ANNEXES

ANNEXE 1 : PARAMETRES DU MODELE 3-PHASES

ANNEXE 2 : MICROTOMOGRAPHIE X HAUTE RESOLUTION

ANNEXE 3 : METHODE DE MESURE PAR ONDES ULTRASONORES

ANNEXE 5 : CALCUL DES PROPRIETES ELASTIQUES EFFECTIVES PAR FFT

ANNEXE 6 : SOUS ROUTINES GENEREES A L’AIDE DE MATLAB POUR LE CALCUL

TENSORIEL NUMERIQUE

ANNEXE 7 : ESTIMATION DES PROPRIETES EFFECTIVES D’UN AL/SIC FISSURE

AVEC CALCUL ELASTO PLASTIQUE

Annexes

219

ANNEXE 1 : PARAMETRES DU MODELE 3-PHASES

Les relations qui sont reportées ici proviennent de la reformulation générale de HERVÉ

et ZAOUI suscitée pour des fibres et des sphères à n couches en isotropie transverse (IT) et

isotropie (I) respectivement. Pour la symétrie IT (d'axe repéré par la direction «1» ), 5

composantes indépendantes du tenseur d'élasticité C peuvent être fixées à partir des relations

du tableau 1.1.

Tableau 1.1 Relations entre modules d’élasticité en symétrie isotrope transverse (IT)

Elles se réduisent à 2 en symétrie I, en général µ , et υ

µλ21

23−

=+= Ek , modules de

cisaillement et de compressibilité (le module de compressibilité transverse s'écrit µλ +=Tk

Pour le modèle 3-phases, les équations à résoudre pour déterminer les modules d'élasticité

effectifs s’écrivent, dans le cas IT (fibres), avec 2)'

(rr=ρ :

(1.1)

avec dans cette dernière équation :

(1.2)

Annexes

220

avec les matrices, vecteurs et scalaires P, Q, W, M, N donnés dans le tableau 1.2 et

avec dans N :

(1.3)

Tableau 1.2 Matrice, vecteurs et scalaires P, Q, M, N, W du modèle 3-phases pour les fibres

Dans le cas de la symétrie I (sphères), les deux relations nécessaires s’écrivent :

(1.4)

avec la définition des différents coefficients A,B,C et Z :

(1.5)

Annexes

221

En utilisant les matrices P et N du tableau 1.3 et les coefficients :

(1.6)

Tableau 1.3 Matrices P, N du modèle 3-phases pour les sphères

Annexes

222

Annexes

223

ANNEXE 2 : MICROTOMOGRAPHIE X HAUTE RESOLUTION

Il s'agit là d'une technique d'imagerie novatrice puisqu'elle est à même de remplacer les

observations effectuées habituellement en surface par la visualisation directe de la structure

interne des corps solides. Dans le domaine de l'analyse microstructurale, cela présente des

atouts manifestes notamment pour la détermination en volume des anisotropies de

distribution, la caractérisation des formes des renforts, la simplicité de préparation des

échantillons ou encore la possibilité d'effectuer des observations in-situ sous charge [18]. En

outre elle est en constant développement vers des résolutions sub-microniques.

Dans notre laboratoire, deux dispositifs expérimentaux sont utilisés: un premier à

l'ESRF (European Synchrotron Radiation Facility, ligne «ID 19» ) pour les résolutions de 1-

10 µm, et un second au sein du laboratoire CNDRI de l'INSA de Lyon pour les résolutions de

10-100 µm. Le principe est le même dans les deux cas, ils se distinguent seulement par la

taille des appareillages. Le second, que nous ne détaillerons pas, est utilisable à un rythme

quotidien et occupe un volume réduit (10m3, échantillons de taille 20x5x5 mm, temps

d'acquisition 2-3h).

Figure 2.1 : dispositif d’acquisition microtomographique [85]

La technique mise à disposition à l'ESRF tire parti des propriétés physiques du

rayonnement X émis tangentiellement par les électrons accélérés dans l'anneau du

synchrotron. La distance entre la source émettrice et l'échantillon est de 150 m pour une taille

de source de 100 µm (cf. figure 2.1) qui peut alors être considérée comme ponctuelle. Le

faisceau est rendu monochromatique par réflexion sur deux mono cristaux de Silicium et son

Annexes

224

énergie peut être réglée entre 1 et 100 keV. L'échantillon à observer (dimensions 2x0.8x0.8

mm) est enserré dans un porte-échantillon lui-même fixé sur un goniomètre autorisant un

positionnement (translation, rotation) de haute précision. Avant manipulation, la platine du

goniomètre est réglée de telle sorte que son axe de rotation soit parfaitement perpendiculaire à

la direction horizontale de l'écran. Une caméra CCD (charge-coupled device, taille

1024x1024 points) mesure alors l'intensité du rayonnement recueilli. On forme ainsi une

image radiographique communément appelée «projection» et ce pour chaque angle ( de 600 à

900) entre le faisceau et l'échantillon, ajustée à l'aide du goniomètre. Ces angles de rotation

repérés par rapport à la position initiale sont tous égaux et représentent un angle total de 180°.

