electrocinetiqu mpsi

Lycée technique Mohamed VCentre des classes préparatoiresBéni Mellal

M.P.S.I

COURS DE PHYSIQUE

MPSI

ÉLECTROCINÉTIQUE

EL FILALI SAID

ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

CPGE/Béni Mellal Page -2/73- -SAID EL FILALI -

Table des matières

1 LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DE L’APPROXIMATION DES RÉGIMES QUASI-PERMANENTS 51.1 INTRODUCTION. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Bilan de charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Loi des nœuds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Tension électrique, loi des mailles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 La puissance électromagnétique reçue par un dipôle. . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Caractère générateur et récepteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRES EN RÉGIME CONTINU OU QUASI-PERMANENT 92.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Modélisation de dipoles passifs linéairesR,C etL . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Le conducteur ohmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1.1 Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques. . . . . . . . . . . . . . 102.2.1.3 EffetJoule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

2.2.2 Le condensateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.2.2.1 Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112.2.2.2 Association des condensateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2.3 Aspect énergétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 La bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.2.3.1 Modélisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.2.3.2 Aspect énergétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Diviseurs de tension et de courant.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.1 Diviseurs de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.3.2 Diviseurs de tension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.1 Générateur de courant (représentation deNORTON) . . . . . . . . . . . . 142.4.2 Générateur de tension (représentation deTHEVENIN) . . . . . . . . . . . 152.4.3 Équivalence entre les deux modélisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 THÉORÈMES DE BASES ET MODÉLISATIONS DES RÉSEAUX LINÉAIRES 173.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173.2 Théorème de Millman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

3

TABLE DES MATIÈRES ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

3.3 Théorème de superposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183.4 Théorème Thevenin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193.5 Théorème de Norton :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

4 Régime transitoire 234.1 Cas du circuit (R-C) :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

4.1.1 Charge du condensateur (régime forcé) :. . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.1.1 L’équation différentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.1.2 Détermination expérimentale de la constante de tempsτ : . . . . 24

4.1.1.2.1 La pente à l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.1.2.2 la valeur deu(τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.1.2.3 Temps de montée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1.3 Le portrait de phase :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.1.3.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase. . . . . . . . . . 26

4.1.1.4 Aspect énergétique :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) :. . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.2.1 Équation différentielle et solution :. . . . . . . . . . . . . . . . 274.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase :. . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Cas du circuit (R-L) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.2.1 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

4.2.1.1 L’équation différentielle et solution. . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.1.2 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2.1.3 Aspect énergétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Régime libre :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304.3 Circuit (RLC) série : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

4.3.1 Régime libre :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314.3.1.1 Régime apériodique ∆′ > 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.1.2 Régime critique ∆′ = 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.1.3 Régime pseudopériodique ∆′ < 0 : . . . . . . . . . . . . . 33

4.3.2 Régime forcé : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

5 Régime alternatif sinusoidal 395.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes. . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Amplitude complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395.1.2 Impedance complexe et admittance complexe :. . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.2.1 Définitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .405.1.2.2 Applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

5.1.2.2.1 Impedance d’un resistor . . . . . . . . . . . . . . . . 415.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale. . . . . . . . . . . . 415.1.2.2.3 Impedance d’un condensateur . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal forcé. . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.1 Régime transitoire et régime permanent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.2 Étude de l’impedance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge). . . . . . . . 44

5.2.3.1 Équation différentielle et solution. . . . . . . . . . . . . . . . . 44



5.2.3.2 Étude de l’amplitudeUc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge. . . . . . . . . . . . . 465.2.3.4 Étude du déphasageφ = ϕc − ϕe . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.4 Résonance en intensité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .485.2.4.1 Étude de l’amplitudeIm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.4.2 La bande passante à -3dB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.4.3 Étude du déphasageϕ = ϕi − ϕe . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3 La puissance :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505.3.1 Facteur de puissance :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .505.3.2 Adaptation d’impedance :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Diagramme de BODE des filtres du premier et second ordre 556.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .556.1.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .556.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle . . . . . . . . 566.1.4 Diagrammes de BODE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

6.2 Filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .576.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .576.2.2 Principaux types de filtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.3 Filtres du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .586.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3.1.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain :. . . . . . . . . . . . . . . . 596.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase :. . . . . . . . . . . . . . . 59

6.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.2.1 L’étude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain :. . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase :. . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Filtres du deuxième ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .626.4.1 Filtre passe-bas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

6.4.1.1 L’étude d’un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.1.2 Diagramme deBodepour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.1.3 Diagramme deBodepour la phase. . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.4.2 Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .646.4.2.1 L’étude d’un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4.2.2 Diagramme deBodepour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4.2.3 Diagramme deBodepour la phase. . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4.3 Filtre passe-bande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .676.4.3.1 L’étude d’un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.4.3.2 Diagramme deBodepour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4.3.3 Diagramme deBodepour la phase. . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.4.4.1 L’étude d’un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.4.4.2 Diagramme deBodepour le gain . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.4.4.2.1 Comportement asymptotique. . . . . . . . . . . . . . 71



6.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques va-leurs deQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.4.4.2.3 La bande passante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.4.4.3 Diagramme deBodepour la phase. . . . . . . . . . . . . . . . 73


Chapitre 1

LOIS GÉNÉRALES DANS LE CADRE DEL’APPROXIMATION DES RÉGIMESQUASI-PERMANENTS

1.1 INTRODUCTION

• L’éléctrocinétique:Il s’agit de l’étude du transport d’information (courant électrique ) dans des réseaux élec-triques.

• Cadre de l’étude:L’étude de l’éléctrocinétique se fait dans le cadre de l’Approximation des états (ou régimes)quasi-stationnaires ( quasi-permanent ) noté ARQP ou AEQS (plus de détail voir MP). eneffet :L’approximation des états quasi-stationnaires consiste àlimiter l’étude des réseaux éléc-trocinétiques à des dimensions maximalesℓmax et à des durées minimalesτmin vérifiant lacondition suivante :

ℓmax

τmin

≪ co c0 = 2, 99792458 108 ms−1

co étant la célérité de la lumière .Remarque-1 :

Dans ce cadre,on peut négliger tout phénomène de propagation dans le réseau éléctroci-nétique ; en particulier, la modification d’une grandeur électrique en un point du circuit apour conséquence des modifications instantanées des grandeurs analogues caractérisant lesautres points du réseau.

• Exemples:⊲ Pour un circuit de dimensionℓmax = 3 m, on trouveτmin ≫ 10−8 s ; on pourra donc seplacer dans le cadre de l’ARQP pour l’étude d’un signal de fréquencefmax ≪ 108 Hz =100 MHz, ce qui correspond à ce qu’on appelleélectronique basse fréquence.⊲ Par contre, l’électronique de haute fréquence peut imposerla miniaturisation des cir-cuits, sous peine de sortir du domaine de l’ARQP ; ainsi à la fréquence de réception des

7

1.2. COURANT ÉLECTRIQUE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

signaux de téléphonie cellulaire (f = 1800 MHz doncτmin = 5, 6.10−10 s), l’ARQP im-poseℓmax ≪ 17 cm, ce qui est nettement plus restrictif.⊲ Pour le courant industriel, à la fréquencef = 50 Hz, donc avecτmin = 20 ms ; lacondition de l’ARQP impose doncℓmax ≪ 6000 km : cette condition est aisément rempliepour un réseau domestique ou une installation industrielle. Par contre, dans un réseau d’ali-mentation de puissance à l’échelle continentale, il est indispensable de prendre en compteles effets de propagation.

1.2 Courant électrique

1.2.1 Définition

Une charge électriquedq qui traverse une surfaceS pendant un intervalle de tempsdt créeun courant d’intensitéi telle que:

i =dq

dt⇐⇒ q =

∫

i dt

Si q(C) et t(s) alors i(A).

Remarque-2 :

Le sens du courant est le sens du déplacement des porteurs de charges positifs.

Application :(Mouvement de porteurs(NHP page 21))

1.2.2 Bilan de charges

On admet que la charge (q) et la masse (m) d’un système isolé sont conservatives.

1.2.3 Loi des nœuds

Définition :On appelle nœud un point de jonction entre au moins trois fils de connexion.La loi des nœuds est une conséquence de la conservation de la charge électrique dans le cadre del’ARQP. La charge électrique ne peut pas s’accumuler au niveau des nœuds.

∑

ie =∑

is ⇐⇒N

∑

k=0

εkik = 0

avecε2 = 1.C’est la première loi deKirchhoff .


1.3. TENSION ÉLECTRIQUE, LOI DES MAILLES ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

1.3 Tension électrique, loi des mailles

• On appelle branche un ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds .• On appelle maille un ensemble de branches formant un contourfermé .

Remarque-3 :

Une maille peut être orientée arbitrairement.• On admet que la somme algébrique des tensions (ou différencede potentiel ) dans une maille

est nulle : c’est la deuxième loi deKirchhoff .

N∑

k=0

εkuk = 0

1.4 La puissance électromagnétique reçue par un dipôle

Soit un dipôle D traversé par un courant électriquei(t) , maintenant entre ces bornes unetensionuAB.

i(t)

uAB

D

La puissance électromagnétique reçue par le dipôle D est donnée par :

P = uAB(t)i(t)

Et par conséquent l’énergie reçue pendant la duréetf − ti vaut :

W =

∫ tf

ti

uAB(t)i(t) dt

Remarque-4 :

On adopte la convention thermodynamique :⋆ L’énergie reçue par un système sera comptée positive.⋆ L’énergie fournie par un système sera comptée négative.

1.5 Caractère générateur et récepteur

i

u

D

Convention générateur

i

u

D

Convention récepteur


1.5. CARACTÈRE GÉNÉRATEUR ET RÉCEPTEUR ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

• En convention générateur les flèches représentant la tension et le courant sont dans le mêmesens La quantitéP = ui représente la puissance électrique cédée par le dipôle au reste ducircuit.

• En convention récepteur les flèches représentant la tensionet le courant sont en sens in-verses. La quantitéP = ui représente la puissance électrique reçue par le dipôle .


