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Khôlles de mathématiques MPSI
Lycée militaire de Saint-Cyr
Guillaume Franchi
2015-2016
Table des matières
Thème 1 : Raisonnement et vocabulaire ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Thème 2 : Calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Thème 3 : Nombres complexes et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Thème 4 : Techniques fondamentales de calcul en analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A - Inégalités dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15B - Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16C - Primitives et équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Thème 5 : Arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Thème 6 : Nombres réels et suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Thème 7 : Structures algébriques usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Thème 8 : Limites et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Thème 9 : Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Thème 10 : Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Thème 11 : Analyse asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Thème 12 : Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63B - Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67C - Espaces vectoriels de dimension finie, hyperplans et formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . 69
Thème 13 : Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Thème 14 : Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Thème 15 : Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Thème 16 : Probabilités sur un univers fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Thème 17 : Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Thème 18 : Espaces préhilbertiens réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1
Thème 1: Raisonnement et vocabulaire ensembliste
Exercice 1.1
Écrire les implications ou équivalences suivantes :
1) [∀x ∈ E, p(x) et q(x)] .......... [∀x ∈ E, p(x)] et [∀x ∈ E, q(x)].2) [∃x ∈ E, p(x) et q(x)] .......... [∃x ∈ E, p(x)] et [∃x ∈ E, q(x)].3) [∀x ∈ E, p(x) ou q(x)] .......... [∀x ∈ E, p(x)] ou [∀x ∈ E, q(x)].4) [∃x ∈ E, p(x) ou q(x)] .......... [∃x ∈ E, p(x)] ou [∃x ∈ E, q(x)].
Dans les cas où il n’y a pas équivalence, trouver un contre-exemple pour l’implication fausse.
Exercice 1.2
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
1) ∃x ∈ Z, ∃y ∈ N, x ≤ −y2.2) ∃x ∈ Z, ∀y ∈ N, x ≤ −y2.3) ∀x ∈ Z, ∃y ∈ N, x ≤ −y2.4) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ N, x ≤ −y2.
Exercice 1.3
Si n est un entier naturel non nul et x un réel dans [0; 1], montrer l’inégalité :
1 − nx ≤ (1 − x)n ≤ 1 − nx
1 + (n− 1)x.
Exercice 1.4
1) Montrer que pour tout entier naturel n, 4n + 5 est un multiple de 3.2) Montrer que si 10n + 8 est un multiple de 9, 10n+1 + 8 l’est aussi. Que peut-on en déduire ?
Exercice 1.5
Étudier par récurrence la proposition :
∀n ∈ N, ∃q ∈ N, 32n+1 + 2n+2 = 7q.
Exercice 1.6
Étudier par récurrence la proposition :
P (n) : 10n − 1 est divisible par 9.
Exercice 1.7
Montrer que :
∀n ∈ N \ 0, 1,n∑
k=1
1k2
>3n
2n+ 1.
Exercice 1.8
Montrer que :
∀n ∈ N∗, 2n−1 ≤ n! ≤ nn.
Exercice 1.9
Calculer, en fonction de n ∈ N, le terme général de la suite définie par u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = 2un + 1.
2
Exercice 1.10
Soit (un)n∈N la suite réelle déterminée par u0 = 2, u1 = 3 et ∀n ∈ N, un+2 = 3un+1 − 2un.Montrer que :
∀n ∈ N, un = 2n + 1.
Exercice 1.11
Montrer que tout entier n ≥ 2 admet au moins un diviseur premier.
Exercice 1.12
Montrer que√
2 est irrationnel.
Exercice 1.13
Soient A,B,C trois parties d’un ensemble E. Montrer que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).
Exercice 1.14
Soient F,G,H trois sous-ensembles non vides d’un ensemble E.Justifier :
[(F ∪G) ⊂ (F ∪H) et (F ∩G) ⊂ (F ∩H)] ⇒ G ⊂ H.
Exercice 1.15 Formule du crible ou de Poincarré
On considère une famille (Ai)ni=1 de sous-ensembles d’un ensemble E fini.
Démontrer la relation :
Card
(n⋃
i=1
Ai
)
=n∑
k=1
(−1)k−1
∑
1≤i1<···<ik≤n
Card(Ai1∩ · · · ∩Aik
)
.
Exercice 1.16
Soient E,F,G trois ensembles et f : E → F et g : F → G deux applications bijectives. Montrer que g f estbijective et expliciter (g f)−1.
Exercice 1.17
Soient E,F,G trois sous-ensembles, f une application de E vers F , et g une application de F vers G.Montrer que :
a) g f injective =⇒ f injective
b) g f injective et f surjective =⇒ g injective
c) g f surjective =⇒ g surjective
d) g f surjective et g injective =⇒ f surjective.
Exercice 1.18
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x+√x2 + 1
1) Montrer que f est à valeurs dans R∗+.
2) Montrer que f est une bijection de R dans R∗+ et déterminer f−1.
3
Exercice 1.19
Soient E,F deux ensembles non vides et f une application de E dans F .
On considère g :
∣∣∣∣∣
P(E) −→ P(F )A 7−→ f(A)
et h :
∣∣∣∣∣
P(F ) −→ P(E)B 7−→ f−1(B)
.
Justifier :
a) f injective ⇐⇒ g injective
b) f injective ⇐⇒ h surjective.
Exercice 1.20
Soit E un ensemble non vide.On désigne par F l’ensemble des applications de E dans 0, 1.Montrer qu’on définit une application bijective G : P(E) −→ F en associant à tout A de P(E) l’élément de F
noté 1A défini par : 1A(x) =
1 si x ∈ A0 si x ∈ Ac .
Exercice 1.21
1) Soit f : N −→ N une application injective telle que : ∀n ∈ N, f(n) ≤ n.Montrer que :
∀n ∈ N, f(n) = n.
2) Déterminer les applications f : N −→ N telles que :
∀n ∈ N, f(n) + f(f(n)) + f(f(f(n))) = 3n.
Exercice 1.22
Existe-t-il une fonction surjective f : R −→ R telle que :
∀x ∈ R, f(f(x)) = f(x)2 ?
Exercice 1.23
Donner un exemple de bijection de R dans R non monotone.
Exercice 1.24
Soit f : R −→] − 1; 1[ définie par f(x) =x
1 + |x| .
Montrer que f est bijective, et préciser la bijection réciproque.
Exercice 1.25
Soit F la fonction de R dans R2 définie par :
∀t ∈ R, F (t) =
(
1 − t2
1 + t2;
2t1 + t2
)
.
1) Montrer que F est injective.
2) Montrer que F (R) ⊂ S1 = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 = 1.
3) On pose E = S1 \ (−1, 0). Montrer que F réalise une bijection de de R sur E, et déterminer la bijectionréciproque.
4
Exercice 1.26
Soit f l’application de C∗ dans C définie par f(z) =1z
.
1) f est-elle injective ? Surjective ?
On considère les ensembles E = z ∈ C | |z − 1| = 1 et F = z ∈ C | Re(z) =12
.
2) a) Si on identifie C au plan usuel, donner la nature géométrique de E et F et donner leurs équationscartésiennes.
b) Vérifier que f(E \ 0) ⊂ F .
c) Montrer que f induit une bijection de E \ 0 dans F .
Exercice 1.27
Sur R, on définit la relation x ∼ y ⇐⇒ x4 − 2x2 = y4 − 2y2.Montrer que c’est une relation d’équivalence et déterminer la nature des classes d’équivalence.
Exercice 1.28
Soient (E,≤) un ensemble ordonné et f : E −→ E une application telle que :
1) f est croissante
2) ∀x ∈ E, f(x) ≥ x
3) ∀x ∈ E, f(f(x)) = f(x).
On dit que f est une fermeture. Soit F = x ∈ E | f(x) = x.
1) Montrer que, pour tout x ∈ E, l’ensemble Fx = y ∈ F | y ≥ x est non vide et de plus petit élément f(x).
2) Soit G un sous-ensemble de E tel que pour tout x ∈ E, Gx = y ∈ G | y ≥ x admet un plus petit élémentnoté g(x).Montrer que g ainsi définie est une fermeture et que l’ensemble de ses éléments invariants est G.
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Thème 2: Calculs algébriques
Exercice 2.1
Calculer les sommes suivantes :
n∑
k=0
k ;n∑
k=0
k2 ;n∑
k=0
k3.
Exercice 2.2
Calculer les sommes suivantes :
∑
1≤i,j≤n
(i+ j) et∑
1≤i≤j≤n
i
j.
Exercice 2.3 Binôme de Newton
Soient a, b deux réels. Montrer que :
(a+ b)n =n∑
k=0
(
n
k
)
akbn−k.
Exercice 2.4
Montrer que pour tout n ∈ N∗ :
n∏
k=1
(4k − 2) =2n∏
k=n+1
k.
Exercice 2.5
Pour n ∈ N∗, on pose : Sn =n∑
k=1
k
(k + 1)!.
1) Calculer Sn pour n ∈ 1, 2, 3, 4.
2) Conjecturer une formule donnant Sn, puis la démontrer.
3) Simplifier1k!
− 1(k + 1)!
. Retrouver ainsi l’expression de Sn.
4) Calculer S′n =
n∑
k=1
k × k!.
Exercice 2.6
Pour p ∈ N, on pose Sp =n∑
k=1
kp.
1) Calculer S0 et S1.
2) Pour q ∈ N, calculerq∑
l=0
(
q + 1l
)
Sl.
3) En déduire S2 et S3.
6
Exercice 2.7
Soit n ∈ N. Calculer :
un =n∑
i=0
n∑
j=i
(
n
j
)(
j
i
)
.
Exercice 2.8
Montrer que pour tout entier n ≥ 1 et toute famille de n réels strictement positifs x1, . . . , xn :(
n∑
k=1
xk
)(n∑
k=1
1xk
)
≥ n2.
Exercice 2.9
Soit n ∈ N∗.
1) Montrer que :
∀k ∈ 1, . . . , n , 1k
(
n
k − 1
)
=1
n+ 1
(
n+ 1k
)
.
2) Montrer que :
n∑
k=1
(−1)k+1
k
(
n
k
)
=n∑
k=1
1k.
Exercice 2.10
1) Montrer que :
∀n ∈ N, Sn =n∑
i=0
n∑
j=0
2min(i,j) = 6 × 2n − 2n − 5.
2) Montrer que :
∀n ∈ N, Sn =n∑
i=0
n∑
j=0
2max(i,j) = (2n − 1)2n+1 + 3.
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Exercice 2.11 Inégalité de Laframboise
Soient n ∈ N∗ et x1, . . . , xn ∈ [−1; 1] tels que :n∑
k=1
xk = 0.
On veut montrer l’inégalité :
|x1 + 2x2 + · · · + nxn| ≤[
n2
4
]
, où [t] désigne la partie entière du réel t.
On pose S =n∑
k=1
kxk et Sk =k∑
i=1
xi. Enfin, on pose p =[n
2
]
.
1) Montrer que : S = −n−1∑
k=1
Sk.
2) Montrer que : ∀k ∈ 1, . . . , n− 1 , |Sk| ≤ n− k.
3) Montrer que : |S| ≤p∑
k=1
k +n−p−1∑
k=1
k.
4) En déduire l’inégalité annoncée. On pourra distinguer le cas n pair et le cas n impair.
Exercice 2.12 Inégalité de Tchebychev
Soient n ≥ 2 un entier et (ai)1≤i≤n, (bi)1≤i≤n deux listes finies croissantes de réels positifs ou nuls.
1) Montrer que :(
n∑
i=1
ai
)
×(
n∑
i=1
bi
)
≤ nn∑
i=1
aibi.
Indication : on pourra montrer que pour tout couple (i, j) ∈ 1, . . . , n2, on a (aj − ai)(bj − bi) ≥ 0.
2) En déduire que si a, b, c sont des réels positifs et n ∈ N∗ :
(a+ b+ c)n ≤ 3n−1(an + bn + cn).
3) Soient n ≥ 2 un entier et a1, a2, . . . , an des réels strictement positifs.
Pour 1 ≤ i ≤ n on pose ci =
n∑
j=1
aj
− ai. Montrer que :
n∑
i=1
ai
ci≥ n
n− 1.
Exercice 2.13
Discuter et résoudre le système :
x− λy + λ2z = λλx− λ2y + λz = 1λx+ y − λ2z = 1
d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et de paramètre λ ∈ R.
Exercice 2.14
Résoudre le système de paramètres complexes a, b, c deux à deux distincts.
x+ ay + a2z = a3
x+ by + b2z = b3
x+ cy + c2z = c3
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Exercice 2.15
Déterminer l’unique polynôme de degré 3 à coefficients dans R vérifiant :
P (1) = 0, P (−1) = −4, P (2) = 5, P (−2) = −15.
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Thème 3: Nombres complexes et trigonométrie
Exercice 3.1
Montrer que (C,+,×) est un corps.
Exercice 3.2
Soient z, z′ ∈ C. Montrer que :
|zz′| = |z| × |z′| et∣∣∣∣
z
z′
∣∣∣∣ =
|z||z′| .
Exercice 3.3 Inégalité triangulaire
Montrer que :
∀(z, z′) ∈ C2, ||z| − |z′|| ≤ |z − z′| ≤ |z| + |z′|.Étudier le cas d’égalité.
Exercice 3.4
Soit n ∈ N∗. Montrer que les racines nèmes de l’unité sont les nombres :
ξk = e2ikπ
n avec k ∈ 0, . . . , n− 1 .
Exercice 3.5
1) Montrer que la somme des racines n-èmes de l’unité (n ≥ 2) est nulle.
2) Montrer que le produit des racines n-èmes de l’unité vaut 1 ou -1.
Exercice 3.6
Montrer que pour tout z ∈ C :
|z| = 1 ⇐⇒ ∃θ ∈ R, eiθ = z.
Exercice 3.7
Montrer que :
|z − i| = |z + i| ⇐⇒ z ∈ R.
Exercice 3.8
Soit a un nombre complexe de module 1.Montrer que :
|1 + a| ≥ 1 ou |1 + a2| ≥ 1.
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Exercice 3.9
Soient a, b, c trois nombres complexes de module 1.
1) Montrer quea+ b
1 + abest réel.
2) Montrer que : |ab+ bc+ ca| = |a+ b+ c|.
Exercice 3.10
1) Soient z, z′ ∈ C. Montrer l’égalité suivante :
|z + z′|2 + |z − z′|2 = 2(|z|2 + |z′|2).
2) Soit u ∈ C tel que u2 = zz′. Montrer que :
|z| + |z′| =∣∣∣∣u+
z + z′
2
∣∣∣∣+
∣∣∣∣u− z + z′
2
∣∣∣∣ .
Exercice 3.11
Linéariser cos7 x.
Exercice 3.12
Linéariser sin6 x.
Exercice 3.13
Calculersin 6xsinx
en fonction de cos x.
Exercice 3.14
Soit x ∈ R.Calculer :
S =n∑
k=0
(
n
k
)
cos(kx) et T =n∑
k=0
(
n
k
)
sin(kx).
Exercice 3.15
Résoudre dans R2 le système suivant :
sinx+ sin y = sin acos x+ cos y = 1 + cos a
où a ∈ R.
Exercice 3.16
Déterminer :
1) les racines cinquièmes de −i
2) les racines sixièmes de−4
1 + i√
3.
11
Exercice 3.17
Calculer les racines quatrièmes de 28 − 96i.
Exercice 3.18
Résoudre l’équation :
z2 − 2(2 + i)z + 6 + 8i = 0.
Exercice 3.19
Résoudre l’équation :
iz2 + (4i− 3)z + i− 5 = 0.
Exercice 3.20
Résoudre l’équation :
16(z − 1)4 + (z + 1)4 = 0.
Exercice 3.21
On considère l’équation
(E) : (z + 1)5 = (z − 1)5.
1) Résoudre (E) en développant les deux membres de l’égalité.
2) Résoudre (E) en utilisant les racines cinquièmes de l’unité.
3) En déduire cos(π
5
)
et sin(π
5
)
.
Exercice 3.22
Soit f : R −→ C, x 7−→ 1 + ix
1 − ix.
1) f est-elle injective ? Surjective ?
2) Déterminer f−1(R).
3) Déterminer f(R).
Exercice 3.23
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère l’équation
(E) :(z + i
z − i
)n
=(
1 + i tan(α)1 − i tan(α)
)n
, avec α réel tel que α ∈]
−π
2;π
2
[
.
1) Simplifier1 + i tan(α)1 − i tan(α)
.
2) Résoudre l’équation (E).
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Exercice 3.24
Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe d’affixe z tels que :
1) Les points d’affixes z, z2 et1z
soient alignés.
2) Les points d’affixes i, z et iz soient alignés.
3) Les points d’affixes 1, z et z2 forment un triangle rectangle.
Exercice 3.25
Soient A,B,C trois points du plan complexe d’affixes respectives a, b et c.
1) Montrer que ABC est un triangle équilatéral direct si, et seulement si a+ bj + cj2 = 0.
2) Montrer que ABC est un triangle équilatéral si, et seulement si a2 + b2 + c2 = ab+ bc+ ac.
On rappelle que ABC est un triangle équilatéral direct si C est l’image de B par une rotation d’angleπ
3et de
centre A.
Exercice 3.26
Résoudre dans R les équations suivantes :
1) cos x−√
3 sinx = 1
2) cos(2x) − 5 cos x+ 3 = 0.
3) a cos(2x) = 4 sin x où a ∈ R.
4) cos x+ cos 2x+ cos 3x = 0.
