triangle5 ldp 2010[1]

www.editions-hatier.fr

9:HSMCLI=^YYU^X:49 9607 0

ISBN 978-2-218-94409-3 Dangerle photocopillagetue le livre

Le photocopillage, c'est l'usage abusif et collectifde la photocopie sans l'autorisation des auteurs et des diteurs.Largement rpandu dans les tablissements d'enseignement, le photocopillage menace l'avenir du livre, car il met en dangerson quilibre conomique. Il prive les auteurs d'une juste rmunration.En dehors de l'usage priv du copiste, toute reproduction totale ou partielle de cet ouvrage est interdite.

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Des outils exclusifs pour la vidoprojection :

Un diaporama personnalisable permettantdinclure les exercices du manuel et vos ressources personnelles.

Un comparateur de documents : jusqu 4 exercices affichs en simultan.

Laffichage indpendant en plein cran de tous les exercices, du cours et des ressources numriques

Laffichage possible de tous les corrigsdes exercices

Pour vous et pour la classe

Des ressources dynamiques :

Des mthodes et corrigs anims, des tutoriels

Un logiciel dactivits mentales (version classe)

Des dfinitions sonores

Pour vos lves

Le Manuel interactif pour une utilisation la maison, en ligne ou en tlchargement

Des mthodes animes, des tutoriels pourles logiciels

Des QCM interactifs

Le logiciel dactivits mentales en version entranement

Une recherche par mots-cls

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Gisle ChapironMichel ManteRen Mulet-MarquisCatherine Protin

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Collection TRIANGLE

MATHMATIQUES

5e

Livre du professeur

Programme 2008

Gisle CHAPIRON

Michel MANTE

Professeur lIUFM de lacadmie de LyonProfesseur au collge Clment Marot, Lyon

Ren MULET-MARQUIS

Professeur au collge Ren Cassin, Corbas

Catherine PROTIN


Maquette : Graphismes

Mise en page : MCP

Schmas : Thomas Winock

Hatier, Paris, 2010 ISBN 978-2-218-94409-3

Toute reprsentation, traduction, adaptation ou reproduction, mme partielle, par tous procds, en tous pays, faite sans autorisation pralable, est illicite et exposerait le contrevenant des poursuites judiciaires. Rf. : loi du 11 mars 1957, alinas 2 et 3 de larticle 41. Une reprsentation ou reproduction sans autorisation de lditeur ou du Centre Franais dexploitation du droit de Copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris) constituerait une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code Pnal.


3Sommaire

Introduction ....................................................................................................................................................... 4

Prsentation du manuel papier Triangle ................................................................................................. 5

Prsentation du manuel interactif Triangle ........................................................................................... 7

Enseigner une notion nouvelle avec Triangle ........................................................................................ 8

Modes demploi possibles du manuel ..................................................................................................... 9

Les valuations dans Triangle ....................................................................................................................... 10

Les exercices rituels ......................................................................................................................................... 11

Calcul mental ..................................................................................................................................................... 12

Le socle commun .............................................................................................................................................. 14

Les TICE dans Triangle 5e ................................................................................................................................ 15

Typologie des problmes de gomtrie ................................................................................................ 19

Initiation au raisonnement dductif ........................................................................................................ 21

Initiation au calcul littral............................................................................................................................. 25

Corrigs des exercices du manuel ............................................................................................................. 27

CHAPITRE 1. Rgles de calcul ........................................................................................................ 29

CHAPITRE 2. Fractions Quotients ........................................................................................... 35

CHAPITRE 3. Nombres relatifs ..................................................................................................... 41

CHAPITRE 4. Oprations sur les fractions ................................................................................ 45

CHAPITRE 5. Oprations sur les nombres relatifs ................................................................. 52

CHAPITRE 6. Proportionnalit Pourcentages chelles Dures .............................. 60

CHAPITRE 7. Reprsentation et traitement de donnes ..................................................... 68

CHAPITRE 8. Initiation au calcul littral et aux quations .................................................. 76

CHAPITRE 9. Initiation au raisonnement dductif ................................................................ 82

CHAPITRE 10. Triangles ..................................................................................................................... 87

CHAPITRE 11. Symtrie centrale .................................................................................................... 97

CHAPITRE 12. Prismes droits Cylindres ................................................................................... 105

CHAPITRE 13. Angles et paralllisme ........................................................................................... 111

CHAPITRE 14. Paralllogrammes ................................................................................................... 119

CHAPITRE 15. Aires ............................................................................................................................ 129

CHAPITRE 16. Volumes ..................................................................................................................... 136

Mini-tests ........................................................................................................................................................... 141

noncs et corrigs des contrles ........................................................................................................... 167

noncs des contrles .................................................................................................................... 168

Corrigs des contrles .................................................................................................................... 185

Exercices rituels ............................................................................................................................................... 197

Documents photocopier .......................................................................................................................... 217

Sommaire


4Plus quun nouveau manuel, cest un nouvel environne-ment de travail pour le professeur, pour llve et pour la classe quoffre cette nouvelle dition de Triangle 5e. Ce nouvel environnement rpond un besoin : les ensei-gnants sont confronts une augmentation considra-ble de la complexit de leur tche. Devant des classes trs htrognes, ils doivent appliquer des programmes plusieurs niveaux de lecture (contenus mathmati-ques, socle commun) tout en sadaptant des condi-tions matrielles uctuantes (parfois un tableau noir, parfois un vidoprojecteur et parfois un tableau blanc interactif). Le nouveau manuel Triangle 5e permet, grce ses ver-sions Papier et Interactive qui forment un ensem-ble cohrent, de personnaliser lenseignement en ladap-tant aux lves et aux conditions matrielles. Nous avons voulu un vritable outil professionnel, dvelopp pour les enseignants. Il rpond leurs besoins, de la prpara-tion dun cours sa mise en uvre dans la classe, ainsi qu llaboration des valuations.

Un manuel papier pour quoi ? pour qui ?En crivant cet ouvrage, nous avons eu un quadruple objectif : Faire faire des mathmatiques aux lves !

Favoriser lapprentissage des lves en prenant en compte leurs erreurs habituelles (ce que nous appelons les erreurs caractristiques). Pour cela, nous prenons appui sur un certain nombre de prsupposs sur lap-prentissage, dvelopps dans les recherches en didacti-que. Ces prsupposs postulent, en particulier, que lac-quisition des connaissances passe par le dpassement de certains obstacles.

Favoriser lindividualisation des parcours dappren-tissage. Nos classes sont de plus en plus htrognes et il nous semble indispensable dessayer de prendre en charge cette situation.

Faciliter le travail de lenseignant en laidant faire ses choix, tant au niveau des activits quau niveau de leur gestion, et en lui permettant certains moments une diffrenciation dans le travail propos aux lves.

Dans ce manuel destin au couple enseignant/lves, le professeur trouvera pour chaque chapitre les objectifs et un choix important dactivits (rdiges pour un tra-vail en classe), dexercices classs, de tests formatifs, de contrle sommatif.

Introduction

Introduction

Un manuel interactif pour quoi ? pour qui ?Le manuel interactif est disponible en deux versions : une version professeur pour une utilisation en classe et pour la prparation des cours ; une version lve pour une utilisation la maison.

Pour une utilisation en classe avec un vidoprojecteur ou un Tableau blanc interactifLa version professeur du manuel interactif propose tout le contenu du manuel papier respectant la prsentation familire en double page et tous les corrigs. Les liens actifs facilitent la navigation entre les diffrentes rubri-ques de louvrage : du test des prrequis ( Je fais le point sur mes connaissances ) aux exercices de ractivation ( Je ractive mes connaissances ), des activits lins-titutionnalisation des connaissances ( Connaissances et Mthodes ) et aux exercices de rinvestissement. Elle propose galement des animations vidoprojetables en classe. Nous avons conu de trs nombreuses animations repres par un pictogramme . Elles permettent :

dapporter un plus pour la correction dactivits ou dexercices. Le professeur est, par exemple, libr des tches de tracs gomtriques au tableau.

daider les lves sapproprier certaines notions. Par exemple, des exercices spci ques favorisent le dvelop-pement dimages mentales pertinentes.

de prsenter des mthodes de construction gomtri-ques de base. Toutes les constructions du programme de 5e ( Symtrie par rapport un point) sont disponi-bles avec celles de 6e ( Perpendiculaire une droite ; Parallle une droite ). Pour chacune de ces mtho-des, les instruments apparaissent au fur et mesure des tapes de construction. Lanimation peut tre projete et tourner en boucle de manire permettre lensei-gnant de circuler dans la classe et daider individuelle-ment les lves qui en ont besoin ;

dapprendre utiliser un logiciel de gomtrie ou un tableur grce des tutoriels en lien avec les ches mtho-des logiciels du manuel. Nous avons galement prvu la correction des exercices TICE du manuel sous forme de chiers GeoGebra et Cabri. Cette correction pas pas fait apparatre les tapes de construction.

Un logiciel dactivits mentales, qui comporte des objectifs de calcul mental, mais aussi de gomtrie men-tale, permet de faire des sries couvrant les besoins des programmes de 6e et de 5e ainsi que des sries de ques-tions concernant la gomtrie.


5Prsentation du manuel papier Triangle

Pour la prparation des coursLa version professeur du manuel interactif, qui contient lintgralit du livre du professeur, apporte galement des outils et des ressources pour aider len-seignant dans la prparation des cours, accessibles par les menus spci ques. Pour chaque chapitre, il est pos-sible daccder aux parties correspondantes des pro-grammes de 5e (et de 6e), puis aux prrequis, objectifs et obstacles. Les valuations (mini-tests, contrles, corri-gs des contrles) et exercices rituels sont imprimables. Pour prparer une sance de travail, par exemple en salle informatique, le menu TICE du manuel interactif offre une vision densemble des ressources disponibles. Des documents TICE photocopier rassemblent len-semble des activits et exercices TICE du chapitre en cours ainsi quune slection complmentaire dexercices qui prsentent un intrt tre faits avec un logiciel de gomtrie ou un tableur.

