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Cours de maths en 5ème

Les nombres

relatifs

LES NOMBRES RELATIFS

- Afin de départager les clubs de football se trouvant à égalité de points, on a recours au « goal-average ». C’est un nombre relatif qui exprime la différence entre le nombre de buts « pour » et le nombre de buts « contre ». Exprime le goal-average de chacune des équipes suivantes :

Auxerre Nantes Paris Lille Le Havre

Monaco

Buts pour 18 21 16 16 23 19 Buts contre 13 22 19 14 27 19

goal-average +5 Classe les équipes selon leur goal-average : ..........................................................................................................................................................................................................................................

- On a relevé les températures pendant 10 jours consécutifs : tA = +2°C tB = -1°C tC = -5°C tD = -6,5°C tE = -2°C tF = 0°C tG = -3°C tH = +4°C tI = +9°C tJ = +8°C Représente ces valeurs sur l’axe des températures ci-dessous :

Classe ces températures dans l’ordre croissant : ..........................................................................................................................................................................................................................................

- Amélie a obtenu les notes suivantes : 18 ; 7 ; 12 ; 10 ; 5 ; 14 ; 11 ; 8 ; 13 ; 5. Pour indiquer les écarts à la moyenne, Amélie décide de les noter :

+8 ; -3 ;....................................................................................................................................................................................................

Complète la représentation statistique :

0

+2

+4

+6

+8

−2

−4

−6

−8

+10

−10

Les notes d’Amélie

Trouve un moyen utilisant les notes relatives d’Amélie pour calculer sa moyenne : .......................................................................................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................................................................................

LES NOMBRES RELATIFS Historique : DIOPHANTE (+250 av JC) émet l’idée de nombre relatif BRAHMAGUPTA (VIIème siècle) précise : « une dette retranchée de 0 devient un gain » STIFEL (1544) fait adopter les signes + et -.

- L’ensemble des nombres décimaux relatifs

a) Ils s’écrivent : avec un signe + (facultatif) ou un signe -. avec une partie numérique décimale. Exemples : + 4,7 ou 4,7 (nombre décimal positif) - 0,26 (nombre décimal négatif) - 158 (nombre entier négatif)

b) Ils peuvent être représentés sur une droite graduée (schéma du thermomètre), munie d’un repère (O ;I). Ces nombres sont les abscisses de points de la droite graduée. Exemple :

Les points O, I, A, B, C, D, E, F sont repérés par leurs abscisses : xO = 0 xI = 1 xA = 3,4 xB = 5,9 xC = - 4,7 xD = - 2 xE = - 3,2 xF = - 7

x' xO I A BC DEF

5,93,410- 2- 3,2- 4,7- 7

- Comparaison des nombres relatifs

a) Observation : Sur la droite graduée (x’x) ci-dessus, les points sont dans l’ordre : F C E D O I A B Leurs abscisses sont dans le même ordre : - 7 - 4,7 - 3,2 - 2 0 1 3,4 5,9 On écrit :

7 4,7 3, 2 2 0 1 3, 4 5,9− < − < − < − < < < < b) Règles de comparaison : * Un nombre négatif est inférieur à un nombre positif : 0<2,35 1, 4 0,7− < 7 0− < * De deux nombres positifs, le plus petit est celui qui a la plus petite partie numérique. (C’est le même ordre que celui des nombres naturels) 3,15 3, 2< * De deux nombres négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande partie numérique. 3 2 car 3 2− < >

5,r 78 5,5>−

a<− −

2

5,78 5,5 c c) Encadrer chacun des nombres 5,37 ; -2,89 par deux nombres entiers consécutifs : 5 5,37 6< < 3 2,89− < − < −

- Addition des nombres relatifs

a) Somme de deux nombres relatifs de même signe (écriture simplifiée) :

Dans les deux derniers exemples, on a simplifié les écritures en supprimant les parenthèses et en sous-entendant le signe + de l’addition de chaque nombre négatif. Le signe de la somme est celui des deux nombres La partie numérique de la somme est la SOMME des parties numériques.

