modélisation par éléments finis et maillage adaptatif...

1Laboratoire d’Acoustiquede l’Université du Maine UMR CNRS 6613

Nicolas [email protected]

3ème Colloque du GDR "Thermoacoustique" 5 – 5 octobre 2009, Le Mans

Généralités sur la modélisation numérique(pour des applications en thermoacoustique)

Modélisation par éléments finis et maillage adaptatif anisotrpe

de l’acoustique en fluide thermovisqueux

2


Phénomènes physiques à prendre en compte en thermoacoustiqueMéthodes numériques disponiblesModèles de mécanique des fluides

à quoi sert de modéliser l’acoustique linéaire en fluide thermovisqueux, pour des applications en thermoacoustique ?

Modélisation par éléments finis et maillage adaptatif anisotrpe de l’acoustique en fluide thermovisqueuxFormulation de baseImplémentation en éléments finisPourquoi du maillage adaptatif anisotrope ?Exemples d’applications

3

Acoustique en milieu non dissipatifpropagation Acoustique

célérité

fluide parfait : non visqueux, non conducteur de la chaleur

Énergie cinétique Énergie interne

mouvement particulaire compression /détente

conditions adiabatiques isentropes

λ

Tpv~

,~,~,~ ρ

0~ =s

compressibilité

masse ) du fluideconditions adiabatiques

∂∂=

ρp

c0

4

Acoustique en milieu non dissipatifpropagation Acoustique

célérité


masse volumique ρ0 , célérité acoustique c0

Thermoacoustiqueeffet non linéaire

transferts thermiquesconditions non adiabatiques, non isentropes : phénomènes irréversibles

transferts par conduction, convection,

couplages forts avec le mouvement du fluide(mouvement acoustique, écoulements, …)

conductivité thermique λ0 , capacité thermique Cp0 = γ Cv0 , viscosité µ0

λ compressibilité


∂∂=

ρp

c0

5

Thermoacoustique effet non linéaireacoustique linéaire… ?

ρ0 , c0 Acoustique à forts niveauxcouches limites acoustiques en fluide thermovisqueux

(combustion) (écoulements redressés)

effets vitesse(p,T) compression Thermoacoustique convectifs partivulaire

/détente V.grad V

ThermodynamiqueLoi d’état du fluide f(p,T,ρ) = 0 (convection Mécanique des fluidesdépendance (p,T) des propriétés du fluide naturelle) (écoulements)transformation thermodynamique

d’énergie (thermique, mécanique) transferts de Qté de mouvement, de masse

conduction thermique λ0 , Cp0 ρ0 , µ0 détachements __changement de phase, milieux diphasiques turbulence tourbillonnaires

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Comportement non linéaire

Conditions de démarrage (moteur thermoacoustique)

seuil de déclenchement, étude de stabilité

Conditions de fonctionnement

phénomènes de saturation

7

Système multi-physique

Acoustique, en fluide thermovisqueux

propagation, diffusion (thermique, Qté de mouvement par viscosité)

dissipation

Mécanique des fluides dissipation

convection, transport, turbulence____diffusion (Qté de mouvement par viscosité)

Thermodynamique

dépendance (p,T) des propriétés physiques du fluidediffusion (thermique) irréversibilité

8

Couplages forts sur le volume fluide,

compression/détente(ρρρρ, p,T)_

propriétés du fluide déplacementdépendantes de (p,T) particulaire V

gradients effets convectifs

V.grad… en particulier dans des couches limites,

dans le stack

thermoacoustique

9

Système complexe,

Modélisation complexe…

pour rendre compte- des effets non linéaires,- des différents phénomènes physiques,- des couplages,

…

l’apport des outils numériques est le bienvenu,

… mais complexe !

10

Système multi-échelle

Temps court longpériode acoustique transferts thermiques,

turbulence, … tourbillons, … streaming(vitesse particulaire)

Espace petit grandépaisseur inter-empilement, stack (géométrie) résonateurépaisseurs de couches limites (acoustique) longueur d’ondeturbulence, … tourbillons, … streaming

(vitesse particulaire)

Coût de calcul (fortement) croissant avec la finesse de la discrétisation

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(principales)

Méthodes numériquesutilisées en acoustique

et en mécanique des fluides

- Éléments de frontière

- Éléments finis

- Différences finies, volumes finis

( + réseaux de Botlzmann, +… ) Ω Γ

domaine fluide Ω, de frontières Γ

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Éléments de frontièreBoundary Element Method

Discrétisation de l’équation intégrale de frontière, représentation intégrale du champ Γ

(superposition de contributions élémentaires)à partir d’une solution (analytique)

