TD4 - Cycle 2 Chap3 : Fonction de Transfert 1

MPSI

C2 Analyser, expérimenter et modéliser les systèmes linéaires continus invariants

TD4 CHAPITRE 3 : FONCTION DE TRANSFERT DE SYSTEMES

COMPLEXES

EXERCICE 1 Modélisation d’une servocommande d’avion

(Inspiré de CCP MP 2009)

Pour piloter un avion, il est nécessaire de pouvoir

contrôler en permanence ses évolutions dans

l’espace suivant trois directions ou axes :

l'axe de lacet (vertical) ;

l'axe de roulis (horizontal et dans la

(horizontal et perpendiculaire à la

marche).

Pour cela, le pilote agit sur les commandes de vol de l’avion. En pratique, on distingue deux types de commandes :

les commandes de vol primaires utilisées pendant tout le vol et qui permettent de contrôler l’évolution de

l’avion autour de ses axes de référence :

- la gouverne de direction ou gouvernail pour le lacet,

- les ailerons et les spoilers pour le roulis,

- les gouvernes de profondeur et le plan horizontal réglable (PHR) pour le tangage.

Les commandes de vol secondaires utilisées pendant les phases d’atterrissage et de décollage qui permettent

de modifier la configuration aérodynamique de l’avion :

- Les hypersustentateurs (volets et becs) pour la portance,

- les spoilers (ou aérofreins) pour la traînée.

L’Airbus A 380 est équipé de quatre gouvernes de profondeur disposées symétriquement sur le plan horizontal

réglable (PHR) de l’avion. Chaque gouverne de profondeur est reliée au PHR par des charnières et est mis en rotation

par une unité de commande constituée de deux actionneurs :

une servocommande (SC), actionneur principal relié au circuit hydraulique de l’avion;

un EHA (Electro Hydraulic Actuator : actionneur électro-hydrostatique), utilisé comme organe de sécurité en

cas de défaillance de la servocommande ou du circuit hydraulique principal.

Ces unités de commande sont identiques pour les quatre gouvernes de profondeur.

TD4 - Cycle 2 Chap3 : Fonction de Transfert 2

Les consignes émises par le pilote à l’aide du joystick ou par le pilote automatique sont transmises aux ordinateurs de

commande de vol. Ces derniers déterminent, en fonction de lois de pilotage prenant en compte un certain nombre de

paramètres (altitude, vitesse, etc.), les mouvements des gouvernes limitant éventuellement les évolutions de l'avion

à son enveloppe de vol, c'est-à-dire aux régimes et attitudes sûrs.

TD4 - Cycle 2 Chap3 : Fonction de Transfert 3

Etude de la servocommande :

Les différentes équations du modèle de connaissance sont les suivantes :

Amplificateur différentiel : C s

a

i tu t u t

K

( )( ) ( )

Débit dans le vérin dans le cas d’une hypothèse de fluide incompressible : ( )

( )dx t

q t Sdt

Capteur de position : ( ) ( )s Cu t K x t

Le servo-distributeur est un composant de la chaine de commande conçu pour fournir un débit hydraulique

q(t) proportionnel au courant de commande i(t). (Attention, valable uniquement en régime permanent) Le

constructeur fournit sa fonction de transfert : ( )

( )( ) 1

dQ p KF p

I p T p

où Kd est le gain du servo-

distributeur et T sa constante de temps.

1. Modélisation dans l’hypothèse de fluide incompressible

Q1.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les

conditions initiales sont nulles.

Q1.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel.

Q1.3. Regrouper les schémas-blocs partiels afin de représenter le comportement de la servocommande.

Q1.4. Calculer les fonctions de transfert suivantes et donner à chaque fois la classe et l’ordre.

Fonction de transfert du vérin non asservi : 1

( )( )

( )

X pA p

Q p

Fonction de transfert de la chaine directe

Fonction de transfert boucle ouverte du système

Fonction de transfert boucle fermée du système

2. Modélisation dans l’hypothèse de fluide compressible

Dans cette hypothèse, le modèle de connaissance du système est modifié :

L’équation de débit dans le vérin devient : ( ) ( )

( )2

dx t V d p tq t S

dt B dt

où Δp(t) représente la différence

de pression entre les 2 chambres du vérin, V est le volume total de fluide dans le vérin (V est constant) et B

est le coefficient de compressibilité du fluide hydraulique (pour un fluide incompressible B→∞).

