NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 5-b

Problèmes spatio-temporels d’ordre 1 en temps

• Calcul des matrices de masse (1D et 2D)

• Schémas explicite et implicite• Approche globale de la stabilité• Approche locale de la stabilité :

• décomposition de Neumann• notion de positivité

NF04 - Automne - UTC 2Version 09/2006 (E.L.)

Le problème étudié est désormais variable en temps et en espace.

La forme générale d’un système d’équations au 1er ordre en temps s’écrit :

Avec : [M] : matrice globale de masse [K] : matrice globale de rigidité (voir précédents cours de NF04) {F} : vecteur global des sollicitations (idem)

Ces matrices résultent de techniques de discrétisation telles les :

Différences finies Eléments finis …

TM K T F

t

Problèmes spatio-temporels

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Calcul de la matrice masse [ M ] (1 dimension)

Equation « de la chaleur » en 1D

Forme faible associée :

2

2

( , ) ( , )( , ) 0 [0, ] . . . .

T x t T x tC k f x t x L C L C I

t x

0 0 0

( , ) ( , ) ( , )( ) ( ) ( , ) 0

LL L L

O

T x t T x t T x tW x C dx k dx x f x t dx k

t x x x

Fonction-test ne dépendant que de x bien que le problème soit instationnaire !

Pas d’intégration par parties sur le terme instationnaire !

[K ]{T } {F }NeumannCauchy

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Matrice masse : thermique 1D

Approximation par éléments finis :

RAPPEL : les fonctions d’approximation ne dépendent pas du temps !

d’où :

Le terme temporel s’écrit ainsi :

Avec :

La procédure d’assemblage reste identique !

1 1 2 2,t tT x N x T N tx T

1

1 2

2

, TT x tN x N x

t T

0

( , )( )

Le

inst inste

T x tW x C dx W

t

2

11 2

20

2 1

1 26

( , )( )

e

eL

Le

inst

e

M

LC

TT x tW x C dx

t T

NF04 - Automne - UTC 5Version 09/2006 (E.L.)

Calcul de la matrice masse [ M ] (2 dimensions)

Equation « de la chaleur » en 2D

Forme faible associée :

( , , ). ( , , ) ( , , ) 0 , . . . .

T x y tC k T x y t f x y t x y V C L C I

t

( , , )( , ) ( , ) ( , , ) . 0

V V V S

T x y tW x y C dV k TdV x y f x y t dV k T n dS

t

Fonction-test ne dépendant que de x,y bien que le problème soit instationnaire !

Pas d’intégration par parties sur le terme instationnaire !

[K ]{T } {F }

NeumannCauchy

NF04 - Automne - UTC 6Version 09/2006 (E.L.)

Matrice masse : thermique 2D

Approximation par éléments finis :

Soit :

Le terme temporel s’écrit ainsi :

Avec :

1 1 2 2 3 3, , , , ,T x y N x y T Nt t x y T N x Tt ty

1

1 2 3 2

3

, ,, , ,

TT x y t

N x y N x y N x y Tt

T

( , , )( , ) e

inst insteV

T x y tW x y C dV W

t

3

1

1 2 3 2

3

2 1 1

1 2 1( , , )

( ,12

)

1 1 2e

eT

einst

V

M

eAT

T x y tW x y C dV T

tT

C

NF04 - Automne - UTC 7Version 09/2006 (E.L.)

Phase d’assemblage + conditions aux limites

De manière générale :

Avec :

A l’issue de la phase d’assemblage :

L’introduction des conditions aux limites de type Dirichlet s’effectue dans la boucle temporelle.

3

0T

econtour

e

W W W

e e e e e e eW M T K T F

M T K T F

NF04 - Automne - UTC 8Version 09/2006 (E.L.)

Discrétisation temporelle

La discrétisation du terme temporel est analogue au cas scalaire :

1. Schéma EXPLICITE :

2. Schéma IMPLICITE :

1

...n n

T T TT t

t t

01

avec ( 0)n n

n nT TM K T F T t T

t

11

1 0avec ( 0)

n nn nT T

M K T F T t Tt

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Stabilité

L’analyse de la stabilité du schéma temporel (explicite, implicite …) d’un système d’équation peut être traitée selon deux approches :

1. Approche globale : utilisation des matrices [M] et [K]

2. Approche locale : équation scalaire discrète en temps et en espace

Pour cette dernière approche, deux techniques possibles :

Stabilité au sens de la décomposition de Neumann (approche

mathématique)

Concept de positivité (approche « physique »)

(+) généralisable (-) « lourde », condition de stabilité avec oscillation

(+) facile, rapide, stabilité sans oscillation (-) pas toujours généralisable

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Approche globale de la stabilité (1)

Quel que soit le schéma utilisé, explicite, implicite … il est toujours possible de ramener le système sous la forme récurrente suivante :

Par analogie avec l’étude de la stabilité d’une équation scalaire, on définit :

