etude par tomographie x et modélisation par éléments finis...

N dordre 04-ISAL-0079 Anne 2004

Thse

Etude par tomographie X et modlisation par lments finis du comportement

mcanique des mousses solides

Prsente devant LInstitut National des Sciences Appliques de Lyon

Pour obtenir

Le grade de docteur

Formation doctorale : Microstructure et comportement mcanique

et macroscopique des matriaux-Gnie des matriaux cole doctorale : cole doctorale matriaux de Lyon

Par

Souhail YOUSSEF (Ingnieur)

Jury MM.

Rapporteurs Y. Brchet Professeur (ENSEEG) H.P. Degischer Professeur (TUW) examinateur S. Forest Charg de recherches (CNRS) (ENSMP) R. Gaertner Matre de confrences (UCBL) E. Maire Charg de recherches (CNRS) (INSA de Lyon) examinateur P. Ponte Castaneda Professeur (LMS)

Etude par tomographie X et modlisation par lments finis du comportement mcanique des mousses solides

Rsum

Du fait de leur nature, le comportement mcanique des mousses est gouvern par deux paramtres : la nature du matriau constitutif et la nature de larchitecture. Jusqu prsent linfluence des paramtres architecturaux (fluctuation de densit, distribution de la taille des pores et distribution de lpaisseur des parois) na tait que trs peu explor. On se propose donc de dconvoluer leffet de structure de leffet matriau en combinant une modlisation raliste de lessai de compression avec lobservation de la dformation locale en tomographie.

La modlisation sera donc base sur les images de tomographie qui ont lavantage de nous fournir une description parfaite de la morphologie en trois dimensions. Face cette complexit de structure, la mthode des lments finis savre tre loutille adquat pour effectuer les calcules en partant dun maillage des images de la mousse en 3D dont on pourra faire varier la morphologie et du comportement du matriau constitutif qui sera considr comme lastique parfaitement plastique. En parallle, les essais de compression statique et in situ en tomographie permettront de valider les calcules prcdants lchelle macroscopique et lchelle des dformations locales qui constitues la cl du comportement globale de la mousse. Mots-Cls: Matriaux cellulaires, tomographie rayon X, traitement dimage, modlisation par lments finis, promprit mcanique.

Finite element modelling of the actual structure of cellular materials determined by X ray tomography

Abstract

The initial microstructure and local deformation mechanisms of a cellular material during a compression test are investigated by means of X-ray microtomography. A methodology to mesh the actual solid volume is described. The polymer material behaviour is assumed to be elastoplastic. A predictive finite element modelling of the mechanical behaviour of cellular materials is then implemented. The validation of the modelling procedure is performed in relation to the macroscopic mechanical response as well as to the local deformation mechanisms observed during the experiments.

Keywords: cellular materials, X-ray microtomography, image treatment, finite element modelling, mechanical properties.

Table des matire

1

INTRODUCTION................................................................................................................................. 5

CHAPITRE I -BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................... 9

I.1 Mise en uvre des matriaux cellulaires.................................................................................. 9

I.1.1 Mousse polymre................................................................................................................... 9

I.1.2 Mousse mtallique ............................................................................................................... 11

I.2 Caractrisation des matriaux cellulaires.............................................................................. 12

I.2.1 Caractrisation morphologique............................................................................................ 12

I.2.1.1 Gnralits..................................................................................................................... 12

I.2.1.2 Techniques de caractrisation....................................................................................... 14

I.2.2 Caractrisation mcanique................................................................................................... 14

I.2.2.1 Essai uniaxial................................................................................................................. 14

Compression ...................................................................................................................... 14

Traction.............................................................................................................................. 18

I.2.2.2 Essais multiaxiaux......................................................................................................... 18

I.3 Elments de mcanique des matriaux cellulaires ................................................................ 21

I.3.1 Structure rgulire et analyse dimensionnelle ..................................................................... 21

I.3.1.1 Modle cubique ............................................................................................................. 21

Comportement lastique linaire ....................................................................................... 22

Comportement non-linaire ............................................................................................... 24

I.3.1.2 Modle ttrakaidcadrique........................................................................................... 26

I.3.2 Structures irrgulires et modles numriques .................................................................... 28

I.3.2.1 Construction de structures irrgulires .......................................................................... 28

Gnration de structures alatoires.................................................................................... 28

Construction de structures relles...................................................................................... 31

I.3.2.2 Modlisation des matriaux cellulaires par lments finis ............................................ 31

Modlisation par lments structuraux.............................................................................. 31

Modlisation par lments volumiques ............................................................................. 32

I.4 Conclusion................................................................................................................................. 38

CHAPITRE II - ......... PARTIE EXPERIMENTALE : CARACTRISATION MCANIQUE ET

MORPHOLOGIQUE DE MOUSSES DE POLYURTHANE RIGIDES.................................... 40

II.1 Introduction............................................................................................................................. 40

Table des matire

2

II.2 Mise en uvre des mousses de polyurthane........................................................................ 40

II.3 Caractrisation physique des mousses de polyurthane...................................................... 42

II.3.1 Calorimtrie diffrentielle balayage thermique ............................................................... 42

II.3.2 Rsultats exprimentaux..................................................................................................... 43

II.4 Caractrisation mcanique des mousses de polyurthane .................................................. 44

II.4.1 Compression uniaxiale ....................................................................................................... 45

II.4.1.1 Dispositif de compression ............................................................................................ 45

II.4.1.2 Effet du vieillissement.................................................................................................. 46

II.4.1.3 Influence de la densit.................................................................................................. 47

II.4.2 Analyse mcanique dynamique (AMD) ............................................................................. 49

