analyse matricielle appliquée aux structures_méthode des Éléments finis

Par Jol M. ZINSALO Page 1

CHAPITRE :

1. Dplacement uniaxial Elments deux forces

2.1. Elments deux forces

Considrons une barre prismatique de longueur L de section A et de module

dlasticit E.

Figure 1 : Barre prismatique de longueur L

Les extrmits de la barre sont identifies des nuds. Ces nuds sont des

points dattache (ou de liaison) dautres lments et les points dans un ensemble

dlments pour lesquels les dplacements sont faits.

Les forces, dans un lment de membrure deux forces, sont appliques

seulement aux nuds et les dplacements de tous les nuds sont dans la

direction x.

Sur la figure 1 les dplacements des nuds 1 et 2 sont respectivement

reprsents par les symboles u1 et u2.

ANALYSE MATRICIELLE APPLIQUEE AUX

STRUCTURES

y

L

x2

x1

x

Y

nud 1 nud 2

x F1 F2

1 2

u1 u2


On tablit les conventions suivantes :

Les forces et les dplacements sont compts positivement quand ils

agissent dans la direction positive des coordonnes. Sur la figure 1, toutes

les forces et les dplacements sont compts positivement. Par contre pour

lquilibre dun lment de membrure deux forces, la convention de signe

requiert que la force une extrmit (nud) soit positive et la force lautre

extrmit soit ngative.

La position dun nud dans une structure non dforme est prise gale la

position de rfrence pour ce nud. Donc le dplacement dun nud est le

changement de position du nud comme la structure se dforme pendant

lapplication de la charge.

De la mcanique classique, on retient que la variation de dplacement

lmentaire dun lment de membrure de longueur L, de section A et de module

dlasticit E (voir figure 1) est donne par la relation :

= = (1) On dfinit la rigidit k de la membrure par lexpression suivante :

= . De la relation (1) on tire :

= (2) On obtient :

Appliquons cette dfinition la membrure deux forces de la figure 1. On peut

exprimer la force chaque nud de la membrure en fonction des dplacements

nodaux u1 et u2 et de la rigidit k. On a :

( )( )

=

=

122

211uukF

uukF

( )( )

+=

=

212

211uukF

uukF

Sous forme matricielle on crit :


=

2

1

2

11111

u

uk

FF

(3)

ou

} [ ] }{{ qkQ = (4) avec :

} [ ]{ TFFQ 21= : vecteur chargement aux nuds de llment. [ ]k : matrice de rigidit de llment.

}{ [ ]Tuuq 21= : vecteur dplacement nodal de llment.

Dfinition

Un degr de libert dans une structure est un dplacement indpendant dun

nud.

Pour un lment de membrure deux forces, on voque seulement des

dplacements nodaux et puisque chaque nud peut mouvoir seulement le long

de laxe x, chaque nud a un degr de libert. Donc chaque lment possde

deux dplacements soit deux degrs de libert.

Lquation (4) est la relation gnrale force-dplacement pour llment de

membrure deux forces et est applicable tout lment de membrure dans un

assemblage dlments.

Pour plus de clart, on appliquera un numro didentification llment. Ainsi

lquation (3) devient :

e

ee

u

uk

FF

=

2

1

2

11111

ou

=

e

ee

e

e

u

uk

FF

2

1

2

11111


2.2. Application un assemblage de deux lments deux forces chacun

Figure 2 : Assemblage de deux lments

Numro de

llment

Numro de nud global dans lassemblage

Nud local 1 Nud local 2

1

2

1

2

2

3

La figure 2 est un assemblage de deux lments deux forces dans un

dplacement uniaxial.

Pour llment 1 on a :

12

11

12

11111

=

u

uk

FF

Pour llment 2 on a :

22

12

22

11111

=

u

uk

FF

.

En dissociant les lments, on a la figure 3 suivante :

x 1 3

y

2

2 1

2 3

F11 F21

1 2

F22 F32 1

2

Figure 3


On a :

=

21

11

1

21

11

11

11

u

uk

F

F et

=

32

222

32

221111

u

uk

FF

(5)

o est la force agissant sur le nud global de llment .

Considrons la figure suivante :

Figure 4 : Assemblage de deux lments

Lassemblage de deux lments montr la figure 4 possde 3 nuds et 3

dplacements (3 degrs de libert). Dsignons par Ri la force rsultante agissant

sur le nud global i. Notons que le diagramme de corps libre de la rgion

entourant le nud 2 tel que montr sur la figure 4 illustre la charge externe

applique R2 et les forces exerces par les lments adjacents. Ainsi lquilibre de

la rgion entourant le nud 2 donne :

R2 = F21 + F22.