[G] : matrice d’amplification du schéma {…} : autres termes du système ne faisant intervenir ni {T }n , ni

{T }n+1

Définition : la stabilité sans oscillation du schéma est alors assurée si

1...

n nT G T

0 1 1,..., èmei ii N i G pour avec valeur propre de

Taille du système

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Approche globale de la stabilité (2)

Application au cas d’un schéma EXPLICITE

soit :

La matrice d’amplification est :

On pose li, les valeurs propres de la matrice , avec

Nous avons donc :

Schéma STABLE si

01

avec ( 0)n n

n nT TM K T F T t T

t

1 1 1

1

pasd'influencesur stabilité

. . . .

n n n

n n

T I t M K T t M

G

F

T T

1G I t M K

Matrice identité

1M K

1i il t

max

10 1i

i

tl

soit CONDITION DE STABILITE

0.il

Car [M] et [K] définiespositives !

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Approche globale de la stabilité (3)

Application au cas d’un schéma IMPLICITE

soit :

La matrice d’amplification est :

On pose li, les valeurs propres de la matrice , avec

Nous avons donc :

Schéma STABLE si

11

1 0avec ( 0)

n nn nT T

M K T F T t Tt

1 1

11

pasd'influencesur stabilité

. . . .

n n n

n n

M t K T M T t F

T M t K M T

1 1 1G M t K M I t M K

1M K

1

1iil t

10 1 0 1

1iil t

soit TOUJOURS VERIFIE !

0.il

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Approche locale de la stabilité

La démarche consiste cette fois-ci à analyser la stabilité d’une équation discrète et non plus du système dans sa globalité

Où trouver l’équation ? Deux possibilités :

1. Extraire la jème ligne du système :

2. Obtenir l’équation discrète par différences finies

Remarque : un schéma aux différences finies centrées en 1D est identique à celui obtenu par une approche éléments finis linéaire 1D où la matrice de masse serait diagonalisée.

1 1 1

1 1 1

1 1 1

j j j

j j j

j j j

N N N

T T F

T T F

M T K T Ft

T T F

T T F

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Application à la thermique 1D

2

2

( , ) ( , )( , ) 0 [0, ] . . . .

T x t T x tC k f x t x L C L C I

t x

1

1 1

2

20,

n nj j j j j

j

T T T T TC k f t

t x

Equation de « la chaleur » en 1D

Phase de discrétisation en espace :

Phase de discrétisation en temps :

La stabilité requiert l’écriture sous la forme :

Question : que faire des variables indicées en j-1 et j+1 ?

njT

Indice temporel

Indice spatial

1 1

2

20,j j j

j

T T TTC k f t

t x

1 ....n nj jT G T

Même indice en espace !

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Stabilité au sens de Neumann

Objectif : exprimer toutes les variables indicées en j-1 et j+1 en fonction de la variable indicée en j pour aboutir à :

Méthode : décomposition en séries de Fourier (voir principe sur transparent

suivant)

Principe : si la solution est stable, alors chacun de ses modes est aussi stable.

Application : on considère donc un seul mode m quelconque

On montre alors que :

ji m xn njT T e

, ,njT j n

1

1

1

1

jj

jj

i m x xi m xn n n n i m xj j

i m x xi m xn n n n i m xj j

T T e T e T e

T T e T e T e

1 ....n nj jT G T

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Décomposition en séries de Fourier Principe : « n’importe quel signal, aussi bien en temps qu’en

espace, est décomposable en séries de Fourier »

Séparation des variables :

Illustrations :

0

ji m xn n

mj eTT

Fonction de l’espace

Fonction du temps

sin 2 1sin 34sin ...

3 2 1f t

m ttt

m

Reconstruction du signal pour un nombre de modes croissantm=1 m=2 m=5 m=50

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Stabilité de Neumann pour un schéma EXPLICITE

Le schéma explicite en temps pour l’équation de « la chaleur » en 1D est :

On introduit :

Soit :

La stabilité est assurée pour

toujours vérifié !

11 1

2

20,

n nj j j j j

j

n n nnT T T T T

C k ft x

1 1n n i m x n n i m xj j j jT T e T T e et

12

2 cos

1 2n im x im x n nj j j

m x

t k tT e e T f

C C x

avec

1

..

1 2

..

2 cosn n nj j j

nj

m x

G

tT T f

CT

0 1 1G G G G si ou si

1G

0 G

2 2 2

1 ... 1

2 1 1 42 1 cos

C x C x C xt

k kk m x

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Concept de POSITIVITE

Ecriture générale du schéma discret d’un problème spatio-temporel :

Un tel schéma est dit POSITIF s’il vérifie :

La démonstration est basée sur le choix de profils de type choc en n :

Application : le schéma explicite (ther. 1D) est positif si

11 1 .....n n n n

j j j jT A T B T C T

0, 0, 0.A B C

A≥0 B≥0 C≥02

02

C xB t

k