cinÉmatique du point. cinÉmatique du solide...

Sciences Industrielles pour l’Ingénieur MPSI - PCSI

Vecteur vitesse ; accélération ; composition, torseur cinématique 1

CINÉMATIQUE du point. CINÉMATIQUE du solide indéfor mable. Cours précédent : CINE_01 : Sommaire : I. BUT DE LA CINEMATIQUE. II.NOTION DE REFERENCE . II.1. Solide / repère de référence. II.2. Système de référence ou référentiel. III. TRAJECTOIRES . POSITION, PARAMETRAGE

III.1. TRAJECTOIRE III.2. POSITION, PARAMETRAGE d’un solide

Hélice moderne contra-rotative SNECMA

IV. LIAISON ENTRE DEUX SOLIDES. LES LIAISONS SIMPLES. Surfaces élémentaires de liaison. Mouvements permis. Paramétrage.

V. CHAINE DE SOLIDES. MECANISME. SCHEMATISATION V.1. Types de chaînes de solides : V.2. Loi entrée/sortie géométrique. Bouclage géométr ique. Bouclage angulaire.

Cours CINE_02 : Sommaire :

I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. II.VECTEUR POSITION. VECTEUR VITESSE. VECTEUR ACCELERATION. DEFINITIONS. III. POSITION ANGULAIRE. VITESSE ET ACCÉLÉRATION AN GULAIRE. IV. CALCUL D’UN VECTEUR VITESSE ET D’UN VECTEUR AC CELERATION.

IV-1) Rappel : Dérivation dans une base B 0 d’un vecteur connu par ses coordonnées dans la bas e B 0 IV-2) Dérivation dans une base B 0 fixe d’un vecteur connu par ses coordonnées dans u ne base B 1

mobile. V- COMPOSITION DU VECTEUR ROTATION. VI- HYPOTHESE D’UN SOLIDE INDEFORMABLE VII- CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D’UN SOL IDE.

VII-1) Propriété de changement de point du vecteur vitesse. X-2) Equiprojectivité . VII-3) Torseur cinématique (Outil mathématique de description et de calcul, pour le champ des vecteurs

vitesses d'un solide) X-4) Propriété de l’outil torseur . VIII- CHAMP DES VECTEURS ACCELERATION DES POINTS D’ UN SOLIDE. IX- COMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ET ACCÉLÉRATI ONS.

IX-1) Composition des vecteurs vitesses IX-2) Comp osition des vecteurs accélérations

I. PRESENTATION. PERFORMANCES CINEMATIQUES. Exemple en imagerie médicale : performances de préc ision de positionnement, vitesses, accélérations et lois de mouvements maitrisés dans des mouvements composés.

Lire Concours Centrale - Supélec 2009, SII – MP : Angiographie « bi-plan » :

fig.1 : Système biplan Innova. General Electric

Healthcare Axes de prise de vue : L : latéral, F : frontal.

fig.2 : Mouvements de l’armature latérale R : axes de rotation, et

T : direction de la translation

L

F

R3

R2

T1

x y

z

TF

DF

TL

DL

DL

HF

RP

CA

TL



II.VECTEUR POSITION. VECTEUR VITESSE. VECTEUR ACCELERATION. DEFINITIONS.

II.1. VITESSE. On appelle vitesse d’un point M,

à l’instant t, par rapport à un repère R (origine O),

la dérivée du vecteur position OM par rapport au

temps dans le repère R .

(((( ))))R

dtOMd

R/SMV

====∈∈∈∈ en m/s

Exemple :

(((( ))))0

33 03

RdtOOd

/OV

====∈∈∈∈

Le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire du point O3,

à l’instant t.

Rappel : Solide i = repère i

S3= R 3 et S0 = R 0

II.2. ACCÉLÉRATION.

On appelle accélération d’un point M, à l’instant t, par rapport à un repère R (origine O), la dérivée du vecteur vitesse

( )R/SMV ∈ par rapport au temps dans le repère R.

(((( )))) (((( ))))R

dtR/SMVd

R/SM

∈∈∈∈====∈∈∈∈ΓΓΓΓ en m/s2

III- VECTEUR VITESSE DE ROTATION. VECTEUR ACCELERAT ION ANGULAIRE.

Le vecteur (((( ))))12 R/RΩΩΩΩ est un vecteur libre qui mesure la vitesse angulaire de changement d’orientation de la base de R2 par rapport à la base de R1, autour de l’axe de rotation.

