Calcul global en éléments finisd'un portique tridimensionnelfondé sur un massif d'argile

Cet article présente l'analyse en éléments finis de laconsolidation d'un massif d'argile et de son interactionau cours du temps avec un portique tridimensionnelfondé superficiellement sur l'argile. L'évolution enfonction du temps des efforts normaux et des momentsfléchissants dans les éléments de la structure (poutres etcolonnes) est comparée avec celle de l'analyseindépendante du temps. On observe que, dans certainséléments de la structure, les forces maximales seproduisent pendant la consolidation et que le contrôledes efforts finaux obtenus par une analyseconventionnelle indépendante du temps peut êtreinsuffisant.

l.slIEl=lv,l.SllÉV. NASRI

J..P. MAGNANLaboratoire Central

des Ponts et Chaussées,58, boulevard Lefebwe,

75732 Paris Cedex 75

Interactive finite element analysisof a three- dimensional frameon aclay medium

Consolidation anaiysis using a finite element formulation basedon Biot's consolidation theory has been used to study the time-dependent behaviour of a frame structure resting on a soft claylayer. The effect of soil consolidation on the entire interactivebehaviour of a frame-soii mass system is considered. Timehistory of axial forces and bending moments of the structuralelements (beams and coiumns) are compared with those of time-independent analysis. It is shown that, in some elements, themaximum forces in the frame occur during consolidation andthat checking the final forces in the frame by time-independentconventional frame analvsis mav not be sufficient.

l+,IrJt(olL-| {r,lutl-ol<

ô3REVUE FRANçAIsE or cÉorecrNreuE

N. g2

le,trimestre i998

EIntroduction

Le comportement des strucfures reposant sur des solsdéformables est souvent analysé en séparant Ie calcul desdéformations et de la consolidation des sols, d'une part,et le calcul de la structure, d'autre part. Les recherèhessont aussi menées en général de façon séparée, avec unesérie de travaux de développement de la modélisationdes sols argileux saturés, dans la ligne des travaux deTerzaghi pour la consolidation unidimensionnelle et deBiot pour le couplage des équations de la mécanique desmilieux continus et de l'hydraulique des sols, et une sériede travaux sur la modélisation des structures (Magnan,1987). Le développement de procédures de calcul simul-tané des déformations des structures et des sols dans lelogiciel CÉSAR-LCPC (Humbert, lg8g; Nasri, 1996) per-met d'envisager un développement important des ana-lyses couplées de sols et de structures, en levant certainesIimitations des méthodes d'analyse classiques.

Après un rappel de quelques étapes du développe-ment des recherches sur les calculs d'interaction dessols et des structures, l'article présente l'analyse glo-bale des efforts et des déformations dans un portiquetridimensionnel fondé superficiellement sur unecouche d'argile saturée.

Elnteraction sol-structure Ir epèr es bi b I iograph iq ues

Depuis une vingtaine d'années, de nombreux tra-vaux ont été effectués pour étudier l'influence de l'inter-action sol-structure dans les structures en portiques.Lee et Harrison (1970) ont présenté deux méthodes danslesquelles la distribution supposée de la pression decontact est modifiée par un processus itératif. Hadda-din (1,971) a proposé une approche de sous-structura-tion bidimensionnelle pour l'analyse interactive linéairedes portiques avec les radiers. Lee et Brown (lgTZ) onteffectué deux analyses d'interaction pour une structurede sept étages et trois travées : pour la première, Ie solest traité à l'aide du modèle de winkl€r ; dans laseconde, il est considéré comme un milieu semi-infini.La solution pour un système portique-radier-sol bidi-mensionnel, dans lequel le portique et le radier ont étédiscrétisés en éléments de poutre et le massif de sol enéléments de massif rectangulaires, â été présentée parKing et Chandrasekaran (1974). Brown (1gBG) a examinél'effet de l'évolution de la construction sur l'interactiondu sol et de la structure : il a trouvé que la rigidité effec-tive d'un bâtiment pendant la construction représenteenviron la moitié de la rigidité de la structure complète.

