nf04 - automne - utc1 version 09/2006 (e.l.) cours 7 problèmes dordre 2 en temps : analyse modale...

NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 7

Problèmes d’ordre 2 en temps :Analyse modale

• Domaines d’application• Calcul des modes propres et fréquences propres• Application• Décomposition modale


Deux approches possibles de la dynamique …

Approche modale : domaine fréquentiel

Recherche des fréquences propres et modes de déformés associés Acoustique

Approche instationnaire « pas-à-pas » : domaine temporel

Crash-tests Dynamiques rapides (choc …) Analyse de transitoire (démarrage moteur …) Propagations d’ondes (airbag …)

Approche qualitative !

Approche quantitative !www.netcar.co.il


Intérêts « industriels »

www.dt.insu.cnrs.frVibration - acoustique

www.cnes.fr

Couplage fluide-structure

www.otua.org/acier/seisme/

Protection séisme

Ouvrage génie civil

«Tacoma narrows bridge »

…


La forme générale d’un système d’équations au 2ème ordre en temps s’écrit :

Avec : [M ] : matrice globale de masse [C ] : matrice globale d’amortissement ( =[0] en NF04 !) [K ] : matrice globale de rigidité {F } : vecteur global des sollicitations

Particularités de l’analyse modale :

1. On considère toujours {F } = {0} !2. Analyse modale = approche qualitative : conditions initiales inutiles !

2

2M U C U K U F

t t

Problèmes de dynamiques


Application 1 (discrète) : 2 masses et 2 ressorts

Modèle physique :

Equations du mouvement :

Modèle discret :

21

1 1 1 2 2 12

22

2 2 2 12

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

d U tm k U t k U t U t

dt

d U tm k U t U t

dt

X (m)

U1(t) U2(t)

k1 k2 m2m1

1 1 2 2 11

2 2 2 22

0 0

0 0

m k k k UU

m k k UU


Application 2 (1D) : cas d’une barre élastiqueMaillage : deux éléments finis linéaires

Forme forte :

Forme faible :

X (m)

1 2 3

1 2F(t)

2 2

2 2

(0,

( , ) ( , )0, [0, ]

) 0 [ ( ) [u

u t

u x t u

F t EA Lx

x tA EA x L

t x

Dirichlet], Neumann]

2

200 0

0

( , ) ( , ) ( , )0

( , )( ) ( ) (0) (0)

LL L

L

réactioninconnue

u x t u x t u x tW x A dx EA dx EA

t x x xu x t

EA L F t Rx

avec

E : module de Young [N/m2] : masse volumique [kg/m3]

A : section [m2]

u(x,t) : déplacement [m]


Modèle éléments finis (1D)

Matrices élémentaires :

telles que :

avec :

Assemblage :

(L(1) = L(2) = Le)

Condition de Dirichlet :

Elimination ligne et colonnes .

2 1 1 1,

1 2 1 16

ee e

e

AL AEM K

L

. .

111 2

22

0eC L

e

e e e

W W W

UUW M K

UU

1 1

2 2

3 3

2 1 0 1 1 0 0

1 4 1 1 2 1 06

0 1 2 0 1 1

e

e

U UAL AE

U UL

U U F

1 1

2 2

3 3

2 1 0 1 1 0 0

1 4 1 1 2 1 06

0 1 2 0 1 1

e

e

U UAL AE

U UL

U U F


Application 3 (2D) : cas d’une membrane tendueMaillage : éléments finis linéaires T3 Exemple d’une peau de tambour

Forme forte :

Forme faible :

2 2 2

2 2 2

( , ) 0

( , , ) ( , , ) ( , , ),

[

,s s

w x y t w x y t w x y tT g x y S

t xw

yS t

Dirichlet]

2

2

( , , ), , . ( , , )

, ( , , ) , 0

: , ( , , )

s

S S

s

S S

S SS réaction

inconnue

w x y tW x y dxdy x y T w x y t dxdy

tx y T w x y t ds x y g dxdy

x y T w x y t ds R

avec

T : tension p.u.l [N/m]s : masse surfacique [kg/m2]S : surface [m2]w(x,y,t) : déplacement [m]g : gravité [m/s2]


Modèle éléments finis (2D)

Matrices et vecteurs élémentaires :

tels que :

avec :

Assemblage :

Condition de Dirichlet : Elimination ligne et colonnes .

