implémentation des Éléments finis en matlab v5

Petite implmentation des lments finis en Matlab

EDP mixte: Implmentation des lments finis en Matlab

Implmentation des lments finis en Matlab

1. Introduction:

Une courte excution de Matlab pour les lments finis P1-Q1 sur des triangles et des paralllogrammes est donne pour la rsolution numrique des problmes elliptiques avec des conditions aux frontires mixtes sur des grilles non structures. Selon la brivet du programme et de la documentation donne, n'importe quelle adaptation des exemples modles simples, des problmes plus complexes, peut facilement tre excut. Les exemples numriques prouvent la flexibilit de l'outil de Matlab.

Les programmes proposs de Matlab utilisent la mthode d'lment fini pour calculer une solution numrique

qui rapproche la solution du problme bidimensionnel de Laplace avec des conditions aux frontires mlangs (mixtes):

2. Le problme exact:

Soit un domaine de Lipschitz avec une frontire polygonale.

Sur un certain sous-ensemble ferm de la frontire avec longueur positive, nous considrons des conditions de Dirichlet, alors que nous avons les conditions de Neumann sur la partie restante: \

Soient, et.

Cherchons avec:

(P)Daprs le thorme de Lax-Milgram, il existe toujours une solution faible de (1)-(3) ce qui donne la rgularit intrieure (i.e.,), et on a des frontires lisses et aussi un changement de conditions la frontire.

Les conditions non homognes de Dirichlet (2) sont associes la dcomposition:

Alors, la formulation faible (ou vibrationnelle) du problme (P) est de:

Rechercher tel que:

3. Discrtisation de Galerkin du problme:

Pour limplmentation, le problme (4) est discrtis en utilisant la mthode standard de Galerkin ouet sont remplaces par des sous-espaces de dimensions finis et, respectivement,

Soit une approximation de sur (On dfinit comme tant un interpolant (relatif au nud) de sur).

Donc la discrtisation de problme est de chercher tel que;

Soit une base de lespace de dimension fini, et soit une base de ou est un ensemble d'index de cardinale.

Lquation (5) est quivalente :

En outre soit,

Donc, lquation (6) donne le systme linaire des quations:

Les coefficients de la matriceet le cot droit sont dfinit par:

La matrice A est symtrique, dfinie positive, donc, le systme (7) a exactement une solution ce qui dtermine la solution de Galerkin

4. Reprsentation des donnes de la triangulation :

Supposant que le domaine a une frontire polygonale, nous pouvons recouvrir par une triangulation rgulire forme de triangles et de quadrilatres, i.e., o chaque t est un triangle ferm ou un quadrilatre ferm.

coordinates.dat contient les coordonnes de chaque nud de maillage donn.

Chaque ligne est de la forme:

node# x-coord y-coordNotre subdivision est forme de triangles et de quadrilatres. Dans les deux cas, les nuds sont numrots dans le sens contraire des aiguilles d'une montre.

Pour les triangles; elements3.dat contient pour chacun triangle le nombre de nuds (sommets), Chaque ligne est de la forme:

element# node1 node2 node3.De mme, les donnes pour les quadrilatres sont donnes dans elements4.dat. Ici, nous employons le format:

element# node1 node2 node3 node4.

Les deux fichiers Neumann.dat et Dirichlet.dat contiennent dans chaque ligne les deux nombres de nuds attacher au le bord de la frontire :

Neumann edge# node1 node2 resp., Dirichlet edge # node1 node2.

Dans la figure2, deux fonctions chapeau typiquesdfinies pour chaque nud du maillage par:

Le sous espace est lespace des splines engendr par tout les pour tout qui ne se sont pas sur. Dautre part est dfinit comme tant un interpolant nodal de, dans.

Avec ces espaces et et leurs bases correspondantes, les intgrales dans la relation (8) peuvent tre calcul comme somme de tous les lments et aussi somme de tous les bords de larc ,

c--d.,

5. la matrice de courbaturesLa matrice locale de courbatures est dtermine par les coordonnes des sommets de l'lment correspondant, elle est calcul par les fonctions stima3.m et stima4.m.

