opÉrations sur les nombres relatifs

CHAPITRE I

OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS

COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :

(T : compétences transversales, N : activités numériques, G : activités géométriques, F : gestion de don-

nées et fonctions)

Intitulé des compétences Evaluations

T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours

N1 Calculer une somme et une différence de nombres relatifs ∗

N2 Calculer un produit de nombres relatifs ∗

N3 Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres re-

latifs ∗

N4 Ecrire des programmes de calcul portant sur des nombres relatifs

N5 Savoir organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec

les nombres relatifs

N6 Savoir organiser et effectuer à la calculatrice une succession de cal-

culs avec les nombres relatifs

∗ : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.

Deux points verts : Je sais très bien faire

Un point vert : Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs

Un point rouge : Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs

Deux points rouges : Je sais pas faire du tout

Légende du tableau de compétences :

4ème Cours CH 1

Compétence N1 : Somme et différence de nombres relatifs.

• Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :

– on conserve le signe commun aux deux termes de la somme,

– on additionne les distances à zéro.

• Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :

– on conserve le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro,

– on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.

Additionner des nombres relatifs

Exemples :

Ï (−5)+ (−11)=−16

Ces deux nombres sont négatifs, donc la somme sera un nombre négatif. La somme de leurs distance à

zéro est égale à 5+11= 16. La somme de ces deux nombres est donc bien −16.

Ï (−3)+ (+4,9)=+1,9

Ces deux nombres sont de signes contraires, mais (+4,9) a la plus grande distance à zéro : la somme sera

donc positive. De plus la différence des distances à zéro est égale à 4,9−3= 1,9. La somme de ces deux

nombres est donc bien +1,9.

• Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsque leur somme est égale à zéro.

• Pour déterminer l’opposé d’un nombre relatif, il suffit d’en changer le signe.

Opposé d’un nombre relatif

Exemples :

(−2,8)+ (+2,8)= 0 : les nombres −2,8 et +2,8 sont opposés, ou encore −2,8 est l’opposé de +2,8.

Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.

Soustraire un nombre relatif

Exemples :

Ï (+7,5)− (−2,3)= (+7,5)+ (+2,3)=+9,8

car soustraire −2,3 revient à ajouter l’opposé de (−2,3), c’est-à-dire à ajouter (+2,3).

Ï Pour calculer une somme, on peut regrouper les termes négatifs d’un côté, positifs de l’autre :

(+2)+ (−7)+ (−3)+ (+5) = (+2)+ (+5)+ (−3)+ (−7) = (+7)+ (−10) =−3

Ï Pour calculer une succession d’additions et de soustractions (ce que l’on appelle une somme algé-

brique), on commence par la transformer de telle sorte qu’il n’y ait que des additions :

(+2)− (+12)+ (−3)− (−9) = (+2)+ (−12)+ (−3)+ (+9)= (+2)+ (+9)+ (−12)+ (−3) = (+11)+ (−15)=−14

Ï On peut simplifier une somme algébrique, en supprimant les parenthèses autour des nombres rela-

tifs, et en supprimant le signe "+" des nombres positifs :

(−3)+ (+7)+ (−11)+ (−5) =−3+7−11−5=−3−11−5+7 =−19+7=−12

(−5)− (−16)+ (−14)− (+9)+ (+13) = (−5)+ (+16)+ (−14)+ (−9)+ (+13)

=−5+16−14−9+13=−5−14−9+16+13=−28+29= 1

4ème Cours CH 1

Compétence N2 : Produit de nombres relatifs.

– Le produit d’un nombre relatif par un nombre relatif de même signe est positif,

– Le produit d’un nombre relatif par un nombre relatif de signe contraire est négatif.

Règle des signes dans un produit de deux nombres relatifs

On commence par calculer le nombre de facteurs négatifs.

– Si ce nombre est pair, alors le produit de ces nombres est positif.

– Si ce nombre est impair, alors le produit de ces nombres est négatif.

Règle des signes dans un produit de plusieurs nombres relatifs

Pour multiplier des nombres relatifs :

– on applique la règle des signes pour déterminer le signe du produit,

– on multiplie entre elles les distances à zéro.

Multiplier des nombres relatifs

Exemples :

Ï (−6)× (−7) =+42 Ï (+15)× (−10)= 15× (−10)=−150 Ï (−13)× (+3) = (−13)×3=−39

Ï (−1)× (+5)× (+2)× (−3) est un nombre positif, car il y a deux facteurs négatifs.

De plus, on a (−1)× (+5)× (+2)× (−3)= (−1)×5×2× (−3) =+(1×5×2×3) =+30

Ï (−2)× (+5)× (−3)× (−1)× (+7) est un nombre négatif, car il y a trois facteurs négatifs.

De plus, on a (−2)× (+5)× (−3)× (−1)× (+7)= (−2)×5× (−3)× (−1)×7 =−(2×5×3×1×7) =−210

– Pour tout nombre relatif x, on a x ×1= x

– Pour tout nombre relatif x, on a x ×0= 0

– Pour tout nombre relatif x, on a x × (−1)=−x

Autrement dit, le produit d’un nombre relatif par (−1) est l’opposé de ce nombre.

– Un produit ne change pas lorsque l’on modifie l’ordre de ses facteurs. On dit que la multiplication est

commutative. Autrement dit, on a a×b = b ×a.

– La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.

Autrement dit, on a

k × (a+b) = ka+kb

k × (a−b) = ka−kb

Propriétés de la multiplication des nombres relatifs

Pour faciliter un calcul, on peut :

Ï utiliser la commutativité : 4×9× (−25)= 4× (−25)×9 = (−100)×9=−900

Ï utiliser la distributivité :

en développant : (−9)×19= (−9)× (20−1) = (−9)×20− (−9)×1= (−180)− (−9)=−180+9=−171

en factorisant : (−8)×7,5+ (−8)× (−2,5)= (−8)× [7,5+ (−2,5)] = (−8)×5 =−40

4ème Cours CH 1

Compétence N3 : Diviser par un nombre relatif non nul

Le quotient d’un nombre relatif a par un nombre relatif non nul b, noté a ÷b oua

b, est le nombre par

lequel on doit multiplier b pour trouver a.

Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous b×? = a.

Quotient de deux nombres relatifs

– Le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est positif,

– Le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est négatif.

Règle des signes dans un quotient de deux nombres relatifs

Pour effectuer le quotient de deux nombres relatifs

– on applique la règle des signes pour déterminer le signe du quotient,

– on effectue le quotient les distances à zéro.

Diviser des nombres relatifs

Exemples :

Ï (−4)÷5 =

−4

5=−

4

5=−0,8 Ï (−120)÷ (−15)=

−120

−15=

120

15= 8 Ï

7

−14=−

7

14=−0,5

Valeur approchée d’un quotient

Mais attention ! ; on veut, par exemple, calculer le

quotient de 15 par −7.

Ce quotient est négatif, et pour trouver sa distance

à zéro on doit calculer le quotient 15÷ 7. Or on a,

ci-contre :

On ne peut pas écrire ce quotient sous la forme d’un

nombre décimal, car la division ne s’arrête pas. On

ne peut donner que des valeurs approchées et des

encadrements de ce quotient.

Si on veut placer ce quotient sur la droite graduée :

1 51 0

3 02 0

6 04 0

5 01 0

3

72,1 4 2 8 5 7 1 . . .

0 1

15

−7

On peut dire, par exemple, que :

• −2,2 est une valeur approchée au dixième par défaut de 15÷ (−7),

• −2,1 est une valeur approchée au dixième par excès de 15÷ (−7),

• −2,1 est un arrondi au dixième de 15÷ (−7) (c’est la valeur approchée au dixième la plus proche),

• −2,2<

15

−7<−2,1 est un encadrement au dixième de 15÷ (−7).

4ème Cours CH 1

ACTIVITÉ : SAVOIR UTILISER SA CALCULATRICE

Exemple On veut effectuer le calcul suivant à la calculatrice : −3× [15,5− (−6,5)]

A la calculatrice, on tape la séquence suivante :

( - ) 3 × ( 1 5 . 5 – (( - ) 6 . 5 ) ) EXE

ou

( - ) 3 × ( 1 5 . 5 – (( - ) 6 . 5 ) ) =

et on obtient, à l’écran :-3×(15.5-(-6.5))-66Remarques :

Ï notez bien la différence entre la touche ( - ) , qui précise le signe d’un nombre, avec la touche

– , qui correspond à l’opération soustraction.

Ï la virgule qui sert à séparer la partie entière de la partie décimale d’un nombre est atteinte grâce

à la touche .

Ï pas de crochets sur la calculatrice, mais des parenthèses emboîtées les une s dans les autres.

A vous de jouer ! Effectuez à la main (au brouillon) les calculs suivants, et notez les résultats dans la

première colonne ; puis effectuez ces calculs à la calculatrice, et notez les résultats obtenus dans

la seconde colonne ; comparez alors les résultats obtenus :

Calcul à la main à la calculatrice

A = 5× (3−9)÷10

B =−4×2,5÷ (−5)

C = (−6,5)× [4− (−6)]

D = (2−20)÷ [3,2− (−5,8)]

E = 38+25

−2,5

F =

−28

14+86

G = 7−−25

5−10

H = 13− [−11+5× (4+3)]

I =−36÷ [−9− (−6)×2]

J = 10÷ (25−13×2)− [14,4+ (−54)÷6]

4ème Utilisation de la calculatrice Page 1

COMPÉTENCE N5 : ENCHAÎNEMENTS D’OPÉRATIONS AVEC RELATIFS

EXERCICE

Calculer à la main les expressions suivantes :

A =−10−4×6+18÷6

A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = [−10− (4×5+18)]÷6

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C =−(10−4)× (5+18÷6)

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = 5×2× (−3)−12÷6

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = 5× [2× (−3)−12]÷6

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = 5×2× [(−3)−12÷6]

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G =

3,6

1,8−5,4×2+7

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H =

3,6

1,8−5,4× (2+7)

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I =3,6

(1,8−5,4)×2+7I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

COMPÉTENCE N4 : ECRIRE UN PROGRAMME DE CALCUL AVEC DES RELATIFS

EXERCICE

Dans chaque cas, écrire une expression traduisant le programme de calcul donné, et calculer le nombre

obtenu :

1. Je prends le nombre −5, je le multiplie par 4, puis j’ajoute 6 au résultat :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Je prends le nombre −5, je lui soustrait 4, puis je multiplie le résultat par 6 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Je prends le nombre −5, je lui ajoute 4, puis je soustrait le résultat de 6 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Je prends la somme de −8 et 5, je la multiplie par (−4), puis je divise le résultat par 24 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Je multiplie la somme de 16 et (−10,5) par 10, et j’ajoute le quotient de 25 par (−5) :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Je fais le quotient de la somme de 7 et de 14 par le produit de 1,5 et 8 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Je fais le produit de l’opposé de (−3,4) par la différence de (−12) et (−2) :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Je fais la différence de 15 et de la somme du produit de (−5) par 7 et de 11 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Je prends le produit du double de l’opposé de −7 par le tiers de la somme de 5 et 7 :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4ème Exercices CH 1 Page 1

CHAPITRE II

TRIANGLE : MILIEUX ET PARALLÈLES



nées et fonctions)

Intitulé des compétences Eval.1 Eval.2 Eval.3


T2 Réaliser aux instruments une figure géométrique en suivant un pro-

gramme de construction

G1 Utiliser le théorème de la droite des milieux pour démontrer que deux

droites sont parallèles ∗

G2 Utiliser le théorème de la droite des milieux pour calculer une lon-

gueur ∗

G3 Utiliser la réciproque du théorème de la droite des milieux pour dé-

montrer qu’un point est le milieu d’un segment

G4 Utiliser le théorème des trois rapports égaux pour calculer une lon-

gueur

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20

Moyenne de la classe :

. . . . . . . . . . . . /20

∗ : cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.






4ème Cours CH 2 Page 6

Compétence G1 : Utiliser le théorème de la droite des milieux pour dé-montrer que deux droites sont parallèles.

Dans un triangle, la droite joignant les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.

Premier théorème de la droite des milieux

Exemple :

Dans le triangle MNP, E est le milieu de [MN], F est le milieu de [MP] ;

Or on sait que, dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième

côté.

On peut donc en conclure que les droites (EF) et (NP) sont parallèles.

M

N

P

E

F=⇒

M

N

P

E

F

Compétence G2 : Utiliser le théorème de la droite des milieux pour cal-culer des longueurs.

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la

longueur du troisième côté.

Second théorème de la droite des milieux

Exemple :

On a tracé le triangle TRI tel que TR= 6 cm, RI= 5 cm et TI= 7 cm.

Dans ce triangle, M est le milieu de [TI], N est le milieu de [IR] ;

Or on sait que, dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la

moitié de la longueur du troisième côté.

On peut donc en conclure que la longueur du segment [MN] est égale à la moitié de celle du côté [TR] :

MN=

TR

2=

6

2= 3 cm.

M

N

T

R

I7 m6 m 5 m

=⇒

M

N

T

R

I

3 m6 m4ème Cours CH 2 Page 7

Compétence G3 : Utiliser la réciproque du théorème de la droite desmilieux pour montrer qu’un point est milieu d’un segment.

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors

elle coupe le troisième côté en son milieu.

Réciproque du premier théorème de la droite des milieux

Exemple :

On a tracé le triangle HGD tel que O soit le milieu de [HD], et on a tracé la droite (d) parallèle au côté

[HG] passant par O ; cette droite coupe le côté [GD] en un point P.

Or on sait que, dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté, et est parallèle à un deuxième

côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

On peut donc en conclure que la droite (d) coupe le côté [GD] en son milieu, et donc que P est le milieu

de [GD].

H

G

D

O

P

(d) =⇒

H

G

D

O

P

(d)Compétence G4 : Utiliser le théorème des trois rapports égaux pourcalculer une longueur.

Dans un triangle ABC, soit M un point situé sur le côté [AB], et N un point situé sur le côté [AC].

Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les longueurs des côtés du triangle AMN sont pro-

portionnelles aux longueurs des côtés du triangle AMN, et on a le tableau de proportionnalité suivant :

Côtés du triangle ABC AB AC BC

Côtés du triangle AMN AM AN MN

Proportionnalité des longueurs dans un triangle

A

B

C

M

N Comme (MN) et (BC) sont parallèles, les

longueurs des côtés du triangles AMN

sont proportionnelles aux longueurs des

côtés du triangle ABC.

Le coefficient de proportionnalité est

a =

AM

AB=

AN

AC=

MN

BC


Dans un triangle ABC, soit M un point situé sur le côté [AB], et N un point situé sur le côté [AC].

Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC), alors les rapports de longueurs suivants sont égaux :

AM

AB=

AN

AC=

MN

BC

Propriété des trois rapports égaux

Remarque :

• Ce théorème se généralise sans problème au cas où M et N sont respectivement sur les demi-droites

[AB) et [AC), et non plus seulement sur les côtés [AB] et [AC].S

M LIN

Sommet ommunC�tés parallèles

Attention à écrire correctement les

trois rapports !

– Aux numérateurs, les longueurs des

côtés du premier triangle.

– Aux dénominateurs, les longueurs des

côtés associés du second triangle.

– Pour les deux premiers rapports, il est

pratique d’écrire les côtés partant du

sommet commun

SN

SM=

SI

SL=

NI

ML

Pour calculer une longueur grâce à ce théorème :

Supposons que, sur la figure ci-dessus, on ait SM=10 cm, SN=6 cm, SL=8 et NI=4,5 cm.

Comme N∈[SM], I∈[SL] et que (NI) est parallèle à (ML), on peut appliquer le théorème des trois rapports

égaux :

SN

SM=

SI

SL=

NI

ML

soit, en remplaçant les longueurs des côtés par leurs valeurs,

6

10=

SI

8=

4,5

ML

Ï De l’égalité6

10=

SI

8, on peut tirer la valeur de SI :

6

10=

SI

8donne 6×8 = 10×SI d’où 48= 10×SI et donc SI =

48

10= 4,8 cm .

Ï De l’égalité6

10=

4,5

ML, on peut tirer la valeur de ML :

6

10=

4,5

MLdonne 6×ML = 10×4,5 d’où 6×ML = 45 et donc ML =

45

6= 7,5 cm .

Remarque : L’année prochaine, vous verrez ce théorème (en le généralisant un peu) sous le nom de

Théorème de Thalès).


DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE L A DROITE DES MILIEUX

Dans le triangle ABC ci-contre :

• le point I est le milieu du côté [AB],

• le point J est le milieu du côté [AC].

On veut démontrer, prouver que la droite (IJ) est pa-

rallèle à la droite (BC). Pour cela, placer sur la figure le

point K, symétrique du point I par rapport au point J,

et répondre aux questions suivantes :

A

B

C

IJ

1. a) Compléter le schéma de démonstration suivant :

b) Compléter le texte suivant :

D’une part, comme K est le symétrique de I par rapport à J, on peut affirmer que . . . est le milieu

de [. . . . . . ].

D’autre part, d’après l’énoncé, . . . est également le milieu de [. . . . . . ].

Le quadrilatère AKCI a donc ses diagonales ([. . . . . . ] et [. . . . . . ]) qui se coupent en leur milieu (. . . ).

Le quadrilatère AKCI est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nous pouvons donc affirmer que (KC) est parallèle à (. . . . . . ) et que KC= . . . . . . .

2. a) Compléter le schéma de démonstration suivant :

4ème Activité CH 2 Page 1

b) Compléter le texte suivant :

On sait que I est le milieu de [AB], et donc on peut affirmer que AI= . . . . . .

Par ailleurs, on a vu dans la question 1 que AI= . . . . . .

Par conséquent, on a . . . . . . = . . . . . .

De plus on a vu dans la question précédente que (. . . . . .) est parallèle à (. . . . . .).

Comme les points A, I et B sont alignés, cela revient à dire que les droites (. . . . . .) et . . . . . .) sont

parallèles.

Pour résumer, on a KC=IB d’une part, et (KC) est parallèle à (IB) d’autre part ; autrement dit, le

quadrilatère IBCK a deux côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :

IBCK est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Terminons cette démonstration :

Puisque IBCK est un parallélogramme, ses côtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et de la même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

En particulier, on a IK= . . . . . ., et de plus les droites (IK) et (. . . . . . ) sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Or, J étant le milieu de [IK], on sait que IJ =IK

2=

. . . . . .

2.

Enfin, les points I, J et K étant alignés, on peut affirmer que (IJ) est parallèle à (. . . . . . ).

Nous avons réussi à démontrer que,

dans le triangle ABC, en prenant I le milieu de [AB] et J celui de [AC] :

• la droite (IJ) est parallèle à (BC),

• et que de plus IJ =BC

2


DÉMONSTRATION DE LA RÉCIPROQUE DU PREMIER THÉORÈME DES MILIEUX

Dans le triangle ABC ci-contre :

• le point I est le milieu du côté [AB],

• la droite (d) est parallèle à (BC) et passe par I.

On veut démontrer, prouver que la droite (d) coupe le

côté [AC] en son milieu.

A

B

C

I

(d)1. Placer sur la figure ci-dessus le point K tel que BCKI soit un parallélogramme.