élémentaire en milieu infini(méthode de collocation)

Avantages Limitations

discrétisation des seules frontières Γ assez délicat à mettre en œuvre(relativement peu de ddl) matrices pleines non symétriques

précis (pas de dispersion ni de dissipation)adapté aux milieux ouverts adapté aux seuls phénomènes

linéairesinadapté à la prise en compte de

couplages sur le volumeprincipaux domaines d’applications : propagation d’ondes (électromagnétique, acoustique)

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Éléments finisFinite Element Method

Discrétisation d’une forme intégrale à fort contenu physique sur le volume,

prise en compte ‘naturelle’ des conditions aux limites

Application de la méthode de Galerkin Ω(variante : éléments finis spectraux)

Avantages Limitations

maillage déstructuré précision limitéeadapté à la prise en compte adapté seulement pour certaines

de couplages sur le volume équationsmatrices creuses symétriques introduit de la dispersion

introduit de la dissipation

principaux domaines d’applications : statique et dynamique des structures, thermo-élasticité, conduction thermique, mécanique des fluides à faibles Re , équations de conservation, …

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Différences finies, Volumes finisFinite Difference Method

Discrétisation directe des EDP, équation de bilan sur chaque cellule

(permet de discrétiser n’importe quelle EDP) Ω

Avantages Limitationsadapté à la discrétisation d’équations maillage structuré

de forme quelconquesmatrices creuses symétriques précision limitée

adapté à la prise en compte introduit de la dispersionde couplages sur le volume introduit de la dissipation

(peut être limité en utilisant certaines précautions, schémas d’ordres élevés)

principaux domaines d’applications : mécanique des fluides, systèmes complexes, phénomènes non linéaires

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Modélisation numérique en thermoacoustique

Acoustique : - compressibilité du fluide,- propagation de l’énergie à ‘longue’ distance avec peu de pertes

recherche de méthodes numériques peu dissipatives- relations de phase importantes

recherche de méthodes numériques peu dispersives

Navier - Stokes compressible

Équations de conservation :masse, Qté de mouvement, énergie(+ irréversibilités : non conservation de l’entropie)

Équation d’état pour le fluide,dépendance (p,T ) des propriétés du fluide

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Computational Fluid Dynamics (CFD)0 Stokes écoulement fortement Re

laminaire turbulent turbulent

Coût de calcul : faible + DNS, LES, RANS -

Niveau faible + -de description modèles de turbulence

Navier - Stokes compressible <-> acoustique

Équations de conservation :masse, Qté de mouvement, énergie(+ irréversibilités : non conservation de l’entropie)

Équation d’état pour le fluide,dépendance (p,T ) des propriétés du fluide

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Reynolds Averaged Navier – Stokes (RANS)0 Stokes écoulement fortement Re


Coût de calcul : faible + DNS, LES, RANS -

Niveau faible + -de description modèles de turbulence

Conditions du calcul :Filtre statistique avant résolution, prise de moyenne,approximations sur les propriétés de la turbulence

Résultats : champs de moments statistiques

principal domaine d’application :

écoulement industriel incompressible et stationnaire, fort Re

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Large Eddy Simulation (LES)0 Stokes écoulement fortement Re


Coût de calcul : moyen + DNS, LES, RANS -

Niveau moyen + -de description modèles de turbulence

‘’Simulation aux grandes échelles’’

Conditions du calcul :Filtre d’échelle avant résolutionmodèle de turbulence (k-ε)

Résultats : Description des structures aux grandes échelles,statistique après résolution

principal domaine d’application : écoulement industriels, turbomachines,

écoulements stationnaires et instationnaires

19

Direct Numerical Simulation (DNS)0 Stokes écoulement fortement Re


Coût de calcul : fort + DNS, LES, RANS -

Niveau fort + -de description modèles de turbulence

Conditions du calcul :Résolution de Navier-Stokes sans modèle de turbulence

Résultats : Description détaillée à toutes les échelles,statistique après résolution

principal domaine d’application : description fine des écoulements aux Remoyens et faibles

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Computational Fluid Dynamics (CFD)0 Stokes écoulement fortement Re


Coût de calcul : + DNS, LES, RANS -

Niveau + -de description modèles de turbulence

appliquée à la thermoacoustique :- Combiner différentes techniques suivant le degré de précision

souhaité / le sous système étudié(DNS à l’intérieur du stack, LES à l’échelle du résonateur ?)

- Fort ‘drive ratio’ validité de modèles ‘faiblement compressibles’proposés par les codes commerciaux ?

