couplage interfacial de modèles en dynamique des fluides

1/30

1. Introduction 2. Dynamique des gaz 3. Terme source mesure 4. Relaxation bifluide 5. Couplage bifluide-drift 6. Conclusion

UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE, PARIS VI

COMMISSARIAT À L’ÉNERGIE ATOMIQUE, CENTRE DE SACLAY

Couplage interfacial de modèles en dynamique des fluides.Application aux écoulements diphasiques.

Thomas GALIÉ

Soutenance de thèse - mardi 31 mars 2009

Annalisa AMBROSO Encadrante CEAChristophe CHALONS Encadrant universitaireFrédéric COQUEL Encadrant universitaireYvon MADAY Directeur de thèse

2/30


Sommaire

1 Introduction générale

2 Couplage interfacial de modèles en dynamique des gaz

3 Couplage interfacial avec terme source mesure

4 Relaxation et approximation numérique d’un modèle bifluide à deux pressions

5 Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux

6 Conclusion et perspectives

3/30


Sommaire







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Introduction générale

Contexte : projet NEPTUNE

CEA, EDF, Areva-NP, IRSN

Etablir une plateforme de calcul pour simuler la thermohydraulique dans unréacteur nucléaire à eau sous pression

Constat : différents codes de calculs pour différentes échelles

CFD : Neptune_CFD (3D libre)

Composant : FLICA, THYC (3D poreux)

Système : CATHARE (0D-1D libre/poreux)

Points communs : écoulements diphasiques, méthodes volumes finisValidés et qualifiés : les codes fonctionnent en « boîtes noires »

Besoin : coupler les codes en espace

Un code pour une région de l’espace

Maillages conformes d’un domaine à l’autre (calcul de flux)

Modélisations différentes : couplage interfacial de modèles

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Introduction générale

Collaboration CEA Saclay - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Groupe de travail hebdomadaire au LJLL :

A. Ambroso, B. Boutin, C. Chalons, F. Coquel, T. Galié,E. Godlewski, F. Lagoutière, P.-A. Raviart, J. Segré, N. Seguin

Etude du couplage interfacial de modèles pour les écoulements diphasiques

Approche unidimensionnelle (invariance des équations par rotation)

Interface fixe et mince en x = 0

xx = 0

Modèle de gauche x < 0 Modèle de droite x > 0

Mise au point de conditions de couplage en x = 0

Construction de méthodes numériques consistantes

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Sommaire







7/30


Couplage de modèles en dynamique des gaz

Problème de couplage

xx = 0

Euler (L), x < 0, t > 0∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pL(ρ,ε)) = 0,

∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pL(ρ,ε)u) = 0,

Euler (R), x > 0, t > 0∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pR(ρ,ε)) = 0,

∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pR(ρ,ε)u) = 0.

ρ > 0 : densité

u ∈ R : vitesse

ρE = ρu2/2 + ρε > 0 : énergie totale et ε énergie interne

pα ≡ pα (ρ,ε), α = L,R : pression à gauche et à droite

Notation contractée

∂t u + ∂x fL(u) = 0, pour x < 0, t > 0,

∂t u + ∂x fR(u) = 0, pour x > 0, t > 0,

où u = (ρ,ρu,ρE) et fα (u) = (ρu,ρu2 + pα ,ρEu + pα u),α = L,R

8/30


Couplage de modèles en dynamique des gazConditions de couplage

Approche globalement conservative : couplage par flux

Le problème est réécrit sous la forme d’un seul et unique problème global :

∂t u + ∂x f(u,x) = 0, x ∈ R, t > 0, avec f(u,x) =

{fL(u), x < 0,

fR(u), x > 0.

