méthode des éléments finis - meefi. · pdf filepg. 18 méthode des...

Pg. 17

== PARTIE DEUX ============================================================

MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

1 GÉNÉRALITÉS

Les codes éléments finis font maintenant partie des outils couramment utilisés lors de la conceptionet à l'analyse des produits industriels. Les outils d'aide à la modélisation devenant de plus en plusperfectionnés, l'utilisation de la méthode des éléments finis s'est largement développée et peut sembler demoins en moins une affaire de spécialistes. Si l'utilisation de la méthode se démocratise de par lasimplicité croissante de mise en oeuvre, la fiabilité des algorithmes et la robustesse de la méthode, il restenéanmoins des questions essentielles auxquelles l’ingénieur devra répondre s’il veut effectuer une analysepar éléments finis dans de bonnes conditions. Il lui faudra :

• Formaliser les non dits et les réflexions qui justifient les choix explicites ou implicites de sonanalyse du problème.

• Évaluer la confiance qu’il accorde aux résultats produits.

• Analyser les conséquences de ces résultats par rapport aux objectifs visés. L'objectif de cette partie est de présenter les principes de base de cette méthode en insistant sur

l’enchaînement des tâches (démarche et hypothèses associées) qui assurent la cohérence du processus decalcul. Ces connaissances vous seront utiles pour maîtriser les deux principales difficultés de mise aupoint d’un modèle numérique :

• Problèmes préliminaires à la phase de calcul.

• Problèmes liés à l’exploitation des résultats et le retour à la conception.

Ne perdez jamais de vue que l'analyse des résultats nécessite une bonne compréhension desdifférentes étapes mathématiques utilisées lors de l'approximation, pour pouvoir estimer l'erreurdu modèle numérique par rapport à la solution exacte du problème mathématique.

Sans oublier que le modèle numérique ne peut fournir que des résultats relatifs auxinformations contenues dans le modèle mathématique qui découle des hypothèses de modélisation.

Nous nous limiterons à la présentation de modèles élémentaires utilisés dans le cadre des théorieslinéaires. Bien que simples ces modèles permettent déjà de traiter un grand nombre d'applications liéesaux problèmes de l'ingénieur. Du point de vue pédagogique, ils sont suffisamment complexes pour mettreen avant les difficultés de mise en oeuvre de la méthode.

L’idée fondamentale de cette méthode est de discrétiser le problème en décomposant le domainematériel à étudier en éléments de forme géométrique simple. Sur chacun de ces éléments il sera plussimple de définir une approximation nous permettant d’appliquer les méthodes présentées dans lapremière partie de ce cours. Il ne reste alors qu’à assembler les formes matricielles élémentaires pourobtenir les équations relatives à la structure à étudier. C'est sous cette forme pragmatique qu'elle estutilisée par les ingénieurs, et que nous allons maintenant l'aborder.

Pg. 18 Méthode des éléments finis

2 DÉMARCHE ÉLÉMENTS FINIS

Les principales étapes de construction d'un modèle éléments finis sont les suivantes:• Discrétisation du milieu continu en sous domaines.• Construction de l'approximation nodale par sous domaine.• Calcul des matrices élémentaires correspondant à la forme intégrale du problème.• Assemblage des matrices élémentaires - Prise en compte des conditions aux limites.• Résolution du système d'équations.

Détaillons ces différentes étapes.

2.1 Discrétisation géométrique

Cette opération consiste à procéder à un découpage du domaine continu en sous domaines:

D Dee

ne

==

∑1

telle que limtaille des e e

eD D →

=

0!

Il faut donc pouvoir représenter au mieux la géométrie souvent complexe du domaine étudié par deséléments de forme géométrique simple. Il ne doit y avoir ni recouvrement ni trou entre deux élémentsayant une frontière commune.

Lorsque la frontière du domaine est complexe, une erreur de discrétisation géométrique estinévitable. Cette erreur doit être estimée, et éventuellement réduite en modifiant la forme ou en diminuantla taille des éléments concernés (figure2.1).

Erreur de discrétisationgéométrique

Pièce présentant descongés de raccordement

Modifier la taille deséléments

Changer la géométrieéléments à frontière courbe

Figure 2.1 : Erreur de discrétisation géométrique.

Sur chaque élément nous allons chercher à définir une approximation de la fonction solution.

2.2 Approximation nodale

La méthode des éléments finis est basée sur la construction systématique d'une approximation u* duchamp des variables u par sous domaine. Cette approximation est construite sur les valeurs approchées duchamp aux noeuds de l’élément considéré, on parle de représentation nodale de l’approximation ou plussimplement d’approximation nodale.

Définition de l'approximation nodale

Définition : l'approximation par éléments finis est une approximation nodale par sous domaines

ne faisant intervenir que les variables nodales du domaine élémentaire De.

[ ] { }∀ ∈ =M D u N ue M M n * ( ) ( )

Partie II : Méthode des éléments finis pg. 19

u M* ( ) valeur de la fonction approchée en tout point M de l'élément

[ ]N matrice ligne des fonctions d'interpolation de l'élément

{ }un variables nodales relatives aux noeuds d'interpolation de l'élément

Remarque : dans le cas général le champ à approcher est un champ vectoriel. Nous utilisons alors la

notation matricielle suivante { } [ ] { }u N uM M n* ( ) ( )=

Les noeuds Mi sont des points de l'élément pour lesquels on choisi d'identifier l'approximation u* àla valeur du champ de variables u. Nous en déduisons que

∀ =M u ui M ii * ( )

soit pour l'approximation nodale

∀ =≠=

M Ni j

i ji Mi

si

si j ( )

0

1

Illustration II-1: construction d’une approximation nodale linéaire

Soit une fonction d'une variable définie sur un domaine discrétisé en trois éléments à deuxnoeuds. Construisons l'approximation nodale associée à ces éléments (figure 2.2).