Pour les lves la maisonNous avons conu la version lve du manuel inte-ractif pour aider les lves dans leur travail personnel, en autonomie ou selon les indications de lenseignant. Cette version leur permet :

de visionner certaines animations, en particulier les mthodes de construction gomtrique et les tutoriels, pour apprendre utiliser un logiciel de gomtrie ou un tableur ;

de sexercer seul avec le logiciel dactivits mentales et de sentraner rsoudre des problmes ;

de rviser en autonomie grce aux QCM interactifs, aux d nitions et proprits sonores ;

de se reprer tout au long de lanne, de retrouver une d nition, une proprit, une mthode, un rappel laide dune recherche par mots-cls.

Prsentation du manuel papier Triangle

Structure dun chapitreCette structure est commune au manuel papier et au manuel interactif.

Je fais le point sur mes connaissances

Ce test diagnostique permet au professeur : de reprer les lves qui nont pas les prrequis indispensables pour aborder ltude du chapitre ; de les renvoyer aux rappels fi gurant en fi n de manuel ; de choisir des exercices de la rubrique Je ractive mes connaissances pour travailler sur ces prrequis. (Voir dans le manuel interactif : valuer. Pourquoi ? Comment ? )

Activits

Les activits sont construites pour traiter les objectifs et dpasser les obstacles connus. Les objectifs sont annoncs dans les cartouches de couleur au dbut des activits. Chaque objectif annonc correspond une rubrique des activits, qui en reprend les termes et le code couleur. On retrouve les mmes titres structu-rant les exercices de Pour sentraner et les tests de Je prpare le contrle .Les activits se rfrent, assez souvent, une approche constructiviste de lapprentissage tout en prenant en compte la ralit des classes avec des activits courtes, accessibles. (Voir dans le manuel interactif : Comment les lves apprennent-ils ? )Chaque activit renvoie des exercices de Pour sentraner .


6 Prsentation du manuel papier Triangle

Connaissances et Mthodes

Chaque connaissance est illustre par des exemples et renvoie aux exercices de Pour sentraner corres-pondants.Pour chaque chapitre, nous avons identifi des savoir-faire de base que les lves doivent acqurir afi n de pouvoir rsoudre des problmes. Certains de ces savoir-faire sont prsents dans la partie Mthodes laide dun exemple dont nous commentons les tapes de rsolution.Chaque Mthode est complte par des exercices dapplication directe simples, corrigs dans le manuel de llve. Llve peut ainsi sentraner et acqurir les savoir-faire de base.

Exercices Je ractive mes connaissances

En fonction des diffi cults repres dans Je fais le point sur mes connaissances , le professeur peut choisir parmi ces exercices ceux qui permettront aux lves dacqurir les prrequis du chapitre.

Exercices Pour sentraner

Ces exercices sont nombreux, courts, faciles choisir, car ils sont structurs par des titres qui reprennent les objectifs annoncs au dbut des activits. Quelques exercices de cette rubrique sont corrigs en fi n de manuel pour permettre lenseignant de grer lhtrognit des lves.

Exercices Pour approfondir

Dans cette partie, quatre types dexercices sont proposs : des problmes qui permettent aux lves qui ont assimil les bases daller plus loin. Ils peuvent tre don-ns en classe, par exemple pour grer lhtrognit de vitesse des lves. des exercices TICE . Ces exercices utilisent soit un tableur, soit un logiciel de gomtrie dynamique. Ils renvoient aux fi ches mthodes logiciels en dbut de manuel. des problmes intituls Recherche et crativit . Comme leur nom lindique, ce sont des problmes destins dvelopper chez llve des stratgies de recherche et de crativit. Dans cette partie se trouvent, entre autres, des problmes ouverts et des problmes en lien avec lart. des problmes qui peuvent tre proposs en devoirs faire la maison.

Je prpare le contrle

Pour prparer le contrle, deux tests dauto-valuation sont proposs : un QCM ; un test classique dans lequel llve doit rdiger les solutions.Ces tests dauto-valuation visent un triple objectif : permettre llve de sapproprier les objectifs du chapitre ; permettre llve de reprer ce quil sait et ce quil lui reste apprendre ; permettre au professeur de reprer les diff rents besoins de ses lves (sil donne ce test faire en classe) afi n de pouvoir apporter les aides ncessaires avant le contrle.Ces tests sont construits partir des objectifs du chapitre. On retrouve les titres des rubriques et les codes couleur. Les exercices qui font partie du socle sont reprs par un logo .

En plus. Des encadrs Triangle Info magazine et Triangle Info histoire des arts offrent une ouverture en appor-tant une information en lien avec le chapitre ou en proposant un contexte dexercices ouverts sur dautres champs de la vie culturelle ou quotidienne.


7Prsentation du manuel interactif Triangle

Prsentation du manuel interactif Triangle

Le manuel interactif offre, en plus de tous les contenus du manuel papier, des possibilits qui lui sont propres.

Q : Quel est lintrt de projeter un manuel quand on dispose dun manuel papier?Chacun dentre nous a eu loccasion de vivre des sances freines par le manque de manuels. La possibilit de projeter le manuel sur cran rsout ce problme, source de nombreuses tensions en classe. De plus, il vite les temps dattente parfois longs avant que chacun soit la bonne page. La prsence de lcran favorise lattention de tous les lves sur le mme point, au mme moment, ce qui permet de gagner en ef cacit. Dune manire gnrale, la gestion de la classe en est facilite. chaque changement dans la classe, par exemple pour passer de la recherche dun exercice son corrig, on peine parfois reprendre en main lensemble de la classe ; lattrac-tion de lcran est alors une aide puissante.

Q : Apprendre utiliser ce nouvel outil ncessite-t-il un inves-tissement lourd ?Linterface du manuel interactif est extrmement convi-viale. Sa prise en main est trs rapide. Lutilisateur choi-sit, par exemple, un exercice quil va faire apparatre en plein cran dun clic. Le moment venu, un nouveau clic, et cest la correction que lutilisateur peut af cher. par-tir de cet usage trs basique, on mesure lintrt par rap-port une correction crite traditionnelle. Le professeur nest plus absorb par les tches dcriture ou de trac au tableau. Il peut commenter tout en circulant dans la classe pour vri er le travail des lves.

Q : Il est vrai qucrire au tableau tout en surveillant la classe est parfois dlicat et je vois bien lapport du manuel interactif pour cela, mais du point de vue des apprentissages apporte-t-il rellement un plus ?La possibilit de disposer dimages animes accessibles rapidement est incontestablement une diffrence nota-ble par rapport au manuel papier ou au tableau. Par exemple, quand lenseignant souhaite apprendre aux lves tracer le symtrique dun point dans une sym-trie centrale et quil achve le trac au tableau, il ny a plus que la gure nale qui apparat. Avec le manuel interactif, il peut commencer par faire d ler pas pas lanimation de la construction, o lon voit se position-ner les instruments, et faire ses remarques, puis lancer lanimation en boucle pendant quil circule dans la classe pour aider les lves les plus en dif cult. Sur le plan de lapprentissage de lutilisation dun logiciel de go-mtrie ou dun tableur, des tutoriels sont prvus. Ils montrent les diffrentes actions possibles pour utiliser

le logiciel, et ces actions sont accompagnes dun com-mentaire sonore. Cest beaucoup plus parlant quune che mthode papier ! Vos lves vont particulirement apprcier !

Q : On parle de manuel interactif , mais llve ne reste-t-il pas uniquement passif devant ce qui lui est projet ?Non, bien sr ! Dans le domaine des activits mentales, un exerciseur permet aux lves de tester et dvelopper leurs comptences en calcul mental, mais aussi en go-mtrie. La gestion de cet exerciseur est prvue en classe ou en autonomie. Dans chaque chapitre, les lves peu-vent svaluer en autonomie grce un QCM.

Q : Le manuel interactif est-il un peu comme un deuxime pro-fesseur dans la classe ?Si vous craignez dtre remplac, rassurez-vous ! Vous restez bien la prsence indispensable dans la classe ! Les dcisions pdagogiques restent de votre ressort. Si vous constatez que des lves ont termin un exercice, vous pouvez, grce au comparateur de documents, af -cher simultanment un deuxime exercice, ce qui faci-lite la gestion de lhtrognit des vitesses de travail. Un autre outil, le diaporama, vous permet de prparer une squence complte avec par exemple une activit, le cours correspondant et des exercices dapplication. Il ne reste plus qu la faire d ler votre rythme et celui des lves ! Ce diaporama peut tre enregistr sur une cl USB et, par exemple, chang avec un collgue. De plus, il est ouvert, acceptant tout le contenu du manuel, mais aussi vos propres chiers pour personnaliser votre ensei-gnement. Le manuel interactif est une aide prcieuse dans chaque phase dun cours, mais aussi pour effectuer une synthse. Imaginons par exemple un temps de bilan en n de trimestre sur les principaux tracs : triangle, quadrilatre, symtrie centrale, etc. Toutes les anima-tions de construction sont accessibles par un menu ; le professeur peut mettre les lves en activit immdia-tement et lancer la demande les aides ncessaires. Le manuel interactif ne limite pas vos interventions, mais il vous permet, en vous dispensant de tches ncessaires mais fastidieuses et rptitives, de vous consacrer aux apports essentiels.

Le manuel interactif est un outil professionnel. Il rpond lensemble des besoins dun professeur pr-parant une squence denseignement : du programme lvaluation nale, tout est porte de clic ! Cest un gain de temps et dnergie considrable, qui peut tre consacr la r exion pdagogique et au suivi des progrs des lves.