5 13 182,3 5,9 8, 2( 7) ( 14) ( 21) s'écrit aussi: 7 ( 14) 21 ou encore: 7 14 21( 5, 2) ( 7) ( 12, 2) s'écrit aussi: 5, 2 ( 7) 12, 2 ou encore: 5, 2 7 12, 2

+ =+ =

− + − = − − + − = − − − = −− + − = − − + − = − − − = −

b) Somme de deux nombres relatifs de signes contraires (écriture simplifiée)

Le signe de la somme est celui du nombre qui a la plus grande partie numérique. La partie numérique de la somme est la DIFFÉRENCE des parties numériques.

( 5) 7 2 ou: 5 7 28 ( 9) ( 1) ou: 8 9 1( 7) 3 ( 4) ou: 7 3 418 ( 13) 5 ou: 18 13 5( 5,7) 1,3 ( 4, 4) ou: 5,7 1,3 4, 43,1 ( 0,32) 2,78 ou: 3,1 0,32 2,78

− + = − + =+ − = − − = −− + = − − + = −+ − = − =

− + = − − + = −+ − = − =

c) Nombres opposés Deux nombres sont dits « opposés » si leur somme est égale à 0. Les points qui les représentent sur la droite graduée sont symétriques par rapport à l’origine O.

5 et 5 sont opposés car: 5 5 0

0,3 et - 0,3 sont opposés car: 0,3 ( 0,3) 0− − + =

+ − =

Deux nombres opposés ont la même partie numérique et des signes contraires.

d) Somme de plusieurs nombres relatifs La somme de plusieurs nombres relatifs se calcule comme la somme de plusieurs nombres naturels. On peut grouper les nombres comme l’on veut dans l’ordre que l’on veut. Exemple : 5 ( 4) ( 3) 8 ( 7) 5 4 3 4 3 7 1417 3 15 88 ++ − + − + + − = − − − − −= =− + − = − Remarque : On a simplifié l’écriture en supprimant les parenthèses et en sous-entendant les signes + indiquant l’addition de nombres négatifs. On a indiqué en bleu la somme des nombres positifs et en rouge la somme des nombres négatifs. Bien sûr, on peut grouper les termes autrement !

- Soustraction des nombres décimaux

a) Rappel :

2 est le nombre qu’il faut ajouter à 5 pour trouver 7 7 25− = 5 72+ = d est le nombre qu’il faut ajouter à b pour trouver a. a db− = b ad+ =

5 )5 −− +

b) Recherche : opp(b) signifie opposé du nombre b

c) Conclusion : ( 77 2= −=

3− = + −− =−

(3 )4 4 7−

1 8 1( 48)6 6− = + =− 10 1( 09) 9− = − +− =− − d) Règle générale :

opp( )a ba b− = + Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé e) Exemples :

894

513

1

89

4

3 3 ( )4 4 ( )3 ( ) 3

7 ( ) 70,1 0,

50,011 ( )

50

120,,01 09

− = + =− − = − + =− − = − + =−

−−

−

= + =− = −+ =

−−−

a b b ad+ = a db− = a b opp( )b opp ( ) d+ = 5 7 7 ( ) 52− 2+ = 7 5− = − -7 7( ) 25+ − = − -3 4 7− 7( ) 34 + = − 43− − = − -4 43 7( )− − = −+ 6 41-8 48 61− + = 8(6 )− − = 8 6 18 4+ =

-10 -9 ( 1)9 10−− + = − 910 1( )−− = −− 9 910 1− + = −

On peut éviter d’écrire certains calculs intermédiaires.

f) Notation : On convient d’écrire l’opposé du nombre b. b−

( )a a bb− = + −

7 7 c'est bien l'opposé de 73 ( 3) 3 3 c'est bien l'opposé de 3

b bb b= ⇔ = ⇔= − ⇔

− −− −= − = + = ⇔ −

Remarque : ( ) 0a a a a− + −= =

- Équation : b x a+ = La solution de l’équation : b x a+ = est : x b a= − Exemples :

7 33 ( 7)3 7

4

xxx

x

− + = −= − − −= − +

=

1,3 5

5 1,3

6,3

xx

x

+ = −= − −

= −

Exercice : Je pense à un nombre ; je retranche 38 et je trouve - 45 Quel est ce nombre ? Soit x le nombre cherché. Il est la solution de l’équation :

38 4545 ( 38)45 38

7

xxx

x

− = −= − − −= − +

= −

Le nombre pensé est – 7

- Séquences de calculs

Les règles de calcul du premier chapitre restent valables avec les nombres relatifs. On n’oublie pas qu’on peut sous-entendre certains signes +. a) Exemples :