Des études concernant l'influence de l'interactionentre un portique tridimensionnel, un radier et unmassif de sol sur la redistribution des moments flé-chissants, des efforts tranchants, des pressions decontact et des tassements différentiels ont été rap-portées par plusieurs auteurs. Hain et Lee (1974) ont

analysé des portiques tridimensionnels de (trois partrois) et (six par trois) travées en utilisant l'approchede la sous-structure. King et Chandrasekaran (1,977)ont utilisé la méthode des éléments finis pour modé-liser un portique tridimensionnel dont le radierrepose sur un substratum argileux non-homogène,afin de tenir compte de l'influence de la rigidité de lastructure sur la redistribution des efforts et des tas-sements. Yao (1991) a proposé une formulation en élé-ments finis tridimensionnels complète pour le sys-tème portique-radier-sol. Le demi-espace semi-infinia été discrétisé en utilisant une combinaison d'élé-ments finis et infinis.

La revue des travaux précédents montre que trèspeu d'efforts ont été consacrés à modéliser l'effet de larigidité de la structure sur l'évolution au cours dutemps du tassement (la structure était supposée engénéral parfaitement flexible). Dans la réalité, les struc-tures ont une flexibilité finie, intermédiaire entre uneparfaite rigidité et une flexibilité totale, et il serait cer-tainement souhaitable, comme Y a suggéré Habib(1981), de tenir compte de la rigidité relative du sol et dela structure. I1 est d'autre part intéressant d'étudier siles valeurs finales des efforts (forces et moments) dansles éléments de la structure, poutres ou colonnes, sontdépassées pendant la consolidation. La modélisationsimultanée et complète d'une structure et de son massifd'argile de fondation, décrite dans le présent article,montre que cela se produit effectivement.

E3 t)Equation de la consolidationen éléncnts finis

La formulation variationnelle des problèmes deconsolidation est obtenue par intégration des équationslocales de Biot. La minimisation des deux fonction-nelles relatives aux déformations du squelette du sol età l'écoulement du fluide interstitiel, après discrétisationsur l'espace idéalisé en éléments finis, permet d'obtenirla formulation matricielle suivante :

Rclj(t) - C"H(t) - F(t) (1)c"tu(t) + KcH(t) + EcH(t) - e(t)

âVEC :

U vecteur des déplacements nodaux,H vecteur des charges hydrauliques nodales,RG matrice de rigidité du squelette du sol,CG matrice de couplage,KG matrice de perméabilité,EG matrice de compressibilité du fluide interstitiel,F vecteur des forces nodales imposées,a vecteur des débits nodaux imposés.En utilisant ensuite la méthode de Galerkin, qui éta-

blit un schéma semi-implicite basé sur une interpola-tion linéaire dans le temps, on obtient la relation derécurrence suivante :

(2)ï*1 .{ïïl.,,,} .{:ï;iJL

,+^,,}

3_ O(L.2\Ja2atK

"

64REVUE FRANçAISE DE GÉOTECHNIQUEN" 8g1er trimestre 1998

Le facteur d'échelle o est appliqué aux chargeshydrauliques pour réduire les difficultés numériquesdues au mauvais conditionnement de la matrice du pre-mier membre (ordres de grandeur très différents desmodules de R" et des coefficients de perméabilité deK")'

