www.mathprepa.fr cours mpsi chap00

Table des matières

1 Logique et ensembles 17

1.1 Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.1 Propositions, démonstrations, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.2 Ensembles, éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.1.3 Propriétés portant sur les éléments d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.4 Opérations sur les propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.1.5 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.1.6 Quelques synonymies classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.1.7 Conditions nécessaires et/ou su�santes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 Raisonnements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.1 Conseils appuyés pour bien rédiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.2 Quelques figures usuelles du raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.3 L’axiome de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.4 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.5 Raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.6 Résolutions d’équations ou d’inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.7 Équations ou inéquations à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.2 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.3.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.4 Produit cartésien d’un nombre fini d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.1 Applications entres ensembles non vides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.2 Famille indexée par un ensemble non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.3 Fonction indicatrice d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.4 Restriction et prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.4.5 Image directe d’une partie par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.6 Image réciproque d’une partie par une application . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.7 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.1 Applications injectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.2 Applications surjectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

1.5.3 Applications bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6.2 Propriétés éventuelles des relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.3 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.6.4 Relations d’équivalence, classes d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.6.5 Congruence modulo un réel strictement positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.6.6 Division euclidienne et congruence modulo un entier . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Calculs algébriques 45

2.1 Les ensembles de nombres N, Z, Q, R, C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.1 L’existence admise des ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.2 Propriétés relatives à l’addition dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.3 Propriétés relatives au produit dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.1 Sommes et produits finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 Changements d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.3 Sommes et produits « télescopiques » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.4 Quelques résultats classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3 Factorielles et coe�cients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.1 Factorielle d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.2 Coe�cients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.3 Relations entre coe�cients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4 Sommes doubles, interversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.1 Somme sur un domaine rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.4.2 Somme sur un domaine triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.3 Sommation par partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4.4 Produits de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.5 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.1 Système linéaire de n équations à p inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.2 Exemples et définitions complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.5.3 Interprétation géométrique (deux ou trois variables) . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5.4 Système homogène associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5.5 Structure de la solution générale d’un système linéaire quelconque . . . . . . . . 602.5.6 Systèmes de Cramer triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.5.7 Opérations élémentaires sur les lignes d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . 612.5.8 Méthode « du pivot de Gauss » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5.9 Trois exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3 Nombres complexes et trigonométrie 67

3.1 Notation cartésienne, plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.1 Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.2 Plan complexe. A�xe d’un point, d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

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3.1.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.4 Notion de transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2 Module et distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2.2 Distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2.3 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3 Trigonométrie circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3.1 Une « définition » des fonctions t ‘æ eit, t ‘æ cos t et t ‘æ sin t . . . . . . . . . . . 763.3.2 Propriétés de l’application eit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.3.3 Premières propriétés des fonctions x ‘æ sin x et x ‘æ cos x . . . . . . . . . . . . . 773.3.4 Formules d’Euler, linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.5 Utilisation de la formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.6 Deux sommes trigonométriques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.7 La fonction tangente x ‘æ tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.4 Forme trigonométrique (polaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4.1 Module et argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4.2 Forme polaire et opérations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.4.3 Interprétation géométrique du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 Équation du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.1 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.5.2 Équations du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.6 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.1 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.6.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.6.3 Généralisation (admise) aux racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.7 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7.1 Définition de ez pour z dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7.2 Propriétés de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.7.3 Résolution de l’équation ez = a dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.8 Interprétations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.8.1 Module et argument de (z ≠ b)/(z ≠ a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.8.2 Simitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.8.3 Symétries et projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4 Techniques d’analyse (dérivation) 99

4.1 Propriétés de la relation d’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.1 Existence d’une relation d’ordre total sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.2 Relation d’ordre et opérations dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1.3 Valeur absolue, inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.1.4 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.1.5 Parties majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.1.6 Borne supérieure et borne inférieure dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105



