NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 3-a

Méthode des éléments finis 1D

• Notion d’affaiblissement : formes forte et faible• Approximation par éléments finis• Traitement des conditions aux limites• Résolution

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Étude comparative :différences finies et éléments finis

Différences finies (rappels)

•Équation d’équilibre + C. aux L.

•Obtention de l’équation discrète •Formules « toutes faites » •Idem pour les C. aux L.

•Construction du système

•Générer le maillage du domaine•Nœuds équidistants

•Résolution du système

•Post-traitement

Éléments finis

= Forme FORTE

•Obtention forme faible intégrale

•Maillage•Nœuds•Éléments (connectivité)

•Discrétisation de la forme intégrale sur chaque élément(matrice et vecteur élémentaires)

= Assemblage

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Formes forte et faibleParticularité de la méthode des éléments finis (MEF) :

Discrétiser, non pas la relation d’équilibre, mais une forme « affaiblie » de cette équation.

affaiblir pour réduire certaines contraintes mathématiques (discontinuités …) empêchant l'utilisation d'outils classiques pour sa résolution.

Motivation :

Vocabulaire : cette forme est appelée sous des noms divers: Forme faibleForme intégraleForme variationnelle …

la solution d’une forme faible correspond à une solution approchée ou « faible » en termes de continuité.

Conséquence :

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Illustration du principe d’affaiblissement

Solution « forte » : traits pleins noirs Solution « faible » : traits pointillés rouges

Discontinuité sur la dérivée exacteContinuité sur la dérivée « affaiblie »

Avec affaiblissement : dérivées ordre 1 et 2 sont désormais continues et donc discrétisables et intégrables !

Continuité sur la forme « affaiblie » Continuité sur la

forme « affaiblie »

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Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés

Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par :( )

{ [ ]2

2 0, 0,cstt

d T xk f x Ldx

+ = ∀ ∈

( 0) 30T x = =

( ) ( )( )( ) extdTq L k L h T L Tdx

= − = −

Définition : nous appelons résidu (noté Res), l’expression mathématique de la forme forte du problème étudié.

Soit, dans notre cas :

Ce résidu s’annule quand T(x) est solution.

( ) ( )2

2Red T x

s T k fdx

= +

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Méthode des résidus pondérés

1. Pondération du résidu par une fonction-test

2. Intégration sur le domaine

3. Intégration par parties

4. Introduction des conditions aux limites

Méthode générale :

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Application : équation de la chaleur en 1D

1. Pondération du résidu par une fonction-test :

( ) ( ) [ ] ( )2

2 0, 0, ,x xd T xk f x Ldx

ψ ψ

× ∀+ = ∀ ∈ 1442443

fonction - test

résidu

2. Intégration sur le domaine

( ) ( ) [ ] ( )2

02 0, 0, ,

L d T xW x k f x L x

dxdxψ ψ

= × + = ∀ ∈ ∀

∫

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ] ( )0 00

0

0, ,

L LL d x dT x dT xx k dx x k

dxW x f dx

x L

dx dx

x

ψψ ψ

ψ

= + =

∀ ∈

− +

∀

∫ ∫

3. Intégration par parties :

Avantages : 1. Réduction de l’ordre maximum des dérivées présentes2. Introduction « naturelle » des conditions aux limites

Rappels : intégrations par parties en 1D

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00 0

2

20 0 0

L LL

LL L

dT x d xx dx T x dx x T x

dx dx

d T x d x dT x dT xx dx dx x

dx dx dx dx

ψψ ψ

ψψ ψ

= − +

= − +

∫ ∫

∫ ∫

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Technique d’affaiblissement par la Méthode des résidus pondérés

( )0

0 dTkdx

ψ−

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

[ ] ( )

000

0

0, ,

0L L

L

exth T L T

d x dT xW x k dx x f dx

dxdT dTL k

dxkd

x x

dx

L

xψ ψψ

ψ

ψ

−

−

= − + + =

∀ ∀

−

∈

∫ ∫14243

( ) ( ) ( )0

0 0 0dTk qdx

ψ ψ− =

4. Introduction des conditions aux limites :

Traitement de :

1. Introduction du flux inconnu en x=0 :

2. Élimination en choisissant : ( )0 0ψ =

Deux possibilités :

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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

int

0 0 0L L

ext

CLWW

d x dT xW x k dx x f dx L h T L T q

dx dxψ

ψ ψ ψ+ −= − =+ −∫ ∫ 14444442444444314444444244444443

( ) ( ),x T xψ

Discrétisation par éléments finis

L’intégration requiert une approximation des variables :

et de leurs dérivées : ,d dTdx dxψ

•Maillage avec un seul élément fini à deux noeuds :

•Forme faible (ou intégrale) :

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Approximation par éléments finis (Galerkin)

