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NF04 - Automne - UTC 1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D Notion de maillages : connectivité Notion d’élément de référence Technique d’assemblage Résolution et post-traitement Algorithme général

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Page 1: NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D Notion de maillages : connectivité Notion délément de référence Technique

NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 3-b

Méthode des éléments finis 1D

• Notion de maillages : connectivité• Notion d’élément de référence• Technique d’assemblage• Résolution et post-traitement• Algorithme général

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NF04 - Automne - UTC 2Version 09/2006 (E.L.)

Cas général : plusieurs éléments Exemple de maillage : 3 éléments finis à deux noeuds

4 noeuds

Un maillage éléments finis est décrit à l’aide de deux tables :

… des coordonnées :

… des connectivités :

1 2 3 4vcor x x x x1 2

2 3

3 4

conec

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NF04 - Automne - UTC 3Version 09/2006 (E.L.)

Remarque 1 : la numérotation des nœuds peut être aléatoire. Un maillage éléments finis est dît non structuré !

Remarques sur le maillage

4 11 33 2

conec

1 22 33 4

conec

2 44 11 3

conec

Remarque 2 : les éléments peuvent être de longueurs différentes

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NF04 - Automne - UTC 4Version 09/2006 (E.L.)

Discrétisation de la forme intégrale

0 0

int

0 0 0L L

ext

CLW

W

d x dT xW x k dx x f dx L h T L T q

dx dx

11

110

... ... 0i

i

L N

Ni

x

x

dx dx x x L

intégrale élémentaire

avec et

La forme intégrale (thermique 1D) s’écrit (voir précédent cours) :

Le découpage du domaine en un maillage se traduit par un découpage du signe intégral :

Soit :

int int1

0,nelt

eCL CL

e

W W W W W nelt

où nbred'éléments.

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NF04 - Automne - UTC 5Version 09/2006 (E.L.)

Notion d’élément de référence

Pour pallier à cette hétérogénéité, on définit un élément de référence commun sur lequel effectuer l’intégration.

Chaque intégrale « élémentaire » est définie par des bornes distinctes, d’où : des fonctions d’approximation N1 et N2 différentes d’un élément

à un autre.

Nécessité de recalculer les fonctions pour chaque élément !

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NF04 - Automne - UTC 6Version 09/2006 (E.L.)

Notion d’élément de référence

Méthode : changement de variables

1

0

... ... 1

ei

i

L

i

x

x

dx dxdx ds x s s x

ds ds

avec d'où

1 1, 0, ,e ei i i ix x x s L L x x où

soit : 1

1 1 0

... ...

ei

i

LN nelt

i e

x

x

dx ds

Les fonctions d’approximation sur l’élément de référence sont linéaires et définies par :

soit :

1 2

1 2

0 1 0 0

0 1e e

N N

N L N L

et

1 21 ,e e

s sN s N s

L L

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NF04 - Automne - UTC 7Version 09/2006 (E.L.)

Solution globale : reconstruction élémentaire

La superposition des approximations locales conduit à une approximation GLOBALE de la solution par éléments finis

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NF04 - Automne - UTC 8Version 09/2006 (E.L.)

Discrétisation des intégrales élémentaires

Le calcul des matrices et vecteurs « élémentaires » est alors analogue à celui d’un seul élément de longueur Le (voir précédent cours).On retrouve ainsi la démarche suivante :

Approximation par éléments finis :

Calculs élémentaires :

[Ke ] : matrice de rigidité élémentaire {Fe } : vecteur des sollicitations élémentaire

1

1 2

2

TT s N s N s

T

1

1 2

2

s N s N s

1int 1 2 1 2

2

1 2 1 2

1 1 1

1 1 12

ee

e

e e

T L

L

kW f

T

K F

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NF04 - Automne - UTC 9Version 09/2006 (E.L.)

Phase d’assemblage

Après calcul de toutes les contributions élémentaires, nous obtenons :

11 2 1 2

1 12

0e

nelt nelte ee e

CLe e

TW K F W

T

1

1

1

0N

N N NN

T

W K F R

T

3. La phase d’assemblage consiste à « assembler » : toutes les matrices élémentaires en une seule matrice globale [K] tous les vecteurs élémentaires en un seul vecteur global {F}

tels que :

Deux techniques d’assemblage possibles !

