z

pieu articulé en pointe

/ /

Fig . 3 Comportements de pieux rigides

Un pieu rig ide que l'on pourrait considérer , au contraire , comme parfaiteme nt encastré (y = y' = 0) dans le substratum se déplace beaucoup moin s que les pieux sou­ples et l e p i eu infiniment rigide même ne se déplace pas du tout en tête (Figure 31 . Notons, dans le cas des pieux rigides , l es efforts rés i stants importants que doit re­prendre le substratum (ou la partie de sol dans laquelle on p e ut considérer g (z) comme négligeab l e) dans l' équilibre général.

Ce cas simple c hoisi permet donc de se r e ndre compte de la complexité du pro­blème. Encore n'avons nous évoqué que les déplacements. L ' étude paramétrique qui suit (voir II) a été me née dans le but d'observer ce qui se passe, tant pour l es dé­placements que pour l es efforts e n faisant varier systématiquement toutes les varia­bles du problème que nous sommes déjà en mesure d'énumérer -à savoir , les conditions en tête et e n pointe , la déformée du sol g (z) (concavi t é , gmax etc ), l es rigidités du pieu et du sol-.

2 . METHODE DE RESOLUTION. CONDITIONS AUX LIMITES POSSIBLES .

A la suite de Marche (1973, op. cit .) on écrit l' éq uation d'équilibre des pres­s i o n s sur le pieu sous la forme (voir conventions de signe au paragraphe 3)

El ~ + Es . (y - g) = 0

dz"

(1)

9

où ES = k.B est le modu l e de réaction du sol pouvant dépendre , a priori , de la pro­

fondeur z et/ou du déplacement re l atif (y - g ) (loi non l inéaire). L ' important à no­ter dans cette équation est que lespressionosur le pieu dépende nt du déplacement relatif y - g et non plus du dép l acement d'équi l ibre absolu y, comme dans le cas des pieux soumis à de simples efforts en tête (B est la largeur de la fondation) .

Nous ne reviendrons pas ici sur la réso l ution de cette équation différentielle lorsque Es varie avec z et (y - g). Ceci a été fait en détail par Baguelin , Frank et

Guégan (1976 ) à l ' occasion de l a création du programme PILATE. Notons simplement que l ' équation (1) ne prend pas en com9te l ' effet des forces axiales (dans l e cas où les déflexions deviennent grandes) . Cela ne poserait pas de problème particulie r, si l'on voulait en tenir compte. En ce qui nous concerne , ici, nous n ' étudions que le problè­me des poussées parasites sa~s aucun effo r t ap p liqu. en t'te de pieux . De plus le mO ­dul e de réaction Es est supposé constant dans la couche de sol mou (sol homogène li-

néaire). On peut alors superposer l es solutions données ici , aux solutions connues , par ailleurs , pour les efforts horizontaux en tête (cas g = 0 , voir Timoshenko (1930) et le dossier FOND. 72) . [ C ' est ce que l ' on voit clairement , par exemple , pour les solutions analytiques idéales (pieu infiniment long ou p i eu infiniment rigide) données dans l ' annexe intitulée : "Formulaire de pieux soumis à des efforts horizontaux "] .

A propos de l ' équation différentielle (1) , rappelons cependant , afin de dévelop­?er un peu ce point, qu'ell e nécessite de connaître deux conditions en tête et deux conditions en pointe. Que ce soit tant en tête qu ' e n pointe des pieux , on e st , en gé­néral , amené à cons idérer des conditions "idéales " .

On écrit ainsi le plus souvent , e n - Libre

- parfaiteme nt encastré

simplement appuyé (ou articulé)

- ou, encore , encastré dans un chevêtre mobile

t ê te ou e n M M

0

y y '

y 0

: y ' = 0

pointe, que le pieu e st T = T

0

0

M M 0

T = T (pour la tête) o

(y , y' , M ou Tso"~ respectivement le déplacement horizontal, la rotation , le moment fléchissant ou l ' effort tranchant) .

Pour la t't e du pieu il faut tenir comote de de ux éléments :

- d ' une part, du fait qu ' un pieu est rarement .isolé et qu ' il fait plutôt partie d ' un grouge de pieux reliés entre eux par un chevêtre ou une semelle de liai­son . Ses déplacements et les efforts qu'il reprend doivent donc être compati­bles avec ceux des autres pieux (pour lesque ls on peut avoir à prendre en compte des modules de réaction différents)

- d ' autre part, du fait que le chevêtre ou la semelle de liaison fait lui-même ou elle-même partie d ' une structure plus générale et que , là encore , il doit y avoir compat i b i lité.

Les conditions en tête sont donc beaucoup plus des l iaisons entre déplacements et efforts -tenant compte de la rigidité des différents composants de la structure­que des va l eurs imposées" ià é ales". Celles-ci permettent cependant, s i l'on calcule l es pieux isolément , d ' encadrer l es différents élémen ts du dimensionnement.

En point e , l' on peut dire q ue l ' on a , en fait , le mêrretype de conditions , sous l a forme de lois de mob i lisation des efforts en fonction des déplacements ou des dé ­formations (effort tranchant en fonction du dép l acement de la pointe ou moment flé­chissant en fonction de la rotat i on). Ces l ois de mobilisation étant , à l ' heure ac­tuelle, très ma l connues on peut, i ci encore , encadrer la solution par des conditions " idéales".

Pour des pi e ux soup les reldt i vement à la couche molle , ces conditions de pointe n'affectent quasiment p as les dép l acements ou les efforts en tête. Elles i nfluencent, par contre , la partie inférieure du pieu et peuvent conduire à des moments d ' encas­trement importants et déterminants . Par les p ip-ux rigidp. s, ces conditions de pointe influe ncent directe ment tout le comportement du pieu, comme on l ' a vu au paragraphe 1 . L'on a donc intérêt à respecter le p lus possible les condi tions réelles et à tenir compte de l a partie plus ou moins importante du pieu fichée dans le substratum (ou dans la couche molle pour laquelle on peut considérer que g (z) est néglig e able) .

10

On est alors ramené, pour cette partie , au problème plus classique des pieux simple­me n t soumis à des efforts en tête . Pour les pieux souples mai n tenant vis - à - vis du sub stratum donc , les condi tions de pointe n ' auront quasiment pas d' i nfluence sur le dimensionnement du p i eu . Pour les pieux rigides , par contre , l ' on préconi se en l ' état actuel de nos connai ssances , de ten i r compte de l ' effet de pointe en rajoutant une "surlongueur" de 0,3 B dans le substratum (ou la couche de sol mou) et de considérer alors le pieu comme l i bre en 90inte (voir Bague l in et Jézéque l , 1972).

3. CONVENTIONS DE SIGNE

Les conventions de s i gne util i sées dans ce rapport sont données dans la fi ­gure 4 .

o

Avec ces conventions

o

}J > O

~u M> O -- 1>0

P>O

Y,9 > 0

Fig . 4 . Conventions de signe

de signe M EIy"

T + dM EIy "' dz

et P !). B = - dT EIy(IV) dz -

avec P E (y - g) s

11

I l - ÉTUDE PARAIVI ÉTRIQUE EN SOL HOMOGENE (MONOCOUCHE)

1 . ETUDE DIMENSIONNELLE

A un niveau donné z , les efforts et les déplacements sur le pieu dépendent des conditions aux limites ainsi que :

- de sa fiche D

- de sa largeur frontale (ou diamètre B)

- éventuellement de sa longueur tangentielle h (cas des pieux à section horizontale rectangulaire)

- de son modùle E

- du module de réaction du sol Es

- de la déformée proore du sol 9 (z) que nous supposons être de la forme :

2 3 9 (z) = a O + a l z + a 2 z + a 3 Z

(cas des cubiques et des paraboles étudiées c i-après )

donc, de a O a l a 2 a

3 - et de la profonde ur z, bien entendu

Dimension

L

L

L

On voit que l'on peu former tous les rapports adimensionnels du problème à l'aide de D et d e Es. Ainsi pour ce qui nous intéres se, on forme: y et M

D E D3 s

En remarquant d'autre part , que ces éléments sont cub ique 9 (z) donnée, à la valeur maximale 9 de cette me n sionnelle), nous étudions ~ et M m

proportionne ls, pour une cl~bique l gm e n valeur adi-

o gm E D2

sgm

B h E a lD 2 3

Ces fonctions dépendent de aD C!2 D a 3D et z ainsi des ( D ), que D' E ' , -- , -- ,

gm gm gm gm D s conditions aux limites .

Dans la théorie du module de réaction , il est d ' usage de combiner B, (~) et

\ 4/~ D D V 4:I ' les élements d e réduction y, y ', T, M et P = p.B ne

E D E pour former r- = D sO

dépendant plus que d e ce seul paramètre au lie u des deux (trois) précédents (on rap-

WEI t ~ es la longueur de transfert ou longueur élastique du pie u , s

pelle que to

né l = 64 (ou

Bh3 ~) étant l ' inertie de la section du pieu par rapport à son axe

transversal) .

12

Nous étudions , par la

déplacement en tête

(~ = 0) o et moment maximal

YO :- = f

gm H

max

E 02

sgm

(S~it~ ~)s é léments s uivants

.eO

' , ,,6

= f' (:0 ' ~,L) qui n e dépendent donc plus que de la rigidité relative sol-pieu D , de la cubique en­

.e o visagée pour la déformée du sol (i' : ensemble des paramètres de cette cubique) et des conditions aux limites~ en tête et en pointe .

Au lieu d ' étudier ~1 max

E 02

sgm

en fonction de 0 , ce qui met en avant l'influence de

El, il peut être intéressant d'étudier D

en fonction d e

ce qui montre à ce moment~là l ' influence d e Es (donc du sol).

2. CAS ETUDIES

Les calculs ont étp. effectu Âs pour D variant de 0,1 à 10 (0es pieux les plus Jl O

rigides aux pieux l es plus souples) oar oas ~e 0,1.

où G

Pour les cubiques 9 ( z) , 6 formes ont été étudiées (Fig. 5)

Parabole Pl G (g) 4 g - 4 g2

P 2 G(g) 1 - 2 g + g2

Cubique Cl G(g) 0,7 3 + 2,13 g - 4,69 g2 + 1,83 g3

C2 G (g) 0,81 + 2 , 14 g - 6 , 37 g2 + 3 , 42 g3

C3

G(g) 0 , 5 + 1,5 g - 2 g3

C4 G(g) 1 Z + 4 z2 - 4 z3

..'L et g z Les coefficients re:r?rése ntent res:r?ectivement les paramètres adi -

gm D·

Notons que toutes les cubiques s'annulent , évidemment, en z = o. - les cubiques Cl ' C

2 et C

3 ont toutes leur concavité tournée vers les y néga­

t i fs. Ce "sont les tro i s cubiques proposées par Bourges et Mieussens (1979 , op. cit.) ,

- la c ubique C4

est une cubique qui a été choisie de façon à avoir son extremum

gm à mi-couche (en z = ~) et à avoir 9 (0) = gm

- la parabole Pl a également sa concavité tournée vers les y négatifs. C'est la

cubique "dégénérée" qui s ' annule en tête " : g (0) = 0

- la parabole P2

a sa concavité , e lle , tournée vers les y positifs . Elle atteint

son maximum gm en tête. C'est une forme de déformée de sol que l'on peut ren­

contrer à que lque distance du pied des remblais (voir Bourges et Mi e ussens , 1979 , op . ci t . ) .

13

o ---ï-----. ~ è1' [9< <! ~ p r-- "'" r---- ~ K 1\: r----,/

V ,/ ............

~ ~ 4\/ / "'" ~ / /

/ /

/ V~ ~ /

/r V / v

i / /

V V ,/

/ ~ ./' ~ ,/

/ v /

,/

~ V V ,/ ~

1 / V / v ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

zIf) 1

Fig. 5 Déformées adimensionnelles g/gm f(z/d) étudiées

Enfin, en ce qui concerne les conditions aux limites, on a envisagé quat r e con­ditions en tête et t rois en pointe (12 cas de figure donc)

- Conditions en tête : C o D E (y Y'M T)

l. libre M T 0 0 0 1 1 0 0

2. parfaitement encastré Yo y ' 0

0 1 1 0 0

3. simplement appuyé Yo Mo 0 1 0 1 0 (ou articu l é )

4. encastré , mobile y' T 0 0 1 0 1 0 0

(le code indique les deux éléments , parmi y y' M et T qui ont été imposés à zéro. On rappelle qu e seul s des efforts imposés nuls ont été envisagés en tête)

- Conditions en pointe :

l. libre M T 0 0 0 1 1 P P

2 ; parfaitement encastré yp y' 0 1 1 0 0 P

3 . simplement appuyé yp M 0 1 0 1 0 (ou articulé) p

3 . RESULTATS

La solution de l'équation différentielle (1) s'écrit sous for~e adimensionnelle et dans le cas d'un sol homogène à module Es constant et différent de zéro :

14

+~

Y=t=Ao+A15+A2Œ) 2+Aiï5)3+e 20

( a l ~ + 'Z ) cos a 2 Sln 20 20

cos ~ + a 4 sin ~ ) o 0

Les dérivées successives donnant y' , M et T sont :

+~

L..Q = A + 2A2 ~+ 3A3( IT) 2 +

20 D (a ( cos ~- ' Z ) ( , z

gm l D e ç l 20

Sln t + a 2 Sill y- + o 0

z

cos ~o ) ]

Q. O [ ( z ,Z ) ( ,Z

cos ~o ) ] ( 2)

D - e 9. 0

a3 cos t + Sln y- + a 4 Sln y- -000

+~ Q. O{ D ) 2

2e Q.O ( - al sin ~ + a 2 cos ~) + 2e o 0

Z

Q.

0 ( ~0)2 (a3 sin ~O - a4 cos ~O)

TD3 -~­

Erg - g -m m

+ 2e

( , Z Z) ( Z al Sln t + cos y-. + a 2 cos t -000

, Z) ( Z ' Z )] Sln y- + a 4 cos y- + Sill y-000

En écrivant les deux conditions en tête (z = 0) et les deux conditions en pointe (en z = D), on obtient le système de 4 équations qui permet d ' obtenir les 4 constantes al ' a 2 , a 3 et a 4 . Un simple petit calculateur de bureau suffi~ même si l'on veut écri-

re un programme général unique.

Les résultats qui nous intéressent (déplacement en tête et moment maximal) sont donnés aux figures 6 à 26. Chaque figure est relative à des conditions aux limites fi­xées et donne donc les courbes de variation (une par cubique g(z)) en fonction de D .

-ç Sur chaque figure est donné le cas de conditions aux limites envisagé (le premier nu­méro est relatif à l ' un des quatre cas envisagé pour les conditions en tête et le se­cond à l'un des trois pour la pointe) ainsi que les deux codes correspondants.

yo Pour les d ép l a c e me nts en tête --, ne sont étudiés évidemment que les cas 1.1 ,

gm 1.2 , et 1.3 ainsi que les cas 4 .1, 4.2 et 4.3 , ~es cas 2 . x et plqcement imposé nul en tête- (figures 6 à 11). Pour l es moment s

3.x étant des cas à dé ­ma ximaux tous les cas

M sont étudiés et donnés, sous la forme de courbes de variation de max (" d 2 alnSl que e

EsgmD

D figures numérotées "bis") en fonction de ~ . On donne , d ' une part les moments o

maxima ux s ur t o u t e l a haut eur d u pi eu y compris la tête (ils sont d ' ailleurs, dans ce

dernier cas , figurés en pointillés) mais à l ' e x clusion de la poin t e * et , d ' autre part , les moments d ' enca s t r emen t en pointe* lorsqu ' ils sont supérieurs aux premiers . Pour les deux séries de figures il est clairement indiqué si les moments en question sont positifs (+) ou négatifs (- ) avec les conventions de signe de la figure 4.

* Ces moments sont respectivement notés"M " e t"M " max pte est l ' extremum,le , z z plus grand en valeur absolu de i) = 0 à n = 0 , 9 (compris) , recherché par ras de 0 , 1.

