1 nombres relatifs : addition et soustraction

Mathématiques Travaux dirigés 4ème

1 Nombres relatifs : addition et soustractionExercice 1.1 Effectuer les calculs ci-dessous :

a (−5) + (−3)

b (−5) + (+2)c (−5) + (−3)

d (+3) + (−7)e (−3) + (−3)

f (+5) − (+3)g (−3) − (−3)

h (−7) − (+13)i (+2) + (−5)j (−3) − (−4)

k (−5) − (+2)

l (+2) − (−7)

m (−6) + (−2)

n (+7) − (+2)

Exercice 1.2 Recopier et complèter le tableau suivant :

a b a + b b − a

6 3−2 19 −3

−15 −5−6 −3−4 8

Exercice 1.3 Effectuer les calculs suivants.a (+3) + (−5) + (+1) + (−1)

b (−2) + (−4) + (+6) + (−1) + (+7)c (+7) + (−2) + (−4) + (+3)

d (−2) + (+1) + (+4) + (−3)

Exercice 1.4 Pour chaque expression, quatre formes simplifiées sont proposées mais une seule est exacte.Donner la forme correcte et effectuer le calcul de l’expression.

1 (+2) − (+8) − (−4) + (−3) :

a 2 − 8 − 4 − 3

b 2 + 8 + 4 + 3

c 2 − 8 − 4 + 3

d 2 − 8 + 4 − 3

2 (−7) − (−3) + (+5) − (+4) :

a 7 + 3 + 5 − 4

b −7 − 3 + 5 − 4

c −7 − 3 + 5 − 4

d −7 + 3 + 5 − 4

Exercice 1.5 Effectuer les calculs suivants :

a 2 − 7 + 5 − 4 − 9

b 2 + 3 − (5 − 9)

c −2 + 9 − (3 + 7)

d (3 + 2) + [3 − (4 − 7)] − 2.


/14 https://thibaultpautrel.fr

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a −2 − 3 + (−5 + 2)

b 2 − (5 − 2 − 4) + 1

c 2 − 4 − 9 + 4 + 7

d (7 − 12) − (5 − 12 + 8)


a 2 − [5 + (−7 + 2)] b −(−5 + 2) + [(−8 + 3) − 7]




2 Triangles isométriquesExercice 2.1 Réaliser, à partir du segment [DE], quatre triangles différents égaux au triangle ABC.

Exercice 2.2 Sur la figure ci-contre, les points A, B et L sont alignés et AB = KB.

a Les triangles ABC et BKL sont-ils égaux ?

b Donner une longueur égale à AC.c Donner une longueur égale à BC.

d Donner un angle de même mesure que ACB.

Exercice 2.3 Ces triangles tracés à main levée sont-ils égaux ? Justifier.

Exercice 2.4 Le triangle ABD est isocèle en D et I est le milieu de [AB]. On place deux points E et F telsque AE = BF .Les triangles AEI et BFI sont-ils égaux ? Justifier.

Exercice 2.5 Démontrer que les triangles ABC et DEF sont superposables.

Exercice 2.6 Soit la figure ci-contre, pour laquelle [AB] et [CD] sont deux diamètres d’un cercle de centreO.

Exercice 2.7 Soit ABC un triangle. La demi-droite [AI) est la bissectrice de l’angle BAC. Soient M et Nles points de [AI) tels que AM = AB et AN = AC.




a Démontrer que les triangles OAC etOBD sont isométriques.

b Qu’en déduit-on pour les segments[AC] et [BD] ?

a Justifier que les triangles ABN etAMC sont égaux.

b Quelles propriétés peut-on déduire decette égalité ?

Exercice 2.8 Soit ABCD un parallélogramme de centre O. On construit deux droites (D) et (D′) orthogo-nales en O. La droite (D) coupe le côté [AB] du parallélogramme en I, le côté [CD] en K. La droite (D′)coupe le côté [AD] en L et le côté [BC] en J.

a Faire une figure.

b Démontrer que les triangles OAI et OCK sont isométriques.c Démontrez que les triangles OAL et OCJ sont isométriques.

d Justifier les égalités suivantes :IO = OK et OJ = OL.

e En déduire que IJKL est un losange.

Exercice 2.9 Soit ABCD un parallélogramme. Prouver que les triangles ABC et ACD sont superposables.

3 Statistiques IExercice 3.1 Dans le tableau ci-dessous, des données statistiques ont été représentées :

6ème 5ème 4ème 3ème TotalDemi-pensionnaires 84 85 72 37 . . .

Externes 81 65 48 68 . . .

a Quelle est la population étudiée ?

b Quels sont les caractères étudiés ?




c Compléter la colonne Total des effectifs pour chaque caractères. Quel est l’effectif total de la popula-tion ?