Exemple : (((( )))) (((( ))))1212 y,yz,zrrrr ========αααα

(((( ))))12 R/RΩΩΩΩ a pour direction 1xr

et sa mesure

algébrique sur 1xr

est égale à la vitesse angulaire αααα&

(((( )))) 121112 x.xR/Rrr

& ωωωω====⋅⋅⋅⋅αααα====ΩΩΩΩ Unités : radians/seconde (rad/s).

Autres appellations :

(((( ))))12 R/RΩΩΩΩr

est appelé vecteur rotation (ou taux de rotation) du repère R2 par rapport à R1.

1xr

= 2xr

12/ΩΩΩΩ

αααα

αααα y2

y1

z2 z1

x2 = x1

3OO

)/O(V 033∈∈∈∈

Carlingue 1 (fixe ici avec le sol)

Hélice 2 (liaison pivot/carlingue 1)



Accélération angulaire :

(((( ))))12 R/Rdtd ΩΩΩΩ

rest appelé vecteur accélération angulaire du repère R2 par rapport à R1.

1xr

= 2xr

12/ΩΩΩΩ selon 1xr

12 /dtd ΩΩΩΩ

rselon 1x

r

Comme (((( )))) 112 xR/Rr

& ⋅⋅⋅⋅αααα====ΩΩΩΩ est un produit de deux termes, attention à l’expression de la dérivée. Mais dans l’exemple simple ci-dessus comme

1xr

est fixe, on a simplement :

(((( )))) 121

112 x.dt

dx.R/R

dtd rr

&&r ωωωω====αααα====ΩΩΩΩ

notations :

2121

2

2

ωωωω====ωωωω====αααα====

αααα&&&

dtd

dt

)t(d

unité : [rd/s2] IV- CALCUL D’UN VECTEUR VITESSE ET D’UN VECTEUR ACCELERATION.

IV-1) Rappel : Dérivation dans une base B0 d’un vecteur connu par ses coordonnées dans la base B0

(((( ))))0000 z,y,xBBaserrr

On pose (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 000 ztZytYxtXtUrrrr

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 000

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 000000B

ztZytYxtXzdt

tZdy

dttYd

xdt

tXddtUd r

&r

&r

&rrr

r

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

000

000

0

IV-2) Dérivation dans une base B0 fixe d’un vecteur connu par ses coordonnées dans une base B1 mobile.

(((( )))) (((( ))))00001111 z,y,xBBase,z,y,xBBaserrrrrr

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 111 ztZytYxtXtUrrrr

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅==== 111

(((( )))) UR/RdtUd

dtUd

BB

∧∧∧∧ΩΩΩΩ++++

====

01

10

rr

Ex: (((( )))) (((( ))))0101 y,yx,xrrrr ========αααα donc (((( )))) 10 z.z.R/R

r&

r& αααα====αααα====ΩΩΩΩ 01

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) )ztZytYxtX(z.ztZytYxtXdtUd

1111111B

rrrr&

r&

r&

r&

r

⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅∧∧∧∧αααα++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

111111

0

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 11111B

ytXxtYztZytYxtXdtUd r

&r

&r

&r

&r

&

r

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅αααα++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅αααα−−−−⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====

11111

0

αααα

αααα

x1

x0

y1 y0

z1 = z0

Carlingue 1 (fixe ici avec le sol)




V- COMPOSITION DU VECTEUR ROTATION.

Application aux angles d’Euler : La base B3 a pivotée autour des axes de B0 . Dans

l’espace on a au plus 3 rotations indépendantes. Donc, pour repérer B3 dans B0 , il

nous faut au plus 3 paramètres (angles) indépendants. Habituellement, on utilise les angles d’Euler (φ, θ, ψ). Exemple :

( ) ( ) ( ) ( )0000111122223333 z,y,xBBasez,y,xBBasez,y,xBBasez,y,xBBaserrrrrrrrrrrr

⇒⇒⇒

( ) ( ) ( ) ( )01122303 R/RR/RR/RR/R Ω+Ω+Ω=Ω

(((( )))) 012 z.x.y.R/Rr&r&r

& φφφφ++++θθθθ++++ψψψψ====ΩΩΩΩ 03

Autre exemple : Manège Magic Arm :