- Prise en compte d’écoulements induits ?(écoulement redressé par l’acoustique, convection naturelle par la thermique)

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Modélisation numériqueappliquée à la thermoacoustique : évolution temporelle

Intégration temporelle à partir de C.I. (moteur ou réfrigérateur)étude des régimes transitoire, observation des phénomènes de déclenchement, de saturation, …

nécessite une intégration sur de nombreux cycles !

Résolution harmonique / décomposition de Fourier (réfrigérateur)pour l’acoustique & les tourbillons associéssuppose un régime établi, périodique,

donc réducteur, mais moins coûteux en calcul (surtout si peu d’harmoniques…)

Résolution numérique de problèmes de stabilité (moteur, réfrigérateur ?)étude des conditions de stabilité (conditions de -1er, 2nd ?- déclenchement

modèle spécifique à chaque instabilité – déclenchement thermoacoustique, mode de circulation de streaming, type de convection naturelle ?

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Phénomènes physiques à prendre en compte en thermoacoustiqueMéthodes numériques disponiblesModèles de mécanique des fluides


Modélisation par éléments finis et maillage adaptatif anisotrpe de l’acoustique en fluide thermovisqueuxFormulation de baseImplémentation en éléments finisPourquoi du maillage adaptatif anisotrope ?Exemples d’applications

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Résolution harmonique / décomposition de Fourier (réfrigérateur)pour l’acoustique & les tourbillons associéssuppose un régime établi, périodique,

donc réducteur, mais moins coûteux en calcul (surtout si peu d’harmoniques…)


temps temps ‘court’ (période acoustique)

‘long’ phémomèmes non linéaires

phénomènes lents fondamental harmoniques supérieurs(transferts thermiques,

convection naturelle, streaming,

… ) fréquence

0 f0 2f0 3f0 …séparation d’échelle de temps

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Acoustique propagation Acoustique

célérité


en fluide thermovisqueuxgaz réel : Visqueux conducteur de la chaleur

(diffusion de Qté de mouvement) (diffusion thermique)

couches limites visqueuse, thermique

∂∂

=ρp

ccompressibilité


λ

δhδv

25

Fundamental Conservation equations

Small acoustical perturbation, linearized equations, constant physical properties of the fluid

State equations

Basic formulation

0)(div =+∂∂

vρρt

disETst

sT =−

⋅+∂∂

)(div gradgrad λρ v

+

∂∂

vvv

gradt

ρ 0vv =++−+ curlcurlgradgrad µµη div)3/4(p

Mass

Momentum

Energy

( )Tpc

m

m

m ~ˆ~~ βγρ −=20

vc

t

T

t

p

m

mm

rm

r

~div~

ˆ~ 2

0

γρβ −

∂∂=

∂∂

( ) smrmm

m

rmp T

t

p

t

TC 0)

~grad(div

~

ˆ1

~=−

∂∂−−

∂∂ λ

γβγρ

t∂∂ /

Ttt

lct

lcc

t rm

m

rvmm

rvmm

m

m

r

~ˆ~~div~

0

'00

20

2

2

gradcurlcurlgrad∂∂+

∂∂+

∂∂+−

∂∂

ρβ

γvv

v0=

Substitution for :

- density- entropy- pressure

~ρ

s~

=−

+−∂∂

v~divˆ1~

div~

200 mm

mm

mmhmm

r

cTclt

T ρβγ

γγ grad

(p~

grad

−−= pT

T

Cs

mm

m

m

pm&&&

γβγˆ

1~~sTvp ~,~,

~,~,~ ρ

0=

(p~ −

26

Basic formulation (τ,v)