15

Sur certaines figures sont reportés , pour les conditions extrêmes de rigidité (pieux infiniment longs ou pieux infiniment rigides) , les résultats analytiques ou nu­mériques que l ' on peut obtenir "manuellement" après simplification correspondante du système d'équations issu des équations (2). Tous les calculs sont faits dans l ' annexe qui comprend deux parties. La première, intitulée "Formulaire de pieux soumis à des efforts horizontaux" et conç~e pour être lue et utilisée indépendamment de ce rapport , donne les résultats ana l ytiques cherchés pour l es pieux souples et les pieux rigides , sous leur forme la plus générale , en tenant compte d ' éventuels èfforts To et Mo non

nuls en tête et sous forme dimensionnelle. La seconde partie est l ' application aux cu­biques ou paraboles étudiées ici , sans efforts en tête. Ce sont les résultats de cette partie qui sont reportés soit sous forme numérique soit sous forme analytique adimen­sionnelle sur les figures (Remarque importante : en ce qui concerne HmRx p0ur les pieux souple~ les calculs analytiques et donc les résultats qui sont reportés sont valables pour la partie haute du pieu seule).

3 . a . Commentaires sur les déplacements en tête (fig . 6 à 11)

Pour les pieux libres en têt e (Cas l.x) on retrouve, bien évidemment , ce qui a pu être dit dans le § 1.1 en guise d'approche du mécanisme.

On notera que les pieux libres ou appuyés en pointe (1.1 et 1 . 3) voient leur dé­placement en tête adimensionne l constamment décroître lorsque· leur souplesse augmente

(~ croissant) pour les cubiques dont la concavité est tournée vers les y négatifs o

(Pl' Cl ,C 2 et C3). C'est l ' inverse pour P2 qui a sa concavité tournée dans l ' autre

sens. C4 - qui chan0c de concavité (fig. 5) - a , e n général, le comportement de Pl ' Cl '

C2 et C3 ' sauf pour l es pieux très souples pour l esque ls il rejoint le comportement de

P2 ; ceci est parfaitement logique puisque, pour ces pieux, c'est la partie hau~e du

sol qui ·va avoir de l ' importance et , dans cette partie C4 et P2 ont leur concavité dans

le même sens .

Pour les pieux parfaitement encastrés en pointe (Cas 1.2) le déplacement en tê­te des pieux souples est évidemment lc même, les conditions de pointe ne jouant pas. Pour les pieux rigides , par contre , on note une forte décroissance du déplacement en tête pour toutes les cubiques, ce déplacement étant théoriquement nul pour un pieu infiniment rigide (Cf "Annexe"). Pour ces pieux les déplacements en tête passent donc

par un maximum situé aux alentours de ~ = 2 (sauf pour P2 évidemment). Ces maxima t o atteignent entre 0 , 7 gm et 1,2 gm suivant la cubique. Ils sont très voisins de ceux

obtenus pour les pieux très rigides libres en pointe mais inférieurs à ceux des pieux y

très rigides simplement appuyés en pointe pour lesquels 0 , 75 <; 9 0 < 1·, 4. Dans tous les

D yO (tO m cas, lorsque ~ augmente , tend évidemment vers AO = -- déplacement libre du sol en

o gm gm surface .

Pour les pieux encastrés en tête dans un chevêtre mobile (Cas 4.x) le comporte­ment des pieux sou~les est , grosso modo, le même que précédemment. On notera simple­

(tO ment qu'ils tendent plus lentement vers la valeur -- , ce qui s ' explique parfaitement

gm si l'on regarde la solution analytique obtenue pour les pieux souples . Pour les pieux rigides , par contre, on note certaines différences. Tout d ' abord ce n ' est jamais pour

les pieux très rigides qu ' est atteint le déplacement maximuM mais plutôt pour ~ aux o

ale ntours de 2 ou de 3 (sauf pour P 2 qui donne des déplacements constamment croissant

lorsc;ue ~-croit, comme dans le cas de pieux libres en tête ). Ce maximur.\ ." v

varie e ntre 0,65 g et 1, 05 g . Il est pratiquement toujours inférieur à celui obtenu pour les pieux lib~es en tête~ D'autre part le déplacement maximum le plus fort est obtenu pour les trois cas pour C4 puis (par ordre décroissant) pour C2 ,C l , C3 et Pl '

Pour les pieux très r i gides encastrés ou appuyés en pointe, les déplacements en tête

diminuent très fortement lorsque la rigidité du pieu augmente (~diminue) jusqu ' à to

s ' annuler pour un pieu infiniment rigide (Cf Annexe).

16

~ 1 ,50 .------:----.....,.....------.---~--.,___.__---_r_----__.

9m _--+--_'. ---t'---+----------L.,---+---+-'I 1 D 1 1,40 r--- ' .ktRr. _QU+-:--

1 - 0 i nt e· 00 11 1,20 ===I=:::::::::::=---j--------j-- 1 1

1,188-- --1 1, 146 / 1,133

o Fig . 6 - Dé placeme nt en tête pour un pie u libre e n tête et en po i nte.

Vo 1,50

___ L _______ 1 "k ffi11 1

---- e__ -l'-'

CAS i F)oint~:.11 00

1 - 2 i

1,40

0,20

- --V ~

-----+--_.- --

1 1

/; ~ ~~ D A -5Ù - ffl ~ o rL 2 J2 (A11 ') 11· 1"

flr> ~

-------I~ ~

~ ~ ---t---

~ 1--------l>- , -

1 Y!~ ~. / --~

~_ . -- ------- ---,8 \ ~ t---

Il -~~ 1 1 -----

1 "k 1

------

1

rj ---t --- -==1=---1--1

"---~- ' -~-~

1 -----1

1 1 -------1 1

1,20

1,00

0,80

0,60

0,40

o

Il

" ,

-

-t

- --

1---------

-----------4

P2 CL.

CL

C1

C3

P1 - a 2 3 4 5 6 7 B 9 10

D Fig. 7 - Déplaceme nt en tête pour un pieu libre e n tête et parfaitement

e ncastré e n pointe . ç

17

Ya 1,50 9 m

1,40 1,400'

,.-

1,262 "-1,206')..

1,20 1,2007

1,00~ 1,00

0,80 0,75 -

0,,60

0,40

0,20

o

-

1"---

~ CA 5 1-~ ~

~ ~ ~ f---I\~

~r-

~~

~I\ ~ ---\ ----------

P\ -,-

"", r---------~ ,------f----

1

fête 0011

3 ~ ointe .1010

A A 3A o 0 -rPf -nit (A 1 r)

, ---l-i~ P-----

-------- ~ r---- --

• 3Ao A", f 2 3A +-+-1-+ 20-2 2 r-------------- ---- ---,- - -------------ï------- ___

( A26' --l----________

--- "-

1----

f----

-------\

P 2 4 v

c 2

c

C 3

Pl o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D Fig. 8 - Déplacement en tête pour un pieu libre en tête et appuyé en pointe.

0,20

Fig. 9 - Déplacement en tête pour un pieu encastré,

mobile en tête et libre en pointe.

18

ç

Pl

Vo l,50

1,40 Tête CAS 4- 2 F ointe

1,20

0 Ao+A" 3A'3

2f 2rpJ~ /' ----

I~ ----, ~ --1;1-

-------~

~ V '----K / /7 ~ ~ j}---

ri V ~ r;; 1 ~ 4

)~ 1 ~ 1 r----------r---

~ W

0,80

0,60

0,40

0,20

l,DO

o o 2 3 4 5 6 7

Fig . 10 - Dép l acement en tête pour un pieu encastré , mobile en tête et parfaitement encastré en pointe .

.0101

. 1100

(A 16' )

r--

8 9

--!

CL. C2 P2 Cl

C3

Pl

10 D r;;-

Vo l ,50 ,----,--..----,,..---------,.-

-~- - ---+---+--l , 1,40 +--I-----I---'~ t--Wo i nt e 1 0 1 0 1 . CA $ ~ -

(A 1 ' ) 1,20 ---- -1 0 Ao +

l ,DO ~-li-0P?r~f~~~~2 F:;:p=:t~;t~3~~ r=~~~~==C=~P2

0,80 --- Cl

0,60 :

- .. --=----=-- )F--=--==-- + -==I=i ==~ C 3

O,401--- -IfI--f----j -~--t-----~_----t--I_J---1 1

0,20 1-----Hl-I II---- --- --- - t--- --- Pl

o o 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig . Il - Dép l acemen t e n tête pour un pieu encastré , mobi le en tête et s i mplement - appuyé en pointe.

10 D 10

19

3.b. Commentaires sur les moments maximaux et les moments en pointe (fig. 12 à 26)

r1 H. max ou pOlnte

E D2

sgm

L ' étude de en fonction de D permet de voir l ' évolution de. ce 9. 0

moment avec la souplesse du pieu , le sol gardant un module de réaction constant. On constate ainsi que dans la très grande majorité des cas ces moments augmentent lorsque l~ pjeu devient plus rigide. La seule exception concerne Hmax dans le cas de pieux ri-

gides libres en tête et parfaitement encastrés en pointe (fig. 13). Dans ce cas, (dès

que ~ < 3 en général) ~1 diminue lorsque ~ diminue jusqu ' à s ' annuler pour les pieux ~ O max ~ O

très rigides. On arrive ainsi, à la limite, à un moment continuellement croissant de­puis la tête (où il est nul) jusqu'à la pointe (où l'on a encastrement· parfait). Il n ' y a pas de maximum relatif en trav~e. On remarquera toutefois que pour ces pieux le moment orédominant est M . t qui répond, lui , ~ la règle (croissant avec la rigidité . pOln e -cl.u pieu) (fig. 14).

. ( L'1 H. ) D2

Si l ' on examine maintenant l ' évolution de max o~I pOlnte (figures numéro-gm

tées "bis") l ' on constate, alors, que ces mo~ents augmentent également avec la raideur

du sol (f croissant), la raideur El du pieu étant fixée. On notera cependant que dans o

certains cas de pieux souples et pour les paraboles Pl et P2 , il peut y avoir légère

décrojssance (voir ~ig. 15 bis , cour~es Pl et P2 ' par c:[e~rle) . ~~tte évolution géné­

rale permet de dire que , dans le cas de pieux uniquement soumis à des poussées de la part du sol, on se place du côté de la sécurité pour le dimensionnement , en retenant des modul~s dprAaction du sol plutôt forts.

Si l'on examine les moments en pointe qui ont été tracés(on rappelle que ceci n ' a été fait que lorsqu ' ils ont été trouvés supérieurs au moment maximal en travée (H ) ) l ' on constate que ces moments (qui sont toujours des moments d ' encastrement max parfait) sont prédominants pour presque tou.tes les rigidités de pieu et toutes les dé­formées de sol dans les cas 1.2 , 3.2 et 4.2 (pieux respectivement: libres , art i culés et encastrés dans un chevêtre mobi l e-en tête) sauf pour quelques pieux souples pour les courbes P2 , Cl et C2 (fig. 14-14 bis , 21-21 bis et 25-25 bis). Ce n ' est, par contre,

jamais le cas si le pieu est éga l ement parfaitement encastré en tête (Cas 2.2). Dans ce cas l e moment prédominant est le moment en tête (fig. 17 et 17 bis) et les moments d ' encastrement en pied n ' ont pas été tracés.

Le rapport :pointe pour les pieux parfaitement encastrés au substratum peut de-max

venir très important. C ' est notamment le cas des pieux l ibres en tête pour l esquels l'on a vu que Mmax tendait vers zéro (comparer les fig. 13 et 14). Même si ce rapport

n ' atteint pas, dans les autres cas de figure , de tel l es valeurs, le moment en pointe risque souvent d'être l ' élément déterminant pour le dimensionnement du pieu si on le considère comme parfaitement encastré au substratum. La seconde partie de cette étude nous montrera , en étudiant un bicouche , qu'il n ' est " heureusement " pas si facile de réaliser une telle condition et que l ' on atteint donc en général un moment en pointe qui n ' est qu'une fraction (pas forcément négligeable) du moment d'encastrement parfait .

Les résultats de moments donnés dans ce rapport sont trop nombreux , sans doute , pour pouvoir se livrer à une comparaison commentée exhaustive , en faisant varier les conditions aux limites, la déformée du sol prise en comnte ou la rigidité relative sol-pieu.

Le lecteur qui a un cas de figure à traiter -forcément plus limité que toutes les conf i gurations envisag6es ici- est invité à se reporter aux figures qui seront plus parlantes. Son attention est simplement attirée sur le fait qu ' il n ' a pas été pos­sible de retenir la même échelle de moment pour toutes les figures.

Une dernière remarque : lorsque l'on compare, pour des pieux très· souples , les moments Mmax obtenus pour différentes conditions à la l imite , l ' on peut s ' étonner de

les trouver assez différents (dans certains cas de déformées de sol). Cela veut sim­plement dire que ce moment n'est pas situé à une distance suffisante (disons s upérieure

20

à 3 ~O) de la limite où l'on fait varier les conditions d'encastrement. Cette remarque

ne touche évidemment pas les moments de tête (Fig. 16 bis, 17 bis et 18 bis) ou de pointe (Fig. 14 bis, 21 bis et 25 bis) pour les pieux souples, pour différenteq condi­tions imposées à l'autre extrémité. Elle touche les moments maximaux dont la cote peut parfaitement varier suivant le cas de figure. Ainsi dans le cas des pieux libres en tête, lorsqu'ils sont encastrés au substratum, il peut y avoir des différences particu­lièrement notables pour certaines déformées de sols, pour lesque lles on note une aug­mentation par rapport aux deux autres conditions en pointe (compare r la Figure 13 bis aux Figures 12 bis et 15 bis). Pour les pieux encastrés dans un chevêtre mobile il peut y avoir, au contraire, un certain soulagement de ce moment M

max si l'on encastre

le pieu au substratum (comparer la Figure 24 bis aux Figures 23 bis e t 26 bis). ~ais, dans ce cas, c'est le moment en pointe qui devient, en général, prédominant. Pour l es pieux très souples simplement appuyés e n tête (Fig. 19 bis, 20 bis et 22 bis) on ne relève une variation de Mmax que pour Pl lorsque la pointe est parfaitement encastrée.

21

0,025

-0,0208 0,020

- 0,0157 0,015

- 0,0108

1

,- 0,0101

- 0,0102

- 0,00695

+0,00521\ 0,05

o

14 ,00

12,00

10,00

8 ,00

6 ,00

4,00

2,00

o

22

o

o

-1 ; '~

,l, ! Têt el. 0 011 Ct ~S PointQ .0011

Pl-~

~ -

cr \ ------ '" \

"" \ c{.- \\ 1'\ --

- ---------" -C l -----. " -~ 1\\ '- -

'- "-C2- ~',

--- '~ " \ 1\"" P2+ ~- , ~,, "" - '--I~ " ~-~ ~ ~ ~ r------:: ~ '-~-t-- t---, - ---= --=-----... -2 3 4 5 6 7 8 9

Fig . 1 2 - Mome nt max ima l pour un pie u libre en t ê t e e t e n po inte.