4.1.7 Partie entière d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.1.8 Densité de Q et de R \ Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.1.9 Droite achevée R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.2 Puissances à exposants entiers ou rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.1 Exposants entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.2 Racine n-ième d’un réel positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2.3 Exposants rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3 Généralités sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3.1 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.3.2 Opérations sur les fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.3.3 Fonctions paires ou impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.3.4 Axes et centres de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.3.5 Applications périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.3.6 Monotonie des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.3.7 Fonctions majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.4 Dérivation des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4.1 Notion de fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4.2 Équation de la tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.4.4 Dérivabilité et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4.5 Dérivation de la bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.4.6 Dérivée seconde, concavité, inflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.4.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.5.1 Exponentielle, logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.5.2 Fonctions exponentielles de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5.3 Fonctions puissances x ‘æ x

–, avec – réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.4 Dérivée logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.5.5 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.5.6 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364.5.7 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.6 Études de fonctions, inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.6.1 Plan d’étude d’une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.6.2 Dérivabilité sur le domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.6.3 Réduction du domaine d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.6.4 Tableau des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6.5 Études locales et tracé du graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.6.6 Quelques inégalités utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5 Techniques d’analyse (intégration) 145

5.1 Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.1 Primitives d’une fonction numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147



5.1.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1.3 Reconnaître la dérivée d’une composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.1.4 Primitivation de x ‘æ px + q

ax

2 + bx + c

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.2 Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.1 Intégrale d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.2 Intégration et fonctions de classe C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.2.4 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535.2.5 Utilisation de la parité ou de la périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.3 Compléments sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.1 Primitives de sinp(x) cosq(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.2 Primitives de P (x) eax et associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.3.3 Utilisation de récurrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.3.4 Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.3.5 Fractions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.3.6 Primitives avec radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.4 Extension aux fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.4.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.4.2 Dérivée et intégrale des fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1595.4.3 Extension des résultats relatifs aux fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . 1605.4.4 Cas de la fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.5 Équations di�érentielles y

Õ + a(x)y = b(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.5.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.5.2 Résolution de l’équation homogène y

Õ + a(x)y = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.5.3 Résolution de l’équation y

Õ + a(x)y = b(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.5.4 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.5.5 Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645.5.6 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.6 Équations di�érentielles du 2nd ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.6.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665.6.3 Forme des solutions de l’équation complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1675.6.4 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1685.6.5 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6 Suites numériques 171

6.1 Généralités sur les suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.1.1 Suites d’un ensemble quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.1.2 Suites majorées, minorées, bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.1.3 Suites réelles monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2 Limite d’une suite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.2.1 Limite finie ou infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175



6.2.2 Suites convergentes ou divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.2.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.2.4 Passage à la limite et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.3 Limites des suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3.1 Théorème de la suite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.3.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

6.4 Application des suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4.1 Notion de suite extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4.2 Limites et suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4.4 Partie dense dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.5 Extension aux suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.5.1 Limite d’une suite complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.5.2 Suites complexes bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.6 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.6.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.6.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.6.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.6.4 Solutions des récurrences linéaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1866.6.5 Suites définies par une relation u

n+1 = f(un

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1876.6.6 Exemples de suites définies par u

n+1 = f(un

) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

7 Limites, continuité 193

7.1 Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.1.1 Propriétés vraies « au voisinage d’un point » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.1.2 Limite d’une fonction f en un point a de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.1.3 Limite d’une fonction f en +Œ ou en ≠Œ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.1.4 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.1.5 Extensions de la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1977.1.6 Importance des limites à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997.1.7 Caractérisation séquentielle de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7.2 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.2.1 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2007.2.2 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2017.2.3 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

7.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.3.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.3.2 Caractérisation séquentielle de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2047.3.3 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

7.4 Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067.4.1 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2067.4.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206



7.4.3 Approximation d’un zéro par dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2077.4.4 Application continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2087.4.5 Continuité et stricte monotonie sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

7.5 Cas des fonctions continues complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107.5.1 Limite d’une fonction à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2107.5.2 Continuité en un point d’une fonction complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.5.3 Continuité d’une fonction complexe sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . 211

8 Dérivabilité 213

8.1 Nombre dérivé, fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.1.1 Dérivabilité en un point, nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2148.1.2 Notion de développement limité d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2158.1.3 Dérivabilité à gauche, à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2168.1.4 Dérivabilité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.1.5 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2178.1.6 Approximation d’un zéro par la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . 219

8.2 Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.2.1 Extremum local et point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2208.2.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2218.2.3 Égalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2228.2.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238.2.5 Dérivabilité et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2248.2.6 Théorème de la limite de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

