nf04 modélisation numérique des problèmes de...

NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

NF04Modélisation numérique des problèmes de l’ingénieur

Intervenants :•E. Lefrançois (4988) : resp. UV•M. Rachik•A. Rassineux


En quelques mots …

Fournir des outils dédiés pour la résolution informatique des phénomènes physiques

Source : ONERA

Source : technoscience

Structure

Thermique

Fluide

Modèle réel Modèle numérique


Pourquoi NF04 ?

Passage incontournable dans la boucle de conception d’un produitindustriel

Automobile, aéronautique, acoustique, génie civil … 1 emploi ingénieur sur 3 concerné par le numérique

99 % de la physique sous la forme d’E.D.P.

« Outils » mathématiques actuels valables pour moins de 1 % des cas !!


Présentation générale

Déroulement sur 15 semaines:CoursTD/TP sur machines (Windows et Unix)

Moyens à disposition:Ensemble de scripts de calculs sous MatlabIdeasSite web nf04 : http://www4.utc.fr/~nf04Mecagora : http://www.utc.fr/~mecagora

Évaluation:Devoirs (10%), médian (30%), final (40%)Mini projet (20%) (20-30 h)

Acoustique automobile, musicaleTransport-diffusion d’un polluantPortance profil porteur…

Acoustique automobile

Pollution d’un lac

Portance aile d’avion


Bagages nécessaires …

Mathématique :Équations différentielles ordinairesTechniques d’intégration standardOpérations matricielles de baseNotion d’interpolation

Physique : ?

Ingénieur : développer le bon sens et un esprit critique

Informatique : apprentissage de l’outil Matlab


Site web Mecagora : portail UTC « ouvert »

Accès au cours


Site web Mecagora : page d’accueil

caractéristique

Apprentissage par l’exemple

Fiche-notionstype cours

Applicationsinteractives

Travaux dirigés


Site web Mecagora : accès aux exemples

caractéristique


Site web Mecagora : lecture d’un exemple

caractéristique

Boucle de modélisation


Site web Mecagora : 300 fiche-notions type cours

caractéristique


Plan du cours

Introduction générale

Différences finies 1D, 2D

Éléments finis 1D, 2DMédian

Problèmes temporels du 1er ordre

Problèmes temporels du 2nd ordre

Analyse de stabilité

Analyse modaleFinal


Cours 1

Introduction générale

• Généralités• Concept de la boucle de modélisation• Apprentissage « simple » par l’exemple : thermique 1D


Principe des méthodes numériques

Objectif : fournir une solution approchée du comportement réel d’un phénomène physique.On parle ainsi de « modèles numériques »

La physique possède un caractère:TridimensionnelTemporelNon linéaire (HPP, matériaux …)

Le rôle du modélisateur est de simplifier suffisamment le problème tout en conservant l’essentiel de la physique à l’origine du phénomène étudié

Donc : Approchée = simplifiée

Mais chaque hypothèse simplificatrice doit être justifiée, d’où une remise en cause possible des modèles numériques !


Généralités

Système physique•Linéaire•Non linéaire

Discret

Continu

Stationnaire

Instationnaire

Équilibre

Valeurs propres

Stationnaire

Instationnaire

Équilibre

Valeurs propres

[ ]{ } { }K U F=

[ ]{ } [ ]{ }K U M Uλ=

( )( )0 0( ), ( )

v

s

mu cu u f

u fu t u t

+ + =

=

&& &

&

sur S

connus.

L

C

Différences finiesÉléments finis

( )( )

0v

s

u f

u f

+ =

=

sur V

sur S

L

C

( ) ( )( ) ( )u u

u u

λ

λ

=

=

sur V

sur S

1 2

1 2

L L

C C

[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }{ } { }0 0( ) , ( )

M U C U K U F

U t U t

+ + =&& &

& connus.


Exemples d’hypothèses simplificatrices (1/3)

Dimension du problème : 1, 2 ou 3 dimensionsExistence ou non de dimensions négligeables devant les autres ?