10 D 10

CAS 1 - 1

o Paré lboles ' 2A (1 e--rr ) L ---- c - / ~ ( A12" / /'

1// t%: ~ /; ~ V

~ V ~ - -~

-~ 2 3 4 5

Tete Ir:> ointe

~ ~ -----V

L' ~ ~

-_.-

6 , 7

,0011 .0011

~ ~

---------

8

=:::::::::: ~

~

~

C3 -Pl - - 8,35 cr Cl -

9 10 D

Fi g. 1 2 b i s - Moment max ima l po u r un pi e u lib re e n t ê t e e t en po inte. 10

0,018

1 Tête 0011 Pf ~

Il \ CAS 1 - 2 =>ointe 1100 0,016

0,014 1 1\ 0,012 0 \\

0,800 E

0,600 E

1 l \\ 0.2 1 1 r~ \\ 1\ 02 1 r~\ l~

0,0:10

0,400 E

0,200 E

1 1 If / CT ~ ~ 02 K ----

Il J 1/ ~;:; ~ 0:2 ~ /1/ ) /JI j~ ~ ~ ~ 1----

° ° 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig. 1 3 - Moment maximal pour un pieu libre en tête et parfaitement encastré

10 D 10 en pointe (hors pointe l.

Tête .0011' 18,0

CA~ 1 - 2 Wointe .1100

/ V

~

/ V raboles : 2 A,., l -or JI ~ ~ Q Pa + e -

~ (A 12" ) ~ ~

/ V~ V

[

// / ~ ~

---- ~

/ V~ ~ ~ g ~ / W V

~ l

16,0

14,0

12,0

10,0

8,00

6,00

4,00

2,00

° ° 2 3 4 5 6 7 8

Fig. 1 3 bis - ~1oment maximal pour un pieu libre e n t ête e t parfaiteme nt encastré e n pointe (hors pointel .

~ ~

-----

r-------

9

p cr-B,35

C1-

P 2+ +2,09

10

D -ç 23

Mpte

Es.9m .02

0,500

C4+ o -~

0,467 0,45

0,42 C1+ \\ 1 _

ch 0,4000,400 0,402 : C~\ 0,35

0,333 '~~ \

0,300

P2+ 0,250 0,250 1 \ 0,200

0,150

0,10 0

0,05 0

o o

1 1 Tête 0011

CAS 1- 2 If-JOI nte .-IIUU

- -

~ Ao A" +~ 2 A; • - + 2+2ë ~_~12l_ 2 6

N -- - --

1

I~~, --

1\\ \ 1-

\\ ~ 1 ~ ~ ::::::--1-

2 3 4 5 6 7 _ 8 9 Fig. 14 - Moment en pointe pour un pieu l ibre en tête et parfaitement

10 o -ç encastré e n pointe.

Tête .0011 90,0

CA~ ~ 1 - ~ :Jointe .1100

/

-- / ~ 0 /

o - 2( A i3A",) [ /. + ') An + 2 (A 3A":l L V /

( A20"I) /

~ ~/

g ~ -----------~

/' ~ ~-

/ ~

/ ~ ~ ~ ~

=---P2+

80,0

70,0

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

° -=-

° 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 14 bis - Moment en pointe pour un pie u libre e n tête et parfaitement 0 encastré en pointe . ~

24

Mm ax

Es.9m .02

0,05 0

5 0,04

-0,043 3

0;04 0

0,03 5

0,03 0

0.D2 5

0,02 0

0,01 5

I~ 0,010 · 0,010

fJ

CT

C4-

Cl

P2 + 00 C2 -

0,500 ErL2

o

---

1 ITête 10011! i - .

Wôlnte .IUIU CAS 1 - 3 ~

~ \\ \ 1\ ~ 1\\

1\\\ ~ ~ l\

"'-~ \ ~\ ~

~ ~ ------- ~ I~ -~ r:::::::-.~ ~ ~ 1=

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D Fig. 15 - Moment maximal pour un pi e u libre en tête et simplement appuyé en pointe. 1;;" .

14,0

CAS 1 ~ 3 12,0

10,0

1

o Porn boles' 2 'A (1 ë ) ~/ "-

M V 'Ali')

;; f/ ~

II: 0 V

~ ~ ~

8,00

6,00

4,00

2,00

o o 2 3 4

Iête IP . ' i ointe

~ ~

L v ------------?------ P

~ ~

------

/ ~

5 6 7

_Qilll

1010

~

-----

-------.---

8

----

--~

~

pf -8,35 CT

cr

pt + 2,09

9 10

Fig. 15 bis - Mome nt maximal pour un pieu libre en tête et simpleme nt appuyé 0 e n pointe . 1;;"

25

26

.Mm ax

Es.9m .02

0,500

0,450 ...

CA~~ 2 - 1 i 0,400 1---- - -- j-• ...... -

0,367

0,350

0,333

0,300

0,269 0,250

0,210 0,200

0,1 50

0,100

0,083

0,050

°

CL/ ~~ 1 .. _.

~ • M(O) - Ao A" - -+ 5 9m 0

2 2 3 ... -

\ Cl"

~'" ~\

,~ \1\ 1

--

l\\ 1 1

I~\l 1 1 : .uu 1 . . . -t-- .. -

I-''L ~; i

~I I - "'-'- - _. "~i

1

° 2 3 4

! " 1

i T ete ~ 1100 . .. i

l!Jolnt ~ . UUll 1 1

._.----j ._-

1 .-.-_ ..

A2. AI

1

1---"'- + -~ 4 5

(A 30') 1

;

1

1

, i

._---- i

1

1

1 _. _._. i

1----·- 1----1

1 1--. ._-- - - _ . ..

1 ~ u l ' .. - .. _ --

1 1

5 6 7 8 9 Fig . 16 - Moment maximal pour un pieu parfaitement encastré en tête et libre

10 o ï;;-en pointe .

Tête 1100 180

CAS 2 - 1 r~ointe .0011 160

A 2 W/ 0 2A 0 ... 2 0

1 ... ? A., )

Lo Lo / r// ( Al " ) / V~ V

/ V/ ~ ~

~ ~ ~ v

/ -------A~ ~ f-----.

---~ ~~

140

120

100,0

80,0

60,0

40,0

20,0

° ° 2 3 4 5 6 7 8

Fig. 16 bis - Mome nt maximal pour un pieu parfaitement encastré en tête et libre en pointe.

;)

Jff V/ 1/ / V

~

9 10

o 1;;"

Fig. 17 - Moment maximal pour un pieu parfaitement encastré en t ête et en pointe. D Ta

160

T~te 1100 A c c

CAS 2 - L Pointe 1100 W. ~ /1 1//

180

140

2 ~/ // o2A 0 AA 0 .:t 2A~ ), 120 Lo la J ~// /

(A13") / V~ / / (f// V

~ ------

~ ç" f,-----"

~

~ 1 :-----1 ~ ~ ~

~ ~ -

100,0

80,0

60,0

40,0

20,0

o o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 17 bis - ~1oment maximal pour un pieu parfaitement encastré en tête et en pointe. D

ï;;-27

0,14 1

0,12 f----.-----t---

C AS 2_-_3-1----+-_--I~-L..__ -1---+-----+---1

• M(O) ~ 7A/t A2 3A~ --+--+

EsgmO - 8 120 30 1 0

0,0870 ",--'~--L 1

0,080 I------t--~~-\-- -+-------1 ---1---1-_ .. ---

1

A36'

0,060

0,0417 P2+ 0,040

1

1 - --t 0,020 - ----+--- ----j---"'~-~~~.&.,--J_t --° ° 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D . Fig.

Mm ax _D2

El.gm .

180

160

140

18 - Moment maximal pour un pieu parfaitement encastré en tête e t simplement appuyé en pointe.

Tête 1100

CAS 2-3 t- ointe 1010

j 2

120 o 2A 0 + 2 A", 0 + 2 A" /. ~L 100,0

80,0

60,0

40,0

20,0

lo Lo / // (A 1 " ) / /~ /

~ {7/ y

----~ b7 .

-------:r--

/' ------- rg;; ~ A --~ V

° ° 2 3 4 5 6 7 8

-ç

j c

W v/ V/ K:

V

pt -------~I

9 Fig. 18 bis - Moœe nt maximal pour un pieu parfaitement encastré en tête

. et simplement appuyé en pointe.

10

D 10

28

0,070 1---+--+---t----1---f---I---I---I--L T·lê~"t ~eo!f'-'~ 10!oL1,--,-,1 0'--+------1 CA5 3- IPointe.Q011

0,060 I- - -+---+------+---I---.. --+----+---+-------I~--_t_-____;

1

2S: 1 · _ i 1

0,050 C ~==:~~-+I---t---r---t---+--_If_-_+--+_--I

-0,0433 ~~- r'~ _ 1 1

0,040 ~~---+---t-- l---... 1 1 -~-

-O,~;:; 1----+--- - --j-------- 1 1 -··--f--.. _ ! 1 --+-- ---

i 1 .~~ .. ]L _____ 1 __ --+-1_ .-. i ~~~ !

1 1 ~~~ __ _ . _ 1

0,Q20

0,Q10 r-

° ° 2 3 4 . 5 6 7 8 9 10

Fig. 19 - Moment maximal pour un pieu simpl ement appuyé en tête et libre en pointe. o Tc"

Mm ••. 0 2

El.gm

70,0

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

° °

CA::

~

3 -1

1

~ ~ ~ -

~ v 2 3 4

Tête 11010 FDoi nt e .0011

b ./ ~+ l7 ~ //

7 ~ V

~

5 6 7 8

Fig. 19 bis - Moment maximal pour un pieu simplement appuyé en tête et libre en pointe.

/,

~ V

/ V

9

P2 cç CT

Cl -

Pl-=s,54o D

10 o

ï;;-29

0,070

0,060

0,050

0,040

0,030

0,020

0,010

o

70,0

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

o

30

ITête ,1010 C4-

CA~ ~ 3- ~ Pointe .1100 .-=--C3 - ----

~ . .=-

K;1 ---==- ---Pl -~

1 1

C2 1 1

~~ 1

-- --i-i\ 1

i

-'" '"' -------L

~I , ~

1

--j ~~ ----

~~ i -",~ t:--

I~ r--.::: i 1

o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D Fig. 20 - ~1oment maximal pour un pieu simplement appuyé en t"ête et parfaitement e nc astré en pointe (hors pointe) .

1 Tête CA ( ~ 3 - L Pointe

----

/ # ;7

V -

~ /

~ ~ ~ /

~ -----1---

.1010

.1100

/; :/ ----

/

~ / (

/-o 2 3 4 5 6 7 8 F i g. 20 bis - Moment maximal pour un pieu simplement appuyé en tête

et parfaitement encastré en pointe (hors pointe ) .

10

~

~ V

--

r- //

V

9

-8,54

10

D -ç

0,14

0,12

0,1107

0,1054 0,101

0,1000 0,0908

0,080 0,0762

0,060

0,040

0,0333

0,Q20

o

90,0

80,0

70,0

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

o

Tête .1010 CA~ ) 3- 2 Pointe .1100

C4+ 1

C~ ~~ ! Pl+ +

~ Cl Ao A" A A • -+ 15 +2" r-+-~

~ 8 35 1

tkt

I\K\ I 1

l (A40 )

1

--

~~ J--1

! P2+ ~I \ ~ T

~ . -- '" --~

1 ~"~ i ~ ~

1 1-

o 2 3 4 5 6 7 8 Fig . 21 - t10ment e n pointe pour un pieu simplement appuyé c n tête

et parfaitement encastré en pointe.

Tête .1010

CA~ 3 - 2 r ointe .11 UU

1

/

~)) L ~ o - 2( A + ') An ')( ,., 3A ) lo

~ / ( -\ 20") L

~ V

/- 1

g ~ 1--.

~ ~ y C1+

---------

1

9

-_ .

---- -

L

10

D

10

C

~ fi: P

V

1

V~ ------ ·----t------f-~ + 1----

~ -~ F------

~ l ' 1--- P2+ o 2 3 4 5 6 7 8 Fig. 21 bi s - Bornent e n pointe pour un pieu s impl e l'1ent appuyé en t ête

et parfaitement e ncastré en pointe .

9 10 D

31

Mmax

Es.9m .0 2

.--,------r--'-

0,1 4 1----+---+---t----+---+----j--+-+..L5.!~_'j___L~~--__l

C S 3 3

°

0,12 C-

g~~ i 1 1 ·

0,10 ~\- --t---! -' --" '--~j"-_ .. _._~._j.--_ ..... __ ... __ . '"---'''

O,OBO ~'Sf ' ~---t ----+- - i '" -- --- - -

0,060 ._--+- \ --1---- -------. ---- --- '1 '~I J 1 1 1

\ i- - ,--' - -'l--r--r--0,û20 ' ,, - - ~ ",-j " ,.' 1 -l-·- ----- -- --r-- !----

'----.-J.-.-..J_. 1 _ . _ ____ 1=

0,040 PL _.

° 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig. 22 - Moment maximal pour un p i eu simplement appuyé en tête et en po i nte.

Mmax ·0 2.

E1.9m

70,0 T~te 1010 CAS 13-3 ~Dointe lOlO

/

I~ li V

r# V /' /

~ ~ V

~ //

~/

~ ~ ~~ V

/ ~-- ,

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

./-~ V/

° ° 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig . 22 bis - Momen t maximal pour un p i eu simpl ement appuyé en tête et en pointe.

32

10

Cl

C3

Pl-8,54 0

10

o 10

0,14 1-----I---+-----+----+---+---t----'l~-'--'~""_4_---'-'---L..>oo<-_'_t_-____j

CA 0,12 "--- -- - -I----f- -- ---- ---- - -- t---

0,10 M--1=:>'Jc--t----f----j----t---+---!-----r---t----t-----t - 0,0960

-- -- ---- - --------1--1

n ~s:f' --- ' + 1~-~~: 1 -~._------l---t-----t- - l-~T'L --+--

--t----------~- ~-~~~_ 1 1

!

-----~-- --

0,060

-0,0500

0,040

0,0301

o o 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig. 23 - Moment maxi mal pour un pieu encas t ré , mobile en tête e t libre en poin te .

10 D 10

Mmax _D2

EI.gm

35,0

30,0

25,0

20,0

15,0

10,0

5,0

o o

CASi - 1

o M(ü).[?' Ail + 2A7.. ; 3A~

EI·g-rr l 0 lo

/

b k --::2 ~ V==

~ ~ 2 3 4

Têt~ .0101 ,. ,.,

r Olnl~ .UUII

L p

/ /

(Al f) L V

V / p

/ ~

V V V

~ J,....

~ .r-

~ Iv

~ c

~ ~ ~ V 7 ~

~ I~ ~ ~ ~

5 6 7 8 9 10

10

1-/+

Fig. 23 bis - Moment max i mal pour un pieu e ncastré , mobile en tête et l ibre en pointe.

33

34

0,18

0,16 -0,158 -0,148 - 0,147

0,14

-0,129

0,12

-0,100 0,10

CL. -

c -~ ~ K\

\

P2-

CA S 4

~ M(O)

• ~s 9m O

1\\

Tête 0101

-2 1

WOlnte 11 UU

! A A'1 Az A

1 - -~ ---W-T2 P f2.- 6 24

(A 46 ') Pl~ &\\ -1 1-------

~\ 0,080

--

~ i

~ -- 1

~ ~

0,060

0,040

0,020

° ° 2 3 4 5 6 7

Fig . 24 - Homent maximal pour un pieu encastré , I1'.obile en tête et parfaite ment encastré en pointe (hors pointe ) .

Mm ax ·02

EI.gm

T~te . --

lPointe CAS 4- 2 18,0

16,0

L

~ 0 (A 18") ~

/ d L / I~ L

iL ~ L-:::: w: ~ ~ V

1 / Li: ~ t

1 1

14,0

12,0

10,0

8,00

6,00

4,00

~ ~ -------r-~ ~ l

2,00

°

-----

8

0101 1100

~ V ~

l=:====

1-----

9 10 o 10

/ ~

---------

~ ~

P2 cç

C3

Pl

ci Cl

° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 o 10

Fig. 24 bis - Moment maximal pour un pieu encastré , mobile e n tête et parfaitement encastré en pointe (hors pointe) .

0,45

0,40

0,35

0,308 0,30

0,273 0,271 0,255

0,25 0,233

0,20

0,150 0,15

0,10

0,05

90,0

80,0

70,0

60,0

50,0

40,0

30,0

20,0

10,0

°

Tête .0101

CA S 4 - 2 tjolnte .11 UU

C4+ • Ao t " A '2. A-:, 1

3+1 ~+- +-1 (A47' )

1 ___________ 15 24

Cl+ '\

~ \ ~\ '~

P7+ " ~

1\ ,~ 1

!