Conservation des grandeurs : fR(u(0+, t))− fL(u(0−, t)) = 0, t > 0

Non continuité des variables d’états

Approche non conservative : couplage par état

On impose, via deux conditions de bords du type Dirichlet,

v(0−, t) = v(0+, t),

où v est un jeu de variables donné

Continuité des variables

Non conservation : fR(u(0+, t)) 6= fL(u(0−, t)), t > 0

Exemples : v := (ρ,u,p), v := (ρ,u,h) où h = ε + p/ρ est l’enthalpie

9/30


Couplage de modèles en dynamique des gazProblème de couplage : approximation numérique

x

x0 = 0

un−1/2un

−3/2. . .un

j−1/2

x−1x−2xj

un1/2 un

3/2 . . .un

j+1/2

x1 x2 xj

Euler (L), j ≤ 0,n ≥ 0 Euler (R), j ≥ 0,n ≥ 0

Pas de temps ∆t , pas d’espace ∆x

Cellules Cj+1/2 = [xj ,xj+1[, j ∈ Z et temps discrets tn = n∆t , n ∈ NSolution constante par morceaux u∆x (x , tn) = un

j+1/2, pour x ∈ Cj+1/2

Formulation volumes finis

un+1j−1/2 = un

j−1/2−∆t∆x

((gL)nj − (gL)n

j−1), pour j ≤ 0,

un+1j+1/2 = un

j+1/2−∆t∆x

((gR)nj+1− (gR)n

j ), pour j ≥ 0.

On cherche à calculer

(gL)n0 := gL(un

−1/2,un1/2)

(gR)n0 := gR(un

−1/2,un1/2)

10/30


Couplage de modèles en dynamique des gazConditions de couplage : approximation numérique

Couplage par flux : approche par relaxation

On résout le problème de Riemann à l’interface de couplage pour un sur-modèlehors-équilibre thermodynamique :

∂t U + ∂x F(U) = λR(U,x), x ∈ R, t > 0.

Schéma de Godunov

(gL)n0 := F

(W(

0−;Un−1/2,U

n+1/2

))= (gR)n

0 := F(W(

0+;Un−1/2,U

n+1/2

))Couplage par état : approche double-flux

Les flux numériques sont donnés par les formules suivantes :

(gL)n0 :=gL(un

−1/2,un+1/2),

(gR)n0 :=gR(un

−1/2,un+1/2),

où (u)n+1/2 et (u)n

−1/2 sont deux états fictifs reconstruits selon le jeu de variables àtransmettre à l’interface de couplage.

11/30


Couplage de modèles en dynamique des gazProfil uniforme en pression : couplage par flux

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

Densité Vitesse

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

3

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

t

MasseImpulsion

Energie totale

Pression Pertes de conservation

11/30


Couplage de modèles en dynamique des gazProfil uniforme en pression : couplage par état en pression

1.58

1.585

1.59

1.595

1.6

1.605

1.61

1.615

1.62

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

0.792

0.794

0.796

0.798

0.8

0.802

0.804

0.806

0.808

0.81

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

Densité Vitesse

2.325

2.33

2.335

2.34

2.345

2.35

2.355

2.36

2.365

2.37

2.375

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

-0.035

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

t

MasseImpulsion

Energie totale

Pression Pertes de conservation

11/30


Couplage de modèles en dynamique des gazProfil uniforme en pression : couplage par état en enthalpie

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

Densité Vitesse

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

t

MasseImpulsion

Energie totale

Enthalpie Pertes de conservation

12/30


Sommaire







13/30


Couplage interfacial avec terme source mesure

Couplage de modèles en dynamique des gaz pour un écoulement isentropique :

∂t u + ∂x fL(u) = 0, pour x < 0, t > 0,

∂t u + ∂x fR(u) = 0, pour x > 0, t > 0,

avec

u =

(ρ

ρu

), fα (u) =

(ρu

ρu2 + pα (τ)

), α = L,R et τ = 1/ρ.

