mpsi devoir surveillé de sciences industrielles 14...

Devoir surveillé n°3 MPSI 14 décembre 2015

MPSI Devoir surveillé de Sciences Industrielles pour l’Ingénieur n°3

14 décembre 2015

Chaudière à bois déchiqueté.

I. Présentation du système (Figures 1, 2 et 4 en annexe). Dans le cadre du « Grenelle de l’environnement » et de la mise en place de la taxe « carbone », l’avenir du chauffage est conditionné au fait que la biomasse est neutre en dégagement de CO2. HARGASSNER développe la technologie du chauffage au bois déchiqueté et aux granulés de bois dans le but de concilier un chauffage à la fois écologique et confortable d’utilisation. L’entreprise est devenue un leader en matière de technique innovante, de développement, de service, de qualité et de longévité dans le domaine du chauffage au bois. L’étude porte sur la chaudière HSV 30, alimentée en bois déchiqueté, qui développe une puissance de chauffe de 25 à 35 kW. Le bois déchiqueté est amené jusqu’à la chaudière dans un premier temps à l’aide d’un extracteur à lames puis de la vis d’extraction et enfin par la vis d’introduction. Il est alors brûlé au sein d’un foyer réfractaire développant des gaz dans la chambre de combustion. Les gaz sont dépoussiérés dans la chambre de détente avant de passer dans un échangeur tubulaire équipé de turbulateurs. Ces turbulateurs augmentent l’efficacité de l’échangeur et permettent son nettoyage automatique. L’échangeur permet le chauffage de l’eau à partir des fumées. Une vis de dépoussiérage et une vis de décendrage, associées aux turbulateurs évacuent automatiquement les cendres et les suies dans un cendrier.

II. Analyse du système (Figures 1, 2, 4 et 6 en annexe). La figure 6 en annexe est le diagramme de définition des blocs de la chaudière. On définit 5 blocs principaux :

La partie commande Le système d’alimentation Le poste de combustion Le poste d’évacuation des cendres L’échangeur tubulaire.

III. Etude de la fonction « Chauffer l’eau ». L’étude porte sur la montée en température de l’eau qui sert à chauffer les pièces au travers de radiateurs. Cette température est obtenue à partir d’une puissance calorifique fournie par le bois brûlé au niveau du foyer réfractaire de la chaudière. Extrait du cahier des charges : Fonction « Chauffer l’eau » : temps de réponse à 5% inférieur à 2,5 heures. Modélisation théorique de la chaudière. On considère que :

● p(t) est la puissance calorifique en Watt fournie par le bois brulé au niveau du foyer réfractaire. Elle permet la montée en température du bâti de la chaudière.

● L’air situé dans la chambre de combustion permet de monter à la température θe(t) l’eau situé dans l’échangeur. ● L’eau chaude, au travers des radiateurs permet de chauffer les pièces à une température θext(t).

On note :

● θb(t) la température du bâti de la chaudière ;

● mb la masse du bâti à monter en température ; 200bm kg=

● cb la capacité calorifique massique du bâti ; 1 1500 . .bc J kg K− −=

● θa(t) la température de l’air dans la chambre de combustion ;

Devoir surveillé n°3 MPSI 14 décembre 2015 Page 2

● ma la masse de l’air à monter en température ; 2am kg=

● ca la capacité calorifique massique de l’air ; 1 1700 . .ac J kg K− −=

● θe(t) la température de l’eau dans l’échangeur et les radiateurs ;

● me la masse de l’eau à monter en température dans l’échangeur ; 50em kg=

● ce la capacité calorifique massique de l’eau ; 1 14000 . .ec J kg K− −=

● θext(t) la température ambiante des pièces à chauffer. Le principe de conservation de l’énergie conduit à une modélisation par les équations différentielles suivantes :

1 : [ ]( )( ) ( ) ( )

tbt t tb b ab b a

dm c K p

dt

θ θ θ+ − =

2 : [ ] [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )

tat t t ta a ae a e ab b a

dm c K K

dt

θ θ θ θ θ+ − = −

3 : [ ] [ ]( )( ) ( ) ( ) ( )

tet t t te e ae e ext ae a e

dm c K K

dt

θ θ θ θ θ+ − = −

Avec :

Kab la conductance thermique entre le bâti et l’air dans la chambre de combustion ; 1 140 . .abK J s K− −=

Kae la conductance thermique entre l’air et l’eau au travers de l’échangeur ou des radiateurs. 1 1400 . .aeK J s K− −=

On suppose que le corps de chauffe est parfaitement isolé de l’extérieur.