Pour un lment de la triangulation T, soient,etdes sommets et ,et les fonctions de base correspondantes dans S ,i.e.,

La rflexion d'un moment indique

(11)

Avec est donn par:

L'entre rsultante de la matrice de courbatures est:

Avec lindex modulo 3. Ceci est crit simultanment pour tous les index:

avec

Puisque nous obtenons les formules semblables pour trois dimensions, le programme en Matlab est simultanment pour d=2 et d=3

Pour un lment quadrilatral T soient les sommets avec les fonctions chapeau correspondantes .puisque T est un paralllogramme, il y a un quadrillage

SHAPE \* MERGEFORMAT

Pour les lments sur T. puis avec les fonctions de la forme


De la loi de substitution il suit pour les intgrales (9):


On rsout ces intgrales partir de la matrice locale de courbatures, pour un lment de quadrilatre on aura:


Avec

6. Assembler le ct droit de lquationLes forces de volume sont employes pour assembler le ct droit. Utilisons la valeur de au centre de gravit de T l'intgrale en (10) est approxime par:

Tel que si T est un triangle et si T est un paralllogramme.

Les valeurs de sont donnes partir de la fonction f.m qui dpend du problme.

La fonction est dfinit par les coordonnes des points qui se trouve dans et elle renvoie la force de volume a ces endroits. Pour lexemple numrique reprsent sur le schma 3 nous avons employ

De mme, les conditions de Neumann contribuent au cot droit. En utilisant la valeur de au centre de E avec la longueur , lintgrale dans (10) est approch par

Ici, nous employons le fait que dans Matlab le taille dune matrice vide est plac par zro et qu'une boucle de 1 0 est totalement omis. De cette faon, la question de l'existence des donnes de frontire de Neumann doit tre renonce.

Les valeurs de sont donns par la fonction g.m qui dpend encore du problme. La fonction est dfinit avec les coordonnes des points sur et retours les efforts correspondants. Pour l'exemple numrique g.m tait

7. tats dincorporation de DirichletAvec une numrotation approprie des nuds, le systme des quations linaires rsultant de la construction dcrite dans la section prcdente sans incorporer des tats de Dirichlet peut tre crit comme suit :

Avec , . Ici, U sont les valeurs aux nuds libres qui sont dterminer, sont les valeurs aux nuds qui sont sur la frontire de Dirichlet ainsi sont connus a priori.

Par consquent, le premier bloc d'quations peut tre rcrit:

C'est la formulation de (6) avec aux nuds de non-Dirichlet.

Dans le deuxime bloc d'quations dans (12) l'inconnu est mais puisqu'il n'a pas dintrt, il est omis dans le suivant.

Les valeurs aux nuds sur sont donnes par la fonction u.d.m qui dpend du problme. La fonction est appele par les coordonnes aux points sur et retourne les valeurs aux endroits correspondants. Pour l'exemple numrique u.d.m tait:

8. Calcul de la solution numriqueLes lignes de (7) correspondant la premire M ligne de la forme (12) qui rduit le systme des quations avec une matrice dfinie symtrique et positive de coefficient .

Il est obtenu du systme original des quations en prenant les lignes et les colonnes et on les fait correspondant les nuds libres du problme. La restriction peut tre ralise dans Matlab travers lindexation approprie.

Le systme des quations est rsolu par l'oprateur binaire (install dans Matlab) qui donne l'inverse gauche d'une matrice.

Matlab se sert des proprits d'une matrice dfinie positive, symtrique pour rsoudre le systme des quations efficacement.

Une reprsentation graphique de la solution est donne par la fonction show.m.

Dans Matlab trisurf(ELEMENTS,X,Y,U) est utilise pour dessiner des triangulations pour les lments de types gaux. Chaque ligne de la matrice ELEMENTS dtermine un polygone o les x-, y-, et z- coordonnes de chaque sommet de ce polygone est donne par la correspondance avec X, Y et U respectivement. La couleur des polygones est donne par des valeurs de U. Les paramtres additionnels, 'facecolor', 'interp', mnent une coloration interpole. La figure 3 illustre la solution pour le maillage dfinie dans la section 4 et les fichiers de donnes f.m, g.m, et u_d.m donns dans les sections 6 et 7.