Condition de transmission par ajout d’un terme source mesure :

∂t u + ∂x f(u,x) = M (t)δx=0, x ∈ R, t > 0,

avec M (t) = (0,Mρu(t))

Avantage : contrôle des pertes de conservation

Difficulté : prise en compte du terme source mesure :

fR(u(0+, t))− fL(u(0−, t)) = M (t), t > 0

14/30


Approche par relaxation - hors couplage -

Système d’Euler isentropique

Strictement hyperbolique de valeurs propres : λ1 = u− c (VNL) et λ2 = u + c (VNL)où c = τ

√−p′(τ) est la vitesse du son dans le fluide.

{∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p(τ)) = 0

x

t

ug

λ1 (ug) u∗ λ r2 (ud )

ud

Approche par relaxation

Strictement hyperbolique de valeurs propres : λ r1 = u−aτ (LD), λ r

2 = u (LD) etλ r

3 = u + aτ (LD). La variable π est la pression de relaxation.∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + π) = 0,

∂t (ρπ) + ∂x (ρπu + a2π) = λρ(p(τ)−π)

x

t

Ug

λ r1 (Ug) U∗g

λ r2

(U∗g)

U∗dλ r

3 (Ud )

Ud

limλ→+∞ π = p(τ) ssi a2 > maxτ [−p′(τ)]

15/30


Approche par relaxation - couplage -

Système d’Euler isentropique

La masse de Dirac conduit à l’ajout d’une onde stationnaire, en x = 0, qui s’apparenteà une onde LD : λ0 = 0. On utilise les relations de Rankine-Hugoniot.

{∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p(τ,x)) = Mρu(t)δx=0.

x

tλ r

0

ug

λ1 (ug) u− u+ λ r2 (ud )

ud


Valeurs propres : λ r0 = 0 (LD), λ r

1 = u−aτ (LD), λ r2 = u (LD) et λ r

3 = u + aτ (LD). Leterme source Mρπ est un degré de liberté supplémentaire.

∂t ρ + ∂x ρu = 0, x ∈ R, t > 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + π) = Mρu(t)δx=0,

∂t (ρπ) + ∂x (ρπu + a2π) = Mρπ (t)δx=0.

x

tλ r

0

Ug

λ r1 (Ug)

U−

λ r2 (U1)

U+ U3λ r

3 (Ud )

Ud

Le terme source mesure est restaurer au niveau discret de manière exacte.

16/30


Résultats numériques

Couplage conservatif : 2-choc pur avec (Mρu ,Mρπ ) = (0,0)

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

Densité Vitesse

16/30



Couplage conservatif : 2-choc pur avec (Mρu ,Mρπ ) = (0,M eρπ )

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5x

Densité Vitesse

17/30


Sommaire







18/30


Relaxation et approximation numérique d’un modèlebifluide à deux pressions

On considère, hors couplage, le modèle bifluide à deux vitesses et deuxpressions isentropique par phase suivant :

∂t α1 + u2∂x α1 = 0,

∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,

∂t (α1ρ1u1) + ∂x (α1ρ1u21 + α1p1)−p1∂x α1 = 0,

∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,

∂t (α2ρ2u2) + ∂x (α2ρ2u22 + α2p2) + p1∂x α1 = 0,

pour x ∈ R, t > 0.

αk ∈ (0,1),ρk > 0,uk ∈ R : fraction, densité et vitesse de la phase k

pk ≡ pk (ρk ) > 0 : pression de la phase k

Condition de saturation : α1 + α2 = 1

Présence de termes non conservatif : couplage entre les phases


∂t u + ∂x f(u) + c(u)∂x u = 0, x ∈ R, t > 0

19/30


Etude du problème de Riemann

Structure de la solution du problème de Riemann

Valeurs propres : λ0 = u2(LD),λ1 = u1− c1(VNL),λ2 = u1 + c1(VNL),λ3 =u2− c2(VNL),λ4 = u2 + c2(VNL) avec ck =

√p′(ρk )

Le système est hyperbolique dès que u1± c1 6= u2

Soit ug ,ud deux états constants. Le PR s’écrit, pour x ∈ R, t > 0,∂t u + ∂x f(u) + c(u)∂x u = 0,

u(x ,0) =

{ug , x < 0,

ud , x > 0.

