2010 physique 1
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 2010 Physique 1
1/8
.
ROYAUME U
ManoC
Ministre
de
l'ducation
Nationale, de l'Enseignement
Suprieur,
de
la Formafion
des
Cadres
et
de
la Recherche
Scientifique
Frsidence
du Concours National
Commun
Ecole Suprieure des lrdustries du
Textile
et de l'Habillement
ESITH
Concours National Commun
d'admission
aux
Grandes
coles
d'Ingnieurs
ou
assimiles
Session
010
EpnsuvrDEPHysreuE
FilirePSI
Dure 4
heures
Cette preuve conrporte
7 pages
au
forrnat
A4,
en
plus
de cette page de garde
Uusage
de la calculatrice
estautoris
-
7/25/2019 2010 Physique 1
2/8
Concours
National
Commun-Session
2010
Filire
PSI
Linoncde
cette
preuve
comporte
7
pages.
L'usage e
a
calculakice
est autoris.
On oeillsa
une
ywation
claire
t soignccs
copies.
1
conoient
t
partiaiin
dc
rappelr
ac
prcision
r
rfrences
tes
ytions
M&r.
tude de la conversionde l'nergie olierure
Dans le
cadle
du
dveloppement
durable, on s'intresse
la
cratton
de petites
units de
production
lectrique
partir
d'neqgies
enouvelables.On
se propose
ci
d'tudier
qrrelques
dispositi
d'une
olienne
de
petite ou moyerurepuissance,
destine alimenter
des
sites sols"
I
problme
est
composde trois
parties.
Dans es
applicationsnumriques,
qui ne
doivent
pas tre
ngliges, ne atentionparticulire
sera
prte
au nombre
de driffles
utiliser pour
affidrer
les rsultats.
Ce
nombre, qui dpend
en
gerral
du
niveau
de
prcision redrerch,
ne doit en aucun
cas
dpasser
e nomble
de cliftes
significatifs pernris par l dcrnes. La valeur nunrique de toute grandeur physiqge doit tre
de
son
unit
dans
e systme
ntemational des
units
(SI).
Si,
au
cmrs
dc
'Qtanoe,
an
canilidat
@e
ce
quilui tnble treut reur
d'htonc,
l Ic
signale
ur
fi
opie et
pursuit
sa
composition iniliqwnt
l
raisns d nitiatiu
qu'il
est
amen
prmdre.
1*
partie
Transfert de puissance
de
I'air
l'olimne
On
s'intnesse ans cette
partie
au modle
d'coulementaxial de
l'air autour de
l'hlice d'une
olienne, itueenz :0 (voir figure 1), * faisant eshypothses uivantes
r
Uair estconsidr
omme lq]uge
parftt,
hgloggg
et
ingrygb
de
masse
olumique
p,
en coulernent
ansun
rfrerrtiel
R, i au sol et sup'pos alilen.
o
On
suppose
'couleurent
de
I'air
sfafionnaireet @
autour de
axe
de
rctation
de
'hlice.
a vitesse
est
suppose
niforcre
sur une sectiondroite du tube de courant.
r
[a pressiongarde
a
mnre aleur
$rr
une secion
roite
du
tube
de
courant,
A grande
distance
de
hlice, la pression
est
unifonne et gale
la pression
afinosphrique oJpps.
r
[.es
sections 9t
et Sa du tube de
courantau
niveau
de
hlice
sont gales 5
(,S,1
SB
=
SJ.
On notepa a pression ur,9aetps sur .9s.
r
l'coulemerrt
tarrt
urbulent au
niveau
de
rlice, on admet
pour simplifier
que a
vitesse?
de 'air
est
a mme
entre
^9a
t Sa.
1.1. tude
prliminaire
de l'coulemeot
-
1.1.1. Dfinir le
dbit et le
dbit
volurnique d'un
fluide
traversune
strface
E.
1.1.2. Rappelet u loi
de
csnservation e
a masse oussa orrre locateet sous
sa
orrre
intgrale
$)
dans
m volume
y
limit par
une surfaceE.
pteuvede
Physique
t/7 ToumezapageS.V.P.