2. Démontrer que (BI) et (CK) sont parallèles, et que BI=CK :

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3. Démontrer que AI=CK et que (AI) est parallèle à (CK) :

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4. Démontrer que AICK est un parallélogramme :

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5. En déduire que la droite (d) coupe le segment[AC] en son milieu :

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COMPÉTENCE G1 : UTILISER LE THÉORÈME DE L A DROITE DES MILIEUXPOUR DÉMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLÈLES

EXERCICE 1Soit ABC un triangle ; soit I le milieu de [AB], et D le symétrique de A par rapport à C.

1. Tracer une figure codée :

2. Démontrer que les droites (BD) et (IC) sont parallèles, en remettant les phrases suivantes dans l’ordre.

• O�r�, �d�a�n�� u�n� �t�r�i�a�n�g�l�e, �l�a� �d�r�o�i�t�e �q�u�i� �j�o�i�n�t�l�e�� m�i�l�i�e�u�x �d�e �d�e�u�x � ��t�é�� e�s�t �p�a�r�a�l�l�è�l�e �a�u��t�r�o�i�s�i�è�m�e � ��t�é.• O�n� �s�a�i�t �q�u�e I �e�s�t �l�e �m�i�l�i�e�u� �d�e [AB]

•P�a�r� � �o�n�s�é�q�u�e�n�t, �o�n� �p�e�u�t �e�n� �d�é�d�u�i�r�e �q�u�e �l�e��d�r�o�i�t�e�� (IC ) �e�t (BD) �s�o�n�t �p�a�r�a�l�l�è�l�e��• O�n� �p�e�u�t �d�o�n� �a�f�f�i�r�m�e�r� �q�u�e C �e�s�t �l�e �m�i�l�i�e�u��d�e [AD]

•O�n� �s�a�i�t �q�u�e D �e�s�t �l�e �s�y�m�é�t�r�i�q�u�e �d�e A �p�a�r��r�a�p�p�o�r�t �à� C

• A�i�n�s�i�, �d�a�n�� l�e �t�r�i�a�n�g�l�e ABD , �l�e�� p�o�i�n�t�� I�e�t C �s�o�n�t �l�e�� m�i�l�i�e�u�x �r�e�s�p�e� �t�i�f�� d�e�� t�é��[AB] �e�t [AD]

Votre démonstration :

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EXERCICE 2

IJK est un triangle rectangle en J, M est le milieu du côté [IJ], N celui du côté [IK].

1. Faire une figure :

2. Démontrer que les droites (MN) et (JK) sont parallèles.

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3. En déduire que (MN) est la médiatrice de [IJ].

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EXERCICE 3

ABCD est un parallélogramme de centre O ; I est le milieu de [BC], et J celui de [AB].

1. Faire une figure :

2. Démontrer que les droites (OI) et (JB) sont parallèles.

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3. Démontrer que OIBJ est un parallélogramme.

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COMPÉTENCE G2 : UTILISER LE THÉORÈME DE L A DROITE DES MILIEUXPOUR CALCULER UNE LONGUEUR

EXERCICE 1Calcule les longueurs demandées, en justifiant soigneusement la réponse :

A

B

C

I

J

?

7cm

A

B

C

I

J

4,3c

m

?

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EXERCICE 2Sur la figure ci-contre, on a AB = 8 cm et I J = 3 cm. En justifiant avec soin :

1. calcule la longueur BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. calcule la longueur LK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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A

C

B

I

J

L

K

EXERCICE 3

1. Construire ci-contre un triangle MNP tel

que MN=6,4cm , MP=5,8cm et NP=9cm.

2. Placer les points E, F et G, milieux respec-

tifs des segments [MN], [MP] et [NP].

3. Calculer le périmètre du triangle EFG, en

justifiant soigneusement la réponse.

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COMPÉTENCE G3 : UTILISER LA RÉCIPROQUE DU PREMIER THÉORÈME DE LA DROITE

DES MILIEUX POUR DÉMONTRER QU’UN POINT EST LE MILIEU D’UN SEGMENT

EXERCICE 1Soit TBU un triangle ; soit C le milieu de [TU], et (d) la droite parallèle au côté [BU] passant par C. Soit Q

le point d’intersection de (d) et de (TB).

1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que Q est le milieu de [TB]

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EXERCICE 2QUAD est un parallélogramme de centre O. La parallèle à (QD) passant par O coupe le côté [UA] en un

point M.

1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que M est le milieu de [UA]

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EXERCICE 3C est un cercle de centre O et de rayon 3cm. [AB] est un diamètre de ce cercle, et M un point quelconque

de ce cercle. La droite (d), parallèle à la droite (MB) passant par O, coupe le segment [AM] en un point I.

1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que I est le milieu de [AM]

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3. Démontrer que (d) est la médiatrice de [AM] :

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EXERCICE 4

PMK est un triangle isocèle en P tel que PM=5cm et MK=4cm. Soient E, F et G les milieux respectifs des

côtés [PM], [MK] et [PK]. La droite (EF) coupe le segment [MG] en un point I.

1. Tracer une figure codée : 2. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (PK).

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3. Démontrer que le point I est le milieu du segment [MG].

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4. Calculer la longueur IE en justifiant soigneusement.

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EXERCICE 4 : Placer le milieu d’un segment sur un quadrillage

A B

C

I

E

F

M

N

R

S

G

H

1. On considère le triangle ABC.

a) Que représente le point I pour le segment [AB] ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) En utilisant le quadrillage, tracer la droite parallèle à (BC) passant par I ; elle coupe le côté [AC] en

un point J.

c) Justifier averc soin que J est le milieu du segment [AC].

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2. En n’utilisant que le quadrillage (et donc sans aucun instrument !), et en s’inspirant des résultats de

la question précédente, placer les milieux respectifs des segments [EF], [GH], [MN] et [RS].


COMPÉTENCE G4 : EXERCICES PRÉPARATOIRES

EXERCICE 1 :

Dans chacun des cas suivants, les droites (d) et (d’) sont parallèles. Précisez quels sont les deux triangles

dont les longueurs des côtés sont proportionnelles, complétez le tableau de proportionnalité, puis écri-

vez les trois rapports de longueurs égaux :

Cas n°1 Cas n°2 Cas n°3 Cas n°4

A

B

C

M

N

(d') (d)E

F

G

P

R (d') (d) M

N

P

IJ

(d')(d)S

A

BU

V (d')(d)Les deux triangles dont

les côtés ont des lon-

gueurs proportionnelles

sont . . . . . . . . . et . . . . . . . . .

Les deux triangles dont



sont . . . . . . . . . et . . . . . . . . .




sont . . . . . . . . . et . . . . . . . . .




sont . . . . . . . . . et . . . . . . . . .

. . . . . . AC . . . . . .

AM . . . . . . MN

. . . . . . EF . . . . . .

ER . . . . . . . . . . . .

MN . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

AM

AB=

. . . . . .

AC=

MN

.. . . . .

ER

. . . . . .=

. . . . . .

EF=

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

MN=

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

EXERCICE 2

Trouver le nombre manquant dans chacun des tableau de proportionnalité suivants

(on donnera la valeur exacte de ce nombre manquant) :

10 3

5 x

x = . . . . . .

y 4

9 12

y = . . . . . .

3 6

z 14

z = . . . . . .

0,8 t

3 9

t = . . . . . .

u 5

3 4

u = . . . . . .

7 3

v 2

v = . . . . . .

EXERCICE 3

Déterminer le nombre manquant, comme dans l’exemple donné (on donnera la valeur exacte du nombre

recherché) :

x

8=

5

4

4×x = 8×5

4×x = 40

x =

40

4= 10

14

y=

7

9. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

12

15=

z

5. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

4

15=

10

t. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

u

5=

3

8. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

4

v=

7

5. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCE G4 : UTILISER LA PROPRIÉTÉ DES TROIS RAPPORTS ÉGAUX POUR

CALCULER UNE LONGUEUR

EXERCICE 1 :

Sur la figure ci-contre, on a M∈[AB] et N∈[AC].

De plus, (MN) et (BC) sont parallèles.

On sait aussi que AB=12 cm, AM=4 cm, AC=15 cm et MN=3,5 cm. (La figure n’est pas réalisée en vraie

grandeur).

On veut calculer les longueurs AN et BC.

Complétez le texte suivant :D�a�n�� l�e �t�r�i�a�n�g�l�e ABC , �o�n� �a� M ∈ [AB], . . . ∈ [. . . . . .] �e�t(M N ) ........................ �à� (BC ).D'�a�p�r�è�� l�a� �p�r�oǑp�r�i�é�t�é �d�e�� t�r�o�i�� r�a�p�p�o�r�t�� é�g�a�u�x,�o�n� �a� :. . . . . .

. . . . . .=

AN

. . . . . .=

. . . . . .

BC, � '�e�s�t-�à�-�d�i�r�e . . . . . .

. . . . . .=

AN

. . . . . .=

. . . . . .

BC.

Ï

4

12=

AN

15. . .× . . . . . . = . . . . . .× AN

. . . . . . = . . . . . .× AN

AN =

. . . . . .

. . . . . .= . . . . . .

Ï

4

12=

3,5

BC. . . . . .×BC = . . . . . .× . . . . . .

. . . . . .×BC = . . . . . .

BC =

. . . . . .

. . . . . .= . . . . . .E�n� � �o�n� �l�u�s�i�o�n�, AN = . . . . . . � �m� �e�t BC = . . . . . . � �m�.

A

B C

M N

EXERCICE 2

En s’inspirant de l’exercice 1, rédigez la solution des trois exercices suivants sur votre cahier (l’unité est

le centimètre ; les figures ne sont pas réalisées en vraie grandeur :

a) G∈[FE], H∈[FD], (GH)//(ED).

FE=4, FD=8, ED=10 et GF=1,5

Calculer les longueurs GH et FH :

D

E

G

F

H

b) A∈[QP], B∈[QM], (AB)//(PM).

QA=4.5, QB=6, AB=3 et PM=4

Calculer les longueurs QP et QM :

M

P

A

Q

B

c) L∈[SE], H∈[ST], (LH)//(ET).

SL=3, SH=5, ST=12, ET=15

Calculer les longueurs SE et LH :

E

T

H

S

L


COMPÉTENCE G4 : UTILISER LA PROPRIÉTÉ DES TROIS RAPPORTS ÉGAUX POUR

CALCULER UNE LONGUEUR (2)

EXERCICE 1 :

Dans les deux cas suivants, calculer les longueurs indiquées par un point d’interrogation (L’unité est le

centimètre ; les figures ne sont pas réalisées en vraie grandeur ; on donnera la valeur exacte et, s’il y a lieu,

la valeur arrondie au millimètre de la longueur demandée)

(d) // (FL), (d’) // (AF).

AN=3, AL=8, AF=10, LF=9

F

A

L

N

T

P

(d)(d') ? ??

(d) // (BC)

AM=3, MB=5, AN=2.5, BC=5

A

B

C

N

M

(d) ? ?

EXERCICE 2

1. Sur votre cahier, tracer un parallélogramme ABCD tel que AB=6 cm et BC=3 cm ; placer sur la demi-

droite [BC) un point M tel que BM=5 cm. La droite (MA) coupe le côté [DC] en un point N.

Démontrer avec soin que NC=2,4 cm.

2. Sur votre cahier, tracer un triangle ABC rectangle en B tel que AB=5 cm et BC=9 cm ; placer sur le côté

[BC] un point M tel que BM=5 cm. La droite perpendiculaire à (BC) et passant par M coupe le côté

[AC] en un point N.

Démontrer avec soin que MN=20

9cm.


THALÈS DE MILET, SON THÉORÈME ET LES PYRAMIDES D’EGYPTE

Propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangleSi, dans un triangle ABC, M est un point de [AB] et N un point de[AC] tels que les droites (MN) et

(BC) soient parallèles,

alors les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont proportionnelles.

Cette propriété, que vous verrez sous une forme plus générale en classe de Troisième, prendra alors le

nom de Théorème de Thalès. Et pourtant, il semblerait que Thalès de Milet (Mathématicien et philo-

sophe Grec, qui serait né en −625 et mort en −547), ne soit pour grand-chose dans l’énoncé de ce théo-

rème, que connaissaient déjà les Babyloniens très longtemps auparavant, et qui n’a été démontré que

par Euclide quelques siècles plus tard... Pire ! Le théorème de Thalès ne s’appelle ainsi... qu’en France !

En Allemagne et en Angleterre, par exemple, le théorème dit "de Thalès" énonce que tout triangle inscrit

dans un demi-cercle est rectangle !...

Il existe cependant une anecdote, rapportée par l’historien Grec Diogène Laërce, qui dit que Thalès de

Milet, au cours de l’un de ses voyages en Egypte, rencontra le Pharaon Amasis, qui voulut le mettre à

l’épreuve en lui demandant de déterminer la hauteur de la Grande Pyramide de Kheops... Voici com-

ment Thalès aurait procédé, uniquement muni d’un bâton (nous adapterons ici la situation pour qu’elle

soit compréhensible par tous : en particulier, nous utiliserons le mètre comme unité de mesure, mètre dont

l’invention ne remonte qu’à 200 ans environ...) :

ANDCE

B

M

SoleilLa méthode qu’aurait utilisée Thalès est la suivante :

il planta un bâton (représenté par le segment [MN])

dans le sol, et mesura la longueur de l’ombre portée

par ce bâton. Pour savoir comment il en déduisit la

hauteur de la Pyramide de cette simple mesure, ré-

ponds aux questions suivantes :

1. Explique pourquoi les droites (MN) et (BC) sont parallèles :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Quel est le segment qui représente l’ombre au sol du bâton ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Quel est le segment qui représente l’ombre au sol de la pyramide ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Thalès a pu sans problème mesurer les longueurs suivantes (données ici en mètres) : MN=2 ; AN=2,8 ;

DE=230 ; DA=88.

a) Combien vaut la longueur CA ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Utilise la propriété de proportionnalité des longueurs dans un triangle pour obtenir la longueur

BC, c’est-à-dire la hauteur de la Pyramide : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Longueurs des côtés du triangle ABC : AB=. . . . . . AC=. . . . . . BC=. . . . . .

Longueurs des côtés du triangle AMN : AM=. . . . . . AN=. . . . . . MN=. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


AGRANDISSEMENTS ET RÉDUCTIONS

ACTIVITÉ 1

Sur la fiche donnée en annexe, vous avez deux trapèzes rectangles ABCD et EFGH. Le trapèze EFGH est

un agrandissement de rapport 2 du trapèze ABCD.

1. Effet sur les longueurs : Sans utiliser de règle graduée :

Le segment [AB] mesure 7 cm ; combien mesure le segment [EF] ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le segment [EH] mesure 12 cm ; combien mesure le segment [AD] ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléter le tableau suivant :

AB = 7 cm BC = 5 cm CD = DA =

EF = FG = GH = 8 cm HE = 6 cm

Que peut-on en dire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Effet sur les angles :

Découper les deux trapèzes et, par superposition des deux figures :

Comparer les angles �BAD et �FEH : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparer les angles �ADC et �EHG : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comparer les angles �ABC et �EFG : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Effet sur le parallélisme :

Que pensez-vous des deux droites (AB) et (CD) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Justifiez par une propriété : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Que pensez-vous des deux droites (EF) et (GH) ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Par combien faut-il multiplier les longueurs des côtés du trapèze EFGH pour trouver les longueurs

des côtés du trapèze ABCD ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compléter la phrase : Le trapèze ABCD est une . . . . . . . . . . . . . . . . . . de rapport . . . . . . du trapèze EFGH.

Collez ici les deux trapèzes que vous avez découpés :


ACTIVITÉ 2

Dans chaque cas, compléter les phrases :

Les quadrilatères ABCD et AIJK sont des rec-

tangles :

Le rectangle ABCD est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . de

rapport . . . . . . du rectangle AIJK

Le rectangle AIJK est une . . . . . . . . . . . . . . . . . . de

rapport . . . . . . du rectangle ABCD

Sachant que AC=10 cm, combien vaut AJ ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sachant que AK=1,2 cm, combien vaut AD ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D C

BA

KJ

I

8 m1,6 m

Les droites (MN) et (BC) étant parallèles :

Le triangle ABC est un . . . . . . . . . . . . . . . . . . de

rapport . . . . . . du triangle AMN

Le triangle AMN est une . . . . . . . . . . . . . . . . . . de

rapport . . . . . . du triangle ABC

Sachant que MN=1,5 cm, combien vaut BC ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sachant que AC=6 cm, combien vaut AN ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sachant que �AMN= 36°, combien vaut �ABC ?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B C

A

M N

3 m9 m

Le demi-disque clair est un . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de rapport . . . . . . du demi-disque foncé

Le demi-disque foncé est une

. . . . . . . . . . . . . . . . . . de rapport . . . . . . du demi-

disque clair

9 m 6 m


ACTIVITÉ 3

1. Tracer un agrandissement de rapport 2,5 du triangle ci-dessous :

2. Tracer une réduction de rapport 0,4 du triangle ci-dessous :

3. Tracer un agrandissement de rapport 1,5 du quadrilatère ci-dessous :(pour vous aider, vous pouvez

découper ce quadrilatère sur la feuille donnée en annexe)


Annexe

Activité 1

E F

GH

A B

CD

Activité 3


CHAPITRE III

NOMBRES RELATIFS EN ÉCRITUREFRACTIONNAIRE



nées et fonctions)



T3 Résoudre un problème et rédiger sa solution ∗

N7 Transformer, simplifier l’écriture fractionnaire d’un nombre ∗

N8 Utiliser l’équivalence entre fractions égales et produits en croix égaux

N9 Multiplier deux nombres relatifs en écriture fractionnaire ∗∗

N10 Connaître et utiliser l’égalité a×1b=

ab

N11 Diviser deux nombres relatifs en écriture fractionnaire

N12 Ajouter, soustraire des nombres relatifs en écriture fractionnaire ∗∗∗

N13 Organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec des

nombres relatifs en écriture fractionnaire

N14 Organiser et effectuer à la calculatrice une succession de calculs avec

des nombres relatifs en écriture fractionnaire

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20

∗ : cette compétence fait partie du socle commun.∗∗ : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs.∗∗∗ : cette compétence fait partie du socle commun pour les nombres positifs ayant le même dénominateur.







Compétence N7 : transformer, simplifier une écriture fractionnaire

On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son déno-

minateur par un même nombre non nul.

Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres relatifs (avec b et k différents de 0) :a

b=

a×k

b ×ket

a

b=

a÷k

b ÷k

Transformer l’écriture fractionnaire d’un nombre

Exemple 1 : transformer l’écriture fractionnaire d’un nombre :

•−4

9=

−4×3

9×3=

−12

27

•28

−35=

28÷7

(−35)÷7=

4

−5

•17

2,5=

17×10

2,5×10=

170

25

Exemple 2 : simplifier une fraction :

•−24

39=

−8×3

13×3=

−8× �3

13× �3=

−8

13

•30

−42=

6×5

(−7)×6=

�6×5

(−7)× �6=

5

−7

•2×3×5×7

3×7×11=

2× �3×5× �7

�3× �7×11=

10

11

Compétence N8 : Produits en croix et égalité de fractions

a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) ;

• Sia

b=

c

d, alors a×d = b ×c

• Si a×d = b ×c, alorsa

b=

c

d

Propriété des produits en croix

Exemple : déterminer si deux fractions sont égales :

•−12

27=

52

−117; en effet on a d’une part (−12)× (−117)= 1404 et d’autre part 27×52= 1404.