Vitesse angulaire Nacelle 3/ Bras 2 :

(((( )))) 332 z./r&θθθθ====ΩΩΩΩ 23

Vitesse angulaire Bras 2/ Bras 1 :

(((( )))) 12 x.x./r&r&

212112 θθθθ====θθθθ====ΩΩΩΩ

Vitesse angulaire Bras 1/ Embase 0 :

(((( )))) 01 x.x./r&r&

101001 θθθθ====θθθθ====ΩΩΩΩ

Composition des vitesses angulaires :

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))01122303 //// ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ

(((( )))) 11332 x.x.z./r&r&r&

102103 θθθθ++++θθθθ++++θθθθ====ΩΩΩΩ

(((( )))) 1332 x).(z./r&&r&

102103 θθθθ++++θθθθ++++θθθθ====ΩΩΩΩ

φφφφ

φφφφ

X1

X0

Y1 Y0

θθθθ

θθθθ

Y2

Z2

Y1

Z1

ψψψψ

ψψψψ

Z3

X3

Z2

X2

Z1 = Z0 Y3 = Y2 X2 = X1

Nacelle 3

(liaison pivot 3/2, angle θθθθ32

autour de 3zr

) Bras 2

(liaison pivot 2/1, angle θθθθ21

autour de 2xr

= 1xr

)

3zr

1xr

Bras 1 (liaison pivot 1/0, angle

θθθθ10 autour de 1xr

)



VI- HYPOTHÈSE D’UN SOLIDE INDÉFORMABLE. On appelle solide indéformable (S1) un ensemble de points dont les distances mutuelles sont invariantes dans le temps. ∀ A ∈ S1, ∀ B ∈ S1 : AB = constante

On attache au solide S1 un repère

R 1 )z ,y ,x ,(O 1111

rrr (appelé repère propre).

Le solide S1 est mobile par rapport à R 0.

L’étude du mouvement de S1/R 0 revient à

celle du mouvement de R 1/R 0.

Pour connaître la position d’un solide, il suffit de connaître les coordonnées de trois de

ses points. En l’absence de toutes contraintes extérieures, le mouvement de R 1/R 0

dépend de six paramètres indépendants (6 degrés de liberté). Remarque : si on met à part les composants dont la déformabilité est fonctionnelle (ressorts, rondelles, joints, etc....) les pièces d’un mécanisme peuvent en première approximation, être modélisées par des solides indéformables afin d’étudier leurs mouvements relatifs ; en revanche, les phénomènes mettant en jeu la déformabilité des solides (vibrations par exemple) ne peuvent être appréhendés avec un tel modèle. VII- CHAMP DES VECTEURS VITESSE DES POINTS D’UN SOLIDE.

VII-1) Propriété de changement de point du vecteur vitesse.

Soit un solide S1 en mouvement par rapport à un repère R 0 .

Considérons deux points A et B de ce solide, on sait, d’après le cours précédent que :

AB)R/S(dt

ABd

dt

ABd01

RR 10

∧Ω+

=

or 0dt

ABd

1R

=

car solide indéformable ; et

0101

00

R/SAR/SB

RR

VVdt

)OAOB(d

dt

ABd∈∈ −=

−=

rr

donc AB)R/S(VV 01R/SAR/SB 0101∧Ω=− ∈∈

rr

Finalement : )R/S(ABVV 01R/SBR/SA 0101Ω∧+= ∈∈

rr

Les vecteurs vitesses des points d’un solide vérifient donc bien la relation de changement de point d’un torseur. Ce qui valide l'écriture d'un torseur cinématique

du solide S1 en mouvement par rapport à R 0 .



Champ des vecteurs vitesses pour un simple mouvemen t de rotation : Dessiner sur la figure ci-dessous, les vecteurs vitesses des points A, B, C. Représenter le champ des vitesses le long des rayons OA, OB, OC.

Champ des vecteurs vitesses pour un simple mouvemen t de translation :

01/CV ∈∈∈∈ = 01/IV ∈∈∈∈ = 01/KV ∈∈∈∈ = 01/JV ∈∈∈∈ =… car mouvement de translation donc 001r

====ΩΩΩΩ / Composition des vitesses au point C de l’hélice : (à construire sur la vue de dessus)

Voir explications générales en page 9 suivante.

