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Physique Coorection - TD no5 : Dynamique des fluides en écoulement visqueux incompressible

Correction - TD n̊ 5 - Dynamique des fluidesen écoulement visqueux incompressible

1 Parachutiste1. Supposons le nombre de Reynolds suffisamment grand pour que la traînée soit donnée

pas la formule −→F = −0.5µCSv−→v . On néglige la poussée d’Archimède devant le poids duparachutiste. Celui-ci n’est alors soumis qu’à son poids et à la force de traînée. Quand il aatteint sa vitesse limite, les deux forces se compensent et :

vlim =

√mg

0.5µCS = 7.3m.s−1

en prenant la valeur de la masse volumique de l’air égale à 1.3kg.m−3. Cette valeur estraisonnable mais n’est pas si faible. Elle correspond à la vitesse que l’homme atteindraitaprès une chute libre de 2.7 m, ce qui est déjà conséquent.On voit qu’un parachute doit être conçu à la fois pour ne pas rester trop longtemps enl’air (pour ne pas que le parachutiste soit abattu en l’air), mais également pour arriversuffisamment lentement pour ne pas blesser le parachutiste à l’atterrissage.

Il reste à valider l’hypothèse en calculant le nombre de Reynolds (la viscosité dynamiquede l’air est égale à 1.8.10−5Pl.) :

Re =µDvlim

η= 3.106 � 1

L’hypothèse de départ est donc valable.2. En altitude, la masse volumique de l’air est plus faible. Si le parachutiste garde le même

équipement, sa vitesse limite augmente. Si on adopte un modèle d’atmosphère isotherme, la

masse volumique de l’air à une altitude h est donnée par µ(h) = µ(0)e−h

H avec H ' 8km.Ce qui conduit, avec h = 4200m à : µ(h) ' 0.6µ(0) (même si le modèle est simpliste, l’ordre

de grandeur est bon). La vitesse limite serait donc multipliée d’un facteur1√0.6

= 1.3, cequi est trop important (cela correspond à une chute libre de presque 4m...). Le parachutistea donc intérêt à utiliser un parachute de surface plus grande pour arriver au sol avec unevitesse raisonnable.

PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard


2 Nombre de Reynolds et force de traînée

3 Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’un plan incliné

1. La vitesse est un vecteur vrai, tout comme le champ électrique −→E ; la vitesse appartientdonc nécessairement aux plans de symétrie. En particulier, tout plan (M , −→u x, −→u y) est plande symétrie, et donc la vitesse est perpendiculaire à −→u z. De plus, le fluide doit s’écouler lelong de la pente sous l’effet de la gravité, et sa vitesse est nécessairement perpendiculaireà −→u y.Finalement, le problème est invariant par translation suivant −→u z et −→u x (si l’on négligel’influence du bas et du haut du plan incliné), et la vitesse ne dépend donc ni de z, ni dex. On obtient donc : −→v = v(y)−→u x

2. Etant donnée l’expression de la vitesse, l’accélération convective est nulle. Le régime estpermanent, donc l’accélération locale est nulle également. L’équation de Navier-Stokes sesimplifie donc en :

−→0 = µ−→g −−−→grad(P ) + ηd2v

dy2−→u x



En projection sur Oy :∂P

∂y= −µgcosα

En intégrant cette équation entre y et h où la pression vaut P0, on obtient :

P (M) = P0 + µg(h− y)cosα

L’équation de Navier-Stokes projetée sur Ox donne alors :

ηd2v

dy2 = −µgsinα

Par intégration, on obtient donc :

v(y) = −12µgsinα

ηy2 +Ay +B

où A et B sont des constantes à déterminer.Sur le plan, la vitesse du fluide visqueux est nécessairement nulle, donc : v(0) = 0, soitB = 0.Au niveau de la surface libre, la contrainte tangentielle est nulle. En effet, appliquonsle principe fondamental de la dynamique à une petite particule de fluide à cheval surl’interface et faisons tendre son épaisseur vers 0. Comme son éccélération reste finie, ilvient, en projection sur Ox :

0 = −ηfluidedv

dy(h−) + ηair

dv

dy(h+)

Sachant que ηair � ηfluide, nous en déduisons :dv

dy(h−) = 0, donc A = µghsinα. Finale-

ment :v(y) =

12µgsinα

η(2h− y)y

3. Le débit volumique à travers une section de largeur ` est :

DV =∫ h

0v(y)`dy =

µg

3ηsinα`h3

et la vitesse moyenne est :

vm =DV

`h=µg

3ηsinαh2

4. La distance caractéristique de l’écoulement étant h, et la vitesse caractéristique étant vm,on en déduit :

Re =µhvm

η

Le calcul n’est valable que pour un écoulement laminaire, c’est à dire pour un nombrede Reynolds faible. C’est le cas de l’huile, mais pas de l’eau. En effet, avec de l’eau, desturbulences apparaissent, qui se traduit par l’apparition de petits tourbillons, de petitsremous et de petites bulles.



4 Ecoulement de Couette



5 Ecoulement dans une cellule de Hele-Shaw

.5 La valeur de la vitesse moyenne fait apparaître que l'écoulement est globalement potentiel, puisqu'il

prend la forme v=grad ϕ , avec ϕ = -

L'écoulement est donc globalement irrotationnel, puisqu'on rappelle que les deux termes sont synonymes.

a P .2

12η

124

a24

a2

4

a2

8 2 8 2

8


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