analyse élastique dun portique à une seule travée

Réf. document SX029a-FR-EU Feuill 1 de 28 Titre

Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée

Réf. Eurocode Réalisé par Valérie Lemaire Date Avril 2006

FEUILLE DE CALCUL

Vérifié par Alain Bureau Date Avril 2006


Portique à une seule travée constitué de profilés laminés dimensionné selon l'EN 1993-1-1. Cet exemple d'application comprend l'analyse élastique du portique selon la théorie du premier ordre ainsi que la vérification des barres sous combinaisons ELU.

30,00

5,98

8

α

[m]

7,20

7,30 72,00

1 Données

• Longueur totale : b = 72,00 m • Espacement : s = 7,20 m • Largeur de la travée : d = 30,00 m • Hauteur (max) : h = 7,30 m • Pente du toit : α = 5,0°

1

3,00 3,00 3,00 3,00 3,00

1 : Maintiens en torsion

Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travéeC

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FEUILLE DE CALCUL


2 Charges

EN 1991-1-12.1 Charges permanentes

• poids propre de la poutre

• toiture, y compris l’empannage : G = 0,30 kN/m2

soit pour un portique courant : G = 0,30 × 7,20 = 2,16 kN/ml

2.2 Charges de neige EN 1991-1-3Valeurs caractéristiques des charges de neige sur la toiture, en [kN/m] S = 0,8 × 1,0 × 1,0 × 0,772 = 0,618 kN/m²

⇒ Soit pour un portique courant : S = 0,618 × 7,20 = 4,45 kN/m

α

7,30

30,00

s = 4,45 kN/m

[m]


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2.3 Charges de vent EN 1991-1-4Valeurs caractéristiques des charges de vent, en kN/m, pour un portique courant :

30,00e/10 = 1,46 1,46

Zone D:w = 4,59

Zone G:w = 9,18

Zone H:w = 5,25

Zone J:w = 5,25 Zone I:

w = 5,25

Zone E:w = 3,28

wind direction

3 Combinaisons de charges

EN 1990 3.1 Coefficient partiel de sécurité

• γGmax = 1,35 (charges permanentes) • γGmin = 1,0 (charges permanentes) EN 1990 • γQ = 1,50 (charges variables) Tableau

A1.1• ψ0 = 0,50 (neige)

• ψ0 = 0,60 (vent)

= 1,0 • γM0

= 1,0 • γM1

3.2 Combinaisons à l'ELU EN 1990 Combinaison 101 : γGmax G + γ QsQ

Combinaison 102 : γGmin G + γQ Qw

Combinaison 103 : γGmax G + γ QQ s + γQ ψ0

Combinaison 104 : γGmin G + γQ Qs + γQ ψ0 Qw

Combinaison 105 : γGmax G + γ ψQ 0 Qs + γQ Qw

Combinaison 106 : γGmin G + γQ ψ0 Qs + γQ Qw


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3.3 Combinaisons à l'ELS EN 1990 Les combinaisons et les limites de déformation devraient être précisées pour chaque projet par les documents du marché ou par l'Annexe Nationale.

4 Sections

hw

y y

z

z

tf

tw

b

h

4.1 Poteau Considérons un profilé IPE 600 – Nuance d'acier S275

Hauteur h = 600 mm

Hauteur de l'âme hw = 562 mm

Hauteur de la partie droite de l'âme dw = 514 mm

Largeur b = 220 mm

Epaisseur de l'âme tw = 12 mm

Epaisseur de la semelle t = 19 mm f

Congé de raccordement r = 24 mm

Masse linéaire 122,4 kg/m

Aire de la section A = 156 cm2

Moment d'inertie par rapport à l'axe y-y Iy = 92080 cm4

Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z Iz = 3386cm4

Inertie de torsion I = 165,4 cm4t

Inertie de gauchissement Iw = 2845500 cm6

Module élastique par rapport à l'axe y-y Wel,y = 3069 cm3

Module plastique par rapport à l'axe y-y Wpl,y = 3512 cm3

Module élastique par rapport à l'axe z-z W = 307,80 cm3el,z

Module plastique par rapport à l'axe z-z Wpl,z = 485,60 cm3


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4.2 Traverse Considérons un profilé IPE 500 – Nuance d'acier S275

Hauteur h = 500 mm

Hauteur de l'âme hw = 468 mm

Hauteur de la partie droite de l'âme dw = 426 mm

Largeur b = 200 mm

Epaisseur de l'âme tw = 10,2 mm

Epaisseur de la semelle tf = 16 mm

Congé de raccordement r = 21 mm

Masse linéaire 90,7 kg/m

Aire de la section A = 115,50 cm2


Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z Iz = 2141 cm4

Inertie de torsion It = 89,29 cm4

Inertie de gauchissement Iw = 1249400 cm6


Module plastique par rapport à l'axe y-y Wpl,y = 2194 cm3

Module élastique par rapport à l'axe z-z Wel,z = 214,1 cm3

Module plastique par rapport à l'axe z-z Wpl,z = 335,90 cm3

5 Analyse globale On suppose que les assemblages sont :

• articulés pour les pieds de poteau

• rigides pour les assemblages poteau-poutre.