3 ( 7) ( 3) 19 183 7 3 19 18 (on a simplifié l'écriture)3 3 18 7 19 (on a modifié l'ordre des termes)24 26 (on a groupé les termes)

2

AAAA

A

= + − − − − += − + − += + + − −= −

= −

[ ] [ ]( ) ( )

3 5 ( 4) 6 ( 9)

3 5 4 6 9 (on a simplifié les calculs dans les crochets)3 9 ( 3) (on a effectué les calculs dans les nouvelles parenthèses)3 ( 3) 9 (on a changé l'ordre des termes)0 9

B

BBBB

= − − − + + −

= − + + −

= − + −= + − −= − (on a groupé les deux premiers termes)

9B = −

b) Calculs avec des lettres

7 57 512 0

12

C a bC aC b

C b

= − + − − −= − − + − −= − + −

= − −

aa b

( 3) 5 ( ) 23 5 2

032

58

2

6

D x x xD x x xD x x xD x

D x

= − − + − − − −= + + + − −= + + −= + + −

=

+

+

−

c) Valeurs numériques d’expressions littérales C alculer: ( ) ( ) ( ) sachant que: 7; 3; 4; 8S a b b c c d a b c d= − + + − − = = − = − =

[ ] [ ] [ ]7 ( 3) 3 ( 4) 4 8(7 3) ( 3 4) ( 4 8)10 ( 7) ( 12)10 7 123 12

15

SSSSS

S

= − − + − + − − − −

= + + − − − − −= + − − −= − += +

=

Remarque : Les calculs ont été détaillés (par la position systématique de crochets et de parenthèses). Un élève entraîné peut simplifier les écritures de certains calculs. d) Exercice : On donne :

35

4

abc

= −== −

Calculer :

[ ][ ][ ][ ]

( ) 4

3 5 ( 4) 3 (5 4) 3 1

3 5 ( 4) 3 (5 4) 3 9

3 5 ( 4) 3 (5 4) 3 1

3 5 ( 4) 3 (5 4)

( ) 6

3 93 5 ( 4) 3 5

64 2 4

3 5 ( 4) 3

( )

2

2

b c

a b c

a

=

= −

+ + −

+ +5 4 2

( ) 2

4

1a

a b c

a b c

a b c

a b c

cb

− + + − = − + − = − + =

= − + − − = − + + = − + =

= − − + − = − − − = − − =

= − − − − = − − + = − − =

+ + − = − + − = − == − + − − = −

− +

+ + = + =

−

−

−

− −

−

+ −

−+

= −3 5 ( 4) 3 5 4 8 43 5 ( 4 1) 3 5 4 28 4

4a b c

− − − = − − + = − + == − − + − = − − − −

−= − =− + −

(( )

)aa b c a b

a b c a b ca b

cb c c− +

− −= − +

+ − −

=

=

−

+

+

−

( )a b c a b c+ + = + +

Remarque : Les calculs précédents permettent d’envisager la conclusion suivante :

Cela sera confirmé en classe de 4(

)

ème.

- Distance de deux points sur la droite graduée a) Exemples

I A B xx'0 1 3 6

O x

La distance des points A et B est : Après lecture du schéma : AB 3= Or : B A 3 36x x− = − = Donc : B AAB x x= −

O I

0 1

AB

-2-7

x' x

La distance des points A et B est : Après lecture du schéma : AB 5=

Or : B A

A B

7 ( 2) 7 2 52 ( 7 2 7 5)

x xx x− = − − − = − + = −⎧

⎨ − = − − − = − + =⎩ Donc : A BAB x x= −

O I

0 1

A Bx' x

-5 3 La distance des points A et B est : Après lecture du schéma : AB 8= Or : B A 3 ( 5 8) 3 5x x− = − − = + = Donc : B AAB x x= − b) Cas général La distance AB dépend de la position relative des deux points.