Comportements linéaires ou non :HPP vérifiée ?Caractéristiques matériaux bien identifiées ?

Hauban : 1D Tablier : 2D

Pile de pont : 3D ou 1D ?



Problème temporel ou non :Réponse liée aux échelles de temps caractéristiques :

… des sollicitations externes… du fluide, du matériaux …

Solution recherchée sur une courte ou longue période ?

Air environnant (très affecté) : analyse instationnaire

Source : ldeo.columbia

ensoleillement

Sol (peu affecté) :analyse quasi-statique



Présence ou non de couplages multi physiques ?

Échelle des temps caractéristiques :fluide (~10-6s), structure (~10-2s), thermique (~10s) ...

Réponse en fonction du rapport des temps :

RéduiteTemps caractéristique solideU =Temps caractéristique fluide

RéduiteU <<1 RéduiteU 1≈ RéduiteU >>1

Réservoir en ballottementAcoustique musicale

(fluide ~ immobile % solide)

Aéroélasticité(solide ~ immobile % fluide)

Ouvrages génie civil (pont …)(fluide et solide se « voient »)


Complexité : multi compétences

Structure:•Tenue•Fatigue•Aéroélasticité•Fréquences•Commandes•…

Fluide:•Aérodynamique•Traînée•Acoustique•…

Moteurs:•Combustion•Poussée•Acoustique environmentale•…

Intérieur:•Capacité transport•Confort passagers•…

Source : futura-sciences


Chaîne de conception « industrielle »

Conception Simulation Expérimental Production

Sources : engineering.swanONERA

Aérodynamique

Aéroélasticité

Tenue mécanique


« Boucle de modélisation »

Modèlephysique

Modèlemathématique

(continu)

Modèlenumérique

(algébrique)

Modèleinformatique

NF04Démarche en 4 étapes (ou modèles) distinctes :

Écart entre solution réelle et solution exacte

du problème mathématiqueSources d’erreurs

Écart entre solution exacte du problème mathématique

et solution du système discret

Écart entre solution exacte du système discret et solution

informatique= + +


« Boucle de modélisation »

•Observation du phénomène•Définition des objectifs

NF04

Modèle mathématique Modèle discret Modèle informatique

( , , ...) 0u uL u fx t∂ ∂

+ =∂ ∂

Conditions auxlimiteset initiales

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

k k k u fk k k u fk k k u f

=

Modèle physique

L’idéal est d’avoir une approche indépendante :de la physique étudiée ;de la dimension géométrique du problème ;du régime (stationnaire ou non) ;de la méthode de discrétisation et des schémas employés.


Analyse des sources d’erreursMathématique :

3D 1D, 2D?temporel ?grands déplacements et grandes rotations ou HPP ?loi de comportement du matériauxabsence de couplage ?

Algébrique :choix du découpage, de l’élémentchoix de l’algorithme de résolution …

Informatique : précision machineprogrammation …

Question : qu’est-ce qu’un bon modélisateur ? il annule les erreurs

estime et contrôle


Apprentissage par l’exemple …« Isolation thermique d’un mur »

Objectif : Réduire les pertes caloriques par une meilleure isolation : il nous faut donc connaître le profil de température au travers du mur et en déduire le flux.

Méthode :Différences finies

Simplifications du modèle :Stationnaire : à justifier !Un seul isolantRayonnement négligeable : à justifier !Monodimensionnel : à justifier !