EModélisationdu système portiqua-sol

ffiChoix des éléments et du maillage

Pour les calculs bidimensionnels en déformationsplanes, le sol est représenté par un maillage composéd'éléments finis isoparamétriques de consolidation àhuit næuds. Les parties de la structure (poutres,colonnes et fondation) sont modélisées en utilisant unélément de poutre plan isoparamétrique à trois næuds.Dans le cas tridimensionnel, le sol est modélisé en utili-sant un maillage constitué d'éléments finis isoparamé-triques tridimensionnels à vingt næuds. Dans la for-mulation de ces éléments composites de consolidation,afin d'avoir le même degré de développement pour lacontrainte effective et la pression interstitielle, on uti-lise des fonctions d'interpolation quadratiques pour lesdéplacements et linéaires pour la pression interstitielle.Les dalles et les fondations sont discrétisées en utilisantl'élément de coque épaisse isoparamétrique à huitnæuds avec six degrés de liberté par næud. Cet éIé-ment quadrangulaire de Wpe surface moyenne est basésur les hypothèses cinématiques de Mindlin (toute nor-male à la surface moyenne reste droite après déforma-tion mais n'est plus forcément normale à la surfacemoyenne déformée) et prend en compte les effets ducisaillement transversal. [Jne intégration réduite est uti-lisée pour le calcul de la matrice de rigidité élémentaire.Cette intégration améliore notablement les perfor-mances de cet élément et autorise son utilisation pourle calcul de structures relativement minces (Zienkie-wicz, 1991). La modélisation des colonnes et despoutres est effectuée avec des é]éments de poutre tridi-mensionnels isoparamétriques à trois næuds avec sixdegrés de liberté par næud. Cet élément de poutre estune généralisation de l'élément de poutre de Timo-shenko (Hinton et Owen, 1977), qui permet de tenircompte de la déformation due au cisaillement transver-sal.

ffiModélisation des conditions d'intertace(sol-structure)

Afin de définir complètement le problème d'interac-tion, il est nécessaire de préciser les conditions relativesau comportement mécanique de l'interface sol-fonda-tion. D'un point de vue théorique, plusieurs hypothèsespeuvent être envisagées concernant la condition d'inter-face entre les fondations et le massif de sol sous-jacent.Elles varient d'une interface parfaitement glissante àune interface totalement adhérente, en passant par lefrottement de Coulomb. Le décollement de la fondationet du sol peut être également envisagé. Toutefois, pour

la plupart des fondations de structures, eo l'absence dechargements latéraux, les charges permanentes verti-cales sur la fondation sont suffisantes pour empêchertoute perte de contact entre la semelle et le sol. Uneméthode de modélisation de l'interface consiste à utili-ser une couche mince d'un milieu continu élasto-plas-tique dont la loi de comportement est le critère crienté.I1 s'agit de donner à une bande fine sous le radier unedirection de déformation plastique tangente à la fonda-tion simulant le glissement dû au cisaillement. Cemodèle a été proposé par Cramer et aI. (1979) pourmodéliser une interface entre le sol et le radier ou unediscontinuité dans le massif de sol. Il a été introduit dèscette époque dans le programme de calcul par élémentsfinis du LCPC (Frank ef al., 1980 ). Le coefficient de frot-tement entre la fondation et le sol peut être choisi, selonBowles (1988), entre tan g et 2/3 tanq (q est l'angle defrottement interne du sol). Pour l'exemple présenté ci-après, }e coefficient de frottement entre le sol et le radiera eté fixé à 2/3 tan

pas de temps précédent intervient dans le secondmembre. Il faut donc calculer ce vecteur pour les élé-ments de poutre et de coque à chaque pas de temps.

ffilncrémentation automatique du temps

La consolidation est un processus typique de diffu-sion. Initialement, les variables évoluent rapidement enfonction du temps, puis les variations de la contrainte etde la pression interstitielle deviennent plus lentes. Parconséquent, un schéma d'incrémentation automatiquedu temps est utile pour toutes les applications pra-tiques, puisque la durée d'étude du phénomène est engénéral beaucoup plus grande que les incréments detemps qui doivent être utilisés pour obtenir des solu-tions raisonnables pendant le début de la consolidation.Un algorithme de gestion de l'incrémentation automa-tique du temps a été utilisé. Avec cette méthode, ledébut de Ia consolidation peut être décrit avec préci-sion et les étapes ultérieures sont analysées avec despas de temps beaucoup plus grands, permettant unerésolution convenable du problème.

E

plans sont bloqués. Le drainage se fait en surface maison suppose que les fondations sont imperméables. Letableau I donne les détails géométriques, les proprié-tés des matériaux ainsi que le mode de chargement.

iii+iÈ$ll{[$t$È$*i'i*fr+$[ffii*i Profil du sol.Soil profile.

il$iiiill$i$iÏ*ii$$ii$iill ,ffi$i$ïii$i Discrétisation multi-élément du systèmesol-structure.Multi-element discretisation of soil-structuresvstem.