O I

0 1

A Bx' x

xBxA

Si xB est la plus grande abscisse : (B à droite de A) B AAB x x= −

O I

0 1

ABx' x

xAxB

Si xA est la plus grande abscisse : (A à droite de B) A BAB x x= −

Exercices 1 LES NOMBRES RELATIFS

- Représente les nombres relatifs suivants sur la droite graduée ci-dessous : 7 ; -4 ; -6,9 ; 5,2 ; -1 ;-3,2 ; 3

- Ordonne les nombres relatifs suivants, dans l’ordre croissant :

-3 ; -2,9 ; -3,4 ; -3,41 ; -2,56 ; -3,04 ; -2,5 ; -2,99 ; -3,38

............................................................................................................................................................................................................................................ - Calcule les sommes suivantes :

15 273 8

0 1 0 011 2 3

1 2 3

+ =− + =

+ =+ + =− + + =

, ,

( )

− + =− + − =

+ − =+ − + =− + − + =

15 273 8

0 1 0 011 2 3

1 2 3

( ), ( , )

( )( ) ( )

15 273 8

0 1 0 011 2 3

1 2 3

+ − =+ − =− + −+ − + − =− + + − =

( )( )

( , ) ( , )( ) ( )

( ) ( )

=

( ) ( )

, ,( )

( ) ( ) ( )

− + − =+ =

− + =+ + − =− + − + − =

15 273 8

0 1 0 011 2 3

1 2 3

- Calcule les différences suivantes :

8 33 82 99 251 3 40 1 0 01

− =− =− =− =− − =− =

, ( , ), ,

8 33 8

9 251 3 4

2 90 1 0 01

− − =− − =− − =− =

− − =− − =

( )

( ), ,

( ), ( , )

− − =− − =

− − − =− − − =− − −− − =

8 33 8

2 99 251 3 40 1 0 01

( )( )( )

, ( , ), ,

==

− − − =− − − =− − =

− − =− − =− − −

8 33 8

2 99 25 1 3 40 1 0 01

( )( ) ( )

( )

, ,, ( , )

- Écris les expressions ci-dessous avec un minimum de parenthèses. Calcule ensuite les nombres que ces expressions représentent. ....................................................... ( )( ) ( )+ + − =3 8 ( )+ − − =19 8 ......................................................................... ....................................................... ( ) ( )− + − =9 5 ( ) ( )− − + =7 13 .........................................................................

- Calcule les sommes suivantes :

8 3 5 7 9 13− − + − + + − =( ) ( ) .................................................................................................................................................................... 12 19 4 9 12 24− − − − − + =( ) ..................................................................................................................................................................

[− − − − − =1 1 1( )] ............................................................................................................................................................................................. ( ) ( ) ( )1 2 2 3 3 4− − − − − = ......................................................................................................................................................................... ( ) ( ) ( ) ( )2 5 8 17 3 21 6 7− + − − − − + − = .......................................................................................................................................... 1 13 7 3 15 9− + + − − − =( ) ( )

).....................................................................................................................................................................

[ ]− + − − + − − − − − − =17 25 1 6 15 3 1 6( ) ( .................................................................................................................................

Exercices 2 REPÉRAGE DANS LE PLAN

Deux axes (x’x) et (y’y) sont perpendiculaires en un point O appelé origine et sont munis des repères (O ;I) et (O ;J).

Tout point du plan peut être repéré par un couple de coordonnées : • son abscisse (mesurée sur (x’x)) • son ordonnée (mesurée sur (y’y))

Exemple : le point A est repéré par le couple de coordonnées (3 ;5)

• son abscisse est : xA = 3 • son ordonnée est : yA = 5

Dans le plan repéré ci-dessous, construis les quadrilatères suivants : ABCD tel que : A(3 ;5) B(-1 ;4) C(-2 ;3) D(2 ;1) EFGH tel que : E(-xA ;yA) F(-xB ;yB) G(-xC ;yC) H(-xD ;yD) KLMN tel que : K(-xA ;-yA) L(-xB ;-yB) M(-xC ;-yC) N(-xD ;-yD) PQRS tel que : P(xA+4 ;yA-6) Q(xB+4; yB-6) R(xC+4; yC-6) S(xD+4; yD-6)

Que peux-tu dire des quadrilatères ABCD et EFGH ?

............................................................................................................................................................................................................................... Que peux-tu dire des quadrilatères ABCD et KLMN ?

............................................................................................................................................................................................................................... Que peux-tu dire des quadrilatères ABCD et PQRS ?

...............................................................................................................................................................................................................................