-
7/25/2019 2010 Physique 1
3/8
Concours National
Comnun
-
Session2010
-
Filire PSI
Sn
Sa
Fz
I
I
oi
Figure
1: coulement
a:
-
7/25/2019 2010 Physique 1
4/8
Concours
National
Commun
-
Session
010
Filire
PSI
1.3. tude
de
La
pulssance
reue
par
I'hlice
:
loi de
Bsrz
la production d'neqgie e
ait
au
prjudice
de l'nergiecintiquedu
vent : lors
de son passage
travers trlice nne fraction de
l'nergie
cintique de
air
est transfre
l?rlicequi
se met
en
rotation.
La vitesse rt
est
donc
ncessaiment
nfrieure
ur.
On notera
P
la puissance eue
par
l'hlice.
1.3.1. crire ebilan de 'nergiecintiquepour le fluide comprisentre es sectionsSr et 52.
1.3.2.
En dduirc l'oresslon
de
a puissance
mcaniqpe
P
c&&par
l'air
'lrlice
en
fonc{ion
de
p,
S,a,a1ta2.
1.3.3.
On
pose:
o
:
. Monter
que
a
puissance
P
reuepar lhlice
s'crit sous a forme
:
p=Ps: l(r+)(1-r?)
1.3.4.
Pour
une
vitesse ur
dorure
du verrt en asront de lolienne, la vitesse
en
aval u2
ne pouvant
pas
s'annuler; il existe
une puissancemaximale
Frr*
I
l'on
peut extraile
de la
circutationd'air (Loi de Berz).
1.3.4.1. Pour
quelle valeur
a* de
c la puissance
P
est+lle
maximale.
Donner l'expression
de
la
puissancemaximte
P^o"
(dite
limite
deBntzl en
fonction
des
grandeurs
r,
,9 et
u1.Tracer
l'allure
deP(a).
1.3.4.2. Pour
s
:
8m, dtensrineres
expressi,onse tD et
u en
fonction
de u1,et
l'expression
de
a
force F exerce
ar l'air sur lhlice
en forrction
de
p,
.9
et
u1.
1.3.5. I rendement
de
l'olienne
est
dfini
comme
e rapport
de
la puissance
P
foumie
par
fair
l'hlice
au dbit
de
'nergie
cintiqueen
amont de
'olienne.
1.3.5.1. Catculere dbitde 'nergiecintiqpe" Faversune sectiondloite de surface 9o
la
vitesse
est ur.
13.5.e En
ddtrite
e rendemerrt
horique
de
'olimne
166
n
fonction
de
c.
1.3.6.
Applicatlon umrique
F
:
Lr
kg.m-
)
r)L
LZ
m-s'L; .9 3rL4m2.Calorler
P^o,
et
le rendement
associ
6.
1.3.7. Dans
a pratique,
e rendement
horique
maximal pour
une olierrne
dale
n'est
amais
atis
cause
des
effets
suivants
r
La force
de trainen'estianais
nulle
causie es rottenents.
r
[,1rlice
ontient
un norrbre fini
depales.
I rerrdement
st alors
plus
faible
et
la
puissance
eut s'crire
1_
Preet : lCopSai
o
Co
est
e
coefcient e perforrrance.
n
dpndde
Ia gomtrie,
de 'indinaison
des
paleset
de
a
vitesse
du vent
1.3.7.1.
Montner
qw
Ceadmet
une valeur mdmale
causede
a loi
de Brrz.
preuvede
Physique
3/7
Toumez
apageS.V.P.
u
U1
(2)
-
7/25/2019 2010 Physique 1
5/8
Concours National
Commun
-
Session2010
-
Filire
PSI
l-3.7 2.
Calculer
numriquement Co pour
une
puissance
relle
Preet
=
900 I,y
en
utilisant
les
donnes numriques
de
Ia
question
L.3.6.
2h"
partie
Modle de
l'lment
de
pale
Dans le modle de l'coulement axial trait dans la partie prcderrte, on a suppos que
l'coulement
ne
subit
aucun
mouvement de rotation, mais en
ralit
l"
loi
d"
ation
du
impose que l'air
doit avoir
un
mouvement
rotatif
afin
qge ltrlice
(rotor)
puisse
extrafue un couple utile.