Chapitre 2

ÉLÉMENTS DE CIRCUITS LINÉAIRESEN RÉGIME CONTINU OUQUASI-PERMANENT

2.1 Définition

iD

uD

D

Un dipôle D est dit linéaire si le courantiD et la tensionuD sont reliés par une équation linéaireExemples:Le conducteur ohmique , le condensateur , la bobine , le générateur (dans le domaine de linéarité(voir TD))

2.2 Modélisation de dipoles passifs linéairesR,C et L

2.2.1 Le conducteur ohmique

2.2.1.1 Modélisation

i

u

Résistori

u

Résistance R≡

On modélise un resistor par une résistance R tel que :

u = Ri

On conclut que le résistor est un dipôle linéaire.

11

2.2. MODÉLISATION DE DIPOLES PASSIFS LINÉAIRESR,C ET LÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

Remarque-5 :

1. Pour un fil cylindrique de sectionS et de longueurℓ et de résistivitéρ alors :

R =1

G= ρ

ℓ

S=

1

σ

ℓ

S

avec :G la conductivité (S (siemens)) ,ρ la résistivité du conducteur (Ω.m) etσ la conduc-tivité du conducteur (S.m−1)

2. ρ représente la résistance d’un d’un fil de section 1m2 et de longueur 1m ; ainsi pourσ.

3. Un conducteur ohmique est dit parfait s’il ne présente pasde propriétés diélectiques (εr = 1)et magnétiques (µr = 1).(Voir cours d’électromagnétismes des milieux)

2.2.1.2 Association des conducteurs ohmiques

• Des résistances sont montées en série s’elles sont traversées par lemême courantet on a :

Re =i=N∑

i=1

Ri

• Des résistances sont montées en parallèle s’elles sont maintenues par lamême tensionet on a :

1

Re

=i=N∑

i=1

1

Ri

Application :Deux résistancesR1 etR2 en parallèle alors :

Re =R1R2

R1 + R2

=Produit

Somme

2.2.1.3 Effet Joule

Lorsque un couranti traverse une résistanceR pendant la duréedt , on a dissipation del’énergie

dEJ = dWJ = uRiR dt =⇒ WJ =

∫ tf

ti

uRiR dt

En continue :

WJ = RI2∆t =⇒ PJ = RI2



2.2.2 Le condensateur


Constitué par deux conducteurs en influence totale ,séparés par un di-électrique (papier ,mica ,plastique,.....) ;on le modélise par une capacitéC en parallèle avec une resistance de fuiteRf

A B

C

Rf

Pour les condensateurs électrochimiques (polarisés et la valeur de C varie de quelquesmF àquelquesF la resistance de fuiteRf > 1MΩUn condensateur est dit idéal siRf → ∞

Convention récepteur

i

+q −qA B

u

Le condensateur se charge

u =q

C; i =

dq

dt> 0

Convention générateur

i

+q −qA B

u

Le condensateur se décharge

u =q

C; i = −dq

dt< 0

Remarque-6 :

1. Pour un condensateur plan dont les armatures ont une sectionS et séparé par une distance

e on a :C = εoS

e.

2. Si l’espace entre les armatures du condensateur est rempli par un diélectrique de permitivitédiélectriqueεr alorsC = εrCo

2.2.2.2 Association des condensateurs

• Association série :1

Ce

=i=N∑

i=1

1

Ci

• Association parallèle :

Ce =i=N∑

i=1

Ci

2.2.2.3 Aspect énergétique

L’énergie d’un condensateur idéal est :

Epe =q2

2C=⇒ P (t) = lim

∆t→0

∆Epe

∆t=

1

2Clim

∆t→0

∆q2

∆t



Remarque-7 :La tension aux bornes du condensateur ainsi sa charge sont des fonctions continues en fonctiondu temps.

En effet : on supposeqc est discontinue ;c’est à dire∆qc 6=0 ∀ ∆t < εSi qc est discontinue alorsq2

c est discontinue ce qui donne :

P(t) =1

2Clim

∆t→0

∆q2

∆t→ ∞ impossible physiquement

.DoncLa charge (la tension ) du condensateur est continue t

q

∆qe

to

Remarque-8 :La valeur de C ; la tensionUmax ainsi la polarité sont données par le constructeur.

2.2.3 La bobine

Une bobine est un fil conducteur enroulé sur un isolant


On modélise une bobine par une inductanceL en série avec une resistancer.

i L r

UConvention récepteur

On convention récepteur on donc :

u = Ldi

dt+ ri

Remarque-9 :• Pour les bobines sans noyau de fer :L = cte(i),L ne depend pas dei.Par contre les bobinesavec noyau de ferL = L(i)Mais pouri faible on peut considérerL ≃ cte (un DL à l’ordre 0 au voisinage de i)

• L’énergie d’une bobine parfaite (r = 0) : Epm =1

2Li2

• Association des bobines parfaites :

⋆ Parallèle :1

Le

=∑

1Li

⋆ Série :Le =∑

Li


• L’intensité du courant qui traverse une bobine est une fonction continue de temps


2.3. DIVISEURS DE TENSION ET DE COURANT. ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

2.3 Diviseurs de tension et de courant.

2.3.1 Diviseurs de courant

Soit une association parallèle des résistancesRk :

I

IN

Ik

I1

I

SoitRe la résistance équivalente ;c’est à dire1

Re

=k=N∑

k=1

1

Rk

; on a donc :U = RkIk = ReI avecI

le courant principal ; il en résulte que :

Ik =Re

Rk

I

C’est le diviseur de courant

Cas particulier important:N = 2

I1 =R2

R1 + R2

I et I2 =R1

R1 + R2

I

Remarque-10 :

Si R1 = R2 =⇒ I1 = I2 =I

2: méthode demi-courant utiliser pour déterminer les résistances de

faibles valeurs (voir TP)

2.3.2 Diviseurs de tension

Soit une association série de N résistancesRk aveck = 1 → N :

R1 R2

RNU

Rk RN−1


2.4. MODÉLISATIONS LINÉAIRES D’UN DIPÔLE ACTIF ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

Soit Uk la tension aux bornes de la résistanceRk et Re la résistance équivalente c’est à dire

Re =k=N∑

k=1

Rk .On a :I =Uk

Rk

=U

Re; ce qui donne la loi du diviseur de tension :

Uk =Rk

Re

U =Rk

k=N∑

k=1

Rk

U

Cas particulier important:N = 2

U1 =R1

R1 + R2

U et U2 =R2

R1 + R2

I

Remarque-11 :

SiR1 = R2 =⇒ U1 = U2 =U

2: méthode demi-tension utiliser pour déterminer les résistances de

grandes valeurs (voir TP)

2.4 Modélisations linéaires d’un dipôle actif

Soit un circuit électrique linéaire ( constitué des dipoleslinéaires) contenant une source depuissance électrique ; A et B deux points de ce circuit.

bc

bc

A

BCircuit

linéaireUAB

I

2.4.1 Générateur de courant (représentation de NORTON)

Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser lereste du circuit par ungénérateur de courant réel de courant électromoteurIN et de résistance internerN ( générateurde courant idéal en parallèle avec une résistance) : C’est la modélisation deNorton .

bc

bc

UAB

A

B

I

IN RN

Dans cette modélisation on a :

I = IN − UAB

RN

= IN − GNUAB



2.4.2 Générateur de tension (représentation de THEVENIN )

Vue entre les points A et B de la branche AB on peut modéliser lereste du circuit par ungénérateur de tension réel de force électromotriceEth et de résistance internerth ( générateur detension idéal en série avec une résistance) : C’est la modélisation deThevenin.

bc

bc

UAB

A

B

I

Eth

rth

Dans cette modélisation on a :

UAB = Eth − rthI =⇒ I =Eth

rth

− UAB

rth

2.4.3 Équivalence entre les deux modélisations

Puisque dans les deux modèles deTheveninet Norton le courantI et la tensionUAB sont lesmêmes quelque soit le circuit linéaire alors on en déduit que:

IN =Eth

rth

et rN = rth


Chapitre 3

THÉORÈMES DE BASES ETMODÉLISATIONS DES RÉSEAUXLINÉAIRES

3.1 Définitions

• Un générateur (de tension ou de courant ) est une source de puissance qui fournit de l’éner-gie au circuit extérieur .• Générateur indépendant : source de puissance électrique indépendante d’autre grandeur élec-trique du circuit.• Générateur lié : si une des grandeurs physiques dépend d’unegrandeur électrique du circuit .Exemple :Le transistor : c’est un générateur de courant en régime linéaire puisqueIc = βIB (générateur decourant lié).

3.2 Théorème de Millman

Le théorème deMillmann n’est rien d’autre que la loi des nœuds exprimé en terme de potentiel(reference commune est la masse )On a :I1 + I2 + I3 + I4 − I5 + I6 = 0

I1 =V1 − VM

R1

= G1(V1 − VM)

I2 =V2 − VM

R2

= G2(V2 − VM)

I3 =V3 − VM

R3

= G3(V3 − VM)

I4 =V4 − VM

R4

= G4(V4 − VM)

R1

R4

R3

R2

V1

V2

V3

V4

M

I

I

5

6

I1

I2

I3

I4

G1(V1 − VM) + G2(V2 − VM) + G3(V3 − VM) + G4(V4 − VM) − I5 + I6 = 0

19

3.3. THÉORÈME DE SUPERPOSITION ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

On tire que :

VM =−I5 + I6 + G1V1 + G2V2 + G3V3 + G4V4

G1 + G2 + G3 + G4

=

∑

GiVi + εIi∑

Gi

Application : Voir TD

3.3 Théorème de superposition

Énoncé :Le courantI qui circule dans la branche AB d’un réseauélectrique linéaire peut s’écrire comme la somme des cou-rants électriques qu’impose chaque source de puissance(générateur) électrique dans cette branche comme s’elleétait seule

R1 R4

R3 R5

R2

A

B

(E1, r1) (E2, r2)

I

Remarque-12 :⋆ éteindre une source de courant idéale est équivalent à un interrupteur ouvert.⋆ éteindre une source de tension idéale est équivalent à un interrupteur fermé (fil).