Exercice 3.2 Le professeur de mathématiques à relevé les notes suivantes au dernier contrôle :

Note 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Effectif 2 3 1 4 5 3 3 6 2 1

a Donner la population étudiée ainsi que le caractère étudié.

b Quel est l’effectif total ?c Donner les fréquences associées aux caractères.

d Représenter les données de cette série statistiques avec un diagramme en bâtons.

Exercice 3.3 On a mesuré la taille en centimètres des élèves d’une classe. Comme les données sont nom-breuses, on les a regroupées en classes d’amplitude 5 cm.

Taille (cm) [130; 135[ [135; 140[ [140; 145[ [145; 150[ [150; 155[ [155; 160[Effectifs 2 10 6 4 2 6

Réaliser un histogramme pour représenter graphiquement cette série statistique.

Exercice 3.4 Voici la répartition de 100 élèves de 4ème d’un collège selon leur choix de seconde languevivante :

LV2 Allemand Espagnol Italien Anglais TotalEffectif 15 50 10 25 100Angle 360

a Compléter les cases du tableau laissées blanches. On pourra s’appuyer sur la proportionnalité.

b Représenter le diagramme circulaire associé.

Exercice 3.5 Une crèche accueille 70 enfants. Pour une journée de crèche, le prix varie entre 4 euros et. 24euros selon le revenu. Voici le tableau des effectifs résumant les sommes perçues par la crèche lors d’unejournée :

Prix (euros) [4; 8[ [8; 12[ [12; 16[ [16; 20[ [20; 24[Nombre de familles 6 16 24 20 4

Tracer l’histogramme associé à ce tableau des effectifs.




Exercice 3.6 Voici les moyens de transport d’élèves d’une classe pour venir au collège.

Moyen de transport A pied Bus 2 roues VoitureEffectif 10 3 12 5

Représenter ces données par un diagramme circulaire (choisir un cercle de rayon 5 cm).

Exercice 3.7 On s’intéresse au poids des élèves de quatrième. Les résultats de l’enquête donnent leur poids(kg) :

42, 43, 38, 37, 41, 45, 43, 40, 48, 53, 37, 39, 42, 41, 42, 45, 51, 56, 44, 36, 36, 55, 48, 43, 39, 41, 42, 40, 39, 57.

On décide de regrouper ces poids dans des classes d’amplitude 4 kg.a Compléter le tableau suivant :

Poids (kg) 36 ≤ p < 40 40 ≤ p < 44 44 ≤ p < 48 48 ≤ p < 52 52 ≤ p < 56 56 ≤ p < 60Effectifs

b Représenter l’histogramme correspondant.




4 PuissancesExercice 4.1 Donner l’écriture mathématique des nombres suivants ainsi que le calcul final.

a La puissance du nombre 5 à l’exposant 4.

b La puissance du nombre 4 à l’exposant 9.

Exercice 4.2 Compléter les pointillés :a Un millier s’écrit 1000 ou encore 10....

b Un million s’écrit 1 000 000 ou encore 10....c Un milliard s’écrit 1 000 000 000 ou encore 10....

Exercice 4.3a Prouver l’égalité 54 × 52 = 56.

b Donner la valeur sous forme simple des expressions suivantes :

(−2)3 ; (−2)4 ; (−1)100.

c Simplifier les expressions suivantes :

C = 72 × 75 ; D = 53 × 53 ; E = 34 × 37.

Exercice 4.4 Simplifier les expressions suivantes :

a 35 × 38 b 68 × 64 c 75 × 79 d 52 × 513.

Exercice 4.5a Justifier l’égalité suivante :

(2 × 3)4 = 24 × 34.

b Développer les expressions suivantes :

J = (3 × 5)3 ; K = (2 × 7)5 ; L = (2 × 5)4.


a 35 × 25 b 32 × 52 c 43 × 53

Exercice 4.7a En simplifiant le quotient, justifier l’égalité :

78

73 = 75.

b Simplifier les fractions suivantes :

F = 25

22 ; G = 78

711 ; H = 52 × 510

59 .





a 710

76

b 67

64

c 128

124

d 1315

137

e 35

32

f 83

82

g 45

46

h 92

9

Exercice 4.9a Justifier l’égalité

I = (23)4 = 212.

b Développer les expressions suivantes :

J = (32)5 ; K = (54)3 ; L = (73)3.

c Simplifier les expressions suivantes :

54 × 57 ; 68

65 ; (25)3.