8.3 Fonctions de classe C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.3.1 Fonctions de classe C k sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.3.2 Opérations sur les fonctions de classe C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.3.3 Théorème de classe C k par prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.4 Extension aux fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.4.1 Fonctions de classe C k à valeurs dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.4.2 Extension des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9 Analyse asymptotique 229

9.1 Rappels de quelques limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.2 Comparaison des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

9.2.1 Domination, négligeabilité, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2329.2.2 Utilisation des notations de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2339.2.3 Traduction des croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.2.4 Opérations sur les équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.2.5 Limites usuelles et équivalents de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

9.3 Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.3.1 Domination, négligeabilité, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.3.2 Propriétés des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2369.3.3 Conseils pour utiliser les équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237



9.3.4 Comparaisons usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2389.4 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

9.4.1 DL, unicité des coe�cients, troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2399.4.2 Développement limité en 0 et parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.4.3 Développements limités et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2409.4.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.5 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.5.1 Utilisation de combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.5.2 Produit de deux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2439.5.3 Composition de deux DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2449.5.4 Inverse d’un développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.5.5 Quotient de deux développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2459.5.6 Primitivation d’un DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.5.7 Dérivation d’un DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2469.5.8 Pratique des composition de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

9.6 Application des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2499.6.1 Équivalents et DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2499.6.2 Position par rapport à une tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2499.6.3 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

9.7 Exemples de développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549.7.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549.7.2 Quelques exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2549.7.3 Étude d’une suite définie implicitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.7.4 Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

10 Arithmétique dans Z 257

10.1 Divisibilité et division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.1.1 Divisibilité dans Z, diviseurs, multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25810.1.2 Théorème de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

10.2 Pgcd et algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.2.1 Pgcd de a, b dans N (avec a ”= 0 ou b ”= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26110.2.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26210.2.3 Un peu de programmation Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.2.4 Quelques propriétés du pgcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26410.2.5 Relation de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26510.2.6 Ppcm de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

10.3 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.3.1 Couples d’entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.3.2 Le théorème de Bézout et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26910.3.3 Pgcd de plusieurs entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27010.3.4 Entiers premiers entre eux dans leur ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

10.4 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273



10.4.1 Définition et « premières » propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27310.4.2 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27510.4.3 Un peu de programmation Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

10.5 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27910.5.1 Congruence modulo un entier sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27910.5.2 Opérations sur les congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11 Structures algébriques 281

11.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28211.1.2 Exemples de lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28311.1.3 Élément neutre et inversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28511.1.4 Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28611.1.5 Partie stable pour une loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

11.2 Groupes et sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.2.1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28811.2.2 Sous-groupe : définition, caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

11.3 Structures d’anneau et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29111.3.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29111.3.2 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29111.3.3 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

12 Polynômes, fractions rationnelles 293

12.1 Anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29512.1.1 Suites à support fini de K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29512.1.2 L’anneau des polynômes K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29612.1.3 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29712.1.4 Degré d’une somme ou d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29812.1.5 Composition de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29812.1.6 Divisibilité dans K[X], diviseurs, multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29912.1.7 Polynômes associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30012.1.8 Théorème de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

12.2 Fonctions polynomiales, racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30212.2.1 Fonction polynomiale associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30212.2.2 Racines (ou zéros) d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.2.3 Nombre maximum de racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30412.2.4 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30412.2.5 Identification entre polynômes et fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . 30512.2.6 Relations entre coe�cients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

12.3 Dérivation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30712.3.1 Dérivée formelle d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30712.3.2 Formule de Taylor polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

12.4 Arithmétique dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310



12.4.1 Pgcd de deux polynômes A et B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31012.4.2 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31012.4.3 Relation de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31112.4.4 Ppcm de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31212.4.5 Couples de polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31312.4.6 Pgcd et ppcm de plusieurs polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31412.4.7 Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

12.5 Polynômes irréductibles et factorisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31612.5.1 Polynômes irréductibles de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31612.5.2 Décomposition en irréductibles dans C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31712.5.3 Décomposition en irréductibles dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

12.6 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32012.7 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

12.7.1 La construction du corps K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32212.7.2 Degré, partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32412.7.3 Zéros et pôles, multiplicités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