II.4.2.1 Introduction .................................................................................................................. 49

II.4.2.2 Dispositif exprimental ................................................................................................ 50

II.4.2.3 Module dynamique des mousses polyurthane ............................................................ 50

II.4.3 Conclusion.......................................................................................................................... 52

II.5 Caractrisation morphologique des mousses de polyurthane........................................... 53

II.5.1 Caractrisation bidimensionnelle ....................................................................................... 53

II.5.2 Caractrisation tridimensionnelle ....................................................................................... 54

II.5.2.1 Principe de la tomographie rayons X ........................................................................ 55

II.5.2.2 Tomographie sur ID19 ................................................................................................. 57

Energie du faisceau............................................................................................................ 57

Mode dacquisition ............................................................................................................ 58

Rsolution spatiale............................................................................................................. 59

Tomographie locale ........................................................................................................... 59

II.5.2.3 Traitement dimage ...................................................................................................... 60

Les outils graphiques ......................................................................................................... 61

Procdure de segmentation des images de mousses polyurthane .................................... 62

Traitement supplmentaire sur les images binarises........................................................ 64

II.5.2.4 Analyse des donnes tridimensionnelles...................................................................... 65

Outils danalyse ................................................................................................................. 65

Taille des alvoles dans les mousses polyurthane .......................................................... 66

Epaisseur des parois dans les mousses de polyurthane.................................................... 69

II.6 Essai mcanique in situ........................................................................................................... 70

II.6.1 Procdure exprimentale .................................................................................................... 70

II.6.2 Observation des dformations ............................................................................................ 71

II.7 Conclusion ............................................................................................................................... 73

Table des matire

3

CHAPITRE III -...MODLISATION PAR LMENTS FINIS DE LA STRUCTURE RELLE

DES MATERIAUX CELLULAIRES : PRSENTATION DE LA MTHODE.......................... 74

III.1 Introduction ........................................................................................................................... 76

III.2 Material and method ............................................................................................................. 78

III.2.1 Material ............................................................................................................................. 78

III.2.2 Imaging set up for X-ray tomography............................................................................... 78

III.2.2.1 Testing procedure........................................................................................................ 79

III.3 Finite element modelling ....................................................................................................... 79

III.3.1 Large data meshing ........................................................................................................... 79

III.3.1.1 Image processing ........................................................................................................ 80

III.3.1.2 Mesh generation.......................................................................................................... 80

III.3.2 FE model ........................................................................................................................... 81

III.3.2.1 Type of element .......................................................................................................... 81

III.3.2.2 Bulk materiel properties.............................................................................................. 81

III.3.2.3 Boundary conditions ................................................................................................... 82

III.4 Results..................................................................................................................................... 82

III.4.1 Mesh density ..................................................................................................................... 82

III.4.2 Size of the elementary representative volume................................................................... 85

III.4.3 Results at the local scale.................................................................................................... 87

III.5 Discussion ............................................................................................................................... 89

III.6 Conclusion .............................................................................................................................. 91

CHAPITRE IV -APPLICATION DE LA TECHNIQUE DE MODLISATION AUX MOUSSES

DALUMINIUM.................................................................................................................................. 92

IV.1 Introduction ........................................................................................................................... 92

IV.2 Mousse cellules fermes type Alporas............................................................................... 92

IV.2.1 Caractrisation morphologique ......................................................................................... 92

IV.2.2 Construction du modle lments finis ............................................................................. 94

IV.2.3 Simulation de lessai de compression ............................................................................... 96

IV.3 Mousse cellules ouvertes type Duocel ............................................................................... 98

IV.3.1 Caractrisation morphologique ......................................................................................... 98

IV.3.2 Construction du modle lments finis ............................................................................. 99

IV.3.3 Simulation de lessai de compression ............................................................................. 100

IV.4 Mousse cellules ouvertes type EPFL............................................................................... 103

IV.4.1 Prsentation ..................................................................................................................... 103

IV.4.2 Validation lchelle locale............................................................................................ 105

Table des matire

4

IV.5 Conclusion ............................................................................................................................ 106

CHAPITRE V -.................. ETUDE NUMRIQUE DU COMPORTEMENT MCANIQUE DES

MATRIAUX ALVOLAIRES...................................................................................................... 107

V.1 Introduction........................................................................................................................... 107

V.2 Influence de la densit .......................................................................................................... 107

V.3 Etude de lanisotropie........................................................................................................... 112

V.4 Etude des phnomnes de localisation ................................................................................ 116

V.5 Influence des proprits du matriau dense....................................................................... 119

V.5.1 Influence du module dYoung.......................................................................................... 119

V.5.2 Influence de yd ................................................................................................................ 122

V.5.3 Influence de hd.................................................................................................................. 124

V.6 Simulation sous diffrentes configurations de chargement............................................... 128

V.6.1 Simulation de lessai de traction ...................................................................................... 128

V.6.2 Simulation de lessai de torsion........................................................................................ 131

V.6.3 Simulation des essais multiaxiaux.................................................................................... 134

V.6.3.1 Prsentation du modle .............................................................................................. 134

V.6.3.2 Etude leffet de la prcontrainte................................................................................. 135

V.7 Conclusion ............................................................................................................................. 136

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES .......................................................................................... 137

REFERENCES .................................................................................................................................. 140

Introduction

5

INTRODUCTION

Les volutions conomiques et technologiques de ces dernires dcennies ont donn

naissance des besoins de plus en plus exigeants de la part du consommateur en terme de

scurit passive, de confort, dergonomie, de fonctionnalit et de consommation dnergie. Au

niveau des matriaux, ces exigences (souvent antinomiques) imposent le dveloppement ou

lamlioration de nouveaux concepts. La tendance actuelle se dirige dun ct vers

lallgement des structures afin de minimiser la consommation dnergie tout en optimisant

les proprits mcaniques et la durabilit et de lautre ct vers la multifonctionnalit des

matriaux combinant par exemple des bonnes caractristiques mcaniques des

fonctionnalits comme lisolation thermique et acoustique ou encore la conductivit

lectrique. Dans ce contexte particulier, les matriaux cellulaires (quon peut classer en trois

familles : plastique, mtallique et cramique) se prsentent comme des candidats idaux. En

effet ces matriaux apportent des solutions dans plusieurs des domaines nouveaux ci dessus

mentionns (allgement, multifonctionnalit).