8 Enseigner une notion nouvelle avec Triangle

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Enseigner une notion nouvelle avec Triangle


9Modes demploi possibles du manuel

Modes demploi possibles du manuel

Articulation entre les diffrents chapitresUne progression est propose dans le sommaire. Il nest pas indispensable de suivre cette progression ; toutefois les problmes ont t labors en fonction de cette pro-gression.

La structure du manuel permet et facilite de nombreux modes dutilisation. Il est tout fait possible de les moduler dun chapitre lautre.

Je fais le point sur mes connaissances

Je ractive mes connaissances

Activits

Connaissances et MthodesExercices d'application

Je prpare le contrle : en compltant un QCM en rdigeant

Exercices Pour s'entraner Devoirs maison

Exercices Pour

approfondir

Exercices Recherche &

Crativit

Devoirsmaison

Trois stratgies dutilisation

1re stratgie

Dans cette stratgie, on commence par Je fais le point sur mes connaissances .

Aprs avoir repr les obstacles et les prrequis laide de ce test diagnostique, le professeur peut, si besoin, dans un premier temps, choisir des exercices de Je ractive mes connaissances ncessaires la compr-hension du chapitre, puis, dans un deuxime temps, aborder les Activits . Il propose ensuite un temps dinstitutionnalisation en sappuyant sur Connaissan-ces et Mthodes .

Les lves utilisent les nouvelles connaissances dans les exercices Pour sentraner , construits sur les capacits essentielles et exigibles. Le professeur peut donner en cours dapprentissage des Devoirs maison .

En n de chapitre, les lves peuvent, en classe ou la maison, vri er leurs connaissances avec le test Je prpare le contrle , test qui se prsente sous deux for-mes : Je complte un QCM (questionnaire choix multiple) ou Je rdige .

En fonction des rsultats ce test, le professeur peut orienter les lves qui ont rencontr des dif cults vers de nouveaux exercices dentranement et ceux qui ont bien russi le test vers les exercices de Pour approfon-dir ou de Recherche & Crativit . Ces derniers exer-cices peuvent galement tre donns tous les lves en classe ou la maison.

Les Devoirs maison permettent, en n dapprentis-sage, de rinvestir les connaissances des chapitres pr-cdents.

2e stratgie

Dans cette stratgie, lenseignant commence directe-ment par les activits, car il estime que les lves poss-dent les prrequis ncessaires pour aborder le chapitre (des rvisions sont proposes aux lves dans les exerci-ces de Je ractive mes connaissances ).

Ensuite, on retrouve la progression prcdente.

3e stratgie

Dans cette stratgie, lenseignant commence par Connaissances et Mthodes .

Dans cette pratique, lenseignant choisit lentre par le cours. Ce peut tre un expos traditionnel ou une visite commente de louvrage.

Le professeur choisit ensuite les exercices Pour sentra-ner qui lui permettent daller rapidement lessentiel des connaissances. Il peut aussi donner, en cours dap-prentissage, des Devoirs maison .

laide du test Je prpare le contrle ou grce ses observations en classe, lenseignant propose alors les exercices de Pour approfondir ou de Recherche & Crativit .

Le professeur peut donner des Devoirs maison en synthse du chapitre.


10

Quatre types de tests sont propo-ss pour chaque chapitre.Le premier, Je fais le point sur mes connaissances est dans le livre de llve. Il est de nature diagnostique et permet, au moment o le professeur en a besoin, en dbut de chapitre, de reprer quels obstacles les lves risquent de rencontrer dans leurs apprentissages ou quelles notions antrieures ont besoin dtre ractives.

Les seconds sont des mini-tests . Ils sont dans le livre du professeur ou dans le manuel interactif. Dans le livre de llve, un logo signale leur prsence :

Ces mini-tests sont de nature formative. Ils sont centrs sur un seul objectif. Ils peuvent tre donns la n dun cours pour identi er les lves qui nont pas assimil lobjectif travaill.

Le troisime, Je prpare le contrle se trouve dans le livre de llve. Il est de nature formative. En cours dap-prentissage, il peut tre utilis par le professeur, pour situer ltat des connaissances de llve, ou par llve de manire autonome.

Le quatrime est une valuation sommative (le tradition-nel contrle de n de chapitre). Il est propos pour chaque chapitre dans le livre du professeur et le manuel interactif.

Voici deux possibilits dutilisation du test diagnos-tique : Premire possibilit. On corrige le test en classe, ce qui permet de faire le point sur certaines connaissances. On

Les valuations dans Triangle

Les valuations dans Trianglerenvoie les lves certains exercices de Je ractive mes connaissances . On utilise ensuite les Activits qui correspondent des connaissances (ou objectifs) qui nont pas t abordes au cours de la correction du test diagnostique.

Deuxime possibilit. On rend le test aux lves en leur prsentant les principales erreurs, sans le corriger imm-diatement. Les lves prennent conscience de leurs dif cults. On utilise les exercices de Je ractive mes connaissances qui correspondent aux objectifs non atteints ou, aprs le temps de synthse, on demande aux lves de corriger leur test diagnostique.

Voici deux possibilits dutilisation du test Je pr-pare le contrle : Premire possibilit. On demande aux lves de faire un des deux tests (par exemple le test Je rdige ) en classe (on leur interdit bien sr de regarder les solutions). La prise de connaissance des rponses des lves aide le professeur reprer leurs dif cults, ce qui lui permet alors de leur donner des exercices de lautre test (par exemple le QCM). Ce travail fait en classe est ncessaire en dbut de la classe de 5e : les lves apprennent ainsi utiliser ce test. Ces exercices peuvent ensuite tre faits en classe ou la maison.

Deuxime possibilit. Llve utilise le QCM en auto-nomie, puis il choisit des exercices dans la partie Je rdige en fonction des dif cults quil a pu reprer (il peut aussi revoir les Connaissances et Mthodes correspondant ses dif cults). Ce travail peut se faire en autonomie grce aux exercices corrigs.


11Les exercices rituels

Les exercices rituelsUn constat. Lappropriation de notions mathmatiques passe par la comprhension du sens mais aussi par lacqui-sition dautomatismes. Aprs avoir mis en place des acti-vits pour aider les lves donner du sens aux nouvelles connaissances en dpassant les erreurs classiques, nous leur faisons faire des exercices Pour sentraner a n dacqurir ces automatismes. Nous constatons lef cacit de cette mthode court terme. Mais, si ces automatismes ne sont pas utiliss rgulirement, des dif cults impor-tantes rapparaissent. Cest pour viter ces dif cults que nous mettons en place la technique des exercices rituels.

Des exercices rituels, cest quoi ? Ce sont des exerci-ces trs courts qui sont construits pour faire travailler les lves sur des automatismes. Ils prennent en compte les erreurs classiques.

Mode demploi. Lenseignant remet ses lves une che sur laquelle sont nots une douzaine de ces exer-cices (voir les ches p. 167). Pour chaque exercice, une place est laisse pour que llve puisse crire la solution. Lenseignant dbute chacun de ses cours en proposant ses lves de chercher un de ces exercices. Le numro de lexercice est not au tableau. Pendant ce temps, len-seignant peut vri er que les exercices que les lves devaient prparer la maison sont faits. Ensuite, une correction trs rapide de lexercice rituel est faite par lenseignant. Cela dure au maximum cinq minutes.

Remarques : Ces exercices sont sur des ches photocopiables dans le livre du professeur (elles gurent galement dans le manuel interactif), pour que les lves ne recopient pas lnonc (gain de temps). Elles servent aussi librer le cahier a n de faciliter le contrle, par lenseignant, des exercices prparer la maison.

La che donne est en gnral en dcalage avec le cha-pitre concern. Par exemple, une che de calcul numri-que peut tre donne pendant que lon travaille sur un chapitre de gomtrie.

Inconvnients. Cela prend cinq minutes sur le droule-ment du cours.

Avantages. Ils sont nombreux. Cela permet : aux lves dautomatiser des procdures de calculs ; de dmarrer le cours dans le calme dans la mesure o cela cre un rituel de dbut de cours pour lequel les l-ves ont quelque chose faire ; lenseignant de contrler le travail fait la maison ; des lves en dif cult de prendre conscience quils peuvent russir des exercices en mathmatiques et pro-gresser.


12

Signalons tout de suite quun logiciel dentranement au calcul mental est propos dans le manuel interactif.

Les programmes insistent sur limportance du calcul mental :

Tous les travaux numriques fournissent des occasions de pratiquer le calcul exact ou approch sous toutes ses formes, utilises en interaction : calcul mental, la main ou instrument.

La rsolution de problmes a pour objectifs :

dentretenir et dvelopper la pratique du calcul mental, du calcul la main et lutilisation raisonne des calculatrices ;

dassurer la matrise des calculs dexpressions num-riques sur les nombres dcimaux positifs et prvoir lordre de grandeur dun rsultat.

Le calcul mental, cest quoi ?Le calcul mental, cest le calcul que lon effectue dans sa tte ! Spontanment, on a tendance opposer calcul mental et calcul pos. En ralit, les choses sont plus complexes :

Dans le calcul pos, il y a une part de calcul mental. Cette part peut dailleurs tre trs importante : pensons lalgorithme de la division euclidienne.

Dans le cadre du calcul mental, on peut tre amen crire certains rsultats intermdiaires et trs gnra-lement le rsultat nal. Il est donc prfrable de distin-guer :

le calcul automatis. Cest un calcul qui sappuie uniquement sur des rsultats ou procdures mmo-riss. Par exemple, pour le calcul de 7 4, on sait que le rsultat est 28. Pour calculer 426 248, on peut poser lopration et lexcuter sans r chir.

le calcul r chi. On fait appel ce type de calcul chaque fois que lon doit laborer une procdure spci que pour effectuer le calcul. Cette procdure sappuie sur des proprits. Par exemple, pour calcu-ler 58 + 19, je peux effectuer 58 + 20 1. Dans ce cas, jutilise lassociativit de laddition. Pour effectuer 34 21, je peux effectuer 34 20 + 34. Dans ce cas, jutilise la proprit de distributivit de la multiplica-tion par rapport laddition.