La rcapitulation sectionne 4-8, le programme principal, qui est numr dans l'annexe A, est structur comme suit (les lignes rfrences sont selon la numrotation dans l'annexe A) :

9. L'quation de la chaleurPour des mthodes numriques de l'quation de la chaleur,

avec un procd implicite temps d'Euler, nous avons devis l'intervalle de temps [0, T] en N sous-intervalles de taille qui mne l'quation:

o et est l'approximation discrte de au temps

La forme faible de (13) est:

Avec et les notations dans la section 2. Pour chaque tape, cette quation est rsolue en utilisant les lments finis qui mne au systme linaire suivant:

La matrice de courbatures A et le ct droit b sont comme avant. La matrice de masse B (voir 8) est le rsultat des limites, i.e.,

Pour la triangulation, affinez par morceaux les lments que nous obtenons:

L'annexe B montre le programme modifi de l'quation de la chaleur. Lexemple numrique a t bas sur le domaine dans la figure1, cette fois avec et sur la frontire externe. La valeur sur le cercle (intrieur) est toujours . Sur les frontire de Neumann, nous avons toujours, La figure 4 montre la solution pendant quatre fois diffrentes (T = 0:1, 0:2, 0:5 et T = 1). (T est la variable dans la ligne 10 du programme principal.)

Le programme principal, list dans l'annexe B, est structur comme suit (les lignes rfrence ont la mme numrotation dans l'annexe B) :

L'annexe B montre le programme modifi de l'quation de la chaleur. Lexemple numrique a t bas sur le domaine dans la figure1, cette fois avec et sur la frontire externe. La valeur sur le cercle (intrieur) est toujours. Sur la frontire de Neumann, nous avons toujours.

10. Un problme non-linaire

Comme application simple du problme variationnel non convexe, nous considrons l'quation de Ginzburg-Landau

Pour , cest la formulation faible, i.e.,

On peut considrer galement la condition ncessaire pour minimiser le problme variationnel

Nous visons rsoudre (15) avec la mthode de Newton-Raphson's. Commenant par un certain , dans chacun tape d'itration, nous calculons satisfaisant:

Ou Les intgrales dans et sont de nouveau calculs comme somme de tous les lments. Les intgrales locales rsultantes peuvent tre calcules analytiquement et sont implments en localj.m, respectivement localdj.m, comme donn dans l'annexe C. Le programme en Matlab a besoin encore de petites modifications, montres dans l'annexe C. Essentiellement, on doit initialiser le programme (avec un vecteur de dbut qui remplit la condition de frontire de Dirichlet (lignes 9 et 10)), pour ajouter une boucle (lignes 12 et 45), pour mettre jour la nouvelle approximation de newton (ligne 41), et pour fournir un critre darrt en cas de convergence (lignes 42-44).

On sait que les solutions ne sont pas uniques. En effet, pour tout minimum local u, -u est galement un minimum et 0 rsout aussi le problme. La fonction constante mne l'nergie nulle, mais viole la continuit ou on a les conditions aux frontires. Par consquent, on observe la frontire ou les couches internes qui sparent de grandes rgions, o u est presque constant.Dans le problme en dimension finie, les diffrentes valeurs initiales peut mener diffrentes approximations numriques.

La figure 5 montre deux solutions possibles trouves pour deux diffrentes valeurs aprs environ 20-30 itrations. La figure du ct gauche est ralise en des valeurs comme tant choisies dans le programme dans l'annexe C. Changer le rapport dans la ligne 9 dans l'annexe C U = signe (coordonnes (:, 1)); montrer la figure du ct droit.

Le programme principal, donn dans l'annexe C, est structur comme suit (les lignes rfrences sont selon la numrotation dans l'annexe C) :

11. Problmes tridimensionnels:Avec quelques modifications, le programme de Matlab pour des problmes linaires en deux dimensions tudi dans les sections 5-8 peut tre prolong aux problmes trois dimensions. Ttradres sont utiliss en tant qu'lments finis. Les fonctions de base sont correspondantes celles dfinie en deux dimensions, par exemple, pour un lment de ttradre T soient les sommets et les fonctions de base correspondantes, c.--d.,

Chacun des dossiers *.dat obtient une entre additionnelle par ligne. Dans coordinates.dat, cest le zme-composant de chaque nud

Une entre typique dans elements3.dat se relit maintenant:

j k l m n,Tel que k, l, m, n, sont les nombres de sommets du jme lment.

elements4.dat n'est pas utilis pour des problmes trois dimensions. L'ordre des nuds est organis tels que le ct droit de

est positif, La numrotation des lments dfinis dans neumann.dat et dirichlet.dat est fait avec le visionnement positif mathmatique d'orientation de l'extrieur W sur la surface.En utilisant le code de Matlab dans l'annexe A, l'annulation des lignes 5, 16-19 et 26-30 et substitution de 22-24, 33-34, 43 par les lignes suivantes donne un outil court et flexible pour rsoudre la grandeur scalaire, problmes trois dimensions linaires :

La reprsentation graphique pour des problmes trois dimensions peut tre faite par raccourcis version de show.m de la section 8.

