NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 3-b

Méthode des éléments finis 1D

• Notion de maillages : connectivité• Notion d’élément de référence• Technique d’assemblage• Résolution et post-traitement• Algorithme général

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Cas général : plusieurs élémentsExemple de maillage : 3 éléments finis à deux noeuds

4 noeuds

Un maillage éléments finis est décrit à l’aide de deux tables :

… des coordonnées :

… des connectivités :

[ ]1 2 3 4vcor x x x x=1 22 33 4

conec =

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Remarque 1 : la numérotation des nœuds peut être aléatoire. Un maillage éléments finis est dît non structuré !

Remarques sur le maillage

4 11 33 2

conec

=

1 22 33 4

conec

=

2 44 11 3

conec

=

Remarque 2 : les éléments peuvent être de longueurs différentes

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Discrétisation de la forme intégrale

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

int

0 0 0L L

ext

CLWW

d x dT xW x k dx x f dx L h T L T q

dx dxψ

ψ ψ ψ= + − + − − =∫ ∫ 14444442444444314444444244444443

( ) ( )11

110

... ... 0i

i

L N

Ni

x

xdx dx x x L

+−

=

= = =∑∫ ∫14243

intégrale élémentaire

avec et

La forme intégrale (thermique 1D) s’écrit (voir précédent cours) :

Le découpage du domaine en un maillage se traduit par un découpage du signe intégral :

Soit :

int int1

0,nelt

eCL CL

eW W W W W nelt

=

= + = + = =∑ où nbred'éléments.

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Notion d’élément de référence

Pour pallier à cette hétérogénéité, on définit un élément de référence commun sur lequel effectuer l’intégration.

Chaque intégrale « élémentaire » est définie par des bornes distinctes, d’où :

des fonctions d’approximation N1 et N2 différentes d’un élément à un autre.

Nécessité de recalculer les fonctions pour chaque élément !

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Notion d’élément de référence

Méthode : changement de variables

( ) ( ) ( )1

0

... ... 1ei

i

L

i

x

x

dx dxdx ds x s s xds ds

+

= = + =∫ ∫ avec d'où

[ ]1 1, 0, ,e ei i i ix x x s L L x x+ + ∈ → ∈ = − où

soit :( ) ( )1

1 1 0

... ...ei

i

LN nelt

i e

x

xdx ds

+

= =

=∑ ∑∫ ∫

Les fonctions d’approximation sur l’élément de référence sont linéaires et définies par :

soit :

( )

( )( )

( )1 2

1 2

0 1 0 0

0 1e e

N N

N L N L

= =

= = et

( ) ( )1 21 ,e es sN s N sL L

= − =

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Discrétisation des intégrales élémentaires

Le calcul des matrices et vecteurs « élémentaires » est alors analogue à celui d’un seul élément à la longueur Le près (voir cours précédent). On retrouve ainsi la démarche :

Approximations par éléments finis :

Calculs élémentaires :

[Ke] : matrice de rigidité élémentaire{Fe} : vecteur des sollicitations élémentaires

( ) ( ) ( )1

1 2

2

TT s N s N s

T

=

( ) ( ) ( )1

1 2

2

s N s N sψ

ψψ

=

{ }

1int 1 2 1 2

2

11 2 1 2

2

1 1 11 1 12

e

e

e e

e LTkW fT

TT

L

K F

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

− = − −

= −

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Phase d’assemblage

Après calcul de toutes les contributions élémentaires, nous obtenons :

{ }11 2 1 2

1 12

0enelt nelt

e ee eCL

e e

TW K F W

Tψ ψ ψ ψ

= =

= − + =

∑ ∑

[ ]{

{ } { }1

1

1

0N

N N NN

TW K F R

Tψ ψ

× ×

= − − =

L M14243

3. La phase d’assemblage consiste à « assembler » :toutes les matrices élémentaires en une seule matrice globale [K]tous les vecteurs élémentaires en un seul vecteur global {F}

tels que :

Deux techniques d’assemblage possibles !

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Assemblage par extension (peu utilisée)

Le principe est simple : augmenter les dimensions des matrices et vecteurs élémentaires aux dimensions de la matrice global et du vecteur global.

Exemple : 1(1)

21 2 3int int int int 1 2 3 4 (1)

3

4

1(2)

2(2)

3

4

0 00 0

0 0 0 0 020 0 0 0 0

0 0 0 0 00 00 0 20 0

1 1 11 1 1

1 1 11 1

01

0 0

TTk LW W W W fTLT

TTk LfTLT

ψ ψ ψ ψ

= + + = − +

−

−−

−

−

1(3)

2(3)

3

4

1 1 11 1

0 0 0 0 00 0 0 0 00 20 0 10

TTk LfTLT

+ −

−−

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Assemblage par projection

Principe : il consiste à localiser la « zone » de la matrice globale où sera projetée la matrice élémentaire.

Constat : cette « zone » possède les mêmes dimensions que la matrice élémentaire.

Outil de mise en œuvre : la table des connectivité « conec »

Le procédé est identique pour l’assemblage du vecteur !

1 22 33 4

conec

=

N° ligne = numéro de l’élément

Contenu des colonnes = liste des nœuds de l’élément= liste des lignes et colonnes de la

matrice globale !