La durée complète d'acquisition est de 2 à 4h.

D'une manière générale, le contraste observé sur les projections est un contraste

d'atténuation classique qui pour une épaisseur z d'échantillon traversée résulte en une intensité

de faisceau I(z) déduite de l'intensité incidente 10 par: I(z) = Ioe-µZ où µ est un coefficient

d'absorption caractéristique du matériau traversé. Dans le cas d'un matériau multiphasé (N

phases de coefficients µi, densités volumiques ρi, densité du composite ρ et de concentrations

pondérales xi) le coefficient d'absorption massique global est :

∑=

=N

i ixi

i1 ρ

µ

ρµ

Les phénomènes d'interaction sous-jacents (diffusion cohérente, diffusion COMPTON)

photon/matière indiquent que le contraste est essentiellement atomique puisque µ α Z4 avec Z

numéro atomique des éléments impliqués. L'image tridimensionnelle du matériau est ensuite

reconstruite à l'aide d'un algorithme spécifique qui prend pour base les différents paramètres

expérimentaux.

Annexes

225

ANNEXE 3 : METHODE DE MESURE PAR ONDES ULTRASONORES

1 --DISPOSITIF EXPERIMENTAL

Pour effectuer des mesures ultrasonores en incidence oblique, l’incidence i du faisceau

ultrasonore est obtenue par la composition de deux rotations θ et ϕ d’axes orthogonaux

(figure 3.1). En incidence normale, le plan formé par ces deux axes de rotation est parallèle

aux faces de l’échantillon, qui se présente sous la forme d’un lame à face parallèle. Cette

éprouvette, montée sur un mors fixe, est placée entre un émetteur et un récepteur ultrasonores,

supportés par un étrier porte-transducteurs. Cet étrier est relié à un plateau tournant, fixé sur

un côté de la cuve, qui permet une rotation ϕ d’axe horizontal. La cuve contenant le liquide

de couplage est solidaire d’un deuxième plateau tournant qui permet une rotation θ d’axe

vertical. L’angle d’incidence i du faisceau ultrasonore par rapport à la normale à la face de

l’échantillon, prise pour origine des angles, est donc obtenu par la combinaison des rotations

des deux plateaux tournants. Dans cette étude la fréquence moyenne utilisée est de 2.25 MHz.

La variation de l’angle d’incidence fournit de nombreux modes de propagation et directions

de réfraction dans le matériau selon les relations de Snell-Descartes. Pour calculer le temps de

transit à l’intérieur de l’échantillon, un signal de référence correspondant à la propagation

dans l’eau sans celui-ci est requis. An traitement du signal approprié des signaux reçus

utilisant la technique de corrélation d’interférence permet de mesurer les vitesses pour chaque

mode selon sa propre direction de propagation. Pour cette détermination, en plus du temps de

transit et de l’angle d’incidence, l’épaisseur de l’échantillon doit être connu avec une grande

précision. Dans ce but, une procédure particulière permettant sa mesure automatique à partir

de signaux ultrason d’incidence normale à été développée. L’ensemble du dispositif est piloté

par un micro-ordinateur qui gère la rotation des plateaux tournants entraînés par des moteurs

pas à pas, l’acquisition de la température du liquide de couplage, l’acquisition et le stockage

des signaux échantillonnés par un oscilloscope [44].

Annexes

226

Figure 3.1 : schéma du dispositif ultrasonore en immersion

2 - DETERMINATION ULTRASONORE DES MODULES D’ELASTICITE Aspects théoriques :

On modélise la propagation des ondes dans un milieu élastique de la manière suivante

[57]. Equation de comportement :

εσ klCijklij .= (3.1)

Equation d’équilibre :

0., =−+ γρσ if ijji (3.2)

comme 2

2

tiu

i∂

∂=γ et u lkkl ,=ε on a : 0

2

2.),.(

, =∂

∂−+

tiu

f iu lkC jikl j ρ (3.3)

comme C jiklCijkl = est une constante et en négligeant les forces volumiques dont

celles de pesanteur 0=f i , on obtient l’équation de Lamé Clapeyron suivante :

02

2.,. =

∂

∂−

tiu

u ljkC jikl ρ (3.4)