L'ossature a été modélisée à l'aide du programme EFFEL.

EN 1993-1-1

§ 5.2

5.1 Coefficient d'amplification du flambement αcr Afin d'évaluer la sensibilité de l'ossature aux effets du 2ème ordre, on réalise une analyse d'instabilité afin de calculer le coefficient d'amplification de flambement αcr pour la combinaison de charges correspondant à la charge verticale la plus élevée : γmax G + γQ QS (combinaison 101).

EN 1993-1-1

§ 5.2.1


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Pour cette combinaison, le coefficient d'amplification est : αcr = 14,57

Le premier mode de flambement est illustré ci-après.

EN 1993-1-1Donc : αcr = 14,57 > 10 §5.2.1 (3)Il est possible de procéder à une analyse élastique au premier ordre.

5.2 Effets des imperfections EN 1993-1-1Les imperfections initiales globales d'aplomb peuvent être déterminées à partir de

§ 5.3.2 (3)

310204,3866,0740,0

2001 −⋅=××φ = φ0 αh α = m

où φ0 = 1/200

740,030,7

22==

h αh =

866,0)11(5,0 =+m

m = 2 (nombre de poteaux) =α m

EN 1993-1-1Les imperfections d'aplomb peuvent être négligées lorsque H ≥ 0,15 VEd Ed.

§ 5.3.2 (4)Les effets des imperfections initiales d'aplomb peuvent être remplacés par des efforts horizontaux équivalents :

H = φ V dans la combinaison où H < 0,15 ⎢Veq Ed Ed Ed ⎢


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Le tableau suivant donne la valeur des réactions au niveau des appuis.

Poteau gauche 1 Poteau droit 2 Total Comb. à l'ELU HEd,1

kN VEd,1

kN HEd,2

kN VEd,2

kN HEd

kN VEd

kN

0,15 ⎢VEd ⎢

101 -125,5 -172,4 125,5 -172,4 0 -344,70 51,70

102 95,16 80,74 -24,47 58,19 70,69 138,9 20,83

103 -47,06 -91,77 89,48 -105,3 42,42 -197,1 29,56

104 -34,59 -73,03 77,01 -86,56 42,42 -159,6 23,93

105 43,97 11,97 26,72 -10,57 70,69 1,40 0,21

106 56,44 30,71 14,25 8,17 70,69 38,88 5,83

L'imperfection d'aplomb ne doit être prise en compte que pour la combinaison 101 :

VEd

Kn Heq = φ.VEd

kN

172,4 0,552

⇒ Modélisation avec Heq pour la combinaison 101

EN 1993-1-1

§ 5.3.2 (7)

5.3 Résultats de l'analyse élastique 5.3.1 Etats limites de service Les combinaisons et les limites de déformation devraient être précisées pour chaque projet par les documents du marché ou dans l'Annexe Nationale.

Pour cet exemple, les flèches obtenues par modélisation sont les suivantes :

EN 1993-1-1

§ 7 et

EN 1990

Flèches verticales :

G + Neige : Dy = 124 mm = L/241

Neige seulement : Dy = 73 mm = L/408

Flèches horizontales : Flèche au sommet du poteau ne résultant que de l'action du vent

Dx = 28 mm = h/214


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5.3.2 Etats limites ultimes Diagramme du moment, en kNm

Combinaison 101 :

Combinaison 102 :

Combinaison 103 :

Combinaison 104 :


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FEUILLE DE CALCUL


Combinaison 105 :

Combinaison 106 :

6 Vérification du poteau

Profilé IPE 600 - S275 (ε = 0,92)

On procède à la vérification de la barre pour la combinaison 101 :

N = 161,5 kN (supposé constant le long du poteau) Ed

= 122,4 kN (supposé constant le long du poteau) VEd

M = 755 kNm (au sommet du poteau) Ed

6.1 Classification de la section transversale • Ame : L'élancement de l'âme est c / tw = 42,83

mm94,4827512

161500

yw

EdN =

×==

ftN

d

548,05142

94,485142 w

Nww =

×+

=+

=d

ddα > 0,50

EN 1993-1-149,591548,013

92,0396=

−××La limite pour la classe 1 est : 396ε / (13 αw -1) =

§ 5.5 Donc : c / tw = 42,83 < 59,49 L'âme est de classe 1.


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• Semelle : L'élancement de la semelle est c / t = 80 / 19 = 4,74 f

La limite pour la classe 1 est : 9 ε = 9 × 0,92 = 8,28

Donc : c / tf = 4,74 < 8,28 La semelle est de classe 1

Donc la section est de classe 1. La vérification de la barre reposera sur la résistance plastique de la section transversale.