PosonsI = I ′ + I” ; avecI ′ : le courant fournit parE1 et I” : le courant fournit parE2

Détermination deI ′ :On pose :R′

1 = R1 + R3 etR′4 = R4 + R5

On applique le diviseur de courant on obtient :

• I ′ =r2 + R′

4

R2 + R′4 + r2

I1

• I1 =E1

Re

; avec :Re = R′1 + r1 + (R2//(R

′4 + r2))

Re =(R′

1 + r1)(R2 + R′4 + r2) + R2(R

′4 + r2)

R2 + R′4 + r2

R1 R4

R3 R5

R2

A

B

(E1, r1) r2

I ′

I1

I ′ =(r2 + R′

4)E1

(R′1 + r1)(R2 + R′

4 + r2) + R2(R′4 + r2)

Détermination deI” :

• I” =r1 + R′

1

R2 + R′1 + r1

I2

• I2 =E2

R′e

; avec :

R′e =

(R′4 + r2)(R2 + R′

1 + r1) + R2(R′1 + r1)

R2 + R′1 + r1

R1 R4

R3 R5

R2

A

B

(E2, r2)r1

I”

I2

I” =(r1 + R′

1)E2

(R′4 + r2)(R2 + R′

1 + r1) + R2(R′1 + r1)


3.4. THÉORÈME THEVENIN ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

On en déduit que :

I = I ′ + I” =(r2 + R′

4)E1

(R′1 + r1)(R2 + R′

4 + r2) + R2(R′4 + r2)

+(r2 + R′

4)E1

(R′1 + r1)(R2 + R′

4 + r2) + R2(R′4 + r2)

3.4 Théorème Thevenin

Énoncé :Un réseau électrique linéaire peut être modéliser ,vu des points A et B par une source de Théve-nin dont la force électromotriceEth et l’impedanceZth (rth) sont données par :

⋆ Zth : En mesurant l’impedance du reseau (la charge étant enlevée)entre les points A etB lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes.

⋆ Eth : La tensionUAB à vide (I = 0) aux bornes du réseaux (on enlève la resistanceRAB

Eth = UAB)I=0

A

B

ETh

RThCircuit linéaire quelconque entre A et B

Ith

RAB Ith =Eth

Rth + RAB


3.5. THÉORÈME DE NORTON : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

Application :pont de Wheatstone :Utiliser pour la mesure des résistances (impedances)

b A

B

ETh

RThR2

R1

R3

R4

E

A

B

DR

b

R

Détermination de la résistance deThevenin :

R2

R1

R3

R4

A

B

A

B

R1 R4

R2 R3

rth =R1R4

R1 + R4+

R2R3

R2 + R3

Détermination de la fem du générateur deTheve-nin :

R2

R1

R3

R4

E

A

B

DUAB(vide)

Eth =R2R4 − R1R3

(R1 + R4)(R2 + R3)E

D’où :

IAB =

R2R4 − R1R3

(R1 + R4)(R2 + R3)E

R +R1R4

R1 + R4

+R2R3

R2 + R3

On dit que le pont est en équilibre siIAB = 0 par conséquent :

R2R4 = R1R3

condition d’équilibre (règle de gamma)

3.5 Théorème de Norton :

Énoncé :Un réseau électrique linéaire peut être vu des points A et B lorsque on enlève la charge commeune source de Norton d’impedanceZN et de courant de court-circuitIN donné par :

⋆ IN : courant de court-circuit qui passe entre A et B (la charge étant enlevée) lorsqueUAB = 0.

⋆ ZN : l’impedance du reseau vu des points A et B lorsque on éteint toutes les sourcesautonomes (indépendantes) ; la charge étant enlevée



R

A

B

N

IN

R Rreseaulinéaire

R

A

B

N

IN

R Rreseaulinéaire

II

I =RN

RN + RIN

Remarque-13 :

• Un générateur de courant idéal siRN → ∞(ne consomme pas d’énergie)• Un générateur de tension est idéal sirth → 0• court-circuité un générateur de tension c’est le remplacerpar un fil ; et court-circuité un

générateur de courant c’est le remplacer par un interrupteur ouvert.

Exercices d’application :( voir TD)


Chapitre 4

Régime transitoire

Le but est de déterminer la constante de tempsτ caractéristique du régime transitoire.Pout cela excitons un système linéaire par une tension continue àt = 0 .

On appelle échelon de tensione(t) défini par :

e(t)

E si t > 00 si t < 0

t

e(t)

E

0

4.1 Cas du circuit (R-C) :

4.1.1 Charge du condensateur (régime forcé) :

4.1.1.1 L’équation différentielle :

Le condensateur est initialement déchargé :q(0) = 0à t = 0 on bascule K vers (1) : C se charge .appliquons la loi des mailles au circuit on obtient :

E − RI − q

C= 0 =⇒ dq

dt+

q

RC=

E

R

c’est l’équation différentielle du circuit

La solution de cette équation différentielle s’écrit :

R

CE

K(1)

(2)

R

CE

I

q(t) = Ae−t/τ + CE ; avecτ = RC la constante du temps caractéristique du régime transitoire.Or par continuité de la charge du condensateur , on a :q(0) = 0 =⇒ A = −CE

Donc : q(t) = CE(1 − e−tτ )

Lorsquet → ∞, q(t) → CE = Qf

q(t) = CE(1 − e−tτ )

25

4.1. CAS DU CIRCUIT (R-C) : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

L’expression du courant électrique :

i(t) =dq

dt= Ime−

tτ

avecIm =E

R

Remarque-14 :On a : i(o−) = 0 , i(0+) = Im on tire quei(t) est discontinu

Représentation graphique

q,i

t

q(t)

i(t)

CE

τ

4.1.1.2 Détermination expérimentale de la constante de tempsτ :

4.1.1.2.1 La pente à l’origine

u(t)

t

Régime permanentE

D

tM

M

On a l’équation de la pente à l’origine (droite)D s’écrit sous la formey = kt aveck =du(t)

dt

)

t=0=

E

τL’intersection des deux droites au point M entM = τL’intersection de la pente à l’origine avec le régime permanent se fait ent = τ = RC



4.1.1.2.2 la valeur deu(τ)

u(t)

t

E

0,63E

τ

Régime permanent

Évaluonsu(τ) avecu(t) = E(1 − exp(−t/τ))

t = τ =⇒ u(τ) = E(1 − 1

e) = 0, 63 E = 63%E

On retient que la valeur0, 63 E = 63%E correspond àt = τ

4.1.1.2.3 Temps de montée :On définit deux instantst1 et t2 par u(t1) = 0, 1E etu(t2) = 0, 9E

Et puisqueu(t) = E(1 − exp(−t/τ) alors t1 = −τ ln 0, 9 et t2 = −τ ln 0, 1.

u(t)

t

E0,9E Régime permanent

0,1E

t t1 2

On définit le temps de montéetm par

tm = t2 − t1 = τ ln 9 ≃ 2, 2τ

Remarque-15 :L’influence de la constante de tempsτ sur la durée de la charge.Pour cela traçons la charge pour différentes valeurs deτ



t

u(t)

=1= 5

= 0,2τ

ττ

Si τ → 0 alors la charge est presque instantanée

4.1.1.3 Le portrait de phase :

4.1.1.3.1 Définitions :

• C’est la représentation dans le plan (O, f(x),f(x)

dt) lorsquet varie.

• On appelle point de phase un point P figuratif dont les coordonnées à un instant donnét sont

(f(t),df(t)

dt).

• Lorsquet varie , le point P décrit une courbe, cette courbe est appelétrajectoire de phase.• On appelle portrait de phase l’ensemble des trajectoires dephase lorsque les conditions initialesvarient.

4.1.1.3.2 Représentation dans le plan de phase :

Dans notre casf(t) = q(t) etdf

dt= i(t).

On aq(t) = CE(1 − exp(−t/τ) et i(t) =E

Rexp(−t/τ) alors :

i =E

R− 1

RCq

C’est l’équation de la trajectoire de phase :droite de pente− 1

RCLorsqueE varie alors la trajectoire de phase décrit des droites parallèles.

q(t)

i(t)



4.1.1.4 Aspect énergétique :

On a :

E = Ri +q

C=⇒ Eidt = Ri2dt +

1

Cqdq

Eidt = Ri2dt + d(q2

2C)

On appelle :

Wc =q2

2C: énergie totale emmagasinée dans le condensateur .

δWg = Eidt : énergie élémentaire fournit par le générateur .δWJ = Ri2dt : énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans le circuit .

∫ t

0

Eidt =

∫ t

0

Ri2dt +

∫ q

0

q

Cdq

4.1.2 Décharge du condensateur (régime libre) :

4.1.2.1 Équation différentielle et solution :

Quand le condensateur est chargé (q = CE = Qf ) ,on bascule l’interrupteur vers la position(2) :donc en prenant l’instant de basculement comme originedes temps ,les conditions initialesseront :q(0) = CE = Qf ; i(0) = 0

Ri +1

Cq = 0 =⇒ q +

1

τq = 0

La solution est :q(t) = Ae−t/τ en utilisant les C.I on obtient :

q(t) = CEe−t/τ ‖ i(t) = −E

Re−t/τ

q

t

CE

0,1CE

0,9CE

0,37CE

t t1090 τ

• Lors de la décharge on a :

tf = t10% − t90%



• q(τ) = 0, 37CE• Le régime permanent estq = 0 (q(t) est une fonction décroissante).

4.1.2.2 L’équation de la trajectoire de phase :

D’après ce qui précède on tire que :

i = − 1

RCq

C’est une droite affine

q(t)i(t)

Remarque-16 • Si on remplace le générateur E et l’interrupteur K par un générateur délivrantun signal rectangulaire (E,0) on obtient le signal suivant :

La suite voir TP.


4.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

4.2 Cas du circuit (R-L) :

4.2.1 Régime forcé :

4.2.1.1 L’équation différentielle et solution

On remplace le condensateur par unebobine idéaledans le circuit précèdent :

l’interrupteur k est en position (1) :E = Ri + Ldi

dtdonc :

di

dt+

R

Li =

E

L

c’est l’équation différentielle du circuit

R

E

i

L

La solution de cette équation différentielle en posant

τ =L

R

Et en tenant compte que le courant qui traverse une bobine estcontinu alors on trouve que :

i(t) =E

R(1 − e−t/τ )

La tension aux bornes de la bobine idéale est :

uL(t) = Ldi

dt= Ee−t/τ

Representation graphique dei(t) etuL(t)

i(t)

t

uL(t)


4.2. CAS DU CIRCUIT (R-L) : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

4.2.1.2 Portrait de phase

On a : i =E

R(1 − exp(−t/τ)) ainsi

di

dt=

E

Lexp(−t/τ)

di

dt=

E

L− R

Li

Le portrait des phase est l’ensemble des droites parallèle de pente−R

L= −1

τ

i(t)

di(t)

dt


E = Ri + Ldi

dt=⇒ Eidt = Ri2dt + d(

1

2Li2)

• δWg = Eidt : l’énergie élémentaire fournie par le générateur.• δWJ = Ri2dt : l’énergie élémentaire perdue par effet Joule.