Exercice 3.27
Soient θ ∈ R non multiple de π et t = tan(θ
2
)
.
1) Exprimer cos θ et sin θ en fonction de t.
2) Résoudre l’équation :
(√
3 + 1) cos x+ (√
3 − 1) sin x+√
3 − 1 = 0.
Exercice 3.28
Résoudre dans R les équations suivantes :
1) cos(
2x− π
3
)
= sin(
x+3π4
)
2) cos4 x+ sin4 x = 1
3) sin x+ sin(2x) + sin(3x) = 0
4) 3 cos x−√
3 sin x =√
6
Exercice 3.29
Montrer qu’une transformation du plan f est une similitude directe si, et seulement si, il existe (a, b) ∈ C∗ ×C
tels que : ∀z ∈ C, f(z) = az + b.
Exercice 3.30
Soit f une similitude directe. Montrer que f est soit une translation, soit la composée d’une homothétie etd’une rotation que l’on précisera.
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Exercice 3.31
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation qui à tout point M d’affixe z associele point M ′ d’affixe :
1) z′ = (1 − i)z + 3i ;
2) z′ =12z + 3 − i ;
3) z′ = iz + 5 − 2i ;
4) z′ = z + 1 − 2i ;
5) z′ =1 + i
√3
2z − 1.
Exercice 3.32
On désigne par f l’application de C dans C définie par :
∀z ∈ C, f(z) = (1 + i)z − i.
1) Déterminer la nature de f ainsi que ses éléments caractéristiques. On appelle A l’unique point invariant def .
2) Montrer qu’il existe une unique point B d’affixe z0 distinct de A tel que z0f(z0) = 1.
3) Soient A′ le symétrique de A par rapport à O l’origine et B′ le point image de B par f . Montrer que lespoints A,A′, B,B′ sont cocycliques.
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Thème 4: Techniques fondamentales de calcul en analyse
A - Inégalités dans R
Exercice 4.1 Inégalité triangulaire
Soient a, b ∈ R, montrer que :
||a| − |b|| ≤ |a− b| ≤ |a| + |b|.
Exercice 4.2
Soit m ∈ R. Discuter et résoudre :
x−m
m − 2> 3 − x.
Exercice 4.3
Discuter et résoudre suivant les valeurs du paramètre réel m :
m
x− 3>
2x+ 1
.
Exercice 4.4
Résoudre l’inégalité :
x− 1 ≤√x+ 2.
Exercice 4.5
m désignant un paramètre réel, résoudre :
√2x+m ≥ x+ 1.
Exercice 4.6
Résoudre :
√
3 − 4 cos2 x > 1 + 3 sin x.
Exercice 4.7
Soient X et Y deux sous-ensembles de R. Prouver ou réfuter les implications suivantes :
1) (X majoré et Y ⊂ X) =⇒ (Y majoré) ;
2) (X et Y majorés) =⇒ (X ∪ Y majoré) ;
3) (X et Y majorés) =⇒ (X + Y majoré) ;
4) (X et Y majorés) =⇒ (X − Y majoré) ;
5) (X majoré) =⇒ (R \X minoré) ;
6) (X borné) =⇒ (R \X non borné).
Exercice 4.8
Soient X et Y deux parties non vides de R. On suppose que X ⊂ Y et que Y est majorée.Montrer que X est majorée et que sup(X) ≤ sup(Y ). Donner un exemple où X 6= Y et sup(X) = sup(Y ).
15
B - Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles ou complexes
Exercice 4.9
Montrer que :
∀x, y > 0, ln(xy) = lnx+ ln y.
Exercice 4.10
Déterminer, sur leur domaine de dérivabilité, les dérivées des fonctions :
1) x 7−→ xn, n ∈ N ;
2) x 7−→ √x ;
3) x 7−→ 1x
.
Exercice 4.11
Soit f : I 7−→ R une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R.Montrer que si f est dérivable en a ∈ I, alors f est continue en a.
Exercice 4.12
Soit f : I 7−→ R une fonction, où I est un intervalle de R. Montrer que si F est une primitive de f sur I, alorsl’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble des fonctions de la forme F + λ, λ ∈ R.
Exercice 4.13
Soit f : R 7−→ R une fonction.Montrer que f s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Exercice 4.14
Pour tout entier n ≥ 1, on pose un =n∑
k=1
sin(k
n2
)
.
1) Montrer que :
∀x ≥ 0, x− x3
6≤ sinx ≤ x.
2) En déduire que la suite (un) converge, et déterminer sa limite.
Exercice 4.15
1) Montrer que :
∀x ≥ 0, x− x2
2≤ ln(1 + x) ≤ x.
2) En déduire la valeur de :
limn→+∞
n∏
k=1
(
1 +k
n2
)
.
16
Exercice 4.16
Déterminer toutes les fonctions f : R∗+ −→ R dérivables vérifiant :
∀x, y ∈ R∗+, f(xy) = f(x) + f(y).
Exercice 4.17
On pose f(x) = ln(√
x2 + 1 − x)
.
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .
2) Montrer que la fonction f est impaire.
3) Étudier les variations de la fonction f .
Exercice 4.18
On pose f(x) = x2 + lnx.
1) Montrer que f est une bijection de R∗+ dans un ensemble à préciser. On note g son application réciproque.
2) Montrer que g est dérivable sur son ensemble de définition et exprimer g′ en fonction de g.
Exercice 4.19
Étudier les variations des fonctions suivantes :
1) f(x) = x√
1 − x2.
2) g(x) = x2 + 1 − 2x
.
3) h(x) = (x− 1)e
x
x− 1 .
Exercice 4.20
1) Montrer que :
∀α, β > 0, limx→+∞
(lnx)β
xα= 0 et lim
x→0xα |lnx|β = 0.
2) Montrer que :
∀α, β > 0, limx→+∞
exp(βx)xα
= +∞ et limx→−∞
|x|α exp(βx) = 0.
Exercice 4.21
Montrer que :
limx→0
1 − cosxx2
=12.
17
Exercice 4.22
Soit f : R 7−→ R une fonction impaire, de classe C∞.Montrer que :
∀k ∈ N, f (2k)(0) = 0.
Exercice 4.23
Montrer que pour tous a, b ∈ R :
ch(a+ b) + sh(a+ b) = (cha+ sha)(chb+ shb)
et
ch(a+ b) − sh(a+ b) = (cha− sha)(chb− shb).
En déduire l’expression de ch(a+ b) et sh(a+ b) en fonction de cha, chb, sha, shb.
Exercice 4.24
Soit f : [0; 1] −→ [0; 1] une fonction croissante.On souhaite montrer que f admet un point fixe,
i.e ∃ ℓ ∈ [0; 1], f(ℓ) = ℓ.
1) On pose A = x ∈ [0; 1] | f(x) ≥ x. Montrer que A possède une borne supérieure.
2) On note c = sup (A). Montrer que c ∈ [0; 1].
3) Montrer que c ≤ f(c) puis montrer que f(c) ∈ A.
4) Conclure.
Exercice 4.25
Résoudre dans(R∗
+
)2 le système suivant :
2 logx(y) + 2 logy(x) = −5xy = e
Exercice 4.26
Résoudre dans R :
ln(|x+ 1|) − ln(|2x+ 1|) ≤ ln(2).
Exercice 4.27
Déterminer :
limx→+∞
(xx)x
x(x2).
Exercice 4.28
Résoudre l’équation :
x√
x = (√x)x.
18
Exercice 4.29
Simplifier les expressions suivantes :
1)ch(ln x) + sh(lnx)
x
2) sh2x cos2 y + ch2x sin2 y.
Exercice 4.30
Résoudre dans R l’équation ch(x) = 2.
Exercice 4.31
Montrer que :
∀x ∈]0; 1[, xx(1 − x)1−x ≥ 12.
Exercice 4.32
Déterminer pour n entier naturel non nul fixé la dérivée d’ordre n de la fonction f définie par :
1) Pour x > −1, f(x) = xn−1 ln(1 + x).
2) Pour x > 0, f(x) = xn−1 ln(x).
Exercice 4.33
Montrer que :
arctan(ex) − arctan(
th(x
2
))
est une constante C à déterminer.
Exercice 4.34
Montrer que :
∀u ∈ [−1; 1], arccos u+ arcsinu =π
2.
Exercice 4.35
1) Résoudre l’équation :
arccos(
15
)
+ arccos(
14
)
= arcsin(x).
2) Calculer :
arccos(
9√82
)
+ arcsin(
4√41
)
.
19
Exercice 4.36
Résoudre les équations suivantes :
1) arctan x+ arctan 2x =π
4
2) arcsin x+ arcsin(√
1 − x2)
=π
2
3) 2 arcsin x = arcsin(
2x√
1 − x2)
.
Exercice 4.37
On considère l’équation
(E) : arccos x = arcsin 2x.
1) En étudiant la fonction f(x) = arccos x− arcsin 2x, montrer que (E) admet une unique solution.
2) Simplifier l’expression cos (arcsin y).
3) En déduire la solution de (E).
Exercice 4.38 Une formule due à John Machin
1) Montrer que :
tan(x+ y) =tan x+ tan y
1 − tan x tan y
pour toutes les valeurs de x et y telles que l’expression précédente ait un sens.
2) En déduire que : tan(
4 arctan15
)
=120119
.
3) Montrer que :
4 arctan15
− arctan1
239=π
4.
20
C - Primitives et équations différentielles linéaires
Exercice 4.39
Énoncer et démontrer le théorème d’intégration par parties.
Exercice 4.40
Énoncer et démontrer le théorème de changement de variables.
Exercice 4.41
Déterminer une primitive sur [−1; 1] de f(x) =√
1 − x2.
Exercice 4.42
Calculer les primitives suivantes :
1)∫
e2x sin 3x dx
2)∫
ln2 x dx
3)∫
x
cos2 xdx
4)∫
arctan x dx
Exercice 4.43
Calculer les primitives suivantes :
1)∫
dx
x(x2 + 1)2)∫
x− 1x2 + 2x+ 1
dx 3)∫
x
x2 − x+ 1dx
Exercice 4.44
Calculer les primitives suivantes :
1)∫
dx
2 + cos x2)∫
dx
1 + sinx− cos x3)∫
dx
sin x+ cosx
Exercice 4.45
Calculer les primitives suivantes :
1)∫
sin2 x cos3 x dx
2)∫
sin3 x cos4 x dx
3)∫
sin4 x dx
4)∫
cos4 x sin2 x dx
Exercice 4.46
Calculer les primitives suivantes :
1)∫
x√
1 + x dx 2)∫
x3e2x dx 3)∫
x2 lnx dx
21
Exercice 4.47
Déterminer, là où elles existent, les primitives de :
1) f(x) =sin x
sin2 x− cosx
2) f(x) =cosx
sinx cos 2x
Exercice 4.48
Déterminer, là où elle existe, une primitive de :
f(x) =1
2chx+ shx+ 1.
Exercice 4.49
Calculer :
I =∫ 1
0x arctan2(x) dx.
Exercice 4.50
Calculer :
I =∫ 2π
0e−x sin2 x dx.
Exercice 4.51
Calculer pour x ∈ R :
F (x) =∫ x
0
chtet + 1
dt.
Exercice 4.52
Pour x > 0, on pose :
f(x) =∫ x
1
x
ln t(1 + t)2
dt.
Montrer que : ∀x > 0, f(x) = 0.
22
Exercice 4.53
1) Soit f une fonction continue sur un segment [a; b], à valeurs réelles ou complexes telle que :
∀x ∈ [a; b], f(a+ b− x) = f(x).
Montrer que :
∫ b
axf(x) dx =
a+ b
2
∫ b
af(x) dx.
2) Calculer :
∫ π
0
x sinx1 + cos2 x
dx.
Exercice 4.54 Lemme de Riemann-Lebesgue
Soit f une fonction de classe C1 sur un segment [a; b], à valeurs réelles ou complexes.Montrer que :
limn→+∞
∫ b
af(t) cos(nt) dt = lim
n→+∞
∫ b
af(t) sin(nt) dt = 0.
Exercice 4.55
On considère l’équation :
(E) : y′(x) = a(x)y(x)
où a : I 7−→ R est une fonction continue sur un intervalle I de R.Déterminer l’ensemble des solutions y de cette équation.
Exercice 4.56
Résoudre sur R l’équation différentielle :
ty′ − 2y = t3.
Exercice 4.57
On considère l’équation :
(E0) : ay′′ + by′ + cy = 0.
Montrer que la fonction φr(t) = ert est solution de (E0) si, et seulement si ar2 + br + c = 0.
Exercice 4.58
Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles sur lesquels la fonction en facteur de y′ nes’annule pas :
1) y′ + 2y = x2 − 2x+ 3
2) (x ln x)y′ − y = − 1x
(ln x+ 1)
3) y′ + y =1
1 + ex
4) y′ sinx− y cos x+ 1 = 0
23
Exercice 4.59
Soit f la fonction nulle sur R− et égale à 1 sur R∗+. Trouver les solutions de l’équation :
y′(x) + f(x)y(x) = 0
sur l’intervalle [−1; 1].
Exercice 4.60
1) Résoudre sur ]0; +∞[ l’équation différentielle :
y′ − y
x= x2.
2) Résoudre sur ] − π
2;π
2[ l’équation différentielle :
y′ − y tan x = − cos2 x.
Exercice 4.61
Résoudre les équations différentielles :
1) (1 + x2)y′ = y arctan x
2) y′ − xy = x sin(x2)
Exercice 4.62
Résoudre l’équation différentielle :
(E) : y′ = |y − x|.
Exercice 4.63
Résoudre l’équation différentielle :
(E) : y′ + y − y2 = 0.
Exercice 4.64
Résoudre l’équation différentielle :
(E) : y′ = (y − x)2.
Exercice 4.65
Résoudre l’équation différentielle :
(E) : y′ + xy = x3y3.
Exercice 4.66
Résoudre l’équation différentielle :
(E) : (1 − x3)y′ + 2xy2 − x2y − 1 = 0.
24
Exercice 4.67
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1) y′′ + 4y = 4 + 2x− 8x2 − 4x3
2) y′′ + 2y′ + y = 2e−x
3) y′′ − 4y′ + 4y = xch(2x)
Exercice 4.68
Résoudre les équations différentielles suivantes :
1) y′′ + y′ − 6y = 1 − 8x− 30x2
2) y′′ − 3y′ + 2y = (−3x2 + 10x− 7)ex
3) y′′ + y′ − 2y = 8 sin(2x)
Exercice 4.69
Résoudre l’équation différentielle :
(E) : y′′ − 4y′ + 3y = x2ex + xe2x cos x.
Exercice 4.70
1) Résoudre sur R l’équation différentielle :
y′′ − 2y′ + y = ex. (1)
2) Considérons l’équation différentielle :
x2y′′ − xy′ + y = x
pour x ∈ R∗+.
Montrer qu’en effectuant le changement de variable x = et, on peut se ramener à l’équation 1. En déduireles solutions de cette équation.
Exercice 4.71
Soit α ∈ R. On cherche l’ensemble Sα des fonctions f ∈ C1(R) telles que :
∀x ∈ R, f ′(x) = −f(α− x).
1) Montrer qu’une telle fonction est de classe C2 sur R.
2) Montrer que les éléments de Sα sont solutions d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2 que l’on précisera.
3) Conclure.
Exercice 4.72
Trouver toutes les fonctions f : [0; 1] −→ R dérivables telles que :
∀x ∈ [0; 1], f ′(x) + f(x) = f(0) + f(1).
25
Exercice 4.73
On recherche les applications f : R −→ R autres que la fonction nulle, deux fois dérivables telles que :
∀x, y ∈ R, f(x+ y) + f(x− y) = 2f(x)f(y). (1)
Considérons, s’il en existe, une application f : R −→ R non nulle, deux fois dérivable solution de 1.
1) Montrer que :
∀x, y ∈ R, f ′′(x)f(y) = f(x)f ′′(y).
En déduire que f est solution d’une équation différentielle du type :
y′′ = ay (2)
2) Déterminer suivant les valeurs de a les solutions de 2.
3) Montrer que f(0) = 1 et que f est paire.
4) En déduire toutes les fonctions solutions de 1.
Exercice 4.74
Déterminer les fonctions f dérivables sur R telles que :
∀x ∈ R, f ′(x) + f(−x) = ex.
Exercice 4.75
Déterminer toutes les fonctions f dérivables sur R telles que :
∀x ∈ R, f ′(x)f(−x) = 1.
On pourra considérer la fonction x 7−→ f(x)f(−x).
Exercice 4.76
Déterminer toutes les fonctions f dérivables sur R à valeurs dans [0;π] telles que :
∀x ∈ R, f ′(x) = sin(f(x)).
26
Thème 5: Arithmétique
Exercice 5.1
Soit n ∈ N avec n ≥ 2. Montrer que si n n’est pas premier, il existe p ≤ √n premier tel que p | n.
Exercice 5.2
Expliquer l’algorithme d’Euclide.
Exercice 5.3 Théorème de Bézout
Soient a, b ∈ Z. On note d = pgcd(a; b). Montrer qu’il existe (u, v) ∈ Z2 tel que : au+ bv = d.
Exercice 5.4 Lemme de Gauss
Soient a, b, c trois entiers. On note a ∧ b le pgcd de a et de b.
1) Montrer que : si a | bc et a ∧ b = 1, alors a | c.2) Montrer que si a | c et b | c avec a ∧ b = 1, alors ab | c.
Exercice 5.5
Pour tout n ∈ N, on note D(n) l’ensemble des diviseurs de n.Soient a, b deux entiers naturels, montrer que :
D(a) ∩ D(b) = D(a ∧ b).