\ , --r-

~~ ~ t:--

° 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 25 - Moment en pointe pour un pieu encastré, mobile en tête et parfaitement encastré en pointe .

. . --~ .---, _._" Tête .0101

CAS 4-2 ~~olnte .1 mu

J"

/' "v

..

~ If"' il'-'

/' p

/ ~ V 0 ?( A + A +3A ) 0 + 2 L.ik+ 3A )

Lo

~ V (A2( ") /

~ ~v

1 i

g3 P ------

l-----1c 1

. 1 _ . .

/ ~ ~

~ ~

~ ~

~ ~~=-

~-P2+ - • ....L.

° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Fig. 25 bis - Moment en pointe pour un pieu encastré, mobile en tête ~

et parfaitement encastré e n pointe. ~

35

-0,467

0,45

- 0,421

-0,19~ 0,40

0,35

-0,333

0,30

- 0,250 0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

o

c~ -~ cr - + rt2\' C~\ ~1-!~ 1\. P2-

\\ \

o

CAS

1

M(O) ~

CsYm

1\\\ -

1\ _._--

\ . -~ ~

2

Tête

4 - 3 Pointe

- A ~-~ A2. A?, 2- - --;- - M -

r)('\ • L v I L --z:;v

(A 48')

-

1

._ . -

3 4 5 6 7 Fig. 26 - Mome nt maximal pour un pi e u e ncastré , mobile e n tête

e t simpl eœent appuyé e n po inte _

35,0 --+ci'~ ; = 3

30,0 -.- - -----. -1--------

25,0

+ 2 o M(O) . 2._ A",

20,0 __ ... _ . E I. 9m 1 o

0101

.1010

1

1

8 9 10 o 10

15,0 - __ +--_~.-+--8'---L1 --+----1---~,L_ .-t--~~ > - - - ,._ -

C3 -/+ Cl -;+

_-----::70 C 4 -

36

10,0 ---I- ~-- cr/+

5,0 -' --l-- -~-o ~ __ ~~ __________ ~ ____ ~~ _____ ~__ ,_~ ____ ,-L-__ ~~ ____ ~ ____ _

o 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fig. 26 bis - Mome nt maximal pour un pie u e ncastré, mobile en tête e t simpleme nt a ppuyé e n pointe .

o

III - ÉTUDE DU MOMENT EN POINTE BICOUCHE

Cette étude, menée par Roux (1978), concerne uniquement le cas de pieux libres en tête et la déformée de sol prise en compte est la cubique Cl (courbe 1 de Bourges

et Mieussens (1979, op. c~t.), moyenne de l'ensemble des quarante et un points de mesu­res) .

Avant de passer à l'étude du bicouche proprement dit illustrons le problème par les cas 1.2 et 1.3 du monocouche de la 1ère partie (avec le cubique Cl). Il s'agit de

pieux libres en tête, respectivement encastrés parfaitement et simplement appuyés en pointe.

1. INFLUENCE DES CONDITIONS IDEALES EN POINTE

La figure 27 donne pour les deux cas étudiés (Cas 1.2 et 1.3 avec cubique Cl) les

efforts et les déplacements adimensionnels pour ~ = 3. On remarque que l'encastrement o

en pointe a pour effet d 'induire un moment positif en ce point largement supérieur aux momentsnfgatifs maxima obtenus en travée (qui sont d'ailleurs voisins dans les 2 cas). De même l ' effort tranchant augmente en pointe. On vérifie de plus, comme l'on pouvait s 'y attendre, que pour ce pieu relativement souple, le déplacement en tête n'a pas été influencé par l'encastrement ou l'articulation en pointe .

La figure 28 donne l'évolution des moments et des déplacements en faisant varier la rigidité relative sol-pieu.

'l~ l' - 1 ( D 5 7 5) 1 d~ 1 t L on re evera que pour es pleux tres soup es 0- = ou , , es ep acemen s "0

suivent de très près les déplacements g(z) du sol (comparer avec la cubique Cl' donnée

à la figure 5). Pour les pieux rigides, l ' on voit la très grande influence de l'une ou

l 'autre des 2 conditions idéales en pointe, sur le déplacement en tête (cas f = 1).

Les moments qui sont tracés sur cette figure sont rapportés à tionnels à la courbure yU du pieu) et permettent donc de voir

sol devient de plus en r~ide (~ croissant). L'on remarquera, o

o El (ils sont alors propor­l'évolution lorsque le

par exemple, que le mo-

D ment d'encastrement croit fortement avec la raideur du sol, ou plutôt avec ~, c'est-o

à-dire sa racine quatrième, pour un pieu donné.

La figure 29 donne pour les pieux encastrés parfaitement en pointe le rapport de moment d'encastrement M + au moment maximum en travée M -. Ce rapport passe par un mini-p p

mum aux alentours de ~ = 4, où il atteint quand même la valeur de 3,4 environ. Pour o

les pieux très souples on atteint un rapport de 5 et pour les pieux rigides ce rapport devient infini (dès qu 'il n'y a plus de moments négatifs, comme on l'a vu pour ces pieux dans la partie II)·

37

38

<li '<li

!.. VI

O · u C <li

<li

C

a 0..

o CAS 1.2

M

(- ) Mmax

o tJ-2

<li '(11

>-­:J 0... 0... o

q"

c a

(L. .

o

moment

CAS 1.3

M

M(-) max

rlechissant

o

o 10-1

o

1

o 10-1

effort 1 ranchonl

o - 0,') 0 ,---

1

O.---__ --ir_-, - 0,5 o 4-0,5

1

L Y-9

9m 9m

1

deformÉ>e du pieu déplacement relatif

501 - pi€'L

Fig . 27 - Efforts et dépl acements pour D ; 3 - Cas 1. 2 et 1 .3 - Cubique Cl · Ta

CAS 1.2

o

Z/Dl~-----+----~~--~~ o 10 20

Moments fléchissants

CAS 1.3 -10 -5 -1 0

zl D

30

o n-----~-------r,--r~-

Déplacements

o ~----------------~~~-

Fig . 28 -t1oments e t déplacements en fonction de D - Cas 1.2 et 1. 3 - Cubiqu e Cl .

Ta

39

+ Mp{1.2)

Mmax{1.2~

10

5

o o 5 10

Fig. 29 Cas 1.2 Cubique Cl Rapports des moments en pointe aux moments maximaux en travée

La figure 30 donne, e lle , le rapport des moments maximaux (négatifs) en travée lorsque l'on passe d'un pieu simplement appuyé (articulé) en pointe à un pieu parfai­tement encastré en pointe. Ce rapport tend évidemment vers zéro pour les pieux très rigides. Pour les pieux souples, on remarquera sa tendance à dépasser 1 (maximum de

D 1,25 pour ~ = 4), ce qui montre que l'encastrement en pointe a également une tendance

o à augmenter le moment maximum en travée pour ces pieux.

gées,

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

M;'ax (1.2 )

M- (1.3) max

x

Cas 1.2 et 1.3 Cubique Cl Rapport des moments maximaux en tra­vée (encastré/appuyé)

La figure 31 compare,toujours pour les deux conditions idéales en pointe envisa­

les déplacements en tête obtenus, en fonction de ~. Comme cela était déjà pré­,11,0

visible l'on remarque que l'encastrement en pointe ne modifie quasiment pas le dép la­

ment en tête dès que ~ > 2,5. L'on ne peut donc réduire efficacement par encastrement 9. 0

le déplacement en tête que pour des pieux suffisamment rigides. Dans tous les cas l' encast r ement parfait en pointe s'accompagne d'un moment d'encastrement très impor­tant par rapport au moment maximum en travée dans le cas où le pieu est simplement

40

y gm

1

o 1

o

pointe appuyee (cas 1. 3 )

1

point e encastrée (cas 1. 2)

2

0/10

.3 4 Fig . 31 Cas 1.2 et 1.3 Cubique Cl Comparaison des déplacements en

tête

5

appuy6 e n pointe (comparer l es mome nts donnés aux figures 14 et 15 ou 14 bis et 15 bis) (cas d es pieux libres e n tête) .

Les deux cas étudiés (1.2 e t 1.3) et comparés illustrent bien le problè me qui est de savoir si cela est utile , du point de vue d es poussées parasites sur un pieu, de rechercher un fort encastrement ou non dans le substratum (ep supposant que ce pieu n'est pas complètement flottant e t qu'il est descendu jusqu ' à la couche de so l qui ne se déplace plus. C ' est pour cela que nous avons comparé deux cas où l'on a imposé y= 0 au substratum). On constate que pour les pieux souples les déplacements en tête chan­gent peu alors qu e les moments augmenteront beaucoup a v ec un fort e ncastrement.

Pour les pi e ux rigides et libres en tête , on a vu que l'on pouvait obtenir une réduction importante du déplacement en tête, mais que ceci augmentait, par contre , for­tement l es moments. Pour les pie ux encastrés dans un c hevêtre mobile la situation gé­néral e est sensiblement différente . Les figures 10 et 11, tout d ' abord , montre nt que la réduction du déplacement en tête n'est pas aussi importante que pour les pieux li­bres en tête et l es figures 25 et 26 montre nt que le moment d' e ncastrement en pointe, qui est prédominant pour ces pie ux rigides, peut, dans certains cas , se retrouver in­férieur au moment maximum (situé e n tête) du pieu simplement appuyé en pointe .

Nous allons examiner mainte nant (toujours pour l e cas des pieux libres en tête et uniquement avec l a cubique Cl) les conditions "réelles" d'encastrement d 'un pieu

dans une couche de sol, sous jacenteà l a couche de sol moü qui se déplace, d ' épais­seur et de module de réaction donnés.

2. ETUDE D'UN BICOUCHE

Les paramètres de la couche de sol mou qui se déplace de g(z) (1 0) sont indicés "1

11 Dl ' Esl -

. Le pieu est encastré en pointe sur une hauteur D2 dans une couche n° 2 de so l d e

module de réaction Es2 . Cette couche de sol ne se déplace pas (g(z) = 0). Les condi ­

tions sur le pieu au bas de cette couche sont M ~ T = O.

La longueur de transfert du pieu par rapport à la couche 1 est l Ol et par rap-

port à l a couche 2

La figure 32 montre l'évolution des moments et des déplacements pour un pieu

Dl relativeme nt souple par rapport à la couche l, 3 , encastré de D2 = 0,2 Dl dans

9. 01

41

1 0 --.., (J1 .... 0,,(,

couche 1

couche 2

0,5

0,1

1

42

,0 --.J -u; (J1 p ~ ~ 0 0 0 0 ~ ~ 0 1

0 1 , , ,

0 N N l'V 0 l'V .t-. 0' (Xl 0 l'V

0

M max

z/D -o~--~YL-------------------;

100

Fig. 32 - Pieux libres en tête. Cubique Cl ; 0,2 .

Moments et déplacements e n fonction de E /E S2 Sl·

2 V25

D2/D1=O.20 Param~tre- D1/1 01

0,5

Es 2 IE51

Paramètre-

~----~======----~---

Fig. 33 - Pieux libres en tête . Cubique Cl - Bicouche . Rapport du moment en pointe

au moment d ' encastrement parfait , en fonction de D2

et ES2

.

02101

la couche 2, dont la rigidité Es2 varie en fonction de Esl . L'on remarque que dès que

E ~ ~ 25, le moment en pointe dépasse le moment en travée qui, lui, varie peu et que Esl l e déplacement en tête n'a pratiquement pas non plus changé. On retrouve donc ce que l'on savait déjà, à savoir que l' on n'a pas intérêt à chercher à encastrer fortement un pieu souple.

La figure 33 donne la proportion que l' on peut obtenir en pointe du moment d'en-Es2 D2 D2

castrement parfait (noté M;(l.2))' en fonction de ESl

pour Dl 0,2 et de Dl pour

E Dl ES2

= 25, pour différentes rigidités relatives --- L'on remarque que plus le pieu est sl t Ol ·

rigide, plus il faudra l'encastrer pour obtenir une fraction donnée trement parfait (qui croit d'ailleurs avec la rigidité du pieu). Si ment encastré dans la couche 2 et qu'il devient suff i samment souple

du moment d'encfis­un pieu est forte­vis-à-vis des deux

M+ p couches de sol le rapport

M+

Es2 tend vers une valeur qui ne dépend que de ~ et

sl p (1.2) D2 cette valeur est l e maximum que l'on puisse atteindre (le rapport 0-1

n'intervient plus).

De même la figure 34 donne le rapport du moment maximum en travée (négatif, noté M~ax)' au moment maximum en travée obLenu pour un pieu simpl ement appuyé (articulé) en

pointe (au bas de la couche de sol mou) (noté M- (1 3)) . On retrouve le résultat de max . D .

2 la figure 30 , à savoir que pour certains pieux souples (-t -- ~ 5), ce rapport peut dé-02 D

2 passer la valeur 1. On notp égale~cnt sur cette figure que , si -- { 0,1, l e moment Dl"

M- est peu influencé par l'encastrement max D

la rigidité relative ~ . Par contre pour 01

(partie l) dans la couche 2, que lle que soit D

D2

> 0,1 le moment M- diminue si l e pieu 1 max

est suffisamment rigide. On a vu, en effet , il s'annulait à l'encastrement parfait.

que pour des pieux rigides libres en tête,

Terminons cette étude du bicouche en donnant , à titre indicatif,

libres en tête soumis à une déformée d e so l de type Cl' les valeurs de

pour l es pieux Es2 D2 --- et de -­ESl Dl

pour lesquelles M = M+. A la figure 35 sont ainsi tracées différentes courbes, en max p

Dl fonction de --- . A droite de chaque courbe (encastrements importants) le moment e n pointe

tOl

M; sera supérieur au moment en travée M~ax. A gauche, au contra!re, M~ax > M;. On r e ­

marquera ainsi qu'il est relativement plus difficile d'obtenir M prédominant pour un p pieu rigide.

Pour les pieux rigides la condition M = M+ est un optimum vis-à-vis des ef -max p f orts supportés. En effet si l' on accroit l'encastrement le moment Mmax va diminuer et

le moment M+ va croître. Si l' on diminue l'encastrement, ce sera alors l'inverse . Pour p les pieux souples ficher profondément pourrait augmenter les deux moments.

Les ense ignements que l'on peut tirer de cette deuxième partie, qui concerne l es moments en pointe, sont forcément limités par le fait que l'on n 'a examiné en détail que le comportement de pieux libres en tête, ce qui, dans la pratique est très rare­ment le cas. Cette étude permet cependant d'attirer clairement l'attention sur les deux points suivants :

lorsqu'un pieu est soumis à des poussées de la part du so l, on peut avoir un fort moment d'encastrement e n pointe, qui peut conditionner l e dimensionnement du pieu.

- mais, à moins de conditions d'encastrement draconiennes (dictées par d'autres raisons), ce n'est qu'une fraction plus ou moins importante du moment d'encas­trement parfait.

43

hM;;"OX / M;;ox(1. 3 ) ~5

75 @

~- - 3 D2/D1 = 0.2

2.5 Porom~lrt" D1 / 101

1 Vs" ~'i ,~ ''Im 1/4

(E '2/ ES1 ) .. - l . . _---

QS

0,5

1 ...