De mme au nud 1 on a ; R1 = F11.

Au nud 3 on a : R3 = F32

Lobjectif est de combiner les deux quations (5) pour obtenir une quation qui

exprime les forces nodales Ri aux dplacements globaux ui de lassemblage. La

1

3 2

2 1

u1 u2 u3

R3 R1

R2


mthode suivante est thorique mais pas pratique pour solutionner les problmes

rels.

Procdure de la mthode

1. Elargir les quations (5) pour inclure tous les dplacements nodaux ; ceci

donne

=

3

2

1

121

11

000011011

0 uu

u

kFF

et

=

3

2

1

2

32

221101100000

u

u

u

kF

F

2. Faire la somme des quations obtenues

+

=

+

3

2

1

2

3

2

1

1

32

2221

11

110110000

0000110110

0 uu

u

ku

u

u

kF

FFF

3. Faire sortir le facteur du vecteur dplacement :

+

=

+=

3

2

1

22

2211

11

32

2221

11

3

2

1

0

0

u

u

u

kkkkkk

kk

FFF

F

RRR

ou

= (6) est le vecteur de lassemblage des forces nodales globales est le vecteur de lassemblage des dplacements nodaux globaux est la matrice de rigidit du systme global assembl. Lapplication de cette mthode permet de dvelopper des quations matricielles

pour des systmes contenant plus de deux lments. Bien que cette technique

soit pratique pour des fins manuelles, elle nest pas pratique pour des

incrmentations numriques sur ordinateur.

Une fois que les quations matricielles sont dveloppes pour la structure, ltape

suivante est de substituer les conditions aux limites et de rsoudre le systme


obtenu pour trouver les dplacements inconnus. A chaque nud dans la

structure, les charges externes appliques sont donnes ou bien le dplacement

nodal est spcifi.

Exercice 1 : Soit la structure suivante :

1. Trouver les dplacements "# et "$ des nuds 2 et 3. 2. Trouver la force rsultante % au nud 1.

Rsolution

Pour llment on peut crire :

&%%#%' = % (1 11 1 ) *"%"#+ Pour llment on a :

#$#' = # (1 11 1 ) *"#"$+ On a :

% = # = = ,-. En largissant chacune de ces quations on a :

/%%#%0 1 = 21 1 01 1 00 0 03 /

"%"#"$1 45 /0##$#1 = 2

0 0 00 1 10 1 1 3 /"%"#"$1

En les sommant on obtient :

/ %% + 0#% + ##0 + $# 1 = 21 1 01 2 10 1 1 3 /

"%"#"$1

1

3 2

2 1

$ = 15 8# = 10

1

2


/%#$1 = ,-. 21 1 01 2 10 1 1 3 /

"%"#"$1 Avec lencastrement en on a "% = 0 et on a :

(1)/ %10151 = ,-. 21 1 01 2 10 1 1 3 /

0"#"$1 On peut y extraire :

* 1015+ = ,-. ( 2 11 1 ) *"#"$+ *"#"$+ = .,- (1 11 2) * 1015+ = .,- * 520+ Do

= ; = ? De on a :

% = ,-. (0) ,-. ("#) + ,-. (0) "$ = ,-. @5.,- A = 5 DoF = ;

Exercice 3 : Dterminer la matrice de rigidit globale de lassemblage de 3

lments de structure montr la figure suivante :

1

1

3

1

3 2

2 1

G 8% 4


Solution :

Pour llment on a :

&%%#%' = ( 1 11 1 ) *"%%"#%+ Et en largissant on a :

H%%#%00 I = J1 10 01 10 00 00 00 00 0KH

"%"#"$"GI Pour llment on a :

#$#' = ( 1 11 1 ) *"##"$#+ H0##$#0 I = J

0 00 00 11 00 11 00 00 0K H"%"#"$"GI

Pour llment on a :

&$$G$' = ( 1 11 1 ) *"$$"G$+ H00$$G$I = J

0 00 00 00 00 01 10 01 1K H"%"#"$"GI

3. Dplacement plan gnral : lments deux forces

Considrons llment de membrure deux forces positionnes arbitrairement

dans le plan global (X, Y) :

2 3 ## $#

2

1 2 %% #%

1

3 4 $$ G$

3

1

2

3


LM : axe de coordonne globales 8N : axe de coordonnes locales Soient :