12.8 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32612.8.1 Décomposition en éléments simples dans C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32612.8.2 Décomposition en éléments simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32712.8.3 Cas d’un pôle simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32812.8.4 Décomposition en éléments simples de P

Õ/P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

12.8.5 Pratique de la décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 32912.8.6 Compléments sur quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

13 Espaces vectoriels 333

13.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33413.1.1 Espace vectoriel sur K, avec K = R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33413.1.2 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33413.1.3 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

13.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.2.1 Notion de sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.2.2 Droites vectorielles et plans vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.2.3 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

13.3 Familles génératrices, libres. Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.3.1 Familles génératrices, familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.3.2 Bases et coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

13.4 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34413.4.1 Somme de deux sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34413.4.2 Couples de sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34413.4.3 Somme d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

13.5 Espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34613.5.1 Existence de bases en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346



13.5.2 Dimension d’un espace de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34613.5.3 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34813.5.4 Exemples d’espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

13.6 Sous-espaces et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35213.6.1 Dimension d’un sous-espace d’un espace de dimension finie . . . . . . . . . . . . 35213.6.2 Supplémentaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35313.6.3 Dimension d’une somme sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

14 Applications linéaires, sous-espaces a�nes 355

14.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35614.1.1 Notion d’application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35614.1.2 Premiers exemples d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35614.1.3 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.1.4 Applications linéaires et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

14.2 Endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.2.1 Structure d’anneau de (L(E), ¶, +) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.2.2 Le groupe linéaire (GL(E), ¶) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.2.3 Projections et symétries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

14.3 Détermination des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36214.3.1 Applications linéaires et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36214.3.2 Restrictions aux sous-espaces d’une somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . 36314.3.3 Isomorphismes et dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36314.3.4 Applications linéaires de rang fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36414.3.5 Le théorème du rang et ses conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

14.4 Formes linéaires, hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36614.4.1 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36614.4.2 Hyperplans vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36714.4.3 Systèmes d’équations de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

15 Sous-espaces a�nes 371

15.1 Points et vecteurs, translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37215.2 Sous-espaces a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

15.2.1 Translaté d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37315.2.2 Dimension d’un sous-espace a�ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37315.2.3 Points alignés, points coplanaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37415.2.4 Exemples de sous-espaces a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

15.3 Paramétrage d’un sous-espace a�ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37615.4 Parallélisme et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

15.4.1 Parallélisme de sous-espaces a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37715.4.2 Intersection de sous-espaces a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

15.5 Équation cartésienne d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37915.5.1 Équation cartésienne d’un hyperplan de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37915.5.2 Droites a�nes de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380



15.5.3 Plans a�nes de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38115.6 Systèmes d’équations d’un sous-espace a�ne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

15.6.1 Intersection de p hyperplans a�nes de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38315.6.2 Système d’équations d’un sous-espace de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

15.7 Barycentres et repères a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38615.7.1 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38615.7.2 Barycentres et sous-espaces a�nes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

16 Calcul matriciel 389

16.1 Espaces de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39016.1.1 Matrices à n lignes et p colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39016.1.2 Structure d’espace vectoriel de M

n,p

(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39216.1.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

16.2 Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39516.2.1 Produit des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39516.2.2 La non-commutativité du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39616.2.3 Propriétés du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39716.2.4 Une justification du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39716.2.5 Produits, lignes et colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39916.2.6 Produits de matrices de la base canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

16.3 Calculs sur les matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40116.3.1 L’anneau (M

n

(K), +, ◊) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40116.3.2 La formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40316.3.3 Matrices nilpotentes ou diviseurs de zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40316.3.4 Calcul des puissances d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40516.3.5 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40716.3.6 Calcul de l’inverse d’une matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

16.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41116.4.1 Propriétés de la transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41116.4.2 Matrices symétriques ou antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

16.5 Calculs par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41416.5.1 Décompositions en blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41416.5.2 Opérations sur les décompositions en blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

17 Matrices et systèmes linéaires 419

17.1 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42017.1.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42017.1.2 Matrice d’une appn linéaire dans un couple de bases . . . . . . . . . . . . . . . . 42017.1.3 Coordonnées de l’image d’un vecteur par une appn linéaire . . . . . . . . . . . . 42117.1.4 Propriétés opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