M;;"OX /M;;"ox( 1. 3 )

---- 75

0,20 J 1 J

5 75

1 J

® E S2 /E S1 = 25

0,30 l _

PlJrom~tr(l>

D2/D1

o D2ID1=010

D1/101

~ __ -::::::::::::::::== ____ -::::O~5~ Porom~lr~ D1/101

~. __ (E.2 /E S//4

Fig . 34 - Pieux libres en tête cubique Cl - Bicouche. Rapport du moment maximum en travêe au moment maximum du pieu simplement appuyé en pointe, en fonction de

D2

et ES2

44

M+ > M-p mo)(

60

40

oc:::::;=;=;::;::;:::;:~~::;::;::~ 0,10 0,20 D2ID1 0,30

Fig. 35 - Pieux libres en tête. Cubique C + 1

Valeurs de ES2

!ESl

et D2

!D1

pour lesquelles Hp H max

IV - CONCLUSION

Cette étude ne répondra pas à toutes les questions que peut se poser un lecteur qui doit dimensionner un pieu soumis à des efforts parasites. En effet , la première partie est une étude , certes exhaustive , mais qui ne considère que des conditions idéa­les de liaison du pieu en tête ou en pointe. La seconde partie ne considère que les pieux libres en tête pour une seule forme de déformée propre du sol. Dans les deux par­ties le module de réaction du sol reste constant avec la déformation et aucune borne ne limite cette loi de réaction. De plus, seul le problème des poussées du sol est en­visagé, indépendamment d'efforts de renversement Ta et MO ou d'efforts verticaux N que

le pieu peut avoir à reprendre en tête, ce qui imposera des choix ou des contraintes différentes de celles évoquées ici, et aboutira à des conclusions différentes. C'est justement l'IArt-de-l'Ingénieur" de savoir combiner les différents éléments qu 'il peut collecter à propos de phénomènes variés et parfoi s compl exes touchant à la fondation qu ' il veut dimensionner. Le but de cette étude est simplement de lui apporter quelques éléments concernant le problème des poussées parasites et de lui donner une juste idée du phénomène et des .mécanismes qui, comme on l'a vu, sont parfois très différents de ceux que l'on rencontre dans le problème le plus voisin, à savoir des pieux sous charges horizontales en tête.

45

R!:F!:RENCES BIBLIOGRAPHIQUES

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TSCHEBOTARIOFF G.P., Foundations, retaining structures and earth structures, 2e éd. 1973, Mc Graw-Hill.

ANNEXE

PARTIE 1 : FORMULAIRE DE PIEUX SOUMIS A DES EFFORTS HORIZONTAUX

Ce formulaire concerne le cas du sol homogène à module de réaction Es constant

avec l a profondeur (en plus du niveau de chargement) .

Les efforts éventuels imposés en t ête sont notés MO et TO'

La déformée propre du sol en l'absence de pieu est notée g(z) (Cas des pieux sou­mi s à des poussées de l a part du so l) .

Les effets d e MO' TO et g(z) sur l es pieux sont additifs tant en ce qui conce+ne

l es déplacements que l es efforts.

Les conventions de s i gne sont données à la figure Al.

o

o

~>O

~u M>O -- 1>0

P>O

Y,9>0

Fig. Al . Conventions de signe

y(z) étant le déplacement d'équilibre du système sol- pieu , on obtient par dér i­vations successives

le moment fléchissant M Ely" (El rigidité d u pieu à la flexion)

- l' effort tranchant T

la densité de réaction P =

dM - El '" dz - Y

P B dT - dz

avec p et B

pression de réaction l argeur frontale du pieu.

_ Ely (IV)

Les équations analyt iques qui suivent supposent que l a loi (l inéaire) de réaction se met sous la forme :

P(z) =Es (y( z ) -g( z) )

e t que g(z) peut se mettre sous la forme d 'un polynôme au plus de degré 3

g (z) = a + a lz + a z2 + a z3 o 2 3

47

L'équation différentielle régissant l ' équilibre des réactions sur l e pieu 4

El :) + ES(y(Z) - g(z) ) = 0 (1)

a pour solution, sous sa forme la plus générale :

z z

2 3 ~ z y = a O + a l z + a 2 z + a 3z + e (al cos ~ O + a

2 sin~) + e

~ O ~ (a .~ cos z + a sin~)

.) ~ O 4 ~O

g(z)

avec

étant alors

~ = 414EI OVE:' s

1. CAS GENERAL

solution particulière de l'équation complète non homogène).

l ongueur de transfert, caractérisant la rigidité relative pieu-sol

Nous donnons ci-après les dérivées successives de y(z) (éq. Al) qui permett~ont, connaissant quatre conditions aux limites (e n général , deux conditions en tête , en

(Al)

z = 0, et deux conditions e n pointe, en z = D) sur y , y ', ~1 = Ely" o u T = Ely'" de poser l e système simple de quatre équations à 4 inconnues (le s 4 constantes d 'intégration al' a 2 , ai e t a 4 ) et d ' obtenir ainsi la solution au problème posé sans faire aucune hypo-

thèse sur la rigidité relative sol-pie u.:

z

2 3"Ç z a 2z + a3z + e (al cos ~ + a 2 o

sin ~ ) + e o

z ~ O

+ - a (cos --e ( z ~O l ~O

z ~O

sint-) + a 2 (sin ~ + cos ~) ) 000

sin ~ . ) + a (sin ~ - cos ~) ) () 4 ~O ~ O

z

2e - ~O

~ = y" . 2e

(- . z z z 2a2 + 6a3z +9:2 al s~n ~ + a 2 cos ~) + T2 (a3 sin --~O

.!- = y'" = El

z ~

2e o( 6a3 + n -

o

2e +n o

z

11. 0

. 0 0 0 0

( . z z ) ( z al s~n ~ + cos ~ + a cos - -o 0 2 11. 0

( a (cos ~ - sin~) + a (cos ~ + sin ~ ) ) 3 11. 0 ~O 4 ~O '"0

. z) s~n T""

o

a 4 cos t-) 0

(Equations A2)

Physiquement, on est amené , en général, à écrire deux condit i ons en tête parmi les quatre suivantes :

48

y(O) = yO

y ' (0) = yÔ

M(O) MO El = y"(O) = El

y"'(O)

une ou deux de ces conditions " à valeur imposée" pouvant être remplacée(s) par deE; re ­lations du type :

M(O)

ou T(O)

(Cas d ' appuis élastiques).

k1

y ' (0)

k 2 y(O)

On écrit, de même, deux conditions en pointe parmi:

y(D) = yp

y'(O) =y' p

M(D) y" (D) ~

T(D) y"'(D) ~ =

M J:J. El

T -'2. El

Pour résoudre le système de quatre équations à quatre inconnues auquel on abou­tit, le calculateur de bureau suffit largement et il est même possible de concevoir, sur les matériels les plus courants de nos jours , un petit programme général prévoyant tous les cas de conditions aux limites.

2. CAS DES PIEUX SOUPLES OU LONGS

L'étude mathématique des fonctions intervenant dans les équations A2 montre que les résultats, à une cote z donnée, ne sont pas influencés, en pratique, par les par­ties du pieu se situant à plus de 3t

O' Ainsi les résultats en tête d'un pieu de l on -

gueur sup érieure à 3t O ne sont pas influencés parles conditions en pointe notamment;

ceci se traduit dans les équations A2 (qui supposent l'origine des cotes en tête du pieu) par le fait que les termes en exponentielle positive sont négligeables. De même les résultats en pointe d'un pieu de longueur supérieure à 3t

o ne sont pas influencés

par les conditions en tête notamment.

On est alors ramené à un système de deux équations à deux inconnues que nous ré­so l vons ci-après analytiquement pour différentes conditions usuelles de valeurs impo­sées en tête ou en pointe.

2.1. Pieu souple libre en tête MO et T(O)

o et)

- le déplacement en tête est alors :

distribution des moments dans la partie supérieure du pieu

z

M(z) _ 2 - -ç ( MO TotO El - 0.2 + 60.3z + e (- 20.2 - 60.3t O + El + ~)

(M = MO en tête)

(All)

z cos -t o

Les lieux des extrema de M(z) - dans la partie haute du pieu - sont donnés par

49

z

T (z) _ 6 - 9- 0 ( TO z 2 El - Œ3 + e (- 6Œ3 + El) cos ~ + ~(2Œ2 +

o 0 (A12)

Dans le cas où l ' on n ' a affaire qu ' à des efforts en tête (g(z) = 0) on retrouve le résultat connu , à savoir que ~ est maximum pour :

z ç Arctg

2.2. Pieu souple parfaitement encastré en tête

Le moment d'encastrement en tête vaut

L ' expression donnant l'effort tranchant est Z

y(O) y' (0)

-~ T (z) 28 ( z. z ) ~ = 6Œ3 + -r:2 (- 2ŒO - Œl~O) cos -- - ŒltO Sln ~ 0 o ~O 0

2.3. Pieu souple sur appui simple en tête y(O) o et M(O)

o

(A13)

La distribution des moments est (dans la partie supérieure du pieu)

M(z) ET'"

'z

2Œ2

+ 6Œ3

Z + ~- ç (-9-

0

L'effort tranchant s ' écrit

z 9-

0 T(z) 2 ((-El 6Œ 3 + -3 e ŒO + ~O

M09- 0 2

2 z Œ2~0 2ET) cos 9- 0

2 2 M09- 0

+ (Œ O + Œ2

9-0 2'EI)

Pour g(z) _ 0, le moment qui s'écrit sous la forme

M = M 8 o cos

est évidemment maximal en tête.

50

sin ~O )

(Al4)

(A1S)

2.4. Pieu souple encastré en tête dans un chevêtre mobile: y' (0)

T 9, 2 9,0 2 3a

390

0 +~)

("3 T(a l 2EI

(al a 2 o et) 2 2 9,0 T0 9,O

a4 =-2(a l + 3a 3 9,0 - 2EI)

- déplacement en tête : 9, 0

y(O) = a O + 2 (al

distribution des moments dans la partie supérieure du pieu

z

M(z) El

9,0 ( al (-

9,0

Le moment en tête vaut donc (moment al

M(O) = EI(2a 2 + ~ + 3a 3 9,0) -o

d'encastrement) T 0 9,O -2-

0, T (0)

(A16)

(A17)

(A1S)

Notons que pour un seul effort en tête TO Gg(z) - 0», le moment d ' encastrement est le moment maximal :

T0 9,O M(O) = - - 2-

- la distribution des efforts tranchants, pour la recherche des extrema de M(z) est:

T (z) El' cos (A19)

2.5. Moment d'encastrement d'un pieu souple parfaitement encastré en pointe

y = y ' = 0 p p

Dans les équations A2 faisons le changement de variable z = z ' + D qui revient à fixer l'origine des cotes en pointe du pieu, sans en changer l e sens. La couche molle est donc telle que z'< 0 g(z') a la forme:

g (z') a ' 1

z' + a ' 2 z'2 + a] z'3

-0 puisque g(z' 0) = 0, avec

o {.t a ' al + 2a 2 D + 3a 3 D2

1

a ' a 2 + 3a 3 D 2

a ' a 3 3

o Y,9 > 0

~'

F ig. A2

51

o

Dans les équations A2 écrites en fonction de a 2, aj et z' ce sont les ter-z' 20

mes en e qui sont négligeables (la partie du pieu située à z' < - 32 0 n'a pas d'in-

fluence en z' = 0) et a3

= a4

= O.

On obtient { al

a2

o

par les conditions en pointe.

Le moment d'encastrement en pointe vaut

a ' M = 2EI(- ~ + a 2) p 0

3 . CAS DES PIEUX R,IGIDES OU COURTS

(A20)

Lorsque 20> D on peut obtenir une bonne approximation des efforts et des dépla­

cements en considérant le pieu comme infiniment rigide, c'est-à-dire en négligeant sa déformation propre. On écrit alors directement que le déplacement y(z) du pieu est

linéaire (fig. A3) sans tenir compte de l'équation Al :

z

y(z) = y(O) + Yb z

yO étant le déplacement en tête (z

te, supposée donc constante.

(A3)

0) et yb la pen-

Les efforts tranchants et les moments s'obtiennent par intégrations des réactions :

Fig. A3 Déformations et pressions pour un pieu infiniment rigide

Ainsi

T (z)

P = Es(y(z) - g(z»

2 3 M(z) = - Esy(O)"T - EsYbr + E{fo~(t)dtdu + T(O)z + M(O)

(A3' )

(A3")

Les relations (A3,A3' et A3") remplacent ainsi les équations A2. Remarquons qu'il n'est plus nécessiire de supposer, ainsi que nous l'avons fait pour trouver une solution particulière simple à l'équation (l), que g (z) ,soj.t un polynôme en z. Nous donnons cependant par l a suite les solutions correspondants à :

af in de les obtenir sous forme analytique exp l icite .

52

On obtient dans ce cas

r'i = y(O) + YOz 2 2

T (z) - EsY(O)z EsYO z z + a 2 = - "2 + Es(aOz + al ""2

2 z3 2 3 M(z) E y(O)~ - E y' + Es(a O

~+ ~+ s 2 s 0 ""6 2 al 6

(M' )

(Equations A4)

Il Y a quatre inconnues à déterminer: y(O), yO' ri(O) et T(O). Ceci sera possi ­

ble par ces simples équations de la statique pour toutes les conditions aux limites (2 en tête et 2 en pointe) qui rendent le pieu isostatique. Dans les cas hyperstati­ques, qui donnent y(z) = 0 si le pieu à une déformée linéaire comme ici, on est obligé de refaire appel, en plus, à la loi de comportement du pieu : Ely" = M ; on obtient par intégration :

3 4 5 2 z6 r'y' (,1

= E (a ~+ z z T(O)~ + M(O)z + Ely' (0) (AS' ) s 0 6 al 24 + a 2 60+ a 3, 120) +

4 5 6 7 3 2 Ely(z) (a

O z z z

a 3 ~40) + T(O)T + z + Ely' (0) z Es 24 + al 120 + a 2 360 + 11(0)"2

+ Ely(O) (A5" )

(Equations A5)

en tenant compte de ce que y' (0) = 0 et yO = 0 dims l'équation A4'" donnant M(z). Ces

équations n'étant valables, à strictement parler, que pour El infini, les produits Ely(z), Ely' (z), Ely(O) et Ely' (0) ne sont pas forcément nuls lorsque y(z) = 0 et y' (z) = O. La solution pour un pieu infiniment rigide sur appuis hyperstatiques sera donc obtenue en utilisant les équations (A4") et ~4"') (avec y(O) et yO nuls) ainsi que

les équations (A5') et (A5") et en faisant tendre El vers l'infini. Remarque: une au­tre manière d'obtenir ces 4 équations est d'intégrer l'équation différentielle:

4 El d Y - E () = 0

dz 4 s g z

qui est l'équation différentielle (1) dans laquelle on a annulé EsY(z).

3.1. Pieu rigide libre en tête et soumis aux efforts T(O)

Les deux inconnues restantes sont y(O) et yO

On obtient pour

y(O)

y' o

les

= a O

équations (A4" ) et (A4"') : 2 a D3 2 (3r10 2T OD) a 2D + 3 - -6- -5- +

E D2 s '

L 2 6 (mO + T 00 )

10a 3D - 3 E D s

TO

et M(O)

(A21)

(A22)

cas oü TO

= MO = 0 (pieu uniquement soumis à des poussées de la part du sol):

on peut alors mettre T(z) sous la forme

T (z) (A23)

et l'on doit résoudre une équation du 2nd degré en z pour connaître les lieux de moment extremum , autres que z = 0 et z = D.

53

et

T(z)

réciproquement si g(z) = 0, et le pieu n'est soumis qu ' à des efforts en tête

2 T(z) = T

O - :z(3M + 2T

OD) + ~(2M + TOD)

D2 0 D3 0

et pour TO

= 0, on trouve que 11 est maximal en tête (110

) et minimal en pointe

(0), ou pour MO = 0 que 11 est maximal pour z = ~ et vaut ~7 TOD.

y(D) o et y ' (D) y' . o o

L'équation (A4') donne y(O) 0

et y(z) - 0

z2 z3 4 T (z) ES(CiOZ + Ci

3 ~) + T

O + Cil T+ Ci 2 "3 4 (A24)

2 3 4 5 rH z) ES( Ci O

z ~+ z z = "2 + Ci l Ci2 TI + Ci

3 20) + TOz + ~10 6

= 0 conduit à une équation du 4ème degré en z (et du ,ème

.) degré si TO = 0, en

plus de la solution z = 0). Si g(z) = 0, l1(z) = MO + TOZ. L ' expression générale pour le

moment en pointe est :

D2 D3 D4 Ci

3D5 M(D) = ES(Ci O "2 + Ci l """6 + Ci 2 TI + ----ro-) + TOD + HO

Les

T ('z)

équations (A4) donnent : 2

3et O Ci lD Ci 2D y(O) -2- + -2- + -4- +

y ' - Y1Ql 0 D

= 0 conduit à

y(D) '1(D) o

- une équation du 4ème degré dans le cas le plus général

(A25)

(A26)

- une équation du 3ème degré si TO

0, en plus de la solution z

- une équation du 2ème degré si g (z) = 0

3 (HO + TOD)Z + l

110 + TOD z2 T (z) = T

O - 0

D2 2 D3

3.2. Pieu rigide parfaitement encastré en tête: y(O) = yo 0

54

L'on a alors , ici, quelles que soient les conditions de pointe

y (z) = 0

Les deux inconnues restantes sont T(O) et 11(0) .