La distribution de la temprature d'un piston simplifi est prsente sur le schma 6. Calcul

de la distribution de la temprature avec 3728 nuds et 15111 lments (y compris le rendement graphique) prend quelques minutes sur un poste de travail.

Le programme principal, qui est numr dans l'annexe D, est structur comme suit (les lignes rfrences sont selon la numrotation dans l'annexe D) :

AnnexeA. Le code complet de Matlab pour le problme deux dimensions de Laplace

Le programme suivant peut tre trouv dans le paquet, sous le chemin acf/fem2d.

Il s'appelle fem2d.m. Les autres dossiers sous ce chemin sont les fonctions fixes stima3.m, stima4.m, et show.m aussi bien que les fichiers de fonctions et de donnes cela dcrivez la discrtisation et les donnes du problme, savoir coordinates.dat, elements3.dat, elements4.dat, dirichlet.dat, neumann.dat, f.m, g.m, et u_d.m. Ces problmes-qui dcrivent des dossiers doivent tre adapts par l'utilisateur pour d'autres gomtries, discrtisations, et/ou donnes.

B. Code de Matlab pour l'quation de la chaleur

Le programme suivant peut tre trouv dans le paquet, sous le chemin acf/fem2d la chaleur. Il s'appelle fem2d heat.m. Les autres dossiers sous ce chemin sont les fixes fonctions stima3.m et show.m aussi bien que les fichiers de fonctions et de donnes qui dcrivent la discrtisation et les donnes du problme, savoir coordinates.dat, elements3.dat, dirichlet.dat,neumann.dat,f.m,g.m,et u_d.m.Ces problmes-qui dcrivent des dossiers doivent tre adapts par l'utilisateur pour d'autres gomtries, discrtisations, et/ou donnes.

C. Code de Matlab pour le problme non-linaire

Le programme suivant peut tre trouv dans le paquet, sous le chemin acf/fem2d non-linaire. Il s'appelle fem2d nonlinear.m. Les autres dossiers sous ce chemin sont la fonction fixe show.m aussi bien que les fichiers de fonctions et de donnes qui dcrivent le fonctionnel J, son driv DJ, la discrtisation et les donnes du problme, savoir, localj.m, localdj.m, coordinates.dat, elements3.dat,dirichlet.dat, f.m, et u_d.m. Ces problmes-qui dcrivent des dossiers doivent tre adapts par l'utilisateur pour d'autres problmes, gomtries, discrtisations, et/ou donnes non-linaires (y compris ajouter probablement les dossiers appropris neumann.dat et g.m).

D. Code de Matlab pour le problme trois dimensions

Le programme suivant peut tre trouv dans le paquet, sous le chemin acf/fem3d. Il s'appelle fem3d.m. Les autres dossiers sous ce chemin sont les fonctions fixes stima3.m, et showsurface.m aussi bien que les fichiers de fonctions et de donnes qui dcrivent la discrtisation et les donnes du problme, savoir coordinates.dat, elements3.dat, dirichlet.dat, neumann.dat, f.m, g.m, et u_d.m. Ces problmes-qui dcrivent des dossiers doivent tre adapts par l'utilisateur pour d'autres gomtries, discrtisations, et/ou donnes.

Rfrences:[1] S.C. Brenner et L.R. Scott, La thorie mathmatique de mthodes d'lment fini, Textes dans Mathmatiques appliques, vol. 15 (Springer, New York, 1994).

[2] P.G. Ciarlet, La mthode d'lment fini pour des problmes elliptiques (la Nord-Hollande, Amsterdam, 1978).

[3] L. Langemyr et autres., Le guide d'quation de l'utilisateur partiel de bote outils ( Math Works, Inc. 1995).

[4] H.R. Schwarz, Der Finiten Elemente de Methode (Teubner, Stuttgart, 1991).

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , (13)

EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3

Lignes 3-10: Chargement de la gomtrie et initialisation du maillage.

Lignes 11-19: Assemble la matrice de rigidit dans deux boucles, d'abord aux lments des triangulaires, puis aux lments des quadrilatres.

Lignes 20-30: Incorporation de la force de volume dans deux boucles, d'abord aux lments des triangulaires, puis aux lments des quadrilatres.

Lignes 31-35: Incorporation de l'tat de Neumann.