On admet, dans cet exemple, que le chargementest appliqué instantanément. Par conséquent, le pro-blème est traité en deux phases. La première phaseest une analyse non drainée d'un seul incrément avecun pas de temps arbitraire, qui établit la solution ini-tiale. Dans Ia seconde phase, la véritable consolida-tion est calculée en utilisant l'incrémentation automa-tique du temps. Un point important dans un telproblème de consolidation est le choix du pas detemps initial. Comme les équations sont parabo-liques, la solution initiale (immédiatement après lechangement instantané) est une solution d'a effet de

Eryli.-

ts@

en considërantrelfet de la consolidation

'{

66REVUE FRANçAIsE or eÉorrcuNreuEN" 821er trimestre 1998

Exemple I analyse d'un portiquetridimensionnel sur sol argileux

L'exemple développé dans cet article concernel'influence de la consolidation du sol support sur lecomportement d'un portique tridimensionnel .La struc-ture étudiée est composée d'un portique tridimension-nel à un étage, de deux travées dans les sens longitudi-nal et transversal, de fondations sur semelles isolées(Fig. 1). Le massif de sol est stratifié avec un substra-tum rigide et imperméable, une couche d'argile mollede B m d'épaisseur et une couche de sable dense à lasurface (Fig . 2).Les fondations reposent sur la couched'argile. La discrétisation multi-éléments du systèmeportique-sol est représentée sur la figure 3. En raisonde la symétrie, seul un quart du problème est modéliséet les degrés de liberté des déplacements normauxdans les plans de symétrie ainsi que les degrés deliberté adéquats des rotations des poutres dans ces

1Elol

]Z

lltit.$'[rt$*\iltîg Schéma du portiquetridimensionnel et de sesfondations superficielles.Sketch of the space frame and itsspread footings.

Section des poutres (m x m) (0,4 x 0,8) Module d'Young (kPa) 15 000 Poutres dans la direction X ikN/m) BO

Section des colonnes (m x m) (0,4 x 0,4) Coefficient de Poisson 0,3 Poutres dans la direction Y tkN/m) 60

Section des fondations (m x m x m) (2x2 x 0,6) Coefficient de perméabilité (m/s) 10-10

Module d'Young (kPa) 2,107 Compressibilité du fluide (kPa-1) 10-5

Coefficient de Poisson 0,2 Porosité 0,5

Angle de frottement interne (degrés) 20

Détails géométriques et propriétés des matériaux du système portique-sol.

WVariationaucoursdutempsdessurpressionsinterstitiellessouslecentredesfondations.Excess pore water pressure variation with time beneath the centre of the footinqs.

67REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE

N" g2

1er trimestre 1998

Point AAGÀ

',Y\/CL

600

500

400

300

200

100

0

ĜÀ.YY

CL

300

250

200

150

100

50

0

o,4 0,6Temps (an)

0,2 0,4 0,6Temps (an)

A(rÈ.Y\/CL

300

250

200

150

100

50

0

rÂl(Eo-.y\/CL

120

100

80

60

40

20

0

0,4 0,6Temps (an)

0,4 0,6Temps (an)

(̂Eo.,xY

CL

160

140

120

100

80

60

Næ

0

Temps (an)

Point

Point G Point

Point E

peau local >. Si l'on choisit un maillage d'élémentsfinis de taille raisonnable pour modéliser la solutionlorsque les variations de la pression interstitielle sesont propagées dans les pores du massif de sol, cettesolution initiale sera modélisée de façon médiocre.Avec des pas de temps plus petits, la difficultés'accroît. En effet, dans tous les problèmes transi-toires, la taille de l'élément et le pas de temps sontliés, à tel point que les pas de temps inférieurs à unecertaine valeur ne donnent pas d'informations utiles

(Nasri et Magnan, 1997). Le couplage des discrétisa-tions spatiale et temporelle est toujours plus visibleau début des problèmes de diffusion, immédiatementaprès les changements imposés aux valeurs auxlimites. Afin de calculer le premier pas de temps, on autilisé la formule Âto > y* (^h)2/6Bk donnée par Ver-meer et Verruijt (1,981), dans laquelle y* est le poidsvolumique de l'eau, Ah la plus petite taille d'élémentsur la surface drainée, E Ie module d'Young du sol etk le coefficient de perméabilité du sol.