Approximation linéaireutilisant 3 éléments

+

+

élément 1

élément 2

élément 3

Valeurs approchéesaux noeuds xi

x

Figure2.2 : Approximation nodale à une dimension

Pour chaque élément, nous avons deux variables nodales, nous cherchons donc uneapproximation à deux paramètres. Le plus simple est d’utiliser une base polynomiale, ce qui nousconduit à une approximation linéaire de la forme :

[ ] u xa

ax* ,( ) =

11

2

or pour x = 0 u ui* ( )0 = pour x e= " u u

e j* ( )" =

nous en déduisons

a u

au u

i

j i

e

1

2

=

=−

"

soit pour l'approximation ] ux x u

ux t

e e

i t

j t* [ ,( , )

( )

( )= −

1" "

Nous venons de construire les deux fonctions d’interpolation de l’élément linéaire à deuxnoeuds :


Nx

x

e1 ( ) = −1

" nous vérifions que :

N

N

O

e

1

1

( )

( )

==

1

0"

N11

10x/le

Nx

x

e2 ( ) =

"nous vérifions que :

N

N

O

e

2

2

( )

( )

==

0

1"

x/le

N2

1

10

Nous retrouverons ces deux fonctions dans la construction de l’élément mécanique detraction - compression.

Construction de l'approximation nodale

Comme l’illustre l’exemple précédent, l’interpolation nodale est construite à partir d’uneapproximation générale :

[ ] { }∀ =M u aM M * ( ) ( )Φ [ ]Φ est une base de fonctions connues indépendantes

(en général une base polynomiale)

{ }a vecteur des paramètres de l’approximation (paramètres généralisés) ils n’ont pas de signification physique

Exemples de bases polynomiales complètes:

1 dimension: linéaire [1, x] 2 variables

quadratique [1, x, x2] 3 variables 2 dimensions: linéaire [1, x, y] 3 variables

quadratique [1, x, y, x2, xy, y2] 6 variables 3 dimensions: linéaire [1, x, y, z] 4 variables

quadratique [1, x, y, z, x2, xy, y2, xz, z2, yz] 10 variables

Pour utiliser une base polynomiale complète, le nombre de termes doit être égal au nombre devariables nodales à identifier. Si l'on ne peut pas utiliser un polynôme complet le meilleur choix consiste àrespecter la symétrie des monômes conservés.

exemples de bases polynomiales incomplètes:

2 dimensions: "bi - linéaire" [1, x, y, xy] 4 variables 3 dimensions: "tri - linéaire" [1, x, y, z, xy, xz, yz, xyz] 8 variables

En identifiant aux noeuds l'approximation u* à la valeur du champ de variables u, nous pouvonsexprimer les paramètres généralisés {a} en fonction des variables nodales un

[ ] { }u u an M n Mn

= =* ( ) ( )Φ soit: { } { }a T un= [ ] avec

[ ][ ]

[ ][ ]

...

...

( )T M n=

−

Φ

1

Pour éviter des erreurs de modèle trop importantes, la matrice à inverser doit être bien conditionnée.Ce conditionnement est lié au choix de la base polynomiale et à la géométrie des éléments.

En reportant ce résultat dans l'approximation nous obtenons la matrice des fonctions d'interpolation.

[ ] [ ]N TM M( ) ( ) [ ]= Φ


Illustration II-2: construction des fonction d’interpolation d’un élément triangulaire

Soit un élément triangulaire à trois noeuds.

#yo

#xox1

élément réel

1

2

3

x2x3

y3

y1

y2

Nous avons trois variables nodales, nous cherchons donc une approximation polynomialelinéaire de la forme :

[ ] u x y

a

a

a

x y* ( , ) =

11

2

3

Identifions les valeurs nodales : u ux y ii i* ( , ) =

Nous obtenons la relation matricielle suivante :

u

u

u

x y

x y

x y

a

a

a

1

2

3

1 1

2 2

3 3

1

2

3

1

1

1

=

Il est simple de vérifier que la relation inverse est de la forme :

a

a

aA

y y y

x x x

u

u

u

1

2

3

23 31 12

23 31 12

32 13 21

1

2

3

1

2

=

∆ ∆ ∆ avec

A

x x x y y y

x y x y

aire du triangle

etij i j ij i j

ij i j j i

== − = −= −

∆

Reportons ce résultats dans l’approximation, nous obtenons :

] u N N N

u

u

u

x y* [( , ) =

1 2 3

1

2

3

avec par permutation circulaire de ijk

NA

x y y xi jk jk jk

= + −1

2( )∆

Nous venons de construire les fonctions d’interpolation d’un élément triangulaire quelconque,si la démarche est simple les calculs le sont moins du fait de la forme quelconque de l’élément. Enpratique les fonctions d’interpolation sont construites pour des éléments possédant des propriétésgéométriques permettant de simplifier les calculs. Ce sont les éléments de référence dont nousprésentons maintenant quelques exemples.

Approximation nodale de quelques éléments de référence

Les fonctions d'interpolation sont construites sur des éléments de référence. Un élément deréférence est un élément de forme géométrique simple (frontières rectilignes), pour lequell'approximation nodale est construite en suivant la démarche analytique précédente. Le passage del'élément de référence à l'élément réel sera réalisé par une transformation géométrique. Nousentendons par élément réel un élément quelconque du domaine discrétisé.

Deux grandes familles d'éléments sont souvent présentées:


- Les éléments de type Lagrange - Les éléments de type Hermite

Pour les éléments de type Lagrange, on augmente le nombre de noeuds en conservant une seulevariable nodale. Pour les éléments de type Hermite on augmente le nombre de variables nodales, enretenant par exemple les valeurs des dérivées du champ aux noeuds. L'élément poutre présenté dans lechapitre suivant fait parti de la famille de l'Hermite.

Éléments à une dimension

Approximation linéaire: La base polynomiale utilisée est (1, s). C'est un élément à deux noeuds.

Les fonctions d'interpolation sont :

N s L s

N s L s1

2

( )

( )

= = −= =

1

2

1

s

N21

10

N1

Approximation quadratique: La base polynomiale utilisée est (1, s, s2). C'est un élément à trois noeuds.


N s L L

N s L L

N s L L

1

2

3

( )

( )

( )

( )

( )

= −== −

1 1

1 2

2 2

2 1

4

2 1

N NN1 2

31

1s

0

Approximation cubique: La base polynomiale utilisée est (1, s, s2, s3). C'est un élément à quatre noeuds.


N sL

L L

N s L L L

N s L L L

N sL

L L

1

2

3

4

( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

= − −

= −

= −

= − −

11 1

1 2 1

1 2 2

22 2

23 1 3 2

9

23 1

9

23 1

23 1 3 2

N

N

1

2

s10

1

N3 et N4 sont symétriques de N2 et N1.

Avec la même base polynomiale nous pouvons aussi construire un élément à deux noeuds ayantdeux variables par noeud, c'est un élément de type l'Hermite. Si nous utilisons comme variables nodales lechamp et sa dérivée première, nous obtenons les fonctions d'interpolation de l'élément poutre que nousprésentons dans la dernière partie de ce cours.