•75 025

46 3686=

196 418

121 393

en effet, le dernier chiffre de 75 025×121 393 est un 5, alors que le dernier chiffre de 46 368×196 418 est

un 4 ! Et pourtant, la calculatrice donne la même valeur approchée pour les deux quotients :

75025/46368

1.618033989

196418/121393

1.618033989


Compétence N9 : Multiplier des nombres en écriture fractionnaire

Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux, puis on

multiplie les dénominateurs entre eux.

Si a, b, c et d sont quatre nombres relatifs (avec b et d différents de 0) :a

b×

c

d=

a×c

b ×d

Règle de multiplication de deux fractions

Exemples :

• 5×−4

9=

5

1×−4

9=

5× (−4)

1×9=

−20

9

•7

5×−4

3=

7× (−4)

5×3=

−28

15

Il est parfois préférable de simplifier avant d’effectuer les produits :

•24

−35×

14

16=

24×14

(−35)×16=

(8×3)× (7×2)

((−5)×7)× (8×2)=

(�8×3)× (�7× �2)

((−5)× �7)× (�8× �2)=−

3

5

Compétence N10 : Inverse d’un nombre relatif

Deux nombres (non nuls) seront dits inverses l’un de l’autre lorsque leur produit est égal à 1

Si a est un nombre relatif non nul, son inverse est1

a, qui se note aussi a−1.

Si a et b sont deux nombres relatifs non nuls, l’inverse dea

best

b

a.

Définition

En effet, pour tous nombres relatifs a et b non nuls :

a×1

a=

a

a= 1 et

a

b×

b

a=

a×b

b ×a=

�a×��b

��b ×�a= 1

Exemples :

• 2,5 et 0,4 sont deux nombres inverses l’un de l’autre, car 2,5×0,4= 1

• L’inverse de −8 est1

−8=−0,125 BAttention à ne pas confondre : l’opposé de −8 est 8 ! !

• L’inverse de2

3est

3

2= 1,5. • L’inverse de 0,6 =

3

5est

5

3.

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par l’inverse de ce nombre.

Si a et b sont des nombres relatifs (b non nul), alorsa

b= a×

1

b

Propriété

Exemples d’utilisation :

• L’inverse de 5 est 0,2 ; ainsi, on a, par exemple,23

5= 23×

1

5= 23×0,2= 4,6.

• L’inverse de 0,25 est 4 ; ainsi, on a, par exemple,3

0,25= 3×

1

0,25= 3×4 = 12.


Compétence N11 : Diviser par un nombre en écriture fractionnaire

Diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction.

Si a, b, c et d sont des nombres relatifs (b, c et d non nuls),

alors on aa

b÷

c

d=

a

b×

d

c(ou encore

a

bc

d

=a

b×

d

c)

Propriété

Exemples :

• 5÷3

4= 5×

4

3=

20

3•−2

3÷5 =

−2

3×

1

5=

−2

15•

3

7÷

4

9=

3

7×

9

4=

27

28

Compétence N12 : Ajouter, soustraire des nombres en écriture frac-tionnaire

Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant le même dénominateur, il suffit de conserver le

dénominateur commun, et d’additionner (ou soustraire) les numérateurs entre eux.

Si a, b et c sont des nombres relatifs (b non nul), on aa

b+

c

b=

a+c

b.

Losque les dénominateurs sont les mêmes...

Exemples :

•3

4+

21

4=

3+21

4=

24

4= 6 •

−4

3+

17

3=

−4+17

3=

13

3•

15

7−

4

7=

15−4

7=

11

7

Pour additionner (ou soustraire) des fractions ayant des dénominateurs différents, on commence par

les réduire au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.

Losque les dénominateurs sont différents...

Exemples :

•3

4+

21

8=

3×2

4×2+

21

8=

6

8+

21

8=

6+21

8=

27

8(8 est le plus petit multiple commun à 4 et 8)

•−5

6+

7

4=

−5×2

6×2+

7×3

4×3=

−10

12+

21

12=

−10+21

12=

11


•−3

7+

5

8=

−3×8

7×8+

5×7

8×7=

−24

56+

35

56=

−24+35

56=

11


•−11

6+3 =

−11

6+

3

1=

−11

6+

3×6

1×6=

−11

6+

18

6=

−11+18

6=

7

6(3 est le plus petit multiple commun

à 1 et 3)


COMPÉTENCE N7 : TRANSFORMER L’ÉCRITURE FRACTIONNAIRE D’UN NOMBRE

Rappel : On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur

et son dénominateur par un même nombre non nul. Autrement dit, si a, b et k sont trois nombres

relatifs (avec b et k différents de 0) :a

b=

a×k

b ×ket

a

b=

a÷k

b ÷k

EXERCICE 1Compléter les égalités suivantes :

3 =

. . . . . .

1=

. . . . . .

57 =

. . . . . .

1=

28

. . . . . .5=

. . . . . .

8=

15

. . . . . .2,14=

. . . . . .

100=

. . . . . .

50

5

8=

35

. . . . . .=

. . . . . .

24

20

15=

4

. . . . . .=

. . . . . .

18

7

3=

35

. . . . . .=

. . . . . .

18

25

55=

5

. . . . . .=

. . . . . .

88

−2

9=

. . . . . .

27=

−8

. . . . . .

14

−21=

2

. . . . . .=

. . . . . .

−15

−12

30=

2

. . . . . .=

. . . . . .

45

−36

−24=

6

. . . . . .=

. . . . . .

2

EXERCICE 2Simplifier les fractions suivantes à la main :

18

14=

. . . . . .

. . . . . .

25

15=

. . . . . .

. . . . . .

35

28=

. . . . . .

. . . . . .

18

27=

. . . . . .

. . . . . .

16

20=

. . . . . .

. . . . . .

30

54=

. . . . . .

. . . . . .

−28

22=

. . . . . .

. . . . . .

49

−14=

. . . . . .

. . . . . .

15

−24=

. . . . . .

. . . . . .

−9

−36=

. . . . . .

. . . . . .

3

−12=

. . . . . .

. . . . . .

−45

−15=

. . . . . .

. . . . . .

−12

10=

. . . . . .

. . . . . .

64

40=

. . . . . .

. . . . . .

27

−72=

. . . . . .

. . . . . .

−4

−18=

. . . . . .

. . . . . .

36

−42=

. . . . . .

. . . . . .

−56

−8=

. . . . . .

. . . . . .

2×5

17×2=

. . . . . .

. . . . . .

8× (−5)

3×8×6=

. . . . . .

. . . . . .

5×3

8×5× (−2)×3=

. . . . . .

. . . . . .

7×2×5

(−5)×7× (−3)=

. . . . . .

. . . . . .

2× (−5)

4×3=

. . . . . .

. . . . . .

9×15

3×4×5=

. . . . . .

. . . . . .

25× (−3)

8×5× (−6)=

. . . . . .

. . . . . .

35×8

(−2)×14=

. . . . . .

. . . . . .

Simplifier les fractions suivantes à l’aide de la calculatrice :

182

247=

. . . . . .

. . . . . .

625

−500=

. . . . . .

. . . . . .

627

1463=

. . . . . .

. . . . . .

−1809

−297=

. . . . . .

. . . . . .


COMPÉTENCE N8 : UTILISER LES PRODUITS EN CROIX

EXERCICE 1

A l’aide de la calculatrice, dire si les quotients suivants, donnés en écriture fractionnaire, sont égaux ou

différents (vous utiliserez les symboles = et 6=)

26

65. . .

40

100

−3

7. . .

−7

15

−25

35. . .

10

14

21

13. . .

34

21

27

−15. . .

−18

10

75 025

46 368. . .

196 418

121 393

DÉCOUVERTE : PRODUITS EN CROIX

1. • Calculer la valeur décimale exacte des quo-

tients12

15et

28

35à la calculatrice :

12

15= . . . . . . . . . et

28

35= . . . . . . . . .

• Que peut-on dire de ces deux fractions ? . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Ecrire ces deux fractions avec le même dé-

nominateur :

12

15=

12× . . . . . .

15×35et

28

35=

28× . . . . . .

15×35• Calculer les produits écrits aux numéra-

teurs des deux fractions :

12× . . . . . . = . . . . . . et 8× . . . . . . = . . . . . .

• Que constate-t-on ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comme les fractions12

15et

28

35sont égales,

les produits 12×35 et 15×28 sont égaux.

2. • Calculer les deux produits suivants :

35×20= . . . . . . . . . et 28×25= . . . . . . . . .

• Que peut-on dire de ces deux produits ? . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Si on divise chacun de ces produits

par 35×28, l’égalité demeure :

35×20

35×28=

28×25

35×28.

Simplifier chacune de ces deux fractions :

35×20

35×28=

. . . . . .

. . . . . .et

28×25

35×28=

. . . . . .

. . . . . .• Ceci signifie que les deux écritures fraction-

naires20

. . . . . .et

. . . . . .

35sont égales.

Comme les produits 35×20 et 28×25 sont égaux,

les fractions20

28et

25

35sont égales .

EXERCICE 2 En calculant les produits en croix, dire si les quotients suivants, donnés en écriture frac-

tionnaire, sont égaux ou différents (vous utiliserez les symboles = et 6=)

17

15. . . . . .

221

195

13

14. . . . . .

167

182

−11

23. . . . . .

24

−50

−2

35. . . . . . . . .

3

−57

21

15. . . . . .

63

45

−15

−36. . . . . .

−10

−24

156

377. . . . . .

204

493

75 025

46 368. . . . . .

196 418

121 393

EXERCICE 3 En utilisant les produits en croix, compléter les égalités suivantes :

. . .

45=

16

36

132

. . .=

308

49

−10

75=

. . .

165

−12

42=

10

. . .


COMPÉTENCE N9 : MULTIPLIER DES FRACTIONS

Rappel : Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs (avec b et d non nuls) :a

b×

c

d=

a×c

b ×d

EXERCICE 1Effectuer les multiplications suivantes :

2

5×

6

7=

. . . . . .

. . . . . .

4

9×

8

9=

. . . . . .

. . . . . .

12

7×

4

5=

. . . . . .

. . . . . .6×

4

7=

. . . . . .

. . . . . .

5

8×9 =

. . . . . .

. . . . . .13×

2

9=

. . . . . .

. . . . . .

−1

4×

5

9=

. . . . . .

. . . . . .

3

−7×

5

−2=

. . . . . .

. . . . . .−

11

−3×

−4

−9=

. . . . . .

. . . . . .5×

−4

11=

. . . . . .

. . . . . .

−5

2× (−3) =

. . . . . .

. . . . . .

EXERCICE 2Effectuer les multiplications suivantes, et donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée :

4

9×

9

5=

. . . . . .

. . . . . .

−2

3×

3

17=

. . . . . .

. . . . . .

8

11×

−13

16=

. . . . . .

. . . . . .

2

7×

−7

2=

. . . . . .

. . . . . .

5

8×

−3

−5=

. . . . . .

. . . . . .

−1

4×

4

9=

. . . . . .

. . . . . .7×

5

7=

. . . . . .

. . . . . .

11

−8×8 =

. . . . . .

. . . . . .11×

−4

11=

. . . . . .

. . . . . .

−5

3× (−3) =

. . . . . .

. . . . . .

EXERCICE 3Effectuer les multiplications suivantes en prenant soin de simplifier avant de calculer, et donner le ré-

sultat sous la forme d’une fraction simplifiée :

4

9×

18

7=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

2

9×

3

14=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

8

10×

15

16=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−2

9×

3

8=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−6

−4×

−8

9=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

4

−6×

−3

−2=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−21

−12×

15

14=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−7

−4×

−18

28=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

42

63×

−18

36=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

3

7×

15

12×

7

5=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−9

4×

8

6×

1

3=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

8

15×

5

3×9=

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

4

15×

−21

6×

10

−14=

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−14

30× (−7)×

48

−35=

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .


COMPÉTENCE N10 : DIVISER, C’EST MULTIPLIER PAR L’INVERSE

EXERCICE 1

1. Quel est l’inverse de 0,25 ? . . . . . . . . . . . . l’inverse de 5 ? . . . . . . . . . . . . l’inverse de 0,5 ? . . . . . . . . . . . .

2. Compléter les égalités suivantes :5

0,25= . . . . . .×

1

. . . . . .

−8

5= . . . . . .×

1

. . . . . .

3,6

0,5= . . . . . .×

1

. . . . . .

3. On peut interpréter la première égalité ainsi :

"Diviser 5 par 0,25 revient à multiplier 5 par l’inverse de 0,25".

Compléter la phrase suivante, en vous aidant de la question 1 :

"Diviser 5 par 0,25 revient à multiplier 5 par . . . . . . "

On a donc5

0,25= 5× . . . . . . = . . . . . . .

Diviser par un nombre (non nul) revient à multiplier par l’inverse de ce nombre :a

b= a×

1

b

4. Calculer en vous inspirant de la question 2 :−8

5=−8× . . . . . . = . . . . . . .

3,6

0,5= 3,6× . . . . . . = . . . . . . .

EXERCICE 2

1. Quel est l’inverse de 5 ? . . . . . . . . . . . .

2. Calculer rapidement, en suivant l’exemple donné :7

5= 7× . . . = . . .

−13

5=−8× . . . = . . .

170

5= . . . × . . . = . . .

−2,4

5= . . . × . . . = . . .

EXERCICE 3

1. Quel est l’inverse de 25 ? . . . . . . . . . . . .

2. Calculer rapidement, en suivant l’exemple donné :11

25= 11× . . . . . . . = . . . . . . .

−2

25=−2× . . . . . . . = . . . . . . .

2,2

25= . . . . . . . × . . . . . . . = . . . . . . .

EXERCICE 4

Calculer rapidement :10,5

0,5= . . . . . . × . . . . . . = . . . . . .

−1,2

0,25= . . . . . . × . . . . . . = . . . . . .

2,2

5= . . . . . . × . . . . . . = . . . . . .

COMPÉTENCE N11 : DIVISER DES FRACTIONS

Rappel : Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs (avec b, c et d non nuls) :a

b÷

c

d=

a

b×

d

c

EXERCICE 1Effectuer les divisions suivantes :

2

5÷

9

7=

. . . . . .

. . . . . .×

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

3

−11÷

5

2=

. . . . . .

. . . . . .×

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−1

3÷

5

4=

. . . . . .

. . . . . .×

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

3÷5

7= . . . . . .×

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

7

−5÷4 =

. . . . . .

. . . . . .×

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

−4

3÷(−5)=

. . . . . .

. . . . . .×

. . . . . .

. . . . . .=

. . . . . .

. . . . . .

EXERCICE 2Effectuer les divisions suivantes, et donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée :

4

9÷

2

15= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−5

6÷

10

−9= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

−8÷

−9

−10= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

14÷

30

−35= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3÷−9

7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4÷ (−25) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

7÷

−12

7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

4÷

4

7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 3Dans chaque cas, effectuer un calcul pour déterminer la valeur exacte du nombre manquant :

4

9× . . . . . . =

−1

3

. . . . . .×5

3=−2

. . . . . .÷7

2=

−1

5

. . . . . .÷ (−4) =−2

3


COMPÉTENCE N12 : ADDITIONNER ET SOUSTRAIRE DES FRACTIONS

Rappel :– Dans le cas où les fractions ont le même dénominateur : a

b+

c

b=

a+c

bet a

b−

c

b=

a−c

b

– Dans le cas où les fractions ont le même dénominateur : On commence par réduire les deux frac-

tions au même dénominateur, avant d’appliquer la règle précédente.

EXERCICE 1 : dans le cas où les fractions ont le même dénominateur

Effectuer les additions et soustractions suivantes, et donner le résultat sous la forme d’une fraction sim-

plifiée :

2

5+

6

5= . . . . . . . . . . . . . . . .

5

9−

2

9= . . . . . . . . . . . . . . . .

12

7+

2

7= . . . . . . . . . . . . . . .

11

6−

5

6= . . . . . . . . . . . . . . .

15

13−

28

13= . . . . . . . . . . . . . .

−7

5+

22

5= . . . . . . . . . . . . .

10

9−

4

9= . . . . . . . . . . . . . . .

−5

12−

13

12= . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2 : dans le cas où le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre

Même consigne que dans l’exercice 1

2

3+

5

6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4−

3

2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

7+

5

14= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

9−

2

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

8−

5

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−7

5+

14

10= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

9−

5

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−10

12−

11

6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−15

44−

12

11= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2+5

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1−

9

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

7−3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 3 : dans les autres cas

Même consigne que dans l’exercice 1

Exemple : Pour calculer 49+

76

, on commence par dé-

terminer le plus petit multiple commun à 9 et à 6,

puis on réduit les deux fractions à ce dénominateur

commun : 49+

76=

4×49×4

+7×66×6

=1636

+4236

=5836

=2918

× 1 2 3 4 5 6 7

9 9 18 27 36 45 54 63

6 6 12 18 24 30 36 42

3

4+

7

6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

8−

1

6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−2

9+

−7

12= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

10+

7

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

15−

11

9= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−5

2+

7

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4+

2

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

5−

5

7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−9

9+

8

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCES N13, N14 : CALCULS ENCHAÎNÉS AVEC DES FRACTIONS

Rappel :– Dans le cas où il y a des parenthèses : on commence par effectuer les calculs entre parenthèses.

– En l’absence de parenthèses : on commence par effectuer les multiplications et les divisions, avant

de terminer par les additions et les soustractions.

EXERCICE 1 : sommes algébriques

Effectuer les calculs suivants, et donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée :

A =

3

5+

7

5−

12

5= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B =

5

3−

2

9+

7

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C =

12

3+

2

9−

11

6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D =

−5

12+

3

4−

1

9= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E =

4

7+

8

5+

3

7−

3

5= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F =

1

3+

5

12−

11

12−

4

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G =

−7

12+

5

3+

7

6−

4

9= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = 1+5

4−

3

2+

11

8= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I =1

3+2−

11

12−

7

8= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J =7

10−

(

7

4−

13

4

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K =

(

5

6+

5

8

)

−

(

5

8+

11

12

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L =−2+7

12−

(

11

8−

5

4+1

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M = 3−

[

1

3−

(

5

12−

7

8

)]

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


EXERCICE 2 : avec les quatre opérations

Effectuer les calculs suivants, et donner le résultat sous la forme d’une fraction simplifiée :

N = 4×

(

1−1

3

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O =

5

3×

1

2−

11

6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P =

5

4+

7

4×

−3

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Q =

−13

3+

2

3×

5

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R =

(

−13

3+

2

3

)

×

5

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S =

−3

8÷

5

2+

3

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T =

−3

8÷

(

5

2+

3

4

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

U = 5×−5

6+

5

6÷

10

3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V =

(

1+5

8

)

×

(

3

2+

7

3

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

W =

1

3

(

−

5

12

)

−3

(

13

4

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X =

3

13

(

5

9+

−11

12

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Y =

5

3+

7+3

12+3=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z =

−15

2

3+2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 3 : avec la calculatrice

Vérifiez tous les résultats de cette fiche à la calculatrice. (une croix rouge si le résultat trouvé à la calcu-

latrice est bon, une croix rouge sinon) :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z


SIGNE D’UNE FRACTION

Rappel : Soient a et b deux nombres relatifs non nuls :

– Si a et b sont de même signe, alors a×b et a÷b sont positifs

– Si a et b sont de signes contraires, alors a×b et a÷b sont négatifs

De plus :−a

b=

a

−b=−

a

bet

−a

−b=

a

b

EXERCICE 1Sans faire de calcul, entourer en rouge les nombres positifs, en vert les nombres négatifs :

−8

5

28

−3

−15

−65

−3

8−

−2

7−

−20

−6−

17

−9−

13

10

26× (−2)

−3×14

−15× (−1)

65× (−11)−

−3× (−5)

8×4× (−19)

−2×17

7× (−6)× (−9)−

−20×3

−6× (−11)−

13× (−5)

10×7× (−2)

EXERCICE 2Ecrire avec un dénominateur positif :

18

−11=

. . . . . .