Calcul mental

Calcul mental

1. D. Butlen et M. Pezard, Calcul mental et rsolution de problmes numriques, Repre IREM n 41 (2000).

Pourquoi dvelopper le calcul mental ?On peut dire que le calcul mental a une double fonc-tion :

Une fonction sociale. Le calcul mental sert dans la vie courante faire rapidement des calculs dordre de gran-deur dun calcul effectu la calculette. De plus, il ny a pas de possibilit de matrise des algorithmes opratoi-res sans passer par le calcul mental.

Une fonction pdagogique qui peut se dcliner en cinq pistes :

Le calcul mental permet aux lves de construire et de renforcer des proprits sur les nombres (dcom-position dun nombre, associativit, commutativit, distributivit).

Certaines de ces proprits, souvent utilises lcole de faon implicite, sont progressivement mises en avant, comme la distributivit. Le calcul mental aide ainsi les lves donner du sens ces proprits.

Les premiers maniements des notions mathma-tiques font appel au calcul mental (par exemple, la proportionnalit, les fractions, la distributivit).

Le calcul r chi facilite lappropriation de proc-dures nouvelles de calcul.

Le calcul mental apporte souvent une aide la rsolution de problmes, par exemple quand on se ramne, dans un problme, des donnes simples a n de pouvoir trouver la procdure de rsolution. D. Butlen et M. Pezard mettent en vidence que le calcul mental donne llve une disponibilit qui est ncessaire la construction dune reprsentation du problme 1.

Le calcul mental est indispensable pour le calcul littral.

Quelles sont les principales procdures utilises dans le calcul r chi ?Il ny a pas toujours, pour un type de calculs donn, une mthode qui simpose naturellement pour tous. Les expriences que lon peut faire entre professeurs de mathmatiques montrent quune technique trs perfor-mante pour lun savre peu utile pour un autre.


13Calcul mental

Trois facteurs au moins interviennent pour choisir une procdure de calcul r chi : La nature des nombres sur lesquels on opre : par exemple, pour beaucoup de personnes, pour effectuer 126 + 19, il est plus facile de faire 126 + 20 1, et pour 126 + 17, il est plus simple de faire 126 + 4 + 13. Le fait que lopration effectuer soit donne ora-lement ou par crit. Lorsquelle est donne uniquement oralement, la personne doit mmoriser lopration, ce qui prend de la place dans la mmoire et peut entraner rapidement une surcharge cognitive si les procdures possibles de calcul ne sont pas automatises. La familiarit que la personne a avec les diffrentes procdures possibles.

Voici diffrents types de procdures de calcul r chi :

Pour laddition et la soustraction de deux nombres, on peut considrer trois types de procdures : la procdure qui consiste poser mentalement en colonne laddition ou la soustraction.Par exemple pour effectuer 125 + 47, llve pose menta-lement lopration et calcule 7 + 5.Idem pour calculer 11,8 + 3,4. Cette procdure est sou-vent trs lourde, sauf peut-tre dans le cas o il ny a pas de retenue. Et cest pourtant celle que les lves utilisent lorsquils nont pas dautres techniques.Il est noter que si lopration est donne en ligne, la procdure qui consiste effectuer les calculs de droite gauche peut savrer pertinente. la procdure qui consiste commencer gauche.Par exemple, pour effectuer 147 + 38, on calcule 140 + 30 = 170, puis on calcule 7 + 8 = 15 et en n on additionne les deux rsultats obtenus : 170 + 15 = 185.De mme, pour effectuer 247 35, on effectue 240 30 = 210 et 7 5 = 2 donc rsultat 212. Idem pour calculer 3,7 + 5,6 on ajoute 3 et 5, puis 7 diximes et 6 diximes et on effectue lchange des 13 diximes en 1 unit et 3 diximes (pour la soustraction, cette proc-dure nest intressante que lorsquil ny a pas de retenue). la procdure qui consiste dcomposer lun des deux nombres et effectuer des regroupements. La dcomposition est faite de faon pouvoir facilement effectuer une des oprations grce au regroupement.Cette dcomposition peut porter sur le premier ou le second nombre.Exemples : 27 + 38 = (27 + 30) + 8 = 65

27 + 39 = (27 + 40) 1 = 6613,7 + 8,4 = (13,7 + 0,3) + 8,1

Pour laddition de plus de deux nombres : regroupe-ments astucieux.

Exemples : 27 + 15 + 13 = (27 + 13) + 155,8 + 2,7 + 3,2 = (5,8 + 3,2) + 2,7

Cette procdure utilise les proprits de commutativit et dassociativit de laddition.

Pour la multiplication de deux nombres :

Multiplier par 10 ; par 100 par 20 ; par 200

Multiplier par 0,1 ; par 0,01 par 0,2 ; par 0,02 (multiplier par 10 ; par 100 par 0,1 ; par 0,01 relevant plus du calcul automatis que du calcul r chi).

Multiplier par 5 : en divisant par 2 et en multipliant par 10.

Dcomposer un des deux nombres en units et dizai-nes. Exemple : 12 25 = (10 + 2) 25 = 10 25 + 2 25Cette procdure utilise la proprit de distributivit de la multiplication par rapport laddition.

Dcomposer un des deux nombres sous forme du pro-duit de deux nombres. Exemple : 18 25 = (9 2) 25 = 9 (2 25)Cette procdure utilise les proprits de commutativit et dassociativit de la multiplication.

Pour la multiplication de plus de deux nombres : regroupements astucieux.Exemple : 50 17 2 = (50 2) 17Cette procdure utilise les proprits de commutativit et dassociativit de la multiplication.

Ces diffrentes procdures supposent lautomatisation de certains calculs grce la connaissance : des tables daddition, de soustraction et de multipli-cation ; des complments additifs 10, 100 ; des produits remarquables comme 50 2 ou 25 4.

ConclusionPour les raisons voques prcdemment, et en articu-lation avec le travail fait lcole primaire, il faut dve-lopper au collge les comptences des lves calculer mentalement. Cela suppose de les initier aux diffrentes techniques mises en vidence ci-dessus. Mais le calcul mental ncessite aussi un entranement rgulier.

Cest pour cela que nous avons : plac des exercices de calcul mental dans pratique-ment tous les chapitres. Les exercices rituels se prtent tout particulirement bien un entranement rgulier. mis en place un logiciel de calcul mental qui reprend les diffrentes techniques prsentes ci-dessus.

En n, noublions pas dvaluer ces comptences.


14

Le socle commun

Le socle commun

Quest-ce que le socle commun de connaissances et de comptences ?La loi davril 2005 pour lavenir de lcole institue le socle commun de connaissances et de comptences qui nonce ce que tous les lves doivent matriser au terme de leur scolarit obligatoire.

Le socle est constitu dun ensemble de valeurs, de savoirs, de langages et de pratiques dont lacquisition repose sur la mobilisation de lcole et qui suppose, de la part des lves, des efforts et de la persvrance (Dcret n 2006-830 du 11 juillet 2006).

lissue de la scolarit obligatoire, les lves doivent matriser des comptences sur sept piliers :1. la matrise de la langue franaise ;2. la pratique dune langue vivante trangre ;3. la connaissance des principaux lments des math-matiques et la matrise de la culture scienti que et tech-nique ;4. la matrise des techniques usuelles de linformation et de la communication ;5. la culture humaniste ;6. lacquisition des comptences sociales et civiques ;7. lautonomie et linitiative.

Chacune de ces grandes comptences est conue comme une combinaison de connaissances fondamentales, de capacits les mettre en uvre dans des situations varies et aussi dattitudes indispensables tout au long de la vie.

Quelles sont les disciplines concernes ? lcole et au collge, tous les enseignements et toutes les disciplines ont un rle jouer dans lacquisition du socle.

Les connaissances acqurir en mathmatiques sont dcrites dans le troisime pilier. Nanmoins, les comp-tences acquises dans cette discipline participent lac-quisition dautres comptences, par exemple la comp-tence crer, produire, traiter, exploiter des donnes mentionne dans le quatrime pilier.

Quel est le lien entre les comptences du socle commun et les objectifs des programmes ?Le socle commun ne se substitue pas aux programmes. Les programmes dcrivent ce qui doit tre enseign. Parmi les connaissances et comptences acqurir, cer-taines sont identi es comme des lments du socle. Elles doivent donc tre acquises par tous les lves.

Quand est value lacquisition des comptences du socle ?Lacquisition du socle de connaissances et de compten-ces est value trois fois au cours de la scolarit obliga-toire a n de vri er la progression des lves : en CE1, pour la matrise de la lecture et de lcriture ; en CM2, pour lacquisition des rgles fondamentales de gram-maire, de conjugaison et de calcul lmentaire ; en 3e, o le brevet permettra de vri er lacquisition des sept lments du socle commun.

Comment est pris en compte le socle commun dans Triangle 5e ?Les comptences du socle sont travailles dans le cadre des programmes. Dans le manuel Triangle 5e, le nombre et la progressivit des exercices permettent aux lves dacqurir le niveau minimal de matrise qui garantit lacquisition de ces comptences.

Toutefois, nous avons souhait apporter une aide spci- que aux enseignants dans leur dmarche dvaluation des connaissances et des comptences du socle. Pour cela, pour chaque chapitre, nous avons identi ces connaissances et ces comptences dans les valuations diagnostiques et formatives. Dans le test diagnostique Je fais le point sur mes connaissances , gure ct de certains exercices le pictogramme ( S pour socle). Dans le test formatif Je prpare le contrle , les comptences du socle sont identi es par le mme pictogramme. Le pictogramme sert attirer lattention des lves sur ce quils doivent obligatoirement savoir et savoir faire pour attester quils ont acquis les lments du socle.