N s s s

N s s s s

N s s s

N s s s

1

2

3

4

( )

( )

( )

( )

= − += − += −= − +

1 3 2

2

3 2

2 3

2 3

2 3

2 3

1

1

s

N2

N3

1

N4

N1

Éléments à deux dimensions triangulaire

Approximation linéaire:

La base polynomiale utilisée est (1, s, t). L'élément de référence est un triangle rectangle à troisnoeuds de type "T3".


t

s(1,0)

(0,1)

(0,0)

3

21

��

1

2

31N

N s t1 = − −1

��

N2

1

2

3

N s2 =

��1

2

3N

N t3 = Figure 2.3 : Fonctions d'interpolations linéaires du triangle

Approximation quadratique:

La base polynomiale utilisée est (1, s, t, s2, st, t2). L'élément de référence est un triangle rectangle àsix noeuds de type "T6".

posons: L s t1 = − −1 , L s2 = , L t3 =

Pour les 3 noeuds sommet: i = 1,2,3 N L Li ii = −( )2 1

Pour les 3 noeuds d'interface (4,5,6): i = 1,2,3 N L Lj ki+3 = 4

j i k et k i≠ ≠,

t

s21

3

45

6

La figure ci dessous donne une représentation de deux des fonctions d'interpolation. Les autress'obtiennent par permutation des indices.

1

1

6

4

5

2

3N L L1 = −1 12 1( )

1

1

6

4

5

3

N L L4 = 4 2 3

2

Figure 2.4 : Fonctions d'interpolations quadratiques du triangle

Éléments à deux dimensions rectangulaire

Approximation bi - linéaire:

La base polynomiale utilisée est (1, s, t, st). L'élément de référence est un carré à quatre noeuds detype "Q4". Les fonctions d'interpolation sont données ci-dessous. Seule la fonction N1 est représentée les

autres s'obtiennent par permutation. [ ]s et t ∈ − 1 1,

N s t

N s t

N s t

N s t

1

2

3

4

= − −= + −= + += − +

14141414

1 1

1 1

1 1

1 1

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

3

t

s

1 2

4

��

1

1

N1

2

3

De la même façon on peut construire, à partir d'une base polynomiale complète les fonctionsd'interpolation des éléments rectangulaires à 9 noeuds (approximation quadratique), et à 16 noeuds(approximation cubique). Ces éléments ont respectivement 1 et 4 noeuds internes.

Du point de vue pratique, on construit des éléments ayant un minimum de noeuds internes, car cesnoeuds ne sont pas connectés aux noeuds des autres éléments. On utilise donc des bases polynomialesincomplètes mais symétriques.


Le "Q8" est construit à partir de la base :

(1, s, t, s2, st, t2, s2t, st2)

Le "Q12" est construit à partir de la base :

(1, s, t, s2, st, t2, s3, s2t, t2s, t3, s3t, st3)

Pour terminer ce paragraphe sur l'approximation nodale, signalons que les expressions des fonctionsd'interpolation de ces éléments et de nombreux autres sont données dans le livre de Dhatt et Touzot "Uneprésentation de la méthode des éléments finis" (chapitre II).

2.3 Matrices élémentaires

Nous présentons maintenant la démarche générale utilisée pour construire les formes matricielles surchaque élément. Pour illustrer notre propos, nous utiliserons comme point de départ la forme intégrale duprincipe des travaux virtuels associée à un problème de mécanique des structures présenté dans lapremière partie de ce cours. Comme nous l’avons vu cette forme intégrale est de même type que cellespouvant être déduites des méthodes variationnelles, la généralisation à des problèmes de physique estdonc simple, des applications sont proposées dans les pauses d’illustration de ce cours.

Soit la forme intégrale du PTV

∀ = − + +∫ ∫ ∫ ∫δ ρ δ σ δε δ δ∂

# # # # # # #u u u dV dV f u dV T u dS $$. : . .

D D D D

Sur chaque élément nous utilisons l'approximation nodale pour exprimer le champ des déplacements#u et le champ des déplacements virtuels δ#u .

Ainsi le produit scalaire : { } [ ] [ ] { }# #$$ . $$( ) ( ) ( ) ( )u u u N N uM M n

TM

TM nδ δ=

D’où le premier terme :

{ } [ ]{ }ρ δ δ # #$$. $$u u dV u M u

Den

T

e n∫ =

avec [ ] [ ] [ ]M N N dVe MT

M

De

= ∫ ( ) ( )ρ matrice masse élémentaire.

Pour exprimer le second terme les deux tenseurs sont représentés par des vecteurs nous permettantde remplacer le produit doublement contracté par un simple produit scalaire. Ces notations ont étéintroduites dans le paragraphe I-3.2.

Pour un milieu 3D :

{ }ε ε ε ε ε ε ε ε → =< >Txx yy zz xy xz yz, , , , ,2 2 2

{ }σ σ σ σ σ σ σ σ → =< >Txx yy zz xy xz yz, , , , ,

De plus le vecteur des déformations s'exprime en fonction du champ des déplacements. Ces relationsgéométriques font apparaître des opérateurs différentiels appliqués à

#u . Que nous notons sous forme

matricielle :

{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { }ε ( ) ( ) ( ) ( )M M M n M nL u L N u B u= = =#

[B] :matrice d'opérateurs différentiels appliqués aux fonctions d'interpolation

Les lois de comportement permettent d'exprimer le vecteur des contraintes en fonction du vecteurdes déformations, soit:

{ } [ ]{ } [ ][ ] { }σ ε ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M M M M M nD D B u= =

D'où le second terme :


{ } [ ] { }σ δε δ : dV u K uDe

n

T

e n∫ =

avec [ ]K B D B dVe MT

M M

De

= ∫ [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) matrice raideur élémentaire.

Il nous reste à exprimer le travail virtuel des efforts. En pratique, on considère d'une part les effortsdonnés et d'autre part les efforts inconnus qui sont les efforts nécessaires pour assurer les liaisonscinématiques. Sur chaque élément, nous utilisons l'approximation du champ des déplacements pourexprimer le travail virtuel de ces efforts.

efforts donnés δ δ δ∂

= T f u dV T u dSde dDe

dDe

# # # #. .+∫ ∫

d’où { } { }δ δ = unT Fde

T

de

avec { } { } { }F N f dV N T dSde MT

dDe

MT

dDe

= < > + < >∫ ∫( ) ( )

# #

∂

efforts inconnus δ δ∂

= T T u dSie iDe

# #.∫

d’où { } { }δ δ = unT Fie

T

ie

En pratique les efforts inconnus représentent les actions mécaniques extérieures à l’élémentconsidéré. On y trouve les efforts de liaison entre les éléments, et éventuellement pour les éléments defrontière les efforts associés aux liaisons cinématiques de la structure.