Exercices 3 LES NOMBRES RELATIFS

- On donne l’expression : A 5 x= − −

Calcule les différentes valeurs de A quand x vaut : 5 ; -5 ; -7 ; -2,5. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Parmi ces quatre valeurs de x, quelles sont celles qui sont solutions de l’inéquation : ? 5 0x− − ≥ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

- A,B,C,D sont situés sur la même droite graduée (x’x). On sait que : A B C D45 12 67 1,7x x x x= = − = − = Un schéma est-il indispensable ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Calcule les distances AB, AC, BC, BD, AD, CD. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

- Sur une droite graduée (x’x), on considère les points A, B, C tels que : B C1045 772 496Ax x x= − = − = − Quelle est la plus grande distance : AB ou BC ? …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

- Calcule l’abscisse du point C (xC) pour que B soit le milieu de [AC].

x' xO B IA

-2,7 0,40 1

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Devoir 1 la calculatrice n'est pas autorisée

- Calcule les nombres suivants :

37 28 12 37 28 123 ( 2,8) 6,5 15 ( 8 1) (1 19)

8 ( 9 7) ( 6 4 13) ( 15)

= − + − + − −= − − − − −= − − − + − −= + − − − − + − − −

ABCD

- Calcule les expressions suivantes sachant que : 4 ; 7 ; 9 ; 3= − = = − =c d

)

a b

( )( ) (

= − − −= − + += + − − − −

E a b c dF a b c dG a b c c d a

- Résous les équations suivantes : 1,7 2, 4− = −x 5, 4 3,8− = −x - Dans un plan muni d’un repère (O,I,J), construis les points :

A(4 ;3) B(-2 ;4) C(-4 ;-2) D(2 ;-3)

Quelles sont les coordonnées du point d’intersection des diagonales du quadrilatère ABCD ?

Devoir 2

- Calcule les sommes et différences suivantes: A = -3 + (-7) B = 5 + (-9) C = -3 + 12 D = -9,3 + 9,2 E = 8 - 13 F = -7 - (-7) G = -48 - 72 H = -3,4 - (-2,9)

- Calcule les nombres suivants:

)15()1346()79(8M)191()18(5L

15,6)8,2(3K

−−−+−−−−+=−−+−−−=−−−−−=

- Colorie d'une même couleur les cases représentant des nombres égaux: 4,55,4 − 7,99,7 − 9,88,9 −

)2,4(4,2 −−− 5,66,5 +− 5,77,5 −

8,01−− 9,27,3 +− )2,1(9,3 −+

- Calcule les expressions suivantes sachant que : a = – 1 ; b = – 3 ; c = 5 ; d = – 9 :

N = a – ( b + c) – d P = (a – b) – (d – a + b)

LES NOMBRES RELATIFS

- Afin de départager les clubs de football se trouvant à égalité de points, on a recours au « goal-average ». C’est un nombre relatif qui exprime la différence entre le nombre de buts « pour » et le nombre de buts « contre ». Exprime le goal-average de chacune des équipes suivantes :

Auxerre Nantes Paris Lille Le Havre

Monaco

Buts pour 18 21 16 16 23 19 Buts contre 13 22 19 14 27 19

goal-average +5 -1 -3 +2 -4 0 Classe les équipes selon leur goal-average : 1ère : Auxerre 2ème : Lille 3ème :Monaco 4ème : Nantes 5ème : Paris 6ème : Le Havre

- On a relevé les températures pendant 10 jours consécutifs : tA = +2°C tB = -1°C tC = -5°C tD = -6,5°C tE = -2°C tF = 0°C tG = -3°C tH = +4°C tI = +9°C tJ = +8°C Représente ces valeurs sur l’axe des températures ci-dessous :

ABCD E FG H IJ

-1-2-3-5-6,5

Classe ces températures dans l’ordre croissant :

6,5 5 3 2 1 0< < < < < < +− − − 2 8 94− < <+ + < +−

+8 ; -3 ; +2 ; 0 ; -5 ; +4 ; +1 ; -2 ; +3 ; -5

- Amélie a obtenu les notes suivantes : 18 ; 7 ; 12 ; 10 ; 5 ; 14 ; 11 ; 8 ; 13 ; 5.

