couplage d'un modèle svat
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Université Pierre et Marie Curie, École des Mines de Paris & École Nationale du Génie Rural des Eaux et des Forêts
Master 2 Sciences de l’Univers, Environnement, Ecologie Parcours Hydrologie-Hydrogéologie
Couplage de modèles hydrologiques
Hocine HENINE Directeurs de recherche: Rachid ABABOU (Professeur IMFT)
Valérie BORRELL (Ingénieur CESBIO)
Gérard DEDIEU (Ingénieur CESBIO)
IMFT Toulouse
CESBIO (Toulouse)
Juin 2006
1
Résumé Mon stage de Master 2, rentre dans le carde des activités du projet SEVE (CESBIO) et de l’équipe GEMP (IMFT), il consiste, d’une part, en la réalisation d’une simulation couplée des écoulements souterrains et surfaciques, avec le code BIGFLOW, pour le site expérimentale de Monbéqui (Toulouse) et comparer les résultats obtenus avec un modèle d’onde diffusante 1D. Les résultats obtenus sont très satisfaisants, surtout en terme de hauteur d’eau et vitesse d’écoulement. D’autre part, il consiste à réaliser un couplage entre le modèle BIGFLOW et un modèle SVAT (ISBA), au sein de la plate-forme de développement SEVE dédié en partie à ce genre d’application, en vue d’une simulation hydrologique multi-échelle et multi-modèle. Les premiers résultats obtenus par ce couplage ont montrés tout l’intérêt d’introduction d’un modèle de transfert latéraux dans les modèles SVAT tel que ISBA. Abstract: My Master-2 works makes parts within the SEVE project activities, and GEMP team (IMFT), it consists, on the one hand, to realize a coupled simulation of groundwater/ river discharge, using BIGFLOW code, for the Monbéqui experimental site (Toulouse), and to compare the results obtained with 1D diffusive wave model. The obtained results are very satisfies, especially, in term of water head and velocity. On the other hand, it consists in coupling between the BIGFLOW model and a SVAT model (ISBA), within the platform of development SEVE dedicated to this kind of application, in the aim of multi-scale and multi-model hydrologic simulation. The first results obtained by this coupling showed all the importance of introduction of a lateral transfer function in the SVAT models as ISBA.
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION GENERALE ......................................................................................................................... 2
CHAPITRE I : COUPLAGE D’ECOULEMENT SURFACIQUE ET SOUTERRAIN AVEC LE CODE BIGFLOW ……………………………………………………………………………………………….4
I.1 PRESENTATION GENERALE DU CODE BIGFLO........................................................................................... 4 I.1.1. Les équations d’écoulement (la forme générique) .......................................................................... 5
I.2 MODELE DE COUPLAGE SURFACE SOUTERRAIN ......................................................................................... 8 I.2.1. L’équation d’onde diffusante........................................................................................................... 8 I.2.2. Formulation 2D comme un écoulement de Darcy-Ward 2D........................................................... 9 I.2.3. Analogie entre l’équation d’onde diffusante et Darcy-Ward .......................................................... 9 I.2.4. Conductance non linéaire K~ transmittance non linéaire T ........................................................ 10 I.2.5. Interface graphique BF-Pyhton..................................................................................................... 10
I.3 APPLICATION DU MODELE BIGFLOW DANS LE CAS DE LA PLAINE ALLUVIALE DE LA GARONNE : SITE DE MONBEQUI........................................................................................................................................................ 11
I.3.1. Présentation du site d’étude et les données................................................................................... 11 I.3.2. Résultats de la simulation ............................................................................................................. 12
I.4 PROPAGATION DE L’ONDE DIFFUSANT DE CRUE 1D ................................................................................. 13 CONCLUSION..................................................................................................................................................... 15
CHAPITRE II : COUPLAGE D’UN MODELE SVAT (ISBA), RUISSELEMENT DE SURFACE, ET D’UN MODELE 3D D’ECOULEMENT SOUTERRAIN (BIGFLOW)........................................................ 16
II.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................... 16 II.2 DESCRIPTION DU MODELE SVAT ISBA.............................................................................................. 17
II.2.1. Evaporation .............................................................................................................................. 17 II.2.2. Le ruissellement de surface ...................................................................................................... 18 II.2.3. Drainage gravitationnel :......................................................................................................... 18