6.2 Résistance de la section transversale Vérification pour l'effort tranchant Aire de cisaillement : A = A - 2btv f + (tw+2r)t ≥ η hf w tw EN 1993-1-1

838019)24212(19220215600 =××++××−=vA mm2 > η hw tw = 6744 mm2 § 6.2.6 (2)

-33 3Vpl,Rd = A (f / ) /γ = (8380×275/ ).10v y M0

V = 1330 kN pl,Rd

V / VEd pl,Rd = 122,40/1330 = 0,092 < 0,50

L'effet de l'effort tranchant sur la résistance à la flexion peut être négligé.

Vérification pour l'effort axial EN 1993-1-1

Npl,Rd = A fy / γM0 = (15600 × 275/1,0).10-3 § 6.2.4

N = 4290 kN pl,Rd

N = 161,5 kN < 0,25 NEd pl,Rd = 4290 x 0,25 = 1073 kN EN 1993-1-1

kN 30,92710001

275125625,05,0

M0

yww =×

×××=

γfth

et NEd = 161,5 kN < § 6.2.8 (2)

L'effet de l'effort axial sur la résistance à la flexion peut être négligé.

Vérification pour le moment fléchissant EN 1993-1-1

Mpl,y,Rd = (3512 × 275/1,0).10-3 § 6.2.5

M = 965,8 kNm pl,y,Rd

= 965,8 kNm My,Ed = 755 kNm < Mpl,y,Rd


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6.3 Résistance au flambement La résistance au flambement du poteau est suffisante si les conditions suivantes sont remplies (pas de flexion par rapport à l'axe faible, M

EN 1993-1-1 = 0) : z,Ed § 6.3.3

1

M1

Rky,LT

Edy,yy

M1

Rky

Ed ≤+

γχ

γχ M

MkN

N

1

M1

Rky,LT

Edy,zy

M1

Rky

Ed ≤+

γχ

γχ M

MkN

N

Les coefficients k et kyy zy seront calculés à l'aide de l'Annexe A de l'EN 1993-1-1.

EN 1993-1-1L'ossature n'est pas sensible aux effets du second ordre (αcr = 14,57 > 10). § 5.2.2 (7)La longueur de flambement du poteau pour le flambement dans le plan du

portique peut donc être prise comme étant égale à la longueur d’épure.

Lcr,y = 5,99 m

Remarque : Pour une ossature symétrique à une seule travée qui n'est pas sensible aux effets du second ordre, la vérification du flambement dans le plan n'est généralement pas pertinente. La vérification de la résistance de la section transversale au sommet du poteau sera déterminante pour le dimensionnement du profil.

Vis à vis du flambement hors plan, la barre n'est maintenue latéralement qu'à ses deux extrémités. Donc :

L = 5,99 m pour le flambement par rapport à l’axe faible cr,z

Lcr,T = 5,99 m pour le flambement par torsion

et Lcr,LT = 5,99 m pour le déversement

EN 1993-1-1• Flambement par rapport à l'axe y-y Lcr,y = 5,99 m § 6.3.1.2 (2) Courbe de flambement : a (αy = 0,21)

Tableau 6.1

100059901000092080210000

22

2ycr,

y2ycr,

×××

== ππL

EIN =53190kN

EN 1993-1-1

284,010.5319027515600

3ycr,

yy =

×==

NAf

λ § 6.3.1.3 (1)


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FEUILLE DE CALCUL


( ) ( )[ ]22yyy 284,02,0284,021,015,02,015,0 +−+×=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+= λλαφ EN 1993-1-1= 0,5491

§ 6.3.1.2 (1)

9813,0284,05491,05491,0

11222

y2

yy

y =−+

=−+

=λφφ

χ

EN 1993-1-1• Flambement par rapport à l'axe z-z L = 5,99 m cr,z

§ 6.3.1.2 (2) Courbe de flambement : b (αz = 0,34)

Tableau 6.1

10005990100003386210000

22

2zcr,

z2zcr, ×

××== ππ

LEIN = 1956 kN

EN 1993-1-1481,1

10.195627515600

3zcr,

yz =

×==

NAf

λ § 6.3.1.3 (1)

( ) ( )[ ]22zzz 481,12,0481,134,015,02,015,0 +−+×=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+= λλαφ EN 1993-1-1= 1,814

§ 6.3.1.2 (1)