%O la composante de % au nud 1 dans la direction globale L %P la composante de % au nud 1 dans la direction locale 8 %Q la composante de % au nud 1 dans la direction globale M %R la composante de % au nud 1 dans la direction locale N Les dplacements nodaux sont reprsents par :

"O : dplacement du nud dans la direction globale L "P : dplacement du nud dans la direction locale 8 SQ : dplacement du nud dans la direction globale M SR : dplacement du nud dans la direction locale N

Pour llment considr, %R = 0 et #R = 0 On peut crire

/%P #P1 = (1 11 1 ) /

"%P "#P1 7 Transformons lquation deux dplacements en quation quatre dplacements

en considrant %R = 0 et #R = 0 On a :

1

%

# 8

N

2

U

L

M


VWX%P%R#P#RYZ

[ = \ 1 0 10 0 010 00 10 0000] H

"%PS%R"#PS#RI(8) o _PR = PR `PR(9) o _PR: vecteur colonne des forces au nud de llment agissant dans les

directions locales 8 et N. PR : matrice de rigidit de llment dans le systme de coordonnes locales au plan local `PR: vecteur colonne des coordonnes du dplacement dans les directions locales 8 et N.

4. Transformation des coordonnes

Dans une structure gnrale beaucoup dlments sont donns et devraient tre

orients diffrentes valeurs de langle U.

Soit b un vecteur bcd = eghi &bObQ' systme de coordonnes globales bcd = eghi &bObQ' = Vk + bQgh Dans le systme de coordonnes locales (l; , p)

bcd = p &bPbR' = VP + bRp Dans la rotation dangle U on a :

r b

8 N

U L

M

U p gh


p = eghi (cos U sin Usin U cos U ) = eghi , o U est mesur positivement dans le sens contraire des aiguilles dune montre partir de laxe L. Donc :

bcd = eghi &bObQ' = eghi , &bPbR' do

&bObQ' = , &bPbR'(10) Cest la relation de transformation de tout vecteur bcd dans un systme daxe en rotation.

Les lments de la matrice carre , sont les directions cosinus des angles entre les vecteurs unitaires des deux systmes de coordonnes.

La matrice de passage est assez universelle et dlicate. Daucun inverse

linterprtation en crivant eghi = p ,w o la matrice ,w est la transpose de la matrice , dans lquation (10). Dans le cas gnral dune rotation dun systme de coordonnes orthogonales ,x = ,y% Considrons la transformation du vecteur force de lquation (8) du systme de

coordonnes locales (8, N) en systme en systme de coordonnes globales (L, M): /%O%Q1 = , z

%P%R{ | }4~|41

/#O#Q1 = , z#P#R{ | }4~|42

En combinant ces deux relations on obtient le vecteur force nodale de llment

entier. On a :

H%O%Q#O#QI = ,0

0,

VWX%P%R#P#RYZ

[

ou


_OQ = ,#_PR(11)

avec

= J?? ??

???? K

En rappelant lquation (9) : _PR = PR `PR et en la substituant dans (11), on obtient : _OQ = ,# PR `PR(12) La matrice de transformation ,# peut tre aussi applique au vecteur dplacement :

H"%OS%Q"#OS#QI = ,# H"%PS%R"#PS#RI

ou : ÒQ = ,# `PR `PR = ,#y%ÒQ Do lquation (12) devient : _OQ = ,# PR ,#x `PR(13) De la forme _OQ = OQ ÒQ OQ = ,# PR ,#x(14) La relation (14) transforme la matrice de rigidit de llment local (crit

originellement en systme de coordonnes locales) en systme de coordonnes

globales.


y 1

2

x

X

Y

Exercice : On considre llment de la figure suivante

Construire la matrice de rigidit de la

structure relativement au systme de

coordonnes globales (LM)

Correction :

Matrice de rigidit par rapport au systme global (LM). Le systme local (8N) est appliqu lorigine au nud 1. La matrice de rigidit locale de cet lment relativement au systme local (8N) est donn par :

PR = ,-. J1010

00001010

0000K La matrice de rigidit relativement au systme global LM es obtenue en utilisant lquation (14) suivante : OQ = ,# PR ,#x O pour U = 90 on a :

,# = J01001000

00010010 K ,#

x = J 0100 1000

00010010K

OQ = J01001000

00010010 K

,-. J1010

00001010

0000K J0100

10000001

0010K Do

OQ = ,-. J0000

01010000

0101 K


Exercice 2 : Pour la structure montre la figure suivante trouver la matrice de

rigidit de chaque lment relativement au systme de coordonnes LM.