0/11/20/2 ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈ ++++==== CCC VVV

Sol 0

Carlingue 1

Hélice 2


Carlingue 1

C

B

12/AV ∈∈∈∈

12/BV ∈∈∈∈

12/CV ∈∈∈∈

A

Carlingue 1

Sol 0

01/CV ∈∈∈∈

01/IV ∈∈∈∈ 01/JV ∈∈∈∈

01/KV ∈∈∈∈

0/1∈∈∈∈OV

C

C 0/1∈∈∈∈CV

0/2∈∈∈∈CV

1/2∈∈∈∈CV



VII-2) Equiprojectivité.

0Yo

Zo

Ro

S

A

B

V(B∈S/Ro)

V(A∈S/Ro)

X0

définition d'un solide : te2

CAB = ∀A et ∀B ∈S donc en dérivant par rapport au temps :

0dt

ABd.AB.2

dt

ABd

00RR

2r

=

=

00

00

R/SAR/SB

RR

VVdt

)OAOB(d

dt

ABd∈∈ −=

−=

rr

en remplaçant ci-dessus , on obtient : 00 R/SAR/SB V.ABV.AB ∈∈ =

rr ou

AB.VB∈S/Ro. cosθB = AB. VA∈S/Ro.cosθA (θB et θA sont les angles de direction des vitesses par rapport à la droiteAB)

Le champ des vecteurs vitesses d’un solide indéformable est équiprojectif.

A une date t donnée, les projections orthogonales des vecteurs

( ) ( )Ro/SBVetRo/SAV ∈∈rr

sur la droite (AB) sont égales.

Remarque : Les projections orthogonales de vecteurs sur un axe sont des nombres algébriques ; il faut donc faire attention à construire ces projections du même coté par rapport respectivement aux points A et B (voir figure précédente). VII-3) Torseur cinématique (Outil mathématique de description et de calcul, pour le champ des vecteurs vitesses d'un solide)

Le torseur cinématique au point A, ( ou torseur distributeur des vitesses) d’un solide S en

mouvement par rapport à un repère R, noté AR/Sϑ , est l’ensemble définit par :

un vecteur

z

y

x

R/S

ω

ωω

=Ω appelé

vecteur vitesse de rotation du solide S en

mouvement par rapport à un repère R

un champ de vecteurs Az

Ay

Ax

V

V

V

)R/SA(V ====∈∈∈∈ appelé vecteur vitesse de déplacement

du point A du solide S en mouvement par rapport à un repère R tel que pour tout

autre point B du solide S, on ait )R/S(BA)R/SA(V)R/SB(V Ω∧+∈=∈

Formule de changement de point ou de réduction en un autre point (Formule dite de Varignon ou formule « BABAR »)

Le torseur cinématique ϑS R A/ , réduit au

point A, du solide S dans son mouvement

par rapport à RRRR s’écrit donc de la façon

suivante :

)z,y,x(,AAzz

Ayy

Axx

AR/S

V

V

V

rrr

ωωωωωωωωωωωω

====ϑϑϑϑ

En doc annexe, tableau des liaisons avec leur torseur cinématique.



VII-4) Propriété de l’outil torseur.

• Egalité : Deux torseurs sont égaux si, lorsqu’ils sont réduit au même point, leurs composantes sont égales .

• Addition : L’addition de deux torseurs se fait en un même point.

• Torseur "couple" : (⇒ mouvement de translation)

( ) ( ) ( ) SN,M,0Ro/SNVRo/SMVavecRo/SMV

0

M

MR/S ∈∀∀≠∈=∈

∈=ϑ

r

• Torseur glisseur : (⇒ mouvement de rotation autour d'un axe (pivot) ou d'un point (rotule))

( )A

AR/S0

Ro/S

Ω=ϑ Le point A est un point de l’axe central ∆ de ce torseur.

• Axe central : On appelle axe central la droite formée par tous les points M du

torseur où la vitesse S/Ro)V(M, a même direction que ( )Ro/SΩ .

( ) ( ) 0R/SMVR/Sr

=∈∧Ω

( )( )

O

OR/SR/SOV

R/S

∈Ω=ϑ ( ) ( )

( ) ∆∈Ω

∈∧Ω=⇒ HetR/S²

R/SOVR/SOH

VIII- CHAMP DES VECTEURS ACCELERATION DES POINTS D’UN SOLIDE.