x

t

ug

λ1,3 (ug)u−

λ0 (u−)

u+λ2,4 (ud )

ud

Difficultés

Beaucoup de champs VNL (Ondes de chocs/détentes)

Termes non conservatifs

Possibilité de résonnance (hors du régime d’étude)

20/30



La loi de pression de la phase k = 1,2, suit la loi d’évolution suivante :

αk ρk ∂t pk −ρ2k p′k u2∂x αk + αk ρk uk ∂x pk + ρ

2k p′k ∂x αk uk = 0

On remplace le terme de pression par la pression de relaxation πk , k = 1,2 :

αk ρk ∂t πk −a2k u2∂x αk + αk ρk uk ∂x πk + a2

k ∂x αk uk = λαk ρk (pk −πk )

On propose le système de relaxation suivant, pour x ∈ R, t > 0,

∂t α1 + u2∂x α1 = 0,

∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,

∂t (α1ρ1u1) + ∂x (α1ρ1u21 + α1π1)−π1∂x α1 = 0,

∂t (α1ρ1π1) + ∂x (α1ρ1π1u1 + a21α1u1)−a2

1u2∂x α1 = λα1ρ1(p1−π1),

∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,

∂t (α2ρ2u2) + ∂x (α2ρ2u22 + α2π2) + π1∂x α1 = 0,

∂t (α2ρ2π2) + ∂x (α2ρ2π2u2 + a22α2u2) + a2

2u2∂x α1 = λα2ρ2(p2−π2),

limλ→+∞ πk = pk ssi ak > maxρk [ρk ck (ρk )] , k = 1,2


∂t U + ∂x F(U) + C(U)∂x U = 0, x ∈ R, t > 0

21/30


Approche par relaxation - Problème de Riemann

Structure de la solution du problème de Riemann

Valeurs propres : λ0 = u2(LD),λ r1 = u1−a1τ1(LD),λ r

2 = u1 + a1τ1(LD),λ r3 =

u2−a2τ2(LD),λ r4 = u2 + a2τ2(LD) et λ r

5 = u1 (LD)

Le système est hyperbolique dès que u1±a1τ1 6= u2

Soit Ug ,Ud deux états constants. Le PR pour x ∈ R, t > 0, s’écrit∂t U + ∂x F(U) + C(U)∂x U = 0,

U(x ,0) =

{Ug , x < 0,

Ud , x > 0.

x

t

Ug

λ r1 (Ug)

λ r3 (Ug) U∗g

λ r5

(U∗g)

U−λ r

0 (U−)

U+λ r

4 (Ud )

λ r2 (Ud )

Ud

Résolution

Résolution itérative : coûteuse et compliquée

Estimation des termes non conservatifs : deux méthodes proposées

22/30



Tube à choc

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 5 10 15 20

x

RusanovRelax-exact

Relax(1)Relax(2)

Fraction α1

22/30


Résultats numériquesTube à choc

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 5 10 15 20

x

RusanovRelax-exact

Relax(1)Relax(2)

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0 5 10 15 20

x

RusanovRelax-exact

Relax(1)Relax(2)

Pression p1 Pression p2

50

60

70

80

90

100

110

120

130

0 5 10 15 20

x

RusanovRelax-exact

Relax(1)Relax(2)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 5 10 15 20

x

RusanovRelax-exact

Relax(1)Relax(2)

Vitesse u1 Vitesse u2

22/30



Robinet de Ransom

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 2 4 6 8 10 12

x

Reference100 cellules

1000 cellules10000 cellules

Fraction α1

22/30



Robinet de Ransom

10

11

12

13

14

15

16

0 2 4 6 8 10 12

x

Reference100 cellules

1000 cellules10000 cellules

Vitesse u2

23/30


Sommaire







24/30


Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift-flux

Modèle bifluide à deux pressions avec termes sources : x < 0, t > 0,

∂t α1 + u2∂x α1 = θ(u)ε2 (p1−p2),

∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,

∂t (α1ρ1u1) + ∂x(α1ρ1u2

1 + α1p1)−p1∂x α1 = α1ρ1f1(u) + λ(u)

ε2 |u2−u1|(u2−u1),

∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,

∂t (α2ρ2u2) + ∂x(α2ρ2u2

2 + α2p2)

+ p1∂x α1 = α2ρ2f2(u)− λ(u)ε2 |u2−u1|(u2−u1).