Exercice 5.6
Soient a, b ∈ Z. Montrer que pour tout k ∈ Z :
(ka) ∧ (kb) = |k|(a ∧ b).
Exercice 5.7
Soient a, b ∈ Z, on note m = a ∨ b. Montrer que :
aZ ∩ bZ = mZ.
Exercice 5.8 Théorème fondamental de l’arithmétique
Soit n un entier avec n ≥ 2. Montrer qu’il existe r ≥ 1 un entier, p1 < · · · < pr des nombres premiers etα1, . . . αr des entiers naturels non nuls tels que :
n = pα1
1 . . . pαr
r .
Montrer l’unicité d’une telle décomposition.
Exercice 5.9
Pour tout n ∈ N, et tout nombre p premier, on note vp(n) la valuation p-adique de l’entier n.Soient a, b ∈ N, montrer que :
a | b ⇐⇒ (∀p ∈ P, vp(a) ≤ vp(b)) .
27
Exercice 5.10
Trouver le nombre d’entiers relatifs qui, dans la division euclidienne par 23, ont un quotient égal au reste.
Exercice 5.11
Soit n ∈ Z. Quel est le PPCM de n et de 2n+ 1 ?
Exercice 5.12
Résoudre dans Z l’équation :
378x+ 525y = 42.
Exercice 5.13
Résoudre dans Z l’équation :
520x + 1190y = 100.
Exercice 5.14 Petit théorème de Fermat
Soit p un nombre premier.
1) Soit k un entier tel que : 0 < k < p. Montrer que :(
p
k
)
est divisible par p.
2) Soient a, b ∈ Z, montrer que :p | (a+ b)p − ap − bp.
3) En déduire que :∀m ∈ N∗, p | (mp −m).
4) Montrer que si m et p sont premiers entre eux, alors :
p | (mp−1 − 1).
Exercice 5.15
Soient a ∈ Z et b ∈ N∗.Montrer que :
b−1∑
k=0
E
(a+ k
b
)
= E
(a
b
)
+ E
(a+ 1b
)
+ · · · + E
(a+ b− 1
b
)
= a.
Exercice 5.16
1) Soit n ∈ N. Montrer que : n est un carré dans N ⇐⇒ √n ∈ Q.
2) Soit (a, b) ∈ N2 avec√a+
√b ∈ Q. Montrer que a et b sont des carrés d’entiers.
28
Exercice 5.17
Montrer que la somme des cubes de trois entiers naturels consécutifs est toujours divisible par 9.
Exercice 5.18
Montrer par récurrence :
∀n ∈ N, 24n − 2 est divisible par 7.
Exercice 5.19
Montrer que pour tout n ∈ N :
27 |(
9n2 − 6n− 1 + (−2)n)
.
Exercice 5.20
Soit p un nombre premier avec p ≥ 5. Montrer que :
p2 − 1 est un multiple de 12.
Exercice 5.21
Montrer que si a et b sont des entiers non multiple de 5, alors un, et un seul des nombres a2 + b2 et a2 − b2 estmultiple de 5.
Exercice 5.22
Montrer que les entiers congrus à -1 modulo 8 ne peuvent être somme de trois carrés.
Exercice 5.23
Soit n ∈ N∗. Montrer que :
42 | (n13 − n).
Exercice 5.24
Trouver le reste de (7077)377 dans la division euclidienne par 11.
Exercice 5.25
Trouver le dernier chiffre de l’écriture décimale de 198719911993
.
Exercice 5.26
Existe-t-il des nombres premiers p tels que : 8p − 1 et 8p+ 1 soient tous les deux premiers ?
Exercice 5.27
Résoudre dans (N∗)3 l’équation :
1x
+1y
+1z
= 1.
Exercice 5.28
Soient a,m, n ∈ N∗ avec a ≥ 2 et d = (an − 1) ∧ (am − 1).
1) Soit n = qm+ r la division euclidienne de n par m. Démontrer que an est congru à ar modulo am − 1.2) En déduire que d = (ar − 1) ∧ (am − 1) puis que d = an∧m − 1.3) À quelle condition am − 1 divise-t-il an − 1 ?
29
Exercice 5.29 Nombres de Fibonacci
On considère la suite (Fn)n∈N définie par :
F0 = 0F1 = 1∀n ∈ N, Fn+2 = Fn + Fn+1
1) Montrer que :
∀n ∈ N∗, Fn−1Fn+1 − F 2n = (−1)n.
En déduire que pour tout n ≥ 1, Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.
2) Montrer que pour tout couple (n, p) ∈ N × N∗ :
Fn+p = FpFn+1 + Fp−1Fn.
En déduire que Fn ∧ Fp = Fn+p ∧ Fp.
3) Montrer que :∀(m,n) ∈ (N∗)2 , Fm ∧ Fn = Fm∧n.
Exercice 5.30
Soit n ∈ N∗. Montrer que parmi n entiers naturels donnés, on peut toujours en trouver certains dont la sommeest un multiple de n.
Exercice 5.31
Soit n ∈ N∗ et n = pα1
1 pα2
2 . . . pαr
r sa décomposition en facteurs premiers.
1) Calculer le nombre de diviseurs positifs de n.
2) Calculer la somme σ(n) des diviseurs positifs de n.
3) Montrer que si m et n sont deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, alors σ(mn) = σ(m)σ(n).
Exercice 5.32
Trouver n de la forme 3p5q sachant que le produit de ses diviseurs est 4542.
Exercice 5.33
Soit n ≥ 2 un entier et a ∈ Z premier avec n.Pour tout k ∈ N, on note rk le reste de la division euclidienne de ak par n.
1) Montrer que la suite rk est périodique.
2) Quel est le reste de la division euclidienne de 32014 par 5 ?
3) Montrer que 13 divise 3126 + 5126.
Exercice 5.34
Soit n un entier avec n ≥ 2.Montrer que si 2n − 1 est premier, alors n est premier.
Exercice 5.35
Soit m ∈ N∗ tel que 2m + 1 soit premier.Montrer que m est de la forme m = 2n où n ∈ N.
30
Exercice 5.36 Nombres de Fermat
Soit n ∈ N, on note Fn = 22n
+ 1.
1) Montrer que : ∀n ∈ N, Fn+1 = 2 + F0 × · · · × Fn.
2) Montrer que si n 6= m alors Fn et Fm sont premiers entre eux.
Exercice 5.37
Soit p un nombre entier tel que 2p − 1 soit premier. p est alors premier (démonstration facultative).
1) Montrer que le nombre n = 2p−1(2p − 1) est parfait, c’est à dire que 2n = σ(n) où σ(n) représente la sommede ses diviseurs positifs.
2) Montrer que tout nombre parfait pair est de la forme 2p−1(2p − 1) où p est premier.
Exercice 5.38
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 3.
Exercice 5.39
Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6k + 5.
Exercice 5.40
Pour n ∈ N∗, on note An l’ensemble des entiers naturels ne s’écrivant qu’avec que des 1 (en base 10) et avecun maximum de n chiffres 1. On a :
An =
1, 11, 111, . . . 11 . . . 1
︸ ︷︷ ︸
n chiffres
.
On note ϕn l’application de An+1 dans 0, . . . n− 1 telle que pour tout x de An+1, ϕn(x) est le reste de ladivision euclidienne de x par n.
1) Montrer que ϕn n’est pas injective.
2) Montrer qu’il existe x1 et x2 dans An+1 distincts tels que n divise x1 − x2.
3) En déduire que tout entier naturel nse terminant par 1, 3, 7, ou 9 admet un multiple dans l’écriture en base10 ne comporte que des chiffres 1. Que se passe-t-il pour les autres nombres entiers ?
Exercice 5.41
Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 9 et par la relation de récurrence un+1 = 3u4n + 4u3
n pour tout n ∈ N.Montrer que l’écriture décimale de u11 comporte plus de 2048 chiffres 9.
Indication : un entier naturel n se termine par k chiffres 9 si, et seulement si, n+ 1 est divisible par 10k.
Exercice 5.42
1) Soient α un entier naturel non nul, n un entier naturel non nul, et p un entier premier qui ne divise pas n.Que peut-on dire de (nα)p−1 − 1 ?
2) Soient α un entier naturel non nul, n et m deux entiers naturels non nuls et p un entier premier qui ne diviseni m, ni n. Que peut-on dire de (nα)p−1 − (mα)p−1 ?
3) Ici m et n sont des entiers premiers distincts et N = m60 − n60.Montrer que N est divisible par 56 786 730 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 31 × 61.
31
Exercice 5.43
On souhaite montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+1. Pour cela, on va supposerqu’il n’y a qu’un nombre fini de de nombres premiers de cette forme. On les note p1, p2, . . . pk et on pose a =
∏ki=1 pi
et N = a2 + 1.
1) Soit q un facteur premier de N . on suppose que q est de la forme 4n + 3, où n ∈ N. Montrer que q divisea4n+2 − 1, divise a4 − 1 et enfin divise a2 − 1. Conclure sur ce choix de q.
2) Justifier le fait que N contienne un facteur premier autre que 2. Quel est le reste de la division d’un telfacteur premier par 4 ?
3) Le facteur premier mis en évidence à la question précédente peut-il être un des nombres p1, . . . pk ? Conclure.
Exercice 5.44
Soit l’équation : (E) : ax2 + bx+ c = 0, où (a, b, c) ∈ Z3 avec ac 6= 0.Montrer que si une des solutions de (E) est rationnelle, alors l’un au moins des coefficients est pair.
Exercice 5.45
Montrer qu’il existe une unique application d de N∗ dans Z telle que :
• pour tout nombre premier p, d(p) = 1 ;
• ∀(u, v) ∈ (N∗)2, d(uv) = ud(v) + vd(u).
Résoudre l’équation d(n) = n.
Exercice 5.46
1) Soient a et b deux entiers tels que : 0 < a < b.Montrer que :
(a+ b) ∧ (a ∨ b) = a ∧ b.
2) Trouver a et b dans N∗ tels que :
a+ b = 144a ∨ b = 420
Exercice 5.47
Résoudre dans N∗ × N∗ l’équation :
xy = yx.
32
Thème 6: Nombres réels et suites numériques
Exercice 6.1
Montrer que Q et R \ Q sont des parties denses de R.
Exercice 6.2
Montrer que l’ensemble Q ne vérifie pas la propriété de la borne supérieure.
Exercice 6.3
Montrer que la racine carrée d’un nombre irrationnel positif est un irrationnel positif.
Exercice 6.4
Soient A et B deux parties non vides de R avec A bornée et B ⊂ A.Comparer sup A, sup B, inf A, inf B.
Exercice 6.5
Soit A une partie majorée de R avec sup A > 0.Montrer qu’il existe un élément de A strictement positif.
Exercice 6.6
Soient a et b deux réels strictement positifs. Les parties suivantes sont-elles majorées, minorées ? Si oui, quellessont leurs bornes supérieures, inférieures ?
1) A = a+ bn | n ∈ N.
2) B = a+ (−1)nb | n ∈ N.
3) C =
a+b
n| n ∈ N∗
.
4) D =
(−1)na+b
n| n ∈ N∗
.
5) E =
a+(−1)nb
n| n ∈ N∗
.
Exercice 6.7
Montrer que l’intersection de deux intervalles est un intervalle (éventuellement vide).Que peut-on dire de l’intersection de deux intervalles ouverts ? De deux intervalles fermés ?
Exercice 6.8
Soient A et B deux parties non vides et bornées de R.Montrer que A ∪B est non vide et bornée. Déterminer sup(A ∪B) et inf(A ∪B).
Exercice 6.9
Soient a et b deux réels. Montrer que :
1) a ≤ b =⇒ E(a) ≤ E(b).
2) E(a) + E(b) ≤ E(a+ b) ≤ E(a) + E(b) + 1.
33
Exercice 6.10
Soient x un nombre réel et n un entier naturel non nul. Montrer que :
E
(E(nx)n
)
= E(x).
Exercice 6.11
Montrer que la limite d’une suite réelle convergente est unique.
Exercice 6.12
Soit (un)n∈N une suite réelle.
1) Donner la définition d’une suite extraite de (un)n∈N.
2) Si limn→+∞
un = ℓ et si (vn)n∈N est une suite extraite de (un)n∈N, montrer que limn→+∞
vn = ℓ
Exercice 6.13
Soit (un)n∈N une suite de réels convergeant vers ℓ 6= 0. Montrer que :
limn→+∞
1un
=1ℓ.
Exercice 6.14
Soit (un)n∈N une suite réelle croissante et majorée. Montrer que la suite (un)n∈N est convergente et déterminersa limite.
Exercice 6.15
Soit (un)n∈N une suite de réels convergeant vers ℓ > 0. Montrer que un >ℓ
2à partir d’un certain rang.
Exercice 6.16
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles.
1) Montrer les équivalences suivantes :
un ∼ vn ⇐⇒ un = vn + o(vn).
2) Montrer que :un ∼ vn =⇒ un et vn sont de même signe à partir d’un certain rang.
Exercice 6.17
Le produit de deux suites réelles minorées est-il minoré ?
Exercice 6.18
Que peut-on dire d’une suite réelle croissante qui admet une suite extraite convergente ?
Exercice 6.19
Montrer qu’une suite non majorée admet une suite extraite qui diverge vers +∞.
34
Exercice 6.20
Montrer que toute suite réelle bornée qui admet une seule valeur d’adhérence est convergente.
Exercice 6.21 Suites de Cauchy
Soit (un)n∈N une suite de Cauchy, i.e.
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n,m ≥ n0, | un − um |< ε.
1) Montrer que la suite est bornée.
2) Montrer que la suite est convergente.On pourra considérer pour tout nentier naturel :
an = sup up | p ≥ n et bn = inf up | p ≥ n .
Exercice 6.22
Soit (un)n∈N une suite réelle dont tous les termes sont des entiers relatifs. Montrer que si cette suite estconvergente, alors elle est stationnaire à partir d’un certain rang.
Exercice 6.23
Déterminer dans chaque cas une expression de un en fonction de n :
1) u0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 = λun + 3 où λ est une constante réelle.
2) u1 = −1 et u2 = 1, puis ∀n ∈ N∗, un+2 = 6un+1 − 9un.
Exercice 6.24
1. On considère la suite (un) définie par :
u0 = 0u1 = 1∀n ∈ N, un+2 = −2un+1 − 4un
Déterminer un en fonction de n.
2. On considère les suites (un) et (vn) définies par :
u0 = v0 = 1∀n ∈ N, un+1 = un + 4vn et vn+1 = 3un
a) Montrer que la suite (un) vérifie une relation de récurrence linéaire d’ordre 2.
b) En déduire un et vn en fonction de n.
35
Exercice 6.25
1) On considère la suite (un) définie par :
u0 = 2∀n ∈ N, un+1 = 2un − n+ 2
On considère la suite (vn) définie par : ∀n ∈ N, vn = un − n.
Montrer que la suite (vn) est arithmético-géométrique. En déduire un en fonction de n.
2) On considère la suite (un) définie par :
u0 = 1∀n ∈ N, un+1 =
√2un
En considérant la suite (vn) définie par : ∀n ∈ N, vn = ln(un), montrer que la suite (un) est convergente etdéterminer sa limite.
Exercice 6.26
1) On définit u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un), où f(x) =1 + x
2 + x. Déterminer les points fixes ℓ1 < ℓ2 de la
fonction f .
Montrer que la suite définie par :
∀n ∈ N, vn =un − ℓ1un − ℓ2
est une suite de référence. Calculer la limite limn→+∞
un.
2) On définit u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un), où f(x) =−1 + x
3 + x. Déterminer le seul point fixe ℓ de la fonction
f .
Montrer que la suite définie par :
∀n ∈ N, vn =1
un − ℓ
est une suite de référence. Calculer la limite limn→+∞
un.
Exercice 6.27
1) On définit u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un), où f(x) =3x+ 62x+ 7
. Déterminer les points fixes ℓ1 < ℓ2 de la
fonction f .
Montrer que la suite définie par :
∀n ∈ N, vn =un − ℓ2un − ℓ1
est une suite de référence. Calculer la limite limn→+∞
un.
2) On définit u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = f(un), où f(x) =−8x− 12
3x+ 4. Déterminer le seul point fixe ℓ de la
fonction f .
Montrer que la suite définie par :
∀n ∈ N, vn =1
un − ℓ
est une suite de référence. Calculer la limite limn→+∞
un.
36
Exercice 6.28
Montrer que si la suite (un)n∈N∗ est monotone, alors la suite de terme général :
vn =1n
(u1 + u2 + · · · + un)
est monotone et de même monotonie que la suite (un)n∈N∗ .
Exercice 6.29
Étudier les limites des suites définies par :
a) un =sin(n2)n
b) un =an − bn
an + bnoù a, b > 0
c) un =n3 + 5n
5n3 + cosn+1n2
d) un =2n + (−1)n
5n + (−1)n+1.
Exercice 6.30
Étudier les limites des suites définies par :
a) un =√n2 + n+ 1 −
√n2 − n+ 1
b) un =n−
√n2 + 1
n+√n2 + 1
c) un =1n2
∑nk=1 k
d) un = n√
2 + (−1)n.
Exercice 6.31
On considère une suite (un)n∈N à termes réels et on pose pour tout n ∈ N :
xn = u2n yn = u2n+1 et zn = u3n.
On suppose ces trois suites convergentes. Montrer qu’alors la suite (un)n∈N est convergente.