17.2 Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42517.2.1 Matrice de passage d’une base à une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42517.2.2 E�et d’un changement de base(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425



17.2.3 Matrices équivalentes et matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42617.2.4 Réduction de la matrice de f à une forme J

r

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42717.2.5 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

17.3 Trace d’une matrice, d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42917.3.1 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42917.3.2 Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

17.4 Noyau, image et rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43117.4.1 Application linéaire canoniquement associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43117.4.2 Noyau, image et rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43117.4.3 Matrices équivalentes et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43417.4.4 Rang et matrices extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

17.5 Calcul e�ectif du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43617.5.1 Matrices échelonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43617.5.2 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43617.5.3 Calcul du rang par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43817.5.4 Calcul de l’inverse par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

17.6 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44317.6.1 Généralités et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44317.6.2 Interprétations d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44317.6.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44517.6.4 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44617.6.5 Résolution par la méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

18 Déterminants 449

18.1 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45018.1.1 Permutations de l’ensemble E

n

= {1, . . . , n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45018.1.2 Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45018.1.3 Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45218.1.4 Décomposition en produit de cycles à supports disjoints . . . . . . . . . . . . . . 45218.1.5 Décomposition en produit de tranpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45318.1.6 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

18.2 Formes n-linéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45518.2.1 Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45518.2.2 Formes multilinéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45518.2.3 Application « déterminant dans une base » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45618.2.4 Relation entre applications « déterminant dans une base » . . . . . . . . . . . . 457

18.3 Déterminant d’un endomorphisme, d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45818.3.1 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45818.3.2 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

18.4 Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46118.4.1 Déterminants et opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46118.4.2 Développement d’un déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461



18.4.3 Comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46218.4.4 Quelques déterminants particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

18.5 Déterminants et orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46518.5.1 Orientation d’un espace de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46518.5.2 Si n = 2, le déterminant est une aire orientée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46618.5.3 Si n = 3, le déterminant est un volume orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

19 Espaces préhilbertiens réels 469

19.1 Produit scalaire, norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47019.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47019.1.2 Norme et distance associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

19.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47319.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47319.2.2 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47419.2.3 Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47419.2.4 Calculs dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

19.3 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47719.3.1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47719.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

19.4 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48019.4.1 Supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48019.4.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48019.4.3 Distance à un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

19.5 Hyperplans a�nes d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48319.5.1 Vecteur normal à un hyperplan d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . 48319.5.2 Équations d’un hyperplan dans un repère orthonormal . . . . . . . . . . . . . . 48319.5.3 Calcul de la distance à un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48419.5.4 Orientation d’un hyperplan par un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

19.6 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48619.6.1 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48619.6.2 Symétries vectorielles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

19.7 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48819.7.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48819.7.2 Matrices orthogonales positives ou négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48919.7.3 Isométries positives, négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

19.8 Isométries en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49119.8.1 Matrices orthogonales de taille 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49119.8.2 Angle de rotations et de vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49119.8.3 Isométries d’un plan euclidien orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493



20 Intégration 495

20.1 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49620.2 Continuité par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

20.2.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49820.2.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49920.2.3 Intégrale des fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

20.3 Intégrale sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50120.3.1 Définition de l’intégale sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50120.3.2 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50220.3.3 Extension de la définition et nouvelle notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50320.3.4 Intégrale d’une fonction continue de signe constant . . . . . . . . . . . . . . . . 50420.3.5 Sommes de Riemann de f sur [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50420.3.6 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

20.4 Intégrale et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50620.4.1 Dérivée de x ‘æ

⁄x

0f(t) dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

20.4.2 Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50620.4.3 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

20.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

21 Séries numériques 511

21.1 Séries convergentes ou divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51221.1.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51221.1.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51321.1.3 Propriétés des séries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

21.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51521.2.1 Convergence par utilisation de comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51521.2.2 Utilisation des séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51621.2.3 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

21.3 Représentation décimale des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

22 Ensembles finis, probabilités 519

22.1 Ensembles finis, dénombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52022.1.1 Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52022.1.2 Calculs de quelques cardinaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52122.1.3 p-listes et combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52222.1.4 Rappels sur les coe�cients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

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