• δWm = d(1

2Li2) : l’énergie élémentaire emmagasinée par la bobine.

Le bilan énergétique pour le circuit s’écrit

Wg = WJ + Wm

4.2.2 Régime libre :

L’interrupteur maintenant en position (2) ; l’équation différentielle sera donc :

Ri + Ldi

dt= 0 ; les conditions initiales sonti(0) =

E

Rpar changement d’origine des dates ,la solution s’écrit :

i(t) =E

Re−t/τ

La tension au bornes de la bobine est :

uL(t) = −E e−t/τ


4.3. CIRCUIT (RLC) SÉRIE : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

Representation graphique dei(t) etuL(t)

t

i(t)

Im

uL(t)

4.3 Circuit (RLC) série :

Soit le circuit (RLC) série :

R L

C

i

4.3.1 Régime libre :

L’équation différentielle est :

Lq + Rq +1

Cq = 0

On pose :ωo =

√

1

LC: pulsation propre ainsi2α =

R

L=

ωo

Q;α cœfficient d’amortissement etQ

le facteur de qualitéLa forme canonique de l’équation différentielle sera :

q + 2αq + ω2oq = 0

L’équation caractéristique est : r2 + 2αr + ω2o = 0

On pose : ∆′ = α2 − ω2o = (α − ωo)(α + ωo)

4.3.1.1 Régime apériodique ∆′ > 0 :

∆′ > 0 =⇒ α > ωo : Q <1

2



Deux racines réelles distinctes : r± = −α ±√

α2 − ω2o

q(t) = Aer+t + Ber−

t =⇒ q(t) = e−αt[Ae√

α2−ω2ot + Be−

√α2−ω2

ot]

Lorsquet → ∞, e−αt l’emporte ;d’oùq → 0 sans osciller :C’est le régime apériodique.Détermination des constantesA etB :Pour cela on suppose queq(t = 0) = q0 et i(t = 0) = i0

A + B = q0

Ar1 + Br2 = i0=⇒

B =i0 + (α +

√

α2 + ω2o)qo

2√

α2 + ω2o

A =−i0 + (−α +

√

α2 + ω2o)qo

2√

α2 + ω2o

Representation graphique

α = 2, ωo =√

3, A = B = 0.5 =⇒ qap = e−2t cosh t

x

q(t)

i(t)

La trajectoire de phase est :

qi

Trajectoire de phase est une courbe ouverte caractéristique d’un système apériodique

4.3.1.2 Régime critique ∆′ = 0 :

∆′ = 0 =⇒ α = ωo : Q =1

2

Deux racines réelles confondues : r+ = r− = −α = −ωo

q = (c + dt)e−αt

Quand t → ∞, q → 0 rapidement sans osciller : C’est le régime critique.


• d = 1, c = 1, ωo = α = 2 • q = (1 + t)e−2t

q

i


q

i



Remarque-17 :• Le régime critique est le régime le plus rapide qui tend vers le régime permanent (q = 0)• Si c = 0 alors q(t) = dt e−αt

Représentation temporelle

q(t)

t

i(t)

t

Portrait de phasei(t)

q(t)

4.3.1.3 Régime pseudopériodique ∆′ < 0 :

∆′ < 0 =⇒ α < ωo : Q >1

2

∆′ = α2 − ω2o = i2Ω2 avec :Ω2 = ω2

o − α2

Deux racines complexes conjuguées :r1 = −α + iΩ etr2 = −α− iΩ donc la solution s’écrit :

q(t) = e−αt(A cos Ωt + B sin Ωt) = C e−αt cos(Ωt + ϕ)

C’est une fonction pseudopériodique d’amplitudeQm = C e−αt variable en fonction du tempsQm t → +∞−−−−−→ 0

La pseudopériode est :

T =2π

Ω=

To√

1 − ( αωo

)2=

To√

1 − 14Q2




La fonctionq(t) est le produit d’une fonction périodique est une fonction non périodique (am-plitude), et puisque

−C e−αt6 C e−αt cos(Ωt + ϕ) 6 C e−αt

alors on représente les deux enveloppes puis la fonctionq(t) (q(t) ne peut pas dépasser l’enve-loppe)α = 0.5, ωo =

√9, 25, Ω = 3, ϕ = 0, qo = 1 =⇒ qpp = e−0.5t cos 3t

t

q(t)

-C exp(−αt)

C exp(−αt)

t

i(t)

-D exp(−αt)

D exp(−αt)


q(t)

i(t)



Remarque-18 :

On aT =2π

Ω=⇒ T =

2π

ωo

√

1 −( α

ωo

)2et commeTo =

2π

ωo

ainsi 2αωo

=1

QQ étant le

facteur de qualité ; alors

T =To

√

1 −( α

ωo

)2=

To√

1 − 1

4Q2

Siα ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1 ;en effetR très faible ,alorsT ≃ To oscillations synchrones. Commee−αt est un nombre sans dimension alorsα à la dimension d’untemps−1 , on

pose

α =1

τ

τ s’appelle le temps de relaxation ou temps d’amortissement.

Donc pourt = τ l’amplitudeCe−αt(t = τ) =C

eOn conclut donc que :Le temps de relaxation est le temps nécessaire pour que l’amplitude sedivise pare

Pour t = 10τ alors l’amplitudeCe−αt(t = 10τ) =C

22026.46579= 0.0000454C → 0

On retient donc que pourt > 10τ le régime transitoire disparaît.

Aspect énergétique :

On a : Lq + Rq +1

Cq = 0 =⇒ d(

1

2Li2) + Ri2dt + d(

1

2Cq2) = 0

• W. e = d(1

2Cq2) :l’énergie électrostatique élémentaire emmagasinée par le condensateur .

• W. m = d(1

2Li2) :l’énergie magnétique élémentaire emmagasinée par la bobine .

• δWe = Ri2dt :l’énergie élémentaire dissipée par effet Joule dans la resistance .

We + WJ + Wm = 0

le bilan énergétique pour le circuit (RLC série) libre

4.3.2 Régime forcé :

On ajoute au circuit précédent un générateur délivrant une une tension continueE

E

(L,r) C

R

i(t)



L’équation différentielle

On a :E = Ldi

dt+ (R + r)i +

1

Cq et commei =

dq

dt= q convention récepteur et en posant

2α =α

R + retω2

o =1

LCalors la forme canonique de l’équation différentielle est :

q + 2αq + ω2oq =

E

L

Solution de l’équation différentielleLa solution est la somme de deux solutions :• qt(t) solution de l’équation homogène qui tend vers 0 après quelques périodes :elle décrit doncun régime transitoire• qp(t) solution particulière décrit lerégime permanent.On a :• qp(t) = CE• L’expression deqt(t) dépend du signe de∆′.Pour la suite on suppose que∆′ < 0 =⇒ α < ωo : régime pseudo-périodique, donc

qt(t) = Ae−αt cos(Ωt + ϕ)

A l’amplitude ( grandeur positive) etϕ la phase à l’origine deux constantes déterminés par lesconditions initiales ;on suppose queq(t = 0) = 0 condensateur initialement déchargé eti(t = 0)bobine initialement déchargé.q(t) = CE + Ae−αt cos(Ωt + ϕ) =⇒ q(t = 0) = 0 = CE + A cos ϕ (I)i(t) = −Ae−αt(α cos(Ωt + ϕ) + Ω sin(Ωt + ϕ))i(t = 0) = 0 =⇒ α cos ϕ + Ω sin ϕ = 0 (II)D’après (II) :

tan ϕ = −α

Ω

D’après (I) :A = − CE

cos ϕet comme1 + tan2 x =

1

cos2 x=⇒ 1

cos x= ±

√1 + tan2 x

alorsA = ±CE

√

1 +α2

Ω2

PuisqueA est une amplitude alors le signe +, donc

A = CE

√

1 +α2

Ω2

Cas particulier importantα ≪ ωo =⇒ Q ≫ 1Dans ce cas

α ≪ ωo =⇒ Ω = ωo; T = To; A = CE; ϕ = 0

Donc

q(t) = CE(1 + e−αt cos(ωot))

Ainsi

i(t) = −CEe−αt(α cos ωot + ωo sin ωot)



Puisque les fonctionscos x et sin x sont bornées etα ≪ ωo alors

i(t) = −CEωoe−αt sin ωot

Représentation graphique

Représentation de la chargeq(t)

CE

Régime transitoire Régime permanent

t

CE(1+exp(- t))α

CE(1-exp(- t))α

Représentation du courant

CE exp(- t)ω αo

CE exp(- t)ω α o-

i(t)

Régime transitoireRégime permanent

t

Représentation du portrait de phasei(t)

q(t)CE2CE



Remarque-19 :Si on remplace la tension continue E par un générateur de tension carée on obtient le schémasuivant :

representation graphique

Pour toute les détails voir TP régime transitoire


Chapitre 5

Régime alternatif sinusoidal

Un signal alternatif est un signal qui n’admet pas de composante continue (sa valeur moyenneest nulle :< u(t) >= 0) ,en effet son expression s’écrit sous la forme :x(t) = X cos(ωt+ϕ) avec :• X : amplitude du signal (grandeur positive).• ωt + ϕ : la phase.• ω : la pulsation .• ϕ : La phase à l’origine, c’est à dire la phase pourt = 0

5.1 Amplitude complexe ,Impedance et admittance complexes

5.1.1 Amplitude complexe

Soit un signal sinusoidal d’amplitudeXm et de pulsationω, c’et à direx(t) = Xm cos(ωt+ϕ) :A ce signal on peut lui associer :

Un vecteur tournant de normeXm et d’angleθ = ωt + ϕ : représentation deFresnel. Un nombre complexe de moduleXm et d’argumentϕ : représentation complexe.