Exercice 6.32
On définit pour tout n ∈ N :
un =3n2 + cosn
4(n + 1)2 + sin 3n.
Étudier la suite correspondante.
Exercice 6.33
Montrer que la suite de terme général :
un =5n2 + sinn
3(n + 2)2 cos(nπ
5
)
est divergente.
37
Exercice 6.34
Étudier la convergence de la suite de terme général :
un =(
5 sin(
1n2
)
+15
cosn)n
.
Exercice 6.35
Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles convergeant respectivement vers ℓ et ℓ′. On considère les suites determes généraux min(un, vn) et max(un, vn). Montrer que ces deux suites convergent respectivement vers min(ℓ, ℓ′)et max(ℓ, ℓ′).
Exercice 6.36
À l’aide d’un encadrement, montrer que la suite de terme général :
un =1√
n2 + 1+
1√n2 + 2
+ · · · +1√
n2 + n
est convergente et donner sa limite.
Exercice 6.37
Étudier la suite définie pour tout entier naturel non nul n par :
un =n∑
k=1
n√n4 + k
.
Exercice 6.38
On considère une suite (un)n∈N bornée telle que :
∀n ≥ 1, un − u3n
3= 1.
1) Montrer que si cette suite converge, alors sa limite est32
.
2) En considérant u3n − 32
, montrer que la suite est stationnaire.
Exercice 6.39 Moyenne arithmético-géométrique
On considère deux suites réelles (un)n∈N et (vn)n ∈ N vérifiant :
0 < v0 < u0, ∀n ∈ N, un+1 =un + vn
2et vn+1 =
√unvn.
Montrer que ces deux suites sont convergentes et convergent vers la même limite.
38
Exercice 6.40
1) Soit t ∈ R, montrer que :
∀n ∈ N,(−1)ntn
1 + t=
11 + t
−n−1∑
k=0
(−1)ktk.
2) Montrer que pour tout réel positif x et tout entier naturel n :
ln(1 + x) = x− x2
2+ · · · + (−1)n−1x
n
n+ (−1)n
∫ x
0
tn
1 + tdt.
3) En majorant∫ 1
0
tn
1 + tdt, montrer que la suite de terme général :
un = 1 − 12
+ · · · +(−1)n−1
n
converge vers ln(2).
Exercice 6.41
Montrer que :
∀n ∈ N,√n+ 1 − √
n ≤ 12√n.
En déduire le comportement asymptotique de la suite de terme général :
un = 1 +1√2
+ · · · +1√n.
Exercice 6.42
On considère une suite réelle positive (un)n∈N telle que pour tout entier k, l’ensemble
n ∈ N | un > 10−k
soit fini.Montrer que la suite converge vers 0.
Exercice 6.43
Étudier le comportement asymptotique de la suite définie par :
un = 1 +1p
si n = 2p
un = 1 − 1p2
si n = 2p+ 1.
39
Exercice 6.44
On considère la suite de terme général :
un =1
n(n+ 1)(n + 2).
1) Montrer qu’il existe trois réels a, b et c tels que :
un =a
n+
b
n+ 1+
c
n+ 2.
2) En déduire la limite de la suite définie par :
vn =n∑
k=0
uk.
Exercice 6.45 Moyenne de Césaro
Soit (un)n∈N une suite réelle telle que limn→+∞
un = ℓ.
On définit la suite (vn)n∈N∗ par :
vn =u1 + · · · + un
n.
Montrer que :lim
n→+∞vn = ℓ.
Exercice 6.46
Soit (un)n∈N une suite réelle telle que limn→+∞
un = ℓ.
On définit la suite (vn)n∈N∗ par :
vn =u1 + 2u2 + · · · + nun
n2.
Montrer que si la suite (un)n∈N est convergente, alors la suite (vn)n∈N∗ est convergente.
Exercice 6.47
On considère la suite de terme général un = sinn. On suppose que cette suite converge vers une limite ℓ ∈ R.
1) En considérant un+2 + un, montrer que ℓ = 0.
2) En déduire que la suite (cosn)n∈N est alors convergente de limite nulle.
3) Conclure.
Exercice 6.48
Pour ∈ N∗, on pose un =1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)
2 × 4 × 6 × · · · × (2n).
1) Exprimer un à l’aide de factorielles.
2) Montrer que la suite (un)n∈N∗ converge.
3) Pour n ∈ N∗, on pose vn = (n + 1)u2n. Montrer que la suite (vn)n∈N∗ converge. En déduire la limite de la
suite (un)n∈N∗ .
40
Exercice 6.49
Étudier la suite définie par :
u0 =√
3 et ∀n ∈ N, un+1 =√
1 + un.
Exercice 6.50
Étudier la suite définie par :
u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = sin un.
Exercice 6.51
Étudier les suites définies par :
a) u0 = 1 et un+1 = cos un.
b) u0 =12
et un+1 = (1 − un)2.
c) u0 > 1 et un+1 =1
u2n − 1
+ 1.
Exercice 6.52
Pour n ∈ N∗, on pose :un =
√
2 ×√
2 ×√
. . .√
2 (n radicaux). Étudier la suite (un)n≥1.
Exercice 6.53
Étudier la suite (un)n∈N définie par u0 ∈ [−2; 2] et par la relation de récurrence :
∀n ∈ N, un+1 =√
2 − un.
Exercice 6.54
Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 1 +1un
.
Étudier la convergence de la suite (un)n∈N.
Exercice 6.55
Soit (un)n∈N une suite définie par u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 =4π
arctan(un).
Montrer que la suite (un)n∈N est convergente, et déterminer sa limite.
Exercice 6.56
On considère la suite (un)n∈N définie par :
u0 = a ∈ R, et ∀n ∈ N, un+1 = sin(cos2(un)).
Montrer que la suite (un)n∈N est convergente.
41
Exercice 6.57
Soient (an)n∈N une suite de réels positifs et (un)n∈N une suite réelle telle que :
0 < u0 <π
2et ∀n ∈ N, un+1 = arctan (an + tan(un)) .
Montrer que la suite (un)n∈N est convergente.
Exercice 6.58
Soit (un)n∈N∗ une suite définie par :
u1 = 1 et ∀n ≥ 2, un =√n+ un−1.
1) Montrer que : ∀n ≥ 1,√n ≤ un ≤ 2
√n.
2) Montrer que un ∼ √n.
3) Déterminer limn→+∞
(un − √n).
Exercice 6.59
Pour tout entier naturel n, on considère l’équation (En) : x+ lnx = n.
1) Montrer que (En) admet une unique racine notée xn.
2) Déterminer un équivalent simple de la suite (xn)n∈N.
Exercice 6.60
1) Montrer que pour tout n ∈ N∗, l’équation cos x = nx possède une unique solution dans [0; 1]. On la note xn.
2) Montrer que la suite (xn)n∈N∗ est convergente, et déterminer sa limite.
3) Étudier la monotonie de la suite (xn)n∈N∗ .
4) Montrer que xn ∼ 1n
et déterminer un équivalent simple de xn − 1n
.
42
Thème 7: Structures algébriques usuelles
Exercice 7.1
Soit (G, ∗) un groupe. Montrer qu’une partie H de G est un sous-groupe de (G, ∗) si, et seulement si H estnon vide et ∀x, y ∈ H, x ∗ y−1 ∈ H.
Exercice 7.2
Soit (A,+, ·) un anneau. Montrer que :
1) ∀a ∈ A, a · 0A = 0A · a = 0A.
2) ∀a, b ∈ A, a · (−b) = (−a) · b = −(a · b).
Exercice 7.3
Soit (A,+,×) un anneau. Montrer que l’ensemble des éléments inversibles pour × est un groupe.
Exercice 7.4
Soient G un ensemble et · une loi de composition interne associative sur G. Supposons que (G, ·) possède unélément neutre e et que pour tout g ∈ G, il existe h et h′ dans G tels que hg = e = gh′.
Est-ce que (G, ·) est un groupe ?
Exercice 7.5
Soit G un ensemble muni d’une loi de composition interne ∗ telle que :
• ∗ est associative,
• Il existe une élément neutre e pour ∗,
• ∀g ∈ G, ∃h ∈ G, g ∗ h = e.
(G, ∗) est-il un groupe ?
Exercice 7.6
Soit X un ensemble de cardinal 2. Combien de lois de compositions internes ∗ existe-t-il sur X telles que (X, ∗)soit un groupe ? Même question avec X de cardinal trois, quatre.
Exercice 7.7
1) Soit G un groupe dans lequel tous les éléments vérifient g2 = e. Montrer que G est commutatif.
2) Soit G un groupe tel que, pour tous g et h dans G, on ait (gh)−1 = g−1h−1. Montrer que G est commutatif.
3) Soit G un groupe tel que, pour tous g et h dans G, on ait (gh)2 = g2h2. Peut-on conclure que G estcommutatif ?
Exercice 7.8
Soit H un sous-ensemble non vide d’un groupe G, stable par la loi du groupe. Le sous-ensemble H est-il unsous-groupe de G ? Et si on suppose H fini ?
Indication : si H = x1, . . . , xn, on pourra considérer pour tout i l’ensemble
xki | k ∈ N
.
43
Exercice 7.9
Soient G,H deux groupes. On munit le produit cartésien G × H d’une loi de composition interne ∗ définiepar :
∀(g, h), (g′, h′) ∈ G×H, (g, h) ∗ (g′, h′) = (gg′, hh′).
1) Vérifier que ∗ donne une structure de groupe à G×H.
2) Généraliser à un produit d’une famille quelconque de groupes (Gi)i∈I .
Exercice 7.10
Soit G un groupe et H1,H2 deux sous-groupes de G.Montrer que H1 ∪H2 est un sous-groupe de G si, et seulement si, H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1.
Exercice 7.11
Soit G un groupe d’élément neutre e. Montrer que ∀a, b ∈ G :
∃p ∈ N∗, (ab)p = e =⇒ (ba)p = e.
Exercice 7.12
On considère A et B deux sous-groupes d’un groupe G. On note :
AB = x ∈ G | ∃a ∈ A, ∃b ∈ B, x = ab .Montrer que AB est un groupe si, et seulement si : AB = BA.
Exercice 7.13
Soit G un groupe de cardinal fini 2n, (n ≥ 1). On note e son élément neutre et on suppose qu’il existe deuxsous-groupe A et B distincts tels que A ∩B = e, et de cardinal n.
1) Montrer que n = 2.
2) Écrire la table du groupe.
Exercice 7.14
Soit A un anneau commutatif.
1) Montrer que si a et b sont deux éléments nilpotents (i.e. il existe n, n′ ∈ N tel que an = 0 et bn′= 0) de A,
alors (a+ b) et ab sont nilpotents.
2) Montrer que si a est nilpotent, alors 1 − a est inversible, et calculer son inverse.
Exercice 7.15
Soit (A,+,×) un anneau unitaire (i.e. il existe un élément neutre pour la multiplication) tel que :
∀x ∈ A, x2 = x.
Montrer que :
1) ∀x ∈ A, x+ x = 0. On pourra considérer la quantité (x+ 1)2.
2) A est un anneau commutatif.
3) ∀x, y ∈ A, xy(x+ y) = 0.
Exercice 7.16
Montrer que tout anneau A intègre (i.e. ∀a, b ∈ A, a × b = 0 =⇒ a = 0 ou b = 0) et de cardinal fini est uncorps.
Indication : On pourra, pour a 6= 0, considérer l’application ϕa(x) = a× x.
44
Exercice 7.17
Soit Z[i] = p+ iq | p, q ∈ Z.
1) Montrer que (Z[i],+,×) est un sous-anneau de (C,+,×).
2) Déterminer les éléments inversibles de Z[i].
Exercice 7.18
Soit Z[√
2]
=
a+ b√
2 | a, b ∈ Z
.
1) Montrer que(
Z[√
2]
,+,×)
est un sous-anneau de (R,+,×).
2) Déterminer les éléments inversibles de Z[√
2]
.
Exercice 7.19
Dans R, on pose xSy = x+ y − 1 et xTy = x+ y − xy. (R, S, T ) est-il un corps ?
45
Thème 8: Limites et continuité
Exercice 8.1
Soient f, g : I 7−→ R deux fonctions définies sur un intervalle I de R et a ∈ I. On suppose que limx→a
f(x) = ℓ ∈ R
et limx→a
g(x) = ℓ′ ∈ R. Montrer que :
1) limx→a
f(x) + g(x) = ℓ+ ℓ′.
2) limx→a
f(x) × g(x) = ℓ× ℓ′.
3) Si g ne s’annule pas sur I et si ℓ′ 6= 0, limx→a
f(x)g(x)
=ℓ
ℓ′.
Exercice 8.2
Soient f : I 7−→ R une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Montrer que :
limx→a
f(x) = ℓ ⇐⇒ pour toute suite (un)n∈N de I convergeant vers a, limn→+∞
f(un) = ℓ.
Exercice 8.3
Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires, et en donner une démonstration.
Exercice 8.4
1. Énoncer le théorème de Heine, et en donner une démonstration.
2. Donner un exemple de fonction continue non uniformément continue.
Exercice 8.5
1) Donner la définition d’une fonction lipschitzienne, ainsi que celle d’une fonction uniformément continue.
2) Montrer les implications suivantes :
f lipschitzienne =⇒ f uniformément continue =⇒ f continue.
3) Donner un exemple d’une fonction uniformément continue mais non lipschitzienne.
Exercice 8.6
Montrer que toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.
Exercice 8.7
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Montrer que f induit une bijectionde I sur f(I), et que sa réciproque f−1 est continue.
Exercice 8.8
Étudier les limites suivantes :
a) limx→0
1 + x2
sin2(x)
b) limx→2
√x2 − 1 − √
2x− 1√x+ 2 −
√x2 + 2x− 4
c) limx→1
(1 − x2) tan(π
2x
)
d) limx→0
sin (1/x)e1/x + 1
46
Exercice 8.9
Étudier les limites suivantes :
a) limx→+∞
x(
e1/x + e2/x − 2)
b) limx→1
√2 − x2 − 1
lnx
c) limx→ π
2
tan(x) tan(2x)
d) limx→0
x sin(1/x)
Exercice 8.10
Étudier la continuité de la fonction f définie sur R par :
f(x) = (−1)⌊x⌋(
x− ⌊x⌋ − 12
)
où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x.
Exercice 8.11
Soit f :]0; +∞[7−→ R une fonction croissante telle que :
g : x 7−→ f(x)x
soit décroissante.
Montrer que f est continue.
Exercice 8.12
Étudier la continuité de la fonction définie sur [0; +∞[ par :
f(0) = a ∈ R
f(x) = x× E
(1x
)
si x > 0
où E désigne la fonction parte entière.Pour quelle valeur de a la fonction f est-elle continue en 0 ?
Exercice 8.13
Soit f : R 7−→ R une fonction. Les propriétés suivantes sont-elles équivalentes ?
i) f est continue en a ∈ R.
ii) f est définie en a et limh→0
f(a+ h) − f(a− h) = 0.
Exercice 8.14
Soient T > 0 et f une fonction définie sur R et T -périodique. Montrer que si limx→+∞
f(x) = ℓ ∈ R, alors f est
constante. Peut-on avoir limx→+∞
f(x) = +∞ ?
Exercice 8.15
Soit f : R 7−→ R une fonction continue.
1) On suppose que f est nulle sur Q. Montrer que f est nulle sur R. Le résultat est-il encore vrai si f est nullesur R \ Q ?
2) On suppose que f est croissante sur Q. Montrer que f est croissante sur R.
3) f est-elle strictement croissante sur R si on suppose qu’elle l’est sur Q ?
47
Exercice 8.16
Déterminer toutes les fonctions continues f : R 7−→ R vérifiant :
∀x ∈ R, f(x) = f(x2).
Exercice 8.17
Déterminer les fonctions définies sur R et telles que :
∀x, y ∈ R, |f(x) − f(y)| = |x− y|.
Exercice 8.18 Trois théorèmes de point fixe
Les trois questions sont indépendantes
1) Soit f : [a, b] −→ [a, b] une application continue.Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = c.
2) Soit f une application continue décroissante de R dans R.Montrer qu’il existe un unique réel c tel que f(c) = c.Ce résultat reste-t-il vrai si on suppose plutôt f croissante ?
3) Soit k ∈ [0, 1] et f une application de R dans R k-lipschitzienne.Montrer qu’il existe un unique réel c tel que f(c) = c.
Exercice 8.19
Soient f : [0; 1] 7−→ R une fonction continue, n ∈ N∗ et x1, . . . xn ∈ [0; 1].Montrer qu’il existe x ∈ [0; 1] tel que :
f(x) =1n
n∑
k=1
f(xk).
Exercice 8.20
Soit f une fonction continue sur [0; 2] telle que f(0) = f(2). Montrer que l’équation f(x) = f(x+ 1) possèdeune solution.
Exercice 8.21
La terre étant assimilée à une sphère parfaite, montrer qu’à tout instant, il existe deux points de l’équateurdiamétralement opposés et qui sont à la même température.
Exercice 8.22
Un randonneur a parcouru une distance de 20 km en exactement 4 heures. Montrer qu’il y a eu une périoded’une heure durant laquelle il a parcouru exactement 5 km.
Exercice 8.23
Soit f une fonction continue sur ]a; b[. On suppose que limx→a
f(x) = limx→b
f(x) = ℓ. Montrer que f n’est pas
injective sur ]a; b[.
48
Exercice 8.24
Soit f une fonction continue sur R+ vérifiant limx→+∞
f(x) = ℓ ∈ R. Montrer que f est bornée sur R+. f atteint-
elle ses bornes ? f atteint-elle l’une de ses bornes ?