Définition : une approximation au sens des éléments finis d’une variable T(x) sur un élément à deux nœuds, s’écrit :

( ) ( ) ( )1 1 2 2T x N x T N x T= +

Vocabulaire : sont appelées fonctions d’approximation ou fonctions de forme (fonctions polynomiales)

( ) ( )1 2,N x N x

Propriétés : les fonctions de formes vérifient la relation générale :

( )1

0i j

i jN x

i j

== ≠

si

si

Application : pour un élément fini à deux noeuds( )

( )

( )

( )1 2

1 2

0 1 0 0

0 1

N N

N L N L

= =

= = et

Utile pourles calculer

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Calcul des fonctions Ni : élément à deux noeuds

1. Choisir l’ordre d’approximation : deux nœuds ordre 1

2. Construction des deux systèmes d’équations

3. Résolution :

( ) ( )1 1 1 2 2 2,N x a x b N x a x b= + = +

( )

( )

( )

( )1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

0 0 1 0 0 0,0 1

N a b N a b

N L a L b N L a L b

= × + = = × + =

= × + = = × + =

( ) ( )1 21 ,x xN x N xL L

= − =

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Approximation de la fonction-test

Plusieurs formulations sont possibles :

1. Collocation par points ou par sous domaines

2. Moindres carrés

3. Galerkin

Hors programmeNF04

Méthode des éléments finis

La fonction-test est approximée avec les mêmes Ni que T(x)

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Discrétisation de la forme intégrale

Réécriture des approximations sous la forme :

La fonction-test est approximée de la même manière :

Les dérivées se calculent selon :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 2 2 1 2

2

TT x N x T N x T N x N x

T

= + =

Vecteur ligne Vecteur colonne

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 2 2 1 2

2

x N x N x N x N xψ

ψ ψ ψψ

= + =

( ) ( ) ( ) ( )1 11 2 1 2

2 2

,TdN x dN x dN x dN xdT d

dx dx dx dx dx dxT

ψψ

ψ

= =

Vocabulaire : si la variable inconnue et la fonction-test utilisent les mêmes fonctions Ni, l’approximation est alors dite de type GALERKIN.

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Discrétisation de la forme intégrale

Rappel :

Introduction des approximations dans la forme intégrale :

01 1 1

int 1 2 1 2 1 22 2 20 0

'' '

'

L N T NW k N N dx f dx

N T Nψ ψ ψ ψ

= −

∫ ∫

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

01

int 1 2 1 220 0

1 1 1

1 1

L TW k dx f d

xL L L

xLL L

xT

ψ ψ ψ ψ = −

−

−

−∫ ∫

int CLW W W= +

( )( )

21 1 2

21 2 2

01 1

int 1 2 1 22 20 0

' ' '

' ' '

L T NW k dx f d

N N NTN N

xN N

ψ ψ ψ ψ

= −

∫ ∫soit

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Obtention du système

[ ] { } { }1int 1 2 1 2

2

0,CL

TW W W K F R

Tψ ψ ψ ψ

= + = − − = ∀

Soit :

Pour le terme des conditions aux limites :

En regroupant les deux expressions :

1int 1 2 1 2

2

1 1 11 1 12

TkW fT

LL

ψ ψ ψ ψ−

−

= −

( ) {1 1

2 2 1 1 1 22

00 0.

0 0CL extextflux

inconnu

T qW h T T q

hTThψ ψ ψ ψ

= − − = − −

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D’où :

avec :

Prise en compte de la condition à la limite : T(x=0)=T1=30

Obtention du système

[ ] { } { }12

, ,0

2 ext

k k LqL L

K F Rk k Lh hTL L

− = − + +

[ ] { } { }1

2

TK F R

T

= +

1

2

1 0 30

2 ext

Tk k LTh hTL L

= − + +

Vocabulaire : [K] = matrice de « rigidité »{F} = vecteur des sollicitations externes{R} = vecteur des réactions (ou flux) externes inconnus

{R} disparaît avec cette méthode !

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Affichage et post-traitement de la solution

Résolution : outil informatique Matlab (séances TP de NF04)

Post-traitement :

Affichage de la températureCalcul des réactions ou flux externes (ie inconnus)

Calcul du flux à l’intérieur du domaine

Premier élément de validation :Respect ou non des conditions aux limites ?

{ } [ ]{{

{ }1

2. .avantC L solution

TR K F

T

= −

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Pour résumer …Mailler le domaine

Obtention de la forme faible :En pondérant par une fonction-test quelconqueEn intégrant par parties avec les conditions aux limites

Approximation des variables et des dérivées au sens éléments finisCalcul des fonctions d’approximations

Discrétisation de la forme intégrale et calcul des matrices et vecteurs

Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab)

Post-traiter : Tracer la solutionCalculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) …