Comme nous le verrons lors de l’assemblage, les nœuds internes non chargés sont des systèmesmécaniques en équilibre, ce qui entraîne que le torseur des actions mécaniques de tous les effortsélémentaires des éléments connectés à un même nœud est nul.

Reportons dans la forme intégrale les résultats obtenus pour chaque élément, nous obtenons uneéquation matricielle de la forme :

[ ] { } [ ] { } { } { }∀ + = +D M u K u F Fe e n e n de ie $$

Illustration II-3 : Traitons le cas d’une structure élastique de symétrie cylindrique. Nous utilisonsle système de coordonnées cylindriques.

#yo

b

#zo

#xo #

er

symétrie cylindrique

θ#eθ

#ez

Compte tenu des hypothèses de symétrie, le champ des déplacements est de la forme :

{ }bM t

r r z t

z r z t

u

u u

u

u w

#( , )

( , , )

( , , )

==

==

θ 0 . Nous posons : { }Uu

w=

Pour calculer le gradient partons de sa définition : du grad u dX# # #

= ( )

avec sur la base b : { }bdX

dr

rd

dz

#=

θ


Or du du du ub b

# # # #= + Λ soit sur la base b : { }br

r

z

du

du u d

du u d

du

# =−+

θ

θ

θθ

En tenant compte que u oθ = et que u ur zet sont indépendant de θ nous obtenons par

identification la matrice associée au tenseur gradient sur la base b :

[ ] [ ]H grad u

u uu

rw w

r z

r z

= =

( )

, ,

, ,

#

0

0 0

0

En petites déformations : { }ε

εεεε

∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

θθ=

=

rr

zz

rz

r

r

z

z r

u

w

2

0

1 0

0 de la forme [ ]{ }L U

Pour modéliser la structure utilisons des éléments triangulaires à trois noeuds du type de celuiprésenté dans la pause d’illustration précédente. L’approximation est de la forme :

{ } 0 0 0

UN N N

N N N

u

w

u

w

u

w

r z* ( , ) =

1 2 3

1 2 3

1

1

2

2

3

3

0 0 0 de la forme [ ]{ }N U e

avec les fonctions NA

r z z ri jk jk jk= + −1

2( )∆

La matrice [ ]B se calcul simplement par :

[ ] [ ] { }B L U

N N N

N r N r N r

N N N

N N N N N N

r r r

z z z

z r z r z r

= =

*

, , ,

, , ,

, , , , , ,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Si le matériau est homogène isotrope élastique nous utiliserons la loi de HOOKE pourexprimer la matrice d’élasticité [D] soit :

σ λ ε µ ε= + trace( ) 1 2 avec λ ν

ν νµ ν

= + −= +

E

E( )( )

( )

1 1 2

2 1

d’où :

σσσσ

ν ν

ν ν νν ν νν ν ν

ν

εεεε

θθ θθ

rr

zz

rz

rr

zz

rz

E

=+ −

−−

−−

( )( )

( )

1 1 2

1 0

1 0

1 0

0 0 0 1 2 2 2


de la forme { } [ ]{ }σ ε= D

Ayant l’expression des matrices [N], [B], [D] il est possible d’envisager le calcul des matricesmasse et raideur élémentaires ainsi que le calcul des vecteurs forces généralisées. Ces calculsnécessitent une intégration sur le domaine élémentaire ...

Remarque : Les expressions des matrices élémentaires que nous venons de voir, font apparaîtredes opérateurs différentiels et des intégrales sur le domaine élémentaire. Or, le calculanalytique des dérivations et de l'intégration n'est possible que pour des éléments trèssimples tels que la barre et la poutre que nous traitons dans la dernière partie. Un codeéléments finis a recours au calcul numérique, ces calculs sont basés sur l’intégrationnumérique (définie sur des éléments de référence) et l’utilisation d’une transformation géométriquedéfinissant les éléments réels à partir d’éléments de référence.

2.4 Assemblage et conditions aux limites

Les règles d'assemblage sont définies par la relation : D De

e

ne

≅=

∑1

Attention de ne pas oublier l’erreur de discrétisation géométrique.

L'assemblage des matrices élémentaires masse [Me] et raideur [Ke] s’effectue selon les mêmesrègles. Ces règles sont définies par sommation des termes correspondant au travail virtuel calculé pourchaque élément :

{ } [ ] { } { } [ ] { }e

ne

n

T

e n

Tu M u U M U=

∑ =1

δ δ $$ $$

{ } [ ] { } { } [ ] { }e

ne

n

T

e nTu K u U K U

=∑ =

1

δ δ

Cette opération traduit simplement que la forme quadratique associée à l’ensemble du domaine est lasomme des formes quadratiques des sous - domaines. Elle consiste à « ranger* » dans une matriceglobale, les termes des matrices élémentaires. La forme de cette matrice dépend bien évidemment del’ordre dans lequel sont définies les variables globales de {U}.

* Les algorithmes de rangement dépendent de la taille du système, et du type d’équations à résoudre, et d’autres paramètrestels que le type de machine utilisée, de l'algorithme de résolution, etc... Le choix de ces algorithmes et un problème essentiellementnumérique, les méthodes de type matrices bandes ou matrices ligne de ciel sont présentées dans le livre de D&T.

Pour les efforts donnés l’assemblage ne pose pas de problème, il est défini par sommation destermes correspondant au travail virtuel calculé pour chaque élément.

{ } { } { } { }e

ne

n

T

de

T

du F U F=

∑ =1

δ δ

Remarque : Si l’effort est appliqué à un nœud de la structure, il vient naturellement se placer surla ligne correspondant au degré de liberté concerné du vecteur force généralisée.

Pour les efforts inconnus l’assemblage peut être mené de façon identique. Cependant, si les liaisonsentre les éléments sont parfaites la somme des efforts inconnus aux nœuds internes de la structure estnulle. Nous pouvons en tenir compte pour simplifier l’expression du travail virtuel des efforts inconnus,en ne calculant que le travail virtuel des efforts correspondants aux liaisons cinématiques imposées à lastructure, et à celui des liaisons non parfaites.