On retrouve pour cette raison des mousses plastiques dans des applications comme

lemballage, les structures de protection, le rembourrage, les structures flottantes et lisolation

thermique, lisolation acoustique. Les mousses mtalliques trouvent des applications dans les

structures portantes, les absorbeurs de choc, lisolation acoustique et en tant qu'lectrode de

batterie. Enfin, on retrouve les mousses cramiques dans des applications comme le bton

cellulaire, les catalyseurs, les filtres particules ou aussi dans le domaine des biotechnologies.

Les matriaux cellulaires sont des matriaux biphass composs dune phase solide et

dune phase gazeuse. Cette morphologie confre ces matriaux des caractristiques

particulires. Tirant profit la fois des proprits du matriau solide et de la structure, ils

prsentent lavantage davoir des proprits mcaniques importantes rapportes leur densit.

Nanmoins, les proprits finales de ces matriaux ne peuvent tre totalement matrises lors

de llaboration. Le besoin doptimiser les performances et damliorer la scurit ncessite

que lon ait une bonne connaissance de la relation entre les proprits et la microstructure. Il

est en particulier indispensable de disposer de lois de comportement mcanique pour effectuer

des calculs de structures. Du fait de leur nature, le comportement mcanique des mousses est

gouvern par deux paramtres : la nature du matriau constitutif et la nature de larchitecture

(la microstructure cellulaire). A ces deux niveaux, il reste de nombreux aspects clarifier

Introduction

6

concernant les influences respectives des effets matriaux et des effets de structure dans la

constitution des proprits des matriaux cellulaires.

Lintrt pour les matriaux cellulaires t raviv ces dernires annes dans le monde

industriel et acadmique par la fabrication en moyenne srie de plusieurs types de mousse

daluminium. De nombreux travaux ont t publis rcemment prouvant ce regain d'intrt

dans tous les pays industrialiss. Prenons pour illustration l'exemple de la France : On a

assist courant 2003/2004 la soutenance dau moins quatre thses sur le sujet (J.S Blazy et

T. Dillard - l'Ecole des Mines de Paris-, A. Fazekas - l'INPG- et F. Saint-Michel - l'INPG

et l'INSA de Lyon). Ces travaux ainsi que leurs parallles dans le monde ont apport

certaines rponses quant la nature des relations entre la morphologie des mousses et leur

comportement. On dispose maintenant de rsultats obtenus par des approches diffrentes

chelles allant de lchelle macroscopique o lon considre le matriau cellulaire comme une

entit homogne, lchelle microscopique o lon tient compte de larchitecture interne de

ces matriaux en passant par des chelles intermdiaires prenant en compte des htrognits

comme la fluctuation de densit. De grands efforts ont t ports la caractrisation

exprimentale et la modlisation du comportement mcanique pour conclure unanimement

quant limportance de la microstructure de ces matriaux et lapport que pourrait amener

une ventuelle modlisation raliste de cette structure.

Dans ce cadre gnral, lobjectif particulier de cette thse est la comprhension des

mcanismes qui interviennent lors de la dformation des mousses et le dveloppement dun

outil de modlisation capable den rendre compte de manire prdictive. Le problme central

auquel nous souhaitons nous attaquer est la dcorrlation des rles respectifs :

de la nature du matriau constitutif (microstructure l'chelle du matriau constitutif) et

de l'arrangement spatial de la phase solide (microstructure cellulaire).

La stratgie scientifique que nous avons adopte est la suivante. Bien que la

problmatique soit commune aux trois classes de matriaux, le dveloppement des diffrents

outils de caractrisation et de modlisation est ralis dans un premier temps sur des mousses

de polymres fabriques dessein pour servir de matriaux de test la mthode. Ces

matriaux peuvent tre facilement fabriqus avec des microstructures cellulaires varies et on

peut changer les proprits du matriau constitutif en changeant la temprature de l'essai. La

tomographie X est utilise pour dterminer la microstructure cellulaire de la mousse de la

manire la plus parfaite possible, c'est dire de faon non destructive et en trois dimensions

(3D). Cette technique de caractrisation permet galement, lors dessais de compression in

Introduction

7

situ, de visualiser les mcanismes de dformation lchelle des alvoles et le dveloppement

ventuel de bandes de dformation. Face la complexit des structures tudies et des

informations rcoltes grce aux images 3D, une modlisation par lments finis est

entreprise. Le maillage du volume est alors ralis de faon reflter au plus prs la

microstructure cellulaire (idalement, il est gnr l'image de la structure relle fournie par

la tomographie). Les rsultats de simulations sont confronts aux observations de

tomographie pour ce qui est des phnomnes localiss et des courbes de rponse classiques

pour le comportement macroscopique.

Cette thse sarticule en cinq chapitres de la manire suivante :

Le premier chapitre, prsente les aspects gnraux concernant les matriaux cellulaires du

point de vue de leurs caractristiques morphologiques ainsi que leur comportement

mcanique gnral. Par la suite les diffrentes approches de modlisation existantes qui

permettent de dcrire le comportement mcanique des mousses aux diffrentes chelles de

leur structure sont exposes.