Exercice 4.10 Simplifier l’écriture des expressions suivantes :

a 105 × 108

b 102 × 107

c 1014 × 1021

d 103 × 1012 × 104

e (102)3

f (104)2

g (103)3

h (104)6

Exercice 4.11 Simplifiier l’écriture des expressions suivantes :

a 105

102 b 1012

106 c 107

104 d 1021

1014


a 10−5 × 107

b 10−2 × 10−2

c 10−3 × 105

d 105

10−3

e 10−2

105

f 105 × 10−8 × 102

g 102 × 10−1 × 10−2

h 10−7

10−7


a 10×10−4

10−8

b 105×10−4

10−3

c 10−12×108

104

d 102×10−9

10−4

e 10−3 × (105 × 10−3)2

f (2 × 105) × (5 × 103)

Exercice 4.14 Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

a 0, 0045 × 106

b 251, 37 × 10−11

c 0, 031 × 10−7

d 312 × 105

e 0, 00219 × 106

f 39, 78 × 1015

g 56, 8 × 102

h 123, 45 × 10−4




5 Théorème de PythagoreExercice 5.1 Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses :

a Le carré du nombre 5 est 10.

b La racine carrée du nombre 3 est 9.c Le nombre 25 a pour racine carrée 5.

d La racine carrée du nombre 1000 a pour valeur 100.

Exercice 5.2 Compléter les affirmations ci-dessous :a La racine carrée du nombre 81 est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

b Le nombre 4 est la racine carrée du nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .c La racine carrée du nombre 0 a pour valeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d Le carré du nombre 3 a pour racine carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 5.3 On considère un triangle ABC rectangle en C et vérifiant :

CA = 6 m , CB = 1, 1 m.

Compléter le raisonnement suivant :Je sais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J’utilise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .J’en déduis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Exercice 5.4 Dans chacun des triangles ci-dessous, déterminer la longueur inconnue.

Exercice 5.5 On considère le triangle DEF rectangle en E tel que

DE = 6 cm ; EF = 6, 3 cm.

Déterminer la mesure du côté [DF ].




Exercice 5.6 On considère le triangle ABC rectangle en C tel que

AB = 13 cm ; AC = 6, 6 cm.

Déterminer la mesure du segment [BC].

Exercice 5.7 On considère le triangle ABC rectangle en C tel que

AB = 26 m ; BC = 24 m.

Déterminer la mesure du segment [AC].

Exercice 5.8 On considère le triangle ABC rectangle en A représenté ci-dessous tel que

AB = 7, 2 cm ; BC = 9 cm.

Déterminer la longueur du côté [AC].

Exercice 5.9 A la suite d’une tornade, un poteau en bois s’est brisé. Ci-dessous est représenté ce poteaubrisé. Déterminer la hauteur du poteau avant la tornade.

Exercice 5.10 Soit ABC un triangle équilatéral. Soit H le pied de la hauteur issue de A portée sur le côté[BC].

a Que dire de la distance BH ?

b Calculer la longueur AH.




6 Nombres relatifs : multiplication, division et priorités

Rappels sur addition et soustraction

Exercice 6.1 Effectuer les calculs suivants.

a (+5) − (+3)

b (−3) − (−3)

c (+2) − (−7)

d (−6) + (−2)

e (−7) + (−2) + (+4) + (−1)

f (+5) + (−4) − (+7)


a (+2) + (−4) − (+8) + (+1) − (−7)

b (+7) − (−1) − (−5) + (+3) + (−4)

c (−5) + (+2) − (−4) − (+7) − (−1)

d (−7) − (−2) + (−3) − (+1)


a 3 − (5 − 8)

b −[3 − (9 − 2 × 10)]

c 2 + (−3 − 8) − (2 × 3 − 9)

d 5 − [4 − (9 − 12)]

Multiplications


a +3 × (+7)

b (+10) × (−4)

c (−5) × (+7)

d +7 × (+9)

e 3 × (−8)

f (−4) × (+9)

Exercice 6.5 Effectuer les produits suivants :

a (−2) × 3 b (−4) × (−3) c (+8) × (−3)

Exercice 6.6 Donner le signe de chacun des calculs suivants :

a (−1) × (−1) × (−1)

b (−2) × (−2) × (−2) × (−2) × (−2)

c (−1) × (−2) × (−3) × (−4)

d (−1) × (−2) × (−3) × (−4) × (−5)

Exercice 6.7 Effectuer les produits suivants :

a −3 × (−2) × 5 × (−3) b 2 × (−8) × (−3) c (−4) × 5 × 2

Exercice 6.8 Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausse ?a La somme d’un entier relatif positif avec un entier relatif négatif est toujours positive.

b Le produit de 58 nombres négatifs est négatif.c La somme de 58 nombres négatifs est négatif.