Lignes 36-39: Incorporation de l'tat de Dirichlet.

Lignes 40-41: Solution du systme linaire rduit.

Lignes 42-43: Reprsentation graphique de la solution numrique.

Figure 3.solution du problme de Laplace

function show(elements3,elements4,coordinates,u)

trisurf(elements3,coordinates(:,1),coordinates(:,2),u,...

facecolor,interp)

hold on

trisurf(elements4,coordinates(:,1),coordinates(:,2),u,...

facecolor,interp)

hold off

view(10,40);

title(Solution of the Problem)

FreeNodes=setdiff(1:size(coordinates,1),unique(dirichlet));

u(FreeNodes)=A(FreeNodes,FreeNodes)\b(FreeNodes);

function DirichletBoundaryValue = u_d(x)

DirichletBoundaryValue = zeros(size(x,1),1);

% Dirichlet conditions

u = sparse(size(coordinates,1),1);

u(unique(dirichlet)) = u_d(coordinates(unique(dirichlet),:));

b = b - A * u;

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , (12)

function Stress = g(x)

Stress = zeros(size(x,1),1);

% Neumann conditions

for j = 1 : size(neumann,1)

b(neumann(j,:))=b(neumann(j,:)) + ...

norm(coordinates(neumann(j,1),:) - ...

coordinates(neumann(j,2),:)) * ...

g(sum(coordinates(neumann(j,:),:))/2)/2;

end

EMBED Equation.3

function VolumeForce = f(x);

VolumeForce = ones(size(x,1),1);

% Volume Forces

for j = 1:size(elements3,1)

b(elements3(j,:)) = b(elements3(j,:)) + ...

det([1 1 1; coordinates(elements3(j,:),:)]) * ...

f(sum(coordinates(elements3(j,:),:))/3)/6;

end

for j = 1:size(elements4,1)


det([1 1 1; coordinates(elements4(j,1:3),:)]) * ...

f(sum(coordinates(elements4(j,:),:))/4)/4;

end

EMBED Equation.3

function M = stima4(vertices)

D_Phi = [vertices(2,:)-vertices(1,:); vertices(4,:)- ...

vertices(1,:)];

B = inv(D_Phi*D_Phi);

C1 = [2,-2;-2,2]*B(1,1)+[3,0;0,-3]*B(1,2)+[2,1;1,2]*B(2,2);

C2 = [-1,1;1,-1]*B(1,1)+[-3,0;0,3]*B(1,2)+[-1,-2;-2,-1]*B(2,2);

M = det(D_Phi) * [C1 C2; C2 C1] / 6;

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3


EMBED Equation.3 ,

function M = stima3(vertices)

d = size(vertices,2);

G = [ones(1,d+1);vertices] \ [zeros(1,d);eye(d)];

M = det([ones(1,d+1);vertices]) * G * G / prod(1:d);

EMBED Equation.3


Do EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 (9)


EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

dirichlet.dat

1 3 4

2 4 5

3 7 8

4 8 9

5 9 10

6 10 11

7 11 12

8 12 1

neumann.dat

1 5 6

2 6 7

3 1 2

4 2 3

Figue2: fonction chapeau

elements4.dat

1 1 2 13 12

2 12 13 14 11

3 13 4 15 14

4 11 14 9 10

5 14 15 8 9

6 15 6 7 8

elements3.dat

1 2 3 13

2 3 4 13

3 4 5 15

4 5 6 15

Figure 1. Exemple de maillage

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 (8)


EMBED Equation.3 et EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (6)



EMBED Equation.3 donc EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 , i.e.,

EMBED Equation.3 { EMBED Equation.3 }

EMBED Equation.3 Dans EMBED Equation.3 (1)

EMBED Equation.3 Sur EMBED Equation.3 (2)

EMBED Equation.3 Sur EMBED Equation.3 (3)

Lignes 3-11 : Chargement de la gomtrie et initialisation du maillage

Lignes 12-16 : Assemble la matrice de courbatures A dans une boucle en tous les lments triangulaires.

Lignes 17-20 : Assemble la matrice de masse B dans une boucle en tous les lments triangulaires. Lignes 21-22 : Dfinir l'tat initial du discret U.

Lignes 23-48 : Boucle (aux au-dessus) tapes de temps.

En particulier :

Ligne 25 : (Dgager) le vecteur du ct droit.

Lignes 26-31 : Incorporation de la force de volume l'tape de temps n.

Lignes 32-37 : Incorporation de la condition de Neumann l'tape de temps n.