Après assemblage, nous obtenons la forme matricielle du principe des travaux virtuels :

[ ] { } [ ] { } { } { }M U K U F Fd i $$ + = +

Sous cette forme, nous avons N équations pour N+P inconnues. Pour résoudre, il faut tenircompte des P conditions aux limites cinématiques associées aux P composantes inconnues duvecteur {Fi} *

* Nous avons supposé ici que toutes les liaisons étaient parfaites, pour ne pas faire intervenir d’autres inconnues supplémentaires.

Illustration II-4 : Assemblage et conditions aux limites.

Reprenons le problème de l’écoulement fluide présenté dans la pause d’illustration I-2 dupremier chapitre. Pour traiter ce problème par éléments finis, nous discrétisons la section droiteen 4 triangles. La numérotation des éléments et des noeuds est définie par la figure suivante.

Section

1

(1)

2 3

4

5

(4)

(3)

(2)

Comme nous l’avons montré dans la pause I-3, la matrice raideur et le vecteur forcegénéralisé pour chaque élément sont définis par :

[ ] [ ] [ ]K B B dSe e

T

De

e

= ∫ et { } [ ]Φe e

T

D

N f dSe

= ∫

Pour l’élément 1 : [ ]K1 et { }Φ1 sont définis sur < >u u u1 2 5

l’élément 2 : [ ]K2 et { }Φ2 sont définis sur < >u u u2 3 5



Assemblage : La matrice et le vecteur assemblés sur < >u u u u u1 2 3 4 5 sont de la forme :

[ ]K

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k k

=

+ +

+ +

+ +

+ +

+ + + + + + +

1 4 1 4 1 4

1 1 2 2 1 2

2 2 3 3 2 3

4 3 3 4 3 4

1 4 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4

0

0

0

0

et { }Φ =

+

+

+

+

+ + +

ϕϕϕϕ

ϕ

1 4

1 2

2 3

3 4

1 2 3 4

Conditions aux limites : Sur la frontière la vitesse d’écoulement est nulle ce qui entraînent : u u u u1 2 3 4 0= = = = .

La dernière équation nous permet alors de calculer u5 , solution approchée du problème qui

correspond à la vitesse de l’écoulement fluide au centre de la conduite.

! Nous ne présentons pas le calcul analytique des matrices et vecteurs forces généraliséesélémentaires. Utilisez les pauses d’illustration précédentes et servez vous des fichiers Maplepour mener ce calcul. Par contre nous présenterons la démarche correspondant au calculnumérique de ces termes élémentaires dans la pause d’illustration suivante.


3 UTILISATION D'UN LOGICIEL ÉLÉMENTS FINIS

Un programme général de type industriel doit être capable de résoudre des problèmes variés degrandes tailles (de mille à quelques centaines de milliers de variables). Ces programmes complexesnécessitent un travail d'approche non négligeable avant d'espérer pouvoir traiter un problème réel defaçon correcte. Citons à titre d'exemple quelques noms de logiciels: NASTRAN, ANSYS, ADINA,ABAQUS, CASTEM 2000, CESAR, SAMCEF, etc. ...

Les possibilités offertes par de tels programmes sont nombreuses:

- Analyse linéaire ou non d'un système physique continu ; - Analyse statique ou dynamique ; - Prise en compte de lois de comportement complexes ; - Prise en compte de phénomènes divers (élasticité, thermiques, électromagnétiques, de plasticité,

d'écoulement, etc. ...) pouvant être couplés ; - Problèmes d'optimisation ; - etc. .... et ils ne cessent de se développer !

L'utilisation de tels programmes nécessite une formation de base minimum, suivie d'applicationspratiques sur des problèmes simples. Voyons tout d'abord comment se déroule une étude basée surl'utilisation d'un logiciel éléments finis.

3.1 Déroulement d'une étude

Pour réaliser une étude par éléments finis, il faut que les objectifs de l'étude soient bien définis(statique ou dynamique, élastique ou plastique, thermique, le type de matériaux, les charges appliquées...). Le cadre de l'étude, c'est à dire le temps et les moyens disponibles, doit être compatible avec lesobjectifs et la précision cherchée. Supposons toutes ces conditions remplies (ce qui est rarement le cas), l'étudeproprement dite est organisée de façon logique selon les étapes suivantes:

a - Analyse du problème:

Cette analyse doit fixer les paramètres du calcul et conduire à la réalisation d'un maillage. Cettephase basée sur l'expérience personnelle acquise dépend de nombreuses considérations. La difficultéessentielle est de trouver un bon compromis entre les paramètres propres au problème et ceux relatifs àl'environnement de travail. L'analyse du problème nous conduit à préciser un certain nombred'hypothèses, et à effectuer des choix qui conditionnent les résultats.

Choix du modèle: En calcul des structures, les plus classiques sont de type : poutre, élasticitéplane, axisymétrique, coques mince ou épaisse, tridimensionnel, ... À ces modèlesmathématiques correspondent des familles d'éléments finis. La quatrième partie de ce coursprésente quelques familles d'éléments finis utilisées pour résoudre des problèmes del'ingénieur.

Choix du type d'éléments: fonction de la précision voulue, de la nature du problème, mais aussidu temps disponible. On choisira les éléments les mieux adaptés dans les famillesdisponibles.

Choix du maillage: Il dépend essentiellement de la géométrie, des sollicitations extérieures, desconditions aux limites à imposer, mais aussi des informations recherchées: locales ouglobales. Sans oublier bien entendu le type d'outils dont on dispose pour réaliser cemaillage.

Hypothèses de comportement: Quel modèle retenir pour représenter le comportement dumatériau. Le calcul est-il linéaire ? Doit - on modéliser l'amortissement? Si le matériau esthétérogène ou composite, peut-on utiliser une méthode d'homogénéisation? Peut - ontraduire l'incompressibilité du milieu.

Lors d'une étude, on peut être amené à utiliser des éléments finis nouveaux (inconnus del'utilisateur). Il est indispensable de vérifier leur comportement sur des problèmes élémentaires sipossible proches de l'étude menée. L'ouvrage suivant "Guide de validation des progiciels de calculsdes structures, AFNOR technique 1990", contient des cas tests pouvant servir pour de nombreuxproblèmes.