Soit un solide S en mouvement par rapport à un repère R 0 . Considérons deux points

A et B de ce solide, on sait, d’après les paragraphes précédents que :

)R/S(AB)R/SB(V)R/SA(V 000 Ω∧+∈=∈ dérivons cette relation par

rapport au temps : ( ) ( )

Ro

0

RoRodt

))R/S(AB(d

dt

Ro/SBVd

dt

Ro/SAVd

Ω∧+

∈=

∈

)R/S(dt

)AB(d

dt

)R/S(dAB)R/SB()R/SA( 0

RoRo

000 Ω∧

+

Ω∧+∈Γ=∈Γ

or )R/SA(V)R/SB(Vdt

)AB(d00

Ro

∈−∈=

et en remplaçant avec la relation sur

les vitesses : )R/S(ABdt

)AB(d0

Ro

Ω∧−=

Finalement :

))R/S(AB()R/S(dt

)R/S(dAB)R/SB()R/SA( 00

Ro

000 Ω∧∧Ω+

Ω∧+∈Γ=∈Γ

Conclusion : Le champ des vecteurs accélérations d'un solide ne vérifie pas la

propriété de changement de point du "moment" d'un torseur



IX- COMPOSITION DES VECTEURS VITESSES ET ACCÉLÉRATIONS. Soit un solide S en mouvement par rapport à deux repères )z ,y ,x ,(OR 11111

rrret

)z ,y ,x ,(OR 00000

rrr eux mêmes en mouvement l’un par rapport à l’autre.

Soit P un point du solide S. Ici S est l'hélice de l'avion P est le point extrémité d'une pale de l'hélice R0 est lié au sol R1 est lié à l'avion

IX-1) Composition des vecteurs vitesses

Cherchons la relation liant ( ) ( )10 R/SPVetR/SPV ∈∈ .

Par définition ( )Ro

0

dt

POdRo/SPV

=∈ Or POOOPO 1100 += donc

( ) ( )Ro

111

Ro

110

dt

POdRo/ROV

dt

)POOO(dRo/SPV

+∈=

+=∈

D'après la formule de dérivation vectorielle :

( ) POR/Rdt

POd

dt

POd101

R

1

Ro

1

1

∧Ω+

=

avec :

( )1

R

1 R/SPVdt

POd

1

∈=

alors : ( ) ( ) ( ) ( ) POR/RRo/ROVR/SPVRo/SPV 101111 ∧Ω+∈+∈=∈

dans cette relation, les deux derniers termes vérifient la propriété de changement de point du torseur cinématique du

mouvement de R1 par rapport à R0 : donc ( ) ( ) ( )Ro/RPVPOR/RRo/ROV 110111 ∈=∧Ω+∈ . C'est la vitesse du

point P considéré comme appartenant à R1 (point coïncidant P fixe dans R1 ) dans le mouvement de R1 par rapport à R0

Finalement : ( ) ( ) ( )0110 R/RPVR/SPVR/SPV ∈+∈=∈

Définitions : S'il n'y a pas d'ambiguïté possible, dans certaines applications concrètes ,

on peut nommer : ( )0R/SPV ∈ = vitesse absolue ( )1R/SPV ∈ = vitesse relative

( )01 R/RPV ∈ = vitesse d'entraînement

Voir exemple illustré page 6 précédente



IX-2) Composition des vecteurs accélérations

Cherchons la relation liant ( ) ( )10 R/SPetR/SP ∈Γ∈Γ . Nous avons écrit ci-dessus que :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) POR/RR/ROVR/SPVR/RPVR/SPVR/SPV 10101110110 ∧Ω+∈+∈=∈+∈=∈

en dérivant par rapport au temps …

On obtient finalement :

( ) ( ) ( ) ( ) )R/SP(VR/R.2R/RPR/SPR/SP 1010110 ∈∧Ω+∈Γ+∈Γ=∈Γ

Cette formule étant difficile à mémoriser, on a le plus souvent intérêt à calculer

( )0R/SP∈Γ en dérivant ( )0R/SPV ∈

Définitions : S'il n'y a pas d'ambiguïté possible, dans certaines applications concrètes, on peut nommer :

( )0R/SP∈Γ accélération absolue

( )1R/SP∈Γ accélération relative

( )01 R/RP∈Γ accélération d'entraînement

( ) =∈∧Ω )R/SP(VR/R.2 101 accélération de Coriolis

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