Lignes 38-39 : Incorporation de la solution l'tape prcdente de temps n -1.

Lignes 40-43 : Incorporation de la condition de Dirichlet l'tape de temps n.

Lignes 44-47 : Solution du systme linaire rduit pour la solution l'tape de temps n.

Lignes 49-50 : Reprsentation graphique de la solution numrique ltape temps final

EMBED Equation.3 dans EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 sur EMBED Equation.3 (14)

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3


det([1,1,1,1;coordinates(elements3(j,:),:)]) * ...

f(sum(coordinates(elements3(j,:),:))/4) / 24;

b(neumann(j,:)) = b(neumann(j,:)) + ...

norm(cross(coordinates(neumann(j,3),:) - ...

coordinates(neumann(j,1),:),coordinates(neumann(j,2),:) - ...

coordinates(neumann(j,1),:))) ...

* g(sum(coordinates(neumann(j,:),:))/3)/6; showsurface([dirichlet;neumann],coordinates,full(u));

function showsurface(surface,coordinates,u)

trisurf(surface,coordinates(:,1),coordinates(:,2),...

coordinates(:,3),u, facecolor,interp)

axis off

view(160,-30)

1 % de FEM2D de mthode d'lment fini bidimensionnelle pour Laplacian.

2 % d'initialisation

3 charge coordinates.dat ; coordonnes (: , 1) = [] ;

4 eval (' charge elements3.dat ; elements3 (: , 1) = [] ; ',' elements3= [] ; ') ;

5 eval (' charge elements4.dat ; elements4 (: , 1) = [] ; ',' elements4= [] ; ') ;

6 eval (' charge neumann.dat ; neumann (: , 1) = [] ; ',' neumann= [] ; ') ;

7 charge dirichlet.dat ; dirichlet (: , 1) = [] ;

8 FreeNodes=setdiff (1 : taille (coordonnes, 1), unique (dirichlet));

9 A = clairsem (taille (coordonnes, 1), taille (coordonnes, 1));

10 b = clairsem (taille (coordonnes, 1), 1) ;

11 % d'Assemble

12 pour j = 1 : taille (elements3,1)

13 A (elements3 (j :), elements3 (j :)) = A (elements3 (j :),

14 elements3 (j :)) + stima3 (coordonnes (elements3 (j :) :));

extrmit 15




extrmit 19

20 % de forces de volume


22 b (elements3 (j :)) = b (elements3 (j :)) +

det 23 ([1.1.1 ; coordonnes (elements3 (j :) :)']) *

24 f (somme (coordonnes (elements3 (j :) :))/3) /6 ;

extrmit 25



det 28 ([1.1.1 ; coordonnes (elements4 (j, 1 : 3) :)']) *


extrmit 30

31 % d'tats de Neumann

32 pour j = 1 : taille (neumann, 1)

33 b (neumann (j :))=b (neumann (j :)) +

norme 34 (coordonnes (neumann (j, 1) :)- coordonnes (neumann (j, 2) :))*

g (somme (coordonnes (neumann (j :) :))/2) /2 ;

extrmit 35

36 % d'tats de Dirichlet

37 u = clairsem (taille (coordonnes, 1), 1) ;

38 u (uniques (dirichlet)) = u_d (coordonnes (uniques (dirichlet) :));

39 b = b - A * u ;

40 % de calcul de la solution

41 u (FreeNodes) = A) (de FreeNodes, de FreeNodes \ b (FreeNodes) ;

42 % de reprsentation de graphique

exposition 43 (elements3, elements4, coordonnes, pleines (u));


EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3


Figure 5. Solution de lquation non-linaire

Lignes 3-7 : Chargement de la gomtrie et initialisation du maillage.

Lignes 8-10 : Rglage du vecteur dinitialisation U pour le procd de l'itration, incorporant la condition de Dirichlet sur la solution.

Lignes 11-45 : Boucle pour l'itration de Newton-Raphson. Il finit aprs un maximum de 50 itrations (dans la ligne 12) ou en cas de convergence (lignes 42-44).

Lignes 13-18 : Assemblage de la matrice de la driv du fonctionnel J valu l'tape courante d'itration U.

Lignes 19-24 : Assemblage du vecteur du fonctionnel J valu la courante tape d'itration U.

Lignes 25-30 : Incorporation de la force de volume.

Lignes 31-35 : Incorporation de l'tat de Neumann.