II.3 DESCRIPTION DU MODELE RUNOFF.................................................................................................. 19 II.4 DESCRIPTION DU COUPLEUR PALM ................................................................................................... 19 II.5 SCHEMA DU COUPLAGE BIGFLO-ISBA ............................................................................................. 20
II.5.1. Schéma N° 1 : ........................................................................................................................... 21 II.5.2. Schéma N° 2 : ........................................................................................................................... 25
II.6 TESTS DE SENSIBILITE DU PREMIER SCHEMA....................................................................................... 26 CONCLUSION..................................................................................................................................................... 28
CONCLUSION GENERALE ............................................................................................................................ 29
BIBLIOGRAPHIE.............................................................................................................................................. 30
ANNEXE A : MODELE DES PROPRIETES HYDRODYNAMIQUE θ(H)................................................ 31
ANNEXE B : ONDE DIFFUSANTE................................................................................................................. 32 EQUATION D’ONDE DIFFUSANTE 1D.................................................................................................................. 32 MODELISATION NUMERIQUE ............................................................................................................................. 36
ANNEXE C. COMMANDES PALM INSEREES DANS LE CODE BIGFLO............................................. 42
Introduction générale L’eau est une ressource naturelle précieuse dont la bonne gestion s’inscrit dans la politique du développement durable tant au niveau d’un pays que d’une région pour ne pas dire mondial. Une bonne gestion de cette ressource est un défit permanent lié à l’évolution démographique, à l’urbanisation et au développement économique de la société tout en tenant compte des changements climatiques et de la pollution. La maîtrise de la science de l’eau constitue un centre d'intérêt vers lequel convergent plusieurs approches : prédiction, simulations stochastiques, et surtout, la modélisation mathématique et physique des phénomènes hydrique. Les modèles hydrologiques et hydrogéologiques se révèlent d’une importance majeure dans l'analyse des répercussions des changements climatiques et le bilan des ressources hydriques, principalement dans l’étude des processus essentiels liés à la genèse des crues (rapides ou lentes). Il est clair que tout effort doit être basé sur une bonne connaissance du problème et sur une analyse des diverses solutions. Ceci passe par une modélisation intégrée de l’ensemble des processus impliqués dans le cycle de l’eau, du carbone et d’autres éléments au niveau des surfaces continentales, dans le cadre d’une politique de développement durable. Les activités du projet SEVE1 (CESBIO2) et l’équipe GEMP3 (IMFT), qui est le cadre de mon stage de Master 2, s’inscrivent dans ce sens. Le projet SEVE a pour but l’intégration d’un ensemble d’outils et de modèles de simulations numériques, au sein d’une plate-forme de développement « SEVE », pour des modélisations liées au cycle de l’eau. L’équipe GEMP, est plus orienter vers l'analyse et la modélisation des transferts à l'intérieur ou à la surface de milieux poreux, notamment les sols, les nappes souterraines et les milieux fracturés. Mon stage de Master 2, que j’effectue en partie à l’IMFT et au CESBIO, consiste à réaliser un couplage entre un modèle hydrologique de simulation des écoulements couplés surface/souterrain (BGIFLOW) avec un modèle SVAT4 (ISBA5). Le présent mémoire se présente en deux parties de longueur inégale qui décrivent la démarche suivie pour accomplir ce travail. Pour faciliter la compréhension du contexte, des illustrations couvrent l’ensemble de ce mémoire. On trouvera en fin de ce document une annexe assez détaillée comprenant les modèles et équations utilisés dans certaines partie du document. Dans le premier chapitre nous commencerons par présenter le code BIGFLOW, ainsi que les différents modèles d’écoulements souterrains et surfaciques qu’il modélise. Par la suite, nous présenterons une modélisation des écoulement couplés nappe/rivière avec le code BIGFLOW sur le site expérimentale de Monbéqui (Garonne, Sud-Ouest de la France), nous finirons ce chapitre par un modèle d’onde diffusante 1D. Ce modèle nous permettra de caler le code BIGFLOW pour des applications 1D.