Temps (an)

Point A

.Al

Ev{J

EoEoooGF

0

-0,01

-0,02

€,03

{,04

-0,05

{,06

-0,07

oottI oâl-bËLrcvEoË6E-eI0.sEOOCLoo(UF

0,018

0,0175

0,017

0,0165

0,016

0,0155

0,015

0,5 1 1,5Temps (an)

ooÎt-oîEECvEoË6tË96trE'6.D CLoo(rF

o,422

0,021

0,02

0,019

0,019

0,017

0,016

ooît-oârrb.Jl-Ê\/EoË6ËE90.=EOocLooGl-

0,031

0,03

0,029

0,029

o,027

0,026

0,025

0,5 1 1,5Temps (an)

0,5 1 1,5Temps (an)

Déformée du système à la fin de la consolidation

irr-D AnalySe de COnSOlidatiOnr

- Analyse indépendante du temps

WVariationsenfonctiondutempsdutassementdumilieudelafondationcentraleetdestassements différentiels entre la fondation centrale et les fondations extérieures.Variation with time of settlement of the center footing and of the differential settlement between the centerfooting and the exterior footings.

ô8REVUE FRANÇAIsE or cÉorucHNreuEN" 891er trimestre i99B

Analyse des résultats et interprétation

La variation au cours du temps des surpressionsinterstitielles sous le centre des fondations ainsi que surl'axe vertical central du portique à la limite du substra-tum imperméable (point E) est présentée sur la figure 4.Comme on peut l'observer, la surpression interstitielleau point E augmente d'environ 45 % au début de laconsolidation avant de diminuer.

La figure 5 montre les variations en fonction dutemps du tassement au milieu de la fondation centraleet des tassements différentiels entre la fondation cen-trale et les fondations extérieures. On peut constaterqu'aux temps intermédiaires les tassements différen-tiels sont inférieurs à leurs valeurs initiales. Cela est dû

au fait que les surpressions interstitielles engendréessous les fondations extérieures baissent plus rapide-ment au début de la consolidation, provoquant un tas-sement plus rapide sous les fondations extérieures quesous la fondation centrale.

La variation en fonction du temps des efforts nor-maux dans les colonnes au niveau de la fondation pourles différents types d'analyses est représentée sur lafigure 6. Cette figure montre que, pendant la consoli-dation, les valeurs de l'effort normal dans la colonnecentrale (colonne C1) et les colonnes situées sur lesaxes X et Y (colonnes C2 et C3) dépassent respective-ment d'environ 5,4 "/",1,3 % et 1.,7 % leurs valeursfinales. Cela provient de la redistribution de la pressionde contact dans le massif de sol sous les fondations.L'augmentation de la pression de contact au-dessousde ces colonnes indique que le chargement est trans-

Temps (an)

Colonnez.Y\/z

-1830

-1860

-1890

-19æ

-1950

-1980

0

Az.Y\,z

-1030

-1040

-1050

-1060

-1070

0-920 -420

ẑ.Y\/z

-930

-940

-950

-960

z.Yv

z

F' -r- Analyse de cOnSolidation- - Analyse indépendante du tempsr 8mI

X

Temps (an)

Colonne

Temps (an)

Colonne

Temps (an)

Colonne

WVariationsenfonctiondutempsdeseffortsnormauxdanslescolonnes.Axial force in colums aqainst time.

69REVUE FRANçAIsE oe cÉorEctNteuE

N'891er trimestre 1998

féré vers les colonnes intérieures alors que la colonneextérieure est déchargée à cause de la consolidation dusol.