3495,0481,1814,1814,1

11222

z2zz

z =−+

=−+

=λφφ

χ

• Déversement Lcr,LT = 5,99 m EN 1993-1-1 Courbe de flambement : c (α = 0,49) LT

§ 6.3.2.3 Diagramme du moment avec variation linéaire : ψ = 0 C1 = 1,77

Tableau 6.5

Z2

t2

LTcr,

Z

W2

LTcr,

Z2

1cr EIGIL

II

LEICM

ππ

+=

NCCI

42

42

4

6

62

2

cr 10.338621000010.4,165807705990

10.338610.2845500

10599010000338621000077,1

××××

+×

××××=

ππM

SN003

Mcr = 1351 kNm

8455,010.1351

27510.35126

3

cr

yypl,LT =

×==

MfW

λ

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+=

2LTLT,0LTLTLT 15,0 βλλλαφ EN 1993-1-1

§ 6.3.2.3 (1)40,0LT,0 =λ et β =0,75 avec


réé

le

mar

di

6 no

vem

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Ce

cont

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est

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du

cont

rat

de

licen

ce

d'A

cces

s S

teel







http://www.access-steel.com/discovery/linklookup.aspx?id=SN003






FEUILLE DE CALCUL


( )[ ] 8772,08455,075,04,08455,049,015,0 2LT =×+−+×=φ

7352,08455,075,08772,08772,0

11222

LT2LTLT

LT =×−+

=−+

=βλφφ

χ

EN 1993-1-17519,033,033,1

1=

− ψ k (ψ = 0) c =

§ 6.3.2.3 (2)

( )[ ]2LTc 8,021)1(5,01 −−−×−= λkf

Tableau 6.6

( )[ ] 8765,08,08455,021)7519,01(5,01 2 =−−−×−=f < 1

8388,08765,07352,0

==fLTχ χ = < 1 LT,mod

Calcul des coefficients kyy et kzy selon l'Annexe A de l'EN 1993-1-1 EN 1993-1-1

Annexe A

9999,0

531905,1619813,01

531905,1611

1

1

ycr,

Edy

ycr,

Ed

y =×−

−=

−

−

=

NN

NN

χμ

9447,0

19565,1613495,01

19565,1611

1

1

zcr,

Edz

zcr,

Ed

z =×−

−=

−

−=

NN

NN

χμ

EN 1993-1-1 144,1

30693512

yel,

ypl,y ===

WW

w < 1,5 Annexe A

578,1

8,3076,485

zel,

zpl,z ===

WW

w > 1,5 ⇒ w z = 1,5

Effort axial critique en mode de flambement par torsion NCCI

SN003)( 2

,

w2

t0

Tcr,TcrL

EIGI

IAN

π+=

Pour une section doublement symétrique,

cm95466338692080)( 20

20zy0 =+=+++= AzyIII 4


réé

le m

ardi

6 n

ovem

bre

2007

Ce

cont

enu

est p

roté

gé p

ar d

es d

roits

d'a

uteu

r -

tous

dro

its r

éser

vés.

L'u

sage

de

ce d

ocum

ent e

st s

oum

is a

ux te

rmes

et c

ondi

tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel








FEUILLE DE CALCUL


)

599010.284550021000010.4,16580770(

100010.9546615600

2

624

4cr,×

+×××

= πTN

Ncr,T = 4869 kN

NCCI

Z2

t2

LTcr,

Z

W2

LTcr,

Z2

1cr,0 EIGIL

II

LEICM

ππ

+= SN003

0λMcr,0 est le moment critique pour le calcul de pour un diagramme de moment fléchissant uniforme tel que spécifié dans l'Annexe A.

⇒ C1 = 1

42

42

4

6

62

42

cr,0 10.338621000010.4,165807705990

10.338610.2845500

10599010.33862100001

××××

+×××

×=π

πM

kNmM 3,763ocr, =

EN 1993-1-16

3

ocr,

yypl,0

10.3,76327510.3512 ×

==M

fWλ = 1,125 Annexe A

4

TFcr,

Ed

zcr,

Ed1lim0 )1)(1(2,0

NN

NN

C −−=λ

avec N = Ncr,TF cr,T (section doublement symétrique)

4lim0 )

48695,1611)(

19565,1611(77,12,0 −−=λ = 0,2582

> lim0λ 0λ

LTy

LTymy,0my,0my 1

)1(a

aCCC

ε

ε

+−+=

yel,Ed

Edy,y W

AN

M=ε

y

tLT I

Ia −=1avec = 23,76 (classe 1) et = 0,9982


réé

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Ce

cont

enu

est p

roté

gé p

ar d

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d'a

uteu

r -

tous

dro

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éser

vés.

L'u

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ce d

ocum

ent e

st s

oum

is a

ux te

rmes

et c

ondi

tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel







FEUILLE DE CALCUL


Calcul du coefficient C my,0

EN 1993-1-1

ycr,

Edyymy,0 )33,0(36,021,079,0

NN

C −++= ψψ Annexe A

Tableau A2

ycr,

Edmy,0 1188,079,0

NN

C −= = 0,7896 0y =ψ

Calcul des coefficients C et Cmy m,LT :

LTy

LTymy,0my,0my 1

)1(a

aCCC

ε+

ε−+=

9641,09982,076,231

9982,076,23)7896,01(7896,0Cmy =

×+

×−+=

EN 1993-1-11

)1)(1(Tcr,

Ed

zcr,

Ed

LT2mymLT ≥

−−

=

NN

NN

aCC

Annexe A

9843,0)