. . . . . .−

24

−15=

. . . . . .

. . . . . .

−35

−27=

. . . . . .

. . . . . .−

−18

23=

. . . . . .

. . . . . .−

−16

−25=

. . . . . .

. . . . . .

30

−54=

. . . . . .

. . . . . .

SIGNE D’UNE FRACTION

Rappel : Soient a et b deux nombres relatifs non nuls :

– Si a et b sont de même signe, alors a×b et a÷b sont positifs

– Si a et b sont de signes contraires, alors a×b et a÷b sont négatifs

De plus :−a

b=

a

−b=−

a

bet

−a

−b=

a

b

EXERCICE 1Sans faire de calcul, entourer en rouge les nombres positifs, en vert les nombres négatifs :

−8

5

28

−3

−15

−65

−3

8−

−2

7−

−20

−6−

17

−9−

13

10

26× (−2)

−3×14

−15× (−1)

65× (−11)−

−3× (−5)

8×4× (−19)

−2×17

7× (−6)× (−9)−

−20×3

−6× (−11)−

13× (−5)

10×7× (−2)

EXERCICE 2Ecrire avec un dénominateur positif :

18

−11=

. . . . . .

. . . . . .−

24

−15=

. . . . . .

. . . . . .

−35

−27=

. . . . . .

. . . . . .−

−18

23=

. . . . . .

. . . . . .−

−16

−25=

. . . . . .

. . . . . .

30

−54=

. . . . . .

. . . . . .

INVERSE D’UN NOMBRE NON NUL

Lorsque le produit de deux nombres relatifs non nuls a et b est égal à 1,

on dit que a et b sont inverses l’un de l’autre.

EXERCICE 1

1. Effectuer les multiplications suivantes, puis surligner les nombres de la première ligne qui donnent

un produit égal à 1 (s’il y en a) :

× 0,2 4 −5 15

0,5

5

× −0,8 −2 54

−108

1,25

0,8

× 4 2 1,33 43

14

34

× 8 7 132

−7 67

17

2. Compléter les phrases suivantes :

• L’inverse du nombre 5 est . . . . . . . . . . . . • L’inverse du nombre 0,8 est . . . . . . . . . . . .

• L’inverse du nombre 34

est . . . . . . . . . . . . • L’inverse du nombre 17

est . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2Lorsque cela est possible, compléter le tableau suivant avec les inverses des nombres donnés, en écriture

fractionnaire :

L’inverse de. . . 4 1 −5 3 16 7 0 23

−19

95

3,5 0,9

est

EXERCICE 3Complète les égalités et les phrases suivantes :

• 4×. . . . . .

. . . . . .= 1 L’inverse de 4 est . . .

• . . . . . .× (−0,2)= 1 L’inverse de −0,2 est . . .

•

1

. . . . . .× (−3) = 1 L’inverse de (-3) est . . .

•

1

15× . . . . . . = 1 L’inverse de 1

15est . . .

•

7

6×

. . . . . .

. . . . . .= 1 L’inverse de 7

6est . . .

•

. . . . . .

25×

. . . . . .

7= 1 L’inverse de . . . est . . .

•

−3

. . . . . .×

8

. . . . . .= 1 L’inverse de . . . est . . .

•

. . . . . .

. . . . . .×

−8

5= 1 L’inverse de . . . est . . .

EXERCICE 4 : À LA CALCULATRICE

L’inverse d’un nombre x est noté 1x

, ou encore x−1 (voir chapitre "Puissances"). Grâce à votre calculatrice,

en utilisant les touches x−1 et S⇔D (ou FÎÏD ), compléter rapidement le tableau suivant avec

des nombres fractionnaires :

x. . . 0,24 1,75 −5,8 0,032 −0,15 7,2

1x

ou x−1

CHAPITRE IV

THÉORÈME DE PYTHAGORE



nées et fonctions)



T2 Réaliser une figure géométrique aux instruments d’après un pro-

gramme de construction ∗

G5 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté

dans un triangle rectangle ∗

G6 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle

n’est pas rectangle ∗

G7 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer

qu’un triangle est rectangle ∗

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20

∗ : cette compétence fait partie du socle commun.







Vocabulaire et notations

– On dit qu’un triangle est rectangle si l’un de ses trois angles est un angle droit.

– Dans un triangle rectangle, le côté opposé au sommet de l’angle droit est appelé hypoténuse ; c’est le

côté le plus long du triangle.

Définitions

C

B

A

HypoténuseC�tés de l'angle droit

Le carré d’un nombre positif a est égal au produit du nombre a par lui-même.

On note a2 = a×a, et on prononce "a au carré".

Carré d’un nombre positif

Exemples :

Ï Le carré de 8 se note 82 et est égal à 8× 8 = 64. B Ne pas confondre avec le double de 8, qui vaut

8+8 = 2×8= 16 ! !

Ï Le carré de 5,3 est 5,32 = 5,3×5,3= 28,09 Ï Le carré de2

7est

(

2

7

)2

=2

7×

2

7=

4

49

On appelle carré parfait le carré d’un nombre entier positif. Voici la liste des quinze premiers carrés

parfaits :

Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Carré 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

Utiliser sa calculatrice

Ï Pour déterminer le carré d’un nombre positif, on utilise la touche x2 :

pour calculer le carré de 2,5 on tape la séquence 2 . 5 x2 EXE

et la calculatrice affiche

2.52

6.25 d’où 2,52 = 6,25

Ï Pour déterminer le nombre positif dont on nous donne le carré, on utilise la touchep

1 , que l’on

atteint en tapant SHIFT x2 . Pour calculer le nombre positif dont le carré est égal à 441, on tape

la séquencep

1 4 4 1 EXE

et la calculatrice affiche

p1(441)

21 d’oùp

441= 21


Compétence G5 : utiliser le théorème de Pythagore pour calculer lalongueur d’un côté dans un triangle rectangle

Si un triangle est rectangle,

alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés

de l’angle droit.

Théorème de Pythagore

Exemples d’utilisation

Ï Calculer la longueur de l’hypoténuse

E

T

N7 9?On sait que le triangle ENT est rectangle en N. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

ET2 =NT2+NE2

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :

ET2 = 92 +72

ET2 = 81+49

ET2 = 130

En utilisant la touchep

1 de la calculatrice, on trouve :

ET=p

130≈ 11,4

Donc la longueur du côté [ET] est 11,4 environ.

Ï Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

M

A

G? 513On sait que le triangle MAG est rectangle en G. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

MA2 =GM2+GA2

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :

132 =GM2 +52

169=GM2 +25

GM2 = 169−25

GM2 = 144

En utilisant la touchep

1 de la calculatrice, on trouve :

GM=p

144= 12

Donc la longueur du côté [GM] est 12.


Compétence G6 : utiliser le théorème de Pythagore pour démontrerqu’un triangle n’est pas rectangle

A

B

C

12 m6 m 9 mÏ Démontrons que ce triangle n’est pas rectangle

Le côté le plus long est [AB] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a AB2 = 122 = 144.

D’autre part, on a CB2+CA2 = 92 +62 = 81+36= 117.

On constate que AB2 6=CA2+CB2.

Si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore, on aurait l’égalité AB2 =CA2+CB2.

Ce n’est pas le cas, donc le triangle ABC n’est pas rectangle.

Compétence G7 : utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pourdémontrer qu’un triangle est rectangle

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus long côté est égal à la somme des carrés des longueurs

des deux autres côtés,

alors ce triangle est rectangle, et le côté le plus long est l’hypoténuse.

Réciproque du théorème de Pythagore

M

T

E

20 m16 m 12 mÏ Démontrons que ce triangle est rectangle

Le côté le plus long est [MT] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a MT2 = 202 = 400.

D’autre part, on a EM2+ET2 = 162 +122 = 256+144= 400.

On constate que MT2 =EM2+ET2.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ETM est rectangle en E.


DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

Voici un triangle rectangle, dont la longueur de l’hypoténuse est notée c et les longueurs des côtés de

l’angle droit sont notés a et b :

c

b

a

On a ensuite construit deux carrés de côté a +b, à l’intérieur desquels nous avons collé quatre exem-

plaires de notre triangle rectangle, et ceci de deux manières différentes :

A B

CD

E

F

G

H

P Q

RS

I

J

K

LO

En considérant la figure de gauche :

1. Justifier que le quadrilatère EFGH est un losange.

2. Que peut-on dire des angles �AHE et �HE A ?

3. Que peut-on dire des angles �AHE et �BE F ?

4. En déduire que �HE A+ �BE F = 90°, et que ABCD est un carré.

5. Ecrire l’aire de ce carré en fonction de c.

En considérant la figure de droite :

6. Justifier que les quadrilatères PIOK et JOLR sont des carrés.

7. Ecrire la somme des aires de ces deux carrés en fonction de a et b.

Synthèse :

7. Justifier que l’aire du carré EFGH est égale à la somme des aires des carrés PIOK et JOLR.

8. Ecrire cette égalité en utilisant les lettres a, b et c de l’énoncé.

9. Nous avons donc démontré le résultat suivant, appelé "Théorème de Pythagore" :

Si un triangle est . . . . . . . . . . . . . . . . . . , alors le . . . . . . . . . . . . de la longueur de l’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . est égal à la

. . . . . . . . . . . . des . . . . . . . . . . . . des longueurs des deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4éme Exercices CH 4 Page 1

COMPÉTENCE G5 : CALCULER LA LONGUEUR D’UN CÔTÉ D’UN TRIANGLE RECTANGLEGRÂCE AU THÉORÈME DE PYTHAGORE

1 Calculer la longueur de l’hypoténuse

EXEMPLE

Enoncé :

Soit AMF un triangle rectangle en M, tel que AM=21 cm et MF=28 cm. Calculer AF.

Solution :

A F

M21 28?On sait que AMF est un triangle rectangle en M.

Or, selon le théorème de Pythagore, si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de

l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

On peut donc écrire l’égalité AF2 = MA2 +MF2

AF2 = 212 +282

AF2 = 441+784

AF2 = 1225

AF =p

1225= 35

La longueur AF vaut 35 cm.

Exercice 1 (à trous)

Enoncé : Soit EGL un triangle rectangle en L, tel que EL=2,5 cm et LG=6 cm. Calculer la longueur EG.

Solution : On sait que . . . . . . est un triangle rectangle en . . . .

Or, selon le . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . . . , si un triangle est . . . . . . . . . . . . . . . . . . , alors le carré de

la longueur de l’ . . . . . . . . . . . . . . . est égal à la . . . . . . . . . des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

On peut donc écrire l’égalité EG2 = . . . . . . 2 + . . . . . . 2

EG2 = . . . . . .2 + . . . . . .2

EG2 = . . .+ . . .

EG2 = . . . . . .

EG =p

1 . . . . . . = . . .

La longueur EG vaut . . . cm.

Exercice 2

1. Soit MKU un triangle rectangle en M, tel que MK=2,4 cm et MU=3,2 cm ; calculer la longueur KU.

2. Soit IHR un triangle rectangle en H, tel que HI=24 cm et HR=7 cm ; calculer la longueur IR.

3. Soit LPA un triangle rectangle en A, tel que AP=6 cm et AL=4 cm ; calculer une valeur arrondie au

millimètre de la longueur LP.

4. Soit ZTN un triangle rectangle en Z, tel que TZ=19 cm et NZ=16 cm ; calculer une valeur arrondie au

centimètre de la longueur TN.


2 Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

EXEMPLE

Enoncé :

Soit BSR un triangle rectangle en S, tel que SB=10 cm et BR=26 cm. Calculer SR.

Solution :

B R

S10 ?26On sait que SBR est un triangle rectangle en S.

Or, selon le théorème de Pythagore, si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de


On peut donc écrire l’égalité BR2 = SB2 +SR2

262 = 102 +SR2

676= 100+SR2

SR2 = 676−100

SR2 = 576

SR =p

576= 24

La longueur SR vaut 24 cm.


Enoncé : Soit BHP un triangle rectangle en H, tel que BP=5,3 cm et BH=2,8 cm. Calculer la longueur HP.

Solution : On sait que . . . . . . est un triangle rectangle en . . . .

Or, selon le . . . . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . . . . . . . . . . . , si un triangle est . . . . . . . . . . . . . . . . . . , alors le carré de

la longueur de l’ . . . . . . . . . . . . . . . est égal à la . . . . . . . . . des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

On peut donc écrire l’égalité BP2 = . . . . . . 2 + . . . . . . 2

. . . . . .2 = . . . . . .2 +HP2

. . . . . . = . . . . . .+HP2

HP2 = . . . . . .− . . . . . .

HP2 = . . . . . . . . .

HP =p

1. . . . . . . . . = . . . . . .

La longueur HP vaut . . . . . . cm.

Exercice 2

1. Soit SQE un triangle rectangle en S, tel que SE=6 cm et QE=7,5 cm ; calculer la longueur SQ.

2. Soit JFX un triangle rectangle en X, tel que FJ=85 cm et XF=36 cm ; calculer la longueur JX.

3. Soit MNI un triangle rectangle en N, tel que MI=14 cm et IN=7 cm ; calculer une valeur arrondie au

millimètre de la longueur MN.

4. Soit OGB un triangle rectangle en B, tel que BO=27 cm et GO=44 cm ; calculer une valeur arrondie au

centimètre de la longueur TN.


COMPÉTENCE G5 : CALCULER LA LONGUEUR D’UN CÔTÉ D’UN TRIANGLE RECTANGLE

GRÂCE AU THÉORÈME DE PYTHAGORE (2)

EXERCICE 1Dans chacun des cas suivants, après avoir construit les figures suivantes en vraie grandeur, calculer les

longueurs manquantes (on donnera la valeur exacte et, si nécessaire, une valeur arrondie au millimètre) :

1. Cas n°1 :

A

B

C

D

2 m 6 m9 m

??2. Cas n°2 :

M

N

P

Q

? 3 m6 m ?9 m

EXERCICE 2

1. Réaliser la figure en vraie grandeur.

2. Calculer la hauteur AH.

3. Calculer l’aire du triangle ABC

4. Calculer un valeur arrondie au millimètre de la lon-

gueur du côté [AC].

BC

H

A

3 m 7 m5 mEXERCICE 3On donnera les réponses aux questions suivantes en donnant une valeur arrondie au millimètre :

1. Calculer la longueur de la diagonale d’un carré de côté 12 cm.

2. Calculer la longueur d’un côté d’un carré dont une diagonale mesure 8 cm.

3. Calculer la longueur de la diagonale d’un rectangle de longueur 7 cm et de largeur 5 cm.

4. Calculer la hauteur (et l’aire) d’un triangle équilatéral de côté 10 cm.

5. Calculer la longueur du côté d’un losange dont les diagonales mesurent 4 cm et 6 cm.

EXERCICE 4On considère une boîte, ayant une forme de pavé droit,

pour laquelle AB=6cm, BC=3cm et BF=3cm :

1. Calculer la longueur de l’arête [AC].

2. Calculer la longueur de la diagonale [AG].

3. Peut-on faire entrer une baguette de métal de 7 cm

de long dans cette boîte ? A B

CD

EF

GH


COMPÉTENCE G6 : DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE N’EST PAS RECTANGLE GRÂCE AUTHÉORÈME DE PYTHAGORE

EXEMPLE

Enoncé :

Soit AMF un triangle tel que AM=21 cm, AF=34 cm et MF=28 cm. Démontrer que AMF n’est pas un

triangle rectangle.

Solution :

A F

M21 2834Le côté le plus long est [AF] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a AF2 = 342 = 1156.

D’autre part, on a MA2+MF2 = 212 +282 = 441+784= 1225.

On constate que AF2 6=MA2+MF2.

Si le triangle était rectangle, d’après le théorème de Pythagore, on aurait l’égalité AF2 =MA2+MF2.

Ce n’est pas le cas, donc le triangle AMF n’est pas rectangle.


Enoncé : Soit EGL un triangle tel que EL=2,5 cm, LG=6 cm et EG=7 cm. Démontrer que le triangle EGL

n’est pas rectangle.

Solution : Le côté le plus long est . . . . . . ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a . . . . . . 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D’autre part, on a . . . . . . 2+. . . . . . 2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On constate que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si le triangle était . . . . . . . . . . . . . . . . . . , d’après le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

on aurait l’égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ce n’est pas le cas, donc le triangle AMF n’est pas rectangle.

Exercice 2

1. Soit MKU un triangle tel que MK=13 cm, KU=10 cm et MU=8 cm ; construire ce triangle en vraie

grandeur, puis démontrer qu’il n’est pas rectangle.

2. Soit IHR un triangle tel que HI=23 cm, HR=7 cm et RI=25 cm ; démontrer que ce triangle n’est pas

rectangle.


COMPÉTENCE G7 : DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE GRÂCE À LARÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE

EXEMPLE

Enoncé :

Soit EJO un triangle tel que EJ=21 cm, JO=29 cm et EO=20 cm. Démontrer que EJO est un triangle

rectangle.

Solution :

E O

J21 2920Le côté le plus long est [JO] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a JO2= 292

= 841.

D’autre part, on a EJ2+EO2

= 212+202

= 441+400= 841.

On constate que JO2=EJ2

+EO2.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EJOF est rectangle en E.


Enoncé : Soit UAQ un triangle tel que UA=2,5 cm, UQ=6,5 cm et AQ=6 cm. Démontrer que le triangle

UAQ est rectangle.

Solution : Le côté le plus long est . . . . . . ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.

D’une part, on a . . . . . . 2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D’autre part, on a . . . . . . 2+. . . . . . 2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

On constate que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc, d’après la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

le triangle UAQ est rectangle en . . . .

Exercice 2

1. Soit MKU un triangle tel que MK=8,5 cm, KU=4 cm et MU=7,5 cm ; construire ce triangle en vraie

grandeur, puis démontrer qu’il est rectangle.

2. Soit IHR un triangle tel que HI=6,5 cm, HR=7,2 cm et RI=9,7 cm ; démontrer que ce triangle est rec-

tangle.