15Les TICE dans Triangle 5e

Les TICE dans Triangle 5e

Pourquoi des TICE en 5e ?Plusieurs raisons doivent nous inciter utiliser des logi-ciels avec nos lves : Nous vivons dans un monde numrique ; lcole ne peut videmment pas faire limpasse sur ces formidables outils que sont les nouveaux moyens dinformation et de communication.

Les programmes de mathmatiques insistent sur limportance des TICE (Technologies de lInformation et de la Communication pour lducation). En voici quelques extraits : prambule pour le collge (4.1 Une place centrale pour la rsolution de problmes) : Lutilisation doutils logiciels est particulirement impor-tante et doit tre privilgie chaque fois quelle est une aide limagination, la formulation de conjecture ou au calcul. Cette utilisation se prsente sous deux formes indispensables, notamment dans le cadre des comptences du socle commun : lusage dun vidoprojecteur en classe et lutilisation par les lves dordinateurs en fond de classe ou en salle informa-tique.

prambule pour le collge (4.8 Le travail personnel des lves) : Le travail en classe proprement dit doit tre complt par des sances rgulires en salle informatique o llve utilise lui-mme les logiciels au programme (tableur, grapheur, logiciel de gomtrie). Ces sances de travaux pratiques sur ordina-teur doivent toujours avoir pour objectif lappropriation et la rsolution dun problme mathmatique. Tout travail en salle informatique doit aboutir la production dun crit, manus-crit ou imprim.

programme de 5e (1.4 Reprsentation et traitement de donnes) : Lutilisation dun tableur permet denrichir ce travail en le prolongeant des situations plus complexes que celles qui peu-vent tre traites la main.

programme de 5e (III. Gomtrie) : Les travaux de gomtrie plane prennent toujours appui sur des gures dessines suivant les cas main leve, laide des instruments de dessin et de mesure, ou dans un environnement informatique.

programme de 5e (3.3. Prismes droits Cylindres de rvolution) : Lusage doutils informatiques (logiciels de gomtrie dans lespace) peut se rvler utile pour une meilleure dcouverte de ces solides.

Ces extraits permettent didenti er deux utilisations des TICE : en classe par le professeur avec un vidoprojec-teur et en salle informatique (ou au fond de la classe, si on dispose de quelques ordinateurs).

Rappelons en n que les comptences lutilisation des TICE sont valides en n de collge par le B2i.

Les TICE sont des outils qui peuvent aider les lves sapproprier des connaissances mathmatiques : Les TICE sont des aides la conjecture dans le cadre de la recherche de certains problmes.

Les logiciels de gomtrie peuvent aider les lves se construire des images mentales dobjets gomtriques (perpendiculaires, parallles, mdiatrices).

Les tableurs permettent dexcuter rapidement de nombreux calculs rptitifs et les logiciels de gomtrie de construire rapidement des gures prcises.

Lutilisation de Triangle 5e par les lves en salle informatiqueDes activits et exercices sont prvus dans le manuel pour tre raliss en salle informatique par les lves, en prsence du professeur. Ils doivent permettre dappren-dre utiliser les logiciels tout en effectuant des exercices et en rsolvant des problmes du chapitre. Pour chaque chapitre, ils sont regroups dans un document TICE photocopier disponible dans le manuel interactif.

Conformment aux programmes, deux types de logiciels sont utiliss en 5e : les logiciels de gomtrie et, un degr moindre, les tableurs.

Les logiciels de gomtrieLapprentissage de lutilisation dun logiciel de gom-trie est raliser par le professeur de mathmatiques. Lobjectif de cette initiation est de permettre aux lves dapprendre se servir des principales fonctions de ce type de logiciels : placer, dplacer et nommer des points, tracer des droites parallles ou perpendiculaires, tracer des gures.

Linitiation lutilisation de nombreuses fonctions des logiciels de gomtrie a t faite en 6e mais elle est tota-lement reprise travers les exercices de Je fais le point sur mes connaissances , de Je ractive mes connais-sances , dans les ches mthodes logiciel en dbut douvrage et dans les tutoriels anims proposs dans le manuel interactif.

De nouvelles fonctions en lien direct avec le programme de 5e sont abordes dans les activits des chapitres concerns (comme par exemple le trac du symtrique dun point).

Comme en 6e, nous avons pris en charge cet appren-tissage en proposant des ches mthodes logiciels, des


16 Les TICE dans Triangle 5e

activits et des exercices dapplication ainsi que des com-plments dans le manuel interactif.

Voici un exemple de che mthode logiciel (p. 9 du manuel) :

10. Tracer le symtrique dune gure par rapport un pointTAPES(1) Dans la barre doutils, slectionner Symtrie centrale .

(2) Cliquer sur la gure, puis sur le centre de sym-trie.

AFFICHAGE

Dans les activits, de manire trs simple, nous abordons les fonctions du logiciel de gomtrie se rapportant au chapitre.

Voici lactivit dinitiation (chapitre 11 Symtrie cen-trale , activit 4. a) p. 172) associe la che mthode logiciels prise comme exemple ci-dessus :

a) (1) Avec un logiciel de gomtrie, placer deux points A et B.En utilisant la fonction Symtrie centrale , construire le symtrie A de A par rapport B.(2) Dplacer le point A. Le point A reste-t-il tou-jours le symtrique de A par rapport B ?(3) Dplacer le point B. Que se passe-t-il ?

Cet exemple illustre le fait que, ds les premiers exer cices dinitiation, nous incitons les lves, une fois la gure construite, tester sa rsistance au dplacement, qui est une des caractristiques des dessins construits laide dun logiciel de gomtrie dynamique.

Pour les nouvelles fonctions, des exercices dentrane-ment (intituls Prise en main ) permettent ensuite de stabiliser cette initiation.

Nous avons galement prvu trois autres types de pro-blmes (ou exercices) utilisant un logiciel de gomtrie a n de donner du sens cette utilisation : Comme en 6e, nous proposons des exercices visant la mise en place dimages mentales (intituls Image mentale ).

Par exemple (chapitre 10 Triangles , exercice 49 p. 164) :

IMAGE MENTALEa) Tracer un triangle ABC.

b) vue dil, placer le point D, centre du cercle circonscrit au triangle.

c) Tracer avec les mdiatrices de deux des cts.Les deux mdiatrices se coupent-elle en D ?

d) Ouvrir une nouvelle feuille de travail et recom-mencer lexercice.

Grce ce type dexercices, llve, en confrontant son trac avec celui du logiciel, construit des images men-tales des nouveaux objets gomtriques tudis en 5e (centre du cercle circonscrit, symtrique dun point, trac de hauteurs, de mdianes).

Des exercices de construction de gures com-plexes (intituls Construction ).

Par exemple (chapitre 10 Triangles , exercice 51 p. 164) :

CONSTRUCTIONa) Tracer un triangle ABC.Tracer la hauteur issue de B et la hauteur issue de C.Nommer H leur point dintersection.

b) Tracer la droite (AH).

c) Comment semblent tre les droites (AH) et (BC) ?

Autre exemple (chapitre 14 Paralllogrammes , exer-cice 91 p. 236) :

CONSTRUCTIONRaliser le dessin suivant en commenant par le

losange ABCD tel que AB = 3 cm et BCD = 60 .

A

B

CD

Avec ce type dexercices, llve peroit lintrt dun logiciel de gomtrie pour construire facilement de belles gures complexes.


17Les TICE dans Triangle 5e

Des exercices visant llaboration de conjectures (intituls Conjecturer ).

Par exemple (chapitre 13 Angles et paralllisme , exercice 6 p. 211) :

CONJECTURERa) Tracer un triangle ABC.Tracer la parallle (BC) passant par A.Tracer la parallle (AC) passant par B.Ces deux droites se coupent en D.

b) Mesurer les angles ADB , ACB , DAB , ABC ,

DAC et DBC . Lequels semblent gaux ?Ces galits restent-elles vraies en dplaant le pont A ?

Dans la plupart des cas, en 5e, aprs la conjecture, on accompagne les lves jusqu la preuve comme dans cet exemple (chapitre 9 Initiation au raisonnement dduc-tif exercice 59 p. 150) :

CONJECTURER ET PROUVERa) Conjecturer(1) Tracer un triangle ABC.Tracer la mdiatrice (d) de [AB].Tracer la mdiatrice (d) de [BC].Ces deux mdiatrice se coupent en O.Tracer la mdiatrice de [AC].(2) Quelle conjecture peut-on faire concernant le point O et la mdiatrice de [AC] ?(3) Tester cette conjecture en dplaant les points A, B ou C.

b) Prouver(1) O tant un point de (d), prouver que OA = OB.(2) O tant un point de (d), prouver que OB = OC.(3) En dduire que OA = OC.(4) Prouver la conjecture faite la question a)(2).

Les tableursLes lves de 5e continuent utiliser des objectifs de 6e, savoir : savoir entrer un nombre, une formule dans une cel-lule ; savoir trier une srie de nombres par ordre croissant ou dcroissant ; savoir effectuer laddition, la soustraction, la multipli-cation et la division dcimale de nombres placs dans des cellules donnes ; savoir tracer un diagramme.

A ct de ces objectifs de 6e, nous navons ajout quun seul nouvel objectif : Tirer une formule.

Pour chacun de ces objectifs, nous avons cherch aider les lves donner du sens lutilisation du tableur. Par exemple pour la recherche de la solution dune qua-tion, nous avons essay de mettre en vidence le fait que le tableur permet deffectuer de nombreux calculs de faon trs pratique. Voici un exemple de ce type de problmes (chapitre 8 Initiation au calcul littral et aux quations , exercice 93 p. 136) :

Lquation suivante a une solution qui est un nom-bre entier compris entre 1 et 50.