Le deuxime chapitre est consacr la partie exprimentale de cette thse. Les proprits

physiques des mousses de polyurthane puis leurs proprits mcaniques en compression

sont d'abord mesures. Les caractristiques morphologiques des mousses tudies par

tomographie X sont ensuite prsentes. Enfin les analyses des dformations locales au

sein dune mousse polyurthane sont exposes. Les techniques exprimentales

dveloppes et employes durant ce travail sont dcrites au dbut de chaque partie.

Le troisime chapitre prsent sous la forme dun article accept pour publication dans la

revue Acta Materiala, concerne la mise au point dune modlisation par lments finis

base sur la structure relle des matriaux cellulaires. Le but est de construire un modle

lments finis partir de la structure relle dun matriau cellulaire dtermine par

tomographie. Le modle ainsi construit nous permet de simuler un essai de compression

uniaxiale. Afin de valider le modle, les rsultats de la simulation sont confronts aux

rsultats exprimentaux lchelle macroscopique et microscopique.

Le quatrime chapitre est ddi lapplication de la technique de modlisation dautres

types de mousses et en particulier des mousses daluminium de faible densit cellules

ouvertes et fermes. Le cas des mousses Alporas et Duocel est tudi.

Introduction

8

Le cinquime chapitre est consacr lexploitation quantitative et prdictive des modles

numriques. Dans un premier temps leffet des proprits du matriau solide sur le

comportement des mousses travers la variation des paramtres dentre du modle est

tudi. Dans la deuxime partie de ce chapitre, le comportement des mousses est calcul

sous dautres modes de sollicitation que la compression (traction et de torsion). Enfin le

comportement sous chargement multiaxial prdit par le modle est prsent.

Chapitre I- Bibliographie

9

CHAPITRE I - BIBLIOGRAPHIE

Comme il a t dit dans lintroduction, lobjectif de ce travail est la comprhension des

mcanismes qui interviennent lors de la dformation des mousses et le dveloppement dun

outil de modlisation capable den rendre compte de manire prdictive. Dans ce chapitre, on

sintressera dans un premier temps aux aspects gnraux concernant les matriaux cellulaires

du point de vue des techniques de mise en uvre et des champs dapplication de ces

matriaux. Dans la deuxime partie, on prsentera les caractristiques morphologiques

propres aux matriaux cellulaires ainsi que leur comportement mcanique gnral. Dans la

troisime partie, sans doute la plus importante tant donns les objectifs, on exposera les

diffrentes approches de modlisation existantes qui permettent de dcrire le comportement

mcanique des mousses. En conclusion, on illustrera le besoin dun modle raliste qui

permette de rendre compte du comportement macroscopique des mousses tout en fournissant

les informations ncessaires lidentification des mcanismes locaux de dformation.

I.1 Mise en uvre des matriaux cellulaires

I.1.1 Mousse polymre

Depuis lintroduction sur le march des premires mousses lastomres phnol-

formaldhyde et ur-formaldhyde dans les annes 1920, la production de mousses plastiques

na cess de crotre et de se diversifier. Les mousses polymres sont gnralement classes en

quatre grandes familles : les mousses rigides, les mousses semi-rigides, les mousses semi-

flexibles et les mousses flexibles. Ce classement dpend de la composition du matriau, de sa

morphologie et de ses caractristiques physiques et thermiques (Tg, taux de cristallinit, taux

de rticulation, etc.). Tous les polymres peuvent tre produits sous forme de mousse. Les

produits les plus prsents actuellement sur le march sont base de polyurthane, de

polystyrne ou de polyvinyle mais on trouve aussi des mousses base de polythylne, de

phnol, de polypropylne, dacrylique, dactate de cellulose, de silicone et dpoxy.

Il existe un grand nombre de techniques dlaboration de mousse polymre. On peut

nanmoins distinguer trois voies principales (cf. figure I.1). La premire voie consiste

provoquer la croissance de porosits lintrieur du polymre avant solidification [1]. Le gaz

peut tre introduit mcaniquement par injection ou sursaturation du polymre ltat

visqueux. Les bulles sexpansent et se stabilisent une fois lquilibre atteint entre leur pression

interne et la tension de surface. La morphologie peut tre fige tout moment en trempant le


10

polymre. Les gaz utiliss dans cette technique sont des gaz inertes comme lazote ou le

dioxyde de carbone. Le gaz peut aussi se dvelopper in situ lors de la polymrisation suite aux

ractions chimiques internes ou grce la dcomposition thermique dun agent moussant [2].

La deuxime voie est base sur des techniques dmulsion. Une mulsion est compose

essentiellement dune phase continue, dune phase disperse et dun surfactant qui assure la

miscibilit des deux premires phases. Une fois lmulsion stabilise, la phase continue

(gnralement compose de monomre polymrisable) est rigidifie par polymrisation. La

phase disperse est, par la suite, limine par vaporation [3].

La troisime voie sinspire des procds de sparation de phases. Des systmes comme

le mlange polystyrne-cyclohexane prsentent dans leur diagramme de phase une

temprature de solution critique. Au-dessus de cette temprature le systme est parfaitement

miscible alors quen-dessous il est non-miscible. La sparation est initie en refroidissant le

mlange en dessous de la ligne binodale ou spinodale. Il en rsulte finalement une

morphologie deux phases [4].

Figure. I.1 : Les principales mthodes dlaboration des mousses polymres (a) par

insertion de gaz (b) par voie dmulsion (c) par voie de sparation de phases [2].