2 1 1 1

1 2 1 , , 112 3

1 1 2 1

e eTe e e es sA g A

M K T A B B F

. .

1 1

1 2 3 2 2

3 3

0eC L

e

e e e e

W W W

w w

W M w K w F

w w

(Voir cours sur T3)

M w K w F


Analyse modale

Objectifs : déterminer les fréquences propres de vibration ainsi que les modes de déformées propres associés

« Ingrédients » : matrices de masse [M] et de rigidité [K]

Méthode : calcul des valeurs et des vecteurs propres associés


Ecriture d’un problème aux valeurs propres

Forme générale « temporelle » :

On pose une solution de la forme :

Ce qui conduit à :

Avec :

0M U K U

2 2i t i tU t U e U t U e U t

2

2

0

0

M U K U

K M U

Ecriture générale d’un problème aux valeurs propres !(au sens mécanique du terme)

2 , U valeur propre vecteur propre associé

Ecriture « spectrale »


Calcul des valeurs propres

Le calcul des valeurs propres s’obtient par la recherche des solutions non triviales de :

soit à vérifier :

Sur le plan pratique (Matlab) :

>> [V, D]=eig(vkg,vmg)

2 0K M U

2det 0K M

Matrice des vecteurs propres

Matrice diagonale des valeurs propres

Matrice de masse

Matrice de rigidité


Application 1 : 2 masses et 2 ressorts

Simplifications : m1=m2=m, k1=k2=k

Soient :

Equation caractéristique :

Calcul des racines :

Calcul des vecteurs propres : k=1, m=1

1 0 2 1,

0 1 1 1M m K k

2 2 2

det 0

20

3 0

K M

k m k

k k m

m k m k

1 2

3 5 3 50.38 , 2.62

2 2 2 2

k k k k

m m m m

1 2

1 1,

1.62 0.62U U


Calcul des fréquences et périodes propres

VALEURS PROPRES :

11 1 1 1

12

22 2 2 2

2

1/ 0.098 10.19

2

10.256 3.88

2

i i

rad s f Hz T sf

f Hz T sf


Interprétations graphiques

VECTEURS PROPRES = MODES PROPRES DE DEFORMEE

1 1.62

1 -0.62

Mode 1

Mode 2

La solution générale s’écrit donc :

Le calcul des constantes d’intégration A et B requiert deux conditions initiales.

1 21 2( ) i t i tU t A U e B U e


Exemple 2D

Déformées modales d’une membrane tendue (type « tambour ») :


Exemple « industriel » de modes de déformées

Déformées modales du divergent du moteur VULCAIN (Ariane V) :

Modèle réel Modèle numérique

Mode 4-lobes Mode ovalisationSource :www.insecula.com

Source : UTC / MQ06


Les modes propres (c-à-d les vecteurs propres) sont définis à une constante près en raison de :

Cette condition stipule que l’inverse de la matrice n’est pas unique !

Une constante pour les modes propres peut être déterminée par les conditions d’orthogonalisation :

Utilité : permettre la comparaison des résultats entre différentes équipes, outils …

Propriétés d’orthogonalisation des vecteurs

2det 0K M

2K M

1

0

0

i j

ii j

i jU M U

i j

i jU K U

i j

si

si

si

si

M-orthonormalisation

K-orthogonalisation


Application : décomposition modale (1)

Idée : utiliser les propriétés d’orthogonalisation des vecteurs propres pour diagonaliser le système couplé :

Principe : les vecteurs propres sont tous indépendants et par conséquent, ils définissent une base au sens mathématique du terme.

On note la base des vecteurs propres :

M U K U F

1 2 ... NX U U U



1- On applique le changement de variables :

2- Injection des formes dans le système d’équations :

3- Multiplication « à gauche » par [X ]T :

( ) , ( )U t U t

M X q K X q F

TT T

I

X K XX M X q q X F

Coefficients de participation modale des efforts

Quels modes sont sollicités ?

( ) ( ) ( ) ( )U t X q t U t X q t



4- Pour aboutir à N équations différentielles « scalaires découplées » :

Résolution classique !

Application du changement de variables aux deux conditions initiales telles que :

5- Dernière phase : reconstruction de la solution dans son espace d’origine !

(0) (0) (0) (0)U X q U X q et

1,...,i i i iq q f i N

( ) ( )U t X q t

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