vc

t

T

t

p

m

mm

rm

r

~div~

ˆ~ 2

0

γρβ −

∂∂=

∂∂

Ttt

lct

lcc

t rm

m

rvmm

rvmm

m

m

r

~ˆ~~div~

0

'00

20

2

2

gradcurlcurlgrad∂∂+

∂∂+

∂∂+−

∂∂

ρβ

γvv

v

=−

+−∂∂

v~divˆ1~

div~

200 mm

mm

mmhmm

r

cTclt

T ρβγ

γγ grad

0=

0=

Harmonic Solution )Re(~ tieT ω=)Re(~ tiev ω= ωit =∂∂ /τ v

vc

t

T

t

p

m

mm

rm

r

~div~

ˆ~ 2

0

γρβ −

∂∂=

∂∂

27


vc

t

T

t

p

m

mm

rm

r

~div~

ˆ~ 2

0

γρβ −

∂∂=

∂∂

Harmonic Solution

Acoustic pressure obtained in post-processing

)Re(~ tieT ω=)Re(~ tiev ω= ωit =∂∂ /τ v

vc

t

T

t

p

m

mm

rm

r

~div~

ˆ~ 2

0

γρβ −

∂∂=

∂∂

divˆ200

γωρβi

cm −=p τ v

0ˆ

vvdiv '00

202 =++

+−− τ

ρβωωω

γω gradcurlcurlgrad

mvv

ilcilci

cv

0vdivˆ1

div 200 =−+− ccli mh ρ

βγγτγτω grad

vvv

vττ

τ

p )Re(~ tiep ω=

28



0ˆ

vvdiv '00

202 =++

+−− τ

ρβωωω


mvv

ilcilci

cv

0vdivˆ1


βγγτγτω grad

vvv

vττ

τFluiddomain

Ω

Boundaryconditions

Γ

0v =v0=ττDirichlet

Neumann

vv =

0=∂∂n

τ

Thermal boundarycondition

Mechanical boundarycondition

isothermal

adiabatic

Rigid

Prescribedvelocity

v

τ

29


Finite Element Model : unsymmetric complex matrix,

sparse band


0ˆ

vvdiv '00

202 =++

+−− τ

ρβωωω


mvv

ilcilci

cv

0vdivˆ1


βγγτγτω grad

vvv

vττ

τ

=

sv

v

div

y

x

τ

___grad

v

τ

0

0

O(v)

O(τ)

30

- propagation

- diffusion

thermal

viscous

Acoustics in thermo-viscous Fluids : a multiscale model

δh

δv

λ

1e-006

1e-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10 100 1000 10000 100000

len

gth

(m)

f (Hz)

Air

Acoustical wavelength

boundary layer thicknesses

viscous

thermal

λ

δ v

δ h

air (105 Pa)

31

multiscale FE model adaptive meshing

boundary layers anisotropic mesh

FEM

computation

mesh

adapting[Bidimensional .Anisotropic.Mesh.Generator,

.F. Hecht, 1997]

Mesh/

solution (τ,v)

32

axisymmetrical axis

0/ =∂∂ rτvr = 0

0/ =∂∂ rvz

adiabatic 0/ =∂∂ zτprescribed velocityvr = 0 vz = 1

isothermal

rigid boundaryτ = 0

vr = 0 vz = 0

adiabatic 0/ =∂∂ zτprescribed velocityvr = 0 vz = 4 i

z

r

r = 2.5 mm

R= 5 mm

Application # 1 : propagative wave in a cylindrical duct

at a sudden doubling radius

Axisymetrical model

z = +4.5 cm

z = -4 cm

λλλλ/4

1kHz

T=1 ms

33

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

detailed mesh near the

discontinuity

Convergence of the mesh adapting procedure

Mesh iteration number

initial coarse mesh final refined mesh

34

Colormap:Temperature

variation

(mK)

Arrows:

Particlevelocity

orientation

44

35

Temperaturevariation

(mK)

Particle velocity

(modulus mm/s)

(orientation)

Detailed field near the discontinuity of

the waveguide

45

36

Detailed field near the corner

Temperaturevariation

(mK)

Particlevelocity

(modulusmm/s)

(orientation)46

37

Pressure variation

(Pa)

Particlevelocitymodulus

(mm/s)

47

38

Application # 2 : standing wave in a thermoacoustic resonator Bidimensional model

rigid stack

rigid walls

∞

moving plane pistonrigid v=0 & isothermal τ=0 conditions

axisymetrical

axis

prescribed velocity v=visothermal τ=0 conditions

10 cm

cm 6 1 3

15 mm = 7 rigid plates, 1 mm

+ 8 fluid plate spacing, 1mm

500 Hz

39

Convergence of the mesh adapting procedure

rigid v=0 & isothermal τ=0 conditions

axisymetrical

axis

prescribed velocity v=visothermal τ=0 conditions

iterations

refined anisotropicmesh inside the boundary layers

40

Écart de température

Vitesse particulaire

(module & orientation)

500 Hz

41

Écart de température

51

42

Vitesse particulaire

(module & orientation)

52

43

Conclusion

- la formulation (écart de temperature τ , vitesse particulairev) est adaptée à la modélisation de l’acoustique en fluide thermovisqueux (modèles analytiques + modèles éléments finis en régime harmonique),- modèle multi-physique & multi-échelle : besoin de maillage adaptatifet anisotrope.

Applications- Modélisation fine de systèmes métrologiques basés sur des mesures acoustiques (transducteurs, MEMS),- première étape pour la modélisation de phénomènes non-linéaires lents induits par l’acoustique (thermoacoustique, streaming)

modélisation par éléments finis et maillage adaptatif...

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