chapitre 2 methode des forces -1- mecani

7/25/2019 Chapitre 2 Methode Des Forces -1- Mecani

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Chapitre 2 : Mthode des forces -1- Mcanique des Structures

Y.BAHI - ENSAM-

Chapitre 2 - METHODE DES FORCES

Sommaire :

A - Mthodes pratiques de rsolution

B - Mthode des forces

But de ce chapitre :

Application de la mthode des forces pour la rsolution des problmes

hyperstatiques.


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A. Mthodes pratiques de rsolution

Cherchons plusieurs mthodes pour calculer la flche l'extrmit d'une console supportant une charge

uniforme.

1) Par Castigliano : en introduisant une force fictive

dxEI

MqW

l

0

2

2

1)(

M(x) = - qx/2 - x , x-

M

dxM

MEI

Wy

l

A 0

0

1)(lim

)6

.

8(

1).

2(

134

0

2lql

EIxdxx

qx

EIy

l

A

quand -> 0EI

qly

A 8

4

2) Par superposition de 2 tats de charge :

A

q

l

M(q)l

-ql/2M( )

- l


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q

M

-q /2

l

m

l

-l

1

=x = x

=

+ + }M*l

M* = M + .m ; m

M

quand -> 0 , M*-> M, donc l

Adx

EImMy

0

Les intgrales de la forme M.m dx sont appeles intgrales de Mohr.

Il existe des tables donnant les valeurs des intgrales des produits M.m.

Calculons yAavec une table dans laquelle on trouve :

l l

f

x = lf

824

1

4

1 42 qlqllllf

On peut gnraliser la mthode de superposition en considrant les autres sollicitations pour obtenir le

dplacement d'un point :

dxGS

tT

EI

mM

ES

nNv

l

r

iiii .)(

0

Cette expression est connue sous le nom de Thorme de la charge unit, ou de Thorme de Mller-

Breslau, ou encore d'quation de Bertrand de Fontviollant.


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3) Calcul des intgrales du typeM.m.dx

a - Calcul direct : pour le mme exemple on obtient :

lx

lx

M

m

-x

-qx/2

-l

M = - qx/2 , m = - x

ll

A

EI

qldx

qx

EI

dxmM

EI

y0

43

0 83

11

b - Thorme de VERECHTCHAGUINE :

M.m.dx = A.mG

A : aire dlimite par la courbe M(x)

mG: valeur de m l'abscisse du Centre de Gravit de A,

peut tre lue sur la fonction linaire m.

M

m

M(x)

G

x dx x

m = ax + bx

x

O

Ol

A

A2 A1

x = 3l/4

G1

G2

x = 3l/8

A1 = 1/3 du rectangle circonscrit= lh/3A2 = 2lh/3

Aires dlimites par un arc de parabole

h

l

G G

G

G1

G2

M(x)est une droite, une parabole ou une cubique.

m(x)est toujours linaire (moment de flexion d'une charge unitaire concentre), soit m = a.x + b

Mmdx =M(ax + b)dx = aMxdx + bMdx

Mdx = A , aire dlimite par le diagramme de M(x)entre les abscisses 0 et l.

Mxdx = (Mdx)x = moment de l'aire hachure par rapport l'origine.

Mxdx = A.xG , moment statique de l'aire A par rapport l'origine.

Mmdx = a.A.xG+ b.A = A (a.xG+ b) = A.mG


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Cette mthode est commode si l'on sait calculer l'aire dlimite par le diagramme du moment de flexion et

l'abscisse de son centre de gravit. On peut aussi calculer une aire par l'intgrale :

b

a

dxxMA )(

Application la console :

m

x =3l / 4 x

l

m

- l

- ql / 2

A = - - - - l = - - -1 ql ql

3 2 6

m = 3l / 4

y = - - A. m1

EI

= - - -ql

8EI

4

G

G

G

A G

B. Mthode des forces

Cette mthode permet de calculer les inconnues hyperstatiques (actions des appuis ou sollicitations

dans la structure) en utilisant les mthodes nergtiques.

1) Degr d'hyperstaticit

Si on appelle :

- ble nombre de barres

- ele nombre d'encastrements

- ale nombre d'articulations

- as le nombre dapuis simples.

Le nombre d'quations que l'on peut crire est :

X = 3b

Le nombre d'inconnues Nest :

N = 3.e + 2.a + 1.as

Le degr d'hyperstaticit est n = N - X

Le degr d'hyperstaticit est gal au nombre de coupures ncessaires pour rendre la structure isostatique.

On peut distinguer entre lhyperstaticit extrieure et lhyperstaticit intrieure :

n = ne + nint


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Hyperstaticit extrieure : ne

On a X quations d' quilibre (3 dans le plan, 6 dans l'espace)

et N inconnues.

Le degr d'hyperstaticit est ne= N X

Hyperstaticit intrieure : nint

Mme si l'on connait toutes les actions des appuis il peut se faire que le calcul des sollicitations dans la

structure soit impossible. On dit que la structure est hyperstatique intrieurement. Il faut alors faire des

coupures internes.

2) Notion de coupure

Une coupure permet de rendre isostatique une structure hyperstatique pour pouvoir la calculer plus

facilement en utilisant le principe de superposition.