Ces cas tests permettent de comparer la solution obtenue avec d'autres solutions numériques ou


analytiques. Ce travail préliminaire est utile pour former sa propre expérience et permet de validerl'utilisation du modèle testé.

b - Création et vérification des données:

Cette étape dépend du logiciel utilisé. La syntaxe utilisée pour définir le jeu de données est définiedans le mode d'emploi du bloc fonctionnel correspondant. En sortie, un fichier est créé, qui contienttoutes les informations nécessaires à l'exécution des calculs. Les vérifications relatives au jeu de donnéesse font généralement graphiquement, grâce à un module informatique appelé pré-processeur.

Différents contrôles peuvent être utilisés pour valider le jeu de données :

• Vérification de la géométrie de la pièce et du maillage, le bon sens et l’expérience acquisevous guideront pour vérifier à l’œil que votre maillage n’est pas aberrant *.

* Nous en parlons dans le paragraphe suivant (techniques de calculs au niveau élémentaire) il est souhaitable que leséléments soient le moins distordus possible, surtout dans les zones sensibles (fortement sollicitées) de la structure.

• Vérification de la prise en compte des sollicitations et des conditions cinématiques (liaisons)

imposées à la structure.

• Vérification des propriétés mécaniques utilisées.

Pour des problèmes spécifiques, d’autres contrôles seront envisagés. L’objectif de ces premierscontrôles est d’éviter de faire tourner un calcul inutilement. Ceci d’autant plus que la recherched’une solution acceptable pour un problème donné est rarement le résultat d’un seul calcul, éviterdonc d’en faire inutilement !

c - Exécution du calcul:

Ce bloc, le plus coûteux en temps machine est souvent exécuté en tâche de fond (background (unix)).Un fichier de résultats permet de vérifier que les différentes phases de calculs se sont correctementdéroulées :

- Interprétation des données, vérification des paramètres manquants - Construction des matrices (espace utile pour les gros problèmes)

- Singularité de la matrice raideur (problème de Conditions aux limites ou de définition des éléments )

- Convergence, nombre d'itérations, etc ...

Ce fichier peut contenir aussi les résultats du calcul (déplacements, résidus, contraintes,...) ce qui luiconfère dans ce cas un volume généralement très important.

Il peut arriver que le calcul échoue. Les principales sources d'erreurs généralement observées à ceniveau sont les suivantes:

"erreurs" "causes" "remèdes"

Singularité de [K] éléments mal définis existence de modes rigides

intégration numérique *

modifier la topologie du maillage modifier les liaisons

modifier le nombre de points d'intégration

Résolution deséquations**

Arrondi numérique Non convergence

travailler en double précision changer d'algorithme

augmenter le nombre d’itérations

* Nous en parlons dans le paragraphe suivant (techniques de calculs au niveau élémentaire) la forme des éléments et lenombre de point d’intégration peut conduire à une matrice raideur singulière.

** Reportez vous au cours d'Analyse Numérique de première année "C. BOLLEY".

d - Exploitation des résultats:

Les calculs demandés dans le cahier des charges ont le plus souvent pour objectif de valider ou devérifier le dimensionnement d'une structure. Les résultats obtenus et les conclusions relatives auxphénomènes à étudier devront être présentés de façon synthétique: tableaux, courbes, visualisation.Cela justifie largement l’utilisation d’un post-processeur, qui propose des outils pour sélectionner lesinformations que l'on veut étudier.


Attention: lors de l'utilisation de ces outils, il faut savoir ce que cache l'information qui vousest proposée graphiquement, sachant que celle-ci est construite à partir de résultats discrets :

- Valeur moyenne sur un élément: Comment est elle définie? - Valeur maximale sur l'élément: Comment est elle calculée? - Valeurs aux noeuds (écarts entre les éléments): A quoi correspondent elles? - Les courbes d'iso contraintes ont elles une signification? - etc. ...

Différentes vérifications doivent être effectuées pour valider les résultats. Ces vérificationsentraînent dans la plupart des cas à remettre en cause le modèle pour en créer un nouveau, dont on espèrequ’il améliorera la solution précédente.

Pour valider une solution, il faut procéder dans l’ordre, en estimant dans un premier temps laprécision du modèle. Puis lorsque celle ci est jugée suffisante, nous procédons à sa validation. Lesindicateurs sur la précision du modèle sont généralement locaux. Ils concernent des informationsélémentaires calculées aux noeuds ou aux points d’intégration*, ces informations sont très souventfournies en valeur moyenne sur l’élément.

* Cf le paragraphe suivant : techniques de calculs au niveau élémentaire.

Les indicateurs locaux sur la précision d’un modèle mécanique peuvent être :

• Discontinuité des contraintes entre des éléments adjacents. Le plus simple, pour unmatériau isotrope, est de visualiser la contrainte équivalente de Von Mises, cela permet d’avoirune idée des zones fortement chargées ayant un fort gradient de contrainte. Ces zones serontl’objet de toute notre attention.

• Valeur du tenseur des contraintes sur les bords libres (certaines valeurs doivent être nulles). Enpratique il faudra estimer ces valeurs à partir des valeurs obtenues aux points d’intégration.

• Densité d’énergie interne de déformation sur chaque élément, l’idéal étant d’avoir un écartle plus faible possible.

Ayant les informations sur la qualité de la solution, différents contrôles peuvent être envisagés pourvalider votre modèle :

• Ordre de grandeur des résultats obtenus

• vérification des hypothèses du modèle*

* Par exemple en élasticité linéaire il faut vérifier que l’amplitude des déplacements reste faible par rapport auxdimensions de la structure, que les déformations et les contraintes observées respectent les hypothèses de linéarités de laloi de comportement.

• Que les choix de départs sont justifiés.

La comparaison des résultats des différents modèles permet d'améliorer puis de valider un modèle"final". Une fois la fiabilité du modèle assurée, on peut conclure sur l’adéquation entre la structure et lecahier des charges. La synthèse de ces calculs préliminaires est indispensable car elle vous permet dejustifier et de définir les limites (du ou) des modèles retenus.

3.2 Techniques de calculs au niveau élémentaire.

Ce paragraphe plus technique présente quelques aspects du calcul numérique qui permet d'exprimerles formes intégrales présentées précédemment. Ces calculs sont basés sur l’intégration numérique (définiesur des éléments de référence) et l’utilisation de la transformation géométrique pour définir les élémentsréels à partir d’éléments de référence. Les notions que nous présentons seront utiles pour analyser lesmodèles, elles sont cependant insuffisantes pour prétendre programmer vous même vos propres éléments.

a - Notion de transformation géométrique

Tout élément réel peut être défini comme l'image par une transformation géométrique d'unélément parent dit de référence pour lequel les fonctions d'interpolation sont connues.