Dans
ce cas
e
sens
de
rotation
de
l'coulement de l'air
est
oppos celui
du
rotor.
Dans le modle
de
l'lment
de
pale, on introduit le mouvement
de
rotation
de l'air autour
de
I'axe
Oz.
Dans l'laboration
de
ce
rnodle,les
suppositions
suivantes sont envisages
o
Ucoulement
en
amont loin
du
plan
du
rotor,
est
compltement Ddal.
o
Au niveau
du
plan du rotor,
la
vitesse
angulai de mtation
de
l'air estu
,
cette vitesse diminue
considrablement loin
d'u rotor, en aval,
de telle manire
que la pression statique cet endroit
peut tre considre gale la pression atmosphriguepo.
r
Licoulement
de
l'air
autour
d'un
lment de la pale
est
considr corme bidimensionnel.
Is
expressions
de
Ia puissance
extraite et du couple appliqu sur les
pales,
peuvent fre
obtenues en considrarrt l'coulement
de
l'air
travers un
lment
annulaire
du
tube de courant
de
rayon
r,
d'paisseur
dr
et
de section dS
:
hrrdr
(figure
1). Is rayons du
tube de courant
correspondant sont nots
11 au
niveau
de
la
section
St
et
rz
au niveau
de
^92.
On
note O
la vitesse angulaire
de
rotation
de ltrlice autour de l'axe Oz et
on
suppose que
la
vitesse axiale u
de
l'air
au
niveau
de
lhlice
soit
uniforrre.
2.L.
tude
de
la rotation
de
I'air
2.1.1.
Ia
variation de la quantit de
mouvement de l'air dans la
direction
tangentielle, dorure
lia
orce
tangentielle
exerce
par l'air
strr
lia
pale.
Cette
for,ce
s'crit sous
ia orme :
dFl:
dm-u6
dm
estledbit massique
travers l,asurface
d etvtlia vitesse orthoradiale
de
l'coulement
de
l'air.
2.1.1.1.
crire
'e4pressionu; n fonction
deu etr. En dduire l'expression
de dfiten
foncfion
de
p,
a, u, r
et dS.
2.1.1.2.
ir.rbe
'expression
du
moment
dQ de Ia force dFt p rapport
l'
axeOz.
2.1.1.3. crire
l'e4pression
de
la
puissance
tP
erxfratte
havers la
section dS fonction de
dQ et O. En dduire son expression en fonction de p, a, w, dl,r et dr.
2.1.t.1.
Montrrer que la puissance
tohle
P
extraite par l'hlice
et
le couple
I
gu'elle
subit sont
donns par les
erpressions suivantes :
Q:2trp
[*
or* 'd,
JO
tR
:?rrutt
Jo
uwrd,,
Pour pouvoir
calculer la
puissance
et
le
couple
(P
etQ),il
faut
dtenniner ar.
(3)
(4)
preuve
de Ptrysique
4/7
-+
-
7/25/2019 2010 Physique 1
6/8
Concours
National
Commun Session
010
Filire
PSI
2.1.2.
On
pose
,
,
:
atdl;a'
est
appel
acteur
d'interfrence angentiel.
u
et a'
dpendent
r
ptorider.
;'
2.1.2.1. crire les expnessions es dbits
de
moment
cintique, par rapport
l'oce
Oz,
trvers es
sections
annuliairesdu fube de courant situes
au
niveau
de
^9r
et'5,1
de
la figure
1,
de
rayons
espectifs11
tr, et
d'paisseurdr. On
notera
wt
tu7-
es
vitesses
ngulairesde
rotation
deair auniveaudecessectionsamul,aires.
2;1.2.2.
sire le
bilan
de
moment
cintique,
en
projection
sur
'axe
Oa,
pour
le
fluide
compris
entre es sections nnulairessitues
au niveau
de ,5ret ,91.
2.1.2.3. En
ddui
ura.Monfirer,
en
ufilisarrt
es
hlpothses
du
modle
que a
vitesse
angu-
laire
de l'coulenrentde
'air
strbit
une discontinuit
au
niveau
du plan
du
rotor.
2.1.2.1.