Rappel:

⊲ | Z1 × Z2 |=| Z1 | + | Z2 | ⊲

∣

∣

∣

∣

Z1

Z2

∣

∣

∣

∣

=| Z1 || Z2 |

⊲ arg(Z1Z2) = arg Z1 + arg Z2 ⊲ arg(Z1/Z2) = arg Z1 − arg Z2

⊲ arg(a > 0) = 0 ⊲ arg(a < 0) = π ⊲ arg(ja)(a > 0) =π

2⊲ arg(ja)(a < 0) = −π

2⊲ = z1 + z2 = z1 + z2 ⊲ z1/z2 = z1/z2

SiZ = a + jb =| Z | ejθ alors :

⊲ | Z |=√

a2 + b2 ⊲ sin θ =b√

a2 + b2=

ℑ(Z)

| Z |⊲ cos θ =

a√a2 + b2

=ℜ(Z)

| Z | ⊲ tan θ =b

a=

ℑ(Z)

ℜ(Z)La notation complexe consiste à associe à une fonction sinusoïdale un nombre complexe :x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) → x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) + jXm sin(ωt + ϕ)=⇒ x(t) = Xmej(ωt+ϕ) = Xmejϕejωt avec :x(t) = ℜ(x(t))

x(t) = Xmejϕejωt

41

5.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXESÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

On rappelle que pour un signal sinusoidal :Xe =Xm√

2: valeur efficace.

On pose :

Xm = Xmejϕ =⇒ Xe = Xeejϕ

On conclut que :

Xe = |Xe| ‖ Xm = |Xm| ‖ ϕ = arg Xm = arg Xe

Intérêt de la notation complexe :⋆ Linéarité : en effet

Six1 = X1m cos(ωt + ϕ1) etx2 = X2m cos(ωt + ϕ2) alors pour :x = x1 + x2 = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ Xmejϕejωt = X1mejϕ1ejωt + X2mejϕ2ejωt

Xm = X1m + X2m

L’addition de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation ω est équivalent à l’addition desamplitudes complexes en notation complexe.

⋆ Dérivation :x(t) = Xm cos(ωt + ϕ) =⇒ x = Xmejϕejωt

=⇒ dx

dt= −ωXm sin(ωt + ϕ) = ωXm cos(ωt + ϕ +

π

2) → ωXmejϕejωte

jπ

2 = jωXmejϕejωt

dx

dt= jωx(t)

Dériver par rapport àt en notation réelle revient à multiplier par (jω) en notation complexe

⋆ Intégration :∫

x(t)dt =1

ωXm sin(ωt + ϕ) =

Xm

ωcos(ωt + ϕ − π

2)

→ Xm

ωejϕejωte

−jπ

2 =Xm

jωejϕejωt

∫

x(t)dt =1

jωx(t)

Intégrer par rapport àt en notation réelle revient à multiplier par (1

jω) en notation complexe

5.1.2 Impedance complexe et admittance complexe :

5.1.2.1 Définitions :

Soit un dipole linéaire AB ; i

A B

U

R

i = Im cos(ωt + ϕi) → i = Imejωt avecIm = Imejϕi


5.1. AMPLITUDE COMPLEXE ,IMPEDANCE ET ADMITTANCE COMPLEXESÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

Puisque le dipole est linéaire alors la tensionu(t) est sinusoidalde même pulsationωu = Um cos(ωt + ϕu) → u = Umejωt avecUm = Umejϕu

On appelle impedance complexe

Z =Um

Im

=U e

Ie

Z =Um

Im

ej(ϕu−ϕi) = Zejϕ

Z = |Z| =Um

Im

(Ω) ‖ ϕ = ϕu − ϕi = arg Z

ϕ étant le déphasage entreu(t) et i(t)

On appelle admittance complexe (S) :

Y m =1

Zm

=Im

Um

=Im

Um

e−jϕ

5.1.2.2 Applications :

5.1.2.2.1 Impedance d’un resistor :

u = Ri =⇒ Um = RIm =⇒•

ZR = R

• u(t) et i(t) sont en phase• ϕR = 0

u(t)

5.1.2.2.2 Impedance d’une bobine idéale :

u = Ldi

dt=⇒ Um = jLωIm =⇒

ZL = jLω

•

ZL = Lω ; ϕL = +π/2

• ϕL > 0 =⇒ u(t) est en quadratureavance par rapport ài(t)• ϕL = π/2 =⇒ ∆t = T/4

u(t)

i(t)

∆t

∆t

∆t


5.2. ÉTUDE DU CIRCUIT RLC SÉRIE EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

5.1.2.2.3 Impedance d’un condensateur :

u =1

C

∫

i(t)dt =⇒ Um =1

jCωIm =⇒

ZC =1

jCω

•

ZC =1

Cω; ϕC = −π/2

• ϕC < 0 =⇒ u(t) est en quadratureretard par rapport ài(t)• |ϕC | = π/2 =⇒ ∆t = T/4

u(t)

i(t)

Remarque-20 :Tous les résultats trouvés en courant continu reste valableen régime sinusoidal forcé à conditionde travailler avec les grandeurs complexes

Exemple :Voir TD

5.2 Étude du circuit RLC série en régime sinusoidal forcé

Soit un circuit RLC série alimenté par un GBF maintenant entre ses bornes une tensione(t) = E cos(ωt + ϕe) avecω = 2πf variable ;f étant la fréquence

R L

C

i

e(t)

5.2.1 Régime transitoire et régime permanent

L’équation différentielle s’écrit :

d2q

dt2+

ωo

Q

dq

dt+ ω2

oq =E

Lcos(ωt + ϕe)

La solution de cette équation différentielle est la somme dedeux solutions :• Une solution de l’équation homogène (sa forme dépend du signe de∆′), cette solution tend vers0 lorsquet → ∞(t > 10τ).• Une solution particulière qui s’écrit sous la formeQ cos(ωt+ϕq) qui décrit le régime permanent.Pour représenter les deux régimes on suppose que∆′ < 0 , ainsi :q(t) = 1e−0,1tcos(2t) + 1 cos(t)



t

q(t)

régime transitoire régime permanent

5.2.2 Étude de l’impedance

RLC en série doncZ = ZR + ZC + ZL alors

Z = (R + r) + j(Lω − 1

Cω)

On tire que :

Z =

√

(R + r)2 + (Lω − 1

Cω)2 = Re

√

1 + Q2(x − 1/x)2

tan ϕ =Lω − 1

CωR + r

Cherchons siZ présente un extremum, pour cela calculonsdZ

dω:

dZ

dω=

(Lω − 1

Cω)(L +

1

Cω2)

√

(R + r)2 + (Lω − 1

Cω)2

dZ

dω= 0 =⇒ Lω =

1

CωOn retient queZ est minimale pourω = ωo =

1√LC

et sa valeur

minimale est

Zmin = R + r



z

R+r

ωωo = 1√

LC

5.2.3 Résonance en tension aux bornes du condensateur (Charge)

5.2.3.1 Équation différentielle et solution

On a :e(t) = Rei + Ldi

dt+

q

cet puisqueuc =

q

Cet i =

dq

dt= C

duc

dtalors

d2uc

dt2+

R

L

duc

dt+

1

LCuc =

1

LCe(t)

En posantω2o =

1

LCet2α =

R

L=

ωo

Qla forme canonique

d2uc

dt2+

ωo

Q

duc

dt+ ω2

ouc = ω2oE cos(ωt + ϕe)

C’est une équation différentielle enuc du second ordre linéaire avec second membre sinusoidal.La solution de cette équation différentielle enrégime permanents’écrit uc(t) = Uc cos(ωt + ϕc).Le problème et de déterminerUc etϕc.On utilise la méthode complexe pour déterminer ces deux grandeurs, pour cela on utilise le divi-seur de tension :

U c =1/jCω

Re + jLω + 1/jCωE =⇒ U c =

1

1 −( ω

ωo

)2

+j

Q

ω

ωo

E

Posons pour la suitex =ω

ωo

: pulsation réduite (sans dimension)

U c =1

1 − x2 +j

QxE



Donc

Uc =E

√

(1 − x2)2 +x2

Q2

ϕc = ϕe − arg(1 − x2 +j

Qx)

5.2.3.2 Étude de l’amplitude Uc

Cherchons siUc présente un extremum ; pour cela calculonsdUc

dx:

dUc

dx= −E

x(

2(x2 − 1) +1

Q2

)

(

(x2 − 1)2 +x2

Q2

)3/2

On conclut donc que :• Uc présente enx = 0 =⇒ ω = 0 (Signal continue) un extremum (solution non importante)

• SiQ >1√2

Uc présente un deuxième extremum en

xR =

√

1 − 1

2Q2=⇒ ωR(charge) = ωo

√

1 − 1

2Q2

Avec

Uc(max) =2EQ2

√

4Q2 − 1

SiQ ≫ 1 alors

Uc(max) = QE

c’est le phénomène de surtension

• SiQ 61√2

Uc ne présente pas un deuxième extremum :Uc une fonction décroissante

Représentation pour quelques valeurs deQ



ωo

ω

E

Q = 0, 2

Q = 5

Q = 7

Uc

Q = 1√2

Remarque-21 PourQ > 5 =⇒ ωR = 0, 9899ωo ≃ ωo

5.2.3.3 La bande passante à -3dB pour la charge

On suppose pour la suite queQ >

√2

2On définit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1, ω2](ou fréquences[f1, f2]

ou [x1, x2]) tel queUc >Uc(max)√

2

Uc

Uc(max)

Uc(max)

=QE

E

ωo

ω

√2

ωc1 ωc2

Vu la courbe deUc en fonction dex on cherche les valeurs dex ou on a l’égalité.Tout calcul (avec maple)fait donne :

xc1 =ωc1

ωo

=

√

1 − 1

2Q2− 1

Q

√

1 − 1

4Q2

∣

∣

∣xc2 =

ωc2

ωo

=

√

1 − 1

2Q2+

1

Q

√

1 − 1

4Q2



SiQ ≫ 1 alors

ωc1 ≃ ωo

√

1 − 1

Q≈ ωo(1 − 1

2Q) et ωc2 ≃ ωo

√

1 +1

Q≈ ωo(1 +

1

2Q)

La largeur de la bande passante à -3dB est :

∆ω = ωc2 − ωc1 =ωo

Q

5.2.3.4 Étude du déphasageφ = ϕc − ϕe

On a :ϕc = ϕe − arg(1 − x2 +j

Qx) donc :

sin φ = − x/Q√

(1 − x2)2 +x2

Q2

< 0

sin φ < 0 =⇒ φ ∈ [−π, 0]