Lignes 36-38 : Incorporation des conditions homognes de Dirichlet du vecteur de mise jour W.

Lignes 39-40 : Solution du systme linaire rduit pour le vecteur de mise jour W.

Ligne 41 : Mise jour U.

Lignes 42-44 : clatement de la boucle si le vecteur de mise jour W est suffisamment petit (sa norme tant plus petite que EMBED Equation.3 ).

Lignes 46-47 : La reprsentation graphique de la finale itration.


EMBED Equation.3

Figure 6. La distribution de la temprature d'un piston

Lignes 3-9 : Chargement de la gomtrie et de l'initialisation de maille.

Lignes 11-14 : Assemble de la matrice de rigidit dans une boucle au-dessus de tous les ttradres.

Lignes 16-20 : Incorporation de la force de volume dans une boucle au-dessus de tous les ttradres.

Lignes 22-27 : Incorporation de l'tat de Neumann.

Lignes 29-31 : Incorporation de l'tat de Dirichlet.

Ligne 33 : Solution du systme linaire rduit.

Ligne 35 : Reprsentation graphique de la solution numrique.

1 mthode d'lment fini de %FEM2D_HEAT pour l'quation bidimensionnelle de la chaleur.

2 %Initialisation


4 charge elements3.dat ; elements3 (: , 1) = [] ;





9 B = clairsem (taille (coordonnes, 1), taille (coordonnes, 1));

10 T = 1 ; dcollement = 0.01 ; N = T/dt ;

11 U = zros (taille (coordonnes, 1), N+1) ;

12 % d'Assemble




extrmit 16


18 B (elements3 (j :), elements3 (j :)) = B (elements3 (j :),

19 elements3 (j :)) + det ([1.1.1 ; coordonnes (elements3 (j :) :)'])

* [2.1.1 ; 1.2.1 ; 1.1.2] /24 ;

extrmit 20

21 % d'tat initial

22 U (: , 1) = zros (taille (coordonnes, 1), 1) ;

23 % d'tapes de temps

24 pour n = 2 : N+1





det 29 ([1.1.1 ; coordonnes (elements3 (j :) :)']) *

dt*f 30 (somme (coordonnes (elements3 (j :) :))/3, n*dt) /6 ;

extrmit 31



34 b (neumann (j :)) = b (neumann (j :)) +

norme 35 (coordonnes (neumann (j, 1) :)- coordonnes (neumann (j, 2) :))*

dt*g 36 (somme (coordonnes (neumann (j :) :))/2, n*dt) /2 ;

extrmit 37

38 % de timestep prcdent

39 b = b + B * U (: , n-1) ;



42 u (uniques (dirichlet)) = u_d (coordonnes (uniques (dirichlet) :), n*dt) ;

43 b = b - (dcollement * A + B) * u ;


45 u (FreeNodes) = (dt*A (FreeNodes, FreeNodes) +

46 B (FreeNodes, FreeNodes))\ b (FreeNodes) ;

47 U (: , n) = u ;

extrmit 48


exposition 50 (elements3, [], coordonnes, compltement (U (: , N+1)));

1 % de FEM2D_NONLINEAR de mthode d'lment fini pour bidimensionnel

% d'quation non-linaire.







8 % de valeur initiale

9 U = - ceux (taille (coordonnes, 1), 1) ;

10 U (uniques (dirichlet)) = u_d (coordonnes (uniques (dirichlet) :));

11 % d'itration de Newton-Raphson

12 pour i=1 : 50

13 % d'Assemble de DJ (U)




elements3 (j :))

17 + localdj (coordonnes (elements3 (j :) :), U (elements3 (j :)));

extrmit 18

19 % d'Assemble de J (U)


21 pour j = 1 : taille (elements3,1) ;

22 b (elements3 (j :)) = b (elements3 (j :))

23 + localj (coordonnes (elements3 (j :) :), U (elements3 (j :)));

24 extrmits




det 28 ([1 1 1 ; coordonnes (elements3 (j :) :)']) *


extrmit 30



33 b (neumann (j :))=b (neumann (j :))

- norme (coordonnes (neumann (j, 1) :)-

34 coordonnes (neumann (j, 2) :)) *

*g (somme (coordonnes (neumann (j :) :))/2) /2 ;

extrmit 35


37 W = zros (taille (coordonnes, 1), 1) ;

38 W (uniques (dirichlet)) = 0 ;

39 % rsolvant une tape de newton

40 W (FreeNodes) = A) (de FreeNodes, de FreeNodes \ b (FreeNodes) ;

41 U = U - W ;

42 si norme (W) < 10(-10)

coupure 43

extrmit 44

extrmit 45


exposition 47 (elements3, [], coordonnes, pleines (U));

fonction b = localj (sommets, U)