ECRIRE LA RELATION DE PYTHAGORE

Dans les triangles suivants, repasser en rouge l’hypoténuse, et en vert les côtés de l’angle droit. Puis

écrivez pour chacun d’entre eux la relation de Pythagore.

Y

Q

CTriangle ①

E F

U

Triangle ②

G

W

I Triangle ③

K L

S

Triangle ④

M

B

P

Triangle ④ Triangle ⑤

Nom du triangle carré de l’hypoténuse = somme des carrés des côtés de l’angle droit

① = +

② = +

③ = +

④ = +

⑤ = +


COMPÉTENCES G5, G6 ET G7 : PYTHAGORE DANS TOUS SES ÉTATS...

EXERCICE 1

1. Soit PBX un triangle tel que PB=8,1 cm, BX=6,8 cm et PX=4,4 cm ; construire ce triangle en vraie gran-

deur. Est-il rectangle ?

2. Soit IHR un triangle tel que HI=3,6 cm, HR=10,5 cm et RI=11,1 cm ; construire ce triangle en vraie

grandeur. Est-il rectangle ?

3. Soit ZSO un triangle tel que ZS=13 cm, SO=84 cm et ZO=86 cm ; ce triangle est-il rectangle ?

4. Soit GVA un triangle tel que GV=2 cm, GA= 56

cm et AV= 136

cm ; ce triangle est-il rectangle ?

5. Soit UNF un triangle isocèle en F tel que FU=5 cm et UN=7 cm ; ce triangle est-il rectangle ?

EXERCICE 2

A l’aide du quadrillage, démontrer que le triangle ABC est rectangle en B :

A

B

C

EXERCICE 3

Le triangle PQR est-il rectangle ?

M P

Q

R

8 m 8 m18 m14 m


LE THÉORÈME DE PYTHAGORE : CONFIRMER PAR UNE OBSERVATION SUR LES AIRES

1. Le théorème de Pythagore nous dit que si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de


Si on appelle a et b les longueurs des côtés de l’angle droit, et c la longueur de l’hypoténuse, ce

théorème nous permet donc d’écrire l’égalité a2+b2

= c2.

Interprétez cette égalité en termes d’aires en complétant la phrase suivante :

"L’ . . . . . . . . . . . . du . . . . . . . . . . . . construit sur l’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est égale à la somme des . . . . . . . . . . . .

des . . . . . . . . . . . . construits sur les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ."a b

c

2. Reconstituez le carré construit sur l’hypoténuse à partir des deux carrés construits sur les côtés de

l’angle droit, en utilisant les parties grisées comme des pièces de puzzle.


CHAPITRE V

PUISSANCES



nées et fonctions)



N15 Comprendre les notations an et a−n (∗)

N16 Calculer à la main des produits, des quotients de puissances (∗)

N17 Multiplier un nombre décimal par 10n ou 10−n (∗)

N18 Ecrire un nombre décimal sous forme scientifique (ou d’autres

formes faisant intervenir les puissances de 10)

N19 Utiliser la notation scientifique pour obtenir un ordre de grandeur du

résultat d’un calcul

N20 Effectuer à la main des calculs contenant des puissances

N21 Effectuer à la calculatrice des calculs contenant des puissances

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20








Compétence N15 : comprendre les notations an et a−n

Soit a un nombre relatif (différent de 0), et n un entier positif (n ≥ 2).

On note an , et on prononce "a exposant n", le produit de n facteurs, tous égaux à a :

an= a×a×a×·· · ×a

︸︷︷︸

n facteurs

De plus, on a a1= a et a0

= 1

Définition : puissances d’exposant positif

Exemples :

• 74= 7×7×7×7= 2401 • (−5)3

= (−5)× (−5)× (−5) =−125 •

(3

4

)5

=3

4×

3

4×

3

4×

3

4×

3

4=

243

1024• (−35)1

=−35 • 170= 1

Remarques : B Attention à l’importance des parenthèses ! !

• −34=−3×3×3×3=−81 alors que (−3)4

= (−3)× (−3)× (−3)× (−3) = 81

•2

7

2

=4

7alors que

(2

7

)2

=2

7×

2

7=

4

49

En écriture décimale, 10n s’écrit avec le chiffre 1 suivi de n zéros : 10n= 1 00 · · ·0

︸︷︷︸

n zéros

Cas particulier : les puissances de 10

Exemples :

• 105= 10×10×10×10×10= 100 000 • 1012

= 10×10×10×·· ·×10︸︷︷︸

12 facteurs

= 1 000 000 000 000

Soit a un nombre relatif (différent de 0), et n un entier positif (n ≥ 1).

On note a−n l’inverse de an :

a−n=

1

a×a×a×·· · ×a︸︷︷︸

n facteurs

Définition : puissances d’exposant négatif

Exemples :

• 3−2=

1

32=

1

9• 2−4

=1

24=

1

16= 0,0625 • (−7)−3

=1

(−7)3=−

1

343• 20−1

=1

201=

1

20= 0,05

En écriture décimale, 10−n s’écrit avec le chiffre 1 précédé de n zéros, avec une virgule après le premier

zéro : 10−n=

1

10n= 0,0 · · ·0

︸︷︷︸

n zéros

1

Cas particulier : les puissances de 10

Exemples :

• 10−5=

1

105=

1

100 000= 0,000 01 • 10−9

=1

109= 0,000 000 001 • 10−1

=1

101=

1

10= 0,1

Remarque : peut-être comprenez-vous mieux à présent pourquoi la touche "inverse" de la calculatrice

est celle-ci : x−1


Compétence N16 : effectuer des produits, des quotients de puissances

Opérations sur les puissances d’un même nombre

Prenons quelques exemples :

• Il est assez facile de multiplier deux puissances d’un même nombre :

43×42

= (4×4×4)× (4×4)= 4×4×4×4×4 = 45 d’où 43×42

= 45

ou encore

105×101

= (10×10×10×10×10×10)×10= 10×10×10×10×10×10×10= 106 d’où 105×101

= 106

• Il est également assez facile de diviser deux puissances d’un même nombre :

57

54=

5×5×5×5×5×5×5

5×5×5×5=

5×5×5× �5× �5× �5× �5

�5× �5× �5× �5= 5×5×5 = 53 d’où

57

54= 53

ou encore

102

105=

10×10

10×10×10×10×10=

��10×��10

��10×��10×10×10×10=

1

10×10×10=

1

103= 10−10 d’où

102

105= 10−3

• Mais attention : il n’y a pas de règle "toute faite" pour additionner ou soustraire des puissances d’un

même nombre :

24+27

= 16+128= 144 qui n’est pas une puissance de 2. . .

ou encore 107−103

= 10 000 000−1 000= 9 999 000

Calculer une puissance d’un produit ou d’un quotient

Prenons là aussi quelques exemples :

• (5,2×10)2= (5,2×10)× (5,2×10)= 5,2×10×5,2×10= 5,2×5,2×10×10= 5,22

×102

d’où (5,2×10)2= 5,22

×102

•

(2

7

)3

=2

7×

2

7×

2

7=

23

73d’où

(2

7

)3

=23

73

Prendre la puissance d’une puissance

Encore quelques exemples :

• (53)2= (53)× (53) = (5×5×5)× (5×5×5) = 5×5×5×5×5×5= 56 d’où (53)

2= 56

• (104)3= 104

×104×104

= 10 000×10 000×10 000= 1 000 000 000 000= 1012 d’où (104)3= 1012

Si n et p sont des entiers relatifs, on a :

• 10n×10p

= 10n+p•

10n

10p= 10n−p

• (10n)p= 10n×p

Formules de calcul sur les puissances de 10


Compétence N17 : multiplier un nombre décimal par 10n, par 10−n

Soit n un entier positif ;

• Pour multiplier un nombre décimal par 10n , il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la droite, en

complétant par des zéros si nécessaire.

• Pour multiplier un nombre décimal par 10−n , il suffit de décaler la virgule de n rangs vers la gauche,

en complétant par des zéros si nécessaire.

Multiplier par 10n, par 10−n

Exemples :

52,147×102= 5214,7 0,00019×107

= 1900

214758×10−4= 21,4758 21,3×10−6

= 0,0000213

Compétence N18 : Ecriture scientifique d’un nombre décimal

La notation scientifique d’un nombre décimal est l’écriture de ce nombre sous la forme a×10n où :

– a est un nombre décimal n’ayant qu’un seul chiffre avant la virgule (ce chiffre ne pouvant pas être 0),

– n est un entier relatif (positif ou négatif).

Ecriture scientifique

Exemples : On peut s’aider d’un tableau comme celui-ci :

107 106 105 104 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8

−2 4 5 9 , 1

9 5 3 0 0 0 0

0 , 0 0 0 6 3

L’écriture scientifique de −2459,1 est −2,4591×103

L’écriture scientifique de 9530000 est 9,53×106

L’écriture scientifique de 0,00063 est 6,3×10−4

B Attention ! On peut écrire que 9530000= 95,3×105, mais l’écriture ainsi obtenue n’est pas une écri-

ture scientifique (car 95,3 a deux chiffres avant la virgule).

B Attention ! On peut écrire que 0,00063 = 0,63 × 10−3, mais l’écriture ainsi obtenue n’est pas une

écriture scientifique (car 0,63 a un seul chiffre avant la virgule, mais c’est un zéro).

Compétence N19 : Obtenir un ordre de grandeur ou un encadrementdu résultat d’un calcul en utilisant la notation scientifique

La notation scientifique est très pratique, entre autres, pour comparer de très grands nombres entre eux,

ou pour comparer de très petits nombres entre eux. Elle peut aussi nous permettre de travailler sur les

encadrements et sur les ordres de grandeur ; par exemple :


Soit A le nombre 629 547 200, et B le nombre 0,0000297.

Nombre Ecriture scientifique Encadrement Ordre de grandeur

A = 629 547 200 A = 6,295472×108 108< A < 109 A ≈ 6×108.

B = 0,0000297 B = 2,97×10−5 10−5< B < 10−4 B ≈ 3×10−5

Ï On peut en déduire, par exemple, un ordre de grandeur du produit A×B :(

6×108)

×(

3×10−5)

= (6×3)×(

108×10−5

)

= 18×103= 18000

Ï ou encore, un ordre de grandeur du quotient AB

:

6×108

3×10−5=

6

3×

108

10−5= 2×1013

= 20 000 000 000 000

Compétence N20 : Effectuer à la main des calculs avec des puissances

Dans un enchaînement de calculs, les priorités sont les suivantes :

1. d’abord, on effectue les calculs entre parenthèses ;

2. ensuite, on calcule les puissances ;

3. ensuite, on effectue les multiplications et les divisions ;

4. pour finir, on effectue les additions et soustractions.

Priorités

Exemples :

A =−12+5×23

A =−12+5×8

A =−12+40

A = 28

B =−33× (4−6)2

B =−27× (−2)2

B =−27×4

B =−108

C = 5×1017−380×1015

C = 500×1015−380×1015

C = (500−380)×1015

C = 120×1015

D =4×107

×6×(

10−4)2

8×103

D =4×6

8×

107×10−8

103

D =24

8×

10−1

103

D = 3×10−4

Remarques : • Dans les calculs A et B, les règles de priorité s’exercent de manière classique.

• Dans le calcul C, plutôt que de recourir à l’écriture décimale des deux termes de la différence, on a

préféré écrire chaque terme en utilisant la même puissance de 10, avant de mettre cette puissance de 10

en facteur.

• Dans le calcul D, on regroupe d’une part les puissances de 10, d’autre part les autres nombres, et on

effectue les calculs séparément.

Compétence N21 : puissances et utilisation de la calculatrice

La touche pour les puissances est soit x■ (sur les Casio), soit la touche∧

(sur les TI)

Lorsqu’il y a besoin de plus de 9 chiffres pour écrire un nombre, la calculatrice affiche directement l’écri-

ture scientifique de ce nombre.

On peut forcer la calculatrice à écrire les nombres sous forme scientifique en tapant SHIFT MODE ,

puis choisir SCI (sur les Casio), ou encore en tapant 2nd MODE , puis choisir SCI (sur les TI)


COMPÉTENCE N15 : COMPRENDRE LA NOTATION PUISSANCE an

A RETENIR :

Soit a un nombre relatif quelconque, non nul. On a :

• an= a×a×a×·· · ×a

︸︷︷︸

n facteurs

• a1= a et a0

= 1.

EXERCICE 1 Ecrire sous la forme d’un produit, et calculer :

53= . . .× . . .× . . . = . . . . . . (−3)3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−1)5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−5)3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−8)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −102

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1003= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−0,1)2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−1)5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −27

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−34= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−6)5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(2

3

)3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(

−

1

5

)2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(

−

5

2

)3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(1

4

)5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2 Ecrire sous la forme d’une puissance :

(−3)× (−3)× (−3)× (−3) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5×5×5×5×5×5×5= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10×10×10×10×10= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−1)× (−1)× (−1) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1,04×1,04×1,04= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

7×

5

7×

5

7×

5

7×

5

7=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−8,1)× (−8,1) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(

−

1

3

)

×

(

−

1

3

)

×

(

−

1

3

)

×

(

−

1

3

)

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a×a×a×a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x ×x ×x ×x ×x ×x ×x ×x ×x = . . . . . . . . . . . . . . . . . .


EXERCICE 3 Cas particuliers :

(−3)1= . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−15)0= . . . . . . . . . . . . . . . 17451

= . . . . . . . . . . . . . . . .

(−0,03)1= . . . . . . . . . . . . . π

0= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a1

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2x)0= . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 4 Puissances de 10

Puissance Ecriture sous forme de produit Ecriture décimale

103 10×10×10 1 000

105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 10×10×10×10×10×10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 10×10×10×10×10×10×10×10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 000 000

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 000 000 000

A RETENIR :

Soit n un entier positif :

• 10n= 10×10×10×·· ·×10

︸︷︷︸

n facteurs

• En écriture décimale, 10n s’écrit avec le chiffre . . . suivi de n . . . . . . . . . . . . : 10n= 1 00 · · ·0

︸︷︷︸

n zéros


COMPÉTENCE N15 : COMPRENDRE LA NOTATION PUISSANCE a−n

A RETENIR :

Soit a un nombre relatif quelconque, non nul. On a : a−n=

1

an=

1

a×a×a×·· · ×a︸︷︷︸

n facteurs

EXERCICE 1

Ecrire sous la forme d’une fraction, puis sous forme décimale si possible, comme dans l’exemple :

4−2=

1

42=

1

16= 0,0625 3−3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10−1= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5−2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2−5= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1−4

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25−1= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−12)−1

=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−3)−2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10−5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−6−3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9−3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100−2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−4)−3

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0,5−6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (−7)−1

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(3

2

)−2

=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(4

5

)−1

=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−0,1−4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−1

3

)−5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

10−3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−1

5−2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2 Ecrire sous la forme d’une puissance avec exposant négatif :

1

(−3)× (−3)× (−3)× (−3)= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

7×7×7×7×7×7×7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

10×10×10×10×10= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

(−4)× (−4)× (−4)= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

a×a×a×a= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

x ×x ×x ×x ×x ×x ×x ×x ×x=. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

57= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1014= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

s4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

y2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


EXERCICE 3 Puissances de 10

Puissance Définition Ecriture fractionnaire Ecriture décimale

10−3 1

103

1

10000,001

10−5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10−9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .1

104. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .1

106. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

10 000 000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0,000 000 01

A RETENIR :

Soit n un entier positif :

• 10−n=

1

10n=

1

10×10×10×·· ·×10︸︷︷︸

n facteurs

• En écriture décimale, 10−n s’écrit avec le chiffre . . . précédé de n . . . . . . . . . . . . , avec une virgule

après le premier zéro : 10−n= 0,0 · · ·0

︸︷︷︸

n zéros

1

EXERCICE 4

1. A l’aide de la calculatrice, écrire sous la forme d’une puissance de 2 :

256= . . . . . . . . . ; 0,25= . . . . . . . . . ; 32768= . . . . . . . . . ; 0,007 812 5= . . . . . . . . .

2. A l’aide de la calculatrice, écrire sous la forme d’une puissance de 5 :

15625= . . . . . . . . . ; 0,008= . . . . . . . . . ; 9 765 625= . . . . . . . . . ; 0,000 064= . . . . . . . . .

3. Sans l’aide de la calculatrice, écrire sous la forme d’une puissance de 10 :

0,000 01= . . . . . . . . . ; 1 000 000= . . . . . . . . . ; 0,01= . . . . . . . . . ; 100 000= . . . . . . . . .


COMPÉTENCE N16 : PRODUITS ET QUOTIENTS DE PUISSANCES

EXERCICE 1 Ecrire sous la forme d’une seule puissance :

Exemple 1 : 73×72

= (7×7×7)× (7×7) = 75 Exemple 2 :26

23=

2×2×2× �2× �2× �2

�2× �2× �2= 23

82×84

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

33= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53×5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95×9−2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

64= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−3)2× (−3)5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

11−1= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4−2×43

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

64= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−7)× (−7)−4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

311= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58×5−8

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4−2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52×54

53= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

×

48

46= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108×103

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

102= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108×10−6

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

106= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10−2×10−5

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10−3

104= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10−8×10

105=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10−1×104

103×10−7

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(103)2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (105)

4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(10−5)3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10−1)

−7= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(108)3×10−17

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(105)

3×10

104× (102)

−1= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2 Ecrire sous la forme d’une seule puissance :

Ex : 72×52

= (7×7)× (5×5) = (7×5)× (7×5) = (7×5)2= 352 et

83

23=

8×8×8

2×2×2=

8

3×

8

3×

8

3=

(

8

2

)3

= 43

52×32

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

72= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(−14)4

74= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

× (−0,25)6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

105×3,15

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353

(−7)3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCE N17 : MULTIPLIER UN NOMBRE DÉCIMAL PAR 10nOU 10−n

EXERCICE 1 Compléter les tableaux suivants :

a a×10 a×100 a×1 000 a×10 000

3,145

28,3

0,0021

a a×0,1 a×0,01 a×0,001 a×0,0001

224,67

31 228,3

14

EXERCICE 2

1. Compléter :

• 25,1403×102= 25,1403× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 25,1403×103= 25,1403× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 25,1403×104= 25,1403× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 25,1403×106= 25,1403× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A RETENIR :

Pour multiplier un nombre décimal par 10n (où n est un nombre positif), il suffit de décaler la

virgule de . . . . . . rangs vers la . . . . . . . . . . . . . . . . . . , en complétant par des zéros si nécessaire.

2. Compléter :

• 312,47×10−2= 312,47× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 312,47×10−3= 312,47× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 312,47×10−4= 312,47× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 312,47×10−6= 312,47× . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A RETENIR :

Pour multiplier un nombre décimal par 10−n (où n est un nombre positif), il suffit de décaler la

virgule de . . . . . . rangs vers la . . . . . . . . . . . . . . . . . . , en complétant par des zéros si nécessaire.

