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NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 4-a

Méthode des éléments finis 2D

• Généralités • Technique d’affaiblissement en 2D et 3D• Approximation d’un élément triangulaire simple : T3• Intégration des termes de contour• Application à la thermique : ailette de refroidissement


Passage 3D 2D 1D

0S

W h T f dxdy L

0V

W T f dxdydz L

0

0L

W A T f dx L1 dimension caractéristique= 2 négligeables

2 dimensions caractéristiques= 1 négligeable

3 dimensions caractéristiques= aucune négligeable

2D-Plan ou 2D-axi

Basique et/mais simple

Réaliste mais complexe

Le choix dépend du degré de réalisme recherché mais aussi du phénomène que l’on souhaite étudier, car tout est 3D dans la nature !


Équation de la chaleur en 2D

0,

.

.

Dir

Neu

ext Cau

T x y T S

q n S

q n h T T S

sur

(connu) sur

surA (Aire)

Équation d’équilibre thermique :

Conditions aux limites :

Domaine :

0

. 0, , .0

x

y

Tk

xq f x y A q T T

Tk

y

avec où


Formes intégrales en 2 dimensions (2D)

Démarche identique au cas 1D

Pondération et intégration :

Intégration par parties :

, . , . , 0V A

W x y q f dxdydz h x y k T x y f dxdy

, , , , . , 0T

A S A

W x y k T x y dxdy x y k T x y n ds x y f dxdy

Important : à l’issue de ces 2 étapes, vérifier que chacun des termes de W est toujours un scalaire !

Normale extérieure au domaine

Propriété k isotrope (simplification volontaire)

Car 2D On l’élimine par la suite


Termes de contour : C. aux L. naturelles

Écriture formelle de W :

Où :

int 0CLW W W

.

. ..N CaD uir ue

CL

S

SS S

exth T T

k T

W k T nds

ds dsk T n dsn k T n

fl uxinconnu

Triangle à 3 nœuds : T3

Barre Cauchy

Barre Neumann

Terme qui sera éliminé par la

prise en compte des conditions de

Dirichlet !


Maillage 2D : exempleconec=[ 1 2 6

2 4 6

15 12 9

12 13 9

13 14 9

11 15 9

14 10 9

10 7 9

7 3 6

7 6 9

3 1 6

5 8 6

4 5 6

8 11 9

8 9 6

1 2 0

2 4 0

15 12 0

12 13 0

13 14 0]

vcor=[ 1.0000 -0.2500

1.0000 0.1250

0.5000 -0.3125

1.0000 0.5000

0.5000 0.6250

0.4512 0.1593

-0.0000 -0.3750

-0.0000 0.7500

-0.5054 0.2191

-0.5000 -0.4375

-0.5000 0.8750

-1.0000 0.5000

-1.0000 0

-1.0000 -0.5000

-1.0000 1.0000 ]

Convention : sens de lecture des nœuds = sens trigonométrique

Eléments barre


Formes intégrales élémentaires

3

0

0

, , ,Te

T

Ae Ae

LeeNeu

LeeCau ext

W x y k T x y dxdy x y f dxdy

W ds

W h T T ds

3 0e e eT Neu Cau Dir

e e e

W W W W W

Avec :


Élément triangulaire à 3 nœuds : T3

Ae

Sens de lecture des nœuds !


Choix des fonctions d’approximation Approximation par éléments finis :

Fonctions d’approximation linéaires : (équation d’un plan)

Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de l’approximation

1

1 1 2 2 3 3 1 2 3 2

3

, , , , , , ,

T

T x y N x y T N x y T N x y T N x y N x y N x y T

T

, , 1,2,3i i i iN x y a b x c y i


Calcul des fonctions d’approximation

On applique la relation générale :

Soient les 3 systèmes à 3 équations suivants à résoudre :

1

,

0i j j

i j

N x y

i j

si

si

1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 3 1 1 3 3 1 3 1

1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2 3 2

1 3 3 1 1 3 1 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3

, , ,

, , , ,

1 0 0

0 1 0,

, 0 0,

N x y a b x c y N x y a b x c y N x y a b x c y

N x y a b x c y N x y a b x c y N x y a b x c y

N x y a b x c y N x y a b x c y N x

3 3 3 3 3 3, 1y a b x c y


Calcul des fonctions d’approximation

Après résolution des 3 systèmes :

Avec :

1 3 2 2 3 2 2

2 1 3 3 1 3 3

3 2 1 1 2 1 1

1,

21

,21

,2

e

e

e

N x y y y x x x x y yA



2 1 3 1 3 1 2 1

2e x x y y x x y yA

(Aire de l’élément)


Calcul de la surface élémentaire

La surface élémentaire d’un triangle quelconque se calcule à l’aide d’un simple produit vectoriel

3 12 1

3 12 1

2 1 3 1 3 1 2

3 1

1

2 1

2 e

x xx x

y

X X

yy y

x x y y y

X X

x x y

A


Illustration des fonctions d’approximation


Reconstruction globale à partir d’approximations élémentaires

L’approximation par éléments finis T3 assure la continuité inter-élémentssur la variable inconnue mais pas sur ses dérivées !