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Technique d’assemblage par projectionDémarche générale :

On boucle sur tous les éléments :

1. Calcul de [Ke] et {Fe}

2. Extraction de la connectivité de l’élément (numéros des nœuds)

3. On isole dans [K] et {F} les lignes et colonnes correspondantes

1. On y « projette » [Ke] dans [K]

2. On y « projette » {Fe} dans {F}

Retour de boucle

Introduction des conditions aux limites

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Applications : maillage à 3 éléments

Assemblage de l’élément 1 :Conec(1,[1 2])=[1 2]

1

2

3

4

1 1 11 1

1 1 0 0 11 1 0 10 0 20 0 0 0 0

1

e

e

TTk LfTLT

− − =

+ − +

−

Assemblage de l’élément 2 :Conec(2,[1 2])=[2 3]

1

2

3

4

0 00 0

0 0 0 0 020 0 0 0

1 1 11 1

0

1 e

e

TTk LfTLT

=

−−

1

2

3

4

1 1 0 0 11 2 1 0 20 1 1 1 1 1

1 112

0 0 1

e

e

TTk LfTLT

− − − = −

+ − +−

Assemblage de l’élément 3 :Conec(3,[1 2])=[3 4]

N° d’élément Liste des noeuds

1 2 3 4

1 23 4

1 2 3 4

1 2 34

1 2 3 4

1 2 3 4

Remarque : pour simplifier L(1) = L (2) = L (3) = Le

N° des colonnes

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Applications : maillage à 3 éléments

Assemblage de l’élément 1 :Conec(1,[1 2])=[1 2]

1

2

3

4

1 1 11 1

1 1 0 0 11 1 0 10 0 20 0 0 0 0

1

e

e

TTk LfTLT

− − =

+ − +

−

Assemblage de l’élément 2 :Conec(2,[1 2])=[2 3]

1

2

3

4

0 00 0

0 0 0 0 020 0 0 0

1 1 11 1

0

1 e

e

TTk LfTLT

=

−−

1

2

3

4

1 1 0 0 11 2 1 0 20 1 1 1 1 1

1 112

0 0 1

e

e

TTk LfTLT

− − − = −

+ − +−

Assemblage de l’élément 3 :Conec(3,[1 2])=[3 4]

N° d’élément Liste des noeuds

1 2 3 4

1 23 4

1 2 3 4

1 2 34

1 2 3 41 2 3 4

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Prise en compte des conditions aux limites (1/3)

Traitement de la condition de Dirichlet (1/2) :

Méthode du terme unité sur la diagonale

1

2

3

4

2 0

0

1 0 0 0 3

2

0 02

0

ee e e

ee e e

e

e e

T

k k k fLTL L Lk k k fLTL L L

k k LfTL L

− −

= − −

−

1( 0) 30T x T= = =

Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions vaut {R }={0 } et n’apparaît donc plus !

N+1 opérations !

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Prise en compte des conditions aux limites (2/3)

Traitement de la condition de Dirichlet (2/2) :

Méthode du terme diagonal dominant

1

2

3

4

30 0

2 0

0 2

0

0 0 2

e e

e

e e e

e

e e e

e

e e

k k TL L

k k k fLTL L L

k k k

Grand

fLTL L L

Lk k fTL L

Grand − − − = − − −

××

1( 0) 30T x T= = =

avec Grand = 1012 x max(K)

2 opérations !

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Prise en compte des conditions aux limites (3/3)

Traitement de la condition de Neumann :

1

2

3

4

1 0 0 0 30

2 0

0 2

0 02

ee e e

ee

ex

e

t

e

e

e e

T

k k k fLTL L Lk k k fLTL L L

k k LfTLh

LTh

− −

= − −

−

+

+

( ) ( )( ) 4 44ext extL T L T hTh hTψ ψ ψ− = −

Attention au signe !

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Cas particulier d’assemblage :liste des nœuds non consécutives

Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 1 3]

[ ]

2 4

2

4

1 3

1

3K

=

ee

ee

e

kL

kL

kLK

kL

=

−

−

Technique : on « dispatche » en conservant les positions relatives respectives !

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Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds inversée

Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 4 2]

[ ]

2 4

2

4

1 3

1

3K

=

ee

ee

e

kL

kL

kLK

kL

=

−

−

Technique : on « dispatche » en inversant les lignes et les colonnes !

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Analyse de la validité des résultats

Vérifications de base : programmation, préparation des donnéesConditions aux limites de Dirichlet

Condition de Neumann et Cauchy Requiert le calcul du gradient

Calcul des réactions Permet de vérifier :

l’équilibre statique en mécaniqueLa conservation des flux en thermique : flux entrants=flux sortants

Calcul de convergence : Parvenir à l’indépendance de la solution par rapport au maillage

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Post-traitement : calcul du gradient

Utile pour :Calculer un flux thermique :

Calculer un effort de traction mécanique :

Méthode : { ( ) ( )1 1

' ' 2 11 2

1 2 2

1 1e e

e e

e e edssidx

T TdT dT T TN s N sdx ds L L LT T=

− = = = − =

dTq k ndx

= −r r

duN EAdx

=

Question : comment choisir une valeur de flux au nœud « i » ?

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Post-traitement : calcul des réactions externes

Utile pour :Calculer la valeur du flux thermique externe sur une condition de Dirichlet et vérifier l’équilibre des flux entrants et sortants (seulement si f=0).Calculer un effort de réaction mécanique externe et vérifier l’équilibre global du système

Méthode :

Exemple : colonne sous effet de gravité(sera traité lors du TD3)

On doit vérifier :

{ } [ ]{

{ } { }!

solutionsans Dirichlet

R K T F= −

0

:

F R P

R P

= + =

=

∑rr r r

soit

Modèle réel Modèle éléments finis

Poids

Réaction liaison

La solution éléments finis le vérifie t’elle ?

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Calculs de convergence

Objectif :

Vérifier qu’il existe une taille de maillage minimale à partir de laquelle, la solution devient indépendante du maillage.