11 x + 7 = 4 (x + 84)

On va utiliser un tableur pour trouver cette solu-tion.a) Entrer dans la colonne A les nombres entiers de 1 50.

b) Entrer dans la colonne B la formule qui permet de calculer 11 x + 7 pour les diffrentes valeurs de la colonne A.

c) Entrer dans la colonne C la formule qui permet de calculer 4 (x + 110) pour les diffrentes valeurs de la colonne A.

d) Lire dans la feuille de calcul la valeur de x qui est la solution de lquation.

e) Contrler, sans le tableur, que cette solution est bien la bonne.

Autre exemple dutilisation du tableur pour choisir diff-rents graphiques (chapitre 7 Reprsentation et traite-ment de donnes , exercice 14 page 115)

Voici les effectifs des classes bilingues de collge dans lacadmie de Lyon :

Rentre 2006 2007 2008 2009

Effectif 3 172 3 827 4 692 5 491

Source : Acadmie de Lyon

a) Quelle volution rgulire remarque-t-on dans ce tableau ?

b) Calculer le pourcentage daugmentation entre 2006 et 2009.

c) Construire plusieurs sortes de graphiques repr-sentant ces donnes.Quel est le (ou les) graphique(s) qui semble le mieux reprsenter la situation ?


18

Au dbut du manuel, des ches mthodes logiciels permettent aux lves de sapproprier les procdures dutilisation du tableur. En voici un exemple (p. 13 du manuel) :

26. Tirer une formule>> Exercice : crire la liste des multiples de 12 de 12 228.

TAPES(1) Entrer les deux premiers lments du tableau.(2) Slectionner ces deux lments.(3) Positionner le curseur sur le carr noir du coin infrieur droit de la zone slectionne.(4) Maintenir le bouton gauche de la souris enfonc et tirer sur toute la zone o le calcul doit tre reproduit.AFFICHAGE

=12*A1

Ce nombre est entr

Les TICE dans Triangle 5e

ConclusionPour la mise en place des activits TICE, nous sommes rests dles aux choix qui prsident la conception des ouvrages Triangle :

Concevoir des outils pour aider les enseignants. Nous avons montr prcdemment comment nous avons cherch faciliter la tche de chacun.

Concevoir des outils pour faciliter les apprentis-sages des lves deux niveaux : favoriser lapprentissage de lutilisation des TICE en articulant des activits de base (exercices dautomatisa-tion simples et nombreux) et des activits signi catives (rsolution de problmes mettant en vidence lintrt des TICE) ; favoriser lapprentissage de certains concepts en utili-sant les TICE.


19Typologie des problmes de gomtrie

Typologie des problmes de gomtrieDans louvrage Triangle 5e , le choix des problmes de gmomtrie est fait en fonction de la typologie suivante :

Exercice ou problme de reconnaissance (La repr-sentation de lobjet gomtrique reconnatre peut-tre isole ou isoler). Il y a deux sous-catgories : vue dil. Dans ce cas, llve a deux procdures pos-sibles : une procdure globale qui fait appel la compa-raison de la gure avec un prototype stock en mmoire long terme ou une procdure analytique qui fait rf-rence aux proprits de la gure. avec les instruments. Dans ce cas, il sagit pour llve de vri er les proprits de la gure avec les instruments (angles droits, longueurs gales, milieux, droites parallles).

Ces exercices gurent dans les rubriques correspondant cha-cun des objets gomtriques.

En voici un exemple : Ex. 21 p. 179.En utilisant les points ci-dessous, crire quatre phra-ses qui utilisent le mot symtrique .

GA

D

B

E C

F

H

Problme de reproduction : llve doit faire un des-sin qui doit tre superposable avec un dessin qui lui est donn.

En voici un exemple : Ex. 61 p. 165.En prenant les informations ncessaires sur la gure, la reproduire en commenant par le triangle.

Dans un problme de reproduction, llve doit faire une analyse de la gure, cest--dire quil doit : reprer les con gurations de base : parallle, perpendi-culaires, milieu, triangle, quadrilatres particuliers ; reprrer les liens entre ces diffrentes con gurations ; tablir une chronologie.

Dans ce type de problme, les variables didactiques sont nombreuses : les gures de base sont-elles faciles rep-rer ? Les liens sont-ils tracs ou construire ? Y a-t-il une chronologie ou non ?

Problmes de construction : ici on peut distinguer quatre types de problmes de construction :

Construction de base du type Tracer la droite paral-lle passant par . Ces tracs se font partir dune instruction lmentaire . Ces exercices gurent dans les rubriques correspondant lobjet gomtrique travaill.

Construction partir dun programme : On demande llve de construire une gure partir dune succes-sion dinstruction lmentaires . En voici un exemple : Ex. 60 p. 164.

Tracer un quadrilatre quelconque ABCD.a) Tracer la mdiane issue de B dans ABC.

b) Tracer la hauteur issue de B dans ABC ; elle coupe (AC) en H.

c) Tracer la mdiane issue de D dans ADC.

d) Tracer la hauteur issue de D dans ADC ; elle coupe (AC) en K.

Construction partir dun schma. Llve doit construire une gure partir dun schma cod de cette gure. Cela oblige llve faire lanalyse de la gure. Ces exercices gurent dans les rubriques correspondant lobjet gomtrique travaill. En voici un exemple : Ex. 56 a) p. 164.

Tracer une gure respectant les coda-ges et les mesures indiqus :

Construction r chie : On donne llve des carac-tristiques de la gure quil doit construire. Pour cela, il doit trouver lui-mme les diffrentes instructions l-mentaires de la construction. Ce type de problme fait appel des proprits de gomtrie. Ex. 63 p. 184.

Reproduire la gure suivante sachant que B est le symtri-que de B et C le symtrique de C par rapport au point O.En utilisant le ct non gradu dune rgle, construire le symtrique du point A par rapport au point O. Dcrire la mthode utilise en la justi ant.

A

B

C

O B

C


20

Problme de description : llve doit rdiger un pro-gramme de trac dune gure donne. Comme pour les problmes de reproduction, llve doit analyser la gure. En voici un exemple : Ex. 59 p. 183.

Rdiger un programme de trac pour la gure sui-vante en commenant par : Tracer un rectangle RSTU et sans utiliser le mot milieu .

R S

T

M

N

P

U

Problme de raisonnement. Llve doit justi er une af rmation partir dun raisonnement sappuyant sur des proprits de gomtrie. Dans ce type de problme, une dif cult est de montrer llve la ncessit de raisonner. Pour viter quil se contente uniquement de juger vue dil, soit on lui propose de travailler sur un schma cod (Ex. 41 p. 149) :

Pour le schma suivant, crire les informations codes, puis prciser, si possible, ce que lon peut en dduire concernant le quadrilatre ABCD, en indi-quant la proprit utilise.

A

B

C

DO

soit on lui demande dexpliciter, de justi er sa rponse. Cest par exemple le cas pour lexercice 59 p. 164.

a) Tracer un losange ANGE tel que AG = 8 cm et NE = 6 cm.Ses diagonales se coupent en O.

b) Que peut-on dire des droites (AG) et (NE) ? Citer la proprit utilise.

c) Tracer la droite (d) mdiatrice de [OG].Que peut-on dire des droites (d) et (NE) ?Citer les proprits utilises.

Typologie des problmes de gomtrie

ces cinq types de problme, on peut rajouter les pro-blmes de localisation, qui consistent demander llve de reprer des points partir dune construction gomtrique, et les problmes de mesure, qui sont des problmes dans lesquels la mesure intervient soit dans les donnes soit dans la conclusion (quelle est la lon-gueur du segment). Ex. 79 p. 217.

Comment Charlne peut-elle dterminer la mesure de langle x, sachant quelle na pas accs cet angle ?

noter que les problmes de modlisation font par-tie des problmes de mesures, de localisation, de construction r chie. Il ne faut pas les oublier !

La construction des gures gomtriques partir dins-tructions lmentaires passe par la mobilisation dima-ges mentales et dactions mentales. Par exemple, pour tracer une droite perpendiculaire une droite donne, il faut imaginer la droite pour pouvoir ensuite avoir une chance de la tracer correctement avec les instruments.

Pour faciliter la construction dimages et dactions men-tales, on peut : proposer aux lves de faire des tracs main leve. Il y en a dans le livre.

proposer aux lves des exercices de gomtrie men-tale utilisant un logiciel de gomtrie. Voici un exem-ple : Ex. 33 p. 180.

IMAGE MENTALEa) Placer deux points A et B. vue dil, placer un point C qui semple le symtrique de A par rapport B.

b) En utilisant la fonction Symtrie centrale , construire le symtrique A de A par rapport B.

c) Comparer les positions des points A et C.


21Initiation au raisonnement dductif

Initiation au raisonnement dductifLe mot raisonnement est cit plusieurs fois dans le programme de 5e : dans la partie Organisation et gestion des donnes : daffermir la matrise des principaux raisonnements qui per-mettent de traiter les situations de proportionnalit, dans la partie Nombres et calculs : de familiariser les lves aux raisonnements conduisant des expressions lit-trales ; en n, il est fait rfrence au raisonnement dans lin-troduction de la partie Gomtrie du programme de 5e : Les diverses activits de gomtrie habituent les lves exprimenter et conjecturer, et permettent progressivement de sentraner des justi cations mettant en uvre les outils du programme et ceux dj acquis en classe de 6e et un peu plus loin, dans la partie Objectif : La rsolution de pro-blmes a pour objectifs de connatre et utiliser les proprits conserves par symtrie (axiale ou centrale), les proprits relatives aux gures usuelles (triangles, paralllogrammes, cer-cles), dentretenir la pratique des constructions gomtriques (aux instruments et laide dun logiciel de gomtrie) et des raisonnements sous-jacents quelles mobilisent, de conduire sans formalisme des raisonnements gomtriques simples

Dans le prambule des programmes de mathmatiques du collge, on peut galement lire : Les enseignants ont le libre choix de lorganisation de leur enseignement, dans le respect des programmes. Il importe cependant dviter lmiet-tement des savoirs et des mthodes et de faciliter leur bonne structuration, en particulier en vue dune initiation progressive au raisonnement dductif.