Les équations (A4 " ) et (A4 m ) permettent d'obtenir

D2 D3 D4 T(O) = - ES(CiOD + Cil ~ + Ci 2 ~ + Ci 3 ~)

(A29)

o

(A28)

T (z) o se met sous la forme : 2

r a ID a 2D (z - D)l~o + --2- + ---3-

(A30)

2 3 et pour les déformées de sol s'annulant en pied (g(D) = O<?>aO

+ a lD + a 2D + a 3D = 0)

z = D est alors racine du crochet, donc racine double. Dans ce cas, on cherche les au­tres lieux d ' extremum de ri en résolvant alors

o (;"32)

On se rend compte que les équations (A4) ne suffise nt plus pour résoudre le pro­blème. Le système est , e n eff e t, hyperstatique. Pour exprimer les conditions e n pointe on fait appel aux d e ux équations AS. Leur résolution, pour El fini, donne:

2 3 4 a OD 3a 1D a 2D a 3D

T (0) - Es (-2- + 2()"- + 15 + -28) (A33 )

2 3 4 S a OD alD a 2D a 3D

et r1(0) = Es (12 + 30 + ~ + 105) (A34)

(mome nt d'encastrement e n tête)

T(z) = 0 conduit à

z2 z3 ~4 Es (aOz + a l --2- + a 2 T + a 3 T) + T(O) 0

qui est une.équation de 4ème degré en z.

Le moment d'encastr ement

Ces différentes expres sions ne dérendent pas de El . Etant issu es d ' un système d ' équations valable lorsque El est infini, ce sont les limites cherchées pour un pieu infiniment rigide .

Le système est hyperstatique, ici aussi, et l ' on doit se servir de l'équation (AS " ) en plus de l ' équation (A4 m ) pour déterminer T(O) et M(O) à partir des conditions en pointe :

T (0) (A3S)

J 4 S D

2 7 a 1D a 2D 3a 3D r1 (0) = Es(a O "8 + --r2O + 30 + 140) (A36)

T (z) 0 est une équation du 4ème degré en z, comme précédemment.

3.3. Pieu rigide sur appui simple en tête: y(O) o et t·1( 0)

Les deux inconnues restantes sont yÛ et T(O) .

55

z

en

!l(D) o

Les équations (A4) fournissent :

2 ,,3

y' o 3 CI O Cl l !1 Cl 2D CI 3' .. 0(2 + j- + --;r- + --s-)

Si ~10 0, T (z) = 0 conduit à une équ.ation du 3 ème degré

D 2 D2 Cl 3 3 CI 0:3 D 2 3

0: 0 Cl 2D 0:3 D 0:0

0: 2 "4 z + ( 2 + -4-)z - (4 D + --14 + 2ël)z + T 24 j

3 3 z Si g(z)= 0, M( z ) z 1) le maximum riO (-3 20 + et moment

tête. 2D

(A37)

(A3S)

en plus de la solution

3 0:3 D

2ël = 0 (A39)

est le moment MO imposé

On a Yb = 0 e t l ' équation (A .. ') donrle y(-z) = O. On ne peut pousser plus loin avec

le système d'équations (A4). Le système est hype rstatique et l'on doit faire appel aux équations (AS) pour exprimer les conditions e n pointe sur y et y ' . La solution du sys­tème de deux équations à deux inconnues obtenu nous donne T(O) indépendant de El :

234 3 C1 0D CllD Cl 2D 30: 3D 3 MO

T(O) = - Es(-r + 10 + 24 + 140) - 2 D

(ainsi que y' (0), fonction de El tendant vers 0 lorsque El~ + 00)

- T(z) = 0 conduit à une équation du 4è me degré

- Le moment d'encastrement en pointe vaut

0: D2 3 4 S o O: lD Cl 2D 0: 3D MO Es (--S-- + -ys- + 24 + ~)- 2 M(D)

L ' équation (A4' ) conduit à Yb 0 et y(z) = O.

L ' équation (A4") donne T(O)

T (0) \l OD D

2 D3

D4 t10 - Es (--2- + 0:

1 6+ Cl 2 12+ Cl 3 20) 0

(A40)

(A41)

T(z) = 0 conduit à une équation de 4ème d e gré dans le cas le plus général.

Si g(z)= 0 , alors r1(z) = MOn - 5) et est maximum en tête (~10).

3.4. Pieu rigide encastré dans un chevêtre mobile en tête: yb 0, T (0)

On a alors néce ssairement y(z) = y(O). Le pieu subit une translation uniforme. Les deux inconnues r e stantes sont y(O) et '1(0) .

T(D) 'l(D) o

Les équations (A4) donnent

56

(M2)

(A43)

(moment d ' encastrement en tête)

T(z) = 0 conduit à :

T (z)

- pour TO

= 0, les extr ema de M se situent en tête (z

aux points de cotes z, racines de :

0) , en pointe (z = D) et

2 a l a 2D a 3D a 2 a 3D a 3 2 ;2 + --3- + --4-- +(èr + --4-)z + LI z o (A45)

2 - :>our g(z) = 0 : r1(z) = TO(- ~D + z - i) ri est extremum en z D O1(D) 0) et

sa valeur maximale est donc en tête TOD

r10 = - -2-

L'équation (A4') montre que y(O) = 0 et , donc , y(z) = O. De plus, le système est hyperstatique et l ' on se sert des équ ations (A5') et (A5") pour exprimer les condi­tions en pointe . L ' équation (A5 ' ) donne directement '1 (0) cherché, independemment de y (0)

ri (0) (A46)

- T(z) = 0 conduit , dans le cas l e plus général, à une équation du 4ème

degré

- si TO

= 0 , z = 0 est solution, en plus des racines de

al a2 2 a

3 3 0 aO + ;2 z +èr z +LI z =

- le moment d'encastrement en pointe est :

02

D3

. 4 5 TOD

M(D) Es(a O

a2

D a3

D = "3 + a l 8+ ~+ 24) + -2- (A47)

L'équation (A4 ' ) donne y (0) 0 , donc, ici également , y (z) = O.

L 'équation (A4 " ) donne '1( 0)

D2 3 4

D5 M(O) Es( a O

alD a 2D (A4S) = - ;2+ --6-- + 12 + Ci 3 20) - TOD

(moment d ' encastrement en tête) .

T(z) = 0 conduit à une équation du 4ème degré en z. Si TO

= 0 (pieu soumis aux seuls

efforts de poussée du sol ), z 0 est racine , en plus des solutions de : 2

al Ci 2 Z Ci 3 3 'l O + ;2 Z + -3-- + LI z = O. Si <J (~" 0 (pas de poussée s de la part du sol, l e pieu

est soumis au seul e ffort TO en t~t~ ) , alors 4(z) = TO(Z - D) et M e st maximal en tête

'10 = - TOD.

57

PARTIE Il : APPLICATION

Nous appliquons les résultats de la première partie aux cas

- où les efforts éventuels en tête sont nuls : Ta = MO = a - où la déformée libre du sol g(z) a une des formes suivantes

')

Pl G(I3) 4 13 4 13-

P2 G(I3) l - 2 g + 13 2

Cl G(I3) 0,73 + 2 ,1 3 13 - 4,69 13 2 + 1 , 83 13 3

C2 G (13) 0,81 + 2,14 13 - 6 , 37 11 2 + 3 , 42 11 3

C3 G(I3) 0,5 + 1,5 13 - 2 11 3

C4 G (Z) l 11 + 4 13 2 - 4 11 3

où G (13) =

alors les

g (13) 13 z gm

, = D' coefficients

avec gm valeur maximale de g(z). Les coefficients représentent

Cl O' Cl l , Cl 2 et Cl 3 de g(z) sous forme ad imens ionnelle :

AO Cl O gm

Al ClI D

gm

2

A2

Cl 2D

gm

3

A3 Cl 3D

gm

1. CAS DES PIEUX SOUPLES OU LONGS

Cas l.X. Pieu libre en tête : MO Ta a

L ' équation (All) fournit

YO YlQl

AO A2 3A3

gm -~ -(~ ( -r;;-) T-J

L'équation (A12) peut être simplement résolue lorsque Cl 3 Pl et P2 ). On trouve alors z = rr~O et

58

(All' )

a (cas des paraboles

(1 + e- Il ) OU f ll~~~[)2 = 2A 2 (1 + e-II

)

msoit - 8,35 pour Pl

et + 2,09 pour P2

(AP")

Notons que cette valeur de 'lmax valable pour l a partie supérieure du pieu ne

commencp. à avoir U!: sens ~ue pour [)

" 6 "fQ"

puisqu'elle est situË5e à z " 39. 0 et que pour

D des valeurs plus peti.tl'ès de ce sont l es conditions de po inte qui ont plus d'influen-ce à cette cote. Q,O

Cas 2.X. Pieu souple e ncastr é e n tête: YO = yb = O.

L' équation A13 donne directement l e moment maxima l (en tête, pour les cas étu­diés ici)

H(O) AO Al A2

E D2

2Œ-/

+ 2(~J)

+

2(!f-~'t sgm 9. 0

(AU' )

ou :4 (0)

2AO (~ ~2 + 2Al D + 2A 2 EIgm 0 ~

(AU ")

Cas 3.X. P ieu soupl e sur appui simple : YO = '10 = 0

Pour les parabo l es (a 3 0), l' é quation (A15) montre que T( z ) s'annule pour

a29. 0 2 a O -z Arctg + kn

~ a O + a 2 9. 0 2

Pour la parabole Pl' pour l aquell e o n a , de plus, a O = 0, on trouve que T( z )

s ' annule e n z "fQ"

3n 7n 4(oU 4). En portant dans l ' expressior. de !l(z) (équation A14) avec

z

a O = a 3 = 0 , on trouve H D2 . max

EIgm

= 2A 2 (1 - e

(et - 7,98)

~ cos ~) ce . 9, 0

qui donne ~espectivement)

pour T- = 3~ (et 7~) o

Dieu) .

Cas 4.X. Pieu soupl e

Le déplace me n t

YO

- 8 , 54

encastré e n tête

ad imensio nne l e n

YO AO +

Al

gm 2~ 9.

0

(comme extremum pour la partie supérieure du

dans un chevêtre mobile : y ' 0 TO

0

tête vaut (équation A16)

3A3 (A16' )

2(Tf-f 0

Le moment d ' e ncastrement est donné par l ' équation (A18, moment en tête)

(1\18')

59

ou (A18 " )

Dans le cas des paraboles (a3

= 0) , on vérifie que T(z) s ' annule en tête (équa­

tion A19) . Le moment e n tête est alors le moment maximum, pour la partie supérieure du pieu du moins, pour laquelle ces équations sont valables .

Cas X.2 . (1.2-2.2-3.2 et 4.2). Moment d ' encastrement d ' un pieu souple encastré en

pointe: y = y' = 0 p p

L ' équation (A20) s'écrit sous forme adimensionnelle

ou 2A ' ~ + 2A 2' 1 20

Ai et A2 étant les coefficients adimensionnels de g(z) lorsque l'origine des

cotes est au bas de la couche molle . Les relations entre Ai, A2 et AO' Al ' A2 et A3

étant les suivantes

on obtient

A ' 1

A' 2

Mp

EsgmD

H 0 2

Al + 2A 2 + 3A3

A2 + 3A3

Al + 2A 2 +

2

2(~J 3A3

ou - p- - 2(A1 + 2A2 + 3A3 ) EIgm

2. CAS DES PIEUX RIGIDES OU COURTS

Cas 1.X. Pieu rigide libre en tête

A2 + 3A3 + o 4

~ 9v }

0 + 2 (A 2 + -ç

o

A2 A3 L'équation (A21) s ' écrit YO = AO - ~ - S-

3A~) .J

d'où les valeurs numériques suivantes pour chaque courbe G(~)

G(~) Yg = YO/gm

Pl 0,666

P2 0,833

r 1,146 - 1 C2 I , 188

C3 O,qOO

C4 1 , 133

60

(A20 ' )

(A20 " )

(A21 ' )

sion

Le moment maximum est do nné pou r les racines qui annulent l e croche t de l' e xpres­(A23) de T (z ) (en tête et en pointe : M est nul). Dans chaque cas une seule raci -

ne satisfait 0 < ~ < 1 : H D GO~) Racine z max ÏÎ ?

EsgmD'·

P l 0,500 - 2 , 083 10- 2

P2 0 , 500 + 0 , 521 10-2

Cl 0 , 466 - 1 , 023 10 - 2

C2 0 , 412 - 0,695 10-2

C3 0 , 525 - 1 , 57 0 10- 2

C4 0,568 - 1 , 085 10- 2

~n r epor te alors la valeur de ~ trouvée dans l'équation donnant M(z) (équations D

A4) , en tenan t compte de TO = ~10 = 0 et des valeurs yo et YÛ données par (A21) et (A22)

pour donner les valeurs de Mmax données dans l e tableau.

Ç!ê_!~~ ~ Pieu r i gide encastré en pointe : yp

Rappelons que y(z) = 0

y ' = 0 p

Le moment d ' encastrement (moment maximum pour les six déformées de sol) est don­né par l ' équation (A25)

(A25 ' )

Ce qui donne respect ivement 0,333 pour Pl

0 , 250 P2

0 , 421 Cl

0 , 402 C2

0 , 400 C3

0,467 C4

Ç!ê_!~~~ Pieu rigide sur appui simple en pointe : yp = Mp = 0

L ' équation (A26) donne le déplacement adimensionnel en tête

y o (A26 ' )

Ce qui conduit a ux valeurs suivantes

G (15) YO

= yO gm

Pl 1,000

P 2 0 , 750

Cl 1,262

C2 1,206

C3 1 , 200

C4 1,400

61

Dans l e cas des paraboles Pl et P2 (a 3 = 0), l ' équation (A28 ) fournit comme ra­

Mmax ci ne admissible z = 0,578 D dans les d e ux cas. Ceci donne pour respectivement E D2 ' 2 2 sgm 4, 33 10- et + 1,08 10- .

Cas 2 . X. Pieu rigide e ncastré e n tête : YÛ = YO = 0

Dans les trois cas de conditio ns e n pointe , l'on a : y( z ) = 0 et l e moment d' e n­castreme nt en tête est l e mome nt maxima l pour l es six déformées libres e nvi sagées ici.