Modèle de drift-flux : x > 0, t > 0,∂t ρ + ∂x (ρ u) = 0,

∂t (ρY ) + ∂x (ρ uY + ρY (1− Y )ur ) = 0,

∂t (ρ u) + ∂x (ρ u2 + p + ρY (1− Y )u2r ) = ρ(1− Y )f1(u) + ρY f2(u).

La loi de pression p ≡ p(ρ) est donnée par la résolution du sous-système :{p = p1(ρ(1− Y )/(1− α)),

p1(ρ(1− Y )/(1− α)) = p2(ρY/α), (p, α) ∈ (0,+∞)× (0,1)

Le système est fermé par la loi de drift ur = u2− u1 = Φ(u).

25/30


Dérivation du modèle de drift-flux

Théorème

Supposons que nous soyons dans le régime ε → 0+. Alors les solutions du modèlebifluide à deux pressions vérifient, à O(ε2) près, le système d’équations suivant

∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρY ) + ∂x (ρuY + ρY (1−Y )ur ) = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p + ρY (1−Y )u2r ) = ρ(1−Y )f1(v) + ρYf2(v),

avec |ur |ur = ε2 ρY (1−Y )λ(v)

(f2(v)− f1(v) +

(1ρ1− 1

ρ2

)(ρ(1−Y )f1(v) + ρYf2(v))

)et{

p = p1(ρ(1−Y )/(1−α2)),

p1(ρ(1−Y )/(1−α2)) = p2(ρY/α2).

Principe

Ecriture du modèle bifluide en variables de mélange

ρ = α1ρ1 + α2ρ2, ρu = α1ρ1u1 + α2ρ2u2, ρY = α2ρ2,

ur = u2−u1, p = α1p1 + α2p2, pr = p2−p1,

Chapman-Enskog sur ur et pr et passage en coordonnées Lagrangiennes

26/30


Colonne à bulles

x

x = 0

Entrée

Sortie

g

p1 = p2 = pout

α in1 ,p1 = p2 = pin,uin

1 ,uin2

Modèle de drift-fluxEquilibre force de flot-tabilité/force de traînée

Modèle bifluideDeséquilibre entre les phases

Technique du modèle père

Décentrement des termes derelaxation en vitesses

On applique différents ε

27/30



Colonne à bulles avec ε2 = 10−1

0.94

0.945

0.95

0.955

0.96

0.965

0.97

0.975

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

bifluidedrift

couplage

Fraction α1 à T = 5×10−3s

27/30




0.9

0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

bifluidedrift

couplage

Fraction α1 à T = Tsta

27/30




0.954

0.956

0.958

0.96

0.962

0.964

0.966

0.968

0.97

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

bifluidedrift

couplage

Fraction α1 à T = 5×10−3s

27/30




0.95

0.951

0.952

0.953

0.954

0.955

0.956

0.957

0.958

0.959

0.96

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

x

bifluidedrift

couplage

Fraction α1 à T = Tsta

28/30


BibliographieCouplage interfacial de modèles

A. Ambroso, C. Chalons, F. Coquel, E. Godlewski, F. Lagoutière, P.-A. Raviart, N.Seguin, The Coupling of Homogeneous Models for Two-Phase Flows, Int. J.Finite Volumes, 4 (1), 1–39, 2007.

J.-M. Hérard, O. Hurisse, Couplage interfacial d’un modèle homogène et d’unmodèle bifluide, H-I81-2006-04691-FR, EDF-DRD, 2006.