On adnret
que a valeur de Ia
vitesse
angulaire
de
'air
au niveau du plan
du
rotor
est
la moyeme de
cellessihres
uste
avant
et
derrire e rotor
(u,c,
arBspectivernent)
wl*ua
' :-n-
Monher que &rB dlat
2.1.2.5. crire le
bilan du
moment
cintique,
en proiection
sur
l'axe
Oz,pour
le
fluide
compris
entre les
sections
amulaires
sihres
au
niveau
de ,9s
et Sz.
2.1.2.6.
Montrer que
la
vitesseangulaire uzde I'air
au
niveau
de la section
^9z
st donnepar:
/ - \2
uz:Zdla' l
L l
\tz /
Cosr:rrenter.
2.2. Dimensionnement optimal des pales pour une puissance maximale
2.2.1.
A l'aide
de
a lelation
de BsRNout
t suivant
une ligne de courant entre es
sections
5,a
et
Ss,
montrer que
a
diffrencede pression
pA(r)
-
pB(r)
est donnepar :
pe(r)
pab)
f,urlr,
F)
2.2.2.
En dduire l'expression de la force
lmentaire aciale
dF
exerce
sur
l'lmentannulaire
du rotor
de
surface dS.
2.2.3.
On pose la vitesse
axiale de
l'coulenrent
de
l'air
au niveau
des
pales :
,,
:
(1
-
a)u1. On
admet que : dF'
-
pa(u1-
w)ds
et
que la
relation
(1)
est
toujours vrifie, Dterrriner le factanr
d'interfrrence angentiel at en fonction de a, u1,r t O.
2.2.4. En
utilisant
Ia
relation
(4),
dterminer
la
puissance
extraite
P
en
fonction
de
p,
dl, R, a1
et a.
2.2.5.
Dterrtiner la
valeur
de o pour laquelle
P t
maximale. Donner les
expressions
corre-
spondantes de
la puissance
maxinale
et
des
vitesses
a
etaz. Comnenter.
2.2.6. I-a puissance ma:cimale
est
la
mme
que
celle
dorure par la relation
(2r,
condition
d'utiliser
la
valeur de
o
que
l'on pourrait
dduire de
la
qr,testionprcdente. Dtenniner l'expression
de
la
vitesse de
rotation O
de
l'hlice, en fonction de at
et
R,
qui
correspond I'erdraction maximale
depuissance.
preuvede
Physique
5/7
"
Tournezapages.V.P.
-
7/25/2019 2010 Physique 1
7/8
Concours
National Commun
-
5ession2010
-
Filire
pSI
Figure
2:
Schmade principe
d'un
altemateur.
2.2.7.
On utilise
les donnfus numriques
de la question
1.3.6.
Calculer l,a
valeur de lia
vitesse
de
rotation
O de l'hlice
qui
correspond
l'extraction
maximale
de
puissance.
Exprimer
le
rsultat
en
nombre
de tours par
minute.
3h" partie
Conversion
de l'nergie
mcanique
en
nergie
lectrique
La
conversion
de llnergie
mcanique
en
nergie
lectrique
est
effectue par
une machine
lectrique
appele
alternateur.
Pour
un altemateur
dassique
toumnnt
3000
tr.min-L,le
rotor
de
I'altemateur
est accoupl
par
I'interurdiaire
d'un multiplicateur
de
vitesse.
Cependang
pour
des
,,oliennes e puissancemcanique infrieure LOkW,le rotor esf accoupl directement farbre de
l'hlice.
C'est
ce demier
cas qu'on
supposera
par la
suite.
3.1.
Principe
de la
conversion
lectromcanique
Une
reprsentation
simplifie
d'un
altemateur,
dit monophas
est donne
sur la figure
Z-a.
l,
comporte
un cadle
rcctngulaire
Cr sur
leguel
on a enroul
JV
spires.
Ce
cadre tourne
dans
un
cttamP
magntique
unifonr,re
et
constant E
:
B
?, autour
de
son
axe de
symtrie
A que l'on
Prrrd
corme
axe
Oz.
On
note
?t k
vecteur
nornralice
qui
oriente
le serrs
de parcours
d
cadre.
On
note
0l'angJe
orient
0
:
(
n,r).
k cadre
est e^t"aine
par
l'arce
de
l'olienne
et tourne
lia
vitesse
angutirc CI
0.