Exercice 8.25
Soit f : R −→ R une application continue. On suppose que f possède des limites finies λ et µ respectivementen −∞ et +∞.
Pour x ∈]
−π
2,π
2
[
, on pose g(x) = f (tan(x)).
1 Montrer que g possède un prolongement par continuité à[
−π
2,π
2
]
. On notera encore g cette fonction.
2 À l’aide de g, montrer que f est bornée sur R.
3 On suppose de plus que λ = µ. Montrer que f atteint l’une de ses bornes. Atteint-elle forcément les deux ?
Exercice 8.26
Soit f une fonction continue et positive sur R+ vérifiant limx→+∞
f(x) = 0. Montrer qu’il existe y ≥ 0 tel que
f(y) = supx≥0
f(x).
Exercice 8.27
Existe-t-il une fonction f continue de R dans R telle que f(Q) ⊂ R \ Q et f(R \ Q) ⊂ Q ?
Exercice 8.28
Soit f une fonction continue sur [0; 1] à valeurs dans R telle que :
∀x ∈[
0;710
]
, f
(
x+310
)
6= f(x) et f(0) = f(1) = 0.
Que peut-on dire de la fonction g définie sur[
0;710
]
par g(x) = f
(
x+310
)
−f(x) ? En déduire que f s’annule
au moins 7 fois sur [0; 1].
Exercice 8.29 Fonctions höldériennes
Une fonction f définie sur un intervalle I à valeurs dans R est dite höldérienne s’il existe λ ∈ R+ et α > 0 telsque :
∀x, y ∈ I, |f(x) − f(y)| ≤ λ|x− y|α.1) Toute application lipschitzienne est clairement höldérienne, mais la réciproque est fausse.
Montrer que x 7−→ √x une application höldérienne qui n’est pas lipschitzienne.
2) Montrer que toute application höldérienne est uniformément continue.
49
Exercice 8.30
Montrer qu’une fonction continue de R+ dans R qui admet une limite finie en +∞ est uniformément continue.
Exercice 8.31
Déterminer les applications f : R 7−→ R continues telles que :
∀x, y ∈ R, f(x+ y) = f(x) + f(y).
Exercice 8.32
Déterminer les applications f : R 7−→ R continues telles que :
∀x, y ∈ R, f(x+ y) + f(x− y) = 2 × (f(x) + f(y)) .
50
Thème 9: Polynômes et fractions rationnelles
Exercice 9.1
Soit K un corps.
1) Donner la définition du degré d’un élément P ∈ K[X].
2) Exprimer le degré de PQ en fonction de ceux de P et Q.
3) Montrer que (K[X],+,×) est un anneau intègre.
Exercice 9.2
Soit K un corps.
1) Énoncer le théorème de la division euclidienne dans K[X].
2) Démontrer ce résultat.
Exercice 9.3
Soit n ∈ N, montrer qu’un polynôme P ∈ K[X] de degré n admet au plus n racines distinctes dans K.
Exercice 9.4
1) Donner la définition de la multiplicité d’une racine d’un polynôme P ∈ K[X].
2) Soit P un polynôme non nul. Montrer que si α1, . . . , αp sont des racines distinctes de P d’ordre respectivement
au moins égal à r1, . . . rp, alors P est divisible parp∏
i=1
(X − αi)ri .
Exercice 9.5
1) Donner la définition de la dérivée nième d’un polynôme de K[X].
2) Énoncer la formule de Taylor pour les polynômes de K[X].
3) Démontrer ce résultat.
Exercice 9.6
Soient α ∈ K et r ∈ N∗. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
i) α est racine d’ordre r de P ∈ K[X].
ii) P (α) = P ′(α) = . . . P (r−1)(α) = 0 et P (r)(α) 6= 0.
Exercice 9.7
Soit K un corps.
1) Donner la définition d’un élément irréductible de K[X].
2) Quels sont les éléments irréductibles de C[X] ? De R[X] ?
Exercice 9.8
Soit K un corps.
1) Soient A,B ∈ K[X]. Donner la définition du pgcd de A et B.
2) Montrer l’existence d’un tel pgcd. À quelle condition est-il unique ?
51
Exercice 9.9
Soit K un corps.
1) Donner la définition d’un élément irréductible de K[X].
2) Montrer que si P ∈ K[X] est irréductible, alors il est premier avec tout polynôme qu’il ne divise pas.
Exercice 9.10
Calculer par récurrence :
(1 +X)(1 +X2)(1 +X4) . . . (1 +X2n
).
Exercice 9.11
Déterminer tous les polynômes P ∈ R[X] tels que P (2X) = 2P (X). Donner un exemple d’application de R
dans R non polynomiale vérifiant : ∀x ∈ R, f(2x) = 2f(x).
Exercice 9.12
Résoudre dans C[X] :
P P = P.
Exercice 9.13
Trouver les polynômes P ∈ C[X] tels que P(
X2)
= (P (X))2.
Exercice 9.14
Montrer que si P,Q,R ∈ R[X] vérifient la relation :
P 2(X) −XQ2(X) = XR2(X),
alors ils sont nuls.Indication : faire jouer la parité du degré et les signes des coefficients dominantsEst-ce encore vrai dans C[X] ?
Exercice 9.15
Soit a ∈ K. Montrer que P (X) = X(X + a)(X + 2a)(X + 3a) + a4 est un carré dans K[x]. En déduire unedécomposition de Q(X) = X(X + 1)(X + 2)(X + 3) − 8 dans R[X].
Exercice 9.16
Soient P et Q dans K[X].
1) Montrer que P (X) −X divise Q (P (X)) −Q(X).
2) Montrer que P (X) −X divise P (P (X)) −X.
Exercice 9.17
Calculer le reste de la division dans R[X] de :
1) (cos a+X sin a)n par X2 + 1 ;
2) (X − 1)m +Xm − 1 par X2 −X + 1 selon la valeur de m modulo 6.
52
Exercice 9.18
Soit P (X) ∈ R[X] et a, b deux nombres réels distincts. Calculer le reste R(X) de la division de P (X) par(X − a)(X − b) en fonction de P (a) et P (b).
Exercice 9.19
Soient a et b deux entiers strictement positifs. Quel est le pgcd de Xa − 1 et Xb − 1 ?
Exercice 9.20
Soient A,B ∈ K[X] non tous deux nuls et D = pgcd(A,B). Soient U, V ∈ K[X] tels que AU +BV = D. Quelest le pgcd de U et V ?
Exercice 9.21
Soient P et Q dans K[X] deux polynômes premiers entre eux. Montrer que si m etn sont des entiers positifs,Pm est premier avec Qn.
Exercice 9.22
Trouver un polynôme unitaire P de degré inférieur au égal à 3, divisible par X − 1 et tel que les restes dansla division de P par X − 2, X − 3 et X − 4 soient égaux.
Exercice 9.23
Décomposer dans R[X], puis dans Q[X] le polynôme P (X) = X4 + 1.
Exercice 9.24
Montrer qu’un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible sur un corps K si et seulement s’il n’a pas de racinedans K. En est-il de même pour un polynôme de degré 4 ?
Exercice 9.25
Trouver (a, b) ∈ R2 pour que (X − 1)2 divise aX4 + bX3 + 1. Généraliser à aXn+1 + bXn + 1.
Exercice 9.26
Trouver P (X) dans K[X] de degré inférieur ou égal à 5 tel que (X − 1)3 divise P (X) + 1 et (X + 1)3 diviseP (X) − 1.
Exercice 9.27
Trouver un polynôme P de R[X] de degré inférieur ou égal à 4 tel que X3 divise P (X) + 1 et (X − 1)2 diviseP (X).
Exercice 9.28
Trouver un polynôme P de degré 7 tel que (X + 1)4 divise P (X) + 1 et (X − 1)4 divise P (X) − 1.
Exercice 9.29
Soit A(X) = X6 + aX4 + bX3 + c un polynôme de C[X].
1) Déterminer a, b et c pour que 1 soit racine double de A et que j = e2iπ
3 soit racine de A.
2) Montrer alors que A ∈ R[X] et que j est racine double.
3) Décomposer A en produit de facteur irréductibles dans C[X] et R[X].
53
Exercice 9.30
Soit P (X) = 2X3 −X2 − 7X + a ∈ R[X].Déterminer a pour que P ait deux racines de somme 1.
Exercice 9.31
Résoudre dans C le système suivant :
a+ b+ c = 0a2 + b2 + c2 = 11a
+1b
+1c
= 1
Exercice 9.32
Soient x, y, z trois complexes non nuls tels que x+ y + z = 0 et1x
+1y
+1z
= 0. Montrer que :
|x| = |y| = |z|.
Exercice 9.33
Résoudre dans C le système suivant :
x+ y + z = 1xyz = 1|x| = |y| = |z|
Exercice 9.34
Soit P (X) = X6 −X3 + 1.
1) Factoriser P dans C[X].
2) Factoriser P dans R[X].
3) Calculer :
cos(π
9
)
+ cos(
5π9
)
+ cos(
7π9
)
et
cos(π
9
)
× cos(
5π9
)
× cos(
7π9
)
.
54
Thème 10: Dérivabilité
Exercice 10.1
Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction.Montrer que si f admet un extremum local en x0 ∈ I et si f est dérivable en x0, alors f ′(x0) = 0.
Exercice 10.2
1) Énoncer le théorème de Rolle.
2) Démontrer ce théorème
Exercice 10.3
1) Énoncer le théorème des accroissements finis.
2) Démontrer ce théorème
Exercice 10.4
Soit f : [0; +∞[→ R la fonction définie par f(x) = cos√x. Montrer que f est dérivable à droite en 0 et calculer
f ′d(0).
Exercice 10.5
Soit x ∈[
0;π
2
]
, montrer l’inégalité :
2πx < sinx < x.
Exercice 10.6
Soit p un entier positif.
1) Montrer que la fonction f : [0; +∞[→ R définie par f(x) =(1 + x)p
1 + xpa pour maximum 2p−1.
2) Soient a, b ∈ R+. Montrer que :
(a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp).
Exercice 10.7
Soit f une fonction dérivable en un point x0. Déterminer la limite éventuelle de :
xf(x0) − x0f(x)x− x0
en x0.
Exercice 10.8
Soit f une fonction dérivable sur R. Calculer la limite lorsque h tend vers 0 de :
f2(x+ 3h) − f2(x− h)h
.
55
Exercice 10.9
1) Montrer que :
∀x > 0,1
x+ 1< log(x+ 1) − log x <
1x.
2) En déduire que :
∀n ∈ N∗, log(n+ 1) <n∑
k=0
1k< 1 + log n.
3) On pose un =n∑
k=0
1k
− log n. Montrer que la suite (un)n∈N∗ est décroissante et convergente.
Exercice 10.10
1) Montrer que :
∀x > 0,(
1 + x
x
)x
< e <
(1 + x
x
)x+1
.
2) En déduire que :
∀n ∈ N∗,(n+ 1)n
n!< en <
(n+ 1)n+1
n!.
Exercice 10.11
1) Soient I un intervalle ouvert de R, n ∈ N∗ et f : I → R une fonction n fois dérivable. On suppose quel’équation f(x) = 0 admet au moins n+ 1 solutions distinctes dans I. Montrer que l’équation f (n)(x) = 0 aune solution dans I.
2) Soient n ≥ 2 un entier, et a, b ∈ R. On note P la fonction polynôme P (x) = xn + ax + b. Montrer quel’équation P (x) = 0 admet au plus trois solutions dans R, et au plus deux si n est pair.
Exercice 10.12
1) Soient I un intervalle ouvert de R, n ∈ N∗ et f : I → R une fonction n fois dérivable. On suppose quel’équation f(x) = 0 admet au moins n+ 1 solutions distinctes dans I. Montrer que l’équation f (n)(x) = 0 aune solution dans I.
2) Soit P ∈ R[X], montrer que l’équation ex = P (x) ne peut avoir qu’un nombre fini de solutions réelles.
Exercice 10.13
Soit f : R → R une fonction dérivable. On suppose que f a une même limite en +∞ et −∞.Montrer qu’il existe a ∈ R tel que f ′(a) = 0.
Exercice 10.14
Trouver la limite en +∞ de (x+ 1)3
4 − (x+ 5)3
4 .
56
Exercice 10.15
Soient a < b des réels et f, g deux fonctions réelles définies sur [a; b].On suppose que f et g sont continues sur [a; b], dérivables sur ]a; b[, et que g′ ne s’annule pas sur ]a; b[.
1) Montrer que : ∀x ∈]a; b], g(x) 6= g(a).
2) Montrer qu’il existe c ∈]a; b[ tel quef(b) − f(a)g(b) − g(a)
=f ′(c)g′(c)
Indication : considérer la fonction x 7−→ f(x) − f(b) − f(a)g(b) − g(a)
g(x).
3) On suppose quef ′(x)g′(x)
a une limite finie ℓ quand x tend vers a. Montrer que :
limx→a
f(x) − f(a)g(x) − g(a)
= ℓ.
Exercice 10.16
Soit f une fonction définie et dérivable sur ]0; +∞[ telle que limx→+∞
f ′(x) = 0.
Montrer quef(x)x
tend vers 0 lorsque x tend vers +∞, et que f est lipschitzienne sur un intervalle du type
[a; +∞[, où a ∈]0; +∞[.
Exercice 10.17
Soient M > 0 et g : R → R une fonction dérivable telle que : ∀x ∈ R, |g′(x)| < M .Pour a un réel strictement positif, on pose : ∀x ∈ R, f(x) = x+ a× g(x).Montrer que pour a suffisamment petit, f est une bijection de R dans R.
Exercice 10.18
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a; b]. On suppose que f(a) = f(b) et f ′(a) = 0.
1) On définit la fonction ϕ sur [a; b] par :
ϕ(x) =
f(x) − f(a)x− a
si x > a
0 si x = a
.
Montrer que ϕ est continue sur [a; b].
2) Montrer qu’il existe c ∈]a; b[ tel que : f ′(c) =f(c) − f(a)
c− a.
Exercice 10.19
Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. Soient x, h ∈ R, h 6= 0, montrer qu’il existe θ ∈]0; 1[ tel que :
f(x) − 2f(x+ h) + f(x+ 2h) = h2f ′′(x+ 2θh).
Indication : appliquer le théorème de Rolle sur [0;h] à la fonction :
ϕ(z) = f(x) − 2f(x+ z) + f(x+ 2z) −Kz2
où K est une constante à ajuster.
57
Exercice 10.20
On considère une fonction f qui a n zéros x1, . . . xn, n ≥ 2, avec :
x1 < x2 < · · · < xn.
On suppose que f est n fois dérivable sur [x1;xn].Soit a ∈ [x1;xn], montrer qu’il existe λ ∈]x1;xn[ tel que :
f(a) = (a− x1)(a− x2) . . . (a− xn)f (n)(λ)n!
.
Exercice 10.21 Théorème de Darboux
Par commodité de notation, on désigne par (t;u) l’intervalle [t;u] si t ≤ u, l’intervalle [u; t] si u ≤ t.Soient I un intervalle de R et f : I → R une application dérivable sur I. On veut montrer que f ′ vérifie la
propriété des valeurs intermédiaires, i.e. que f ′(I) est un intervalle.Soient a, b ∈ I avec a < b, et y ∈ (f ′(a); f ′(b)).
1) On considère les deux fonctions définies sur [a; b] :
ϕ(x) =
f(x) − f(a)x− a
si x 6= a
f ′(a) si x = a
et
ψ(x) =
f(b) − f(x)b− x
si x 6= b
f ′(b) si x = b
.
Montrer que y ∈ ϕ([a; b]) ∪ ψ([a; b]).
2) En déduire l’existence de c ∈ [a; b] tel que f ′(c) = y.
Exercice 10.22
Soient n ∈ N∗ et fn : x 7−→ xn−1 ln(x). On veut calculer f (n)n (x) de deux manières différentes.
1) Étudier les cas particuliers n ∈ 1, 2, 3, 4 et proposer une conjecture. Démontrer cette conjecture parrécurrence.
2) Calculer directement f (n)n (x) à l’aide de la formule de Leibniz.
Exercice 10.23
Pour n ∈ N∗ et x 6= 0 on pose fn(x) = xn−1e1
x . Montrer que :
f (n)n (x) =
(−1)n
xn+1e
1
x .
58
Exercice 10.24
Soit f la fonction définie par :
f(x) =
e− 1
1−x2 si |x| < 1
0 si |x| ≥ 1.
1) Soit ϕ la fonction définie sur R par :
ϕ(x) =
e− 1
x si |x| > 0
0 si x ≤ 0.
Montrer que ϕ est de classe C∞.
2) En déduire que f est de classe C∞.
59
Thème 11: Analyse asymptotique
Exercice 11.1
Calculer les limites suivantes :
1) limx→0
√1 + x− 1
3√
1 + x− 12) lim
x→+∞
(ln(x+ 1)
ln x
)x ln x
Exercice 11.2
Calculer les limites suivantes :
1) limx→4
3 −√
5 + x
1 − √5 − x
2) limx→−∞
x+ (1 − x3)1
3
Exercice 11.3
Calculer les limites suivantes :
1) limx→1
3√x2 − 2 3
√x+ 1
(x− 1)22) lim
x→∞
(x− 1x+ 1
)x
Exercice 11.4
1) Montrer que :
ch(√x+ 1) − ch(
√x) ∼
+∞e
√x
4√x.
2) Calculer limx→+∞
f(x) avec f(x) =(ch(
√x+ 1) − ch(
√x)) 1√
x .