Les solutions en déplacement de cette équation au point considéré x , pour une direction

de propagation K sont du type :

)..(. txKieuou ω−= ⇒ )..(. txmK mieuoiui

ω−= (3.5) en réinjectant ces solutions dans (3.4), on obtient l’équation suivante:

0)2..()...( =−−− ωρ uoiK jK luo

kCijkl (3.6)

Qu’on peut récrire ainsi :

Annexes

227

0)..2...( =− uokkiK jK lCijkl δωρ (3.7)

En supposant qu’une onde se propage, 0≠uok , pour réaliser la condition (3.7), il faut

que :

0).2...( =− δωρ ikK jK lCijkldét (3.8)

Cette dernière équation est connue sous le nom d’équation de Christoffel, qui rassemble

les conditions de propagation d’une onde plane à travers un matériau élastique, anisotrope

homogène [32].

02 =−Γ ikVik δρ (3.8)

où Γkl = CijklKjKl est le tenseur de Christoffel, ρ est la densité de masse, V est la vitesse de

phase et δil le symbole de Kronecker. Cijkl est la matrice de rigidité de dimension 4. K est le

vecteur unitaire normale au plan de l’onde. Au lieu du tenseur Cijkl, il est plus pratique

d’utiliser la matrice CIJ , notation contractée usuelle. Pour un matériau homogène élastique et

anisotrope la vitesse de propagation des ondes ultrasonores dépend donc de la masse

volumique et des constantes d’élasticité du matériau ainsi que de la direction de propagation

[129]. L’orientation des constituants, c’est à dire des fibres et des particules dans les

composites, détermine la symétrie de la structure à l’échelle macroscopique. La symétrie

orthotrope qui est suffisamment générale pour décrire la plupart des composites, à 9

constantes élastiques indépendantes. Le système de coordonnées est déterminé de manière à

ce que l’axe 1 soit suivant la direction des fibres et l’axe 3 suivant son épaisseur comme

montré sur la figure 3.2 .

[ ]

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

66

55

44

33

2322

131211

0.00000000000

CCSym

CCCCCCC

CIJ

Figure 3.2 : matrice élastique orthotrope, axe de symétrie du matériau et plan de

propagation

Annexes

228

Détermination des constantes élastiques : la résolution du problème inverse

Les constantes élastiques doivent être obtenues à partir des mesures de vitesse. C’est

typiquement un problème inverse. Concernant, les composites unidirectionnels, l’isotropie

transverse est définie par 5 constantes élastiques indépendantes. Quoiqu’il en soit, même pour

ce type de composite, l’orthotropie peut apparaître à cause d’un arrangement initial particulier

des fibres ou de la texture matricielle ou bien lors de changements microstructuraux dus au

développement de l’endommagement [7], [32], [126].

Ainsi, dans cette étude, nous considérerons les deux symétries. Pour résoudre le

problème inverse précédemment évoqué, on peut en mesurant le nombre de vitesses

ultrasoniques appropriées, déterminer le nombre requis de constantes élastiques

indépendantes. Cette approche requiert plusieurs orientations de sections du matériau.

Quoiqu’il en soit, ce sont des mesures destructives et la caractérisation complète de matériaux

fabriqués avec de faibles épaisseurs ne peut être obtenue de cette manière. De plus, cette

méthode n’est pas adaptée quand le but est de suivre le changement des propriétés du

matériau durant l’endommagement. C’est pour cela qu’une méthode alternative utilisant un

unique échantillon en forme de lame a été préférée. Elle est basée sur de multiples mesures de

vitesse dans des plans de propagation variés (symétrique et non symétrique). De telles

mesures sont généralement obtenues en utilisant une technique d’immersion et un angle

d’incidence variable. Dans de telles configurations, pour les ondes de cisaillement, seulement

les ondes polarisées dans un plan de propagation appelé quasi-vertical de cisaillement (QVC)

peuvent être extraites de l’eau. Le problème est que l’on obtient en général plus de données

(vitesses mesurées) que l’on a d’inconnues (constantes élastiques) à déterminer. La méthode

la plus appropriée pour résoudre ce problème est d’utiliser une méthode d’optimisation basée

sur une technique de minimisation non linéaire comme cela a été initialement proposé par

Hosten et Castagnède [77] et améliorée par de nombreux auteurs [2], [32], [78], [105].