A. Ambroso, C. Chalons, F. Coquel, E. Godlewski, F. Lagoutière, P.-A. Raviart, N.Seguin, A Relaxation Method for the Coupling of Systems of Conservation Laws,Hyperbolic Problems : Theory, Numerics, Applications, Springer BerlinHeidelber, 947–954, 2008.

C. Chalons, F. Coquel, Navier-Stokes Equations with Several IndependentPressure Laws and Explicit Predictor-Corrector Schemes, Numer. Math., 101(3), 451–478, 2005.

Modèle bifluide à deux pressions

T. Gallouët, J.-M. Hérard, N. Seguin, Numerical Modeling of Two-Phase Usingthe Two-Fluid Two-Pressure Approach, M3AS, 14 (5), 663–700, 2004.

D.W. Schwendeman, C. W. Wahle, A. K. Kapila, The Riemann Problem and aHigh-Resolution Godunov Method for a Model of Compressible Two-Phase Flow ,J. Comput. Phys., 212, 490–526, 2006.

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Sommaire







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Conclusion et perspectives

Travaux et avancées

Mise en évidence des avantages et inconvénients de la condition de couplagepar flux et des différentes conditions de couplage par état

Contrôle des pertes de conservation par l’ajout d’un terme source mesurerestauré numériquement de manière exacte par l’approche par relaxation

Développement d’un schéma par relaxation pour le modèle bifluide

Dérivation formelle du modèle de drift-flux à partir du modèle bifluide etréalisation du couplage bifluide/drift

Perspectives et applications

Terme source mesure : couplage milieu libre/milieu poreux

Extension de l’approche par relaxation au modèle avec énergie

Développement dans un cadre industriel d’un coupleurExemple : couplage interfacial CATHARE-FLICA

Couplage de modèles d’écoulements diphasiques

Problème de couplage

xx = 0

HEM, x < 0, t > 0∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pE ) = 0,

∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pE u) = 0,

HRM, x > 0, t > 0∂t m1 + ∂x (m1u) = λ (m?

1(ρ)−m1),

∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + pR) = 0,

∂t (ρE) + ∂x (ρEu + pRu) = 0.

z : taux de présence de la phase 1 et m1 = zρ1 masse partielle de la phase 1

ρk , uk , εk : densité, vitesse et énergie interne de la phase k = 1,2, avec u1 = u2

Variables de mélangeρ = zρ1 + (1− z)ρ2,

ρε = zρ1ε1 + (1− z)ρ2ε2,

p = zp1(ρ1,ε1) + (1− z)p2(ρ2,ε2).

HEM : Homogeneous Equilibrium Model, pE ≡ pE (ρ,ε)

HRM : Homogeneous Relaxation Model, pR ≡ pR(ρ,ε,m1) avecpR(ρ,ε,m?

1)≡ pE (ρ,ε) où m?1 est la masse partielle de la phase 1 à saturation

Couplage de modèles d’écoulements diphasiquesConditions de couplage

Approche globalement conservative : couplage par flux

Modèle père pour x ∈ R, t > 0 :∂t m1 + ∂x (m1u) = µ(x)(m?

1(ρ)−m1),

∂t ρ + ∂x (ρu) = 0,

∂t (ρu) + ∂x (ρu2 + p) = 0,

∂t (ρE) + ∂x (ρE + p)u = 0,

où p = pR(ρ,ε,m1),

avec

µ(x) =

{+∞ si x < 0,

λ si x > 0.

Approche non conservative : couplage par état

en x = 0, le modèle HEM est complété par une condition de bord de typeDirichlet donnée par les trois dernières composantes de uR(0+, t) ;

en x = 0, le modèle HRM est complété par une condition de bord de typeDirichlet donnée par le vecteur

(m?

1(ρ(0−, t)),uE (0−, t)).