11

I.1.2 Mousse mtallique

Les mousses mtalliques constituent une nouvelle classe de matriaux trs prometteuse

en terme dallgement de structure et dabsorption des chocs. Les premires tentatives

dlaboration de mousses mtalliques remontent aux annes 1960 [5, 6]. A cette poque,

lintrt pour cette classe de matriaux na pas t suffisamment grand pour entreprendre une

production lchelle industrielle. Cest durant la dernire dcennie que le dveloppement de

mousses mtalliques a connu ses plus grandes avances en termes de qualit des produits et de

rentabilit des procds dlaboration. On peut ainsi trouver sur le march des mousses de

diffrents types de mtal et dalliage allant de laluminium lacier en passant par le zinc, le

cuivre et le nickel.

On peut recenser non moins dune vingtaine de mthodes dlaboration de mousse

mtallique (cf. figure I.2 ) [7]. Certaines mthodes sont similaires celles utilises pour

llaboration des mousses polymre; dautres utilisent des mthodes propres la mtallurgie

en tirant profit des proprits des mtaux comme le frittage ou llectrodposition. On peut

classer les procds dlaboration en quatre familles selon ltat de dpart du mtal. On

distingue ainsi les mousses labores partir du mtal ltat liquide, solide, vapeur ou

ionique en solution. Pour chaque famille, on trouve une multitude de procds dj tablis ou

encore au stade exprimental. A titre indicatif, voici une liste non exhaustive des diffrents

procds. On peut obtenir des mousses partir dun mtal ltat liquide :

par injection directe dun gaz inerte sous pression [8],

en introduisant un agent moussant qui se dcompose avec la chaleur [9],

en ralisant un mlange avec de lhydrogne pour former un systme eutectique [10],

par infiltration dune prforme type sel compact ou de mousse polymre [11, 12].

Les procds dlaboration de mousses partir dun mtal ltat solide sinspirent des

procds de mtallurgie des poudres. On peut ainsi obtenir des mousses :

par simple compactage et frittage de poudre [13],

en emprisonnant de lair lors du compactage de la poudre puis en chauffant le tout [14],

en mlangeant la poudre des particules faisant office despaceur puis en compactant le

tout [15] ,

par frittage de sphres mtalliques creuses [16].

Llectrodposition [17] et la dposition en phase vapeur [18] utilisent des mousses

prcurseurs en polymre et cellule ouverte. Ces deux techniques permettent de dposer une


12

fine couche de mtal sur le substrat. Le tout est par la suite carbonis pour liminer le

polymre. Il en rsulte une mousse de mme morphologie que le substrat mais branches

creuses.

Figure. I.2 : Les principales voies dlaboration de mousses mtalliques [7].

I.2 Caractrisation des matriaux cellulaires

En observant les matriaux cellulaires, on saperoit quils sont structurs de manire

hirarchique limage de matriaux naturels comme le bois ou los. La structure de ces

matriaux est le rsultat direct du procd dlaboration. Ainsi on trouve des matriaux

cellulaires avec des structures aussi diverses que les procds dlaboration. Du point de vue

de lingnieur, la qualit dun matriau se dfinit par le rapport de ses proprits (mcanique,

thermique, acoustique, etc.) compar aux performances attendues tout en assurant un certain

niveau de reproductibilit. De l dcoule lintrt davoir accs une caractrisation la plus

complte permettant dtablir des relations entre le procd dlaboration, la structure du

matriau et ses proprits. Dans cette partie on sintressera, dans un premier temps, la

caractrisation morphologique des matriaux cellulaires puis aux diffrents aspects lis leur

comportement mcanique.

I.2.1 Caractrisation morphologique

I.2.1.1 Gnralits

Les matriaux cellulaires peuvent tre considrs plusieurs chelles. Ils prsentent une

morphologie hirarchique trois chelles communment appeles micro, mso et macro.

Lchelle micro se situe au niveau des parois et des artes o lon observe la microstructure


13

du matriau constitutif et qui est traduite par le comportement intrinsque de la matrice solide.

Les tudes portant sur cet aspect sont rares. Nanmoins, les tudes existant ont pu montrer

limportance du comportement intrinsque de la matrice solide sur le comportement final de

la mousse [19]. Selon Gibson et Ashby [20], cest le comportement de la matrice qui

conditionne le classement du comportement des mousses en lastique, plastique ou fragile.

A lchelle mso, on sintresse larrangement des cellules au sein de la matrice, leur taille

et leur forme ainsi qu celles des parois. Enfin, lchelle macro, le matriau est considr

comme homogne. Il est essentiellement dcrit par sa densit. Kriszt et al [19] ont recens une

trentaine de paramtres pour caractriser la structure (cf. figure I.3).

Parmi ces paramtres on peut citer :

la densit relative,

le caractre ouvert ou ferm des cellules,

larrangement des cellules,

la forme, lorientation et la taille des cellules,

la forme des artes et des faces,

la microstructure du matriau constitutif.

Figure. I.3 : Les diffrents paramtres morphologiques des matriaux cellulaires [19].


14

I.2.1.2 Techniques de caractrisation

Il existe plusieurs moyens de caractrisation ddis chaque aspect de la structure des

matriaux cellulaires. Les techniques peuvent tre destructives ou non-destructives donnant

des informations scalaires macroscopiques mais aussi des mesures bidimensionnelles ou

tridimensionnelles. Ainsi on peut citer des techniques comme :

la mesure directe de la densit par pese et mthode dArchimde, dtermination de la

porosit (essentiellement ouverte) par des mthodes de porosimtrie et permamtrie [21],

la caractrisation de la morphologie en 2D par microscopie optique, microscopie

lectronique balayage (MEB) et radiographie rayon X [22],

la caractrisation en 3D par tomographie X assiste par ordinateur ou RMN [23].