φ = − arg(1 − x2 +j

Qx) =⇒ tan φ = −

x

Q

1 − x2

⊲ x → 0 =⇒ φ → 0

⊲ x → 1 =⇒ φ → −π

2⊲ x → +∞ =⇒ φ → −π en effet :

φ ∈ [−π, π] =⇒ φ +π

2∈ [−π

2,π

2]

tan(φ +π

2) = − 1

tan φ=

Q(1 − x2)

x=⇒ φ = −π

2+ arctan

Q(1 − x2)

x

Pourx → ∞ =⇒ φ → −π

2− π

2= −π

x1

φ

−π

2

−π



5.2.4 Résonance en intensité

En régime permanent le courant à pour expressioni(t) = Im cos(ωt + ϕi) =⇒ i(t) = Imejωt

avecIm = Imejϕi

En appliquant la loi d’Ohm en notation complexe, on obtient

Im =E

Re + jLω +1

jCω

=⇒ Im =E/Re

1 + jQ(x − 1

x)

5.2.4.1 Étude de l’amplitude Im

On a

Im =E

|Z| =E/Re

√

1 + Q2(

x − 1

x

)2

⊲ x = 0 =⇒ Im = 0⊲ x → ∞ =⇒ Im → 0

⊲ Im est maximal siZ est minimal c’est à dire pourω = ωo =1

LC: C’est la pulsation de

résonance du courant

⊲ Im(ωo) =E

Re

= Imax

Representation graphique deIm en fonction du facteur de qualitéQ

i

Q = 4

Q = 2

x1

Q = 8Q = 6

5.2.4.2 La bande passante à -3dB

On définit la bande passante à -3dB par l’intervalle des pulsations [ω1, ω2](ou fréquences

[f1, f2]) tel queIm >Imax√

2c’est à dire1 + Q2

(

x − 1

x

)2

6 2 =⇒ Q2(

x − 1

x

)2

− 1 6 0



x

Im

Imax =E

Re

Imax√2

ωo

x2 =ωc2

ωo

x1 =ωc1

ωo

D’après le graphe deIm = Im(x) on cherche lesx ou l’égalité est satisfaite :

Q2(

x − 1

x

)2

− 1 = 0 =⇒ Q2(x − 1

x)2 = 1

Q2(x − 1

x)2 = 1 =⇒ Q(x − 1

x) = ±1 c’est à dire que

x2 ± 1

Qx − 1 = 0 =⇒ x1/2 = ± 1

2Q+

√

1

2Q2+ 1

x1 =ω1

ωo

= − 1

2Q+

√

1

2Q2+ 1 ; x2 =

ω2

ωo

=1

2Q+

√

1

2Q2+ 1

La largeur de la bande passante à -3dB est :

∆ω = ω2 − ω1 =ωo

Q=

Re

L

La résonance est aiguë si la bande passante est étroite (Re faible)

Remarque-22 :On retrouve la définition du facteur de qualité

Q =ωo

∆ω=

1

R

√

L

C=

Lωo

R=

1

RCωo


5.3. LA PUISSANCE : ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

5.2.4.3 Étude du déphasageϕ = ϕi − ϕe

On aϕi = ϕe − arg(1 + jQ(x − 1

x) en posantϕ = ϕi − ϕe alors

ϕ = − arg(1 + jQ(x − 1

x) =⇒ cos ϕ =

1√

1 + Q2(x − 1

x)2

> 0 =⇒ ϕ ∈ [−π

2,π

2]

⊲ Six → 0 alorsϕ → π

2⊲ Six → ∞ alorsϕ → −π

2⊲ Six → 1(à la résonance en courant) alorsϕ → 0

⊲ Six → x1 = − 1

2Q+

√

1

2Q2+ 1 alorsϕ → +

π

4

⊲ Six → x2 =1

2Q+

√

1

2Q2+ 1 alorsϕ → −π

4

Representation graphique deϕ en fonctionx

x

ϕ

5.3 La puissance :

5.3.1 Facteur de puissance :

⋆ La puissance instantanée :

p(t) =δW

δt= u(t).i(t)



⋆ La puissance moyenne :

Pm =< p(t) >=1

T

∫ T

0

p(t)dt

sachant que• u(t) = Um cos(ωt + ϕu)• i(t) = Im cos(ωt + ϕi)

• cos a cos b =1

2[cos(a + b) + cos(a − b)]

Et en posantϕ = ϕu − ϕi le déphasage de le tension par rapport au courant alors :Pm = UmIm cos(ωt + ϕu) cos(ωt + ϕi)

Pm =< p(t) >=UmIm

2cos ϕ = UeIe cos ϕ

⊲ cos ϕ : facteur de puissance.

⊲ Pm =UmIm

2cos ϕ :puissance active ou puissance utile

⊲ Q =UmIm

2sin ϕ :puissance réactive

⊲ S =UmIm

2:puissance apparente

S2 = P 2m + Q2

Remarque-23 :

ui∗ = UI∗ = UmImej(ϕ+ϕi)e−jϕi = UmIm cos ϕ + jUmIm sin ϕ

Pm =1

2ℜ(ui∗) =

1

2ℜ(UmI∗

m) = ℜ(U eI∗e)

Et puisqueUm = ZIm alors

Pm =I2

2ℜ(Z) = I2

eℜ(Z)

On conclut donc que la puissance moyenne est dissipée dans lapartie réelle de l’impédance com-plexeIntérêt : Soit un générateur alimentant une utilisation à travers une ligne de transport (cables) :

Ligne (Z)

Générateur utilisation

i

cos ϕ



On pose : Pu = UI cos ϕ : La puissance moyenne utile. S = UI : La puissance apparente. PJ = RI2 : La puissance moyenne consommée par la ligne (Z = R + jX) Pg : la puissance moyenne délivrée par le générateur.

Le bilan énergétique s’écrit :Pg = PJ + Pu

Le rendement énergétique de l’ensemble est :

η =Pu

Pg

=1

1 +PJ

Pu

η est une fonction décroissante de

PJ

Pu

=RI2

Pu

=RPu

U2 cos2 ϕ

Pour augmenterη , il faut minimiserPJ

Pu

donc soit :

⊲ DiminuerR (augmenter la section des cables)⊲ AugmenterU (haute tension)⊲ Augmentercos ϕ (en pratiquecos ϕ > 0, 9)

Exemple :Soit un dipôle d’impédance complexeZ = Zejϕ

Pour augmentercos ϕ, on peut placer en parallèle sur le dipôle un condensateur

D C

L’admittance équivalente est

Y e = jCω +1

Z

On veut quecos ϕtotal = 1 =⇒ Y e ∈ R c’est à dire

Cω − 1

Zsin ϕ = 0 =⇒ C =

1

Zωsin ϕ

5.3.2 Adaptation d’impedance :

Voir Exercice No1 de la série II électrocinétique

1. Pm =XE2

2[(X + XG)2 + (Y + YG)2]

2. Pm est maximale si sa dérivée est nulle :

• ∂Pm

∂Y= 0 =⇒ X = XG

• ∂Pm

∂X= 0 =⇒ Y = −YG

DoncZ = Z∗



3. Z est imaginaire pur=⇒ X = 0 d’où la puissance moyenne est nulle

4. la fréquencef = 150 MHz• Z = R//C avecR = 150 Ω etC = 100 pF

Z = Z∗G =⇒ Y = Y ∗

G et commeY =1

R+ jCω =⇒ Y G =

1

R− jCω

doncY G =1

R+

1

jLωavecLω =

1

Cω2=⇒ L =

1

Cω2

ANL =1

4πf 2C= 11, 26 nH

On conclut donc queZG = R//L

• Z = R//L =⇒ ZG = R//C tel queC =1

Lω2=

1

4π2Lf 2

ANC = 37, 5 pF


Chapitre 6

Diagramme de BODE des filtres du premieret second ordre

On admet le Théorème deFourier : toute fonction périodique peut être décomposable en unesérie de fonctions sinusoïdales.C’est pour cela qu’on s’interesse aux signaux sinusoïdaux appliqués aux systèmes linéaires.

6.1 Fonction de transfert

6.1.1 Définitions

Soit D un quadripole constitué par un système linéaire possédant une entréeve et une sortievs :

DVe Vs

Puisque on s’interesse aux signaux sinusoidaux , alors on pose :⊲ ve(t) = Ve cos(ωt + ϕe) =⇒ ve(t) = V ee

jωt avecV e = Veejϕe

⊲ vs(t) = Vs cos(ωt + ϕs) =⇒ vs(t) = V sejωt avecV s = Vee

jϕs

On appelle fonction de transfert :

H(jω) =V s

V e

=Vs

Ve

ej(ϕs−ϕe) = Hejϕ

avecH =Vs

Ve

le module de la fonction de transfert etϕ = ϕs − ϕe son argument(le déphasage de

la sortie par rapport à l’entrée).

6.1.2 Exemples

Déterminer la fonction de transfert pour les circuits suivants :

circuit CR :H =jRCω

1 + jRCω

57

6.1. FONCTION DE TRANSFERT ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

circuit RC :H =1

1 + jRCω

circuit RLC :H =1

1 − LCω2 + jRCω

circuit RCL :H =−LCω2

1 − LCω2 + jRCω

circuit LCR :H =jRCω

1 − LCω2 + jRCω

6.1.3 Lien entre la fonction de transfert et l’équation différentielle

Rappelons que en notation complexe multiplier par(jω)n c’est dérivén fois par rapport autemps et diviser par(jω)n c’est intégrern fois par rapport au temps.Prenons l’exemple du circuit RC :

H(jω) =V s

V e

=⇒ V e = V s + jω

ωc

V s en passant à la notation réelle on a

ve(t) = vs(t) +1

ωc

dvs(t)

dt

C’est l’équation différentielle du circuit

6.1.4 Diagrammes de BODE

En électronique , on couvre en général une large plage de fréquences (10→ 1OOkHz cadre del’ARQP) ,la representation linéaire est peu pratique et peuutilisé.• Diagramme deBode : c’est une representation en échelle logarithmique en abscisse.• On définit le gainG en décibels par :

GdB = 20 log H

On rappelle queH est sans dimension.Le diagramme deBodeest le tracé des deux courbes :

GdB = f(log(ω)) :diagramme deBodepourH en décibels ; ϕ = g(log(ω)) :diagramme deBodepour la phase.