3. En appliquant les deux règles précédentes, calculer :

• 14×103= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 7,21×102= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 0,0124×105= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 2,14807×104= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 1,402×106= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 0,00075×104= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 21542×10−1= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 147,3×10−2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 7,3×10−3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 472,5×10−6= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 0,56×10−4= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 1,58×10−2= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


EXERCICE 3

Compléter :

1. • 27×10...= 27000

• 2,5×10...= 250

• 0,07×10...= 70

• 3,1415×10...= 314,15

• 1,402×10...= 14,02

• 0,0041×10...= 410

• . . . . . . . . . . . . ×103= 97

• . . . . . . . . . . . . ×102= 2157,4

• . . . . . . . . . . . . ×103= 4,7

• . . . . . . . . . . . . ×106= 5471,8

• . . . . . . . . . . . . ×104= 1,77

• . . . . . . . . . . . . ×105= 140,48

2. • 27×10...= 0,27

• 2,5×10...= 0,0025

• 44×10...= 4,4

• 314,5×10...= 0,3145

• 72,16×10...= 0,07216

• 0,41×10...= 0,000041

• . . . . . . . . . . . . ×10−3= 0,197

• . . . . . . . . . . . . ×10−2= 21,754

• . . . . . . . . . . . . ×10−3= 11,7

• . . . . . . . . . . . . ×10−6= 0,0051

• . . . . . . . . . . . . ×10−4= 3,12

• . . . . . . . . . . . . ×10−5= 0,086

EXERCICE 4 Relier par un trait les nombres égaux :

2,718×103• • 2,718

271,8×10−2• • 2718

0,02718×104• • 27,18

2718×10−2• • 27180

0,2718×105• • 271,8

27180×10−6• • 0,02718

EXERCICE 5 Ecriture décimale

Décompose comme dans l’exemple :

• 2754,93= 2×103+ 7×102

+ 5×101+ 4×100

+ 9×10−1+ 3×10−2

• 147,3= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 57,026= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 0,002047= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 100,08= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• 9140803,02= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCE N18 : DIFFÉRENTES ÉCRITURES D’UN NOMBRE DÉCIMAL UTILISANT LES

PUISSANCES DE 10 - ECRITURE SCIENTIFIQUE

EXERCICE 1 Compléter les égalités suivantes, comme dans l’exemple :

• 25,4 = 2540×10−2 = 0,0254×103 = 2,54×101

• 0,041 = 410×10... = . . . . . . . . . . . . ×10−2 = 0,00041×10...

• 36 214 = 3,6214×10... = 362,14×10... = . . . . . . . . . . . . ×106

• 0,92 = 9200×10... = . . . . . . . . . . . . ×10−2 = . . . . . . . . . . . . ×10−1

• 114,3 = 11 430×10... = 0,01143×10... = . . . . . . . . . . . . ×102

• 475×10−9 = 0,00475×10... = . . . . . . . . . . . . ×10−2 = 4,75×10...

• 0,036×10−2 = . . . . . . . . . . . . ×10−6 = . . . . . . . . . . . . ×10−4 = 360×10...

• 720×10−5 = . . . . . . . . . . . . ×10−8 = . . . . . . . . . . . . ×104 = 7,2×10...

Définition : L’écriture scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture de ce nombre sous la

forme a×10n , où :

– a est un nombre décimal compris entre 1 et 10, 10 étant exclu ;

– n est un nombre entier relatif (positif ou négatif).

Par exemple, 2,14×105 est l’écriture scientifique du nombre 214 500

EXERCICE 2 Parmi les nombres suivants, surligner ceux qui sont écrits sous forme scientifique :

12,3×105 5,3×109 9,9×10−12 78×103 0,25×106

750×10−15 8×1011 7,14×10−1 11,3×10−8 0,04×101

EXERCICE 3 Compléter le tableau, puis surligner l’écriture scientifique du nombre donné en écriture

décimale :

Ecriture décimale Ecritures utilisant les puissances de 10

2718 2,718×10... 271,8×10... . . . . . . . . . . . . ×10−1

. . . . . . . . . . . . 54×10−6 0,054×10... . . . . . . . . . . . . ×10−5

0,00024 240×10... 2,4×10... . . . . . . . . . . . . ×10−9

. . . . . . . . . . . . 715,2×10... . . . . . . . . . . . . ×105 715 200 000×10−3

EXERCICE 4 Donner l’écriture scientifique de chacun des nombres suivants :

a) 854 000= . . . . . . . . . . . . ×10...

b) 0,051= . . . . . . . . . . . . ×10...

c) 132= . . . . . . . . . . . . ×10...

d) 1 510 000= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) 0,000078= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f) 0,902= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

g) 14 500 000 000= . . . . . . . . . . . . . . .

h) 0,0804= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i) 732×103= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

j) 0,027×106= . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k) 1400×107= . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l) 85 070×10−11= . . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCE N19 : ENCADREMENTS ET ORDRES DE GRANDEUR D’UN NOMBREDÉCIMAL GRÂCE À SON ÉCRITURE SCIENTIFIQUE

EXERCICE 1On donne les nombres A = 67 028 200 000 et B = 0,000 0319.

1. Ecrire les deux nombres A et B sous forme scientifique.

2. Donner un ordre de grandeur de A, de B , puis de A×B et deA

B

3. Encadrer A et B par deux puissances de 10 d’exposants consécutifs.

EXERCICE 2On donne les nombres C = 0,000 000 000 000 78 et D = 42 753.

1. Ecrire les deux nombres C et D sous forme scientifique.

2. Donner un ordre de grandeur de C , de D, puis de C ×D et deC

D

3. Encadrer C et D par deux puissances de 10 d’exposants consécutifs.

EXERCICE 3Voici les distances du Soleil à quelques planètes, étoiles ou nébuleuses.

Alpha du centaure : 40 700 milliards de km Sirius : 8,26 a.l.

Neptune : 4,5 milliards de km Mars : 228 millions de km

Proxima du Centaure : 404×1011 km Jupiter : 7 776×105 km

Uranus : 2 870 000 000 km Nébuleuse d’Andromède : 2 millions a.l.

Saturne : 1 428 000 000 km Vénus : 10 810×104 km

Pluton : 5,92×10−4 a.l. Mercure : 57 850 000 km

La Terre : 149,5 millions de km Etoile Polaire : 4,31×102 a.l.

Remarque : Une année-lumière (notée a.l.) vaut environ 1013 km (voir par ailleurs)

1. Donner l’écriture scientifique des nombres qui mesurent ces distances en kilomètres,

2. Ordres de grandeur :

a) Donner un ordre de grandeur de la distance m séparant le Soleil de Mercure

b) Donner un ordre de grandeur de la distance p séparant le Soleil de Pluton.

c) Donner un ordre de grandeur du quotientp

m, et traduire le résultat obtenu par une phrase. Si,

sur une maquette, on décidait que le Soleil et Mercure étaient distants de 1 mètre, quelle distance

séparerait le Soleil de Pluton ?

3. Encadrements :

a) Quels sont les astres dont la distance au Soleil est comprise entre 108 et 109 km ?

b) Quels sont les astres dont la distance au Soleil est comprise entre 1014 et 1015 km ?

c) Encadrer la distance séparant le Soleil de l’Etoile Polaire par deux puissances de 10 d’exposants

consécutifs.


COMPÉTENCE N20 : EFFECTUER À LA MAIN DES CALCULS CONTENANT DES PUISSANCES

A RETENIR :

Dans un enchaînement de calculs, les priorités sont les suivantes :

• En présence de parenthèses, on commence par les calculs entre parenthèses.

• En l’absence de parenthèses :

– on commence par calculer les puissances,

– puis on effectue les multiplications et les divisions,

– enfin on termine en effectuant les additions et soustractions.

EXERCICE 1 Calculer à la main, en détaillant les étapes du calcul :

A = (−5+4×2)3 B =−5+4×23 C = (−5+4)×23

D = 5×23−3×24

+3 E = (5+2)2−

(

52+22

)

F = 11−(

−23+6

)

×52

G =−2×104−5× (−10)3

+200 H = (−3×2)3−3×23 I = (−9)2

− [−3× (−2)−8]3×7

EXERCICE 2 Calculer à la main, en détaillant les étapes du calcul, comme dans les exemples donnés ;

le résultat sera donné sous la forme a × 10n, où a est un nombre décimal et n un entier relatif, mais

également sous forme décimale.

Exemple 1 • 25×106−130×104

= 25×106−1,3×106

= (25−1,3)×106= 23,7×106

= 23 700 000

Exemple 2 • 4×10−7×12×103

= (4×12)× (10−7×103) = 48×10−4

= 0,0048

Exemple 3 •

32×105

103×8

=

32

8×

105

103= 4×102

= 400

A = 103+105 B = 10−2

+3×10−3 C = 34×109−0,02×1012

D = 7×105× (−2)×10−8 E =

(

4×103)2×25×10−9 F = 12×10−3

×0,4×(

10−5)2

G =

−12×107

105×4

H =

62×106

9×10−3I =

6×10−5× (−0,3)×

(

109)2

9×1011

EXERCICE 3 Calculer à la main, en détaillant les étapes de calcul :

A =

(

9−

(

8−(

6−(

4− (2−0)0)1

)2)3)4


CHAPITRE VI

TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT



nées et fonctions)



G8 Tracer le cercle circonscrit d’un triangle quelconque, d’un triangle

rectangle

G9 Démontrer qu’un point est sur un cercle en utilisant la propriété de

l’angle droit

G10 Calculer la longueur de la médiane issue de l’angle droit dans un tri-

angle rectangle

G11 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant son cercle cir-

conscrit

G12 Démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisant ses médianes

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20








Rappels : médiatrices, médianes

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

Définition

– Si un point est situé sur la médiatrice d’un segment,

alors on est sûr que ce point est situé à égale distance des extrémités de ce segment.

– Si un point est situé à égale distance des extrémités d’un segment,

alors on est sûr que ce point est situé sur la médiatrice de ce segment.

Propriété d’équidistance

Méthodes de construction de la médiatrice d’un segment :

Ï Construction d’une médiatrice à la règle graduée et à l’équerre :

AB

AB

I AB

I

Pour tracer la médiatrice du

segment [AB] :

① on place le point I milieu du

segment [AB]

② on trace la perpendiculaire à

(AB) passant par I

Ï Construction d’une médiatrice à la règle non graduée et au compas :

AB

AB

AB

Pour tracer la médiatrice du

segment [AB] :

① on trace deux cercles de centres

A et B de même rayon, assez grand

② on trace la droite qui joint les

intersections de ces deux cercles

Dans un triangle, on appelle médiane une droite passant par un sommet du triangle et par le milieu du

côté opposé à ce sommet.

Définition


Compétence G8 : tracer le cercle circonscrit d’un triangle

Dans un triangle quelconque (non aplati), les médiatrices des trois

côtés du triangle se rencontrent en un même point ; on dit qu’elles

sont concourantes.

Le point commun à ces trois médiatrices est le centre d’un cercle C

passant par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé cercle

circonscrit au triangle. On dit aussi que le triangle est inscrit dans

le cercle C

A

B

C

O

C

Cercle circonscrit à un triangle

Dans le cas d’un triangle rectangle, la

construction du cercle circonscrit est beau-

coup plus simple, grâce au théorème suivant :


alors le centre de son cercle circonscrit est le

milieu de l’hypoténuse.

Théorème 1

Voir la preuve de ce résultat par ailleurs. . .

Illustration :

A

B

C

O

C

Compétence G9 : démontrer qu’un point est sur un cercle

Une seconde formulation du théorème 1 s’énonce ainsi :


alors il est inscrit dans le cercle dont le diamètre est l’hypoténuse.

Théorème 2

Compétence G10 : calculer la longueur d’une médiane issue du som-met de l’angle droit dans un triangle rectangle

Une troisième formulation du théorème 1, utilisant cette fois la médiane issue du sommet de l’angle

droit, s’énonce ainsi :


alors la médiane issue du sommet de l’angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de

l’hypoténuse.

Théorème 3

En effet, le segment [CO], qui est la médiane issue du sommet de l’angle droit, est un rayon du cercle C

circonscrit au triangle ABC. Or le segment [AB] est un diamètre de ce cercle. On a donc bien CO =

AB

2


Compétence G11 : démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisantson cercle circonscrit

Nous pouvons formuler une réciproque du théorème 1 en ces termes :

Si, dans un triangle, le milieu d’un côté est le centre du cercle circonscrit,

alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.

Théorème 4

Tout comme nous pouvons formuler une réciproque du théorème 2 :

Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés ,


Théorème 5

Compétence G12 : démontrer qu’un triangle est rectangle en utilisantses médianes

Enfin, nous pouvons énoncer une réciproque du théorème 3 :

Si, dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant,


Théorème 6


COMPÉTENCE G8 : TRACER LE CERCLE CIRCONSCRIT D’UN TRIANGLE QUELCONQUE,D’UN TRIANGLE RECTANGLE

RAPPELS DE COURS :

Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

Exercice 1 Tracer le cercle circonscrit de chacun de ces triangles :

A

B

CD E

F

G

H

I

Exercice 2 A l’aide des informations données par la figure ci-contre, détermine le centre des cercles

circonscrits aux triangles ABC , BC E et AKC , puis trace ces cercles :

B

E

C

A

D

K

J

I

H

L


COMPÉTENCE G9 : DÉMONTRER QU’UN POINT EST SUR UN CERCLE EN UTILISANT LA

PROPRIÉTÉ DE L’ANGLE DROIT

RAPPEL DE COURS :

Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle dont le diamètre est l’hypoténuse.

Exercice 1 Complète les démonstrations suivantes :

1. Enoncé : ARG est un triangle rectangle en A ; démontrer que A appartient au cercle de diamètre [RG].

Démonstration :

• On sait que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Or, si un triangle est rectangle, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• On en conclut que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Enoncé : IBU est un triangle rectangle en B ; démontrer que B appartient au cercle de diamètre [IU].

Démonstration :

• On sait que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Or, si un triangle est rectangle, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• On en conclut que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2

EHM est un triangle tel que EH=7,4 cm, �MEH= 24°et �EHM= 66°.

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. Démontrer que le triangle EHM est un triangle rectangle.

3. Justifier que le point M est situé sur le cercle de diamètre [EH].

E

H

M

24◦

66◦

Exercice 3

FIN est un triangle tel que FI=4,8 cm, IN=9 cm

et NF=10,2 cm

1. Faire une figure en vraie grandeur.

2. Démontrer que le triangle FIN est un tri-

angle rectangle.

3. Justifier que le point I est situé sur le cercle

de diamètre [NF].

Exercice 4

Démontrer que les points A, B, C et D sont si-

tués sur un même cercle, que l’on tracera.

A

B

C

D


COMPÉTENCE G10 : CALCULER LA LONGUEUR D’UNE MÉDIANE DANS UN TRIANGLE

RECTANGLE

RAPPEL DE COURS :

Si un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l’angle droit est égale à

la moitié de la longueur de l’hypoténuse.

Exercice 1 Dans chaque cas, calculer la longueur demandée (valeur exacte ou valeur approchée au

millimètre), en justifiant la méthode utilisée :

Calculer AI :

A

B

C

I6 mCalculer BC :

AB

C

I4,1 mCalculer AI :

A

B

C

I5 m3 mExercice 2

30◦60◦7 m FE

K

D

Observez la figure ci-contre, dessinée à main levée :

1. De quelle nature est le triangle DEF ? Justifier.

2. De quelle nature est le triangle DEK ? Justifier avec soin.

3. Calculer la mesure de l’angle �DKE.

4. De quelle nature est le triangle DFK ?


COMPÉTENCE G11 : DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE EN UTILISANT SONCERCLE CIRCONSCRIT

RAPPEL DE COURS :Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors ce triangle est

rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.

Exercice 1 Complète la démonstration suivante :

Enoncé : Soit C un cercle ; soit [TH] un diamètre de ce cercle, et A un

point du cercle (distinct de T et de H) ; démontrer que le triangle ATH

est rectangle en A.

Figure à main levée :

Démonstration :

• On sait que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Or, si un triangle est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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• On en conclut que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2

EHM est un triangle, et C est le cercle de diamètre [EH]. Ce cercle

coupe le côté [EM] en un point I, et le côté [HM] en un point J.

1. Démontrer que les triangles EHI et EHJ sont des triangles rec-

tangles.

2. Comment appelle-t-on les droites (EJ) et (HI) dans le triangle

EHM ? Comment appelle-t-on leur point d’intersection O ?.

E

H

M

IJ

O

Exercice 3

1. Tracer un segment [AB] de 10 cm ; placer un point C sur [AB] tel que AC=6cm ; tracer les cercles C et

C′ de diamètres respectifs [AB] et [AC] ; placer sur le cercle C un point D situé à 5 cm du point B. Le

segment [AD] coupe le cercle C′ en un point E.

2. Démontrer que les triangles ABD et ACE sont des triangles rectangles.

3. Démontrer que les droites (CE) et (BD) sont parallèles.

4. Calculer les valeurs exactes des longueurs AD et CE.


COMPÉTENCE G12 : DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE EN UTILISANT SESMÉDIANES

RAPPEL DE COURS :Si, dans un triangle, la longueur d’une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspon-

dant, alors ce triangle est rectangle, et ce côté est l’hypoténuse.

Exercice 1 Complète la démonstration suivante :

Enoncé : Soit IHF un triangle ; soit M le milieu du côté [HF]. On sait

que IM=5,5 cm et HF=11cm. Démontrer que le triangle IHF est rec-

tangle en I.

Figure à main levée :

Démonstration :

• On sait que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• Or, si, dans un triangle, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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, alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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• On en conclut que . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 2

ABC est un triangle isocèle en B ; D est le symétrique de A par rapport à B.

1. Faire une figure.

2. Démontrer que le triangle ACD est rectangle en C.

Exercice 3

Soit EFG un triangle, et soit I le milieu de [FG]. On sait que EF=5 cm, EG=12 cm, FG=13 cm et EI=6,5 cm.

Démontrer que le triangle EFG est rectangle en E.

F G

E

I13 m12 m5 m 6.5 m4éme Exercices CH 6 Page 1

CHAPITRE VI

CALCUL LITTÉRAL - EQUATIONS



nées et fonctions)



N22 Remplacer la lettre par un nombre dans une expression littérale ; tes-

ter une égalité

N23 Développer un produit à l’aide de la règle de distributivité simple

N24 Factoriser, réduire une somme à l’aide de la règle de distributivité

simple

N25 Appliquer la règle de suppression des parenthèses précédées d’un

signe + ou d’un signe −.

N26 Développer un produit en utilisant la règle de distributivité double

N27 Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

N28 Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équa-

tion du premier degré à une inconnue

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20








Compétence N22 : Remplacer la lettre par un nombre dans une ex-pression littérale ; tester une égalité

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont représentés par

des lettres. Une même lettre désigne toujours un même nombre dans une expression littérale donnée.

Par exemple :

E = 4x2 −x +3 est une expression littérale dans laquelle un nombre est représenté par la lettre x

On peut calculer la valeur de cette expression lorsque la lettre prend une valeur donnée.

Par exemple, pour x =−2, on a E = 4× (−2)2 − (−2)+3 = 4×4+2+3 = 16+2+3 = 21

Tester si l’égalité 2x +4= 13−x est vraie pour x = 3

• D’une part, le premier membre vaut 2×3+4 = 6+4=10,

• d’autre part le second membre vaut 13−3 =10

Comme les deux membres ont la même valeur, l’égalité est vérifiée.