Calcul des formes intégrales discrètes

Pour rappel, la forme élémentaire à discrétiser est :

Le terme de gradient est déduit de l’approximation sur T :

avec [B] : matrice gradient

De même pour le gradient de la fonction-test.

1 1

23 31 12

32 13

1, 2, 3,

2 2

1, 212, 3,

3 3

1

2,

x x x

y y y

e

B

T TT

N N Nx

T x y T TT

N N Ny

y y y

x

T T

Ax x

3 , , ,Te

T

Ae Ae

W x y k T x y dxdy x y f dxdy


Suite …

La forme élémentaire s’écrit alors :

Si f =f(x,y), on considèrera :

Pour l’élément T3, la matrice [B] est composée de constantes, d’où :

Avec :

1 1

3 1 2 3 2 1 2 3 2

3 3

TeT

Ae Ae

T N

W B k B T dxdy N f dxdy

T N

supposéconstant

1

3 1 2 3 2 1 2 3

3

[ ]e e eT

T

W K T F

T

1

1 2 3 2

3

,

f

f x y N N N f

f

1

, 16

1

eTe e e A

K kA B B F f

, , 1,2,36

e

i

Ae

AN x y dxdy i

Intégration rendue possible (!!) soit :•Par changement de variables (prochain cours)•Intégration numérique (prochain cours)


Traitement des termes de contour : Neumann

La ou les conditions de Neumann sont « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds.

Les fonctions sont (cf cours « Eléments finis 1D ») :

Soit :

1 21 , 0 ee e

s sN s N s s L

L L

S : abscisse curviligne

0

LeeNeuW ds

1 2 1 2

0

1

21

eeNeu

LeeNeuW

Lds F


La ou les conditions de Cauchy sont aussi « classiquement » intégrées en ayant recours à un élément de contour linéaire de type barre à 2 nœuds.

Soit :

S : abscisse curviligne

1

1 2 1 2

02

1

1 2

2

1

21

2 1

61 2

e

eC

eext

eCauau

LeeCau ext

hT

W h T s T dshL

K

T

T

T

L

F

T

Traitement des termes de contour : Cauchy

0

LeeCau extW h T T ds


Assemblage


Traitement des termes de contour : Dirichlet

Ces conditions sont introduites dans le système en TOUTE DERNIERE ETAPE :

Par la méthode du terme unité sur la diagonale ou

Par la méthode du terme diagonal dominant ou

Par élimination de la ligne et colonne correspondante (hors NF04).

Ces méthodes sont analogues au cas 1D (cf cours « Eléments finis

1D »)


Application : ailette de refroidissement

Modèle physique + maillage

. 10 20q n T

f=0

. 800q n

. 10 20q n T

Flux nul3

1 2

4 0

4 1 0

3

1 3 4conec

0 0

1 0

1 1

0 1

vcor

Table des coordonnées :

Table des connectivités :


Calcul des matrices et vecteurs élémentaires

Elément T3 n°1 :

Elément T3 n°2 :

(1) (1) (1) (1) (1)

105 105 01 1 0

, 105 210 1050 1 1

0 105 105

TB K A B B

soit

(2) (2) (2) (2) (2)

105 0 1050 1 1

, 0 105 1051 0 1

105 105 210

TB K A B B

soit


Calcul des matrices et vecteurs élémentaires

Elément Neumann n°3 :

Elément Cauchy n°4 :

(3)

(3) 1 400800

1 4002

LF

(4) (4)

(4) (4)2 1 3.33.. 1.66.. 1 10010 , 10 20

1 2 1.66.. 3.33.. 1 1006 2

L LK F


Phase d’assemblage

Connectivités :

Matrice globale :

Vecteur global :

3.33

105 105 0

105 210 105 0

0 105

105 105

105 105

105 105 2

1.66

1.66 3.310

1

3

05

0

K

100

100

400

400

0F

3

1 2

4 0

4 1 0

3

1 3 4conec


Application : ailette de refroidissement

Résolution et post-traitement

102.85

100.95

99.05

100.94

vsol

Affichage des champs de couleurs

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