Les transformées de Laplace seront notées : L [ ]( ) ( )t pi iTθ = et L [ ]( ) ( )t pp P= .

1. En supposant que les conditions initiales sont nulles, donner dans le domaine de Laplace, la transformée des 3 équations différentielles précédentes.

2. a. A partir de l’équation (1), exprimer ( )pbT en fonction de ( )paT et de ( )pP en faisant apparaître les termes mb, cb et Kab

et mettre ( )pbT sous la forme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2p p p p pb aT H T H P= + .

b. Préciser l’ordre du système définit par la fonction de transfert ( )1 pH , ainsi que, littéralement, ses caractéristiques.

c. Calculer la valeur numérique approchée de τ1, la constante de temps de ce système. d. Compléter le schéma bloc du document réponse en n’utilisant que les variables Kab et τ1.

3. a. Exprimer ( )paT en fonction de ( )peT et de ( )pbT en faisant apparaître les termes ma, ca et Kae et Kab.

b. Mettre ( )paT sous la forme : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 4p p p p pa e bT H T H T= + .

c. Préciser l’ordre des systèmes définis par les fonctions de transfert respectives ( )3 pH et de ( )4 pH , ainsi que ,

littéralement, leur caractéristiques. d. Calculer la valeur numérique approchée de τ3, la constante de temps de ces systèmes.

Dans la suite de l’étude, on suppose que Kae est très grand devant Kab, ainsi le schéma bloc ayant pour entrées ( )pbT et ( )peT

et pour sortie ( )paT peut se mettre sous la forme suivante :

4. a. Exprimer ( )peT en fonction de ( )paT et de ( )pextT .

b. Préciser l’ordre du système définit ainsi que, littéralement, ses caractéristiques. c. Calculer la valeur numérique approchée de τ5, la constante de temps de ces systèmes

d. Tracer le schéma bloc ayant pour entrées ( )paT et ( )pextT et pour sortie ( )peT , en n’utilisant que la variable τ5.


5. Compléter alors le schéma bloc du document-réponse, modélisant le système global ayant pour entrée ( )pP , pour sortie

( )peT , et comme perturbation ( )pextT . A l’intérieur des blocs, on ne fera apparaître que les paramètres suivants : Kae, Kab,

τ1, τ3, et τ5. Etude du système autour d’un point de fonctionnement. La suite de l’étude porte sur la dynamique des systèmes autour d’un point de fonctionnement. Nous pouvons donc considérer

que ( ) 0pextT =

De plus comme la constante de temps τ1 est grande devant τ3, le schéma bloc du système peut alors se représenter sous la forme suivante :

6. Donner la fonction de transfert ( )

( )( )

pep

p

TH

P= . Il est demandé de ne pas développer les produits d’éléments de la forme

( )1 i pτ+ , mais de les conserver sous une forme factorisée la plus simple.

Réponse de la chaudière à partir d’un modèle simplifié. A partir des résultats obtenus précédemment, on peut considérer que : Kab ≪ Kae, τ3 ≪ τ5 et que τ3 ≪ τ1. De ce fait, dans la suite de cette étude, on pourra utiliser la fonction de transfert simplifiée :

( )( )( )

( )( )

1

400 1 2500 1 500

pep

p

TH

P p p= =

+ +

On considère que le corps de chauffe de la chaudière est soumis à un échelon de puissance de chauffe ( ) ( )0.t tp P u= où ( )tu

est l’échelon unité et avec 0 10P kW= .

7. a. Mettre la fonction de transfert ( )pH sous la forme canonique. b. Déterminer les grandeurs caractéristiques de cette fonction de transfert (gain statique, …).