L'évolution au cours du temps des moments fléchis-sants au centre et aux deux extrémités des poutres inté-rieures (poutres B1 et B2) est représentée sur la figure 7et celle des poutres extérieures (poutres 83 et B4) sur lafigure B. Comme on peut le constater, à cause de laconsolidation du sol, les moments fléchissants négatifs

dans les poutres intérieures 81 et BZ à la jonction avecla colonne centrale (point a) sont augmentés respecti-vement d'à peu près 22 % et 442 "Â par rapport à l'ana-lyse indépendante du temps. Cela peut s'expliquer àl'aide des courbes de variation des tassements diffé-rentiels entre les colonnes des deux extrémités de cespoutres. Au début de la consolidation, le tassement desfondations sous les colonnes extérieures (colonnes C2et C3) augmente plus rapidement que celui de la fon-

Temps (an)

Poutre (Point

440,^r

EI

g 4Bo

= -520

-560

a)

-NA

EI

=J -80

=

ÊIz

.Y\/=

600

590

580

570

560

b)ÊIz

.Y\/=

-120

-160

580

570

560

550

g0

Temps (an) Temps (an)

ÊIz

.Y\/=

-210

-240

-270

-300

-330

c)

-225

ÊI

g -zso= -275

a

h

F

-Y

-

Analyse de consolidation

r - Analyse indépendante du temps

r 8mI

X

Temps (an)

Poutre (Point

Poutre (Point Poutre (Point

Temps (an)

Poutre (Point

Temps (an)

Poutre (Point

WVariationsenfonctiondutempsdesmomentsfléchissantsdanslespoutresintérieures.Time variation of bending moment in interior beams.

70REVUE FRANçAISE DE GËOTECHNIQUEN" 821€r trimestre 1998

dation centrale, ce qui provoque une augmentation deIa rigidité globale du système dans la zone centrale et,par conséquent, un transfert du moment vers le point a.Sur la figure B on peut observer le même phénomèneen ce qui concerne les poutres extérieures 83 el 84,c'est-à-dire un transfert du moment vers les jonctionsavec les colonnes C2 eT C3 (points g et c) et donc uneaugmentation des moments négatifs dans les poutresB3 et B4 d'environ 34 % et 297 o respectivement pen-dant la consolidation.

EConclusion

Dans cet article, nous avons étuOlé le comportementen fonction du temps d'un portique tridimensionnelfondé sur une couche d'argile saturée.

Les résultats indiquent que les tassements différen-tiels entre la fondation centrale et les fondations exté-

Temps (an)

Poutre (Point

-450A

EIZ -Ên

=

-!t\'\'

;s)

ÊIz

.'Y\/=

-60

-1 10

-160

-210

650

&0

630

620

610

-550

A

EIz

.Yv

=

-600

690

680

670

660

650

A

EIz

.Yv

=

Temps (an) Temps (an)

-20

ÊIg -ro

=

40,Ar

EI

g-80

=-1æ.

-170

-120

-160

d

F" ,rrrrrr, AnalySe de ConSOlidationr - Analyse indépendante du tempsr 8mI

X

Temps (an)

(Point

Poutre (Point f) (Point

Temps (an)

Poutre (Point e)

Temps (an)

Poutre (Point e)

Variation en fonction du temps des moments fléchissants dans les poutres extérieures.Time variation of bendinq moment in exterior beams.

71REVUE FRANçAISE DE GÉoTEcHNIQUE

N. g2

1e' tnmestre 1998

rieures sont maximaux une fois }a consolidation ache-vée et qu'ils ne prennent pas de valeurs plus grandespendant la consolidation. En fait, les résultats montrentque les tassements différentiels entre la fondation cen-trale et les fondations extérieures diminuent avantd'augmenter jusqu'à leurs valeurs finales.

Le calcul effectué montre d'autre part que lesvaleurs de l'effort normal et du moment fléchissantdans les éléments du portique, qui sont obtenues

Bibliographie

Bowles J. E. - Foundation analysis anddesign. McGraw-Hill Book Company,New York, 1988.