Rsolution : Considrons llment 1 de la figure. Dfinissons arbitrairement le

nud global 3 comme nud local 1 de cet lment.

La matrice de rigidit relativement au systme local (8, N) est dfinie par lquation (8) :

PR = % J 1010 0000

1010 0000K |% = @

,-. A% La matrice de rotation ,# (quation (11)) scrit :

,# = J 0100 1000

00010010K

X

Y

= 10 30

1 2

3

, = 4# Elment 2 (Acier) , = 1,5# Elment 1

(Acier)

40

X

Y

8

U = 2

1

2

3

local

global 4=

2

local

N

U = 2

U est compt partir de L 1


Ainsi lquation (14) donne : OQ = ,# PR ,#x OQ = J 0100

10000001

0010K % J1010

00001010

0000K J0100

1000 0001

0010 K

OQ = % J00000101

00000101 K pourl

lment

Considrons llment de la figure et dfinissons le nud global 1 comme

nud local 1. En suivant la mme procdure prcdente on a :

PR = # J 1010 0000

1010 0000K |# = @

,-. A#

La matrice de rotation ,# scrit : ,# = J0,80,600

0,60,800 000,80,6

000,60,8 K Ainsi lquation (14) donne OQ = ,# PR ,#x

PR = J0,80,600 0,60,800

000,80,6000,60,8 K J

0100 1000

00010010K J

0,80,600 0,60,800

000,80,6000,60,8K

2

1

U y x 2

1

Y

X


PR = # J 0,640,480,640,480,480,360,480,36

0,640,480,640,48 0,480,360,480,36 K pour llment

Exercice 3 : Assembler les matrices de rigidit des lments de la structure de

lexercice 2 (prcdent) pour obtenir la matrice de rigidit du systme global.

Procdure de lassemblage des lments

1. La premire tape dans la procdure dassemblage des matrices est

dattribuer des numros chaque variable de dplacement. Sur la base de

rfrence locale en dimension 1 les 4 dplacements (2 dplacements par

nud pour chaque nud par lment) seront numrotes conscutivement

de 1 4.

- Numro nodal local : 1 1 2 2

- Dplacement local : "% S% "# S# - Numro de dplacement local : 1 2 3 4

2. La deuxime tape consiste attribuer chaque dplacement global des

numros. Puisquil y a 3 nuds dans ce problme, il y a 6 dplacements

avant lapplication des contraintes aux limites :

- Numro nodal global : 1 1 2 2 3 3

- Dplacement global : "% S% "# S# "$ S$

Remarquons que le numro de dplacement global est li au numro nodal

global par la relation :

Numro de dplacement global dans la direction L = 2(" |~||) 1

Numro de dplacement global dans la direction M = 2(" |~||)

3. La 3e tape consiste tablir la numrotation nodale le long des lignes de la

table suivante :

2


Numro dlment

Numro nodal global

Nud local 1 Nud local 2

1 1 2

2 2 3

Ce tableau identifie que le numro global de chaque nud local de tout lment

peut tre tabli avec le tableau gnral (, g) dont la ligne (le premier indice) dfinit le nud 1 ou le nud 2 de llment.

Pour ce problme deux lments on doit avoir (, g)

J

I 1 2

1

2

3

1

2

3

Elment 1 Elment 2

Nud local 1

Nud local 2

Les attributions locales et globales de llment se prsentent comme suit :

1

1 2 2

2 3

J Nud

I (Numro de llment)

1

2

3

4

5

6

3

4 0000

0101

0000

0101 % = %

5 6 3 4

1 2 3 4 Numro de dplacement

1


Les attributions locales et globales de llment se prsentent comme suit :

La procdure cette dernire tape consiste maintenant ajouter des lments

de chaque matrice de rigidit ayant une attribution globale commune.

Ceci cre la matrice de rigidit globale qui dans le cadre de lexercice 2 scrit :

Exercice 4 : Continuer avec la structure illustre lexercice 2, construire les

vecteurs charge et dplacement. Utiliser la matrice de rigidit dveloppe

lexercice 3. Rsoudre pour obtenir les vecteurs dplacement au nud 3.

Rsolution

Rappelons que le vecteur charge globale est simplement un tableau de charge

appliqu chaque nud et le vecteur dplacement global est simplement un

tableau des dplacements dans les directions.