Remarque-24 :

1. On trace en général un diagramme deBodesur un papier «semi-logarithmique» (avec uneéchelle logarithmique )

2. On alimω→0

log ω → −∞ : un diagramme deBodene «s’arrête pas » àlog ω = 0

3. SiH = H1 × H2 =⇒

GdB = G1dB + G2dB

ϕ = ϕ1 + ϕ2

On peut sommer les diagrammes deBode

4.

GdB = 0 ⇐⇒ H = 1GdB < 0 ⇐⇒ H < 1GdB > 0 ⇐⇒ H > 1


6.2. FILTRAGE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

5.

H = 10 ⇐⇒ GdB = 20H = 102 ⇐⇒ GdB = 40...H = 10−1 ⇐⇒ GdB = −20H = 10−2 ⇐⇒ GdB = −40...

On appelle le décade l’intervalle des pulsations[ω1, ω2] tel queω2 = 10ω1

6.2 Filtrage

6.2.1 Introduction

Un filtre est un système linéaire qui transmet (le plus parfaitement possible ) certaines fré-quences et atténue (le plus possible ) les autres.Il est caractérisé par sa bande passante[ωc1, ωc2] ou∆ω = ωc2−ωc1 avecωc1 etωc2 les pulsationsde coupure.On définit la bande passante à -3dB par

H(ωc) =Hmax√

2=⇒ G(ωc) = Gmax − 3dB

6.2.2 Principaux types de filtresH

Filtre réel

Filtre idéal

Filtre passe-bas

Ho√2

ωc

ω

Ho

H

Filtre passe-haut

Filtre réel

Filtre idéal

Ho√2

ωc

ω

Ho

H Filtre passe- bande

Filtre réel

Filtre idéal

Ho√2

ω

Ho

ωc1 ωc2

H Filtre coupe-bande

Filtre idéal

Filtre réelHo√

2

ω

Ho

ωc1 ωc2


6.3. FILTRES DU PREMIER ORDRE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

Remarque-25 On pose

H(jω) =N(ω)

D(ω)

avec degN(ω) 6 degD(ω) (sinon le système est instable)On dit qu’un filtre est d’ordren si degD(ω) = n

6.3 Filtres du premier ordre

6.3.1 Filtre passe-bas du premier ordre

La forme canonique du filtre passe-bas d’ordre 1 est :

H(jω) =Ho

1 + jω

ωc

=Ho

1 + jx

6.3.1.1 L’étude d’un exemple :

considérons le circuit (RC) suivant :

i

R

C

VsVe

En BF :ω(x) → 0 =⇒ 1

jCω→ ∞ (le condensateur se comporte comme un interrupteur

ouvert) ,donc le courant est nul et par conséquentvs(t) = ve(t)

En HF :ω(x) → ∞ =⇒ 1

jCω→ 0 (le condensateur se comporte comme un fil) ,donc la

tension entre ses bornes est nulle et par conséquentvs(t) = 0On conclut que ce filtre laisse passer les tensions sinusoïdales de faibles fréquences et élimine lestensions de hautes fréquences :C’est un filtre passe-bas

La fonction de transfert s’écrit :H(jω) =

1

jCω

R +1

jCω

=1

1 + jRCω

Donc :

ωc =1

RC|| Ho = 1

⋆ Siω ≫ ωc(x → ∞) =⇒ H(jω) → 0 (Vs → 0)⋆ Siω ≪ ωc(x → 0) =⇒ H(jω) → Ho

⋆ Le circuit est constitué des composants passifs alors le filtre est passif.⋆ Puisque le degré du dénominateur est égal à 1 alors le filtre est passe-bas passif d’ordre

1.



6.3.1.2 Diagramme de Bode pour le gain :

On a

H =|Ho|

√

1 + (ω

ωc

)2

=|Ho|√1 + x2

Comportement asymptotique :

⊲ limω→∞

G(ω) = limω≫ωc

[20 log10

|Ho|√

1 + ( ωωc

)2] = 20 log |Ho| − 20 log

ω

ωc

limω→∞

G(ω) = Go − 20 logω

ωc

⊲ limω→0

G(ω) ≃ 20 log |Ho| = Go

• La courbe représentant le gainGdB en fonction delogω

ωc

est une droite de

pente-20dB/décadeet qui coupe la droite horizontaleG = Go pourω = ωc

Courbe réelleIntégrateur20 dB/décade

Go-3dBGo

décade

G(dB)

logω

ωc

Remarque-26 : Pour ω ≪ ωo =⇒ x → 0 on aH = Ho ∈ R =⇒ vs(t) = Hove(t) : le circuit réalise

l’opération «multiplication par une constante»

Pourω ≫ ωc =⇒ H(jω) =Hoωc

jω=⇒ vs = Hoωc

∫

vedt : c’est un intégrateur

Le filtre passe bas d’ordre 1 joue le rôle d’intégrateur en hautes fréquences (pulsations(ω ≫ωc))

6.3.1.3 Diagramme de Bode pour la phase :

• H(jω) =Ho

1 + j ωωc

=⇒ ϕ(ω) = arg(Ho

1 + j ωωc

)

ϕ = arg Ho − arg(1 + jω

ωc

)



Dans notre exempleHo = 1 =⇒ sin ϕ = − x√1 + x2

< 0 et cos ϕ =1√

1 + x2> 0 donc

ϕ ∈[

− π

2, 0

]

d’où ϕ(ω) = − arctanω

ωc

< 0

ϕ(ω) log ωc

log ω

6.3.2 Filtre passe-haut du premier ordre

La forme canonique du filtre passe haut d’ordre 1 est :

H(jω) = Ho

jω

ωc

1 + jω

ωc

= Hojx

1 + jx

6.3.2.1 L’étude d’un exemple :

considérons le circuit (CR) suivant :En BF :Zc → +∞ =⇒ vs(t) → 0En HF :Zc → +0 =⇒ vs(t) → ve(t)Donc le filtre CR est un filtre passif passe-haut

VeC

R

L’expression de la fonction de transfert :

H(jω) =jRCω

1 + jRCω

Donc :Ho = 1 etωc =1

RC• L’ordre du filtre est égal à 1.• Siω ≫ ωc =⇒ H(jω) → Ho

• Siω ≪ ωc =⇒ H(jω) → 0• deg(D(jω)) = 1On conclut que c’est un filtre passif passe-haut d’ordre 1

6.3.2.2 Diagramme de Bode pour le gain :

GdB(ω) = 20 log10 |H(jω)| = 20 log10

|Ho| ωωc

√

1 + ( ωωc

)2




⊲ limω→∞

G(ω) ≃ Go ;

⊲ limω→0

G(ω) ≃ 20 logω

ωc

Remarque-27 :

• La courbe représentant le gainGdB en fonction delogω

ωc

est une droite de pente20dB/décade

et qui coupe la droite horizontaleG = Go pourω = ωc

dérivateur

G(dB)

logω

ωc

G(ωc) = Go − 20 log1√2

= Go − 3dB

Remarque-28 :

Pourω ≪ ωc =⇒ H(jω) = jω

ωc

=⇒ vs =1

ωc

ve

dt: c’est un dérivateur

Le filtre passe haut d’ordre 1 joue le rôle d’un dérivateur en faibles fréquencesf ≪ fc

6.3.2.3 Diagramme de Bode pour la phase :

On aH = Hojx

1 + jx=⇒ ϕ = arg(Ho) +

π

2− arg(1 + jx)

Dans notre exempleHo = 1 =⇒ arg(Ho) = 1 et par conséquentϕP.haut =π

2+ ϕP.bas

Conclusion :Le déphasage d’un filtre passe haut du premier ordre se déduitde celui du filtre passe bas d’ordre

1 par une une translation deπ

2


6.4. FILTRES DU DEUXIÈME ORDRE ÉLECTROCINÉTIQUE-M.P.S.I

ϕ(ω)

logω

ωc

6.4 Filtres du deuxième ordre

L’ordre du filtre est égal à 2 donc le dénominateurD(ω) = D(x) est polynôme d’ordre 2.

6.4.1 Filtre passe-bas

La fonction de transfert d’un filtre passe bas d’ordre 2 est :

H =Ho

1 − x2 + jx

Q

avecω = xωo

6.4.1.1 L’étude d’un exemple

En HF :x → ∞ =⇒ Zc → 0 doncVs → 0 En BF :x → 0 =⇒ Zc → ∞ doncVs → Ve

Donc : c’est un filtre passif passe bas

Ri L

CV e V s

L’expression de la fonction de transfert s’écrit :

H =1

1 − LCω2 + jRCω

On tire que :

La pulsation propreωo =1√LC

Ho = 1

Le facteur de qualitéQ =1

R

√

L

CÀ partir de l’expression de la fonction de transfert on en déduit que :



⊲ En BFx → 0 =⇒ H → Ho c’est à dire quevs(t) = Hove(t)⊲ En HFx → ∞ =⇒ H → 0 c’est à dire quevs(t) → 0

⊲ deg(H) = 2On conclut que le filtre est passif, passe-bas d’ordre 2

6.4.1.2 Diagramme de Bode pour le gain

On a :

H =Ho

1 − x2 + jx

Q

=⇒ H = |H| =|Ho|

√

(1 − x2)2 +x2

Q2

Le comportement asymptotique En BF :x → 0 =⇒ GdB = Go = 20 log |Ho| En HF :x → ∞ =⇒ GdB ≃ 20 log(|Ho|ω2

o) − 40 log ω :C’est une droite de pente-40dB/décade, caractéristique du filtre du deuxième ordre.