La transformation géométrique définit les coordonnées (x,y,z) de tout point de l'élément réel à partir


des coordonnées (s,t,u) du point correspondant de l'élément de référence soit :

Dréférence ----T--" Dréel (s,t,u) ----τe--" (x,y,z)

t

t

s

(1,1)

(-1,-1) (1,-1)

(-1,1)

élé. de référence

τe

s

x

y

élé. réel

1 2

34

(x1,y1)(x2,y2)

(x3,y3)

(x4,y4)

Figure 2.5 : Exemple de transformation géométrique linéaire d'un carré

Un même élément de référence permettra de générer une classe d'éléments réels. A chaque élémentréel correspond une transformation géométrique différente, cette transformation devant être une bijection.

Chaque transformation géométrique dépend des coordonnées des noeuds géométriques de l'élémentréel. Pour les éléments les plus simples, la transformation est identique pour chaque coordonnée, et utiliseune base de fonctions polynomiales.

Si les noeuds d'interpolation et les noeuds géométriques sont confondus, les fonctions detransformation géométrique Ng seront identiques aux fonctions d'interpolation N. Ces éléments sont ditsisoparamétriques.

En résumé, la transformation géométrique est définie par :

{ }{ }{ }

x N x

y N y

z N z

g s t u n

g s t u n

g s t u n

=< >=< >=< >

( , , )

( , , )

( , , )

avec { } { } { }x y zn n n, , coordonnées des noeuds de l'élément réel

< >N g s t u( , , ) fonctions de la transformation géométrique

b - Exemples d'éléments de référence classiques

Référence

τ e

Réel

linéaire

quadratique

cubique

Figure 2.6 : Transformations géométriques d'éléments à une dimension

Les transformations géométriques de la figure 2.6 utilisent les fonctions d'interpolation linéaire,quadratique et cubique définies précédemment. Pour des éléments à deux ou trois dimensions lestransformations géométriques conduisent respectivement à des frontières linéaires, quadratiques oucubiques. La figure suivante donne la position des noeuds pour les classes d’éléments triangulaires et


quadrangulaires.

Éléments triangulaires:

Linéaire (3) Quadratique (6) cubique (9)

t

s

1/2

t

s(1,0)

(0,1)

(0,0)

t

s1/3

2/3

Éléments carrés:

t

s

(1,1)

(-1,-1) (1,-1)

(-1,1)t

s

t

s

Linéaire (4) Quadratique (8) cubique (12)

-1/3

1/3

Figure 2.7 : Éléments à deux dimensions

La figure suivante représente les trois classes d’éléments volumiques associés à une transformationlinéaire. Pour chaque classe nous définirons les éléments quadratiques et cubiques en plaçant les noeudsd'interface respectivement au milieu et au tiers des cotés, comme indiqué par la figure 2.7.

tétraédrique (4)

t

u

(0,1,0)

(0,0,1)

(1,0,0)s

prismatique (6)

t

(0,0,1)

(0,1,-1)

s

u

(0,1,1)

(1,0,-1)

(0,0,-1)

(1,0,1)

t

s

u

(1,1,1)

(-1,1,1)(-1,-1,1)

(-1,-1,-1)

(1,-1,-1) (1,1,-1)

(1,-1,1)

(-1,1,-1)

cubique (8)

Figure 2.8 : Éléments volumiques à transformation linéaire

Les codes éléments finis utilisent ces éléments et bien d'autres plus complexes. Pour ceux qui se

spécialiserons ou qui veulent simplement approfondir ces notions nous conseillons la lecture du chapitre 2du livre de D&T.

c - Matrice jacobienne - transformation des opérateurs de dérivation

Les expressions des matrices élémentaires que nous avons présentées font apparaître des opérateursdifférentiels appliqués aux fonctions d'interpolation.

Or, en pratique, nous connaissons les dérivées des fonctions d'interpolation par rapport auxcoordonnées de l'élément de référence.(s,t,u). Il nous faut donc exprimer les dérivées des fonctionsd'interpolation par rapport aux coordonnées réelles (x,y,z).

Posons :


[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

s

t

u

xs

ys

zs

xt

yt

zt

xu

yu

zu

x

y

z

Jx

y

z

=

=

[J] est la matrice jacobienne de la transformation

Pour chaque élément, cette matrice s'exprime en fonction des dérivées des fonctions detransformations géométriques (connues) et des coordonnées des noeuds géométriques de l'élément réel.

En effet :

[ ] { } { } { }[ ]Js

t

u

x y z

Ns

Nt

Nu

x y z

g

g

g

n n n=

< >=

< >

< >

< >

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

[J] est le produit d'une matrice (3,n) par une matrice (n,3) toutes deux connues.

La transformation devant être une bijection [J]-1 existe*

* Une singularité de J peut apparaître lorsque l'élément réel est trop "distordu" par rapport à l'élément de référence « élémentdit dégénéré ». De façon générale on évitera lors du maillage d'utiliser des éléments trop disproportionnés, car ils nuisent à laprécision numérique du modèle.

La relation inverse permet alors de calculer les dérivées premières par rapport aux coordonnéesréelles des fonctions d'interpolation.

[ ]∂

∂∂

∂∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

x

y

z

Js

t

u

=

−1

Connaissant les dérivées premières ( N N Ni s i t i u, , , ), ces relations nous permettent de

construire la matrice [ ]B s t u( , , ) à partir de la matrice [ ]B x y z( , , ) qui s’exprime en fonction des dérivées

première ( N N Ni x i y i z, , , ).

Pour les éléments utilisant des dérivées secondes des fonctions d'interpolation (c'est le cas des pb. de

flexion), la démarche est identique. Il faut définir les termes en "∂2/∂xi2" et "∂2/∂xi∂xj ", les résultats deces calculs plus complexes sont donnés dans le livre de D&T (pages 55-57).

d - Transformation et calcul numérique d'une intégrale

Le jacobien de la transformation géométrique permet de passer de l'intégration d'une fonction fdéfinie sur l'élément réel à l'intégration sur l'élément de référence :

[ ]f dxdydz f dsdtduDe Dref

(x, y, z) (s, t, u) det J ∫ ∫=

Cette intégration ne peut être évaluée analytiquement que dans des cas extrêmement simples. Engénéral, la fonction à intégrer est une fraction rationnelle polynomiale compliquée. Le calcul de l'intégralesur l'élément de référence est donc effectué numériquement. Les formules d'intégration numériquepermettent d'évaluer l'intégrale sous la forme générale suivante :

f dv fDref

i ii

Npi

∫ ∑≅=

( )ξ ω1

où Npi représente le nombre de points d'intégration sur l'élément de référence.