48695,1611)(

19565,1611(

9982,09641,0 2mLT =

−−×=C < 1

⇒ C = 1 mLT

Calcul des coefficients Cyy et C : zy

ypl,

yel,LTpl

2max

2my

y

max2my

yyyy ])6,16,12)[(1(1

WW

bnCw

Cw

wC ≥−λ−λ−−+=

03765,01/27515600

161500/ M1Rk

Edpl =

×==

γNNn

Mz,Ed = 0 ⇒ et 0LT =b 0LT =d 4810,1zmax =λ=λ

EN 1993-1-1]03765,0)481,19641,0144,1

6,1481,19641,0144,1

6,12[()1144,1(1 222yy ×××−××−×−+=C

Annexe A

8739,035123069

ypl,

yel, ==>WW

Cyy = 0,9849


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L'u

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ux te

rmes

et c

ondi

tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel









FEUILLE DE CALCUL


ypl,

yel,

z

yLTpl

2max

2my5

yyzy 6,0])142)[(1(1

WW

ww

dnCw

wC ≥−λ−−+=

9318,0]03765,0)481,19641,0144,1142)[(1144,1(1 22

5zy =×××−−+=C

4579,035123069

5,1144,16,06,0

ypl,

yel,

z

y ==WW

ww

>= 9318,0zyC

Calcul des coefficients kyy et k : EN 1993-1-1zy

Annexe A

yy

ycr,

Ed

ymLTmyyy

1

1 CNNCCk

−

μ=

9818,09849,01

531905,1611

9999,019641,0yy =×−

××=k

z

y

zy

ycr,

Ed

zmLTmyzy 6,01

1 ww

CNNCCk

−=

μ

5138,0

50,1144,16,0

9318,01

531905,1611

9447,019641,0zy =×××−

××=k

Vérification avec les formules d'interaction EN 1993-1-1

§ 6.3.31

M1

Rky,LT

Edy,

M1

Rky

Ed ≤+

γχ

γχ M

MkN

Nyy

9534,0

127510.35128388,0

10.7559818,0

1275156009813,0

1615003

6

=×

××+

××

<1 OK


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Ce

cont

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gé p

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tous

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L'u

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ux te

rmes

et c

ondi

tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel






FEUILLE DE CALCUL


1

M1

Rky,LT

Edy,zy

M1

Rkz

Ed ≤+

γχγ

χ MM

kNN

5867,0

127510.35128388,0

10.7555138,0

1275156003495,0

1615003

6

=×

××+

××

<1 OK

La résistance au flambement de la barre est donc satisfaisante

7 Vérification de la traverse

7.1 Classification Cas de figure avec compression maximale dans la poutre : (Combinaison 101)

• Ame : h = 468 mm w tw = 10,2 mm c / tw = 41,76

c = 426 mm

NEd= 136 kN mmft

Nd 5,482752,10

136000

yw

EdN =

×==

557,04262

5,484262

N =×+

=+

=dddα > 0,5

c / tw = 41,76 < 38,581557,013

92,0396113

396=

−××

=−αε ⇒ classe 1

EN 1993-1-1

§ 5.5

• Semelles b = 200 mm tf = 16 mm r = 21 mm c / t

= 4,44 f c = 71 mm partie comprimée

c / tf < 9ε = 8,28 (S275 ⇒ ε = 0,92 )

c / t = 4,44 classe 1 f

La section est donc de classe 1. La vérification de la barre reposera sur la résistance plastique de la section transversale.


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et c

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tions

du

cont

rat d

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ence

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cces

s S

teel





FEUILLE DE CALCUL


7.2 Résistance de la section transversale La résistance de la section transversale (IPE 500) est vérifiée avec le moment de flexion maximal sur la longueur de la barre.

Combinaison 101

Effort maximal dans l'IPE 500 à l'extrémité du jarret :

N = 136,00 kN Ed

V = 118,50 kN Ed

M = 349,10 kNm y,Ed

305,23 kNm

349,10 kNm 754,98 kNm

Combinaison 101 : Diagramme du moment fléchissant le long de la traverse.

Cisaillement V = 118,50 kN EN 1993-1-1Ed

§ 6.2Av = A - 2btf + (tw+2r)tf η = 1

598516)2122,10(16200211550 =××++××−=vA mm2

En 1993-1-1Av > η.hw.tw = 468×10,2 = 4774 mm2

§ 6.2.8 (2)3 3Vpl,Rd = Av (f / ) /γ = 5985×275/ /1000 = 950,3 kN y M0

V / VEd pl,Rd = 118,5/950,3 = 0,125 < 0,50

⇒ ses effets sur la résistance en flexion peuvent être négligés !


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Ce

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et c

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FEUILLE DE CALCUL


Compression EN 1993-1-1

Npl, = 11550 x 275/1000 = 3176 kN § 6.2.4Rd

N = 136 kN < 0,25 NEd pl, = 3176 × 0,25 = 794,1 kN et Rd

EN 1993-1-1kN

fth4,656

100012752,104685,05,0

M0

yww =×

×××=

γN = 136 kN < Ed § 6.2.8 (2)

⇒ ses effets sur la résistance en flexion peuvent être négligés !