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NF04 - Automne - UTC 10Version 09/2006 (E.L.)

Assemblage par extension (peu utilisé)

Le principe est simple : augmenter les dimensions des matrices et vecteurs élémentaires aux dimensions de la matrice global et du vecteur global.

Exemple : 1

(1)21 2 3

int int int int 1 2 3 4 (1)3

4

1

(2)2

(2)3

4

0 0

0 0

0 0 0 0 02

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

0 0 2

0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1

0

1

0 0

T

Tk LW W W W f

TL

T

T

Tk Lf

TL

T

1

(3)2

(3)3

4

1 1 1

1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 2

0 0 1

0

T

Tk Lf

TL

T

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NF04 - Automne - UTC 11Version 09/2006 (E.L.)

Assemblage par projection

Principe : il consiste à localiser la « zone » de la matrice globale où sera projetée la matrice élémentaire.

Constat : cette « zone » possède les mêmes dimensions que la matrice élémentaire.

Outil de mise en œuvre : la table des connectivité « conec »

Le procédé est identique pour l’assemblage d’un vecteur élémentaire !

1 22 33 4

conec

N° ligne = numéro de l’élément

Contenu des colonnes = liste des nœuds de l’élément = liste des lignes et colonnes de la matrice globale !

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NF04 - Automne - UTC 12Version 09/2006 (E.L.)

Technique d’assemblage par projectionDémarche générale :

On boucle sur tous les éléments :

1. Calcul de [Ke] et {Fe}

2. Extraction de la connectivité de l’élément (numéros des nœuds)

3. On isole dans [K] et {F} les lignes et colonnes correspondantes

1. On y « projette » [Ke] dans [K]

2. On y « projette » {Fe} dans {F}

Retour de boucle

Introduction des conditions aux limites

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NF04 - Automne - UTC 13Version 09/2006 (E.L.)

Applications : maillage à 3 éléments

Assemblage de l’élément 1 : Conec(1,[1 2])=[1 2]

1

2

3

4

1 1 1

1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1

0 0 2

0 0 0 0 0

1

e

e

T

Tk Lf

TL

T

Assemblage de l’élément 2 : Conec(2,[1 2])=[2 3]

1

2

3

4

0 0

0 0

0 0 0 0 02

0 0 0 0

1 1 1

1 1

0

1 e

e

T

Tk Lf

TL

T

1

2

3

4

1 1 0 0 1

1 2 1 0 2

0 1 1 1 1 1

1 1

12

0 0 1

e

e

T

Tk Lf

TL

T

Assemblage de l’élément 3 : Conec(3,[1 2])=[3 4]

N° d’élément Liste des noeuds

1 2 3 4

1 2

3

4

1 2 3 4

1 2

3

4

1 2 3 4

1 2

3

4

Remarque : pour simplifier L(1) = L (2) = L (3) = Le

N° des colonnes

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NF04 - Automne - UTC 15Version 09/2006 (E.L.)

Prise en compte des conditions aux limites (1/3)

Traitement de la condition de Dirichlet (1/2) :

Méthode du terme unité sur la diagonale

1

2

3

4

2 0

0

1 0 0 0 3

2

0 02

0

ee e e

ee e e

e

e e

T

k k kfLTL L L

k k kfLTL L L

k k LfTL L

1( 0) 30T x T

Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions vaut {R }={0 } et n’apparaît donc plus !

N+1 opérations !

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NF04 - Automne - UTC 16Version 09/2006 (E.L.)

Prise en compte des conditions aux limites (2/3)

Traitement de la condition de Dirichlet (2/2) :

Méthode du terme diagonal dominant

1

2

3

4

30 0

2 0

0 2

0

0 0 2

e e

e

e e e

e

e e e

e

e e

k kT

L Lk k k fLTL L L

k k k

Grand

fLTL L L

Lk k fTL L

Grand

1( 0) 30T x T

2 opérations !

Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions {R } est négligeable et n’apparaît donc plus !

avec Grand = 1012 x max(K)

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NF04 - Automne - UTC 17Version 09/2006 (E.L.)

Prise en compte des conditions aux limites (3/3)

Traitement de la condition de Cauchy :

1

2

3

4

1 0 0 0 30

2 0

0 2

0 02

ee e e

ee

ex

e

t

e

e

e e

T

k k kfLTL L L

k k kfLTL L L

k k LfTL

hL

Th

4 44ext extL T L T hTh hT

Attention au signe !

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NF04 - Automne - UTC 18Version 09/2006 (E.L.)

Cas particulier d’assemblage :liste des nœuds non

consécutives Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 1

3]

2 4

2

4

1 3

1

3

K

ee

ee

e

k

L

k

L

k

LKk

L

Technique : on « dispatche » en conservant les positions relatives respectives !

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NF04 - Automne - UTC 19Version 09/2006 (E.L.)

Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds

inversée Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 4 2]

2 4

2

4

1 3

1

3

K

ee

ee

e

k

L

k

L

k

LKk

L

Technique : on « dispatche » en inversant les lignes et les colonnes !

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NF04 - Automne - UTC 20Version 09/2006 (E.L.)

Analyse de la validité des résultats

Vérifications de base : programmation, préparation des données Conditions aux limites de Dirichlet

Condition de Neumann et Cauchy Requiert le calcul du gradient

Calcul des réactions Permet de vérifier :

l’équilibre statique en mécanique La conservation des flux en thermique : flux entrants=flux

sortants

Calcul de convergence : Parvenir à l’indépendance de la solution par rapport au

maillage

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NF04 - Automne - UTC 21Version 09/2006 (E.L.)

Post-traitement : calcul du gradient

Utile pour : Calculer un flux thermique :

Calculer un effort de traction mécanique :

Méthode : 1 1

' ' 2 11 2

12 2

1 1e e

e e

e e eds

sidx

T TdT dT T T

N s N sdx ds L L L

T T

dTq k n

dx

duN EA

dx

Question : comment choisir une valeur de flux au nœud « i » ?

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NF04 - Automne - UTC 22Version 09/2006 (E.L.)

Calcul du gradient aux noeuds

Constat : une approximation linéaire de la solution :

Assure la continuité de la solution inter-éléments ;

N’assure pas la continuité des dérivées de la solution !

Solutions envisageables :

Utiliser un élément fini à 3 nœuds d’approximation quadratique ! (hors

NF04)

Moyenner la solution aux nœuds ! ( )

( ) 1

1

1

12,.., 1.

2

ie e

ie e i

ii iee i

e i

q Aq q q i N

A

ouencore avecnoeud

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NF04 - Automne - UTC 23Version 09/2006 (E.L.)

Post-traitement : calcul des réactions externes Utile pour :

Calculer la valeur du flux thermique externe sur une condition de Dirichlet et vérifier l’équilibre des flux entrants et sortants (seulement si f=0).

Calculer un effort de réaction mécanique externe et vérifier l’équilibre global du système

Méthode :

Exemple : colonne sous effet de gravité (sera traité lors du TD3)

On doit vérifier :

!

solution

sans Dirichlet

R K T F

0

:

F R P

R P

soit

Modèle réel Modèle éléments finis

Poids

Réaction liaison

La solution éléments finis le vérifie t’elle ?

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NF04 - Automne - UTC 24Version 09/2006 (E.L.)

Calculs de convergence

Objectif :

Vérifier qu’il existe une taille de maillage minimale à partir de laquelle, la solution devient indépendante du maillage.

Page 24: NF04 - Automne - UTC1 Version 09/2006 (E.L.) Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D Notion de maillages : connectivité Notion délément de référence Technique

NF04 - Automne - UTC 25Version 09/2006 (E.L.)

Cas particulier : solutions élément finis et analytiques

confondues !

Solutions confondues sur la variable T mais pas sur la variable flux !

Valeur convergée

Valeur non convergée !

Flu

xTem

péra

tur

e