ξi coordonnées paramétriques des points d'intégration.

ωi poids d'intégration.

Le schéma d'intégration le plus utilisé pour les éléments à une dimension, les élémentsquadrangulaires et parallélépipédiques est celui de Gauss. Pour les éléments triangulaires et prismatiquesce sont les formules de Hammer qui sont les plus utilisées. Ces deux schémas permettent d'intégrerexactement des fonctions polynomiales. Vous trouverez dans le D&T (pages 280 à 300) les tableaux et lesfigures donnant la position et les poids d'intégration pour ces schémas d'intégration .

Précision de l'intégration numérique

L'intégration numérique exacte n'est possible que si la matrice jacobienne est constante (l'élément réel

garde la même forme que l'élément de référence). Nous connaissons alors l'ordre de la fonction polynomiale àintégrer.

Dans le cas d'éléments réels de forme quelconque, la matrice jacobienne est une fonctionpolynomiale. Les termes à intégrer sont donc des fractions rationnelles, l'intégration numérique n'est pasexacte. La précision de l'intégration numérique diminue lorsque l'élément réel est disproportionné, il fautmodifier le maillage. En pratique le choix du nombre de points d'intégration est une affaire d'expérience,ce nombre est souvent proposé par défaut dans les codes éléments finis. On peut utiliser un nombre depoints d'intégration plus faible pour diminuer les temps de calcul, mais attention si le nombre de points estinsuffisant la matrice raideur peut devenir singulière *.

*Pour un problème de dynamique l’intégration réduite peut introduire des modes parasites (phénomènes d’hourglass)

e - Application au calcul des matrices élémentaires

Nous avons à calculer:

matrice masse élémentaire: [ ] [ ]M N N J dveT

refDref

= < > < >∫ ( ) ( ) detξ ξρ

matrice raideur élémentaire: [ ] [ ]K B D B J dveT

refDref

= ∫ [ ] [ ] [ ] det( ) ( )ξ ξ

force généralisée { } { } [ ]F N f J dvdeT

d refDref

= < >∫ ( ) detξ#

L'organisation des calculs est la suivante:

• Création de la table des coordonnées et poids (ξr et ωr), correspondant aux pointsd'intégration pour les éléments de référence utilisés.

• Calcul des fonctions N et Ng et de leurs dérivées aux points d'intégration (pour les éléments

isoparamétrique N = Ng )

-Pour chaque élément :

-Pour chaque point d'intégration ξr

- Calcul de [ J ] , [ J ]-1 et det [ J ] au point d'intégration ξr- Construction des matrices : [D] , [B(ξr)] et [N(ξr)]

- Calcul de : [B(ξr)]T [D] [B(ξr)] det [ J ] wr

[N(ξr)]T ρ [N(ξr)] det [ J ] wr

[N(ξr)]T {fv(ξr)} det [ J ] wr

- Accumuler dans [K] , [M] et {φ}

fin de l'intégration

fin de boucle sur les éléments

Remarque : Au cours de l’intégration numérique, il est possible de tester le signe du déterminant de Jqui doit rester constant pour tout point du domaine de référence.


Illustration II-5 :Calcul numérique de la matrice raideur et du vecteur force généralisé pour leséléments triangulaires ayant servi à modéliser le problème d’écoulement fluide présentéprécédemment.

Prenons le premier élément du maillage, la transformation géométrique est définie par lafigure suivante :

Section

1

2 3

4

5

(4)

(3)

(2)

#yo

#xo

s21

3

t

référence

1τ(1)

Pour l’élément de référence : tsN −−= 11 , N s2 = , N t3 =

La matrice jacobienne associée au premier élément est définie par :

[ ]

−−

=

−−

−

−−

=aa

aaa

aa

J20

00101

0111

d’où det(J1) = 2a2 et [ ]

−−

=−

0

2

2

12

11 a

aa

aJ

Nous en déduisons la matrice [B(ξ)] :

[ ] [ ][ ][ ][ ] [ ]

−−−

=

−=

== −

011

211

2

1

101

011

1

aJ

yN

xN

NgradB

∂∂

∂∂

D’où la matrice: [ ] [ ]

−−−−

=211

110

101

2

12a

BB T

Cette matrice est constante, nous pouvons l’intégrer analytiquement :

[ ]

−−−−

== ∫ ∫−

211

110

101

2

1 2 ][][ 2

1

0

1

0

1 dsdtaBBKs

T

Il est simple de vérifier que pour les autres éléments les matrices raideur élémentaire sontidentiques.

Passons au calcul du vecteur force généralisé sur le premier élément.

{ }

=

−−

== ∫ ∫∫ ∫−−

1

1

1

3

1

2 2 ][21

0

1

0

221

0

1

0

)(1

fadtdt

t

s

ts

fadsdtafNss

Tζϕ

Les vecteurs force généralisée des autres éléments sont identiques


3.3 Organigramme d'un logiciel éléments finis

Tout logiciel de calcul par la méthode des éléments finis contient les étapes caractéristiques ou blocsfonctionnels suivants:

LOGICIEL UTILISATEUR

Analyse du problème

PRÉPOCESSEUR : " interactif "

Fonctions: Lecture et vérification des donnéesDonnées:

Coordonnées des noeudsDéfinition des éléments "mailles"Paramètres physiquesSollicitationsConditions aux limites

Vérifications:Visualisation du maillageLecture du "fichier résultat"où "questions - réponses -vérifications"

Création du fichier des données

Modification des données

Vérification des données

BLOC - CALCUL : "Non interactif"

Fonctions: Calcul des matrices et vecteurset résolution du système d'équations

Pour chaque élément- Calcul des matrices élémentaires(comportement, sollicitations)- Assemblage dans les matrices globales

Résolution- Prise en compte des sollicitations nodales- Prise en compte des conditions aux limites- Résolution

Création des fichiers résultatsVérification des calculs

POSTPROCESSEUR : " interactif "

Fonctions : Traitement des résultatsvisualisation

- Calcul des variables secondaires( σ , ε ,...)

- Traitement des variablesisocontraintes, isodéformationsdéformées, valeurs maximalesnormes, ...

- Superposition de problèmes- etc...

VisualisationAnalyse des résultats

Note de calcul

méthode des éléments finis - meefi. · pdf filepg. 18 méthode des...

Documents