Profile uniforme en pression : densité

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

(r,ru,rE)(r,ru,e+p)

(r,ru,p)Flux

(ρ,ρu,ρE)(ρ,ρu,h)(ρ,ρu,p)Flux


Profile uniforme en pression : fraction de vapeur

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

(r,ru,rE)(r,ru,e+p)

(r,ru,p)Flux

(ρ,ρu,ρE)(ρ,ρu,h)(ρ,ρu,p)Flux

Couplage interfacial avec terme source mesureCalcul d’un terme source optimal

Soit la fonctionnelle convexe

J : Mρu ∈Dadm 7→J (Mρu) ∈ R.

On résout à chaque itération en temps le Problème d’Optimisation sousContraintes suivant :

Trouver un terme source optimal M oρu ∈Dadm tel que

J (M oρu)≤J (Mρu), ∀Mρu ∈Dadm

Exemple : contrainte de perte de conservation maximale via M tolρu

J (Mρu) = κ

(∣∣Mρu∣∣−M tol

ρu

)2

++(Mρu−M T

ρu

)2, Mρu ∈Dadm,

où on a noté

a+ =

{a, si a > 0,

0, sinon.

Paramètre κ � 1 donné et fixé

M Tρu : poids correspondant à condition de couplage par état en (ρ,u)

Couplage interfacial avec terme source mesure

Cas du 2-choc pur avec M tolρu = 0.275

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

t

Mρu

Mρu, tol

Densité Terme source

Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de driftTechnique du modèle père (≡ modèle bifluide à deux pressions)

Première étapeLa solution discrète du modèle père un

j+1/2 coïncide avec la solution du modèlebifluide pour j < 0 et avec le relèvement de la solution de drift :

unj+1/2 = Run

j+1/2, j > 0.

Deuxième étapeun

j+1/2, j ∈ Z→ Méthode avec décentrement des termes sources→ Relaxation

partielle des pressions→ Prise en compte de la gravité→ un+1−j+1/2, j ∈ Z

Troisième étapeSolutions discrètes des deux modèles au temps tn+1 données par

un+1j+1/2 = un+1−

j+1/2, j < 0,

(α1)n+1−j+1/2 = (α1)n+1−

j+1/2,

(α1ρ1)n+1−j+1/2 = (α1ρ1)n+1−

j+1/2,

(α2ρ2)n+1−j+1/2 = (α2ρ2)n+1−

j+1/2,

(α1ρ1u1)n+1−j+1/2 + (α2ρ2u2)n+1−

j+1/2 = (α1ρ1u1)n+1−j+1/2 + (α2ρ2u2)n+1−

j+1/2,

(ur )nj+1/2 = Φ(un+1−

j+1/2),

j > 0.

Couplage interfacial d’un modèle bifluide avec un modèle de drift

Méthode avec décentrement des termes sources

Soit la variable χ définie de la manière suivante :

∂x χ =λ (u) |u2−u1|(u1−u2)

α1ρ1(u1−u2)=

λ (u) |u2−u1|α1ρ1

et assujétie à l’équation de transport : ∂t χ + u2∂x χ = 0

On cherche à résoudre le système suivant :

∂t α1 + u2∂x α1 = 0, x ∈ R, t > 0,

∂t (α1ρ1) + ∂x (α1ρ1u1) = 0,

∂t (α1ρ1u1) + ∂x (α1ρ1u21 + α1p1)−p1∂x α1+ m

ε2 ∂x χ = 0,

∂t (α2ρ2) + ∂x (α2ρ2u2) = 0,

∂t (α2ρ2u2) + ∂x (α2ρ2u22 + α2p2) + p1∂x α1− m

ε2 ∂x χ = 0,

∂t (α2ρ2χ) + ∂x (α2ρ2χu2) = 0.

m = α1ρ1(u1−u2) : débit de masse relatif et invariant de Riemann pour l’ondede couplage de vitesse u2 (champ LD)

Résolution du système via l’approche par relaxation

couplage interfacial de modèles en dynamique des fluides

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