Exercice 11.5
Calculer les limites suivantes :
1) limx→0
1x
ln
√
1 + x
1 − x
2) limx→+∞
x (ln(x+ 1) − ln x)
Exercice 11.6
Déterminer α et β pour que :
limx→+∞
αx+ β − x3 + 1x2 + 1
= 0.
Exercice 11.7
Déterminer limx→a
x3
x− 1exp
(1
x(1 − x)
)
avec a = 0 puis a = 1.
60
Exercice 11.8
Calculer les développements limités des fonctions suivantes en 0 :
1) f(x) = tan x+ thx 2) f(x) =1
1 + ex.
Exercice 11.9
Calculer le développement limité en 0, à l’ordre 6, de f(x) = cos x sin 3x.
Exercice 11.10
Calculer le développement limité en 0, à l’ordre 3, de f(x) = (1 + x)1
x .
Exercice 11.11
Calculer le développement limité en 0, à l’ordre 8, de f(x) = (cos x− 1)(shx− x) − (chx− 1)(sin x− x).
Exercice 11.12
Calculer le développement limité en 0, à l’ordre 4, de f(x) =ln(1 + x)(1 + x)2
.
Exercice 11.13
Calculer le développement limité en 0, à l’ordre 5, de f(x) = ln(
sin xx
)
.
Exercice 11.14
Calculer :
limx→0
ex sinx− x cos xtan2 x
Exercice 11.15
Calculer :
limx→0
arctan x− sin xtan x− arcsin x
Exercice 11.16
Calculer :
limx→0
ln(1 + tan x) − sinxtan x− sinx
Exercice 11.17
On considère la fonction f définie sur ] − 1; +∞[ par :
f(x) =
ln(1 + x) − x
xsi x 6= 0,
0 si x = 0
1) Déterminer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f .
2) Démontrer que la courbe représentative Cf de f possède une tangente en 0 et étudier la position relative deCf par rapport à cette tangente au voisinage de 0.
61
Exercice 11.18
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x) =
cos x− 1x
si x 6= 0,
0 si x = 0
1) Déterminer le développement limité à l’ordre 3 en 0 de f .
2) Démontrer que la courbe représentative Cf de f possède une tangente en 0 et étudier la position relative deCf par rapport à cette tangente au voisinage de 0.
Exercice 11.19
Soit f la fonction définie sur R \ 1 par :
f(x) =x
√x2 + 1x− 1
.
1) Donner le développement limite de f en 0 à l’ordre 2. En déduire la tangente T0 en 0 à la courbe représentativeCf de f , et étudier leurs positions relatives.
2) Montrer que :
f(x) = x+ 1 +3
2x+ o
+∞
(1x
)
.
En déduire la branche infinie de Cf en +∞.
62
Thème 12: Espaces vectoriels et applications linéaires
A - Espaces vectoriels
Exercice 12.1
Soit E un espace vectoriel. On considère une famille (Fi)i∈I de sous-espaces vectoriels de E.Montrer que ∩
i∈IFi est un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 12.2
Soient F et G deux sous-espaces d’un espace vectoriel E.Montrer que :
Vect (F ∪G) = F +G.
Exercice 12.3
Soit E un espace vectoriel.
1) Donner la définition de la somme directe de sous-espaces F1, . . . Fn de E.
2) Soient F,G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que :
F et G sont en somme directe ⇐⇒ F ∩G = 0 .
Exercice 12.4
Soient E un espace vectoriel et (e1, e2, . . . , en) une famille libre de E. Montrer que, pour tout x ∈ E :
(e1, . . . , en, x) est liée ⇐⇒ x est combinaison linéaire des (ei)ni=1.
Exercice 12.5
Soit E un espace vectoriel sur K.Montrer qu’une famille (v1, . . . , vn) de E est libre si, et seulement si, pour (α1, . . . , αn) et tout (β1, . . . , βn)
dans Kn, on a :
n∑
i=1
αivi =n∑
i=1
βivi ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . n , αi = βi.
Exercice 12.6
Soient F,G et H trois sous-espaces d’un espace vectoriel E.Comparer F ∩ (G+H) et (F ∩G) + (F ∩H).
Exercice 12.7
Les sous-ensembles suivants de E = RN en sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
i) A = u ∈ E | u est bornée.
ii) B = u ∈ E | u est monotone.
iii) C = (un)n∈N ∈ E | ∀n ∈ N, un+2 = un.
iv) D = (un)n∈N ∈ E | ∀n ∈ N, un+1 ∈ un; −un.
63
Exercice 12.8
Les sous-ensembles suivants de E = RR en sont-ils des sous-espaces vectoriels ?
i) A = f ∈ E | ∃a > 0, ∀x ∈ R, |f(x)| ≤ a|x|.
ii) B = f ∈ E | ∃a > 0, ∀x ∈ R, |f(x)| ≥ a|x|.
iii) C = f ∈ E | ∃T > 0, f est de période T.
Exercice 12.9
Soient n ∈ N∗ et a1 < · · · < an des réels. Pour i ∈ 1, . . . , n, on définit la fonction fi sur R par : fi : x 7−→ eaix.Montrer que la famille (f1, . . . , fn) est libre dans l’espace vectoriel RR.
Exercice 12.10
Soient n ∈ N∗ et λ1 < · · · < λn des réels positifs.Pour i ∈ 1, . . . , n, on définit la fonction fi sur R par : fi : x 7−→ cos(λix). Montrer que la famille (f1, . . . , fn)
est libre dans l’espace vectoriel RR.
Exercice 12.11
Montrer que F =(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y − z + t = 0 et x− 3y − 2z = 0
est un sous-espace vectoriel de R4
et en déterminer une famille génératrice.
Exercice 12.12
Montrer que la famille u = (9,−3, 7), v = (1, 8, 8), w = (5,−5, 1) est liée.
Exercice 12.13
La famille (v1, v2, v3) ⊂ R3 où v1 = (1, 1,−1), v2 = (2, 1, 3) et v3 = (0,−1, 5) est-elle libre ?
Exercice 12.14
Dans R4, on considère l’ensemble des vecteurs (x, y, z, t) vérifiant l’équation :
x+ y + z + t = 0.
Donner une base de ce sous-espace vectoriel.
Exercice 12.15
Dans R3, on considère l’ensemble des vecteurs (x, y, z) vérifiant le système :
x+ y + z = 02x− y + z = 0.
Donner une base de ce sous-espace vectoriel.
Exercice 12.16
Dans R4, donner un système d’équations du sous-espace vectoriel engendré par les deux vecteurs u = (1, 1, 1, 1)et v = (1, 2,−1, 3).
Exercice 12.17
Soit ε =P ∈ R2[X] | P = λ+ (2λ− 3µ)X + µX2, avec λ, µ ∈ R
. Montrer que ε est un sous-espace vectoriel
de R2[X] et en donner une base.
64
Exercice 12.18
Dans K[X], on se donne une famille (Pn)n≥0 de polynômes telle que :
∀n ≥ 0, 0 ≤ degPn < degPn+1.
1) Montrer que la famille (Pn)n≥0 est libre.
2) Montrer que :
(Pn)n≥0 est une base de K[X] ⇐⇒ ∀n ≥ 0, degPn = n.
Exercice 12.19
Soit (u1, . . . un) une famille de vecteurs de E. Pour tout k ∈ 1, . . . , n, on pose :
vk =k∑
i=1
ui.
Montrer que (u1, . . . , un) est une famille libre si, et seulement si (v1, . . . , vn) est une famille libre.
Exercice 12.20
Soient F et G deux sous-espaces d’un espace vectoriel E. Montrer que :
F ∪G est un sous-espace de E ⇐⇒ F ⊂ G ou G ⊂ F.
Exercice 12.21
Soient F et G deux sous-espaces d’un espace vectoriel E tels que F +G = E.Soit F ′ un supplémentaire de F ∩G dans F . Montrer que :
F ′ ⊕G = E.
Exercice 12.22
Dans l’espace vectoriel E = C0(R,R), on considère :
F =
f ∈ E |∫ 1
0f(t) dt = 0
.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E, puis en donner un supplémentaire.
Exercice 12.23
Soit A un élément de R[X]. On pose :
F = P ∈ R[X] | A divise P .Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R[X] et en trouver un supplémentaire.
Exercice 12.24
Soit E l’espace vectoriel des fonctions de R dans R. On considère :
F = f ∈ E | ∀x ∈ R, f(x) = f(−x) et G = f ∈ E | ∀x ∈ R, −f(x) = f(−x) .Montrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E.
65
Exercice 12.25
On pose E = RR. Soit F = f ∈ E | f(1) = f(0) = 0 et G l’ensemble des fonctions affines sur R. Montrer queF et G sont supplémentaires dans E.
Exercice 12.26
On pose E = C0([0; 1],R). Soit F =
f ∈ E | ∀k ∈ 1, . . . , 10 , f(k
10
)
= 0
.
1) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E.
2) Montrer que l’ensemble des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 9 est un supplémentaire deF dans E.
Exercice 12.27
Soit E un espace vectoriel sur le corps K.
1) Soit A = (a1, . . . , an) une famille de vecteurs de E. Montrer que :
Vect(A) =
x ∈ E | ∃(λi)1≤i≤p, x =p∑
i=1
λiai
.
2) Soient F un sous-espace vectoriel de E et a ∈ E \ F . Déterminer Vect (F ∪ a) .
66
B - Applications linéaires
Exercice 12.28
Soient E,F deux espaces vectoriels et f ∈ L(E,F ).Montrer que :
f est injective ⇐⇒ Ker(f) = 0 .
Exercice 12.29
Montrer que la composée de deux applications linéaires est une application linéaire.
Exercice 12.30
Soient E,F deux espaces vectoriels et f, g ∈ L(E,F ).Montrer que si (e1, . . . en) est une famille génératrice de E, alors :
f = g ⇐⇒ ∀i ∈ 1, . . . n , f(ei) = g(ei).
Exercice 12.31
Soient E,F deux espaces vectoriels. Si (e1, . . . en) est une base de E et (f1, . . . fn) une famille quelconque deF , montrer qu’il existe une unique application linéaire ϕ : E → F telle que : ∀i ∈ 1, . . . , n , ϕ(ei) = fi.
Exercice 12.32
1) Donner la définition d’une projection vectorielle.
2) Soient E un espace vectoriel et p ∈ L(E). Montrer que p est un projecteur si et seulement si p p = p.
Exercice 12.33
1) Donner la définition d’une symétrie vectorielle.
2) Soient E un R-ev et s ∈ L(E). Montrer que s est une symétrie si et seulement si s s = IdE .
Exercice 12.34
Soit :
f :
∣∣∣∣∣
R4 → R3
(x, y, z, t) 7−→ (x− y + z + t, x+ 2z − t, x+ y + 3z − 3t)
Déterminer une base de Kerf et une base de Imf .
Exercice 12.35
Soient E,F deux espaces vectoriels, f ∈ L(E,F ) et G,H deux sev de E.
1) Montrer que f(G+H) = f(G) + f(H).
2) Montrer que si G et H sont en somme directe et si f est injective, alors :
f(G+H) = f(G⊕H) = f(G) ⊕ f(H).
Exercice 12.36
Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E.
1) Montrer que si g f est surjective, alors g est surjective.
2) Montrer que si g est surjective et E = Im(f) + Ker(g), alors g f est surjective.
3) Formuler des énoncés similaires pour l’injectivité.
67
Exercice 12.37
Soient E un espace vectoriel et f, g deux projecteurs de E.
1) Montrer que Im(f) = Im(g) ⇐⇒ f g = g et g f = f .
2) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que Ker(f) = Ker(g).
Exercice 12.38
Soient E un espace vectoriel et f ∈ L(E).
1) Montrer que :Ker(f) ∩ Im(f) = 0 ⇐⇒ Ker(f) = Ker(f2).
2) Montrer que :E = Ker(f) + Im(f) ⇐⇒ Im(f) = Im(f2).
Exercice 12.39
Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel E qui commutent.
1) Montrer que Im(u) et Ker(u) sont stables par v.
2) On suppose que E = Ker(u) ⊕ Ker(v). Montrer que Im(u) ⊂ Ker(v) et que Im(v) ⊂ Ker(u).
Exercice 12.40
Soient E un R espace vectoriel et p, q deux projecteurs de E.
1) Montrer que p+ q est un projecteur de E si et seulement si p q = q p = 0.
2) Montrer qu’alors :Ker(p + q) = Kerp ∩ Kerq et Im(p+ q) = Im(p) + Im(q).
Exercice 12.41
Soient p et q deux projecteurs d’un espace vectoriel E qui commutent.
1) Montrer que p+ q − p q et p q sont des projecteurs.
2) Montrer que Ker(p q) = Ker(p) + Ker(q) et que Im(p q) = Im(p) ∩ Im(q).
3) Montrer que Ker(p + q − p q) = Ker(p) ∩ Ker(q) et que Im(p+ q − p q) = Im(p) + Im(q).
Exercice 12.42 Lemme de Schur
Soit E un espace vectoriel sur K
1) Soit u un endomorphisme de E tel que pour tout x de E, (x, u(x)) soit liée.
a) Montrer que pour tout x non nul de E, il existe λx ∈ K tel que u(x) = λx · x.
b) Soient x et y non nuls dans E. Montrer que si la famille (x, y) est libre, alors λx = λy.
c) Montrer que si x et y sont non nuls et liés, alors on a encore λx = λy.
d) En déduire que u est une homothétie.
2) Réciproquement, montrer que si h est une homothétie, alors (x, h(x)) est liée pour tout x de E.
68
C - Espaces vectoriels de dimension finie, hyperplans et formes linéaires
Exercice 12.43
1) Donner la définition d’une forme linéaire.
2) Soient f, g ∈ L(E,K). Montrer que :
Ker f = Ker g ⇐⇒ ∃λ ∈ K, f = λg.
Exercice 12.44
Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie n
1) Donner la définition d’un hyperplan.
2) Montrer que l’intersection de m hyperplans de E est un sev de dimension n−m.
3) Réciproquement, montrer que si F est un sev de dimension k, alors F est l’intersection de n− k hyperplans.
Exercice 12.45
Dans R4, montrer que l’ensemble E des u = (x, y, z, t) tels que :
x+ 3y − 2z − 5t = 0x+ 2y + z − t = 0
est un sev. En donner une dimension et une base.
Exercice 12.46
Dans R4, déterminer la dimension du sev engendré par :
a = (1, 2, 2, 1), b = (4, 3, 5, 10), c = (−1,−3, 4, 0), d = (0, 4,−3,−1).
Exercice 12.47
1) Pour quelles valeurs de α les vecteurs :
v1 = (1,−1, 0, 2), v2 = (1, 0, 1, 2), v3 = (1, 3, 5, 7), et v4 = (0, 2, 3, α)
forment-ils une base de R4.
2) Dans le cas où la famille est liée, déterminer les relations linéaires qui lient ces vecteurs. Quelle est ladimension de l’espace engendré ?
Exercice 12.48
On définit les trois sev suivants de E = R3[X] :
F = P ∈ E | P (0) = P (1) = P (2) = 0 , G = P ∈ E | P (1) = P (2) = P (3) = 0 etH = P ∈ E | P (X) = P (−X) .
1) Montrer que :F ⊕G = P ∈ E | P (1) = P (2) = 0 .
2) Montrer que :E = F ⊕G⊕H.
69
Exercice 12.49
Pour n ∈ N et k ∈ 0, . . . n, on pose :
Pn,k(X) = Xk(X − 1)n−k.
1) Montrer que Bn = (Pn,0, . . . Pn,n) est une base de Rn[X].
2) Décomposer les polynômes 1,X, . . . ,Xn dans la base Bn.
Exercice 12.50
Soient B = (e1, . . . en) une base d’un K-ev E et u un vecteur de coordonnées (a1, . . . an) dans B.Déterminer à quelle condition la famille B′ = (e1 − u, . . . en − u) est une base de E.Indication : on pourra commencer par le cas n = 2.
Exercice 12.51
Soient E,F,G trois K−espaces vectoriels, avec dimE < ∞.On considère f ∈ L(E,F ) et g ∈ L(F,G).Montrer que :
dim(Imf ∩ Kerg) = dim(Im f) − dim(Im g f).
Exercice 12.52
Soient n ∈ N∗, 0 = x0 < x1 < · · · < xn = 1 une subdivision de [0; 1] et F l’ensemble des fonctions de [0, 1]dans R dont la restriction à chaque segment [xi, xi+1] pour 0 ≤ i ≤ n− 1 est affine.
1) Montrer que F est un sev de E = f : [0, 1] 7−→ R.
2) Donner la dimension de F ainsi qu’une base de cet espace.
Exercice 12.53
Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1.Soit f ∈ L(E) telle que fn = 0 et fn−1 6= 0.Soit x ∈ E tel que fn−1(x) 6= 0.Montrer que : (x, f(x), . . . fn−1(x)) forme une base de E.
Exercice 12.54
On considère les trois formes linéaires sur R3 :
ϕ1(x) = 2x1 − x2 + 3x3, ϕ2(x) = 3x1 − 5x2 + x3, ϕ3(x) = 4x1 − 7x2 + x3.
ϕ1, ϕ2, ϕ3 forme-t-elle une base de L(R3,R) ? Déterminer les éventuelles relations linéaires.