La détermination des constantes élastiques est obtenue par minimisation des moindres

carrés de l’écart entre les vitesses expérimentales et théoriques. L’algorithme de minimisation

utilisé est celui de Levenberg-Marquardt [44], [45], [121] parfaitement adapté au cas des

fonctions non linéaires et multidimensionnelles. Le processus d’optimisation est résumé à la

figure 3.3. Pour un matériau orthotrope, il y a trois plans de symétrie et neuf constantes

élastiques indépendantes. Pour les composites unidirectionnels, ces plans sont typiquement

Annexes

229

P13, P23 et P12 comme le montre la figure 3.2 qui représente aussi les neuf constantes

élastiques indépendantes. Sept des neuf constantes élastiques indépendantes (C11, C22, C33,

C44, C55, C13, C23) peuvent être déterminées à partir des mesures des vitesses des ondes quasi-

longitudinales (QL) et des (QVC) dans deux plans de symétrie nommés P13 et P23. Pour

l’identification des deux constantes élastiques restantes, C12 et C66, les ondes QL et QVC se

propageant dans le troisième plan de symétrie (plan P12) or on a besoin de l’onde quasi-

horizontale de cisaillement (QHC) dans le plan P12. A cause de la petite épaisseur du

matériau, le plan P12 n’est pas accessible à la propagation, alors on requiert la propagation

dans un plan non principal, car dans un tel plan les trois modes (incluant les ondes QHC)

peuvent être extraits. Les plans optimaux de non-symétrie dans lesquels ces deux constantes

ont le plus d’influence sur les ondes transverses ultrasoniques sont ceux dont les directions

font un angle de 45° par rapport à la direction de symétrie du matériau (plan P45 à la figure

3.2) [2], [32], [78], [105]. Pour les composites qui montrent une isotropie transverse, les

mesures dans des plans de symétrie sont suffisantes pour déterminer l’ensemble des cinq

constantes élastiques indépendantes qui caractérisent le comportement élastique. Si l’axe 1 est

six fois axe de symétrie, ces deux plans de symétrie sont les plans P13 et P23. Les 5

constantes élastiques indépendantes sont C11, C22 = C33, C13 = C12, C23, and C55 = C66 avec la

relation de l’isotropie transverse: C44 = (C22-C23)/2.

Nouvelle matrice Cijkl

Calcul de vitesseVth(Ki,Cijkl, ρ)

Calcule deL’écart en vitesse

χ2Test duMinimum de l’écart ?

InitialisationC 0ijkl

(Première étape)

Vitesse ExperimentaleVexp

Matrice optimisée Cijkl(Etape finale)

(Première étape)

Figure 3.3 Détermination des constantes élastiques par processus d’optimisation

Evaluation de l’incertitude

L’aspect itératif du processus d’optimisation n’autorise pas une répartition classique des

Annexes

230

incertitudes associées au constantes élastiques optimisées. Nous utilisons alors une méthode

de Monte-Carlo [85] qui produit de nombreuses vitesses simulées avec une dispersion

aléatoire en relation avec les erreurs expérimentales (mesure de temps, position de l’angle,

…). Les constantes élastiques sont déterminées pour chaque simulation par l’ancien processus

d’optimisation et l’analyse statistique de toutes les simulations (près de 1000). Ceci nous

permet la détermination des incertitudes associées à chaque constante élastique.

Annexes

231

ANNEXE 4 : LEMME DE HILL

[

σ champs à divergence nulle

ε compatible

si contraintes homogènes: n jijn jij Σ=σ sur la

surface S qui borde Ω .

Ou

si déformations homogènes : xkikui Ε= sur la

surface S qui borde Ω .

⇒

εσεσ :: =

Démonstration :

Par définition :

∫Ω ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂∂=∫

Ω= dv

xi

u jijx j

uiijV

dvijijV σσεσεσ211:

donc,

( ) ( )∫Ω ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂= dv

xi

iju jxi

u jijx j

ijuix j

uiijV

σσσσεσ

21:

comme σ champs à divergence nulle,

( ) ( )∫Ω ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

∂

∂+−

∂

∂= dv

xi

u jijx j

uiijV

0021:

σσεσ

En appliquant la formule d’Ostrogradski,

[ ]∫ +=S

dsniu jijn juiijV σσεσ21: (4.1)

En contraintes homogènes : n jijn jij Σ=σ

On a donc en utilisant (4.1) et en utilisant la constance de Σijsur S

[ ] εεσ ijijdvxi

u jx jui

Vij

Sdsniu jn juiV

ijΣ=∫

Ω ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂+

∂∂Σ

=∫ +Σ

=22

:

On a vu au §II.2.7.1.1 qu’en contraintes homogènes Σ= ijijσ , on en déduit donc que:

εσεσ :: =

Annexes

232

En déformations homogènes : xkikui Ε= On a donc en utilisant (4.1),

[ ]∫ Ε+Ε=S

dsnixkjkijn jxkikijV σσεσ21:

en utilisant la linéarite de l’intégration, et la constance de Εij sur S,

[ ] [ ]⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡∫Ε+∫Ε=S

dsnixkijjkS

dsn jxkijikV σσεσ21:

en utilisant la formule d’Ostrogradski, on obtient:

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫Ω ∂

∂Ε+∫

Ω ∂

∂Ε= dv

xi

xkijjkdv

x j

xkijikV

σσεσ

21:

comme σ champs à divergence nulle,

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫Ω ∂

∂Ε+∫

Ω ∂

∂Ε= dv

xi

xkijjkdv

x j

xkijikV

σσεσ

21:

donc,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫Ω

Ε+∫Ω

Ε= dvkiijjkdvkjijikV δσδσεσ21:

On obtient finalement

σσεσ ijijdvijVij

V Ε=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫Ω

Ε=

21:

On a vu au §II.2.7.1.2 qu’en déformations homogènes Ε= ijijε , on en déduit donc

que:

εσεσ :: =

Annexes

233

ANNEXE 5 : CALCUL DES PROPRIETES ELASTIQUES EFFECTIVES PAR FFT

Les méthodes de calculs numériques par éléments finis sont couramment employées

pour déterminer les distributions de champs de contraintes )(xσ et de déformations )(xε dans

un matériau hétérogène soumis à différents types de sollicitations. Cependant, à cause de la

nécessité de générer un maillage de la structure dans le cas de structures modérément

complexes, il est d'usage de réduire toute la richesse microstructurale d'un matériau en

étudiant des architectures obtenues à partir d'une cellule de base périodisée (la publication

[16] illustre cette méthodologie pour les composites à fibres). Essentiellement, il s'agit de

remplacer le caractère aléatoire d'une microstructure par son « équivalent » périodique. La

méthode développée par MOULINEC et SUQUET [106], [107] contourne cette difficulté en

proposant une approche directe du calcul des champs locaux qui incorpore comme donnée

brute une vue micrographique d'un milieu composite pour laquelle chaque pixel correspond à

une phase matérielle et donc à une loi de comportement spécifique (non nécessairement

élastique linéaire) . On résout alors dans l'espace de FOURIER l’équation (5.1) qui n’est pas

sans rappeler l'équation scalaire de Lipmann et Schwinger (1950) sur les fonctions d’onde.

')'(:)0)'((:)',(0)( dVxcxcxxEx εε −∫Ω

Γ−= (5.1)

L’équation (5.1) est l’équation intégrale formulant les problèmes d’élasticité hétérogène

à l’aide d’une fonction de Green : )',( xxOG , )(xε est le champ de déformation en x tel que

dVxV

E ∫Ω

= )(1 ε en fait l’inconnue que l’on recherche. )',(0 xxΓ est le tenseur de Green

périodique relatif à un milieu homogène de référence de modules d'élasticité C0 et qui est

fonction des dérivées partielles de )',( xxOG .

En définissant la transformée de Fourier d'un champ quelconque )(xA de l’espace réel

en un champ )(ˆ ξA de l’espace de Fourier, on a :

))(()(ˆ xATFA =ξ (5.2)

L’équation (5.1) s’écrit dans l’espace de Fourier :

Annexes

234

)))((:(:)(ˆ 0)(ˆ ξεδξξε xcTFΓ−= (5.3)

avec cxcc 0)( −=δ , on va ainsi pouvoir calculer en utilisant l’algorithme incrémental,

présenté en dessous, le champ de déformation inconnu )(xε à partir de la seule connaissance

du champ de déformation macroscopique E et de la connaissance des propriétés mécaniques

sur les différents voxels.

Algorithme de Calcul :

L'utilisation d'algorithmes de calcul par transformation de Fourier rapide ( « Fast

Fourier Transform » , FFT , calcul numérique sur une «grille» de données de longueur 2N

selon une direction) sur des ordinateurs à calcul parallèle augmente considérablement la

rapidité de résolution de l'équation (5.3). La procédure suivie pour la résolution du problème

est indiquée ci-dessous, le test de convergence signalant la fin du calcul au pas ifinal consiste à

vérifier la condition d'équilibre 0)]([ =xdiv σ .

Initialisation : i) 0=i , ,Vx ∈∀ Ex =)(0ε ii) 0=i , ,Vx ∈∀ )(:)()( 00 xxCx εσ = convergence ? iii) )(:)()( xxCx ii εσ = test de convergence 0)]([ =xdiv σ ? Itération 1+i avec passage dans l’espace de Fourier et retour :

iv) ))))((:)(0)((:)(ˆ 0)(1ˆ ξεσξξε xixCxiTFi −Γ−=+ 0≠∀ξ et Ei =+ )0(ˆ 1ε v) ))(ˆ()( 111 ξεε +−+ = ii TFx vi) retour à iii)

Le principal avantage de cette méthode est sa rapidité de calcul par rapport aux éléments

finis, son principal inconvénient est de ne pouvoir prendre en compte des structures

composites endommagées avec des vides des fissures et des cavités contrairement aux

éléments finis.

