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Pour comprendre la méthode des éléments finisThibaud KloczkoOPALE Project-TeamINRIA Sophia-Antipolis Méditerranée

Thibaud.Kloczko@inria.fr

Tribune DREAM

November 23th, 2010

Sophia-Antopolis, FRANCE

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Objectifs de la présentation

• Pourquoi avoir recours aux méthodes numériques ?

• Qu'apporte la méthode EF par rapport à d'autres ?

• Comment l'implémenter intelligemment ?

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Les équations de l'ingénieur

1. Équation de la chaleur➢ Fourier 1807

2. Équations de la mécanique des fluides➢ Navier-Stokes 1822

3. Équations de l'électromagnétisme➢ Maxwell 1873

∂T x , t ∂ t

− ⋅ T = S

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1. Inconnues = fonctions (scalaire ou vectorielle) de plusieurs variables (temps, espace,...)

2. Fonctions = solutions d'équations aux dérivées partielles

3. Équations non-linéaires➢ Si alors équation linéaire

➢ Si alors équation non-linéaire

∂

∂ t, ,

Origines des difficultés

=x

=x ,T

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Conditions du succès➢ Géométrie simple voire simpliste

➢ Équations linéaires

Et malgré cela...➢ Les solutions obtenues sont extrêmement lourdes

Difficulté d'une résolution analytique

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6

Conduction thermique dans une cavité rectangulaire

∂

2T x , H

∂ y2 = h⋅T x , H −T 0

T x ,0=T 0

T 0, y =T 0 T L , y =T 0

x

y

L

H

0

−∂2T

∂ x2∂2T

∂ y2 = S

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Résolution par séparation des variables

T x , y =T 0sin kLx ∑k=1

∞ Ak sinh kL y k

k/ L2cosh

kLy −1

Ak=k L

k

sinh kLH −

h Lkcosh

kLH −1

−kL

cosh kLH −hsinh

kLH

k=2S 0

k[−1k−1 ]

Solution analytique non triviale

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Effet des fuites par convection

0=h 00.0=h

00.0=h 0=h

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Solution alternatives

Cas académiques très utiles pour comprendre:➢ les phénomènes de base➢ les effets des différents termes des équations

Problèmes pratiques inaccessible à la résolution analytique

Recours à l'expérimentation➢ réelle à l'aide de maquette à échelle 1 ou réduite➢ virtuelle à l'aide de la simulation numérique

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Expériences: du réel au virtuel

Diminution des expériences à échelle 1➢ réduction des coûts de fabrication➢ réduction des émissions polluantes (ex: fours industriels)➢ réservées à la certification et à la mise en production

Recours à des maquettes numériques➢ coût intrinsèque plus faible➢ émissions quasi nulles➢ maîtrise d'outils numériques sophistiqués

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Simulation numérique

Espace fonctionnel

de dimension infinieEspace vectoriel

de dimension finie

discrétisation

T x , t T hx ,t

Principes➢ calcul des solutions pour un nombre fini de points de l'espace et

pour un fini d'instants

Méthodes numériques➢ différences finies (DF)➢ volumes finis (VF)➢ éléments finis (EF)➢ Méthodes spectrales

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Approche intuitive : les différences finies

Problème modèle

Objectifs➢ Trouver une approximation de pour

Principe des différences finies➢ Remplacer les dérivées partielles aux points du maillage par des

combinaisons de développements de Taylor

T x x∈[0 ;1]

−∂

2T x

∂ x2 = S x

T 0=T 1=0

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Problème discrétisé

x0 x1 x i−1 x i x i1 xN−1 xN0 1

Maillage➢ (N+1) intervalles de longueur h=1/N.