I.2.2 Caractrisation mcanique

Les matriaux cellulaires largissent considrablement la gamme de proprits des

matriaux denses. Leurs proprits (mcanique, thermique, lectrique, acoustique, etc.) sont

gnralement mesures par les mmes mthodes que celles utilises pour les matriaux

denses. Parmi ces proprits, les proprits mcaniques prsentent un intrt considrable.

Pour des applications comme le renfort de structure, lemballage ou la protection contre les

chocs, limportance des proprits mcaniques est vidente mais elle le demeure aussi pour

des applications fonctionnelles comme les changeurs thermiques et les filtres o la stabilit

structurale est de grande importance. Dans cette partie, on se propose de dcrire le

comportement mcanique gnral des matriaux cellulaires. On sintressera dans un premier

temps au comportement uniaxial notamment en compression et en traction, puis on exposera

le comportement de ces matriaux sous des sollicitations multiaxiales.

I.2.2.1 Essai uniaxial

Compression

Le comportement des matriaux cellulaires en compression savre remarquable

compar leur densit relative. Ils montrent une grande capacit dabsorption. Lintrt

accord au comportement en compression des matriaux cellulaires est largement retranscrit

travers la littrature en tant le mode le plus souvent tudi. Une autre raison est sans doute la

facilit de mise en place de cet essai. En effet, les chantillons tests sont souvent de forme

simple (cylindrique, cubique). La seule prcaution prendre est le paralllisme entre les


15

plateaux de compression et les conditions de frottement entre lchantillon et les plateaux de

la machine.

La figure I.4 [20] reprsente les rponses typiques en compression de trois types de

mousses : lastomre, lastoplastique et fragile. Les trois comportements montrent une

premire rgion linaire suivie dun plateau de contrainte (ou quasi-plateau avec un lger

durcissement) et enfin une rgion ou la contrainte augmente considrablement.

Figure. I.4 : Courbes contrainte-dformation en compression de trois types de mousses :

(a) lastomre, (b) lastoplastique et (c) fragile [20].

Le premier domaine, de faible dformation (moins de 5% de dformation) est souvent

qualifi dlastique linaire. Ce domaine nest pas forcment rversible pour tous les types de

mousses. Des tudes sur des mousses daluminium type Alporas ou Alcan [24, 25] ont montr

que lors dun cycle chargement/dchargement, la pente initiale est modifie (cf. figure I.5).

Ce qui laisse penser que des mcanismes irrversibles et localiss comme la microplasticit

ou la microfissuration apparaissent ds les premiers stades de chargement. Nanmoins, une

bonne partie des mcanismes qui interviennent lors de cette phase sont lastiques linaires. A

partir dobservations microscopiques, Gibson et Ashby [20] ont constat que dans ce

domaine, le mcanisme de dformation prdominant est la flexion des artes et ltirement

des parois si les cellules sont fermes. Il est noter que ces observations sont faites en 2D et

que des mcanismes comme la torsion des artes ne sont pas clairement observables [26]. Du

fait de ces remarques, le module dYoung ne peut tre dtermin correctement partir de la

pente initiale de la courbe de traction ou de compression. Il est prfrable de le dterminer

partir de la pente de dcharge ou par une autre technique comme lanalyse mcanique

dynamique (DMA). Ces remarques seront prises en compte dans la partie exprimentale de

cette thse.


16

Figure. I.5 : Courbes contrainte-dformation en compression avec charge-dcharge dune

mousse Alporas [25].

Le second domaine est caractris par un long plateau avec, dans certains cas, une

diminution initiale de la contrainte. Les mcanismes qui interviennent dans ce domaine

dpendent fortement de la nature du matriau constitutif et de la morphologie de la mousse.

On peut ainsi observer des phnomnes dinstabilit comme le flambage statique mais aussi

des phnomnes irrversibles comme la plasticit ou la rupture fragile qui se manifestent

lorsque la contrainte locale dpasse un certain seuil. Le flambage est un problme li la

stabilit des structures minces. Il peut tout particulirement tre observ pour des structures

minces lances (cas des artes et des parois dans les mousses trs faible densit) soumises

des contraintes de compression. Au-del dune certaine valeur, la charge applique conduit

un important changement de forme de la structure qui se traduit par lapparition brutale ou

progressive de plis ou dondulations. Le flambage peut survenir dans le domaine de

comportement lastique ou plastique. Lorsque les structures minces prsentent un lancement

modr ou dimportants dfauts de forme, les phnomnes de flambement sont souvent

prcds par lapparition de dformations plastiques.

Ces mcanismes ne sont pas exclusifs chaque type de mousse. Ils peuvent coexister au

sein de la mme mousse et interagir pour former un mcanisme global dcroulement de

cellules. Ces mcanismes peuvent tre homognes et apparatre simultanment dans tout le

volume du matriau cellulaire (cf. figure I.6) [27], comme ils peuvent tre localiss ou voire

fortement localiss [27, 28]. Cette localisation peut se manifester par lapparition de bandes

de dformation de faible paisseur perpendiculaires la direction de la compression.

Tu et al [28] ainsi que Bart-Smith et al [27] ont put observer ce phnomne respectivement

sur une mousse polyurthane et sur une mousse aluminium. Une fois initie, la bande de

dformation se propage le long de lchantillon (gnralement dans une direction


17

perpendiculaire laxe de sollicitation) sur une paisseur dune ou deux alvoles alors que le

reste de lchantillon ne se dforme quasiment pas (cf. figure I.7).