Brown P.T. - Load sequence and structure-foundation interaction. Journal of thestructural division, ASCE, vol. 112,p. 481 -488, 1986.

Cramer H., Wunderlich W., Kutter H.K.,Rahn W. - Finite element analysis ofstress distribution, induced fracture andpost-failure behaviour along a shearzone in rock. Proc. of the 3rd internatio-nal conference on numerical methods ingeomechanics, Aachen, p. 505-513,,1,979.

Frank R., Guénot A., Humbert P. - Etudepar éléments finis de queiques critèresde plasticité orientés. Proc. Znd Interna-tionai Congress Numerical Methods inEngineering (GAMNI2), Dunod, Paris,vol. 2, p.765-775, 1980.

Habib P. - Interaction soi-structure : intro-duction. Comptes rendus, 10" Congrèsinternational de mécanique des sols etdes travaux de fondations, Stockholm,vol.4, p. 695-696, 1981.

Haddadin M.J.- Mats and combined foo-ting analysis by finite element method.Journal of the American Concrete Insti-tute, voi. 68, p. 945-949, 1971.

Hain S.J., Lee LK. - Rational analysis of raftfoundation. Journal of the geotechnical

par une analyse de consolidatior, peuvent être plusgrandes que celles de l'analyse indépendante dutemps. Cela est dû à la redistribution de la pressionde contact dans le sol sous les fondations. Il est parconséquent suggéré, quand f importance de Ia struc-ture le justifie, de prendre en compte 1'effet de laconsolidation du massif de sol dans l'étude def interaction entre la structure et son sol de fonda-tion.

engineering division, ASCE, vol. 100,p.843-860, 1974.

Hinton E., Owen D.R.J. - Fit'tite elententprogramming. Academic Press, London,1977.

Humbert P - CESAR-LCPC : un code géné-ral de calcul par éléments finis. Bulletinde liaison des LPC, no 160, p. 112-114,1989.

King G.J.W., Chandrasekaran V.S. - Inter-active analysis of rafted muitistoreyedspace frame resting on an inhomoge-neous clay stratum. Proc. of the interna-tional conference on FEM in Enginee-ring, University of New South Wales,p.493-509, 1974.

King G.J.W., Chandrasekaran V.S. - Inter-active analysis using a simplified soilmodel. Proc. of the international sympo-sium on Soil-Structure Interaction,Roorkee, vol. I, p. 93-100, 1977.

Lee I.K., Brown P.T. - Structure foundationinteraction analysis. Journal of the struc-tural division, ASCE, vol. 98 (ST11), p.1413-1431,1972.

Lee I.K.. Harrison H.B. - Structure founda-tion interaction theory. Journal of thestructural division, ASCE, vol. 96 (ST2),p. 177 -198, 1970.

Magnan J.P. - Interaction sois-structures :remblais et fondations superficielies.

Rapport générai. Colioque international< Interactions sols-structures >, Paris,Presses des Ponts et Chaussées. 1987 .

Nasri V. - Analyse de i'interaction sol-structure en tenant compte de la conso-lidation du sol. Thèse de doctorat. EcoleCentrale de Paris, Chatenay-Malabry,185 p., 1996.

Nasri V., Magnan J.P. - Comportementnumérique des éléments finis dansl'analyse des problèmes de consolida-tion des sols. Bu/letin des LPC, no 21.0,1997 , p.41,-53.

Vermeer P.A., Verruijt A. - An accuracycondition for consolidation by finite ele-ments. International Journal for Numeri-cal and Analytical Methods in Geome-chanics, vol. 5, p. 1-14,1981.

Yao Z.E. - Simplified interactive analysis ofrafted space frames founded on inho-mogeneous soil media. ComputerMethods an d Advances in Geomecha-nics, Beer, Booker, Carter (eds), Rotter-dam, Balkema, 1991.

Zienkiewicz O.C. - The finite elementmethod in engineering and science.McGrarrr-Hill Book Company, NewYork, 1991.

79REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN'821e'trimestre 1998