Cette initiation au raisonnement dductif en gomtrie va conduire linitiation la dmonstration prvue dans le programme de 4e.

Q : On parle souvent de faon synonyme de raisonnement , raisonnement dductif , dmonstration . Y a-t-il une dif-frence entre ces expressions ?D nissons tout dabord raisonnement en reprenant la d nition du dictionnaire Robert : activit de lesprit qui passe, selon des principes dtermins, dun jugement un autre, pour aboutir une conclusion , plus loin suite ordonne de termes aboutissant une conclusion . Ainsi, le raisonnement dsigne la fois le processus (lactivit intellectuelle qui conduit une conclusion) et le produit (le rsultat crit ou oral de cette activit).

Cette activit est partout prsente dans la vie courante : on raisonne pour prendre une dcision, on raisonne quand on veut argumenter, dfendre une cause et, bien sr, quand on veut valider une proposition. Lenfant, ds son plus jeune ge, raisonne.Il y a de nombreuses formes de raisonnement : le raisonne-ment dductif, le raisonnement inductif, le raisonnement par analogie, le raisonnement par labsurde, par rcurrence...

En mathmatiques, la logique formelle, mais galement le calcul littral, le raisonnement par rcurrence, sont des outils de raisonnement.Le raisonnement dductif : cest un raisonnement qui permet, partir des donnes, de tirer des consquences.Il va du gnral au particulier, contrairement au rai-sonnement inductif qui permet, partir de situations particulires, de tirer des conclusions gnrales. Pour le mathmaticien, le raisonnement inductif nest pas rigou-reux. En revanche, il a une importance essentielle dans la vie ; cest grce ce type de raisonnement que nous accumulons des savoirs issus de notre exprience, de nos observations, des incidents de notre vie quotidienne.Pour caractriser la dmonstration, nous commencerons par d nir ce que nous appelons des preuves, en nous rfrant aux distinctions que fait N. Ballacheff entre expli-cation, preuve et dmonstration (N. Ballacheff, 1982).Nous appellerons explication tout discours tenu par une personne ou un groupe dont lobjectif est de com-muniquer dautres le caractre de vrit dun nonc mathmatique.Une preuve est une explication accepte par dautres, un moment donn. Ainsi, une explication peut avoir le statut de preuve pour un groupe social donn, mais pas pour un autre.La dmonstration est une preuve particulire qui pos-sde les caractristiques suivantes : une caractristique sociale : elle est la seule preuve accepte par la communaut des mathmaticiens ; une caractristique de forme : elle respecte certai-nes rgles. Un certain nombre dnoncs sont consid-rs comme vrais (axiomes) ; les autres sont dduits de ceux-ci ou dnoncs prcdemment dmontrs partir de rgles de dduction prises dans un ensemble de rgles logiques ; les objets mathmatiques sur lesquels ces preuves op-rent ont un statut thorique ; ils nappartiennent pas au monde sensible, bien quils y fassent videmment rf-rence. Faire des mesures sur un dessin pour en tirer des consquences (par exemple que ce point est le milieu dun segment), cest considrer ce dessin comme un objet physique qui a une ralit. En revanche, si on sent la ncessit de ne pas utiliser dinstrument de mesure, mais de mettre en place un raisonnement pour prouver quun point est le milieu dun segment, cela signi e que le des-sin que lon a devant les yeux nest que la reprsentation dun objet idal. Dans ce cas, on travaille sur lobjet idal (appel par certains gure ).Ainsi, la dmonstration sappuie sur le raisonnement dductif. Mais tout raisonnement dductif nest pas for-cment une dmonstration dans la mesure o, par exem-ple, les proprits qui servent dappui au raisonnement ne sont pas toujours explicites ou, encore, les rgles de


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logique sur lesquelles sappuie le raisonnement ne sont pas en accord avec celles de la dmonstration1.

Q : Le problme, cest que, lorsquon demande des lves de dmontrer une proprit, ils ne voient pas pourquoi il faut le faire. Finalement pourquoi dmontrer ?On peut distinguer deux raisons qui amnent une per-sonne sengager dans une dmonstration : Dmontrer pour se convaincre ou convaincre les autres. Il sagit de rpondre la question : Est-ce que cest vrai ? Dmontrer pour comprendre. Il sagit de rpondre la question : Pourquoi est-ce vrai ? .

Prenons deux exemples :Exemple 1

C E

A B

FD

Comparer les aires des paralllogrammes ABCD et ABFE.Dans ce premier exemple, il faut se convaincre que les deux paralllogrammes ont la mme aire, alors que ce nest pas vident visuellement.

Exemple 2

ABCD et CDEF sont deux paralllogrammes. Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallles ?Dans ce deuxime exemple, il ny a aucune incertitude par rapport au rsultat ; tout le monde est convaincu que les droites sont parallles. Si on sengage dans une dmonstration, cest pour comprendre pourquoi ces droites sont parallles en tablissant des liens entre les proprits connues et cette constatation.

Pour aider les lves donner du sens la dmonstration, nous avons fait le choix de faire apparatre la dmonstra-tion comme un outil de preuve pour se convaincre ou convaincre les autres. La deuxime approche (prouver pour comprendre) nous semble plus dif cile mettre en place.

Mais sengager dans une dmarche de preuve pour se convaincre ou convaincre les autres suppose quil y ait une incertitude quant au rsultat (on ne peut sappuyer sur lexercice de lexemple 2 pour donner du sens la dmonstration comme outil de preuve pour se convain-cre de lexactitude de la conjecture).Lincertitude nest pas toujours suf sante : on peut en effet ne pas tre sr dun rsultat sans pour autant cher-cher lever lincertitude. Pour aller au-del, il est nces-saire quil y ait un enjeu.

Q : Les lves nont pas attendu darriver en classe de 5e pour se convaincre et convaincre les autres de la validit dune pro-position. Entre camarades, avec leurs parents, ils le font dj et pourtant ils ne font pas de dmonstration.Si lon souhaite aider les lves donner du sens la dmonstration comme outil pour se convaincre et convaincre les autres, il faut tout dabord reprer sils ont dj des outils pour le faire. Cest lanalyse des erreurs que les lves font lorsquon leur propose de faire des dmonstrations qui nous renseigne sur ces outils. On peut les caractriser par un certain nombre de rgles : regarder ou mesurer permettent de prouver des pro-prits de gomtrie ; des exemples permettent de prouver des proprits sur des nombres ; une proprit peut tre parfois vraie et parfois fausse ; une proprit peut tre vraie 9 fois sur 101 ; en cas de dsaccord, un vote permet de savoir qui a raison.Ces rgles sont en contradiction avec celles sur lesquel-les sappuie la dmonstration et qui sont rappeles dans lextrait du livre du professeur que vous trouverez dans le manuel lve page 144.Les rgles du dbat mathmatique relatives la preuve en gomtrie ( regarder un dessin, mesurer ne per-mettent pas de prouver ) saccompagnent dun chan-gement de statut des objets gomtriques (rectangle, carr, droites parallles, perpendiculaires...) sur lesquels les lves travaillent. Jusqu prsent, ils travaillaient sur des objets qui avaient une ralit physique, maintenant ils doivent travailler sur des objets idaux.Lorsque, dans un nonc, on parle du triangle ABC , llve doit prendre conscience que le triangle quil trace nest quune reprsentation dun objet idal sur lequel il doit travailler. Cet objet est lensemble de tous les trian-gles ABC qui vri ent les proprits de lnonc et non celui quil a trac sur sa feuille. Certains auteurs font la diffrence entre dessin (objet physique) et gure (lobjet idal)2.

1. Par exemple, si un lve af rme Cette proprit est presque toujours vraie parce quelle est vri e 9 fois sur 10 . Il y a bien ici un raisonnement, mais qui nest pas une dmonstration.2. Il va de soi quil ne sagit plus denseigner cette distinction aux lves. Historiquement, ce dbat a t source de con it entre les mathmaticiens de lAntiquit (voir B. Parzysz et G. Arsac).

Initiation au raisonnement dductif


23Initiation au raisonnement dductif

Q : En somme, les rgles quutilisent spontanment les lves pour se convaincre et convaincre les autres caractrisent les conceptions quils ont de la preuve. La dmonstration ne pren-dra sens pour eux que sils peroivent linsuf sance de ces rgles.En accord avec les conceptions de lenseignement apprentissage sur lesquelles nous nous appuyons, cest effectivement ce quil faut essayer de mettre en uvre.En rfrence lanalyse ci-dessus, les activits que nous proposons ont les caractristiques suivantes : pour les rsoudre, les lves doivent produire un rsul-tat et une explication pour convaincre les autres de la validit de ce rsultat. Ils ne doivent pas avoir de dif -cults pour rentrer dans ces activits, imaginer ce quest une solution, manipuler des contre-exemples les lves doivent pouvoir dcider de ce qui est vrai, de ce qui est faux, sans lintervention de lenseignant, de faon ce quils puissent mobiliser les rgles spontanes du dbat quils connaissent ; les rgles spontanes du dbat que les lves utilisent ( un exemple suf t pour prouver que cest juste , cest vrai sur le dessin donc cest vrai ) doivent conduire des rsultats faux.

Gnralement (ce nest pas une obligation !), ces activi-ts sont gres en quatre temps.

1er temps : travail individuel suivi dun travail de groupe au cours duquel les lves du groupe doivent se mettre daccord sur un rsultat et une explication pour convaincre les autres. Cette production est rdige sur une grande feuille (ou sur un transparent).