Exercice 12.55
Soit E un K−espace vectoriel de dimension 3. Soit g ∈ L(E) tel que g2 = 0.Montrer qu’il existe a ∈ E \ 0 et f ∈ L(E,K) tels que :
∀u ∈ E, g(u) = f(u).a
70
Exercice 12.56
Soient f1, . . . fp p formes linéaires indépendantes sur Kn.Soit f une forme linéaire sur Kn.
1) Montrer que :
f est combinaison linéaire des f1, . . . fp si et seulement sip⋂
i=1
Ker fi ⊂ Ker f.
2) Montrer que le résultat est encore vrai si (f1, . . . fp) est liée
71
Thème 13: Matrices
Exercice 13.1
Soient E et F deux K−espaces vectoriels de dimensions finies, et f ∈ L(E,F ).
1) Donner la définition de la matrice représentant f .
2) Donner la définition d’un produit de matrices.
3) Soient :
• E,F,G trois K−espaces vectoriels de dimensions finies ;
• B1 une base de E, B2 une base de F et B3 une base de G ;
• f ∈ L(E,F ), g ∈ L(F,G).
Montrer que :
M(g f)B1,B3= M(g)B2,B3
×M(f)B1,B2.
Exercice 13.2
1) Donner la définition d’une matrice de passage.
2) Soient :
• E,F deux K−espaces vectoriels de dimensions finies ;
• B1, B′1 bases de E ;
• B2, B′2 bases de F ;
• f ∈ L(E,F ).
On note :
• P = PB1→B′1
;
• Q = PB2→B′2
;
• M = M(f)B1,B2;
• M ′ = M(f)B′1,B′
2.
Montrer que :M ′ = Q−1MP.
Exercice 13.3
1) Donner la définition d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.
2) Montrer que Sn(K) ⊕ An(K) = Mn(K).
3) Montrer que la transposition est la symétrie par rapport à Sn(K) parallèlement à An(K).
Exercice 13.4
1) Donner la définition de deux matrices équivalentes.
2) Soit A ∈ Mn(K). Montrer que :
rg(A) = r ⇐⇒ A est équivalente à Jr.
72
Exercice 13.5
Soit A ∈ Mn(K). Montrer que rg(
tA)
= rg(A).
Exercice 13.6
Soit f l’endomorphisme de R3 qui dans la base canonique est représenté par la matrice :
A =
−2 3 15 1 04 11 3
.
Déterminer une base de Kerf , une base de Im(f) et l’équation linéaire définissant Im(f).
Exercice 13.7
Soit f ∈ L(R3,R4) canoniquement associée à la matrice : A =
1 −a 2aa −1 a2a 2a 1
2a+ 1 a 2a+ 1
.
Déterminer l’image et le noyau de f .
Exercice 13.8
On considère la matrice A =
1 0 2 41 1 −1 1
−1 1 3 11 2 1 3
.
Soit f ∈ L(R4) l’endomorphisme canoniquement associé à A.
1) Donner une base du noyau de f . Quel est le rang de f ?
2) Donner une équation cartésienne de l’image de f .
Exercice 13.9
Soit f ∈ L(R4) de matrice A =
2 1 3 −13 −1 2 01 3 4 −24 −3 1 1
dans la base canonique.
1) Calculer le rang de f .Former un système d’équations de Im(f). Donner une base de Im(f).
2) Former un système d’équations de Ker(f). Donner une base de Ker(f).
Exercice 13.10
1) Existe-t-il des applications linéaires f : R4 7−→ R3 telles que Kerf soit engendré par v = (1, 1, 0,−1) et Imfsoit le plan d’équation x+ y − z = 0 ?
2) Déterminer la forme générale des matrices qui représentent dans les bases canoniques de R4 et de R3 lesapplications linéaires f : R4 7−→ R3 pour lesquelles Kerf = Vect v1, v2, où v1 = (1, 1, 0,−1) et v2 =(0, 1,−1, 0), et Imf est le plan d’équation x+ y − z = 0.
3) Ces matrices forment-elles un espace vectoriel ?
73
Exercice 13.11
Déterminer la matrice qui représente dans la base canonique de R3 la projection sur le plan π d’équationx+ 2y + 3z = 0 parallèlement à la droite D d’équation
x
3=y
2= z.
Exercice 13.12
Soit A =
1 0 −101 1 −50 1 −1
. Vérifier que A3 −A2 + 4A+ 6I = 0.
En déduire que A est inversible et donner son inverse.
Exercice 13.13
Soit A =
2 0 43 −4 121 −2 5
. Vérifier que A(A− I)(A− 2I) = 0.
A est-elle inversible ?
Exercice 13.14
On pose A =
3 2 −35 −1 −21 1 −1
. Déterminer A−1.
Exercice 13.15
On pose A =
0 1 −1−1 −4 51 −5 2
. Déterminer A−1.
Exercice 13.16
Soit N une matrice carrée.
1) Montrer que si N est nilpotente, I −N est inversible.
2) Calculer l’inverse de la matrice :
A =
1 a b c0 1 a b0 0 1 a0 0 0 1
où a, b, c ∈ R.
Exercice 13.17
On considère la matrice :
A =
2 1 00 2 00 0 3
.
Calculer la valeur de An pour tout n ∈ N.
74
Exercice 13.18
On considère la matrice :
A =
1 1 00 1 10 0 1
.
Calculer la valeur de An pour tout n ∈ N.
Exercice 13.19
Soient α et β deux réels vérifiant 0 ≤ α < β ≤ 1 et la matrice M =
(
α 1 − α1 − β β
)
.
1) Écrire M2 en fonction de M et de I2.
2) Plus généralement, pour tout n ∈ N∗, calculer Mn en fonction de M et de I2.
Exercice 13.20
Soient a ∈ R∗ et M =
0 a a2
1/a 0 a1/a2 1/a 0
.
Calculer Mn pour tout n ∈ N.
Exercice 13.21
Soit A =
1 0 −10 1 0
−1 2 1
∈ M3(R).
1) Montrer que A3 − 3A2 + 2A = 0.
2) EN déduire la valeur de An pour tout n ∈ N.
Exercice 13.22
Montrer que l’ensemble G des matrices M(x) =
1 0 0−x2 1 x−2x 0 1
, où x ∈ R est un sous-groupe de (GL3(R), ·)
isomorphe à (R,+).
Exercice 13.23
Soit n ≥ 2 un entier. On considère G le sous-ensemble de Mn(K) constitué des matrices triangulaires supé-rieures dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1, et H le sous-ensemble de Mn(K) constitué des matricestriangulaires supérieures dont tous les termes diagonaux sont égaux à 0.
1) Montrer que (N,N ′) ∈ H2 =⇒ N ×N ′ ∈ H.
2) Montrer que G est un sous-groupe de GLn(K).
75
Exercice 13.24
On considère le sous-espace vectoriel F de C1(R) engendré par la famille B = (sin, cos, sh, ch).
1) Montrer que B est une base de F .
2) On note D l’opérateur de dérivation. Montrer que F est stable par D. On noter a d l’endomorphisme de Finduit par D.
3) On note M la matrice de d dans la base B. Calculer Mn pour tout entier n ∈ N.
4) Montrer que d est un automorphisme de F . Écrire la matrice de d−1 dans la base B.
5) On note f = d− id. Déterminer l’image et le noyau de f .
Exercice 13.25
Soient E = R2[X] et A = a+ bX + cX2 un élément de E. On définit l’application f par :
∀P ∈ E, f(P ) = (AP )′′.
1) Montrer que f est un endomorphisme de E.
2) Donner la matrice M de f dans la base canonique de E.
3) Déterminer une condition sur A pour que f soit bijective.
4) On prend ici A = X2 + 1. Déterminer alors M−1 et Mn pour tout n ∈ N.
Exercice 13.26
Déterminer le centre de Mn(K), c’est à dire l’ensemble des matrices A ∈ Mn(K) telles que :
∀X ∈ Mn(K), AX = XA.
Exercice 13.27
Soit A ∈ Mn(C) telle que :
∀i ∈ 1 . . . n , |ai,i| >n∑
j=1j 6=i
|ai,j|.
Montrer que Ker(A) = 0. En déduire que A est inversible.
Exercice 13.28
Soient M =
4 3 −33 4 −33 3 −2
et f l’endomorphisme de R3 canoniquement associé.
1) Montrer qu’il existe une base B de R3 telle que MB(f) =
4 0 00 1 00 0 1
.
2) Calculer Mn pour n ∈ N.
3) Déterminer une matrice N telles que N2 = M .
76
Exercice 13.29
Mn(R) est rapporté à sa base canonique (Ei,j)1≤i,j≤n.On note V les sous-espace vectoriel de Mn(R) engendré par les matrices de la forme AB − BA, avec A,B
dans Mn(R).
1) Pour i, j, k, l ∈ 1, . . . n, calculer le produit Ei,jEk,l.
2) Montrer que pour tous i, j ∈ 1, . . . n différents, les matrices Ei,j et E1,1 − Ei,i sont dans V .
3) Montrer que V = Ker(tr), où tr désigne la trace d’une matrice.
Exercice 13.30
Soit A ∈ Mn(R). Résoudre l’équation X + tr(X)A = 0, d’inconnue X ∈ Mn(R).
Exercice 13.31
Soit A ∈ Mn(C). On note ∆A =M ∈ Mn(C) | M + tM = tr(M)A
.
1) Montrer que ∆A est un sous-espace vectoriel de Mn(C) contenant An(C).
2) Si tr(A) 6= 2, montrer que ∆A = An(C).
3) Déterminer ∆A dans le cas où tr(A) = 2 et A /∈ Sn(C).
4) Déterminer ∆A dans le cas où tr(A) = 2 et A ∈ Sn(C).
Exercice 13.32
Soient A,B ∈ Mn(R) et f :
∣∣∣∣∣
Mn(R) −→ Mn(R)X 7−→ X + tr(AX)B
1) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(R).
2) Déterminer les conditions nécessaires et suffisantes sur A et B pour que fsoit une symétrie, déterminer alorsla base et la direction de f
Exercice 13.33
On note (Ei,j)1≤i,j≤n la base canonique de Mn(R).
1) Que vaut Ei,jEk, l ?
2) Montrer que les formes linéaires ϕ sur Mn(R) telles que pour tous A,B dans Mn(R), ϕ(AB) = ϕ(BA) sontles formes linéaires proportionnelles à la trace.
3) Quelles sont les formes linéaires ϕ sur Mn(R) telles que pour tous A,B dans GLn(R), ϕ(AB) = ϕ(BA).
77
Thème 14: Séries numériques
Exercice 14.1
Montrer que si une série de terme général un converge, alors la suite (un)n∈N converge vers 0.
Exercice 14.2
Montrer qu’une série à terme général positif est convergente si et seulement si la suite de ses sommes partiellesest majorée.
Exercice 14.3
Soient∑un et
∑vn deux séries à termes positifs.
Montrer que si un ∼ vn, alors∑un et
∑vn on le même caractère convergent ou divergent.
Exercice 14.4
1) Donner la définition de la convergence absolue d’une série.
2) Montrer qu’une série absolument convergente est convergente.
3) La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 14.5
Soit x ∈ R.
1) Donner la définition du développement illimité de x.
2) Montrer que si le développement de x est périodique, alors x est rationnel.
Exercice 14.6
Déterminer le nombre 1,82727... où les décimales s’obtiennent en écrivant après la première les chiffres 2 et 7alternativement.
Exercice 14.7
Calculer le nombre :
0, 297297... × 3, 3636...
Exercice 14.8
Calculer les sommes partielles de la série de terme général1
n2 − 1. En déduire que cette série converge et
calculer la somme+∞∑
n=2
1n2 − 1
.
Exercice 14.9
Montrer que la série de terme général un = ln(
1 − 1n2
)
est convergente et calculer la somme+∞∑
n=2
un.
78
Exercice 14.10
Pour tout entier n ≥ 1, on pose un =xn + (−1)n
noù x ∈ R.
1) Pour quelles valeurs de x la série de terme général un est-elle convergente ?
2) Montrer que la série de terme général un n’est pas absolument convergente.
Exercice 14.11
Soit a ∈ R∗. Pour tout entier n ∈ N, on pose un =ch(n)an
.
1) Montrer que si |a| > e, la série de terme général un est absolument convergente.
2) Montrer que si |a| ≤ e, la série de terme général un est divergente.
Exercice 14.12
1) Soient∑un et
∑vn deux séries à termes positifs.
Montrer que la série de terme général max(un, vn) est convergente si et seulement si les séries de termegénéral un et vn sont toutes les deux convergentes.
2) Trouver des séries∑un et
∑vn à termes positifs et divergentes telles que : ∀n ∈ N, min(un, vn) = 0.
Exercice 14.13
Déterminer la nature de la série de terme général :
a) ln
(
n2 + n+ 1n2 + n− 1
)
b)
√
ln(n)n
c) 1 − cos(
1n
)
Exercice 14.14
Déterminer la nature de la série de terme général :
a)1
n+ (−1)n√n
b) ln(
cos(
1n
))
c)n√n
nαoù α ∈ R.
Exercice 14.15
Déterminer la nature de la série de terme général :
a) ln(
1 +1n2
)
b) n− ln(ln(n))c)
ln(n2 + 1)nα ln(n)
où α ∈ R.
Exercice 14.16 Règle de D’Alembert
Soit∑un une série à termes strictement positifs.
1) Soit λ ∈]0; 1[. Montrer que s’il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ≥ n0,un+1
un≤ λ, alors la série
∑un
converge.
2) Montrer que s’il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ≥ n0,un+1
un≥ 1, alors la série
∑un est grossièrement
divergente.
3) On suppose à présent que limn→+∞
un+1
un= ℓ ∈ R+. Montrer que si ℓ < 1, alors
∑un converge, et que si ℓ > 1,
alors∑un diverge.
4) Déterminer la nature de la suite de terme généralnn
4nn!.
79
Exercice 14.17 Règle de Cauchy
Soit∑un une série à termes positifs.
1) Soit λ ∈]0; 1[. Montrer que s’il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ≥ n0, n√un ≤ λ, alors la série
∑un
converge.
2) Montrer que s’il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ≥ n0, n√un ≥ 1, alors la série
∑un est grossièrement
divergente.
3) On suppose à présent que limn→+∞
n√un = ℓ ∈ R+. Montrer que si ℓ < 1, alors
∑un converge, et que si ℓ > 1,
alors∑un diverge.
4) Déterminer la nature de la suite de terme généralnln(n)
(ln(n))n .
Exercice 14.18
Pour tout entier n ≥ 1, on pose un =1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)
2 × 4 × 6 × · · · × (2n).
1) Montrer que la suite de terme général nun est croissante.
2) En déduire que la série de terme général un est divergente.
Exercice 14.19
Pour tout entier n ≥ 2, on pose un =1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 3)
2 × 4 × 6 × · · · × (2n).
1) Montrer que pour tout nombre réel α > 0, on a :
(n+ 1)α
nα
un+1
un=(
1 − 32n+ 2
)(
1 +1n
)α
.
2) Supposons 0 < α <32
. Montrer que pour tout entier n assez grand, on a (n + 1)αun+1 ≤ nαun.
3) Montrer que la série de terme général un est convergente.
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Thème 15: Dénombrement
Exercice 15.1
Soient E un ensemble fini et A,B deux sous-ensembles de E. Montrer que A∪B est un ensemble fini et que :
card(A ∪B) = card(A) + card(B) − card(A ∩B).
Exercice 15.2
Soient E, F deux ensembles finis.
1) Montrer que F(E,F ) est un ensemble fini, et déterminer card(F(E,F )).
2) Déterminer le nombre d’applications injectives de E dans F .
Exercice 15.3
Soient p, n deux entiers naturels.
1) Déterminer le nombre
(
n
p
)
de combinaisons de p éléments parmi n.
2) Montrer que :
(
n
p
)
+
(
n
p+ 1
)
=
(
n+ 1p+ 1
)
.
Exercice 15.4
Une main au poker est constituée de 5 cartes prises dans un jeu de 32 cartes ordinaire.Combien existe-t-il de mains différentes contenant ...
1) Un carré (4 cartes de la même hauteur) ?
2) Deux paires (deux fois exactement 2 cartes de même hauteur, les hauteurs étant différentes) ?
3) Un full (3 cartes de la même hauteur, les deux autres formant une paire) ?
4) Un brelan seulement(3 cartes de la même hauteur, les deux autres ne formant pas une paire) ?
Exercice 15.5
1) Un triomino est un domino en forme de triangle équilatéral où l’on note, sur une des faces, un chiffre entre0 et 5 dans chacun des trois coins. Combien y a-t-il de triominos différents ?
2) Les numéros sur les triominos sont à présent compris entre 0 et n. Généraliser le résultat obtenu précédem-ment.
Exercice 15.6
Dans un lycée de 1 200 élèves, 652 pratiquent une activité sportive, 327 jouent d’un instrument de musique,et 453 ne font ni sport, ni musique. Déterminer le nombre d’élèves sportifs et musiciens.
Exercice 15.7
On dispose de 12 mouchoirs qui ne diffèrent que par leur couleur : 5 sont bleus, 4 sont verts, et 3 sont rouges.On forme un pile constituée de tous ces mouchoirs.
1) Combien peut-on former de piles différentes ?
2) Dans combien de ces dispositions retrouve-t-on les mouchoirs rouges au-dessus de la pile ?
81
Exercice 15.8
Une urne contient 15 boules numérotées de 1 à 15. Les boules numérotées de 1 à 5 sont blanches, les boulesnumérotées de 6 à 15 sont noires.
1) On tire simultanément cinq boules de l’urne.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien de tirages donnent 2 boules blanches et 3 boules noires ?