Figure. I.6 : Champ de dformation local la surface dune mousse daluminium cellules

ouvertes (Duocel) [27].

(a)

(b)

Figure. I.7 : Deux cas de manifestation de localisation de dformation sous forme de

bandes dcroulement : (a) mousse daluminium cellule ferme [27], (b) mousse de

polyurthane [28].


18

Enfin, le dernier domaine observ sur les courbes contrainte-dformation correspond

une phase de densification o toutes les cellules se sont croules sur elles mmes. Les artes

et les parois des cellules entrent en contact et la mousse approche le comportement du

matriau dense.

Traction

Les courbes typiques contrainte-dformation des mousses en traction sont illustres par

la figure I.8. Daprs Gibson et Ashby [20], la partie linaire lastique est toujours due la

flexion des artes et ltirement des parois. Par contre, le flambage ntant plus possible en

traction, le comportement non-linaire est d en partie la rorganisation de la structure. En

effet les artes qui se trouvaient initialement un certain angle de laxe de traction se

rorientent pour saligner avec ce dernier. Cette zone existe rarement dans les mousses

fragiles type cramique o aprs la zone lastique on assiste une rupture fragile.

Figure. I.8 : Courbes contrainte-dformation en traction de trois types de mousse :

(a) lastomre, (b) lastoplastique et (c) fragile [20].

I.2.2.2 Essais multiaxiaux

Selon leur domaine dapplication (panneaux disolation, emballage, structure sandwich,

etc), les mousses peuvent tre sujettes des chargements complexes. Dans ces conditions,

il est aussi ncessaire davoir des informations quant au comportement des mousses sous

chargement biaxial ou triaxial. Ces proprits peuvent tre reprsentes de manire gnrale

par un critre dendommagement ou de plasticit. Ce critre, par analogie aux critres tablis

pour les matriaux denses (Von Mises, Tresca ou Coulomb), dfinit la limite du domaine

linaire. Il peut tre dfini dans lespace des contraintes par une surface de charge qui

reprsente la combinaison des contraintes qui provoquent la ruine du matriau.

Les travaux concernant le comportement des matriaux cellulaires sous sollicitation

multiaxiale sont limits. Les premires investigations ont t menes par Shaw et Sata [29],

Patel et Finnie [30] et Zaslawsky [31] sur des mousses polystyrne et polyurthane rigides.


19

Ces auteurs ont pu constater que le critre de plasticit dpend essentiellement de la contrainte

principale maximale. Gibson et Ashby [20] distinguent trois types de mcanismes pouvant

causer la ruine des mousses : le flambage lastique, lcoulement plastique et la rupture

ductile ou fragile. Lcoulement plastique et la rupture peuvent survenir sous nimporte quelle

forme de chargement alors que le flambage ne se manifeste que lors de la compression.

Gibson et Ashby considrent que dans le cas dune contrainte de type dviatorique, le

mcanisme dominant est la flexion plastique des parois et que dans le cas dune contrainte

hydrostatique, le mcanisme dominant est ltirement des parois. Ils ont aussi dfini, suite

une analyse de flambage lastique des parois, un seuil de flambage qui complte leur critre

de plasticit. Ils proposent ainsi, suite lanalyse mcanique dune structure de mousses

rgulire, une surface de charge de la forme :

181,02

y

m

y

e =

+

(eq. I.1)

o y est la limite dlasticit uniaxiale en compression ou en traction de la mousse, la

densit relative de la mousse, e la contrainte effective de Von Mises et m la contrainte

moyenne (cf. figure I.9). Ce critre montre que la contrainte hydrostatique est plus leve que

la contrainte uniaxiale. Miller [32] a montr que pour une mousse de densit relative 0,08 le

coefficient de Poisson plastique rsultant de ce modle est de 0,47. Ce qui signifie que la

mousse a un comportement quasi-incompressible malgr sa trs faible densit.

Figure. I.9 : Surface de charge tablie par Gibson et Ashby [33].


20

Dautres critres ont t proposs par la suite notamment par Miller [32] et Deshpande

et Fleck [34]. Le critre propos (cf. eq. I.2) est de type phnomnologique. Il a t dtermin

partir dessais uniaxiaux et multiaxiaux sur des mousses daluminium cellules ouvertes et

fermes ainsi que des essais sur des mousses polymres (PVC) [33].

( ) 13

1

1 2y

2m

22e2

=+

+

(eq. I.2)

Le paramtre dfinit la forme de la surface de plasticit. Il reprsente le rapport entre

la contrainte dcoulement en cisaillement et celle en hydrostatique. Les observations

exprimentales montrent que la contrainte hydrostatique est du mme ordre de grandeur que

la contrainte de cisaillement ( 1 ). Ce rsultat laisse penser que le mcanisme prdominant

en chargement hydrostatique est la flexion des parois et non pas la traction comme le

prconisaient Gibson et Ashby. Ce rsultat t valid par des observations au MEB [33] et

en tomographie rayons X [35] des mcanismes de dformation suite un chargement

hydrostatique. Les auteurs on pu constater que les imperfections de la morphologie des

mousses tudies (orientation alatoire des parois, parois manquantes, courbure des

paroisetc.) induisaient systmatiquement un mcanisme de flexion quelle que soit la nature

du chargement. De mme que pour Gibson et Ashby, la surface de plasticit propose par

Deshpande et Fleck est tronque dans le quadrant de compression par un seuil de flambage

permettant ainsi au modle de rendre compte dun coefficient de Poisson plastique nul.

Figure. I.10 : Surface de charge tablie par Deshpande et Fleck [33].