2e temps : dbat sur les productions, en commenant par une production fausse. Pour faciliter lorganisation du dbat, on peut, aprs la prsentation dune produc-tion de groupe, demander aux lves de dcider, par groupes, sils sont daccord ou non avec la production et de prciser pourquoi (5 minutes). Ensuite, chaque groupe dsigne un porte-parole qui donne la position de son groupe, le professeur notant au tableau cette posi-tion. Une fois toutes les positions recenses, le dbat commence par la prise de parole du groupe auteur. Gnralement, au bout de deux ou trois productions, le dbat a permis de mettre en vidence les rgles vises. On larrte alors pour passer au troisime temps.

3e temps : le professeur met en vidence les rgles du dbat mathmatique qui ont merg du dbat, ou bien il prsente ces rgles pour aider les lves sortir du dbat si chacun reste sur sa position. cette occa-sion, il peut prciser que ces rgles sont spci ques aux mathmatiques.

4e temps : ce travail se fait individuellement. Les autres productions sont proposes aux lves, ce qui permet de savoir sils se sont appropris les rgles prsentes dans le troisime temps.

Voici une activit en gomtrie, dont lobjectif est de mettre en vidence linsuf sance des mesures sur un dessin pour prouver.

nonc

Existe-t-il un triangle dont les mesures des cts sont 5 cm, 9 cm et 4 cm ? (Activit 2, p. 141.)

Avant cette activit, nous proposons aux lves des exer-cices de construction de triangles connaissant les dimen-sions des trois cts. Nous obtenons gnralement trois types de production.

Type 1. Des lves qui rpondent oui en sappuyant sur un dessin. Voici un exemple de ce type de produc-tion :

Oui il existe un triangle aux cts 5 cm, 9 cm, 4 cm, car on a regard si on pouvait crer ce triangle. Et on a russi le faire en obtenant les angles suivants : 14, 154, 12.

B

Type 2. Des lves qui rpondent non sur la base dun raisonnement intuitif. Voici un exemple de ce type de production :

Nous trouvons que ce triangle nest pas ralisable, car : nous prenons pour base le ct de 9 cm, puis nous additionnons les deux autres cts (5 + 4 = 9), puis nous superposons ces deux segments.Si le total des deux autres avait t suprieur la base (exemple : base 14, cts 9 + 7 = 16), ils ne se seraient pas superposs, ce qui aurait voulu dire que le triangle tait ralisable.

Dans certaines productions de ce type, des lves construisent un dessin (reprsentant un segment de 5 cm et deux arcs de cercle dont les centres sont les extrmits du segment qui se coupent sur le segment) pour convaincre les autres, mais ce dessin nest pas lorigine de leur rsultat.

Type 3. Des lves qui pensent que le triangle existe si on commence par tracer le ct de 9 cm et quil nexiste pas sinon. Ce dernier type de production pose une dif cult : en effet, comment arriver convaincre les lves que des triangles qui ont des cts de mme longueur sont identiques autrement quen faisant des dessins, ce qui est contradictoire avec lobjectif vis dans cette activit.

Pour diminuer le risque dapparition de ce type de pro-duction, avant de proposer cette activit, nous deman-dons aux lves de construire des triangles dont les dimensions sont identiques. Nous leur demandons


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ensuite de faire des remarques quant ces triangles, ce qui nous permet dtablir le fait quun triangle est enti-rement d ni ds quon connat la mesure de ses trois cts (cf. exercice 1 p. 140). Une fois les productions termines, lenseignant en choisit une, gnralement claire et fausse, et demande chaque groupe de prendre position.Voici, titre dexemple, les arguments avancs par les lves concernant la premire production ci-dessus :

Nous ne sommes pas daccord, car ils nexpliquent pas comment trouver les angles ; on a ralis le dessin et on na pas trouv les mmes longueurs des cts ; le trait de 5 et le trait de 4, si on les additionne, a donne le trait de 9, donc a ferait une ligne droite, il faudrait que les deux plus petits nombres, si on les additionne tous les deux, donnent un nombre plus grand que le plus grand nombre des trois ; le dessin est faux, il ny a pas dchelle, et le dessin nest pas une preuve ; on ne voit pas pourquoi ils ont mis les angles.

Nous sommes daccord, car le dessin nous a prouv que ctait bon, les mesu-res sont bonnes.

Ensuite, le dbat sengage entre les lves. Gnrale-ment deux types darguments sopposent :

des arguments de type intellectuel qui sappuient sur des proprits quaurait un dessin idalement prcis ; en voici deux exemples : Si a devait se croiser au-dessus de la base, les traits seraient plus grands, obligatoirement ; Si on fait partir des mesures, normalement, a doit tomber pile . des arguments de type technique qui sappuient uniquement sur le dessin ; en voici deux exemples : Mais si, il existe puisque je lai trac, regarde ! ; Viens, mesure si tu nes pas daccord ! .

Gnralement, aucune de ces deux conceptions ne lem-porte, et les lves prennent conscience quil nest pas possible de conclure en prenant appui sur le dessin et les mesures, ce qui pour nous est essentiel.

Lenseignant peut alors tablir la rgle du dbat selon laquelle : Une constatation sur un dessin, des mesures ne suf sent pas pour prouver quun nonc de gom-trie est vrai.

noter que, parfois, des lves produisent la rponse suivante : Le triangle nexiste pas, car il est aplati . ce moment, lenseignant engage un dbat pour savoir si un triangle aplati existe ou non. Ici encore, le dbat ne dbouche gnralement pas sur un consensus dans la classe. Lenseignant peut alors mettre en vidence quen mathmatiques il est ncessaire de se mettre daccord sur des proprits de base pour pouvoir constituer une preuve. Cette rgle du dbat est aborde en 4e mais, dans ce cas, il serait dommage de ne pas la signaler.Une fois les rgles du dbat appropries, il est nces-saire que les lves apprennent utiliser les proprits qui seront ncessaires pour mener des raisonnements dductifs. Ces proprits sont nonces sous la forme Si alors . Cette expression est source de dif cult (entre autres, confusion entre proprit directe et rci-proque) ; aussi est-il ncessaire de mener un travail per-mettant aux lves de sapproprier cette expression.

Nos choixDans cet ouvrage, conformment lanalyse prcdente, nous avons amorc linitiation au raisonnement dductif par un travail sur les rgles du dbat mathmatique en aidant les lves remettre en cause leurs rgles sponta-nes de dbat que nous avons rappeles ci-dessus. Cest lobjet des activits 1 et 2 p. 141.Ensuite, nous aidons les lves sapproprier les expres-sions de la forme Si alors . Ce travail passe par une distinction entre proprit directe et rciproque. Cest lobjet des activits 3 et 4 pp. 141-142.

En n, nous engageons les lves dans des approches de la preuve, en gomtrie, en veillant ne pas dpasser un chanon dductif.

Prcisons quen gomtrie nous nexigeons pas des lves quils rdigent des dmonstrations qui sont au programme de la classe de 4e. En revanche, nous faisons lhypothse que le travail dinitiation au raisonnement dductif que nous proposons en 5e facilitera le passage la dmonstration en 4e.

Bibliographie :ARSAC G., CHAPIRON G., MANTE M. et al., Initiation au rai-sonnement dductif, PUL, 1992.BALLACHEFF N., Preuves, dmonstration en mathmatiques au collge, R.D.M., Vol. 3-3, 1982.PARZYSZ B., Voir et savoir, la reprsentation du peru et du su dans le dessin de gomtrie dans lespace, Bulletin APMEP, n364, 1986.

Initiation au raisonnement dductif


25Initiation au calcul littral

Initiation au calcul littral

Utilisation du calcul littralLes programmes voquent lusage des lettres dans les calculs plusieurs reprises : connatre et utiliser les identits :k(a + b) = ka + kb et k(a b) = ka kb ; utiliser lexpression en fonction de ; sinitier la rsolution dquations.Pour nos lves, le calcul littral est source de nombreu-ses erreurs. Analysons lune dentre elles, familire tout enseignant de mathmatiques.

nonc : Choisir un nombre x, le multiplier par 4 puis ajouter 3. crire le rsultat obtenu en fonction de x.Rponse dlve : Je ne peux pas rpondre, je ne connais pas x !lments danalyse. Calculer avec un nombre inconnu est contraire toutes les habitudes acquises jusque-l par les lves. Rappelons en outre que, historiquement, le calcul sur des inconnues a suscit bien des rserves. Il est donc naturel quil constitue un obstacle majeur pour nos lves.

nonc : Dvelopper 3(a + 4).Rponse 1 : 3(a + 4) = 3a + 4.Rponse 2 : 3(a + 4) = 12a.Rponse 3 : 3(a + 4) = 7a.

nonc : Rduire si possible 6a a ; 6 2a.Rponses : 6a a = 6 ; 6 2a = 4a.lments danalyse. Pour transformer les critures litt-rales, les lves appliquent les rgles quils ont construi-tes. Ils sen tiennent une conception quasi juridique : il nest pas rare dentendre un lve demander si on a le droit de faire telle ou telle action, ce qui est rvlateur du fait que llve na pas de moyens de contrle.

Question : Les erreurs cites sont effectivement trs courantes, mais comment y remdier, comment faire en sorte que les l-ves donnent du sens au calcul littral ?Lanalyse des erreurs que font les lves en calcul littral montre bien, quen gnral, ils ne savent pas donner un sens au calcul littral. Il faut les y aider, et ce ne sont pas les exercices de technique pure (dveloppement, factori-sation) qui le feront ; or ce qui permet de donner du sens au calcul littral, cest de se confronter aux problmes quil permet de rsoudre.En mathmatiques, on utilise le calcul littral dans trois domaines : le domaine des quations ; le domaine des fonctions ; le domaine des preuves de proprits numriques.Dans chacun de ces domaines, la lettre et le sig