2) On tire successivement cinq boules de l’urne sans remise.
a) En tenant compte de l’ordre, combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien de tirages donnent 2 boules blanches et 3 boules noires dans un ordre quelconque ?
Exercice 15.9
Soient n, k ∈ N tels que 2 ≤ k ≤ n. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.
1) On tire simultanément k boules de l’urne.
a) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Soit p ∈ k, ...n. Combien y a-t-il de tirages pour lesquels p est le plus grand numéro tiré ?
2) On tire successivement et sans remise k boules de l’urne.
a) En tenant compte de l’ordre, combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien y a-t-il de tirages commençant par la boule 1 ?
3) On tire successivement avec remise k boules de l’urne.
a) En tenant compte de l’ordre, combien y a-t-il de tirages possibles ?
b) Combien y a-t-il de tirages durant lesquels 2 numéros exactement sont apparus ?
Exercice 15.10
On lance quatre fois un dé. On appelle « tirage » la suite de ces 4 lancers.
1) Combien y a-t-il de tirages différents ?
2) Combien y a-t-il de tirages avec exactement deux numéros différents ?
3) Combien y a-t-il de tirages avec exactement trois numéros différents ?
Exercice 15.11
On lance 3 dés à six faces, discernables les uns des autres (par leur couleur par exemple).
1) Déterminer le nombre total de tirages.
2) Déterminer le nombre de tirages contenant au moins un six.
3) Déterminer le nombre de tirages contenant au moins deux faces identiques.
4) Déterminer le nombre de tirages tels que la somme des trois dés soit paire.
5) Déterminer le nombre de tirages vérifiant les conditions 2) et 3).
6) Déterminer le nombre de tirages vérifiant les conditions 3) et 4).
Exercice 15.12
En France, chaque véhicule possède une immatriculation composée de sept caractères : deux lettres, un tiret,trois chiffres, un tiret et deux lettres. Par exemple BY-338-MA. Les lettres I, O et U ne sont pas utilisées du faitde leur ressemblance avec 1, 0 et V. Par ailleurs, les séries SS et WW ne sont pas utilisées dans le bloc de gaucheet la série SS n’est pas utilisée dans le bloc de droite. Enfin, la série des chiffres démarre à 001. Selon ces données,combien d’immatriculations différentes peut-on attribuer ?
82
Exercice 15.13
Au Lotofoot R©7, le joueur remplit une grille dans laquelle il indique ses pronostics pour 7 matchs de footballà venir. Pour chacun des matchs, il peut cocher une des 3 cases au choix :
• 1 pour une victoire de l’équipe à domicile ;
• N pour un match nul ;
• 2 pour une victoire de l’équipe à l’extérieur.
1) De combien de façons un joueur peu-t-il remplir la grille ?
2) Combien existe-t-il de grilles dans lesquelles tous les pronostics sont faux ?
3) Combien existe-t-il de grilles avec exactement trois pronostics corrects ?
4) Pour gagner, il faut avoir trouvé au moins six pronostics exacts. Quel est le nombre de grilles gagnantes ?
Exercice 15.14
On appelle mot toute suite de lettres, qu’elle ait un sens ou non. Déterminer le nombre de mots :
1) de quatre lettres ;
2) de quatre lettres distinctes ;
3) de quatre lettres distinctes ayant une seule voyelle ;
4) de quatre lettre distinctes ayant une seule voyelle et dont les 3 consonnes ne sont pas côte à côte.
Exercice 15.15
Une grille de mots croisés est un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes, constitué de n× p cases dontcertaines sont noircies et d’autres pas.
1) Dans cette question, on s’intéresse aux grilles à 6 lignes et 4 colonnes avec 4 cases noircies.
a) Combien de grilles différentes peut-on former ?
b) Parmi ces grilles, combien d’entre-elles ont :
• exactement deux coins noircis ?
• au moins un coin noirci ?
• exactement une case noircie par colonne ?
• exactement une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ?
2) On s’intéresse à présent aux grilles à n lignes et p colonnes avec k cases noircies, k ∈ 1, ...np.
a) Combien de grilles différentes peut-on former ?
b) Parmi ces grilles, combien d’entre-elles ont :
a) au plus une case noircie par colonne ?
b) au plus une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ?
Exercice 15.16
On considère n droites du plan usuel telles que deux droites de cette famille ne soient jamais parallèles, ni troisdroites concourantes en un même point. En combien de régions partagent-elles le plan ?
Exercice 15.17
E étant un ensemble de cardinal n, déterminer le nombre de relations binaires antisymétriques que l’ont peutdéfinir sur E.
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Exercice 15.18
Soit E un ensemble à n éléments, n ∈ N∗.
1) Déterminer le nombre de couples (X,Y ) de parties de E tels que X ∩ Y = ∅.
2) Déterminer le nombre de couples (X,Y ) de parties de E tels que X ∪ Y = E.
3) Déterminer le nombre de couples (X,Y ) de parties de E tels que X ⊂ Y .
4) Déterminer le nombre de couples (X,Y ) de parties de E tels que X,Y forme une partition de E.
5) Déterminer le nombre de triplets (X,Y,Z) de parties de E tels que X ∪ Y = Z.
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Thème 16: Probabilités sur un univers fini
Exercice 16.1
Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé.
1) Soient A, B deux événements tels que P(B) 6= 0.Donner la définition de la probabilité conditionnelle de A sachant B.
2) Donner, et démontrer la formule des probabilités composées.
3) Donner, et démontrer la formule des probabilités totales.
Exercice 16.2
Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire trois fois de suite une boule avec remise. Quelle estla probabilité d’obtenir trois nombres...
1) dans un ordre strictement croissant ?
2) dans un ordre croissant au sens large ?
Exercice 16.3
Une urne contient contient 15 boules : 1 noire, 5 blanches et 9 rouges.
1) On tire simultanément et au hasard trois boules de cette urne. Calculer la probabilité des événementssuivants :
a) A : « le tirage est tricolore »
b) B : « parmi les boules tirées figurent exactement une noire et au moins une rouge »
c) C : « les trois boules tirées sont de la même couleur »
2) On suppose que le tirage s’effectue successivement avec remise. Déterminer les probabilités des événementsA,Bet C définis ci-dessus.
Exercice 16.4
Soit n ∈ N∗. On effectue n lancers indépendants d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir pile est pavec 0 < p < 1. On pose q = 1 − p.
1) Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois pile ?
2) Quelle est la probabilité qu’au cours des n lancers, face ne soit jamais suivi de pile ?
Exercice 16.5 Indicatrice d’Euler
Soit n = pα1
1 × ... × pαr
r un entier naturel non nul, décomposé en produit de facteurs premiers. On note φ(n)(appelé indicatrice d’Euler) le nombre d’entiers compris entre 1 et n qui sont premiers avec n. On se propose dedémontrer que :
φ(n) = n
(
1 − 1p1
)
× ...×(
1 − 1pr
)
.
Soit Ω = 1, ...n muni de la probabilité uniforme.
1) Si d est un diviseur de n, on note Dd l’ensemble des multiples de d dans Ω. Calculer P(Dd).
2) Montrer que Dp1, ...,Dpr
sont mutuellement indépendants.
3) En déduire la formule pour φ(n).
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Exercice 16.6
Une compagnie d’assurance automobile a classé ses assurés en trois classes d’âges. Le tableau ci-dessous fournitdeux informations ; la proportion d’assurés appartenant à chaque classe et la probabilité qu’un assuré, d’une classedonnée, déclare au moins un accident au cours de l’année.
Classe Proportion Probabilitémoins de 25 ans 0,25 0,12de 25 à 50 ans 0,53 0,06plus de 50 ans 0,22 0,09
1) Un assuré est tiré au hasard dans le fichier de la compagnie. Quelle est la probabilité qu’il ait déclaré aumoins un accident au cours de l’année ?
2) Quelle est la probabilité qu’un assuré ayant déclaré au moins un accident au cours de l’année soit âgé d’auplus 25 ans ?
3) Quelle est la probabilité pour qu’un assuré âgé de 25 ans ou plus ait au moins un accident au cours del’année ?
4) Quelle est la probabilité qu’un assuré n’ayant déclaré aucun accident soit âgé de 25 à 50 ans ?
Exercice 16.7
Dans une usine, on fabrique des composants électroniques sur trois machines. Les machines M1, M2 et M3
produisent respectivement 50 %, 30 % et 20 % des composants.Le qualiticien de l’usine estime que :
• 2% des composants fabriqués par la machine M1 sont défectueux,
• 3% des composants fabriqués par la machine M2 sont défectueux,
• 5% des composants fabriqués par la machine M3 sont défectueux.
1) Quelle est la probabilité qu’un composant pris au hasard à la sortie de l’usine soit défectueux ?
2) Quelle est la probabilité d’obtenir une pièce défectueuse provenant de M1 ? Les événements « la pièce estdéfectueuse » et « la pièce provient de M1 » sont-ils indépendants ?
3) Un composant est défectueux. Quelle est la probabilité pour qu’il provienne de M1 ?
Exercice 16.8
On dispose de deux dés A et B. Le dé A a quatre faces rouges et deux faces blanches. Le dé B a deux facesrouges et quatre faces blanches. On lance une pièce de monnaie telle que la probabilité d’obtenir pile soit de 1/3.
- Si on obtient pile, on décide de jouer uniquement avec le dé A.
- Si on obtient face, on décide de jouer uniquement avec le dé B.
1) Calculer la probabilité d’obtenir rouge au premier coup.
2) On a obtenu rouge aux deux premiers coups. Calculer la probabilité d’obtenir rouge au troisième coup.
3) On a obtenu rouge aux n premiers coups, avec n ∈ N∗. Calculer la probabilité pn d’avoir utilisé de dé A.
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Exercice 16.9
Trois opérateurs de téléphonie mobile A,B et C possédant chacun un tiers du marché décident de mettre surle marché un nouveau type de forfait annuel. À la fin de l’année, l’évolution des parts de marché se fait de la façonsuivante :
- les clients de la compagnie A se répartissent indifféremment entre A,B et C l’année suivante,
- les clients de la compagnie B restent toujours fidèles à cette compagnie,
- les clients de la compagnie C seront l’année suivante clients de A avec une probabilité 1/12, de B avec uneprobabilité 7/12 et de C avec une probabilité 1/3.
On note pour n ∈ N, an, bn et cn les probabilités pour qu’à l’issue de la nième année, un consommateur décidede s’abonner chez A,B ou C l’année suivante.
1) Déterminer une relation de récurrence entre an+1, bn+1, cn+1 et an, bn, cn.
2) En déduire l’expression de an, bn et cn en fonction de n, et déterminer la limite de ces suites.
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Thème 17: Variables aléatoires sur un espace probabilisé fini
Exercice 17.1
Soit (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini.
1) Donner la définition d’une variable aléatoire.2) Donner la définition de la loi d’une variable aléatoire.3) Montrer que la loi d’une variable aléatoire est une probabilité.
Exercice 17.2
Soient (Ω,P(Ω),P) un espace probabilisé fini et X : Ω −→ E une variable aléatoire.
1) Donner la définitions de l’espérance de X.2) Montrer que l’espérance est linéaire.
3) Énoncer et démontrer l’inégalité de Markov.
Exercice 17.3
Soit n ∈ N∗. Une urne contient une unique boule de couleur blanche.On dispose d’une pièce dont la probabilité de donner pile est p ∈]0; 1[. Les différents lancers de la pièce sont
indépendants. On note q = 1 − p.On lance n fois de suite la pièce. On ajoute des boules noires dans l’urne à chaque fois que l’on obtient pile :
2 pour le premier pile, 3 pour le deuxième, etc...On ajoute donc k + 1 boules noires lors de la k-ième obtention de pile.On note X la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus, et N la variable aléatoire égale au nombre
total de boules dans l’urne à la fin des lancers.
1) Exprimer N en fonction de X.2) Quelle est la loi de X ?3) En déduire l’espérance de N .
On tire une boule dans l’urne et on pose B : « la boule tirée est blanche ».4) Montrer que :
P(B) =n∑
k=0
2(k + 1)(k + 2)
(
n
k
)
pkqn−k.
5) Calculer cette somme.On change la règle : cette fois, on ajoute dans l’urne 2k−1 boules noires lors de l’obtention du k-ième pile.On note N ′ la variable aléatoire égale au nombre total de boules dans l’urne.
6) Exprimer N ′ en fonction de X7) Calculer E(N ′).8) Déterminer la probabilité de l’événement B′ : « la boule tirée est blanche ».
Exercice 17.4
Le jour 0, une action en bourse vaut 1. On suppose que, chaque jour, la valeur de l’action est multipliée parα > 1 avec une probabilité p ∈]0; 1[ ou par β ∈]0; 1[ avec probabilité q = 1 − p. On suppose que ces variationsjournalières sont indépendantes. Fixons n ∈ N∗. On note S la variable aléatoire égale à la valeur de l’action le journ.
1) Déterminer l’espérance et la variance de S.
2) On suppose β1α
. Quelle doit être la valeur de p pour que E(S) = 1 ?
3) On suppose que α = 1 + h et β = 1 − h avec h ∈]0; 1[. Quelle doit être la valeur de p pour que E(S) = 1 ?Que vaut alors V(S) ?
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Exercice 17.5
Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y suivantla loi uniforme sur 1, ..., n.
1) Déterminer la loi et l’espérance de S = max(X,Y ).
2) Déterminer l’espérance de T = min(X,Y ).
3) Calculer l’espérance de ST .
4) Les variables S et T sont-elles indépendantes ?
Exercice 17.6
On lance simultanément deux dés à 6 faces. On appelle Z la variable aléatoire égale à la valeur absolue de ladifférence des numéros obtenus.
1) Déterminer la loi de probabilité de Z.
2) Calculer l’espérance et la variance de Z.
Exercice 17.7
Une urne est composée de n boules numérotées de 1 à n. On effectue des tirages successifs et avec remise danscette urne. On note b1, b2, ...bk, ... les numéros des boules prélevées. Les tirages s’arrêtent dès que bk ≥ bk−1. SoitXn la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
1) Déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour Xn.
2) Déterminer la loi de probabilité de Xn.
3) Calculer l’espérance de Xn, puis limn→+∞
E(Xn).
Exercice 17.8
Une urne contient N boules numérotées de 1 à N .
1) On prélève successivement et avec remise n boules de l’urne.Soient X et Y les variables aléatoires égales au plus petit et au plus grand numéro obtenus.
a) Pour x ∈ 1, ..., N, calculer P(X ≥ x) et en déduire la loi de X.
b) Pour y ∈ 1, ..., N, calculer P(Y ≤ y) et en déduire la loi de Y .
c) Pour x, y ∈ 1, ..., N, calculer P (X > x ∩ Y ≤ y) et en déduire la loi du couple (X,Y ).
2) Mêmes questions lorsque les tirages ont lieu simultanément et sans remise.
Exercice 17.9
Dans une ville, une proportion p de la population est atteinte par un virus contagieux. Si une personne saineest en contact avec une personne contaminée, il y a 2 chances sur 3 qu’elle soit elle-même contaminée.
Un représentant de commerce (en parfaite santé) décide de rendre visite à n habitants de cette ville.
1) Soit N la variable aléatoire égale au nombre de malades rencontrés par le représentant. Quelle est la loi deN ?
2) Quelle est la probabilité que le représentant soit contaminé à l’issue de sa tournée ?
89
Exercice 17.10
Le service après-vente d’un hypermarché spécialisé dans la vente de matériel informatique dispose d’équipesintervenant sur appel de la clientèle. Les interventions ont parfois lieu avec du retard. On admet que les appelsont lieu indépendamment les uns des autres et que pour chaque appel, la probabilité d’un retard est de 0,25.
1) Un client appelle le service à huit reprises. On désigne par X le nombre de fois où ce client a dû subir unretard.
a) Déterminer la loi, l’espérance et la variance de X.
b) Calculer la probabilité de l’événement « le client a subi au moins un retard ».
c) Calculer la probabilité de l’événement « le client a subi moins de quatre retards ».
d) Calculer la probabilité de l’événement « le client a subi moins de quatre retards sachant qu’il en a subiau moins un ».
2) On considère un groupe de huit clients différents. Deux d’entre eux sont mécontents parce qu’ils ont dû subirun retard à la suite de leur appel. On contacte, au hasard, quatre personnes parmi ces huit. On appelle Yla variables aléatoire égale au nombre de clients mécontents parmi les quatre contactés.
a) Quelle est la loi de probabilité de Y ?
b) Quelle est l’espérance mathématique de Y ?
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Thème 18: Espaces préhilbertiens réels
Exercice 18.1
1) Donner la définition d’un produit scalaire sur un espace vectoriel E.
2) Énoncer et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
3) En déduire la propriété de l’inégalité triangulaire.
Exercice 18.2
Soit E un espace euclidien.
1) Donner la définition d’une famille orthonormée de vecteurs de E.
2) Montrer que si B = (e1, ..., en) est une base orthonormée de E, alors ∀x ∈ E, x =n∑
i=1
〈x, ei〉ei.
Exercice 18.3
Soit E un espace euclidien.
1) Donner la définition de l’orthogonal d’une partie de E.
2) Soient A,B deux parties de E. Montrer que :
a) A ⊂ B =⇒ B⊥ ⊂ A⊥.
b) (Vect(A))⊥ = A⊥.
91
Bibliographie
[1] Eric Billault, Walter Damin, Robert Ferréol, Laurent Garci, Rodolphe Garin, Nicolas Pazat, and Eric Rey-naud. Khôlles de Maths. ellipses, 2012.
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