Ç~§_?~!~ Pie u rigide l ibre e n pointe : M = T = 0 P P

Ce moment est donné par l ' équation (A3 0) et se met sous la forme

MO AO Al A2 A3

;-7 2 + 3+ T + "5 sgm

et conduit aux valeurs suivantes

G(II) MO/EsgmD 2

Pl 0 ,333

P2 0 , 083

Cl 0 , 269

C2 0 , 210

C3 0, 35 0

C4 0 , 367

Çê§ _ ?~~~ Pieu rigide e ncastr é e n pointe Yp y' 0 p

L ' équation (A34) fournit

MO AO +

Al A2 A3

D2 TI 30+ 60 + 105 Esgm

soit

G(II) HO / Esgm D2

P l 6 , 67 10- 2

P2 3 , 33 10- 2

Cl 7,11 10- 2

C2 6 , 52 10- 2

C3 7,26 10 - 2

C4 7 , 86 10- 2

Çê§ _ ?~~ ~ Pieu rigide articulé e n pointe Yp ~1 0 P

L'équation (A36) fournit , e lle

1<10 AO +

7A1 A2 3A3

D2 8 120 + 30 + 140 E sgm

62

(A 3 0 ' )

(A34 ' )

(A36 ' )

soit

G(S) r10/Esgmo 2

Pl 10 , 00 10- 2

P 2 4 ,1 7 10 - 2

Cl 9 , 84 10- 2

C2 8,70 10- 2

C3 10 , 71 1 0 - 2

C4 11 , 43 10-2

Cas 3 . X. Pieu rigide sur appui simple en tête: yo

Ç!§_l~!~ Pieu rigide l ibre en pointe : Mp = Tp = 0

o

L ' équation (A39) donnant l es l ieux des extrema de M peut être réso l ue simplement dans l e cas des paraboles Pl et P2 (a 3 = 0). On trouve , comme racines acceptables ,

r espectivement z = 0,422 0 et z = 0,30 1 D, ce qui donne

Ç!§_ l~~~ Pieu rigide encastré en pointe

Rappelons que y(z)= 0

y ' p

o

Pour les 6 déformées de sol , on trouve q u e le moment est maximal à l ' encastre­ment en pointe .

L ' équation (A40) s ' écrit

Mp AO Al A2 A3 (MO ' )

E 0 2 8+ 15+ 24 +}5 sgm

Ce q u i fournit les valeurs suivantes

G(S) r1 lE 02

sgm

Pl 10 , 00 10 - 2

P2 3 , 33 10- 2

Cl 9,08 10- 2

C2 7 , 62 10- 2

C3 10 , 54 10 - 2

C4 Il , 07 10- 2

Ç!§_l~l~ Pieu rigide sur appui simple en pointe : yp = Mp o

L ' équation T ( z) = 0 est , au mieux (cas des paraboles) une équation du 3ème

degré . Rappelons que y(z) = o .

Cas 4.X. Pieu rigide encastré en tête dans un chevêtre mobi l e y ' o o

63

La translation uniforme que l'on obtient dans ce cas , est donnée par l ' équation (M2)

(M2' )

On obtient alors les valeurs suivantes

G(S) YO/gm

Pl 0,667

P 2 0,333

Cl 0,689

C2 0,612

C3 0,750

C4 0,833

La résolut i on de l'équation (A45) permet de trouver dans chaque cas le lieu et l a valeur de l'extremum de f1 :

G(S) Lieu S z ~\nax D E D

2 sgm

P l 0,5 - 2,08 10- 2

P 2 0 - 8,33 10- 2

Cl 0 - 7,61 10- 2

C2 0 - 9 , 60 10- 2

C3 0,366 - 3 ,01 10- 2

. C4 0 - 5 ,00 10- 2

Le moment en tête est donné par l'équation (M3) :

r10 Al A2 3A3

E 02 TI + TI + 40

sgm

(M3' )

(Pour les cas P2

, Cl' C2 et C4 ) .

Cas 4.2. Pieu rigide encastré e n pointe Yp y ' 0

-------- p

Dans ce cas y(z) = 0

Dans tous les cas de déformées de sol étudiés ici, le moment est maximal en pointe et vaut (équationA47)

(M7' ).

64

Ce qui conduit aux valeurs suivantes pour ce moment d'encastrement

G(13) H lE D2

sgm

Pl 0,233

P2 0,150

Cl 0,273

C2 0,255

C3 0,271

C4 0,308

Il peut également être intéressant de connaître le moment d'encastrement en tê­te (équation A46)

E D2 sgm

dont les valeurs sont les suivantes

G(13) '10/Esgm02

Pl - 0,100

P 2 - 0,100

Cl - 0,148

C2 - 0,147

C3 - 0,129

C4 - 0,158

Ç~ê_~~~~ Pieu rigide sur appui simple en pointe

Ic~ également, y(z) = 0

(A46' )

o

On trouve, pour les six déformées de sol, que le moment maximal est le moment d'encastrement en tête (équation A48)

~10 AO Al A2 A3 (A 48')

E D2 2" -6 12 -20

sgm

Ce qui donne

G(13) f10/EsgmD 2

Po - 0,333

Pl - 0,250

Cl - 0,421

C2 - 0,402

C3 - 0,400

C4 - 0,467

65

abstract

A STUDY OF PILES SUBJECTED TO LATERAL EARTH PRESSURE USING THE METHOD OF t10DULUS OF REACTION

After setting forth sorne general considerations (physical approach to the mechanism , resolut ion method, possible baundary conditions e tc.), this strictly theoretical study is a "parametric" study of the problem. In the first part , the authors systematically examine the influe nc e of soil-pile rigidity, of the shape of the deformation curve spe­cifie to the soil in the absence of piles, and of the loading and fixing conditions at the he ad and at the tip on the displacement at the pile head and on the maximum moment. The soil is homogeneous, characterized by a single modulus of r eaction Es. The results are presented under a dimensional form. They make it possible to answe r the question set : how do displacements or stresses vary when this or that parameter is varied ? The conditions at the bottom of the layer b e ing ideal condit i ons, l eading notably, in cer­tain cases , to strong mome nts at the tip, the second part deals with the more realis­tic case when the pile is driven into a steeper subjacent layer (the two-layer case ) , and the authors study the evo lution of the mome nt at the interf ace of two layers in function of the characteristics of the subjacent layer. A set of formulae for piles subjected to hori zontal stresses is appended. Al I the analytical solutions that can be found to these problems (stresses at the head or parasitic pressures) are demonstrated and assembled.

zusammenfassung

UNTERSUCHUNG VON SEITENDRUCKEN AUSGESETZTEN PFAHLEN DURCH DIE BETTUNGSZIFFER- METHOnE

Nach e inigen allgemeinen Betrachtungen (physikalische Annaherung des Hechanismus , Lo­sungsverfahren, mogliche Grenzbedingungen ... ) untersucht die vorli egende , rein theore­tische Studie einzig die Parameter des Problems. lm erste!l Teil werden systematisch untersucht : der Einfluss der Boden-Pfahl-Stei f igke it, der Form der hodeneigenen Ver­formung bei fehl e nde m pfahl und der Belastungs - und Einspannhedingungen an Kopf und Spitze auf die Verschiebungen am Pfahlkopf und das Hochstmoment. Der Boden ist honogen und durch einen e inz ige n Reaktionsmodul Es ~ekennzeichnet. Di e Ergebnisse sind in dime nsionsloser Form dargestellt. Sie ermoglichen es , dem ~estellten Problem ,gerecht z u werden : wie andern sich die Verschiebung ode r Krafte hei anderung dieses oder j enes Parameters ? Da die Verhaltnisse am Schichtbode n idea le Verhaltnisse waren , die in bestimmten Fallen insbesondere zu grossen Momenten in der Spitze Führten , wird im zweiten Teil der realistischere Fall eines in e ine steifere, liegende Schicht einge­rammten pfahls (Fall der Doppelschicht) untersucht. Die Entwicklung des Moments an der Grenzflache der b e iden Schichten wird in Abhangigkeit von den Eigenschaften dieser Schicht ebenfalls untersucht. lm Anhang ist ein e Formelsammlung für horizontal belaste ­te Pfahle zu finden. Alle analytischen Losungen, die für diese Probleme e rhalten werden konnen (Krafte im Pfahlkopt oder Storschübe), sind dort aufgeführt und zusammengefasst.

66

resumen

ESTUDIO DE LOS PILOTES SOHETIDOS A EMPU,TES LATERALES CON EL rAÉTODO DEL MODlJLO DE REACCIr)N

Tras algunas consideraciones generales (aproximacion fisica del mecanismo, mètodo de resolucion, condiciones en los lImites posibles ... ), el presente estudio, estricta­mente teorico, es un estudio "paramètrico" del problema. Se estudia sistemâticamente, en la primera parte, el influjo de la ri0idez terreno-pilote, de la forma de la de for ­macion propia del terreno cuando no hay pilote y de las condiciones de carga y empotra­miento en el cabez~l y en la punta sobre el ~ovimiento en la cabeza de 19s pilotes y s09re el,momento maximo. El terreno es homogeneo, caracterizado por un modulo de reac­cion ES unico. Se presentan los resultados en forma adimensional. Permiten dar una respuesta al objetivo fijado : G Como varian los movimientos 0 los esfuezos cuando se hace variar determinado parametro ? Por ser las condiciones en la parte inferior de la capa, las condiciones ideales que culminan, sobre todo en algunos casos, a momentos importantes e? punta, se examina en la segunda ~arte el casa mas realista, en el que el,pilote esta hincado en una capa subyacente mas rigida(caso de una bicapa), estu­diandose la evolucion del momento en la interfase de dos capas en funcion de las car ac­teristicas de esa capa. Figura en anexo un formulario para pilotes sometidos a esfuer­zos horizontales. Se demuestran y recopilan todas las soluciones analiticas que se pue den obtene! para estos problemas (esfuerzos en cabeza y empujes espureos).

pe310Me

HCCJIEAOBAHHE CBAH:, IIOABEPrAEMbIX EOKOBbIM YCMJIMJlM METOAOM MOAYJIJI PEAKIJ;MM

IIocJIe paccMoTpeHliH 06W:HX BorrpocoB (<pH3JilieCKHH CMbICJI MeXaHJilieCKOrO rrpol(ecca, MeTO,ll; perneHHll, B03MOlKHble

rrpe,ll;eJIbHbIe YCJIOBHll ... ) B :3Toii qHCTO TeOpeTJilieCKOii pa60Te rrpe,ll;JIOlKeH « rrapaMeTpJilieCKHii » MeTO,ll; HCCJIe,ll;OBaHHll

3a,ll;aqH. B rrepBoii qaCTH CHCTeMaTJilieCKH HCCJIe,ll;OBaHO BJIHllHHe lKëcTKOCTH CHCTeMbI rpyHT-cBall, <popMa KpHBOii C06CT­

BeHHoH ,ll;e<popMal(HH rpyHTaB oTcyTcTBHe cBaH, yCJIOBHH HarpylKeHHll H 3a,ll;eJIKH rOJIOBHOH qaCTHH rrllTbI Ha rrepeMew:eHHe

BepXHeH qaCTH CBaH H Ha MaKCHMaJIbHblii MOMeHT. rpyH'J; rrpHHllT O,ll;HOpO,ll;HbIM H xapaKTepH3yeTcH O,ll;HHM e,ll;HHCTBeH­

HbIM 3HaqeHHeM BeJIJiliHHbI MO,ll;yJIll peaKl(= Es . Pe3YJIbTabI HCCJIe,ll;OBaHHll rrpHBe,ll;eHbI B 6e3pa3MepHblx BeJIJiliHHax.

OHM rr03BOJIllIOT OTBeTHTb Ha rrOCTaBJIeHHbIll: Borrpoc : KaK BJIHlleT H3MeHeHHe Toro HlIR HHoro rrapaMeTpa Ha rrepe­

Mew:eHMl! BJIH YCHJIHll? IIoCKOJIbKy yCJIOBHll B HHlKHeii qaCTH CJIOll OCHOBaHHH rrpHHllTbI H,ll;eaJIbHbIMH, qTO, B HeKOTopbIX

CJIyqallX, ,ll;aëT 60JIbIIIHe JI060BbIe MOMeHTbI, BO BTOpOH qaCTB pa60TbI paccMoTpeH 60JIee peaJIbHbIii cJIyqaii, KOr,ll;a CBall

3a61ua .B rrO,ll;CTHJIaIOrn:HH 60JIee TBep,ll;bIll: CJIoii (,ll;ByxcJIoiiHOe oCHoBaHHe), 3aTeM HCCJIe,ll;OBaHO H3MeHeHHe MOMeHTa

Ha rpaHMl(e pa3,ll;eJIa 060HX CJIOëB B 3aBHCHMOCTH OT xapaKTepHcTHK 3Toro CJIOll. B rrpHJIOlKeHHH ,ll;aHbI <pOpMyJIbI ,ll;JIH

paCqëTa cBaii, rrO,ll;BepraeMbIX rOpH30HTaJIbHbIM Harpy3KaM. AaHbI ,ll;OKa3aTeJIbCTBa ,ll;JIl! Bcex B03MOlKHbIX aHaJIHTJilieCKHX

perneHHil: 3THX 3a,ll;aq (yCHJIHll B BepXHeii qaCTH CBaH HJIH rrapa3HTHbIe aKTHBHble ,ll;aBJIeHHll).

67

RAPPORTS DE RECHERCH E

DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSSÉES

publiés par le LCPC

Recherche sur l'évolution des propriétés des matériaux alluvionnaires dans un bassin et mise en évidence de quelques caractéristiques générales, L. Primel (1969) -AR 04 : Reconnaissance des tracés et sites.

2 * Application de la spectrométrie infrarouge à l'étude des argiles et ciments hydratés, A. Baron (1969) - AR 63 : Méthodes chimiques et physico·physiques.

3 * Compacité et maniabilité des bétons hydrauliques, J. Baron et R. Lesage (1969) - AR 31 : Bétons et liants hydrauliques.

4 ' La résistance à la traction des roches, C. Tourenq et A . Denis (1970) - AR 09 : Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

5 · * Mesure des teneurs en eau des sols par les méthodes électriques - Ëtude d'une méthode capacitive, Tran Ngoc Lan, P. Chaigne et A. Philippe (1970) - AR 03 : Terrassemen ts.

6 La gélivité des roches - Application aux granulats C. Tourenq (1970) - AR 35 : Granulats.

7 Corrélation entre frottement longitudinal roue bloquée et frottement transversal à dérive élevée, B. Torchet et B. Lajoinie (1970) - AR 02 : Confort et sécurité de la circulation (en relation avec la glissance et l'uni des chaussées).

8 * La méthode des éléments finis et ses applications aux problèmes de génie civil, P. Guellec (1970) - AR 09 : Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

9 Interprétation des vibrations de surface sur les structures routières, R. Guillemin (1970) - AR 01 : Dimensionne­ment des chaussées.

10 * Remblais sur sols compressibles - Synthèses des recherches effectuées dans les Laboratoires des Ponts et Chaussées, F. Bourges (1970) - AR 06 : Ouvrages en terre.

11 * Calcul des écoulements en milieu poreux par la méthode des éléments finis, P. Guellec (1970) - AR 09 : Méca­nique des roches et ouvrages souterrains.

12 Chaussées en béton - Constatations 1966-1967-1968, Groupe de travail LCPC-LR (1970) - AR 31 : Bétons et liants hydrauliques.

13' Consolidation d'un sol sous charge variable - Théorie -Vérification en laboratoire, M. Peignaud (1971) -AR 05 : Fondations des ouvrages.

14 * Ëtude de la pression interstitielle, H. Josseaume (1971) - AR 06 : Ouvrages en terre.

15 Fissuration du béton par hydratation localement différée du ciment, J. Baron (1971) - AR31 : Bétons et liants hydrauliques.

16 Identification et dosage des différents sucres présents dans les plastifiants réducteurs d'eau, C. Laval et F. Durrieu (1971) - AR 31 : Bétons et liants hydrauliques_

17 * Ëtude de la terre armée à l'appareil triaxial, Nguyen Thanh Long, Y. Guégan et G. Legeay (1972) - AR 06 : Ouvrages en terre.

18' Contribution à l'étude de la dilatation thermique des bétons, Mahmoudzadeh -Rahimi (1972) - AR 31 : Bétons et liants hydrauliques.

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19 Ëlaboration de 1 iants goudrons époxydes pour enrobés à hautes performances mécaniques, G. Brun (1972) -AR 33 : Liants hydrocarbonés et enrobés.

20 Machines foreuses pour tunnels et galeries - Techniques et bases théoriques de l'abattage mécanique des roches, D. Fourmaintraux (1972) - AR 09 : Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

21 Influence des gradients de pression interstitielle sur les résultats de l'essai triaxial, H. Josseaume (1972) -AR 06 : Ouvrages en terre.