Compétence N23 : Développer un produit grâce à la règle de distribu-tivité simple

Développer un produit signifie l’écrire sous la forme d’unesomme ou d’une différence.

Définition

Pour ce faire, on dispose d’un premier moyen :

Soient k, a et b trois nombres relatifs. On a :

k(a+b) = k ×a+k ×b autrement dit, en simplifiant l’écriture, k(a+b) = ka+kb

Développer grâce à la règle de distributivité simple

Exemples :

• 2(3+5x) = 2×3 + 2×5x = 6+10x

• 5y(3−2y) = 5y(

3+ (−2y))

= 5y ×3 + 5y × (−2y)= 15y −10y2

Compétence N24 : Factoriser, réduire une expression

Factoriser une somme ou une différence signifie l’écrire sous la forme d’un produit.

Définition

C’est donc l’opération "inverse" du développement :

Soient k, a et b trois nombres relatifs ; on a

ka+kb = k(a+b) autrement dit, en simplifiant l’écriture, ka+kb = k(a+b)

Factoriser grâce à la règle de distributivité simple

Exemples :

• 5x +5y = 5(x + y) • 3b −5b = 3b + (−5)b = (3−5)b =−2b • 3x2 −x = x ×3x −x ×1 = x(3x −1)


Réduire une expression littérale, cela consiste à effectuer la somme algébrique des termes "de même

nature", afin d’écrire cette expression avec le moins de termes possibles.

Définition

Exemples :

• 5x −2+3x +7 = 5x + (−2)+3x +7 = 5x +3x + (−2)+7 = 8x +5

On a regroupé d’une part les "termes en x", d’autre part les "termes constants"

• 5x2+x−7x2+5x−11 = 5x2 +x + (−7x

2)+5x + (−11) = 5x2 + (−7x

2)+x +5x + (−11) =−2x2 +6x −11

On a regroupé entre eux les "termes en x2", les "termes en x", et enfin les "termes constants"

Compétence N25 : Règles de suppression des parenthèses précédéesd’un signe +, d’un signe −

Pour ajouter une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner chaque terme de

cette somme algébrique :

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d , on a a + (b+c −d ) = a +b+c −d

Parenthèses précédées d’un signe +

Exemples : • 2x + (3+5x) = 2x +3+5x = 7x +3 • 5+ (9x−1) = 5+9x− −1 = 9x +4

Pour soustraire une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner les opposés de

chacun des termes de cette somme algébrique :

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d , on a a − (b+c −d ) = a −b−c +d

Parenthèses précédées d’un signe −

Exemples : • 2x − (3+5x) = 2x −3−5x =−3x −3 • 5− (9x−1) = 5−9x+1=−9x +6

Compétence N26 : Double distributivité

Soient a, b, c et d quatre nombres relatifs ; on a :

(a+b)(c +d) = ac +ad +bc +bd

Règle de double distributivité

Exemples :

• (x +2)(x +5) = x ×x + x ×5 + 2×x + 2×5= x2 + 5x + 2x + 10 = x2 + 7x + 10

• (3x+2)(x−5) = (3x+2)(x+(−5)) = 3x×x + 3x×(−5) + 2×x + 2×(−5)= 3x2 + (−15x) + 2x + (−10)=

3x2 − 13x − 10


Compétence N27 : Résoudre une équation du premier degré

• Une équation est une égalité dans laquelle un nombre - appelé inconnue de l’équation - est représenté

par une lettre.

• S’il en existe, la (ou les) valeur(s) de l’inconnue pour la(les)quelle(s) l’égalité est vraie sont appelées

solutions de l’équation.

• Résoudre une équation consiste à trouver toutes ses solutions

Définitions

Exemple :

2x +3 = 11 est une équation, d’inconnue x.

On dit qu’elle est du premier degré, car la plus grande puissance de x est 1.

• x = 2 n’est pas une solution de cette équation ; en effet, on a 2×2+3 = 4+3= 7 6= 11

• x = 4 est une solution de cette équation ; en effet, on a 2×4+3= 8+3 = 11

Comment résoudre une équation ?

On s’appuie sur deux règles de calcul sur les égalités :

Soient a, b et c trois nombres relatifs.

On ne change pas une égalité (c’est-à-dire qu’une égalité vraie reste vraie) lorsque :

• on ajoute (ou on soustrait) un même nombre à ses deux membres :

Si a = b alors a+c = b +c et a−c = b −c

• on multiplie (ou on divise) par un même nombre chacun de ses deux membres :

Si a = b alors a×c = b ×c et ac=

bc

Règles de calcul sur les égalités

Application à la résolution d’une équation : Pour résoudre une équation de ce type, on doit isoler x

dans un des membres de l’équation.

x +7 = −2x −2

x +7+2x = −2x −2+2x

3x +7 = −2

3x +7−7 = −2−7

3x = −9

3x

3=

−9

3

x = −3

La solution de cette équation est −3

Vérification : −3+7 = 4 et −2× (−3)−2 = 4

+2x +2x

−7 −7

÷3 ÷3

① On commence par ajouter 2x auxdeux membres de l’équation, pour éli-

miner les x du second membre.

② Ensuite on soustrait 7 aux deuxmembres de l’équation, pour élimi-

ner les termes constants du premier

membre.

③ On termine en divisant par 3 les deuxmembres de l’équation pour finir d’iso-

ler l’inconnue.


Compétence N28 : Mettre en équation et résoudre un problème

Toutes les résolutions de problèmes par mise en équation se déroulent selon un schéma en 4 étapes,

qu’il faut impérativement respecter ; en voici un exemple :

Enoncé : Deux enfants, Adrien et Béatrice, jouent aux billes. Adrien dit : "J’ai seize billes de moins

que toi. . . " ; ce à quoi Béatrice répond : "J’en ai trois fois plus que toi !". Combien de billes possède

Adrien ?

Résolution :

Etape n°1 : choix de l’inconnue On note x le nombre de billes que possède Adrien.

Etape n°2 : mise en équation du problème La phrase "J’ai seize billes de moins que toi. . . " se tra-

duit par "Béatrice possède x +16 billes".

La phrase "J’en ai trois fois plus que toi !" se traduit par

"Béatrice possède 3x billes".

On a donc l’équation x +16= 3x

Etape n°3 : résolution de l’équation

x +16 = 3x

x +16−3x = 3x −3x

−2x +16 = 0

−2x +16−16 = 0−16

−2x = −16

−2x

−2=

−16

−2

x = 8

La solution de cette équation est 8

Vérification : 8+16= 24 et 3×8 = 24

−3x −3x

−16 −16

÷(−2) ÷(−2)

Etape n°4 : Interprétation et conclusion NB : Le résultat est un nombre entier positif, ce qui est

cohérent avec l’énoncé

Pierre possède 8 billes (et Béatrice 24).


COMPÉTENCE N22 : CALCULER LA VALEUR D’UNE EXPRESSION LITTÉRALE ENREMPLAÇANT LA LETTRE PAR UNE VALEUR - TESTER UNE ÉGALITÉ

EXERCICE 1

1. Combien vaut l’expression A = 5−3x

– lorsque x = 7 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque x =−3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque x =43

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Combien vaut l’expression B = 4x2−5x

– lorsque x = 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque x =−3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque x =12

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Combien vaut l’expression B =−3x2+x −7

– lorsque x = 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque x =−1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque x =35

: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Combien vaut l’expression B = 3a2−4ab +2b

2

– lorsque a = 2 et b = 5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque a =−1 et b = 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

– lorsque a =−2 et b = 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2

1. L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l est donnée par la formule A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer l’aire d’un rectangle de longueur 8 cm et de largeur 2,5 cm : A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. L’aire d’un disque de rayon R est donnée par la formule A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer l’aire d’un disque de rayon 5 cm (on prendra π= 3,14) : A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le volume d’un cylindre de rayon R et de hauteur h est donnée par la formule A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calculer l’aire d’un cylindre de rayon et de hauteur 4 cm (on prendra π= 3,14) : A = . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. La distance d’arrêt d’un véhicule sur route sèche roulant à une vitesse v (en km/h) est donnée par la

formule D =

v

3,6+

v2

200.

Calculer la distance d’arrêt d’un véhicule roulant à une vittesse de 90 km/h, puis d’un autre véhicule

roulant à 130 km/h :

Véhicule 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Véhicule 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Pour tester si une égalité comportant des nombres indéterminés est vraie lorsqu’on leur attribue une

valeur numérique, il faut procéder ainsi :

– d’une part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s) par

leur(s) valeur(s) dans le membre de gauche de l’égalité.

– d’autre part, on évalue (calcule) l’expression numérique obtenue en remplaçant la (les) lettre(s)

par leur(s) valeur(s) dans le membre de droite de l’égalité.

Si les deux résultats obtenus sont égaux entre eux, alors l’égalité est vérifiée ; par contre, si les deux

résultats trouvés sont différents, l’égalité n’est pas vérifiée.

EXERCICE 3Question Calculs Conclusion

Tester si l’égalité

2x +3= 5

est vraie pour x = 2

D’une part, le membre

de gauche vaut

2× . . .+3= . . .

D’autre part, le membre

de droite vaut . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


2x +5= 2−x

est vraie pour x =−1


de gauche vaut

2× . . .+5= . . .


de droite vaut 2− . . . = . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


5(x +2) = 19+2x



de gauche vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


de droite vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


2,5x +4= 7(10−2x)



de gauche vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


de droite vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


0,2x =x+8

9



de gauche vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


de droite vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


x2−3 = 1

est vraie pour x =−2


de gauche vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


de droite vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


x2−5x +6= 0



de gauche vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


de droite vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


5−2x = 19−x2



de gauche vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


de droite vaut

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Donc l’égalité

. . . . . . . . . . . .

vérifiée


COMPÉTENCE N23 : DÉVELOPPER UN PRODUIT EN UTILISANT LA DISTRIBUTIVITÉ

SIMPLE

A RETENIR :

Soient k, a et b trois nombres relatifs

• k(a+b) = k ×a+k ×b autrement dit, en simplifiant l’écriture, k(a+b) = ka+kb

• k(a+b) = k ×a+k ×b autrement dit, en simplifiant l’écriture, k(a−b) = ka−kb

EXERCICE

Développer les produits suivants, et simplifier l’expression obtenue :

A = 5(3x +2)

A = 5×3x + 5×2

A = 15x + 10

B = 7(5+ y)

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C =−8(5+3t )

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = x(3+5x)

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = 2t (4t +1)

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = 5(1−3y)

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = 7n(3n −4)

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H =−10(2−14y)

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I =−5u(4−3u)

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J =−2(7−2x +3y)

J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K = 2a(−2b +3−5a)

K = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L =−7(4−3x +7x2)

L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCE N24 : FACTORISER, RÉDUIRE UNE EXPRESSION

A RETENIR :

Soient k, a et b trois nombres relatifs ; • ka+kb = k(a+b) ka−kb = k(a−b)

EXERCICE 1Factoriser chacune des sommes suivantes

A = 5x +5y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B = 3a−3b = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C = 6p −3q = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = 7a+7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = 25a+10= . . . . . . . . . . . . . . . . . . F = 24z −16x = . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 2Réduire chacune des sommes suivantes

A = 5x +7x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B = 3a−5a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C = 6p −9p = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = a+7a = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E = x −14x = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F = 3n2+5n2

= . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = 8a2−7a2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . E = x2−4x2

= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F = 5m2−m2

= . . . . . . . . . . . . . . . . .

EXERCICE 3Réduire chacune des sommes suivantes

A = 5x −3+7x −11= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B = 3a−8−5a+7 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C =−3x2+3x +5x2

+4x D = y2+3−2y2

−5y +1

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E =−4x2+3x −1+x2

+5 F = z2−3+4z −11−7z −9z2

+2

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCE N25 : SUPPRIMER LES PARENTHÈSES DANS UNE SUITE D’ADDITIONS ET

DE SOUSTRACTIONS

A RETENIR :

• Pour ajouter une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner chaque

terme de cette somme algébrique.

• Pour soustraire une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit d’additionner les oppo-

sés de chacun des termes de cette somme algébrique.

EXERCICE

Supprimer les parenthèses dans chacune des sommes algébriques suivantes, puis réduire les sommes ob-

tenues

A = 5+ (3x +2)

A = 5+3x +2

A = 7+3x

B = 7x + (6+3x)

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = 8+ (5y −7)

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = 5b + (3−b)

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = 11− (5+2a)

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = 4y − (y +9)

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = 15− (3x −11)

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = 10t − (5−2t )

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I =−7u − (−3−2u)

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J = 2x +3y + (−5−2x +7y)

J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K = 4a−b − (3a−7−5b)

K = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L = (4−x)+ (7−3x)− (3x −2)

L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


COMPÉTENCE N26 : DÉVELOPPER UN PRODUIT GRÂCE À LA RÈGLE DE DISTRIBUTIVITÉ

DOUBLE

A RETENIR :

Pour tous nombres relatifs a, b, c et d , on a (a+b)(c +d) = ac +ad +bc +bd

EXERCICE

Développer et réduire les produits suivants :

A = (x +2)(x +7)

A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = (a+9)(3+a)

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = (y +9)(3y +5)

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = (t +5)(7+3t )

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

D = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = (z +2)(z −3)

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = (a−11)(2+a)

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = (x −6)(x −9)

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = (2u −1)(u +8)

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I = (5n −7)(2n +6)

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J = (4p −5)(1−9p)

J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

J = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K = (−7x +3)(3x −10)

K = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

K = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L = (5−h)(−2h +3)

L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ACTIVITÉ : NOTION D’ÉQUATION, SOLUTION D’UNE ÉQUATION

ACTIVITÉ 1 Les devinettes

1. Essayez, par la méthode de votre choix, de répondre aux devinettes suivantes :

a) Je pense à un nombre ; j’en prends le triple et je retranche 5 au résultat. Au final, j’obtiens 7. Quel

est ce nombre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) Je pense à un nombre ; je lui ajoute 5, et je multiplie le résultat par 2. Au final, j’obtiens 15. Quel

est ce nombre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) Je pense à un nombre ; je lui ajoute 6, et je prends la moitié du résultat. Au final, j’obtiens le double

du nombre de départ. Quel est ce nombre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) Je pense à un nombre ; je le multiplie par 6 et j’ajoute 5 au résultat. Au final, j’obtiens 9. Quel est ce

nombre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) Je pense à un nombre ; je le multiplie par 3 et j’ajoute 4 au résultat. Au final, j’obtiens le nombre

de départ. Quel est ce nombre ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. En appelant x le nombre inconnu, écrire une égalité traduisant chacune de ces devinettes :

a) devinette n°1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b) devinette n°2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c) devinette n°3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d) devinette n°4 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e) devinette n°5 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A RETENIR : Une telle égalité, dans laquelle un nombre manquant est représenté par une lettre,

s’appelle une équation. Le nombre cherché est appelé inconnue de l’équation. Trouver toutes les

valeurs de l’inconnue pour lesquelles l’égalité est vraie, c’est ce qu’on appelle résoudre l’équation.

ACTIVITÉ 2 Tester un nombre pour voir s’il est solution de l’équation

Parmi les nombres proposés, entourer ceux qui sont solutions de l’équation donnée (s’il y en a) :

2x +5=−3 x = 4 x =−4 x =−1

3x +8= 3−2x x = 0 x =−1 x = 7

7x = 8−x x = 1 x =−1 x = 0

5(x +3) = 2x −6 x = 5 x =−3 x =−7

2x −3=−4x x =13

x =12

x =14

x2+4= 5x x = 1 x = 3 x = 4

2(3x +2)= 4+6x x =−5 x = 0 x =−53

4éme Activité CH 7 Page 1

COMPÉTENCE N27 : RÉSOUDRE UNE ÉQUATION

A RETENIR :Soient a, b et c trois nombres relatifs.

• Une égalité reste vraie lorsque l’on ajoute (ou soustrait) un même nombre à chacun de ses

membres : Si a = b alors a+c = b +c et a−c = b −c

• Une égalité reste vraie lorsque l’on multiplie (ou divise) par un même nombre non nul chacun

de ses membres : Si a = b alors a×c = b ×c et ac=

bc

C’est grâce à ces deux remarques que nous allons pouvoir mettre en oeuvre une méthode pour résoudre

n’importe quelle équation du premier degré (c’est-à-dire sans puissance de l’inconnue supérieure à 1).

Pour cela, il va falloir utiliser ces deux propriétés pour tenter d’isoler l’inconnue dans un des membres

de l’équation.

Exercice 1 Equations du type x +b = c et x −b = c

1. Exemples

x +20 = 7

x +20− . . . = 7− . . .

x = . . .

La solution de cette équation est . . . . . .

Vérification : . . .+20 = . . .

. . . . . .x −7 = −5

x −7+ . . . = −5+ . . .

x = . . .


Vérification : . . .−7 = . . .

. . . . . .

2. A vous maintenant ! Sur votre cahier, résolvez les équations suivantes :

(a) x −5 =−4 (b) x +11= 7 (c) x −

2

3=

5

6(d) x +

5

2=−1

Exercice 2 Equations du type ax = c et xa= c

1. Exemples

5x = −15

5x

. . .=

−15

. . .

x = . . .


Vérification : 5× . . . = . . .

. . . . . .

x

3= 8

x

3× . . . = 8× . . .

x = . . .


Vérification :1 . . .

3= . . .

. . . . . .


(a) 6x =−3 (b)x

9=−2 (c) −4x =−12 (d)

x

5=

−3

10


Exercice 3 Equations du type ax +b = c

1. Exemples

3x +4 = −2

3x +4− . . . = −2− . . .

3x = . . .

3x

. . .= . . . . . .

x = . . . . . .


Vérification : 3× . . .+4 = . . .

. . . . . .

. . . . . .

x

3−5 = 1

x

3−5+ . . . = 1+ . . .

x

3= . . .

x

3× . . . = . . .× . . .

x = . . .


Vérification :1 . . .

3−5 = . . .

. . . . . .

. . . . . .


(a) 2x +7=−9

(b)x

2+3 = 0

(c) −4x −1 = 11

(d) −

x

5+7 =−3

(e) 3x −5=−2

(f)x

10+7 =−1

(g) −5x +4= 2

(h) −

x

6−2 = 1

Exercice 4 Equations du type ax +b = cx +d

1. Exemple

x +7 = −2x −2

x +7+ . . . = −2x −2+ . . .

3x +7 = −2

3x +7− . . . = −2− . . .

3x = . . . . . .

3x

. . .= . . . . . .

x = . . . . . .


Vérification : . . .+7 = . . . et −2× . . .−2 = . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .


(a) x −6 = 3x

(b) 2x +1= 5−x

(c) −3x +4 = 2x −1

(d) x +3=−5x +9

(e)x

2−5 = x +7

(f)x

3+7 =−

x

6

(g) 3(2−x) = 5x −7

(h) 4−5x =−3(x −8)


COMPÉTENCE N28 : METTRE EN ÉQUATION ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Exercice 1

Enoncé : Aujourd’hui, une mère a 26 ans de plus que sa fille. Dans 7 ans, elle aura le double de l’âge

de sa fille. Quel âge a sa fille aujourd’hui ?