T x i1=T x ih=T x ih∂T x i

∂ x...

hn

n!⋅∂nT x i

∂ xnO hn1

T x i−1=T x i−h=T x i−h∂T x i

∂ x...−1n

hn

n !⋅∂nT x i

∂ xnO hn1

∂2T x i

∂ x2=T I−1−2T iT i1

h2O h2

Approximation de la dérivée seconde

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Système linéaire tridiagonal

i∈[1 ; N−1] −T I−1−2T iT i1

h2=S x i

[2 −1 0 0 ⋯ 0−1 2 −1 0 ⋯ 00 −1 2 −1 0 ⋮⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 00 ⋯ 0 −1 2 −10 0 ⋯ 0 −1 2

][T 1

T 2

T 3

⋮T N−2

T N−1

]=h2[S x1

S x2

S x3

⋮S xN−2

S xN−1]

Avantages➢ Mathématiquement très accessible➢ Point d'entrée pour comprendre les notions de consistance,

stabilité, convergence

Limite➢ Requiert des grilles cartésiennes peu adaptées aux cas réels

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Résolution par éléments finis

Principe➢ Trouver la solution dans un espace vectoriel de dimension

qui minimise l'erreur de discrétisation.V h M1

Approche clairement moins intuitive ;)

Objectif des planches à venir➢ Expliquer les points clés de la méthode➢ Comparer avec les différences finies

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Réduction de la dimension du problème

Principe➢ Soit un espace vectoriel de dimension

➢ Soit la base des fonctions qui engendrent cet espace

➢ Si on cherche la solution dans alors on a:

V h M1

Conséquence➢ Il suffit de calculer les coefficients , aussi appelés

degrés de liberté

V h

M1 T i

0 ,1 ,2 , ... ,i , ... ,M

T h x=∑i=0

MT ii x

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17

Première comparaison DF vs EF

Différences Finies➢ Réduction de la dimension du problème par discrétisation

explicite du domaine de calcul via une grille de taille

M1

N1

Éléments Finis➢ Réduction de la dimension du problème par approximation

de la solution dans un espace de dimension finie➢ Pas de recours explicite à un maillage dans un premier

temps

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18

Origine de l'erreur

Conséquence de la réduction de la dimension du problème➢ Erreur d'approximation

➢ Cette erreur génère une erreur de résolution

Rappel➢ On souhaite trouver telle que l'erreur soit minimale

➢ On va utiliser le principe d'orthogonalité

e h=∥T x −T h x∥≠0

∂2T x

∂ x2 S x=0∂2T h x

∂ x2S x =h≠0

T h h

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19

Principe d'orthogonalité

Illustration géométrique

➢ L'approximation de qui minimise est celle pour laquelle est orthogonal à

T h

T eh= T h x−T x

V hih

∥eh∥eh V h

T h T

ih⋅eh=0

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20

Minimisation de l'erreur

Annulation de l'erreur dans l'espace de recherche

➢ L'erreur est nulle dans l'espace si et seulement si chacune de ses composantes selon les directions de la base est nulle

➢ On obtient ce que l'on appelle la formulation variationnelle du problème

V h

V h

h

i

i h ,i=0 ⇔ ∫0

1h x i xdx=0

i −∫0

1 ∂2T h x

∂ x2i x dx =∫0

1S xi x dx

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21

Formulation variationnelle

Hypothèse simplificatrice➢ On suppose que les fonctions s'annulent aux bords du

domainei

i ∫0

1 ∂T hx

∂ x

∂i x

∂ xdx

∂T h 0

∂ xi 0−

∂T h1

∂ xi 1 = ∫0

1S x i x dx

[0 ;1]

T h x=∑ j=0

MT j j x

i ∑ j=0

MT j∫0

1 ∂ j x

∂ x

∂i x

∂ xdx =∫0

1S x i x dx

Intégration par parties

or

d'où

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22

Système linéaire final

i∈[0 ; M ] ∑ j=0

MT j j

' x ,i' x = S x ,i x

[0

' x ,0' x 1

' x ,0' x ⋯ M

' x ,0' x

0' x ,1

' x 1' x ,1

' x ⋯ M' x ,1

' x⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0'x ,M

'x 1

' x ,M

' x ⋯ M

' x ,M

' x

][T 1

T 2

⋮T M]=[S x ,0 x S x ,2 x

⋮S x ,M x

]A⋅T = S

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23

Deuxième comparaison DF vs EF

Différences Finies➢ Système linéaire tri-diagonal de rang

M1

N

Éléments Finis➢ Système linéaire de rang ➢ La forme de la matrice dépend du choix des fonctions de

base➢ Toujours pas de recours explicite à un maillage

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24

Méthode des éléments finis

Construction locale de ces fonctions via➢ Éléments géométriques définissant un maillage