Pour indiquer les écarts à la moyenne, Amélie décide de les noter :

Complète la représentation statistique :

Les notes d’Amélie

+2 +4 +8 +9

0

+2

+4

+6

+8

−2

−4

−6

−8

+10

−10

*

Trouve un moyen utilisant les notes relatives d’Amélie pour calculer sa moyenne : ( 8) ( 3) ( 2) 0 ( 5) ( 4) ( 1) ( 2) ( 3) ( 5) 3+ + − + + + + − + + + + + − + + + − = +

Soit 3 points au dessus de 10 pour 10 notes donc 0,3 point au-dessus de 10 pour la moyenne : 10,3

Exercices 1 LES NOMBRES RELATIFS

- Représente les nombres relatifs suivants sur la droite graduée ci-dessous : 7 ; -4 ; -6,9 ; 5,2 ; -1 ;-3,2 ; 3

-6,9 -4 -3,2 -1 3 5,2 7

- Ordonne les nombres relatifs suivants, dans l’ordre croissant : -3 ; -2,9 ; -3,4 ; -3,41 ; -2,56 ; -3,04 ; -2,5 ; -2,99 ; -3,38

3,41 3,4 3,38 3,04 3 2,99 2,9 2,56 2,5− < − < − < − < − < − < − < − < − - Calcule les sommes suivantes :

15 273 8

0,1 0

425

0,11,011 2 3( )

62 3 41

+ =− + =

+ =+ + =− + + =

15 273 ( 8)

0,1 ( 0,01

1211

0,09)1 ( 2) 3( 1) ( 2

2) 03

− + =− + − =

+ − =+ − + =− + − + =

−15 ( 27)3 ( 8)( 0,1) ( 0,01)1 ( 2)

125

0,11( 3)

( 1) 2 ( 3 2)4

+ − =+ − =− + − =+ − + − =− + + −

−−

−=

−

−

( 15) ( 27)3 8

0,1 0,011 2 ( 3)( 1) (

4211

0,0

2) (

9

630

)

−

−

− + − =+ =

− + =+ + − =− − + − = −+

- Calcule les différences suivantes :

8 33 82 99 25,1 ( 3,4)0,1 0

557

78,5

0,0 ,1 09

− =− =− =− =− − =− =

−−

8 ( 3)3 8

9 ( 2)5,1 3,4( 2)

1111

90,1 ( 0,01

111,711

0, 1) 1

− − =− − =− − =− =

− −− − =

−=

−8 3

3 ( 8)2 ( 9)9 ( 2)5,1 ( 3,4)0,1 0

1111

77

1,70,101 1,

− − =− − =

− − − =− − − =− − − =− − =

−

−−

−

55

11

8 ( 3)( 3) ( 8)2 ( 9)

9 25,1 3,40,1 ( 0,0

118,5) 91 0,0

− − − =− − − =− − =

− − =− − =− − − =

−

−−

− - Écris les expressions ci-dessous avec un minimum de parenthèses. Calcule ensuite les nombres que ces expressions représentent. ( 3) ( 8) 3 8 5−+ − = = −+ ( 19) ( 8 19 ( 8) 19 8 27) − − == +− =+ − 9 5( 9) ( 5 1) 4− + − = − − = − ( 7) ( 1 7 133) 20− − + = − − = −

- Calcule les sommes suivantes :

8 ( 3) 5 7 9 ( 13 8 3 5 7 9 13 8 3 5 9 7 13 25 2 5) 0+ + − +− − + − + + −− = = + + + − − = − = 12 19 4 9 12 24 12 12 24 19 4 9 4812 19 4 9 ( 12) 24 32 16− − − + + =− − − − + + − − − = −= =− +

[ ] ( )1 1 ( 1 1 1 1 01) 1− − − + = − −− − − − = = −−

( ) ( ) ( )(1 2) (2 3) (3 4) 1 1 1 1 1 1− − − − − = − − − − − = − + + =1

( ) ( ) ( ) ( )(2 5) (8 17) ( 3 21) (6 3 9 24 1 3 9 247) 1 11− + − − − − + − = − + − − − + − = − − + − =

( ) ( )1 13 5 9 11 1 133 (7 3 15) ( 5 9 1 9 13 10) 5 189 − + − − − = − − + = + − − =− + + − − −− = −= 8

[ ] ( ) ( )1717 25 1 6 ( 15 3) ( 1 6 25 1 6 18 7 17 25 23 7 8) − +− + − − + − − − − − − + + − − = − + −= +− = −−

Exercices 2 REPÉRAGE DANS LE PLAN

Deux axes (x’x) et (y’y) sont perpendiculaires en un point O appelé origine et sont munis des repères (O ;I) et (O ;J).