Annexes

235

ANNEXE 6 : SOUS ROUTINES GENEREES A L’AIDE DE MATLAB POUR LE CALCUL

TENSORIEL NUMERIQUE

1 - OBJECTIF:

l’objectif de ces routines est de faciliter les calculs tensoriels qui sont à la fois

simplifiés et complexifiés par la notation de Voigt.

Ici on saisit les tenseurs dans la notation qu’on désire et on fait les calculs sur les vrais

tenseurs (ordre 4 dimension 3)

2 - SAISIE DES TENSEURS

Saisie de tenseur d’ordre 2, dimension 3: a(i,j)

a=sss saisie d’un tenseur symétrique a

a=sns saisie d’un tenseur non symétrique a

Saisie de tenseur d’ordre 2, dimension 6: a(i,j) (notation de Voigt)

a=ssv saisie d’un tenseur symétrique a

a=snsv saisie d’un tenseur non symétrique a

Saisie de tenseur d’ordre 4, dimension 3: a(i,j,k,l)

a=ssvn saisie d’un tenseur symétrique en notation de voigt converti

directement en tenseur d’ordre 4 a

a=si saisie d’un tenseur de comportement isotrope a

a=so saisie d’un tenseur de comportement orthotrope a

a=auto_si(E,v)calcul du tenseur a de comportement isotrope déterminé à l’aide

du module d’Young et du coefficient de poisson

a=auto_so(E1,E2,E3,v12,v23,v13,G12,G23,G31)

calcul du tenseur a de comportement orthotrope déterminé à l’aide des

différents modules.

3 - OPERATEUR SUR TENSEURS Définition de tenseur particulier

a=id a devient le tenseur identité I d’ordre 4, de dimension 3.

a=mk a devient le tenseur K d’ordre 4, de dimension 3 tel que pour un

comportement isotrope: C=3λK+2µI

a=spesh(vm) a est le tenseur d’Eshelby d’ordre 4 pour une inclusion

sphérique,

le coefficient de Poisson matrice vaut vm

Annexes

236

a=fiesh(vm) a est le tenseur d’Eshelby d’ordre 4 pour une fibre de section

cylindrique, le coefficient de poisson matrice vaut vm

a=elesh(a1,a3,vm) a est le tenseur d’Eshelby d’ordre 4 pour une inclusion

ellipsoidale de grand axe 3 (prolate spheroide a3>a1=a2), le coefficient de

poisson matrice vaut vm

Conversion de tenseurs a=cnv(b) on convertit le tenseur b d’ordre 4, de dimension 3, en un

tenseur a d’ordre 2, de dimension 3 (notation de voigt)

a=cvn(b) on convertit le tenseur b d’ordre 2, de dimension 3 (notation de

voigt) en un tenseur a d’ordre 4, de dimension 3

Opérations sur tenseurs a=b’ a est le tenseur transposé du tenseur b d’ordre 2 (dimension

quelconque)

a=tran(b) a est le tenseur transposé du tenseur b d’ordre 4 dimension 3

a=inv(b) a est l’inverse du tenseur b d’ordre 2 (dimension quelconque)

a=inver(b) a est l’inverse du tenseur b d’ordre 4 dimension 3

a=b+c a est la somme des tenseur b et c

a=b-c a est la soustraction du tenseur b au tenseur c

a=b*c a est le produit matriciel de deux tenseurs d’ordre 2, b et c

(dimension quelconque)

a=b.*c a est le produit terme à terme de deux tenseurs b et c (d’ordre

qqc, de dimension qqc)

a=mulc(b,c) a est le produit d’un tenseur d’ordre 4 de dimension 3, b, par un

tenseur d’ordre 2 de dimension 3, c

a=mult(b,c) a est le produit de deux tenseurs d’ordre 4 de dimension 3, b et c

Qualification de tenseurs

q=depos(c) q=1 si c est un tenseur d’ordre 2 (6x6) de complaisance défini

positif, sinon q=0

4 - EXTRACTION DE VALEURS SUR LES TENSEURS Extraction de modules

a=emo(b) a sort les modules d’élasticité orthotrope du tenseur b

d’ordre 4, de dimension 3.