21

I.3 Elments de mcanique des matriaux cellulaires

Cette partie est ddie aux diffrents aspects de la modlisation du comportement

mcanique des matriaux cellulaires. On distinguera deux grandes approches : ltude

analytique base sur lanalyse dimensionnelle de structures priodiques et ltude numrique

essentiellement base sur la modlisation par lments finis de structures complexes gnres

numriquement de manire alatoire ou partir de mousses relles.

I.3.1 Structure rgulire et analyse dimensionnelle

Dans le cas de structures rgulires, les mousses sont dcrites par un assemblage de

poutres reprsentant les artes des cellules avec des parois si la mousse est cellules fermes.

Ces structures sont supposes priodiques. Elles sont construites partir de la rptition dune

cellule lmentaire gnralement reprsente par un polydre. Moyennant un certain nombre

dhypothses sur les mcanismes de dformation de ces structures, il est possible dtablir la

forme de la dpendance des proprits mcaniques de la mousse en fonction de ses

paramtres morphologiques, des proprits du matriau constitutif et de paramtres ajustables.

Dans ce qui suit, on sintresse deux types de structures rgulires : cellule lmentaire

forme cubique et cellule lmentaire forme ttrakaidcadrique.

I.3.1.1 Modle cubique

La forme cubique a t propose par Gibson et Ashby [20]. La figure I.11 reprsente la

cellule lmentaire. Les artes sont dcrites par des poutres section carre de longueur l et

dpaisseur t. Dans le cas des mousses cellules fermes, les parois sont reprsentes par des

plaques dpaisseur tp. On notera le module dYoung et la densit respectivement E et . Les

indices m et d reprsentent respectivement la mousse et le matriau dense. Pour des mousses

de faible densit ( l >> t), lanalyse structurale aboutit aux relations suivantes :

2

lt

d

m

(eq. I.3)

lpt

dm

(eq. I.4)


22

Figure. I.11 : : Cellule lmentaire propose par Gibson et Ashby pour modliser (a) les

mousses cellules ouvertes et (b) les mousses cellules fermes [20].

Comportement lastique linaire

En rgime lastique, Gibson et Ashby considrent que les mousses cellules ouvertes

se dforment principalement par la flexion des artes (cf. figure I.12). Dans ce cas on a :

2lF

avec la contrainte de flexion et F la force uniaxiale (eq. I.5)

et IE

Fld

2 avec I le moment dinertie dune poutre qui est proportionnel t4 (eq. I.6)

do enfin

ltEE 44

dm =

ou encore 2

d

m1

d

m CEE

=

(eq. I.7)

La constante C1 a t estime 1 partir dun ensemble de rsultats exprimentaux. La

mme dmarche a t utilise pour dterminer le module de cisaillement Gm et le coefficient

de Poisson m :

2

d

m

d

m83

EG

, m 0,3 (eq. I.8)


23

Figure. I.12 : Dformation de la cellule lmentaire en rgime lastique par flexion des

artes [20].

De manire gnrale, le module dYoung peut tre dcrit par la relation suivante :

n

d

m1

m CEdE

=

(eq. I.9)

C1 est un paramtre qui dcrit la dpendance gomtrique et n le mode de dformation

[36] avec 4n1


24

Comportement non-linaire

Gibson et Ashby [20] ont dcrit deux types de dformations non-linaires :

leffondrement lastique d au flambage des poutres (cf. figure I.13.a) et leffondrement

plastique qui est d lapparition de rotules plastiques au niveau de la jonction des artes(cf.

figure I.13.b).

Figure. I.13 : Dformation de la cellule lmentaire en rgime non-linaire (a) par

flambage lastique et (b) par croulement plastique [20].

Leffondrement lastique est caractris par la contrainte critique de flambage el.

Selon la formule dEuler, la force critique de flambage dune poutre encastre est :

2d

22crit

lIEnF = (eq. I.11)

En utilisant les quations (eq. I.3) et (eq. I.5) on obtient :

2

d

m

d

elE

(eq. I.12)

Le coefficient de proportionnalit a t estim partir des donnes exprimentales

0,05. Cette relation a t amliore par Gibson et Ashby en introduisant des corrections sur la

densit (correction significative pour f/s>0,3) :

25,0

d

m2

d

m

d

el 1E

+

(eq. I.13)

(a) (b)


25

Ce modle prvoit la limite lastique de la mousse mais nexplique pas la prsence du

plateau de contrainte [39]. En effet, selon Timoshenko et Gere [40], pour une poutre charge

selon son axe principal la contrainte augmente considrablement aprs le flambage initial.

Pour les mousses cellules fermes, Gibson et Ashby considrent que la contribution

des parois est trs infrieure la contrainte gnre par la pression de gaz lintrieur des

cellules. Il en rsulte une relation qui ne tient compte que de la contribution des artes et du

gaz emprisonn dans les cellules. La relation qui en dcoule est de la forme :

d

at

d

m

del

Epp

E+

= 0

2

5,0 (eq. I.14)

Avec p0 la pression lintrieur des cellules et pat la pression atmosphrique.

Leffondrement plastique apparat quand le moment exerc par la force F dpasse le

moment plastique des artes [20]. Lanalyse dimensionnelle donne la relation suivante :

5,1

d

m

yd

pl

(eq. I.15)

Avec ym la contrainte limite dlasticit du matriau constitutif et pl la contrainte

deffondrement plastique du matriau cellulaire. Le coefficient de proportionnalit a t

estim 0,3. Pour que leffondrement lastique apparaisse avant leffondrement plastique il

faut que :

5,1

3,0

d

myd

> 2

05,0

d

mdE

soit 2

36

etude par tomographie x et modélisation par éléments finis...

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