Tout point du plan peut être repéré par un couple de coordonnées : • son abscisse (mesurée sur (x’x)) • son ordonnée (mesurée sur (y’y))

Exemple : le point A est repéré par le couple de coordonnées (3 ;5)

• son abscisse est : xA = 3 • son ordonnée est : yA = 5

Dans le plan repéré ci-dessous, construis les quadrilatères suivants : ABCD tel que : A(3 ;5) B(-1 ;4) C(-2 ;3) D(2 ;1) EFGH tel que : E(-xA ;yA) F(-xB ;yB) G(-xC ;yC) H(-xD ;yD) KLMN tel que : K(-xA ;-yA) L(-xB ;-yB) M(-xC ;-yC) N(-xD ;-yD) PQRS tel que : P(xA+4 ;yA-6) Q(xB+4; yB-6) R(xC+4; yC-6) S(xD+4; yD-6)

D

C

B

E

H

G

F

M

N

K

L

P

S

Q

R

Que peux-tu dire des quadrilatères ABCD et EFGH ?

Ils sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées (y’y). Que peux-tu dire des quadrilatères ABCD et KLMN ?

Ils sont symétriques par rapport à l’origine O. Que peux-tu dire des quadrilatères ABCD et PQRS ?

Ils correspondent par un glissement (appelé translation)de A vers P ou de B vers Q…

Exercices 3 LES NOMBRES RELATIFS

- On donne l’expression : A 5 x= − −

Calcule les différentes valeurs de A quand x vaut : 5 ; -5 ; -7 ; -2,5. Si x = 5 alors A 5 5 1= − − = − 0 Si x = - 5 alors ( )A 5 5 5 5= − − − = − + = 0 Si x = - 7 alors ( )A 5 7 5 7= − − − = − + = 2

Si x = - 2,5 alors ( )A 5 2,5 5 2,5 2,5= − − − = − + = − Parmi ces quatre valeurs de x, quelles sont celles qui sont solutions de l’inéquation : ? 5 0x− − ≥ Les valeurs de (c’est à dire de A) doivent être supérieures ou égales à 0. 5 x− −

C’est le cas pour x = - 5 et pour x = - 7 -5 et -7 sont deux solutions de l’inéquation.

- A,B,C,D sont situés sur la même droite graduée (x’x). On sait que : A B C D45 12 67 1,7x x x x= = − = − = Un schéma est-il indispensable ? C B AD

-67 -12 1,7 45Un schéma approximatif (en mettant bien les points dans l’ordre) est suffisant :

Calcule les distances AB, AC, BC, BD, AD, CD. ( )A BAB x x 45 12 45 12 57= − = − − = + = ( )A CAC x x 45 67 45 67 112= − = − − = + = ( )B CBC x x 12 67 12 67 55= − = − − − = − + = ( )D BBD x x 1,7 12 1,7 12 13,7= − = − − = + = A DAD x x 45 1,7 43,3= − = − = ( )D CCD x x 1,7 67 1,7 67 68,7= − = − − = + =

- Sur une droite graduée (x’x), on considère les points A, B, C tels que : B C1045 772 496Ax x x= − = − = − CBA

-1045 -772 -496 Quelle est la plus grande distance : AB ou BC ?

( )( )

B A

C B

AB x x 772 1045 772 1045 273AB BC

BC x x 496 772 496 772 276

⎫= − = − − − = − + = ⎪ >⎬= − = − − − = − + = ⎪⎭

- Calcule l’abscisse du point C (xC) pour que B soit le milieu de [AC].

x' xO B IA

-2,7 0,40 1

C

xC

Si B est le milieu de [AC], c’est que : AB = BC :

( ) C

C BC

C B CC

x 0,4 3,AB x x 0,4 2,7 0,4 2,7 3,1

x 3,1 0,BC x x x 0,4

x 3,5

14

− == − = − − = + = ⎫⎪⇒ = +⎬= − = − ⎪⎭ =