ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINIS

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Etude d’une cheminée, éléments finis

Dans cette étude nous étudions le dimensionnement d’une cheminée haubanée à l’aide de la méthode des éléments finis conduite sur une feuille de calcul EXCEL et une étude sur ANSYS.

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Sommaire

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Présentation du système

Schéma

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISLe système est une cheminée maintenue par deux haubans fixés à deux tiers de sa hauteur totale.

Le système est décomposé en 13 nœuds : Les deux haubans sont modélisés par des barres (nœuds 1-8, et 2-8).La cheminée est modélisée par une poutre (nœuds 3 à 13).

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h

H

α

1 3 2

Modélisation éléments finis de la cheminée + haubans

Section cheminéeRint et Rext

Section haubans D

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Hypothèses

Le problème est considéré comme plan (simplification).

La cheminée travaille en traction-compression et en flexion et les haubans travaillent en traction-compression.

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Les forces en présence sont :

Le poids propre de la cheminée, La force du vent qui s’exerce sur la cheminée (force linéaire q).

La force du vent sur les haubans ainsi que leur poids propre sont négligés devant celle qui s’exerce sur la cheminée.

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISLa cheminée et les deux haubans sont encastrés au sol.

Données

Toutes les données sont saisies sur EXCEL© et pourront être modifiées à volonté afin d’obtenir lesrésultats pour de nouvelles données.

Données du problème :

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Donnéesunités SI (saufindication)

H 20 h 10 α 30 degrés

α0,52359877

6 radiansR intérieur 0,45

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISR extérieur 0,5

D 0,03 Vitesse vent 20

Ρ air 1,2 Cx 1,15

Force ventlinéaire 276 E acier 2,1E+11 Ρ acier 7800

g 9,81

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Section cheminée :

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Re=500mm

e=50 mm

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Etude sur EXCEL©

Obtention de la matrice de rigidité (feuille 1)

On sait que la matrice de rigidité d’une poutre de Bernoulli est de la forme :

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISA partir de cette matrice de rigidité pour un élément de poutre, on établit les différentes matrices pour chaque élément de la cheminée ainsi que pour les deux haubans (d’abord dans le repère local puis dans le repère global -> voir ci-dessous pour voir comment nous sommes passé de l’un à l’autre).

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Ensuite on assemble les différentes matrices établies ci-dessus (12 matrices !!!) afin d’obtenir la matrice de rigidité globale du système.

Matrices force et déplacement (feuille 2)

Conditions initiales :

Les conditions initiales résultent de l’encastrement des haubans et de la cheminée.

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Ainsi les nœuds 1, 2, 3 auront un déplacement nul.

D’où : u1=0 v1=0 θ1=0, u2=0 v2=0 θ2=0, u3=0 v3=0 θ3=0

Les autres déplacements étant inconnus et donc cherchés.

Ensuite on calcule les forces qui s’exercent sur chaque nœud.

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISPour le calcul de forces exercées par le poids propre, on considère que la moitié du poids de chaque

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élément s’exerce sur chaque nœud. Poids pour un élément (nœud 3 à 13) : [−P200

−P200

]

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Force du vent pour un élément (3 à 12) : [0qL2

qL ²120qL2

−qL ²12

] avec q=F vent

h+H

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Pour le calcul des forces exercées par le vent, nous avons utilisé le modèle suivant.

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qL²/2

-qL²/2

q.L/2

q.L/2

L, I, E, S

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Calcul des déplacements et efforts (feuilles 3 et 4)

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KK qq FF

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISCalcul des efforts

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K-1K-1

Fext

Fext

Déplacements

Déplacements

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISCalcul des déplacements

Graphiques (feuille 5)

On représente la flèche obtenue sur un graphe. La valeur de la flèche est augmentée d’un facteur 10000 pour pouvoir bien la visualiser.

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-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

30

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Déplacements

Sans déformation

Avec déformation

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Etude sur ANSYS©

Modélisation du système – Preprocessor

Element type / Addo Link 2D spar 1 pour les haubans

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISo Beam 2D elastic 3 pour la cheminée

Material Props / Material Modelso Structural / Linear / elastic -> EX = 2.1E+011

PRXY = 0.33 Sections

o Cheminée : Ri=0.45, Ro=0.5o Haubans : R :0.015

Modeling

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISo Create keypoints / In active CS -> on crée les points correspondant aux extrémités des

haubans et de la cheminéeo Create lines / Straight lines -> on relie les points entre eux par des lignes aux bons

endroits (de façon cohérente avec la modélisation de la cheminée que l’on a en tête) Meshing / Mesh Tool

o Set Global / Element type = 1 (cheminée) puis Set lines, on sélectionne les deux lignesde la cheminée et on les divise en 5 éléments

o Set Global / Element type = 2 (cheminée) puis Set lines, on sélectionne les deux lignesdes haybans et on les divise en 1 élément

o Mesh

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINIS Loads / Define Loads / Apply / Structural

o Displacement : On fixe les pieds des haubans selon Ux et Uy On fixe le pied de la cheminée intégralement (ALL DOF)

o Pressure / on elements : On applique sur les éléments de la cheminée la force linérairedue au vent (constante = 276 N/m)

o Inertia / Gravity / Global : on applique à l’ensemble du système la constanted’accélération de la gravité (=9.81 m/s²)

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISCalculs : Solution

Solve / Current LS

Analyse des résultats : Post processor

Plot results / Deformed shape : on peut visualiser la déformée. On restrouve un déplacementmax selon x très similaire à notre modélisation sous excel (=0.002425m)

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINIS List results / Nodal solution : on peut également visualiser les déplacements selon x et y des

différents nœuds pour les comparer avec l’excel

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISModèle de base et modèle déformé.

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISDéplacement selon UX

Déplacement selon UY

ANSYS 2,19E-03 1,63E-04

Excel-

0,00254117

-0,0001630

76Erreur (%) -1,39E+01 -6,49E-02

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISOn trouve 14% d’erreur selon x au nœud 13, ce qui est non négligeable. On en déduit qu’il y a une légère différence dans nos deux modélisations. On gardera alors la valeur la plus importante de la flèche lors de notre dimensionnement.

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Vérification des résultats pas la théorie des

poutres

On calcule la flèche théorique au nœud 13.

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La formule issue des la théorie des poutres pour un diamètre nul des haubans est :

f =q× l4

8× EI

Soit f = 7,88 mm.

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ETUDE D’UNE CHEMINÉE, ÉLÉMENTS FINISPar la feuille Excel (éléments finis, haubans de diamètre nul), on trouve 8,18 mm.

Ce qui nous donne une erreur relative de : ε=¿ 0,036 soit 3,6% d’erreur.

Ce faible pourcentage nous permet donc de valider notre étude éléments finis.

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Conclusion

Nous avons donc dans ce modèle dimensionné la cheminée par deux méthodes différentes (EXCEL©

et ANSYS©). En confrontant théorie et calculs, on trouve une certaine cohérence entre les résultats.Les écarts proviennent des écarts entre les valeurs des données utilisées.

On pourrait augmenter le nombre de nœuds pour affiner les calculs et être plus précis dans lamodélisation de la cheminée…

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