Exercice 6.9 Calculer

a −5 + 2 × (−3)

b −3 + 5 × (−2)c (−6) × (−2) − 5

d 4 × (−5) − 5e 3 − 2 × 5f (−4) × (−5) + 2

g −2 × 3 − 3

h 5 − (−3) × (+4) − 1




Exercice 6.10 Certains nombres des égalités ci-dessous ont été cachés. Trouver les nombres manquants.

a (−2) × � = 36

b � × 2 + 3 = −19

c (−7) × � = −14

d � × 2 − 7 × (−2) = −2.

Exercice 6.11 On donne le programme de calcul suivant :

Etape 1 Choisir un nombre.

Etape 2 Lui ajouter 1.

Etape 3 Élever le résultat au carré.

Etape 4 Soustraire le carré du nombre de départ.

a Montrer que lorsque l’on choisit le nombre 2 au départ, on obtient le nombre 5 au final.

b Quel résultat obtient-on lorsqu’on choisit au départ le nombre −3 ?

Exercice 6.12 Calculer :

a 15 − [8 + 3 × (−2)]

b (8 − 15) × [−12 − (−2) × 5]

c [2 × (−4) − 5 × 3] × 2

d 5 − (−2 − 3)


a (−2 × 4)2 b −(−2)3 c −[3 × (−2)2] d [3 × (−2)]2


a (−8 + 2 × 3)2 b [(5 − 9)2 − 32]2 c −[2 − (−3)3]2 d −[1 − (−3)2]3

Exercice 6.15 Ecrire les fractions sous leurs formes simplifiées :

a −5−8 b −3

+2 c 5−7 d 2

−1

Exercice 6.16 Simplifier les fractions.

a −62

b 156

c −4−16

d 21−14

e −35

f −150−100

Exercice 6.17 Effectuer les calculs suivants et donner les résultats sous forme simplifiée :

a 5×2−75−8

b 3×(−2)+43−32

c 5−2×35×6

d 2−[5−3×(2−4)]2−15÷5

e 3×2−52−2×2

f −3×(−2)+45−3×2




7 ProportionnalitéExercice 7.1 Déterminer la valeur du coefficient permettant de passer de la première ligne du tableau à laseconde.

Exercice 7.2 Déterminer la valeur de la quatrième proportionnelle de chacun des tableaux de proportion-nalité suivants :

Exercice 7.3 Déterminer sans calculatrice la quatrième proportionnelle manquante à l’aide du produit encroix pour chaque tableau suivant :

Exercice 7.4 Le 30 juillet 2013, un euro valait 1,3256 dollars.a Un ordinateur coûte 450 dollars. Quel est son prix en euro ? (On arrondira à la valeur approchée au

centième).

b Un touriste se rend aux Etats-Unis avec la somme de 2000 euros.Après avoir changé son argent en dollar, quel sera le montant des dollars obtenus ?

Exercice 7.5 Sur un troupeau de 72 moutons, 18 moutons présentent les signes d’une maladie.Quel pourcentage du troupeau est touché par cette maladie ?

Exercice 7.6 Un automobiliste doit effectuer le trajet Paris-Marseille. Ces deux villes sont séparées de 663km?En prenant l’autoroute, il estime la consommation de son véhicule à 9,5 litres d’essence pour 100 km.Quel sera la consommation de sa voiture pour ce trajet ?

Sachant qu’un litre d’essence coûte 1,70 euros, combien le conducteur va-t-il payer pour son trajet ?




Exercice 7.7 Un professeur de maths corrige 4 copies en 22 minutes. Combien de temps, en gardant cetteallure, lui faudra-t-il pour corriger une classe de 26 élèves ?

Exercice 7.8 Donner le pourcentage associé à chacun des coefficients de proportionnalité ci-dessous :

a 12

b 14

c 15

d 110 .

Exercice 7.9 Ci-dessous sont données une somme et une partie de cette somme.Quelle situation représente la plus grande part en pourcentage relativement à la somme de référence ?

a 6 euros de 60 euros

b 6 euros de 15 euros

c 11 euros de 44 euros

d 42 euros de 120 euros

Exercice 7.10 Donner le coefficient de proportionnalité associé à chacun des pourcentages ci-dessous sousla forme d’une fraction simplifiée :

a 75%

b 12%

c 30%

d 5%

Exercice 7.11 Un magasin propose des soldes de 20% sur tous ses articles. Un pull coûtait 45 euros.Quel est désormais son nouveau prix ?

Exercice 7.12 Dans une classe de 24 élèves, 6 élèves pratiquent régulièrement le football. Quel est le pour-centage d’élèves dans cette classe pratiquant ce sport ?



1 nombres relatifs : addition et soustraction

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