1. Etape n°1 : choix de l’inconnue : on notera x l’âge de la fille aujourd’hui.

2. Etape n°2 : exprimer en fonction de x l’âge de la mère aujourd’hui, puis l’âge de la fille dans 7 ans,

puis l’âge de la mère dans 7 ans. En déduire une équation qui traduise ce problème.

3. Etape n°3 : résoudre cette équation

4. Etape n°4 : interpréter le résultat, en vérifier la cohérence vis-à-vis de l’énoncé, puis conclure.

Exercice 2

Enoncé : Lors d’une séance de cinéma, on a accueilli 56 spectateurs. Certains ont payé le tarif réduit

(5 ¤), les autres le tarif normal (8 ¤). La reccte de cette séance se monte à 376 ¤. Combien de specta-

teurs ont payé le tarif réduit ?

1. Etape n°1 : choix de l’inconnue : on notera x le nombre de spectateurs ayant payé leur place au tarif

réduit.

2. Etape n°2 : exprimer en fonction de x le nombre de spectateurs ayant payé leur place au tarif normal,

puis la recette liée à la vente des places à tarif réduit, et enfin la recette liée à la vente des places au

tarif normal. Ecrire alors une équation traduisant ce problème.

3. Etape n°3 : résoudre cette équation

4. Etape n°4 : interpréter le résultat, en vérifier la cohérence vis-à-vis de l’énoncé, puis conclure.

Exercice 3

Je dépense les deux tiers de mon argent de poche pour acheter des vêtements ; il me reste 54¤. Combien

avis-je d’argent avant mes achats ?

Exercice 4

1. La somme de trois nombres consécutifs vaut 2007 ; quels sont ces trois nombres ?

2. La somme de cinq multiples de 3 consécutifs vaut 585 ; quels sont ces nombres ?

Exercice 5

A

B C D

E

4 m 6 m6 mx m

Pour quelle valeur de x les aires des triangles

ABC et CDE sont-elles égales ?


CHAPITRE VIII

COSINUS D’UN ANGLE AIGU



nées et fonctions)



G13 Utiliser la calculatrice pour calculer une valeur approchée d’un angle

dont le cosinus est donné, le cosinus d’un angle donné

G14 Calculer la mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle grâce

au cosinus

G15 Calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle grâce au co-

sinus

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20








Cosinus d’un angle aigu

Dans un triangle rectangle, un angle aigu possède deux côtés : l’un d’eux est l’hypoténuse, l’autre est le

côté adjacent à l’angle �ABC.

C B

A

hypoténuse �té adja ent

Le rapport de la longueur du côté adjacent à l’angle �ABC (le côté [BA]) et de la longueur de l’hypoténuse

(le côté [BC]) ne dépend que de l’angle �ABC.

Ce rapport est appelé cosinus de l’angle �ABC, et on le note cos(�ABC

). On a ainsi

cos(�ABC

)=

côté adjacent à �ABC

hypoténuse=

BA

BC

Définition

Compétence G13 : Utiliser la calculatrice :

a) pour calculer une valeur approchée du cosinus d’un angle donné

Par exemple, pour calculer une valeur approchée du cosinus d’un angle de 20°, on tape la séquence

suivante :

cos 2 0 EXE

ce qui donne à l’écran :

cos(20)

0.9396926208

b) pour calculer une valeur approchée d’un angle dont le cosinus est donné

Par exemple, pour calculer une valeur approchée de l’angle dont le cosinus est 0,75, on tape la séquence

suivante :

SHIFT cos 0 . 7 5 EXE


cos-1(0.75)

41.40962211


Compétence G14 : Utiliser le cosinus pour calculer la mesure d’un angledans un triangle rectangle :

Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A tel

que BC=10 cm et BA=7,5 cm. Calculer une va-

leur arrondie au dixième de degré de la mesure de

l’angle �ABC

A

B C10 m7,5 mSolution : ABC est un triangle rectangle en A ;

[BC] est l’hypoténuse, et [BA] est le côté adjacent

à l’angle �ABC. On a donc

cos(�ABC

)=

BA

BC

En remplaçant les longueurs connues par leurs va-

leurs :

cos(�ABC

)=

7,5

10= 0,75

La calculatrice donne �ABC ≈ 41,4°

Compétence G15 : Utiliser le cosinus pour calculer la longueur d’uncôté dans un triangle rectangle :

Ï Pour calculer la longueur du côté adjacent :


que BC=6 cm et �ABC = 35°. Calculer une valeur ar-

rondie au millimètre de la longueur du côté [AB]

A

B C6 m35◦

Solution : ABC est un triangle rectangle en A ;



cos(�ABC

)=

BA

BC

En remplaçant les mesures connues par leurs va-

leurs :

cos(35◦

)=

BA

6

d’où il vient

B A = 6×cos(35◦

)

La calculatrice donne B A ≈ 4,9cm

Ï Pour calculer la longueur de l’hypoténuse :


que BA=4 cm et �ABC = 54°. Calculer une valeur ar-

rondie au millimètre de la longueur du côté [BC]

B

AC

4 m 54◦

Solution : ABC est un triangle rectangle en A ;



cos(�ABC

)=

BA

BC

En remplaçant les mesures connues par leurs va-

leurs :

cos(54◦

)=

4

BCd’où il vient

BC ×cos(54◦

)= 4

et donc BC =

4

cos(54◦)

La calculatrice donne BC ≈ 6,8cm


COMPÉTENCE G13 : UTILISATION DE LA CALCULATRICE

Utilisation de la calculatrice :

• pour calculer une valeur approchée du cosinus d’un angle donné :

par exemple, pour calculer une valeur approchée du cosinus d’un angle de 20°, on tape la séquence

suivante :

cos 2 0 EXEce qui donne à l’écran :

cos(20)

0.9396926208

• pour calculer une valeur approchée de l’angle dont le cosinus est donné :

par exemple, pour calculer une valeur approchée de l’angle dont le cosinus est 0,75, on tape la

séquence suivante :

SHIFT cos 0 . 7 5 EXE


cos-1(0.75)

41.40962211

Exercice 1Compléter le tableau suivant grâce à la calculatrice :

Angle 15° 56° 42° 30° 86° 4° 75° 61°

Cosinus

Exercice 2Compléter le tableau suivant grâce à la calculatrice :

Angle

Cosinus 0,36 0,8215 0,6 0,025 23

711

14

1318


COMPÉTENCE G14 : CALCULER LA MESURE D’UN ANGLE GRÂCE AU COSINUS

Un exemple :

Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC=10 cm et BA=7,5 cm. Calculer une valeur ar-

rondie au dixième de degré de la mesure de l’angle �ABC

Solution : ABC est un triangle rectangle en A ; [BC] est l’hypoté-

nuse, et [BA] est le côté adjacent à l’angle �ABC. On a donc

cos(�ABC

)=

BA

BC

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs :

cos(�ABC

)=

7,5

10= 0,75

La calculatrice donne �ABC ≈ 41,4°

A

B C10 m7,5 mExercice 1

1. Faire chaque figure en vraie grandeur

2. Calculer la mesure de l’angle grisé dans chacun des cas

3 m8 m①A B

C 7 m10 m②D

EF 6 m4.5 m

③G HI5.5 m 7 m④

JK L 8,5 m1,5 m

⑤ MN P

13 m5 m⑥ QR S

Exercice 2

1. Soit ISO un triangle isocèle en I, tel que IS=8 cm et SO=5 cm. Soit H le milieu de [SO].

a) Faire une figure en vraie grandeur.

b) Dans le triangle ISH rectangle en H, déterminer une mesure arrondie au degré de l’angle ISH.

c) En déduire les mesures arrondies au degré des angles IOS et SIO.

2. Soit LOSA un losange tel que LO=9 cm et LS=14 cm. Calculer les mesures arrondies au dixième de

degré des angles LOS et �ALO.


COMPÉTENCE G15 : CALCULER LA LONGUEUR D’UN CÔTÉ DANS UN TRIANGLERECTANGLE GRÂCE AU COSINUS

1 Calculer la longueur du côté adjacent

Un exemple :

Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC=6 cm et�ABC = 35°. Calculer une valeur arrondie

au millimètre de la longueur du côté [AB]

Solution : ABC est un triangle rectangle en A ; [BC] est

l’hypoténuse, et [BA] est le côté adjacent à l’angle �ABC.

On a donc

cos(�ABC

)=

BA

BC

En remplaçant les mesures connues par leurs valeurs :

cos(35◦

)=

BA

6

d’où il vient

B A = 6×cos(35◦

)

La calculatrice donne B A ≈ 4,9cm

A

B C6 m35◦

ExerciceDans chacun des cas suivants, calculer la longueur indiquée en justifiant soigneusement la réponse :

A

B

C 8 m ?50◦

M

P

R15 m?17◦

H

U E

12,4 m? 65◦

T I

S

7 m ?54◦


COMPÉTENCE G15 : CALCULER LA LONGUEUR D’UN CÔTÉ DANS UN TRIANGLERECTANGLE GRÂCE AU COSINUS

2 Calculer la longueur de l’hypoténuse

Un exemple :

Enoncé : Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BA=4 cm et �ABC = 54°. Calculer une valeur arrondie

au millimètre de la longueur du côté [BC]

Solution : ABC est un triangle rectangle en A ; [BC] est

l’hypoténuse, et [BA] est le côté adjacent à l’angle �ABC.

On a donc

cos(�ABC

)=

BA

BC

En remplaçant les mesures connues par leurs valeurs :

cos(54◦

)=

4

BC

d’où il vient

BC ×cos(54◦

)= 4

et donc

BC =

4

cos(54◦)

La calculatrice donne BC ≈ 6,8cm

B

AC

4 m 54◦

ExerciceDans chacun des cas suivants, calculer la longueur indiquée en justifiant soigneusement la réponse :

A

B

C

6 m?40◦

E

X

R11,5 m ?22◦

G

DZ

7,1 m ?45◦ L O

J

? 2,4 m31◦


CHAPITRE IX

PROPORTIONNALITÉ



nées et fonctions)



F1 Calculer une quatrième proportionnelle

F2 Effectuer des calculs faisant intervenir des pourcentages

F3 Utiliser, dans un repère du plan, la caractérisation de la proportion-

nalité par l’alignement de points avec l’origine

F4 Calculs de vitesses, distances et durées grâce à la formule d = v × t

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20








Proportionnalité

Deux grandeurs sont dites proportionnelles si on passe des valeurs de l’une aux valeurs de l’autre en

multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Définition

On présente souvent les situations de proportionnalité à l’aide d’un tableau ; par exemple :

Grandeur n°1 5 11

Grandeur n°2 12 24,2×2,2

125=

24,211

= 2,2

ce tableau est un tableau de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est égal à 2,2.

On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en multipliant l’une des co-

lonnes par un nombre non nul :

Grandeur n°1 5 11 15

Grandeur n°2 12 24,2 36

×3

×3

On peut ajouter une nouvelle colonne à un tableau de proportionnalité en additionnant deux de ses

colonnes :


Grandeur n°2 12 24,2 36,2

Compétence F1 : Calculer une quatrième proportionnelle

Pour compléter un tableau de proportionnalité tel que celui-ci :

Grandeur n°1 5 21

Grandeur n°2 12 x

on peut aussi appliquer la propriété des produits en croix égaux :

On a12

5=

x

21et donc 12×21= 5×x et ainsi x =

12×21

5ce qui donne x = 50,4

Compétence F2 : pourcentages

1. Calculer un pourcentage

Dans une classe de 24 élèves on trouve 15 garçons ; pour déterminer le pourcentage que représentent

les garçons dans la classe, on peut compléter le tableau de proportionnalité suivant :

15 x

24 100

ce qui donne x =

15×100

24et donc x = 62,5.

Les garçons représentent 62,5 % des élèves de la classe


2. Appliquer un pourcentage

Dans un bureau de vote, il y a eu 450 votants, et 40 % d’entre eux ont voté pour le candidat A ; pour

déterminer combien de voix le candidat A a recueilli dans ce bureau de vote, on peut compléter le

tableau de proportionnalité suivant :

x 40

450 100

ce qui donne x =

40×450

100et donc x = 180.

Le candidat A a recueilli 180 voix dans ce bureau de vote.

Compétence F3 : proportionnalité et représentation graphique dansun repère du plan

Dans un repère du plan :

• si on représente une situation de proportionnalité, alors on obtient des points alignés avec l’origine

du repère.

• si on a des points alignés avec l’origine du repère, alors cette représentation graphique illustre une

situation de proportionnalité.

Propriété

Par exemple :



Cette situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés

avec l’origine :

O 11 10 20 254810

Grandeur 1

Grandeur 2


Compétence F4 : calculer une vitesse moyenne, une distance, une du-rée grâce à la relation d = v × t

Le mouvement d’un mobile sera dit uniforme si la durée du parcours est proportionnelle à la distance

parcourue ; dans ce cas, le coefficient de proportionnalité est appelé vitesse moyenne du mobile.

Si on note d la distance parcourue, t la durée du parcours et v la vitesse moyenne,

on a la relation d = v × t . On a également les relations v =

d

tet t =

d

v

Définition

1. Calculer une vitesse moyenne

Un automobiliste effectue un trajet de 522 kilomètres en 6 heures ; quelle est sa vitesse moyenne ?

Ici, on a d = 522 km et t = 6h ; on a donc v =

d

t=

522

6= 87 km/h (ou km.h−1).

Cet automobiliste roule donc à la vitesse moyenne de 87 km/h.

On peut effectuer un changement d’unité de vitesse de la manière suivante :

On a d = 522 000 m et t = 6×60×60= 21 600 secondes ; ainsi v =

d

t=

522 000

21 600≈ 24 m/s (ou m.s−1).

2. Calculer une distance

Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 64 km/h pendant 3h15min. Quelle distance a-t-il

parcouru ?

On commence par convertir la durée du parcours en nombre décimal d’heures :

3h15min=3h15

60h=3h 1

4h=3,25h.

Puis on applique la formule : d = v × t = 64×3,25= 208 km.

Cet automobiliste a parcouru 208 kilomètres.

3. Calculer une durée

Un automobiliste roule à la vitesse moyenne de 80 km/h sur une distance de 272 km. Combien de

temps ce parcours lui prendra-t-il ?

On applique la formule : t =d

v=

272

80= 3,4h.

On convertit en heures et minutes : 3,4h=3h+0,4h=3h+(0,4×60)min=3h24min

Cet automobiliste roulera pendant 3 heures et 24 minutes.


CHAPITRE X

TANGENTES & BISSECTRICES



nées et fonctions)



G16 Evaluer la distance d’un point à une droite

G17 Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’un de ses points

G18 Utiliser différentes méthodes pour tracer la bissectrice d’un angle

G19 Construire le cercle inscrit dans un triangle

Taux de réussite :

. . . . . . . . . . . . %

Note du chapitre :

. . . . . . . . . . . . /20


. . . . . . . . . . . . /20








Compétence G16 : évaluer la distance d’un point à une droite

Soit (d) une droite, et A un point du plan n’appartenant pas à la droite (d).

La distance du point A à la droite (d) est la plus courte distance possible séparant le point A d’un point

quelconque de la droite (d).

Soit (∆) la droite perpendiculaire à la droite (d) passant par A.

Si H est le point d’intersection de la droite (d) avec la droite (∆), alors la distance entre le point A et la

droite (d) est la longueur AH.

Définition et propriété

B

C

A

(d)∆

H

A'La distance AH est la distance entre le point A et la

droite (d).

Les distances séparant le point A de n’importe quel

autre point de la droite (d) (comme les distances AB

ou AC par exemple) sont toutes supérieures à la dis-

tance AH.

Preuve :

A’ est le symétrique du point A par rapport à la droite (d) ;

• L’inégalité triangulaire nous permet d’affirmer que AA’<AB+A’B .

• De plus, par définition de la symétrie axiale, on sait que la droite (d) est la médiatrice du segment [AA’].

Or, si un point est situé sur la médiatrice d’un segment, alors ce point est équidistant des extrémités

de ce segment. On en déduit que AB=A’B .

• Par conséquent, on a AA’<2AB .

• Enfin, toujours par définition de la symétrie axiale, on sait que AA’=2AH . On en déduit que 2AH<2AB ,

et donc que AH<AB .

On a démontré que la distance séparant A de H est plus courte que la distance séparant A de n’importe

quel autre point de la droite (d).

Compétence G17 : Reconnaître et tracer la tangente à un cercle en l’unde ses points

Soit C une cercle de centre O, et A un point de ce cercle.

La tangente au cercle C au point A est la droite passant par A et n’ayant aucun autre point commun

avec ce cercle.

Cette tangente est la droite perpendiculaire en A au rayon [OA].

Définition et propriété


O

A

C

(T)Le point A est sur le cercle C de centre O. La droite

(T) passe par le point A, et elle n’a aucun autre

point commun avec le cercle C : cette droite est

donc la tangente au cercle C en A.

Cette tangente est la droite perpendiculaire en A au

rayon [OA]

Compétence G18 : Tracer la bissectrice d’un angle

La bissectrice d’un angle est la droite (ou la demi-droite) qui passe par (ou a pour origine) le sommet de

l’angle, et qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure.

Définition

Tracer une bissectrice avec un rapporteur :

On mesure l’angle à l’aide du rapporteur ; puis on divise cette mesure par 2, et on trace l’angle moitié.0

180

10

170

20

160

30

15040

14050

130

60

120

70

110

80

100

90

90

100

80

110

70

120

60

130

50

140

40

15030

160

20

170

180

0

A

B

C

A

B

C

Tracer une bissectrice à l’aide d’un compas :

On trace deux arcs de cercle de centre A, de même rayon, venant couper les deux côtés de l’angle aux

points I et J ; puis, en prenant pour centres ces deux points, on trace à nouveau deux arcs de même rayon

que les arcs précédents, se croisant en un point D. La bissectrice de l’angle �BAC est la demi-droite [AD).

A

B

C

I

J

A

B

C

I

J

D

A

B

C

I

J

D


Compétence G19 : Tracer le cercle inscrit dans un triangle

Nous aurons besoin de cette propriété, admise :

• Si un point est situé sur la bissectrice d’un angle,

alors ce point est situé à égale distance des côtés de l’angle.

• Si un point est situé à égale distance des deux côtés d’un angle,

alors ce point est situé sur la bissectrice de l’angle.

Propriété

I

K

H

Les bissectrices des angles d’un triangle se croisent en un même point ; on dit qu’elles sont concou-

rantes.

Le point commun à ces trois bissectrices est le centre du cercle inscrit dans ce triangle : chacun des

côtés du triangle est tangent à ce cercle.

Propriété

Illustration :

I

K

H

L

A B

C

Eléments de preuve :

• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle �BAC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés

[AB] et [AC] ; on a donc IH=IK

• Le point I est situé sur la bissectrice de l’angle �ABC ; le point I est donc situé à égale distance des côtés

[AB] et [BC] ; on a donc IH=IL

• On en déduit que IH=IK=IL , et donc que les points H,K et L sont sur un cercle C de centre I.

• De plus, la droite (BC) passe par le point I, et est perpendiculaire au rayon [IL] ; le côté [BC] est donc

tangent au cercle C en L, et il en est de même pour les côtés [AB] et [AC]

On en conclut que I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.


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