Coupure externe : on supprime l'appui par une ou plusieurs coupures :

- appui simple : 1 coupure

- articulation : 2 coupures

- encastrement : 3 coupures

On referme une coupure externe en lui appliquant l'action d'appui correspondante.

Coupure interne pour une sollicitation N, M ou V : on empche la sollicitation d'agir par un moyen

mcanique :

On referme une coupure interne en appliquant la sollicitation aux bords de la coupure.

3) Structure isostatique associe

On peut rendre une structure isostatique par des coupures externes ou internes :

Choix de la structure isostatique associe : il faut la choisir la plus simple possible pour pouvoir calculer

facilement les intgrales.

- pour N : gl i ssi re l ongi tudi nal e

- pour M : art i cul at i on

- pour V : gl i ssi r e t r ansver sal e


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Exemple : poutre encastre-appuye (structure hyperstatique de degr 1)

S

A B

q

S

A

B

q

'

X1v1 = 0

S'est identique Ssi X1est tel que le dplacement vertical de B sous l'effet de qet de X1est nul :

v1= 0.

Remplaons S'par les 2systmes Soet S1tels que l'on puisse appliquer le principe de superposition :S

o+ S

1= S'

S

A

q

S

A

X1

v

v

o

1

10

11

(So+S1)est identique S si l'on a : v1= v10+ v11= 0

v10

: dplacement sur la direction de X1d q

v11

: dplacement dans le sens de X1d X

1, ou encore v

11= X

1.

11, soit :

v10

+ X1.

11= 0 (

11 : dplacement sous l'action de la charge unit), d'o :

11

101

vX


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q

l / 4

M =-ql/2o

G

l

1

M = l1

l

l / 4

l / 3

m =3l / 4Gom =2l / 3G1

l

o

G1

En appliquant l'quation de B. de Fontviollant :

dxEI

MMv

S

1010

Mo: Moment de flexion d q

M1: Moment de flexion d X1= 1

dxEI

MM

S

1111

84

3

23

142

10

qlll

qlvEI ;

33

2

2

32

11

ll

lEI

'-----''--' '-''--'

A mG A mG

8

3

11

101

qlR

vX

B

4) Mthode des forces

Gnralisons la mthode prcdente. On dfinit plusieurs tats de la structure tudie,

correspondant des chargements et des configurations que l'on superposera.

Etat rel : c'est la structure S telle qu'elle est donne avec son chargement et sa configuration. Elle est

hyperstatique de degr n. On choisit les n inconnues hyperstatiques que l'on va calculer : X1, X2, ... , Xi,

... Xn.

Etat O: On garde le chargement. On fait n coupures aux points d'applications des inconnues pour rendre S

isostatique. On calcule les dplacements aux bords des coupures.

Etat 1: On enlve le chargement et la place de X1on applique la charge 1. On calcule les dplacements

projets correspondant aux inconnues Xi.


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...

Etat i : Le chargement tant enlev, on remplace l'action inconnue Xi par la valeur 1. On calcule les

dplacements projets correspondant toutes les inconnues.

...jusqu' l'tat n.

En refermant les coupures on crit que la somme de ces dplacements est nulle :

Etat rel = Etat O + Etat 1*X1+ Etat 2*X2+ .... + Etat n*Xn

soit :

Etat rel = Etat 0 +Etat i*Xi

On obtient ainsi autant d'quations que d'inconnues.

Exemple : portique bi-encastr ABCD

A D

B C

q

F

A D

B C

q

F

h

l

X1

X2 X3

O

y

x

+M YX

M M

YX

A

A

A

D

DD

Sou S

Etat rel: Structure S

charges : . rpartie qsur la traverse

. concentre horizontale Fen B

inconnues : 3en A, 3en D

quations : 3 ( proj. sur Ox: XA

+ XD+ F = 0

( proj. sur Oy: YA

+ YD

- ql = 0

( moments/D : MA+ M

D- Y

A.l + F.h + ql/2 = 0

degr d'hyperstaticit, n = 3

Calculons les actions en Den utilisant le fait que les 3dplacements uD, v

D,

Dsont nuls.

Etat O: on supprime l'encastrement Dpar 3 coupures, ce qui fait apparatre 3 dplacements uD0, vD0et

D0que l'on peut calculer.


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on a obtenu un systme de 3 quations 3 inconnues qui peut s'crire :

30

20

10

3

2

1

333231

232221

131211

d

d

d

X

X

X

ddd

ddd

ddd

Avec :

333231

232221

131211

ddd

dddddd

S appele Matrice de souplesse

dij: deplacement dans la direction de la coupure i ltatj.

Il y a donc 12 dplacements calculer sous la forme :

dsEI

MMd

structure

ji

ij On les calcule avec les intgrales de Mohr

ou le thorme de Verechtchaguine.

exemple :calcul de d10= uD0(sous l'action de q seulement)

M

Y

S

q

M

-ql/2

A

A

G

G

l/4

A

A

oo

1

1

22 h h

l/4

G2

G1

m

m = h/2S et M

1 1A = 03+

EI.d10= A1.mG1+ A2.mG2 + A3.mG3

qlh h ql l ql

h= - ---- . -- - --- . - h + 0 = - ---- ( 3h + 2l)

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