cours méthode des Éléments finis (mef)

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Notes du Cours:

Méthode des Eléments Finis - - - - - - - -

Préparées et Présentées par : O. BENDAOU

UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI

FACULTE DES SCIENCES DE TETOUAN

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

MASTER MECATRONIQUE

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Objectifs du cours

+ Comprendre les principes de la Méthode des Eléments Finis appliquée au calcul des structures.

+ Avoir les bases nécessaires pour manipuler correctement un logiciel d’Eléments Finis tout en assimilant le fonctionnement de sa partie « Processor».

- Non pas être capable d’écrire des programmes sur ordinateur relatifs à cette méthode. Pour cela, il faudra plus de 100 heures de cours.

Outils pour les TP :

Ansys (EF) & SolidWorks (CAO)

Modalités d’Evaluation :

- Un examen 40%

- Les comptes rendus des TP 30%

- Un mini projet 30%

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Plan du Cours :

Introduction

1 - Définition

2 - Résolution des problèmes mécaniques via un logiciel EF : la démarche

3 - Méthode des éléments finis : fonctionnement de la partie processor des logiciels EF

3.1. Formulation mathématique

3.2. Loi de Hook et Modélisations 3D, 2D et 1D

3.3. Formulation variationnelle

3.4. Approximation par éléments finis

3.5. Résolution en statique

3.6. Résolution dans le domaine fréquentiel

3.7. Résolution dans le domaine Temporel

4 - Résolution des problèmes thermiques via la MEF

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Introduction :

La Mission des scientifiques (physiciens / mathématiciens / économistes / …) est de résoudre des problèmes réels.

Pour résoudre des problèmes simples (académiques) on suit généralement la démarche suivante :

Diag.1. Démarche de résolution des problèmes physiques académiques

Problème physique

Modèle mathématique

Outputs

Bien assimiler le phénomène,

définition des données

(Inputs/Outputs)

Résolution analytique : Outputs

décries en fonction des Inputs

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Exemple 1 :

Calculer la chaleur dissipée par une résistance traversée par un courant électrique :

Inputs : R et I

Output : P ?

Modèle mathématique : Pdéssip = RI²

Exemple 2 :

calculer la flèche d’une poutre (longueur L ; section carrée S ; module de Young E) encastrée d’un côté et chargée à l’extrémité par une force F :

Fig.1. Poutre encastrée soumise à une force

Inputs : - géométrie : L et S

- propriété matériau : E

- conditions aux limites : encastrement d’un coté

- charge : F à l’extrémité de la poutre

Outputs : - la flèche ?

Modèle mathématique : ∆=𝑭𝑳𝟑

𝟑𝑬𝑰 (𝐼 =

𝑆²

12 : moment d’inertie)

F

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Exemple 3 :

calculer le déplacement maximal d’un treillis de poutres (longueur L ; section carrée S ; module de Young E) appuyé simplement des deux extrémités inferieur et chargée par une force F :

Fig.2. Treillis de poutres encastrée aux extrémités inferieures et soumis à une force

Inputs : - géométrie : le nombre de poutres (L et S) et disposition

- propriété matériau : E

- conditions aux limites : appuis simples des 2 cotés

- charge : F en milieu haut du treillis

Outputs : - le déplacement maximal ?

Modèle mathématique : ?

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le problème relève de la Mécanique des Milieux Continus, il peut être décrit par la formulation mathématique forte (équation aux dérivées partielles) suivante :

Modèle mathématique : formulation forte (équation locale) en statique

Sachant que :

: tenseur des contraintes

: tenseur des déformations

u : champ des déplacements

fv : forces volumiques (la pesanteur dans ce cas)

Les relations entre ces grandeurs (MMC) s’écrivent :

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Output :

intégrer l’équation locale sur toute la géométrie (le volume)

le champ de déplacement u(x,y,z)

déplacement maximal du treillis de poutres

Problématique :

impossible d’intégrer analytiquement l’équation locale sur tout le trellis

Solution :

faire appel aux méthodes numériques pour élaborer un modèle numérique qu’on sera capable de résoudre.

La méthode numérique la plus appropriée pour résoudre les problèmes de mécaniques des structures est la Méthode des Eléments Finis. 8

Problème physique

Modèle mathématique

Outputs

Bien assimiler le phénomène,

définition des données

(Inputs/Outputs)

Application d’une méthode numérique

(MEF ds le cas de la mécanique des

structures)

Modèle numérique

Résolution via l’outil informatique

Diag.2. Démarche de résolution des problèmes physiques compliqués 9

1 - Définition :

La Méthode des Eléments Finis : est un schéma (méthode) numérique qui permet de simuler (résoudre) via l’outil informatique des problèmes de mécanique des structures (pas exclusivement) compliqués. Et ce, en approximant le modèle mathématique basé sur une équation aux dérivées partielles dont le nombre d’inconnus est infini par un modèle algébrique matriciel dont le nombre d’inconnus est fini. Ainsi, les professionnels emploient des logiciels qui mettent en œuvre la MEF afin de réaliser leurs projets industriels à moindre coût : dimensionnement optimale de la géométrie et des matériaux, limitations des tests sur des prototypes réels, ... Notes : - Les inconnus seront appelés par la suite « les degrés de liberté ».

- Avec la MEF, on peut aussi résoudre des problèmes en thermique, en électromagnétismes, des cas particuliers de mécanique des fluides (ballottement), …

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Exemple 4 : Résolution Expérimentation / Analytique / Logiciel EF

calculer la flèche d’une poutre en Aluminium appuyée simplement des deux côtés et chargée au milieu par une force F :

Fig.1. Poutre encastrée soumise à une force

Inputs : - géométrie : 4 mm × 20 mm × 500 mm (Iz = 1,066e-10 m3)

- propriété matériau : E(Al) 69 GPa

- conditions aux limites : Appuis simples des deux cotés

- charge : F = 10 N au milieu de la poutre

Outputs : - la flèche ?

h Expérience analytiquement Logiciel EF

Flèche (mm) 3,35 3,54 3,54

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MEF

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Exemple 5 : Modélisation 3D / état plan des contraintes

Soit un block parallélépipède (240,1 mm3) en acier (E=2,1e11Pa; =0,3) dont l’épaisseur (// à (oz)) est petit par rapport aux autre dimensions, encastré d’un coté, chargé par une force plane

(// à (oxy)) de 1 MN la structure est en état plan des contraintes.

On cherche le déplacement maximal.

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Exemple 5 : Modélisation 3D

Résultat : Ux(max) = 2,14 mm Temps de calcul : 6 s

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Exemple 5 : état plan des contraintes

Résultat : Ux(max) = 2,12 mm Temps de calcul : 3 s

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Intégration par parties en cas 3D

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Théorème de Green-Ostrogradski

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= 0 (u* est nul sur u)

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x ’

y ’

yx

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[K] =

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1 : {1,2} 1 : {3,1} 1 : {3,2}

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2 1

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- - - 3

3

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- 2 1 3

2

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1 3

1 : {1,2} 2 : {3,1} 3 : {3,2}

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1 : {1,2} 2 : {3,1} 3 : {3,2}

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2 1

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- - - 3

3

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2

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1 3

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1 : {1,2} 2 : {3,1} 3 : {3,2}

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2 1

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- - - 3

3

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1 : {1,2} 2 : {3,1} 3 : {3,2}

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3

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1 : {1,2} 2 : {3,1} 3 : {3,2}

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3

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1 : {1,2} 2 : {3,1} 3 : {3,2}

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3

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1 : {1,2} 2 : {3,1} 3 : {3,2}

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3

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