Annexes

237

ANNEXE 7 : ESTIMATION DES PROPRIETES EFFECTIVES D’UN AL/SIC FISSURE

AVEC CALCUL ELASTO PLASTIQUE

1 - INTRODUCTION

Dans les matériaux à matrice métallique, les matériaux n’ont que très rarement un

comportement mécanique élastique. Plus souvent on se retrouve en présence de matériaux

plastiques ou élasto-plastique. Ce comportement combiné à un endommagement particulaire

de type fissure inclusionnaire conduit à une dissymétrie du comportement en traction et en

compression. C’est ce que nous avons essayé de modéliser dans cette étude purement

numérique d’une inclusion apparentée à du SiC fissurée et décollée selon le plan équatorial et

enrobée par une matrice apparentée à de l’aluminium.

2 - MATERIAUX ET MODELE

En ce qui concerne le matériau de l’inclusion, nous avons pris un SiC (Carbure de

Silicium) un peu plus rigide que dans la littérature [4], puisque dans celle-ci, les valeurs

données sont de 420 GPa. Les valeurs que nous avons prises sont consignés dans le tableau

7.4.

Propriétés mécaniques

E(MPa)

ν

SiC

500.000

0.235

Tableau 7.4 propriétés élastique du SiC

Nous avons également sélectionné un matériau élasto plastique pour la matrice qui n’est

pas sans rappeler l’aluminium. En effet dans la littérature [42], on trouve pour un aluminium

(%Al >99.6) les propriétés mécaniques inscrites dans le tableau 7.5.

Propriétés

mécaniques

E(MPa)

ν

Re0.2(MPa)

Rm(MPa)

A%

Aluminium (%Al>99.6)

70.000

0.3

28

70

40

Tableau 7.5 propriétés élastiques de l’aluminium %AL>99.6

Annexes

238

Le modèle utilisé est un modèle élasto-plastique de Von Mises à écrouissage isotrope. Pour des raisons de convergence, nous avons dû couvrir une plage de déformation plus importante. Nous avons choisi arbitrairement A%=400%. Un autre choix peut être plus judicieux aurait pu être de prolonger la courbe réelle de traction jusqu'à atteindre une déformation limite de 400%. Cependant nous n’avions pas d’essais expérimentaux à mettre en face nous avons donc choisi des lois de comportement mécanique proche mais non identique à l’aluminium et au SiC. On peut comparer les courbes de traction simulées respectives de ces deux matériaux virtuels à la figure 7.6.

Figure 7.6 Courbes de traction partielle des matériaux modèles virtuels

3 - MODELISATION MATERIAU SAIN

Nous avons dans cette étude considéré deux fractions volumiques. Nous avons généré

les maillages représentés à la figure 7.1 en suivant la technique exposée aux §II.2.2 à §II.2.5.

Cette fois ci, comme nous sommes en élasto-plasticité, nous utilisons des triangles à 6 nœuds

permettant de générer des maillages volumiques composés de te10, tétraèdre à 10 nœuds,

avec une fonction d’interpolation de degré 2 et à 5 points d’intégration [49]. Les champs de

déformations élasto-plastiques étant plus complexes, la convergence sera d’autant plus facile

à réaliser avec un polynôme de degrés 2 [157].

Fv de SiC=6.47% Fv de SiC=19.3%

Figure 7.1 Maillage de AL/SiC fissuré avec 55,7% de décohésion

Annexes

239

Ensuite on a imposé un arrêt en translation suivant Z sur le bas de la cellule. On a

imposé sur une des deux faces normales à X , un arrêt en translation selon X tandis que

l’autre face normale à X était libre de se déformer selon un mouvement d’ensemble de bloc

rigide toujours selon X . On a imposé sur une des deux faces normales à Y , un arrêt en

translation selon Y tandis que l’autre face normale à Y était libre de se déformer selon un

mouvement d’ensemble de bloc rigide selon Y . Puis on fait un chargement incrémental sur

Z sur la face supérieur de la cellule et on calcule la somme des résultantes des champs

d’effort suivant Z sur la surface supérieure. On peut donc tracer une courbe de traction

provenant de la modélisation. Les résultats sont consignés en figure 7.7.

Fv de SiC=6.47% Fv de SiC=19.3% Figure 7.7 Courbes de traction partielle modélisée des AL/SiC sains comparée à

l’aluminium pur virtuel

On constate que la présence de SiC va bien vers un renforcement des propriétés

mécaniques effectives du composite. Ce renforcement est d’autant plus important que la

fraction volumique de SiC est grande. Il semble également que le composite composé d’un

matériau élastique et d’un matériau élasto-plastique garde pour ces fractions volumiques un

comportement élasto-plastique.