Flexion EN 1993-1-1

§ 6.2.5Mpl,y,Rd = 2194 × 275/1000 = 603,4 kNm

M = 349,10 kNm < My,Ed pl,y,Rd = 603,4 kNm

7.3 Résistance au flambement EN 1993-1-1Barres à section constante en flexion composée § 6.3.3Vérification avec les formules d'interaction

1

M1

Rky,LT

Edy,yy

M1

Rky

Ed ≤

γχ

+

γχ M

MkN

N 1

M1

Rky,LT

Edy,zy

M1

Rkz

Ed ≤

γχ

+

γχ M

MkN

N et

• Flambement par rapport à l'axe y-y : Pour la détermination de la longueur de flambement de la traverse par

rapport à l'axe y-y, on réalise une analyse d'instabilité du portique avec un maintien fictif au sommet du poteau, afin de calculer le coefficient d'amplification de flambement α

EN 1993-1-1

§ 6.3.1.2 (2)cr de la traverse, pour la combinaison de charges correspondant à la charge verticale la plus élevée :

Tableau 6.1 Combinaison 101 ⇒ αcr = 37,37

EN 1993-1-1

§ 6.3.1.3 (1)


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Ce

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et c

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tions

du

cont

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ence

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cces

s S

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FEUILLE DE CALCUL


EN 1993-1-1Courbe de flambement : a (h/b>2) ⇒ αy = 0,21 § 6.3.1.2 (2)kNNN 508213637,37Edcrycr, =×=α=

Tableau 6.1 7906,0

10.508227511550

3ycr,

yy =

×==λ

NAf

( )[ ]2yyy 2,015,0 λλαφ +−+=

( )[ ]2y 7906,02,07906,021,015,0 +−×+×=φ = 0,8745

8011,07906,08745,08745,0

11222

y2

yy

y =−+

=−+

=λφφ

χ

• Flambement par rapport à l'axe z-z : Pour le flambement par rapport à l'axe z-z et pour le déversement, la longueur de flambement est prise comme étant égale à la distance entre les maintiens en torsion :

Lcr = 6,00m

Remarque : la panne intermédiaire ne maintient latéralement que la semelle supérieure. Son influence pourrait être prise en compte, mais elle est négligée dans ce qui suit, ce qui place du côté de la sécurité.

Flambement par flexion EN 1993-1-1

L = 6,00 m § 6.3.1.3cr,z

10006000

1000021412100002

22

zcr,

z2zcr, ×

××== ππ

LEIN = 1233kN

Flambement par torsion NCCI

Lcr,T = 6,00 m SN003

)( 2Tcr,

w2

t0

Tcr, LEIGI

IAN π

+=

avec y = 0 et z = 0 (section doublement symétrique) o o

50340214148199)( 20

20zy0 =+=+++= AzyIII cm4


réé

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tous

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rmes

et c

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tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel







FEUILLE DE CALCUL


)

600010.124937021000010.29,8980770(

100010.5034011550

2

624

4Tcr,×

+×××

= πN

Ncr,T = 3305 kN

Ncr = min ( N ; Ncr,z cr,T ) = 1233 kN EN 1993-1-1

§ 6.3.1.3 (1)605,1

10.123327511550

3cr

yz =

×==

NAf

λ

Courbe de flambement : b EN 1993-1-1

§ 6.3.1.2 (1)αz = 0,34

( )[ ]2zzz 2,015,0 λλαφ +−+=

Tableau 6.1

( )[ ]2

z 605,12,0605,134,015,0 +−×+×=φ =2,027

3063,0605,1027,2027,2

11222

z2zz

z =−+

=−+

=λφφ

χ

EN 1993-1-1• Déversement : § 6.3.1.3 Lcr,LT = 6,00 m

Tableau 6.5= 0,49 Courbe de flambement : c αLT

Diagramme du moment le long du tronçon de la traverse situé entre les maintiens :

Combinaison 101

NCCI Calcul du moment critique :

SN003 ψ = - 0,487

MqL8

2

= - 0,123 q = - 9,56 kN/m μ =

⇒ C1 = 2,75


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le m

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Ce

cont

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FEUILLE DE CALCUL


NCCI

Z2

t2

LTcr,

Z

W2

LTcr,

Z2

1cr EIGIL

II

LEICM

ππ

+=

42

42

4

6

62

42

cr 10.214121000010.29,89807706000

10.214110.1249400

10600010214121000075,2

××××

+×

××××=

ππM

Mcr = 1159 kNm

7215,0

10.115927510.21956

3

cr

yypl,LT =

×==

MfW

λ

( )[ ]2

LTLT,0LTLTLT 15,0 βλλλαφ +−+=

EN 1993-1-1

40,0LT,0 =λ et β =0,75 avec § 6.3.2.3 (1)