Effort moteur sur le piston : ( ) ( )mF t S p t

Principe fondamental de la dynamique appliqué sur la tige de vérin :

TD4 - Cycle 2 Chap3 : Fonction de Transfert 4

( ) ² ( )

( ) ( )²

m r

dx t d x tF t F t f m

dt dt où F r(t) représente l’effort résistant sur la tige du vérin, effort qui

sera considéré comme une perturbation et f représente le frottement visqueux.

Q2.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les

conditions initiales sont nulles.

Q2.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel.

Q2.3. Regrouper les schémas-blocs partiels. Afin de représenter le comportement de du vérin non-asservi (grandeur

d’entrée Q(p), grandeur de sortie X(p)). Le schéma-bloc contiendra un retour et une perturbation.

Q2.4. Calculer la nouvelle fonction de transfert du vérin non asservi : 2

( )( )

( )

X pA p

Q p en supposant que la perturbation

Fr(t) est nulle. Donner à chaque fois la classe et l’ordre de A2(p).

Q2.5. Quelle est la modification apportée par le modèle de fluide incompressible ?

EXERCICE 2 Exercices d’algèbre des schémas-blocs

Calculer les fonctions de transfert des schémas blocs suivants :

EXERCICE 3 REGULATEUR DE VITESSE

Un régulateur de vitesse est un dispositif électronique permettant au conducteur de ne plus se soucier d’ajuster en

permanence la vitesse de son véhicule : le calculateur prend en charge l’accélérateur afin de maintenir la vitesse

( )v t au plus près de la consigne ( )cv t demandée par le conducteur.

Exigences Critère Niveau

Le régulateur doit être stable Période des oscillations Dépassement

Nulle

Le régulateur doit être précis Erreur statique Nulle

Le système doit être suffisamment rapide

Temps de réponse à 95% de la valeur finale

<20s

pertF

TD4 - Cycle 2 Chap3 : Fonction de Transfert 5

La figure montre l’architecture de l’asservissement :

L’ensemble de la motorisation est modélisée par un gain 25mK N liant la commande des injecteurs ( )iC t

à la force de traction exercée par les roues sur le véhicule ( )mF t .

Une perturbation due au vent ou aux côtes applique un effort pertF non prévisible sur le véhicule.

L’application du principe fondamental de la dynamique au véhicule conduit à l’équation liant la force total

( ) ( ) ( )pert mF t F t F t à la vitesse ( )v t : ( ) ( ) ( )dv

m t F t f v tdt où m=900 Kg est la masse et

130f Nsm un facteur de frottement aérodynamique.

Le compteur de vitesse, de gain unitaire Kc, mesure la vitesse ( )v t et fourni l’information ( )mv t qui est

comparé à la vitesse consigne.

Le correcteur ( )C p établi à partir de l’écart la commande ( )iC t . Dans une première approximation, la carte

de commande est modélisée par un gain 1( ) 5PC t K sm .

Q1 L’asservissement est-il régulateur ou suiveur ?

Q2 Transformer dans le domaine de Laplace l’équation de comportement du véhicule, dans l’hypothèse des

conditions initiales nulles.

Q3 Recopier le schéma blocs du système asservi en remplaçant chaque composant par sa fonction de transfert.

On se place dans le cas où il n’y a pas de vent donc pas de perturbation : 0pertF

Q4 Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte ( )

( )

mV p

p

Q5 Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée ( )

( )c

V p

V p

Q6 Mettre la fonction de transfert en boucle fermée sous la forme canonique : 1

K

p. Déterminer K et .

Q7 Déterminer le temps de réponse à 95% de la valeur finale et comparer la valeur obtenue à celle exigée par le

cahier des charges.

Q8 Déterminer à l’aide du théorème de la valeur finale lim ( )t

v t

pour une entrée en échelon 0( ) ( )cv t V u t qui

s’écrit par la transformée de Laplace 0( )c

VV p

p .

Q9 Peut-on en conclure que le système est précis ?

Correcteur Motorisation Véhicule

Compteur

cV iC

mV

V mF