➢ Nœuds d'interpolation supports des degrés de liberté

➢ Fonctions de base définies associées aux nœuds des éléments

Objectif➢ Optimiser le nombre d'entrées nulles dans la matrice

Les questions qui demeurent➢ Comment construire les fonctions de base ?➢ Comment calculer les entrées de la matrice ?

i

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25

Construction des fonctions de base

Maillage➢ Localisation des degrés de liberté sur des nœuds

d'interpolation propres à chaque élément

➢ A chaque degré de liberté, on attribue une fonction de base

T hK x=∑ j=0

M k−1T j j x

M k=6M k=3

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26

Construction des fonctions de base locales➢ Approximation sur K de la restriction de la solution sur

l'élément

➢ Pour qu'une approximation soit continue aux frontières des éléments, il faut qu'en chaque nœud de chaque élément

➢ Définition des fonctions d'interpolation de Lagrange

Construction des fonctions de base

T hK x=∑ j=0

M k−1T jK jKx

T hx iK=T h

Kx i

K∑ j=0

M k−1T jK jK xi

K=T i

K⇔ j

K xi

K={1 si i= j0 sinon

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27

Construction des fonctions de base globale➢ Degré de liberté sur un seul élément

➢ Degré de liberté partagé par deux éléments et

➢ Support des fonctions compact ✗ intersections souvent nulles✗ nombreuses entrées nulles dans la matrice => matrice creuse

Construction des fonctions de base

i x ={kK x si x∈K

0 ailleurs

K

K1 K2

i x ={kK 1x si x∈K 1

kK 2x si x∈K 2

0 ailleurs

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28

Calcul des entrées de la matrice

A ijK=∫K j

'x Ki

'xK dx

Formulation variationnelle élémentaire

i∈[0,M k−1] ∑ j=0

M k−1

∫K j' x Ki

' xK T jK dx =∫K S xix dx

T hK x=∑ j=0

M k−1T jK jKx

Système linéaire élémentaire

AK⋅T K = SK

SiK=∫K S xix dx

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29

Premières conclusions

Avantages (acquis au prix d'un certain effort !!)➢ Évaluation indépendante des contributions de chaque

élément du maillage au système final✗ Parallélisation facilité, méthodes multi-domaines

➢ Utilisation de maillages quelconques✗ Avantage considérable par rapport à la méthode DF

➢ Gain de précision par augmentation du degré des fonctions d'interpolation

➢ Matrice du système creuse

Inconvénients➢ Évaluation des matrices élémentaires fastidieuse

✗ Fonctions d'interpolation a priori différentes sur chaque élément✗ Calcul des intégrales sur chaque élément

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30

Passage à l'élément de référence

Objectif➢ Définir des opérations génériques sur un élément dont les

propriétés sont indépendantes de l'élément réel

KK

T K

0,01,0

0,1

x0x1

x2T K : K K= , x=x , y

Transformation pour chaque élément

➢ Fonctions de base sur

➢ Matrices jacobiennes de la transformation

➢ Gradient des fonctions de base

➢ Jacobien de la transformation

K jKx = j

KT K = j

DT K , BK=DT K−t

J K

j'

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31

Passage à l'élément de référence

A ijK=∫K j

'BK t BK i

' JK d

SiK=∫ K S T

K iJ

Kd

BK J K

Introduction de la transformation dans les intégrales

➢ Seuls les matrices et le jacobien dépendent de l'élément mais ils sont constants tant que le maillage ou le degré d'interpolation ne varie pas

➢ En pratique ces intégrales sont évaluées en utilisant des quadratures de type Gauss

➢ Dans le cas du problème modèle considéré, ces évaluations peuvent être faites une seule fois au début du calcul.

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Encore et encore ...

Discrétisation temporelle➢ Explicite simple et multi-niveau (Runge-Kutta)

➢ Implicite simple niveau (backward Euler)

➢ Implicite multi-niveaux

Décentrement en élément finis➢ Problème où les phénomènes convectifs sont dominants

➢ Méthode Petrov-Galerkin SUPG, SCPG

Résolution de système linéaire➢ Méthode pour matrices creuses

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Merci de votre attention !