22 Mesure des pressions derrière et sous un mur de soutè­nement, J.-P. Levillain (1973) - AR 06 : Ouvrages en terre.

23 Ëtude sur la perméabilité des sols fins mesurée en labora­toire, S. Amar et H. Dupuy (1973) - AR 05 : Fondations des ouvrages.

24 Compactage des terrassements - Efficacité en profondeur de trois rouleaux vibrants, P. Chaigne, E. Leflaive, J . Oczkowski, R. Franceschina, G. Morel et A . Ouibel (1973) - AR 03 : Terrassements.

25 Remblais sur sols mous équipés de banquettes latérales -Ëlaboration des abaques de stabilité, G. Pilot et M. Moreau (1973) -AR 06: Ouvrages en terre.

26 * Ëtude des voûtes en terre armée, C. Behnia (1973) - AR 06 : Ouvrages en terre.

27 Contribution à l'étude de la cohésion dans une pâte de laitier granulé, Ph . Petit (1973) - AR 63 : Méthodes chimiques et physico-chimiques.

28 * La stabilité des ouvrages souterrains - Soutènement et revêtement, M. Panet (1973) - AR 09 : Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

29 Calcul des contraintes dans un massif d'épaisseur limitée soumis à une charge trapézoïdale, B. Mandagaran (1973) -AR 06 : Ouvrages en terre.

30 Ëtude des murs en terre armée sur modèles réduits bidi­mensionnels, Nguyen Than Long, F. Schlosser, Y. Guégan et G. Legeay (1973) - AR 06 : Ouvrages en terre.

31 Ëtudes sur l'uni des revêtements routiers et le confortdu véhicule automobile, M. Abrache (1974) - AR 02 : Confort et sécurité de la circulation (en relation avec la glissance et l'uni des chaussées) .

32 Dispositif d'enregistrement adaptable à l'essai de classe­ment des sols selon leur degré de gélivité, J .-C. Laporte (1974) - AR 01 : Dimensionnement des chaussées ..

33 Compactage des terrassements - Compactage en grande épaisseur au moyen de rouleaux à cylindres vibrants lourds et d'un compacteur à pneu lourd, P. Chaigne, R. Franceschina , G. Morel, J . Oczkowski et A. Ouibel (1974) - AR 03 : Terrassements.

34 Auscultation dynamique des superstructures par les méthodes classiques, G. Cannard, J . Carracilli, J . Prost et Y . Vénec (1974) - AR 62 : Auscultation des ouvrages d'art.

Ëpuisé.

35 Ëtude du mécanisme de modification des propriétés des bétons, mortiers et coulis hydrauliques par addition de résines thermodurcissables, A .-M . Pail 1ère (1974) -AR 31 : Bétons et liants hvdrauliques.

36 Calcul de la stabilité des pentes en rupture non circulaire, P. Raulin, G. Rouquès et A. Toubol (1974) - AR 06: Ouvrages en terre.

37 Ëtude expérimentale de la mise en place du béton frais, R. Lesage (1974) AR31: Bétons et liants hvdrau-liques.

38 Mécanisme de la prise du laitier granulé sous activation alcaline, R. Oron (1974). - AR 63 : Méthodes chimiques et physico-chimiques.

39 Contribution à l 'étude de l'hydratation des silicates calciques hydrauliques, R. Sierra (1974) - AR 63 : Méthodes chimiques et physico-chimiques.

40 Ëtude expérimentale de la compatibilité de résines épo­xydes avec le bitume - Application à la prévision de systèmes compatibles, C. Laval et B. Brûlé (1974) -AR 63 : Méthodes physiques et physico-chimiques.

41' Ëtude d'un remblai sur tourbe à Caen , J . Vautrain (1975) - AR 06 : Ouvrages en terre.

42 Ëtude théorique et expérimentale de la préparation d'une résine époxyde compatible avec le bitume, B. Brûlé et C. Laval (1975) - ' AR 63 : Méthodes chimiques et ph Vsico-chimiques.

43' Redistribution des effets hyperstatiques des ponts en béton précontraint par fluage linéaire, M.-Y . Lau (1975) - AR 10,' Ponts en béton précontraint.

44 * Ëtude des massifs à comportement non linéaire - Appli­cations aux problèmes de génie civil, A. Ricard (1975) -AR 09 " Mécanique des roches et ouvrages sOuterrains.

45 Ëvolution sur route de liants et d'enrobés bitumineux -Ëtude de laboratoire sur prélèvements, Doan Tu Ho, A. Grignard et P. Ugé (1975) - AR 33,' Liants hvdro­carbonés et enrobés.

46 * Ëtude théorique du comportement des pieux sous charge verticale - Introduction de la dilatance, R. Frank (1975) -AR 05 " Fondations des ouvrages.

47 ' Consolidation d'un sol avec drains verticaux sous charge variable, D. Chaput et G. Thomann (1975) - AR 06 " Ouvrages en terre.

48 Centrifugation de modèles réduits d'ouvrages en terre et de fondations, G. Pilot (1975) - AR 06 : Ouvrages en terre .

49 Influence des matières minérales en suspension sur la qualité des eaux de surface, D. Robbe (1975) - AR 67 " Eau.

50 Ëtude expérimentale des phénomènes différés dans les ouvrages en béton précontraint; M. Diruy (1975) AR 10: Ponts en béton précontraint.

51 Les meulières du sud de la région parisienne, J . Prévot (1975) - AR 04 " Reconnaissance des tracés et sites.

52 * Ëtude hydrogéologi que des formations de pente de la butte d'Amance, M. Livet (1976) - AR 04 ,' Reconnais­sance des tracés et sites.

53' Ëtude de mortiers de résine pour revêtements superfi­ciels routiers, A . Denis (1976) - AR 35 " Granulats.

54 Utilisation des textiles non-tissés pour le drainage -Application aux remblais de sols fins en cours de conso­lidation, M . Bourdillon (1976) - AR 03 " Terrassements.

55 Ëtude lithologique du calcaire de Saint-Ouen dans la reglOn parisienne - Quelques conséquences d'ordre géo­technique, B. Caron (1976) - AR 04 " Reconnaissance des tracés et sites.

56 Dalles orthotropes, M.-Y. Lau (1976) - AR 11 " Ponts métalliques et ponts mixtes.

57 Méthodes de contrôle de la pollution des eaux - Utilisa­tion des électrodes spécifiques, M. Cathelain (1976) -AR 63 " Méthodes chimiques et physico-chimiques.

58 Influence des paramètres de formulation sur le compor­tement à la fatigue d'un enrobé bitumineux, S. Soliman (1976) - AR 33 " Liants hydrocarbonés et enrobés.

59 * Interprétation de l'efficacité des compacteurs vibrants, J .-M. Machet (1976) - AR 03,' Terrassements et AR 34 " Assises traitées.

60 Ëtude des mortiers des graves traitées aux liants hydrau­liques et aux liants mixtes en vue de la réduction de leur fissuration de retrait, Y . Toklu (1976) - AR 34 :Assises traitées.

61 Les roches granitiques et leur altération - Reconnaissance géotechnique de tracés en Bretagne, G. Chevassu (1976) -AR 04 " Reconnaissance des tracés et sites.

62 Revêtement en béton de liants hydrocarbonés modifiés -Ëtude de laboratoire, J.-P. Grimaux, A. Grignard et M. Huet (1976) - AR 33 : Liants hydrocarbonés et enrobés.

63 Compactage des graves-bitume au moyen de rouleaux vibrants, J .-M. Machet, G. Morel et J.-C. Valeux (1976) -AR 33 " Liants hydrocarbonés et enrobés.

64 La composition du béton hydraulique du laboratoire au chantier, J . Baron et R. Lesage (1976) - AR 31 " Bétons et liants hvdrauliques.

65 Relations entre les propriétés physico-chimiques et les caractéristiques mécaniqu&s des sols compressibles J .-F. Vidalie (1977) - AR 03 : Terrassements.

66 Contribution à l'étude de la tensio-activité cationique des bitumes routiers, F. Durrieu (1977) - AR 63 : Méthodes physiques et physico-chimiques.

67 * Contribution à l'étude des propriétés de matériaux -Le traitement des sables, M. Hamzé (1977) - AR 33 et 34 : Liants hydrocarbonés et enrobés - Assises traitées.

68 Effets des forces de précontrainte concentrées dans les poutres caissons, Ly Kim Ty (1977) - AR 10 : Ponts en béton précontraint.

69 Comportement du béton hydraulique : fissurabilité et fragilité - Ëtude bibliographique et critique, J. Baron (1977) - AR 31,' Bétons et liants hvdrauliques.

70 Compactage des terrassements - Efficacité en profondeur de plaques et de rouleaux vibrants et influence de l 'épais­seur des couches sur la qualité du compactage, P. Chaigne, R. Franceschina, J. Oczkowski et A. Quibel (1977) -AR 03 " Terrassements.

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Comportement en traction simple des enrobés hydro­carbonés, R. Linder (1977) - AR 33 ,' Liants hvdrocar­bonés et enrobés.

Détermination de la 'teneur en eau des granulats et du béton frais par méthode neutronique, J .-P. Baron (1977) - AR 65 " Méthodes physiques.

Stabi lisation des massifs rocheux fissurés par barres d'acier scellées, J .-J . Azuar (1977) - AR 09 ,' Mécanique des roches et ouvrages souterrains.

Ëpuisé .

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74 Application des modèles élastoplastiques de l'Université de Cambridge au calcul du comportement d'un remblai expérimental sur sols mous (Cubzac-les-Ponts), M.-T. Dang et J.-P. Magnan (1977) - AR 06 : Ouvrages en terre_

75 Contribution à l'étude des états structuraux des bitumes, R. Dron, M. Bestougeff et I.A. Voïnovitch (1978) -AR 63 : Méthodes chimiques et physico-chimiques_

76 Contribution de la chromatographie sur gel perméable (G.P.C .) à la caractérisation qualitative et quantitative des bitumes _ Structure colloïdale, B. Brûlé (1978) -AR 33 et 63 : Liants hydrocarbonés et enrobés - Méthodes chimiques et physico-chimiques.

77 Application de la chromatographie sur gel perméable à l'analyse des liants de peinture pour signalisation horizon­tale, F. Migliori (1978) - AR 63 : Méthodes chimiques et physico-chimiques_

78 Perte de tension d'origine thermique intervenant au cours de fabrication des éléments précontraints par pré-tension traités thermiquement, M. Hassan (1978) -AR 10 : Ponts en béton précontraint_

79 Propriétés générales des graves traitées par des ciments spéciaux et des retardateurs de prise, J . Alexandre , A . Broccoli, C. Cimpelli, J .-L Paute (1978) - AR 34 : Assises traitées aux liants hydrauliques_

80 Éboulements et chutes de pierres sur les routes. 1. - Méthode de cartographie, Groupe d'études des fa­laises (1978) - AR 09 : Mécanique des roches et ou­vrages souterrains_

81 Éboulements et chutes de pierres sur les routes _ II. - Recensement des parades, Groupe d'études des falaises (1978) - AR 09 : Mécanique des roches et ou­vrages souterrains.

82 Diagraphies de densité et de teneur en eau. Sondes nu­cléaires de première génération, J. Ménard et J. Cariou (1978) - AR 64 : Emploi des radio-isotopes.

83 Analyse minéralogique - Application aux bétons durcis en liaison avec: la pérennité des ouvrages, F .-X. Deloye (1978) - AR 31 et 63 : Bétons et liants hydrauliques -Méthodes chimiques et physico-chimiques.

84 Application de l'holographie à l'analyse des contraintes, J.-M. Caussignac (1978) - AR 65: Méthodes physiques_

85 Fatigue des ouvrages d'art métalliques soudés - Rapport introductif à un programme de recherche, P. Brevet, D. François, J-P. Gourmelon et A. Raharinaïvo (1978) -AR 32 : Métaux .

86 Réparation des structures en béton fissurées par injec­tion de liants époxydiques, Y . Mouton (1979) - AR 31 et 63 : Bétons et liants hydrauliques - Méthodes chi­miques et physico-chimiques.

87 Argiles à meulières et calcaires de Beauce en Hurepoix, Synthèse géologique, J .C. Grisoni (1979) - AR 04 : Reconnaissance des tracés et sites.

88 Méthode de contrôle de la pollution des eaux . Les pes­ticides et leur détermination dans les eaux de surface, J. Lamathe, Ch. Magurno et G. Maire (1979) - AR 63 : Méthodes chimiques et physico-chimiques.

89 Stabilité, ténacité, propagation des fissures dans les fils et barres en acier, A . Athanassiadis (1979) - AR 32 : Métaux.

90 Prospection des gisements rocheux à l'aide des diagra­phies, C. Archimbaud et J. Pey berna rd (1979) -AR 35 : Granulats_

91 Compactage des assises de chaussées traitées aux liants hydrauliques au moyen de compacteurs à pneumatiques, M. Khay, Guy Morel et J .-M. Machet (1979) - AR 34 : Assises traitées aux liants hydrauliques.

92 Contribution à l'étude du retrait de la pâte de ciment durcissante , M . Buil (1979) - AR 31 : Bétons et liants hydrauliques.

93 Le fluage des sols argileu x - Étude bibliographique, B. Félix (1980) - AR 06 : Ouvrages en terre.

94 Le fluage et la consolidation unidimensionnelle des sols argileux, B. Félix (1980) - AR 06: Ouvrages en terre.

95 Étude bibliographique sur les possibilités actuelles d'uti ­lisation des hyperfréquences en génie civil, G. Baillot (1980) - AR 65 : Méthodes physiques.

96 Propriétés électrocinétiques des particules argileuses. Application de la méthode électrophorétique aux pro­blèmes d'environnement et d'identification des sols, O. Cuisset (1980) - AR 03 : Terrassements.

97 Transport et dispersion d'effluents industriels ou urbains dans le domaine côtier de mers à marées, J.-L Olié, Jean Godin, Penh Lmuth (1980) - AR 67: Eau.

98 Cassettes LPC : enregistrement, lecture , exploitation , M . Leroy, J.-Y. Toudic (1981) - AR 68: Informatique.

99 Météorologie et terrassements, P. Hénensal (1981) -AR 03 : Terrassements_

100 Méthodologie de caractérisation de l'agressivité d'un site , D. André, J. Millet, A . Raharinaïvo (1981) - AR 32 et AR 30 : Métaux - Matériaux pour ouvrages d'art.

101 Le vibrex . 1 nfluence des paramètres d'un rouleau vibrant sur l'efficacité du compactage, A. Quibel, M_ Froumentin, G_ Morel (1981) - AR 03, 33 et 34 : Terrassements ; Liants hydrocarbonés et enrobés ; Assises traitées aux liants hydrauliques.

102 Amélioration de la visibilité de la signalisation routière de jour et de nuit - Applications de la photométrie et de la colorimétrie, R. Hubert (1981) - AR 20 : Signalisation et exploitation de la route.

103 Appl ication des chromatographies en phase liquide et en couche mince à l'analyse des polluants organiques des eaux - Synthèse bibliographique, D. Grange, Ph . Clément (1981) - AR 63 : Méthodes chimiques et physico­Chimiques.

104 Pollutions métalliques du milieu naturel- Guide méthodo­logique de leur étude à partir des sédiments - Rapport bibliographique, D. Robbe (1981) - AR 67 : Eau.

105 Étude des vibrations provoquées par les explosifs dans les massifs rocheux, P. Chapot (1981) - AR 09 : Tunnels et travaux dans le rocher.

106 Détermination expérimentale des courbes d'état limite de l'argile organique de Cubzac-les-Ponts, S. Shahanguian (1981) - AR 06 : Ouvrages en terre.

Les rapports de recherche disponibles peuvent être demandés au Service des Publications du LCPG.

Les rapports de recherche épuisés peuvent être fournis sous forme de micro-fiches 105 x 148 mm_

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Publié par le LCPC, 58 boulevard Lefebvre - 75732 PARIS CEDEX 15 sous le numéro 502 716 - Dépôt légal: 4e trimestre 1981