Eps = 1/100 ;

G = [ceux (1.3) ; ] de sommets' \ [zros (1.2) ; oeil (2)];

Secteur = det ([ceux (1.3) ; ) de sommets']/2 ;

b=Area* ((Eps*G*G' - [2.1.1 ; 1.2.1 ; 1.1.2] /12) *U+

[4*U (1) 3+ U (2) 3+U (3) 3+3*U (1) 2* (U (2) +U (3))+2*U (1)

* (U (2) 2+U (3) 2) *U de +U (2) (3) * (U (2) +U (3))1) *U du *U de +2*U ((2) (3) ;

4*U (2) 3+ U (1) 3+U (3) 3+3*U (2) 2* (U (1) +U (3))+2*U (2)

* (U (1) 2+U (3) 2) 1) *U de +U ((3) * (U (1) +U (3))1) *U du *U de +2*U ((2) (3) ;

4*U (3) 3+ U (2) 3+U (1) 3+3*U (3) 2* (U (2) +U (1))+2*U (3)

* (U (2) 2+U (1) 2) *U de +U (2) (1) * (U (2) +U (1))1) *U du *U de +2*U ((2) (3)]/60) ;

fonction M = localdj (sommets, U)

Eps = 1/100 ;

G = [ceux (1.3) ; ] de sommets' \ [zros (1.2) ; oeil (2)];

Secteur = det ([ceux (1.3) ; ) de sommets']/2 ;

M = Area* (Eps*G*G' - [2.1.1 ; 1.2.1 ; 1.1.2] /12 +

[12*U (1) 2+2* *U (d'U (2) 2+U (3) 2+U (2) (3))+6*U (1) * (U (2) +U (3)),

*U de 3* (U (1) 2+U (2) 2) +U (3) 2+4*U (1) (2) +2*U (3) * (U (1) +U (2)),

*U de 3* (U (1) 2+U (3) 2) +U (2) 2+4*U (1) (3) +2*U (2) * (U (1) +U (3));

*U de 3* (U (1) 2+U (2) 2) +U (3) 2+4*U (1) (2) +2*U (3) * (U (1) +U (2)),

12*U (2) 2+2* *U (d'U (1) 2+U (3) 2+U (1) (3))+6*U (2) * (U (1) +U (3)),

*U de 3* (U (2) 2+U (3) 2) +U (1) 2+4*U (2) (3) +2*U (1) * (U (2) +U (3));

*U de 3* (U (1) 2+U (3) 2) +U (2) 2+4*U (1) (3) +2*U (2) * (U (1) +U (3)),

*U de 3* (U (1) 2+U (3) 2) +U (2) 2+4*U (1) (3) +2*U (2) * (U (1) +U (3)),

*U de 3* (U (2) 2+U (3) 2) +U (1) 2+4*U (2) (3) +2*U (1) * (U (2) +U (3)),

12*U (3) 2+2* *U (d'U (1) 2+U (2) 2+U (1) (2))+6*U (3) * (U (1) +U (2))]/60) ;

1 % de FEM3D de mthode d'lment fini tridimensionnelle pour Laplacian.









10 % d'Assemble




extrmit 14




det 18 ([1.1.1.1 ; coordonne (elements3 (j :) :)'])

19 * f (somme (coordonnes (elements3 (j :) :))/4)/24 ;

extrmit 20



23 b (neumann (j :)) = b (neumann (j :)) +

24 normes (croix (coordonnes (neumann (j, 3) :)-

coordonnes (neumann (j, 1) :),

25 coordonnes (neumann (j, 2) :)- coordonnes (neumann (j, 1) :)))

26 * g (somme (coordonnes (neumann (j :) :))/3) /6 ;

extrmit 27



30 u (uniques (dirichlet)) = u_d (coordonnes (uniques (dirichlet) :));

31 b = b - A * u ;


33 u (FreeNodes) = A) (de FreeNodes, de FreeNodes \ b (FreeNodes) ;


showsurface 35 ([dirichlet ; neumann], coordonnes, pleines (u));

EMBED Equation.3

Par: GRARI et KORIKACHE7/28

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implémentation des Éléments finis en matlab v5

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