On prendra :0(t
:0)
:
0.
3.1.1.
tablir l'expression
du flux
r
du
champ magntique
travers
une
spirc de
Cr en
fonction
de la
surface
du cadre Sc, B
et0.
3'1.2. tr
apparat
aux
extrmits
de
l'enroulement
des
JV
spires
de
Cu une
force
lectromotrice
:r
que
I'on
exprinrera
en
fonction
de S", N,8,0
et0. Prciser
en
particrrlier
sa pulsationare
en
fonction
de la vitesse
de
rotation
O
de
la
madrine.
3.1.3.
Uenroulernent
de
rsistance
R. et d'inductance
propre
L,
est
connect
une
chaqge
rsistive
de rsistance
r?.
Reprsenter
le circuit
lectrique
quivalent;
on prendra
soin de faire
apparaltre
sur
le
circuit
lorierrtation
de la f..m.
et du
courant i1
qui
le parcourt.
Donner
l'expression
de
rr. On pourra
poser4: R* *
j
Lu" l'impdancequivatentde l,nroulement,avec 2': -1.
preuve
de Physique
I
6/7
-)
-
7/25/2019 2010 Physique 1
8/8
Concours
National
Commun - Session
2010
-
Filire
PSI
3.1.4.
On
rappelle que
le
moment
des
forces
de
LaprecE
s'exerantsur
le
circuit
C1 baignant
dansun"ta*pmagnt iqu"?.rr r i for*evaut, lr : f r r r?otfr
:Ni,1Sd1
est lemo-ment
magntiquedu
cadre
Cr.
On
notera
"I
le
moment d'inertie par rapport
l'arce
A
du cadre Cr
et
de l'axe de
ltlice dont
il
est solidaire. On
supposera
que les liaisons
avec
'axe sont
parfaites.
3.1.4.1. Dterminer l'expressionen fonction du tempsdu moment r des orcesde Lepracn
que
subit
le cadre Cr.
3.1.4.2.
Par
application
du thorme du moment
cintique par rapport
l'axe
,
trouver
une
quation diffrentielle en d reliant
,
"t
le moment lr
:
T;
ra""
r*iorrs exercespar
l'hlice
sur
La
partie toumante.
3.1.5. En rgirne
permanent,
la vitesse
angulaire O
est constante.
Dterminer
l'expression
de
(l,vr),
la
valeur
moyerure
dans
le
temps de
fi6. En
ddui la puissance mcanique
moyenne
P,'
foumie
par
l'hlice
la gnratrice
en
fonction
des
donnes
du problme.
3.1.6. Dtenniner
en
rgime permanent la puissance
moyenne
lectrique
Pe
mise
en
jeu
dans
le gnrateurde f.e.m.e1.ComparerPePm. Commenter.
3.2.
Adaptation d'impdance
Un
second cadre
identique
@,
solidaire du
prenrier
et
s'en
dduisant par une rotation
de
+[,
complte le
dispositif
(figure
2-b).
On
notera izle vecteur
normal ce second
cadre. Uensemble
forrte
ce qu'on appelle
un
altemateur diphas. On nglige
l'inductance mutuelle
entre les
deux
enroulements.
3.2.1. Exprimer
Ia
f..m.
ez
{d
apparat
aux bomes
deC2.
3.2.2.
Les
deux cadres
Cr
et Cz sont connects une mme
charge
dttilisation
d'impdance
Z*:R"+jX-
3.2.2.1. Reprsentere circuit lectriquequivalent.
3.2.2.2.
Le
circuit
prcdentpeut
tre
reprsent
par le
schmaquivalent
de
la figure
3.
tabtir es
e4pressionse
e
en fonctionde e1et
e2,
et de
Qen
fonction
de
2..
Figote 3: Sctrmaquivalent
de
l'altemateur
associ
une chafge.
3.2.3. Dterrriner
l'expression de
la
puissance moyenne
P"
dlivre
la
charge.
3.2.4.
Pour quelle charge ia puissance
P"
est-elle maximale
?
Commenter.
Fn*Inn L'PRuvE
preuve
de Physique I 7
/7
FD{