1

Calcul de la charge de ruine d’un portique

°45 °45

h

2/hQ

mM ≤

2/h

Q

1

2 3 4

5°45 °45

h

2/hQ

mM ≤ mM ≤

2/h

Q

1

2 3 4

5

Figure 1 : Portique soumis à deux charges concentrées

On se propose d’évaluer par la méthode cinématique du calcul à la rupture la charge de

ruine du portique représenté sur la figure 1 ci-dessus, soumis à deux charges ponctuelles

d’égale intensité Q, et constitué de tronçons homogènes de même critère de résistance

( mMm +≤≤− ). On peut dénombrer n=5 sections potentiellement critiques, notées de 1 à 5,

d’où puisque la structure est hyperstatique d’ordre k=3, le nombre r de mécanismes

indépendants est égal à 2: soit un mécanisme de poutre mettant en jeu des rotules aux sections

2, 3 et 4 (figure 2), ainsi qu’un mécanisme de panneau faisant intervenir des rotules aux

sections 1, 2, 4 et 5 (figure 3).

QQ

23

4

θ̂&− θ̂&+

QQ

23

4

θ̂&− θ̂&+

Figure 2 : Mécanisme de poutre relatif au portique de la figure 1

2

ϕ̂&−

ϕ̂2 &+

ϕ̂&−2h

2/2h

5

42

1

Q

Q

ϕ̂&−

ϕ̂2 &+

ϕ̂&−2h

2/2h

5

42

1

Q

Q

Figure 3 : Mécanisme de panneau relatif au portique de la figure 1

On désigne par θ̂&− (resp. ϕ̂&− ) le taux de rotation virtuel de la poutre 23 (resp. 12) dans le

mécanisme de poutre (a) (resp. panneau (b)). Les différentes discontinuités de taux de

rotation sont calculées en orientant le portique dans le sens 1-2-3-4-5. Le tableau ci-dessous

récapitule alors, pour chacun des mécanismes de base, ainsi que pour toute combinaison

linéaire de ces mécanismes, la valeur des discontinuités de taux de rotation aux différentes

sections potentiellement critiques (1 à 5), celle de la puissance virtuelle des efforts extérieurs

ainsi que celle de la puissance résistante maximale.

1 2 3 4 5 qQ& rmP

(a) 0 θ̂&− θ̂2 & θ̂&− 0 θ̂2

&Qh

θ̂4 &m

(b) ϕ̂&− ϕ̂3 & 0 ϕ̂3 &− ϕ̂&+ ϕ̂&Qh ϕ̂8 &m

(a)

+

(b)

ϕ̂&− ϕ̂3 & θ̂&− θ̂2 & θ̂&− ϕ̂3 &− ϕ̂&+ )ˆ2/ˆ( ϕθ && +Qh θϕθϕ

ϕθˆˆ3ˆˆ3

)ˆˆ(2

&&&&

&&

++−+

+

mm

m

L’application de l’approche cinématique pour un mécanisme quelconque caractérisé par le

couple de paramètres )ˆ ,ˆ( ϕθ && conduit à l’inégalité suivante, valable pour toutes les valeurs

potentiellement supportables du chargement Q :

3

)ˆ2/ˆ( ϕθ && +Qh ≤ θϕθϕϕθ ˆˆ3ˆˆ3)ˆˆ(2 &&&&&& ++−++ mmm (1)

Nous restreignant aux valeurs positives du chargement Q, il convient alors de choisir les

paramètres )ˆ,̂( ϕθ && de sorte que )ˆ2/ˆ( ϕθ && + demeure strictement positif, de façon à obtenir un

majorant de la charge de ruine +Q . La majoration correspondante demeurant inchangée si

l’on multiplie les paramètres ϕθ ˆet ˆ&& par un même facteur positif quelconque, il est alors

toujours possible de choisir ces paramètres tels que 1ˆ2/ˆ =+ϕθ && , de sorte que :

[ ]2/ˆ32/ˆ53ˆ2ˆ2 , ˆ θθθθθ &&&&& −+−+−+≤∀ +

h

mQ (2)

Il reste à rechercher le minimum de l’expression du second membre de (2) afin d’obtenir le

meilleur majorant possible de la charge de ruine. Ce second membre étant une fonction

continue et affine par morceaux en θ̂& , il suffit de prendre le minimum des valeurs calculées

aux points où les valeurs absolues s’annulent, soit :

h

mQ

h

mQ

h

mQ

h

mQ

28 6ˆ5

28 5/6ˆ

8 2ˆ

8 0ˆ

≤→=

≤→=

≤→=

≤→=

+

+

+

+

θ

θ

θ

θ

&

&

&

&

(3)

La meilleure majoration possible de +Q est obtenue pour 5/6ˆ +=θ& et donc 5/2ˆ +=ϕ& . En

vertu du résultat établi au paragraphe 7 du chapitre 5 du cours, la valeur correspondante du

majorant n’est autre que la valeur exacte de la charge de ruine :

h

mQ

5

28=+ (4)

Les valeurs des discontinuités de taux de rotation aux sections potentiellement critiques

correspondant au mécanisme «optimal» sont données ci-dessous :

1 2 3 4 5

-2/5 0 +12/5 -12/5 +2/5

4

Il apparaît ainsi que dans ce mécanisme, la discontinuité relative à la section 2 est nulle, de

sorte que la partie 123 du portique est animée d’un mouvement de rotation pure autour de

l’appui 1 : voir figure 4.

2/5−:1

0

:2 12/5+

:3

12/5−

:4

2/5+:12/5−:1

0

:2 12/5+

:3

12/5−

:4

2/5+:1

Figure 4 : Mécanisme optimal avec les discontinuités de taux de rotation aux sections

potentiellement critiques

On peut alors associer à ce mécanisme une distribution de moments fléchissants caractérisée par le vecteur )5,...,1 ,( == iMM i formé des valeurs des moments fléchissants

aux sections potentiellement critiques, qui soit statiquement admissible avec la valeur hmQ 5/28= du chargement, tout en respectant le critère de résistance en tout point du

portique. Cette distribution de moments est telle que le critère de résistance est atteint dans les

sections potentiellement critiques qui sont le siège d’une discontinuité du taux de rotation

dans le mécanisme optimal, avec le signe correspondant, soit :

mMMmMM +==−== 5341 , (5)

Il est alors possible de calculer la valeur du moment fléchissant au niveau de la section

potentiellement critique n°2 en utilisant les deux équations d’équilibre reliant les moments

iM au chargement Q 1 :

5/142/2

5/2833

432

5421

mQhMMM

mQhMMMM

==−+−

==+−+− (6)

On obtient alors immédiatement, compte tenu de (5), 5/2 mM += . Le diagramme

correspondant des moments fléchissants est représenté sur la figure 5.

1 Ces relations peuvent être établies en appliquant le principe des puissances virtuelles pour les deux mécanismes indépendants des figures 2 et 3.

5

hmQ 5/28=+

mM −=1

5/2 mM +=

mM +=3

mM −=4

mM +=5

hmQ 5/28=+

mM −=1

5/2 mM +=

mM +=3

mM −=4

mM +=5

Figure 5 : Distribution de moments fléchissants associée à la charge de ruine du portique

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