4 - MODELISATION MATERIAU ENDOMMAGE

Nous avons refait des maillages endommagés correspondant aux deux maillages

précédemment réalisés avec deux fractions volumiques différentes. Nous avons généré les

maillages représentés à la figure 7.2 en suivant la technique exposée au §II.3.3. Nous

utilisons toujours des éléments te10, tétraèdres à 10 nœuds, avec une fonction d’interpolation

Annexes

240

de degré 2 et à 5 points d’intégration [49] pour les mêmes raisons que précédemment. Les

champs de déformations élasto-plastiques étant plus complexes, la convergence sera d’autant

plus facile à réaliser avec un polynôme de degré 2 [157]. On a également rajouté un maillage

de contact entre les 2 faces de la fissure comme défini dans le §II.3.4.1.

Fv de SiC=6.47% Fv de SiC=19.3% Figure 7.2 Maillage de AL/SiC fissuré avec 55,7% de décohésion

Ensuite on a imposé un arrêt en translation suivant Z sur le bas de la cellule. On a

imposé sur une des deux faces normales à X , un arrêt en translation selon X tandis que

l’autre face normale à X était libre de se déformer selon un mouvement d’ensemble de bloc

rigide toujours selon X . On a imposé sur une des deux faces normales à Y , un arrêt en

translation selon Y tandis que l’autre face normale à Y était libre de se déformer selon un

mouvement d’ensemble de bloc rigide selon Y .

Puis on fait un chargement incrémental sur Z sur la face supérieure de la cellule et on

calcule la somme des résultantes des champs d’effort suivant Z sur la surface supérieure. On

peut donc tracer une courbe de traction provenant de la modélisation. Les résultats sont

Annexes

241

consignés en figure 7.8.

Fv de SiC=6.47% Fv de SiC=19.3% Figure 7.8 Courbes de traction partielle modélisée des AL/SiC fissurés comparée à

l’aluminium pur virtuel

On constate tout d’abord que les comportements en compression de l’Al/SiC fissuré est

très similaire à celui relevé sur la figure 7.7 et qui concernait une inclusion saine. On voit que

dans le cas ou la fraction volumique de la phase dure est importante il y a bien une importante

dissymétrie dans le comportement, vu qu’en traction le comportement du composite est

beaucoup moins rigide qu’en compression. On constate également que si la fraction

volumique de la phase rigide est faible, on va vers une réduction de la dissymétrie du

comportement, on se retrouve alors très proche d’un matériau sans phase dure…

5 - CRITIQUES DU MODELE

Contrairement à la plupart des modélisations présentées dans cette thèse, ces derniers

calculs sont assez dépendants des champs locaux dans les éléments qui vont piloter

l’écoulement élasto plastique. Or il se peut que malgré le soin accordé au choix des éléments,

ceux-ci ne soient pas assez raffinés dans les endroits où se produisent de fortes concentrations

de contrainte conduisant à de forts écoulements élasto plastique.

En effet rappelons que dans les autres calculs §II.2.7.2.5, nous n’avions besoin que du

champ moyen par élément et que même si celui-ci était légèrement erroné, sur certains

éléments localisés, il est moyenné sur des structures comportant quelques 10000 éléments,

permettant ainsi de réduire drastiquement les erreurs aux points singuliers.

De plus en s’écoulant plastiquement, la matrice élasto plastique va frotter, voire peut

être s’abraser sur les interfaces de l’inclusion fissurée et nous n’avons pas introduit de loi de

frottement aux interfaces.

Annexes

242

Pour toutes ces raisons, et parce que nous avons introduit les éléments prépondérants et

nécessaires (contact-fissure-décohésion-maillage 3D-…), mais non pas suffisants, les résultats

de cette étude ne peuvent être analysés que de manière qualitative et non pas quantitative.

Par ailleurs il semble difficile de faire une comparaison expérimentale. Il faudrait en

effet fournir une éprouvette avec 6,47% de particules fissurées toutes dans le plan médian…

6 - CONCLUSION

Les résultats de cette étude sont qualitativement intéressants. Ils montrent que

l’adjonction de particules dures dans de faibles proportions dans une matrice élasto-plastique

renforce bien les propriétés d’un composite qui reste élasto-plastique. Que plus on a une

fraction volumique importante d’inclusions plus le comportement mécanique est renforcé

quand celles-ci sont saines mais il y a une prise de risque. En effet le composite risquera

d’être affaibli si celles-ci s’endommagent par fissuration, le problème n’étant pas perçu en

compression lorsque la fissure se referme mais en traction lorsque celles-ci s’ouvrent

permettant à la matrice élasto plastique de s’écouler le long des interfaces décollées.