8. Calculer, à partir de ce modèle simplifié, les valeurs initiales et finales prévisibles pour la température de ( )teθ , préciser

les pentes à l’origine et en régime permanent.

9. Sur le document-réponse, donner sans faire de calcul le tracé de la réponse ( )teθ .

10. En négligeant une constante de temps, déterminer la valeur numérique approchée du temps de réponse à 5% du système. Vérifier si le cahier des charges est respectée.

IV. Etude de la fonction « Alimenter en bois ». On s’intéresse à l’ensemble de la chaudière.

Une température de consigne ( )tcθ est donné au système. Un dispositif électronique convertit celle-ci en une tension ( )tcv par

un gain pur de valeur réglable notée Kc.

Cette tension est comparée à la tension ( )tev fournie par le capteur mesurant la température de l’eau au sein de l’échangeur :

( )teθ . Le capteur est modélisé par un gain pur noté Ke, avec Ke = 0,2 Volt/°C.

Cette différence de tension est amplifiée par un correcteur C.


La tension obtenue permet au moteur de tourner à une vitesse de rotation ωm. Le moteur entraine la vis d’introduction qui fournit un débit massique de bois. Ce bois au sein du foyer dégage une puissance de chauffe p(t). Extrait du cahier des charges : Fonction « Alimenter en bois » : temps de réponse à 5% inférieur à 2 heures. dépassement transitoire inférieur à 10% précision écart statique nul pour une entrée échelon 1. Construire le schéma-bloc global en indiquant les grandeurs physiques avec leurs unités, les systèmes sous chaque bloc et

les fonctions de transfert dans les blocs, lorsque elles sont définies.

La courbe suivante représente l’évolution temporelle de la température de l’eau au sein de l’échangeur : ( )teθ obtenue à partir

d’une simulation numérique du système. On a imposé en entrée une température de consigne en échelon d’amplitude

10c Cθ = ° : ( ) ( )10.t tc uθ = . Cette simulation fait aussi intervenir les pertes de chaleur pour une température extérieure

constante.

2. a. Quel est le degré de la fonction de transfert ? b. Déterminer le gain statique de cette fonction de transfert. c. A l’aide de l’abaque fourni sur le document-réponse, déterminer la valeur du facteur d’amortissement.

d. On rappelle l’expression de la pulsation propre amortie : 20 1nω ω ξ= − , en déduire la valeur de la pulsation propre

amortie. 3. Vérifier la validation du cahier des charges.

( )tcθ en °C

Temps en seconde


V. Etude fréquentielle de la fonction « Chauffer l'eau ». On reprend l'étude de le partie II. Le système peut se mettre sous la forme suivante :

( )( )( )( )2

7 1 3

1 250 1 2500 1 14 750

+=

+ + + +p

FTBOp p p p

que l'on peut mettre sous la forme suivante :

( )2

7 1 1. . . 1 3

1 250 1 2500 1 14 750= +

+ + + +FTBO p

p p p p

1. Sur le document-réponse, représenter en rouge le tracé asymptotique de la réponse fréquentielle de la fonction :

( )1

7

1 250=

+H p

p

2. Sur le document-réponse, représenter en vert le tracé asymptotique de la réponse fréquentielle de la fonction :

( )2

1

1 2500=

+H p

p

3. Sur le document-réponse, représenter en bleu le tracé asymptotique de la réponse fréquentielle de la fonction :

( )3 2

1

1 14 750=

+ +H p

p p

4. Sur le document-réponse, représenter en rouge pointillé le tracé asymptotique de la réponse fréquentielle de la fonction :

( )4 1 3= +H p p

5. Sur le document-réponse, représenter en noir le tracé asymptotique de la réponse fréquentielle de la FTBO :

( )( )( )( )2

7 1 3

1 250 1 2500 1 14 750

+=

+ + + +p

FTBOp p p p



MPSI Devoir surveillé de Sciences Industrielles pour l’Ingénieur n°3 : annexes

14 décembre 2015

Chaudière à bois déchiqueté

Figure 1.

Figure 2.


Figure 3.

Figure 5.

Figure 4.

Figure 6 : Diagramme de définition des blocs de la chaudière.

mpsi devoir surveillé de sciences industrielles 14...

Documents