( )[ ] 7740,07215,075,04,07215,049,015,0 2LT =×+−×+×=φ

8125,07215,075,07740,07740,0

11222

LT2LTLT

LT =×−+

=−+

=λβφφ

χ

kc = 0,91 EN 1993-1-1

( )[ ]28,021)1(5,01 −−−×−= LTckf λ § 6.3.2.3 (2)

Tableau 6.6 ( )[ ] 9556,08,07215,021)91,01(5,01 2 =−×−×−×−=f < 1

8503,09556,08125,0

==fLTχ χLT,mod = < 1

Combinaison 101 N = 136 kN compression Ed

M = 349,10 kNm y,Ed

Mz,Ed = 0

Section de classe 1 ⇒ ΔM = 0 et ΔMy,Ed z,Ed = 0 EN 1993-1-1 § 6.3.3

1

M1

Rky,LT

Edy,yy

M1

Rky

Ed ≤+

γχ

γχ M

MkN

N 1

M1

Rky,LT

Edy,zy

M1

Rkz

Ed ≤+

γχγ

χ MM

kNN


réé

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Ce

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est p

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L'u

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ux te

rmes

et c

ondi

tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel








FEUILLE DE CALCUL


EN 1993-1-1

9946,0

50821368011,01

50821361

1

1

ycr,

Edy

ycr,

Ed

y =×−

−=

−

−=

NN

NN

χμ Annexe A

9208,0

12331363063,01

12331361

1

1

zcr,

Edz

zcr,

Ed

z =×−

−=

−

−=

NN

NN

χμ

EN 1993-1-1138,1

19282194

yel,

ypl,y ===

WW

w < 1,50 Annexe A

569,1

1,2149,335

zel,

zpl,z ===

WW

w > 1,50 ⇒ w = 1,5 z

NCCI

Z2

t2

LTcr,

Z

W2

LTcr,

Z2

1cr,0 EIGIL

II

LEICM

ππ

+= SN003

0λMcr,0 est le moment critique pour le calcul de pour un diagramme de

moment fléchissant uniforme tel que spécifié dans l'Annexe A.

⇒ C1 = 1

42

42

4

6

62

42

cr,0 10.214121000010.29,89807706000

10.214110.1249400

10600010.21412100001

××××

+×××

×=π

πM

kNmM 5,421ocr, =

EN 1993-1-16

3

ocr,

yypl,0

10.5,42127510.2195 ×

==M

fWλ = 1,196

Annexe A

4

TFcr,

Ed

zcr,

Ed1lim0 )1)(1(2,0

NN

NNC −−=λ avec C1 = 2,75

avec N = N (section doublement symétrique) cr,TF cr,T


réé

le m

ardi

6 n

ovem

bre

2007

Ce

cont

enu

est p

roté

gé p

ar d

es d

roits

d'a

uteu

r -

tous

dro

its r

éser

vés.

L'u

sage

de

ce d

ocum

ent e

st s

oum

is a

ux te

rmes

et c

ondi

tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel









FEUILLE DE CALCUL


4lim0 )

33051361)(

12331361(75,22,0 −−=λ = 0,3187

lim0λ= 1,196 > = 0,3187 0λ

EN 1993-1-1

LTy

LTymy,0my,0my 1

)1(a

aCCC

ε

ε

+−+= Annexe A

avec 3

6

yel,Ed

Edy,y 101928

11550136000

10.10,349×

×==W

AN

Mε = 15,38 (classe 1)

et 48200

29,8911y

tLT −=−=

IIa = 0,9981

Calcul du coefficient C EN 1993-1-1my,0

Diagramme du moment le long de la traverse : Annexe A

Tableau A2

My,Ed = moment maximal le long de la traverse = 755 kNm

δ = déplacement maximal le long de la traverse = 179mm

30 m

ycr,

Ed

Edy,2

xy2

my,0 11NN

MLEI

C⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=

δπ

50821361

10755300001791048200210000

1 62

42

my,0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

××××××

+=π

C =0,9803

Calcul des coefficients C et C my m,LT :