On rappelle que la fonction1

√

(1 − x2)2 +x2

Q2

présente un maximum siQ >1√2

Donc si :

• Q <1√2

: GdB ne présente pas de maximum (courbe décroissante)

• Q >1√2

: GdB présente un maximum enxR =

√

1 − 1

2Q2ainsiH(xR) = |Ho|

2Q2

√

4Q2 − 1

GdB

log ω

20 log |Ho|ωR

ωo

Q <1√2

Q >1√2

-40 dB/décade

20 log |Ho| − 3

Q =1√2

Remarque-29 :



1. En généralxR 6= 1 =⇒ ωR 6= ωo sauf pourQ =1√2

2. SiQ ≫ 1 alorsωR = ωo ainsi on nommex1 etx2 > x1 les pôles du dénominateur c’est à dire

queH =Ho

(1 + jx1)(1 + jx2); ainsi le diagramme asymptotique présente une asymptote

intermédiaire entrex1 etx2 à -20 dB/décade

En effet si : ω ≪ ω1 =⇒ H = Ho : multiplication par une constante

ω1 ≪ ω ≪ ω2 =⇒ H =Hoω1

jωc’est à dire quevs(t) = ω1Ho

∫

ve(t) dt :intégrateur

ω2 ≪ ω =⇒ H =Hoωo

(jω)2c’est à dire quevs(t) =

∫

(∫

ve(t) dt) dt : double intégrateur

6.4.1.3 Diagramme de Bode pour la phase

On a :

H =Ho

1 − x2 + jx

Q

=⇒ ϕ = arg Ho − arg(1 − x2 + jx

Q)

PourHo = 1 alorsϕ = − arg(1 − x2 + jx

Q) =⇒ tan ϕ = − x

Q(1 − x2)

Représentation de la phase pour quelques valeurs deQ

log x

ϕ

−π

−π/2

Q =1√2

Q >1√2

Q <1√2

6.4.2 Filtre passe-haut

La fonction de transfert d’un filtre passe haut d’ordre 2 est de la forme

H = −Hox2

1 − x2 + jx

Q



• En BFx → 0 =⇒ H → 0 doncvs(t) → 0• En HFx → ∞ =⇒ H → Ho doncvs(t) → Hove(t)• degD(jω)=2on conclut que le filtre est passe-haut d’ordre 2


Ri

Ce sVV L

En utilisant le diviseur de tension en notation complexe on obtient :

H = − LCω2

1 − LCω2 + jRCω= − x2

1 − x2 + jx

Q

AvecHo = 1 , Q =1

R

√

L

Cetωo =

1√LC


H = |Ho|x2

√

(1 − x2)2 + x2/Q2

Comportement asymptotique: En HF : H = |Ho| =⇒ GdB = Go = 20 log |Ho| En BFH =

|Ho|x2

=⇒ GdB = Go + 40 log x : c’est une droite de pente +40 dB/décade

Cherchons siH ainsiGdB présente un extremum (maximum), pour cela calculons :

dH

dx=

xQ(2Q2 − x2(2Q2 − 1))

(Q2 − 2Q2 x 2 + Q2 x 4 + x 2)(3/2)

dH

dx= 0 =⇒

SiQ <1√2

H ne présente pas de maximum (de même pourGdB)

SiQ >1√2

H présente un maximum (de même pour enGdB) xR tel que

xR =ωR

ω=

2Q√

4Q2 − 2> 1

ainsiH(xR) =2Q2

√

4Q2 − 1SiQ ≫ 1 =⇒ xR = 1 doncωo = ωR etH(xR) = Q|Ho|



Representation graphique du gain pour quelques valeurs deQGdB

log x

Q = 1/√

2

Q > 1/√

2

Q < 1/√

2

+40 dB/décade


On a :

ϕ = arg(−Hox2) − arg(1 − x2 + jx/Q) = arg(−Ho) − arg(1 − x2 + jx/Q)

PourHo = 1 alors

ϕ = π − arg(1 − x2 + jx/Q) =⇒ tan(π − ϕ) = − tan ϕ =x

Q(1 − x2)

Donc

tan ϕ =x

Q(x2 − 1)

Representation graphique de la phase pour quelques valeurs deQ



ϕ

log x

π

Q = 0, 2 < 1/√

2

Q = 1/√

2

Q = 3 > 1/√

2

Remarque-30 : En HF : H = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t) : multiplication par une constante

En BF : H = −Hox2 = −Ho

ω2o

(jω)2 =⇒ vs(t) =Ho

ω2o

d2ve(t)

dt2: la tension de sortie est

proportionnelle à la dérivée seconde de la tension d’entrée

6.4.3 Filtre passe-bande

La fonction de transfert d’un filtre passe-bande d’ordre 2 est :

H = Hojx/Q

1 − x2 + jx

Q

=Ho

1 + jQ(

x − 1

x

)

En BF :H → 0 =⇒ vs(t) → 0 En HF : H → 0 =⇒ vs(t) → 0

On montre (après) queH présente un maximum , donc c’est un filtre passe-bande du second ordre


En HF :x → ∞ =⇒ ZL → ∞ doncVs → 0 En BF :x → 0 =⇒ Zc → ∞ doncVs → 0 Pourω = ωo on aVs est maximaleDonc : c’est filtre passif passe bas

L C

R

i(t)

V Ves

L’expression de la fonction de transfert s’écrit :

H =jRCω

1 − LCω2 + jRCω

On tire que :

La pulsation propreωo =1√LC



Ho = 1

Le facteur de qualitéQ =1

R

√

L

C


On a

H =|Ho|

√

1 + Q2(

x − 1

x

)2


En BF :H =|Ho|Q

x =⇒ GBF = Go−20 log(Qωo)+20 log ω : C’est une droite de pente

+20 dB/décade

En HF : H =|Ho|Qx

=⇒ GHF = Go + 20 logωo

Q− 20 log ω : C’est une droite de pente

-20 dB/décade Pourω = ωo =⇒ H = |Ho| = Hmax doncGdB(ωo) = 20 log |Ho| = Go

L’intersection des deux pentes :GHF = GBF =⇒ ω = ωo

Pourω = ωo on a :GHF (ωo) = GBF (ωo) = 20 log|Ho|Q

Représentation du diagramme asymptotique

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

+20 dB/décade -20 dB/décade

log x

GdB

20 log|Ho|Q

Le diagramme deBodedépend de la valeur du facteur de qualitéQ , c’est à dire comparer

20 log|Ho|Q

et20 log |Ho| , autrement dit comparerQ et 1.



Premier casQ < 1 :

Dans ce cas20 log|Ho|Q

> 20 log |Ho| , le diagramme de bode est de la forme :

G

G

o

Go-3dB

dB

log x

x

dérivateur Intégrateur

+20 dB/décade - 20 dB/décade

20 log|Ho|Q

• En BF :H =Ho

Qωo

(jω) =⇒ vs(t) =Ho

Qωo

dve(t)

dtdonc dérivateur

• En HF : H =Ho

Qωo

1

jω=⇒ vs(t) =

Hoωo

Q

∫

ve(t) dt donc intégrateur

Deuxième casQ > 1 Dans ce cas20 log|Ho|Q

< 20 log |Ho| , le diagramme de bode est de la

forme :



G

G o

G -3dBo

dB

log x

+ 20 dB/décade - 20 dB/décade

Dérivateur Integrateur

20 log|Ho|Q


ϕ = arg Ho − arg[1 + jQ(

x − 1

x

)

]

Pour le filtre passifHo = 1 donc

tan ϕ = −Qx2 − 1

x

log x

ϕ

+π/2

−π/2

Q =1√2

Q >1√2

Q <1√2



6.4.4 Filtre coupe (ou réjecteur) de bande

La fonction de transfert d’un filtre coupe (réjecteur de) bande du second ordre est de la forme

H = Ho1 − x2

1 − x2 + jx/Q

En effet : H(x = 1) = 0 =⇒ vs(t) = 0 H(x → 0) = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t) H(x → ∞) = Ho =⇒ vs(t) = Hove(t)

Ce filtre laisse passer toutes les fréquences sauf aux voisinages dex = 1 c’est à dire aux voisinagede la pulsation propre


• En BF :Zc → ∞ =⇒ i = 0 doncvs(t) = ve(t)• En BF :ZL → ∞ =⇒ i = 0 doncvs(t) = ve(t)• Pourωωo =⇒ vs(t) = ve(t)

Ri

L

CV Ve s

C’est un coupe bandeL’expression de la fonction de transfert

H =

jLω +1

jCω

R + jLω +1

jCω

=⇒ H =1 − LCω2

1 − LCω2 + jRCω

Donc :Ho = 1 , ωo =1√LC

, Q =1

R

√

L

Cetx = ω/ωo


On a :

H = |Ho||1 − x2|

(1 − x2)2 + x2/Q2

6.4.4.2.1 Comportement asymptotique En BFx → 0 =⇒ H = |Ho| ainsiGdB = Go

En HFx → ∞ =⇒ H = |Ho| ainsiGdB = Go

Le gain présente deux asymptotes horizontales confondues Pourx = 1 =⇒ ω = ωo on aH = 0+ =⇒ GdB(x = 1) → −∞

GdB présente une asymptote verticale enx = 1 c’est à dire en pulsation propre



6.4.4.2.2 Représentation graphique du gain pour quelques valeurs deQGdB

log x

Go

Q =1√2

Q >1√2

Q <1√2

6.4.4.2.3 La bande passanteG

log x

Go

dB

G -3dBo

log x log x1 2

H =|Ho|√

2=⇒ |1 − x2|

√

(1 − x2) + x2/Q2

=⇒ 2(1 − x2)2 = (1 − x2)2 + x2/Q2

=⇒ (1 − x2)2 = x2/Q2

=⇒ 1 − x2 = ±x/QLa solution de cette équation sont :

x1 =ω1

ω= − 1

2Q+

1

2

√

1

Q2+ 4 < 1 ; x2 =

ω2

ω= +

1

2Q+

1

2

√

1

Q2+ 4 > 1

La largeur de la bande passante

∆x =1

Q=⇒ ∆ω =

ωo

Q




On a :

H = Ho1 − x2

1 − x2 + jx/Q=⇒ H =

Ho

1 + jx

Q(1 − x2)

Donc

ϕ = arg Ho − arg(1 + jx

Q(1 − x2))

Pour un filtre passifHo = 1 donc : tan ϕ = − x

Q(1 − x2)avec :

⊲ cos φ > 0 =⇒ ϕ ∈ [−π

2,π

2]

⊲ sin ϕ < 0 =⇒ ϕ ∈ [−π

2, 0] pourx < 1

⊲ sin ϕ > 0 =⇒ ϕ ∈ [0,π

2] pourx > 1

• limx→0

ϕ = 0− • limx→∞

ϕ = 0+ • limx→1−

ϕ = −π

2• lim

x→1+ϕ = +

π

2On conclut que la phase d’un filtre coupe bande est présente une discontinuité enx = 1 c’est àdire enωo.Représentation graphique de la phase pour quelques valeurs deQ

log x

-

Q =1√2

Q <1√2

Q >1√2

ϕ

π

2

π

2


electrocinetiqu mpsi

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