Source : www.isover.be - Saint Gobain


Modèle physique

Pertes caloriques = flux thermique : q(x) (W/m2)Fonction des matériaux employés

Conductivité thermique : k (W/°C-m)Fonction du champ de température : T(x) (°C)

Loi de comportement entre flux et température (Fourier)Fonction des échanges avec l’extérieur : h (W/°C-m2) et Text

Objectifs : Calculer la température en tout pointEn déduire les valeurs de flux pour déterminer les pertes


Modèle mathématique

Définition du domaine d’étude :

Équilibre thermique régi par :

Loi de comportement :

Conditions aux limites (CL) :Température imposée en x=0 (CL type Dirichlet) :Condition en flux en x=L (CL type Cauchy) :

( ) [ ]. 0, 0,vq x f x L∇ − = ∀ ∈ur r

( ) ( )q x k T x= − ∇rr

( )0 30T C= °

[ ]0,x L∈

L

( ) ( )( )extq L h T L T= −

( ) [ ]2

2 0, 0,soit à résoudre: v

d T xk f x Ldx

+ = ∀ ∈


Modèle numérique (1/4)

Discrétisation du domaine d’étude :Notion de discrétisation : nombre fini de nœuds de calcul

Nœud fictif pour traiter la condition à la limite en dérivée en x=L

On associe une variable inconnue par nœud : soient 5+1=6 inconnues

Objectif suivant : trouver 6 équations !

1 2 3 4 5 6

T1 T2 T3 T4 T5 T6


Discrétisation des termes de dérivées (démonstration au prochaincours) :


( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

1

1

21 1

2 2

1 1

(1)

(2)

21 2

1 2

...

...

...

.2

..

i i

i

i i

i

i i i

i

i i

i

T TdTdx x

T T

x

x

x

x

dTdx x

T T Td Tdx x

T TdTdx x

+

−

− +

− +

−→ ≈

∆

−→ ≈

∆

− ++ → ≈

∆

−− → ≈

+

∆

∆

+∆

+∆

+∆

Décentré droit

Décentré gauche

Centré

Centré

Termes tronqués

Type

Précision du schéma



L’équation d’équilibre devient :

Les conditions aux limites deviennent :

2

2

1 12

0 2,..,5

2 0

vii

i i ivi

d Tk f idx

T T Tk fx

− +

+ = ∀ =

↓− +

+ ≈∆

( )

( )

1

5 1 5 15

5

6 4 5

30

22

exti

ext

TT TdTk k h T T

dx xh xT T T Tk

+ −

=

=

−− ≈ − = −

∆∆

→ = + −

4 eq.

6 inconnues

2 eq.

Au total : 6 équations pour 6 inconnues


Modèle numérique (4/4)Réorganisation matricielle

Plus qu’à résoudre ce système ….

2

3

3

2

1

2 2 2 2

2 2 2 3

2 2 2 4

2 2 5

301 0 0 0 0

2 0 0

20 0

20 0

2 20 0 0 2N ext

f

f

f

f

T

k k kTx x x

k k kTx x x

k k kTx x x

h k h h TTx x x x−

−

−

−

−

− ∆ ∆ ∆ − = ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ ∆ − + − ∆ ∆ ∆ ∆

Astuce : on a éliminé T6


Modèle informatique (langage Matlab)

clear allclose

%----- Paramètres géométriques et physiquesL = 1; % longueur mk=2; % coeff. de conductivité W/°C-mh=3; % coeff. d’échange convectif W/°C-m2f0=10; % production W/m3T0=30; Text=10; % conditions aux limites

%----- Paramètres numériquesnnt=input('entrer le nombre de points: ');dx = L / (nnt - 1); % pas de discrétisationvkg=zeros(nnt,nnt); % initialisation de la matricevfg=zeros(nnt,1); % initialisation du second membrec=k/dx^2;

% Schéma aux différences finies [-1 2 -1]*k/dx^2for i=2:nnt-1

vfg(i) = -f0;vkg(i,[i-1 i i+1])=[c -2*c c];

end

%---- Condition de Dirichletvkg(1,1)=1; vfg(1)=T0;

%---- Condition de Cauchyvkg(nnt,[nnt-1 nnt])=[2*h/dx^2 –2*(k/dx^2+h/dx)]; vfg(nnt)=-f0-2*h*Text/dx;

%----- Résolutionvsol = vkg\vfg

%---- Affichage vcorg = 0:dx:L; % Coordonnées des noeudsplot(vcorg,vsol,'b -o') % trace solution calculée …

Post-traitement des résultats

Puis analyse …

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