LTy

LTymy,0my,0my 1

)1(a

aCCC

ε

ε

+−+=

996,09982,038,151

9982,038,15)9803,01(9803,0my =×+

×−+=C


réé

le m

ardi

6 n

ovem

bre

2007

Ce

cont

enu

est p

roté

gé p

ar d

es d

roits

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uteu

r -

tous

dro

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éser

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L'u

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ent e

st s

oum

is a

ux te

rmes

et c

ondi

tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel









FEUILLE DE CALCUL


EN 1993-1-11

)1)(1(Tcr,

Ed

zcr,

Ed

LT2mymLT ≥

−−=

NN

NN

aCC Annexe A

072,1

)33051361)(

12331361(

9981,0996,0 2mLT =

−−×=C > 1

Calcul des coefficients Cyy et C EN 1993-1-1zy

Annexe A

ypl,

yel,LTpl

2max

2my

y

max2my

yyyy ])6,16,12)[(1(1

WW

bnCw

Cw

wC ≥−−−−+= λλ

0428,01/27511550

136000/ M1Rk

Edpl =

×==

γNNn

605,1max == zλλMz,Ed = 0 ⇒ et 0LT =b 0LT =d

]0428,0)605,1996,0138,1

6,1605,1996,0138,1

6,12)[(1138,1(1 222yy ×××−××−−+=C

Cyy = 0,9774

ypl,

yel,

z

yLTpl

2max

2my5

yyzy 6,0])142)[(1(1

WW

ww

dnCw

wC ≥−−−+= λ

9011,0]0428,0)605,1996,0138,1142)[(1138,1(1 22

5zy =×××−−+=C

Calcul des coefficients kyy et kzy : EN 1993-1-1

Annexe A

yy

ycr,

Ed

ymLTmyyy

1

1 CNNCCk

−=

μ

116,19774,01

50821361

9946,0072,1996,0yy =×−

××=k


réé

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Ce

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et c

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tions

du

cont

rat d

e lic

ence

d'A

cces

s S

teel








FEUILLE DE CALCUL


z

y

zy

ycr,

Ed

zmLTmyzy 6,01

1 ww

CNN

CCk−

=μ

5859,050,1

138,16,09011,01

50821361

9208,0072,1996,0zy =×××−

××=k

Vérification avec les formules d'interaction EN 1993-1-1

§ 6.3.31

M1

Rky,LT

Edy,yy

M1

Rky

Ed ≤+

γχ

γχ M

MkN

N

(6.61)

8131,0

127510.21948503,0

10.1,349116,1

1275115508011,0

1360003

6

=×

××+

××

< 1 OK

1

M1

Rky,LT

Edy,zy

M1

Rkz

Ed ≤+

γχγ

χ MM

kNN

(6.62)

5385,0

127510.21948503,0

10.1,3495859,0

1275115503063,0

1360003

6

=×

××+

××

< 1 OK

8 Vérification du jarret

Pour la vérification du jarret, la partie comprimée de la section transversale est considérée comme étant isolée, avec une longueur de flambement par rapport à l'axe z-z égale à 3,00 m (longueur entre le sommet du poteau et le premier maintien).

Efforts et moments maximaux dans le jarret :

N = 139,2 kN Ed

= 151,3 kN VEd

M = 755 kNm Ed


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FEUILLE DE CALCUL


Propriétés de l'ensemble de la section :

Les caractéristiques élastiques de la section transversale sont calculées en négligeant la semelle intermédiaire du jarret.

Aire de la section A = 160,80 cm2

1000 mm

200 mm


Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z Iz = 2141 cm4


Module élastique par rapport à l'axe z-z W = 214 cm3

el,z

Propriétés de la partie comprimée : èmeSection située à mi-longueur du jarret et incluant 1/6 de la hauteur de l'âme

Aire de la section A = 44 cm2

Moment d'inertie par rapport à l'axe y-y I

120 mm

y = 554 cm4

Moment d'inertie par rapport à l'axe z-z Iz =1068 cm4

⇒ cmi 93,444

1068z ==

200 mm

7044,0

39,8630,493000

1z

fz =

×==

λλ

iL z

Flambement d'un profilé en I soudé avec h/b > 2 :

⇒ Courbe d ⇒ α = 0,76

( )[ ] ( )[ ] 9397,07044,02,07044,076,015,02,015,0 22zzz =+−×+×=+−+= λλαφ

640,07044,09397,09397,0

11222

z2zz

z =−+

=−+

=λφφ

χ


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FEUILLE DE CALCUL


Compression dans la semelle inférieure :

kN7604400100010.4610

100075500016080440024,139

3fEd, =××

×+×=N

Vérification de la résistance au flambement de la semelle inférieure :

981,02754400640,0

760000

Rkz

fEd, =××

=N

Nχ

< 1 OK


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Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée SX029a-FR-EU

Enregistrement de la qualité Exemple : Analyse élastique d'un portique à une seule travée TITRE DE LA RESSOURCE

Référence(s) T2703

DOCUMENT ORIGINAL

Nom Société Date

Créé par Valérie LEMAIRE CTICM 25/10/05

Contenu technique vérifié par Alain BUREAU CTICM 26/10/05

Contenu rédactionnel vérifié par

Contenu technique approuvé par les partenaires :

1. Royaume-Uni G W Owens SCI 10/04/06

2. France A Bureau CTICM 10/04/06

3. Suède B Uppfeldt SBI 10/04/06

4. Allemagne C Mueller RWTH 10/04/06

5. Espagne J Chica Labein 10/04/06

Ressource approuvée par le Coordonnateur technique

G W Owens SCI 03/10/06

DOCUMENT TRADUIT

Traduction réalisée et vérifiée par : eTeams International Ltd. 12/08/06

Ressource traduite approuvée par : V Lemaire CTICM 22/09/06


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analyse élastique dun portique à une seule travée

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