2

1

2

3

4

1

2

5

6 0,640,480,640,48

0,480,360,480,36

0,640,480,640,48

0,480,360,480,36

# = #

1 2 5 6

1 2 3 4

0,64#0,48#

00

0,64#0,48#

0,48#0,36#

00

0,48#0,36#

000000

000%0

%

0,64#0,48#

00

0,64# + 00,48# + 0

0,48#0,36#

0%

0,48# + 0% + 0,36

5

6

1

2

3

4

5 6 1 2 3 4

=


La rsultante des charges externes appliques agissant sur la structure initiale de

lexercice 2.

=VWX%O%Q#O#Q$O$QY

Z[=VWX %O%Q#O#Q10.0000 Y

Z[

O les ractions aux appuis %O , %Q, #O , #Q sont des inconnues.

=VWX"%S%"#S#"$S$YZ

[OQ

=VWX 0000"$S$Y

Z[

OQ

=

VWX%O%Q#O#Q$O$QY

Z[

=

0,64#0,48#

00

0,64#0,48#

0,48#0,36#

00

0,48#0,36#

000000

000%0

%

0,64#0,48#

00

0,64# + 00,48# + 0

0,48#0,36#

0%

0,48# + 0% + 0,36#

VWX 00

00"$OS$QY

Z[(16)

La solution de cette quation (16) suit la procdure utilise prcdemment.

Dabord on rduit la matrice de rigidit en extrayant les ranges associes aux

forces inconnues et les colonnes correspondant aux valeurs nulles des

dplacements. Ce qui donne lquation suivante :

/100000 1 = 20,64#0,48#

0,48#0,36# + %3 /

"$OS$Q1

O

% = @,-. A% = 1,5 30. 1030 = 1,5. 10/ # = @,-. A = 2,4. 10/


En substituant ces valeurs % et # dans la matrice de rigidit on trouve : "$P = 0,0103 S$R = 0,0050

Les ractions aux appuis sont dtermines par substitution des dplacements "$P et S$R venant dtre calculs.

H%O%Q#O#QI = H10000750007500 I

4. K

5. Elment de poutre ou membrure dans un plan

Llment deux forces a des applications pratiques en analyse de structure. Il

est assez limit car il ne donne quune rigidit de flexion. Un second lment

tudi est llment de chargement uniaxial et ultrieurement un lment gnral

pouvant supporter des contraintes axiales et des forces de liaison. Soit un

lment de poutre montr la figure suivante :

%O = 10

3

2

1 %Q = 7,5 #Q = 7,5

= 10 Y


Les forces et les moments agissent dans le plan et seulement aux nuds extrmes de la poutre. La force nodale est perpendiculaire llment. Le chargement axial nest pas considr ici.

Le systme de coordonnes locales (8, N)est parallle au systme de coordonnes globale (L, M). Cela signifie que tous les lments de la structure sont relis par une droite.

Les dplacements chaque nud comportent un dplacement linaire S dans la direction N ou M et un axe neutre de rotation U. La poutre est suppose avoir une rigidit de flexion uniforme le long delle-mme et sur toute sa longueur .. La relation charge rigidit dplacement pour cet lment a la mme forme

symbolique que celle tudie prcdemment savoir :

_ = `(17) H%%##I = J

%%#%$%G%%###$#G#

%$#$$$G$%G#G$GGGKH

S%U%S#U#I Dtermination des coefficients de la matrice de rigidit Forons une configuration de dplacement sur cet lment. Supposons que S% = 1 et que tous les autres dplacements. Llment devrait tre dform

conformment la figure ci-dessous :

L # % #, U# %, U% S% S#

M L


La relation charge dplacement devient dans ces conditions :

H%%##I = J%%G%

%GGGK H

1000I En dautres termes les coefficients de la matrice de rigidit sont gaux aux forces

et aux moments de couple requis pour les dplacements imposs.

Pour les systmes linaires on utilise la technique de superposition

conformment la figure suivante :

En utilisant S% = 1 = % + # S% = %.$3- +% .#2- U% = 0 = % + # = % .$2- + % .#-

En rsolvant ce systme on obtient

% = 12-.$ = %%% = 6-.# = #%

M

L

% %

1 #

# 2 S% = 1

% S% = 1

%, U% % %

% #

% %


Pour trouver les autres inconnues on utilise les quations de la statique.

N = 0 # = % = 12-.$ = $% = 0 # = (% . + %) = 6-.# = G%

analyse matricielle appliquée aux structures_méthode des Éléments finis

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