1 Sol Eau Vegetation Energie 2 Centre d’Etude Spatiale et de la BIOsphère. 3 Groupe Ecoulements en Milieux Poreux 4 sol- végétation- ATmosphère 5 Interaction Sol Biosphère Atmosphère
2
Le deuxième chapitre est consacré au couplage BIGFLOW avec un modèle SVAT (ISBA) dans plate-forme SEVE. Afin de permettre une meilleure compréhension du couplage effectué, nous avons donnée une brève description du modèle ISBA et l’outil de couplage (PALM). Le couplage ISBA-BIGFLOW est décrit en détaille, agrémentés par des illustrations des résultats obtenus, en comparant les simulations obtenues avec ISBA seul et celles obtenues par le couplage. L’intérêt du couplage entre ces deux modèles sera mis en évidence.
3
Chapitre I : Couplage d’écoulement surfacique et souterrain avec le code BIGFLOW
I.1 Présentation générale du code BIGFLO BIGLOW [Albitar & Ababou, 2004] est un modèle spatial distribué dédié à la modélisation des écoulements 3D en milieux poreux hétérogènes anisotrope saturée ou variablement saturée.( En plus, il) Ce code de calcul intègre un modèle des écoulements de nappe et/ou à surface libre 2D verticalement intégrés et un modèle d’intrusion des eaux de mer avec l’approximation d’interface abrupte. Les échelles de modélisation pouvant varier de l’échelle macro à l’echelle méso de plusieurs kilométre (régionale). L’approche utilisée pour modéliser les différents types d’écoulements est un modèle à une équation, de forme similaire à l’équation de Richards généralisée [Trégarot, 2000], obtenu à partir de l’équation de conservation de la masse, et une loi de comportement généralisée qui peut être linéaire (type Darcy-Buckingam), ou non linéaire (type Darcy-Forchheimer). Ce modèle constitue la forme générique du code à partir duquel sont dérivés les autres modules qui ont la même forme d’équation. Les différences entres les modules se traduisent par les variables et les lois constitutives considérées dans cette équation générique. De ce fait de nombreux couplages sont possibles : saturés/non-saturés et surface/souterrain. Le code est très utile pour réaliser des simulations directes des écoulements souterrains dans un milieu poreux très hétérogènes et une grille très dense (10 millions de nœuds), il permet aussi de simuler des phénomènes couplés/non-linéaires, tels que la présence d’une nappe perchée, interactions sol-aquifère-rivière, écoulements rapides dans les fractures et les écoulements dans un milieu macroporeux. Historique du code BIGLOW 1987: BIGLOW (3D) Code de recherche universitaire (Ababou, Gelhar & McLaughlin), MIT,
Cambridge, Massachusetts, USA 1993: BIGLOW 1.1 (3D) Code du domaine public (Ababou, Bagtzoglou) US Nuclear Reg.
Comm. (Washington D.C.) & SwRI/CNWRA (San Antonio TX) 2000: BF2000 (2D/3D) Code de recherche universitaire (Ababou & Trégarot) Institut de
Mécanique des Fluides de Toulouse, France 2004 : BF-Python (2D/3D) La version actuelle du code qui résulte de premières versions; il
contient une nouvelle option de l'intrusion de l'eau de mer [Albitar A. & Ababou R. 2005] une interface du Python sous construction.
Pour prendre en main le code BIGFLO, j’ai travaillé en collaboration avec le doctorant AL-Bitar Ahmad (IMFT), pour la réalisation d’un modèle hydrologique pour le site de Monbéqui (sud-ouest de la France). Nous présenterons dans le présent chapitre, les différentes démarches suivies pour sa réalisation. Aussi, par souci de clarté, nous avons jugé utile de commencer par donner un bref aperçu sur les différentes équations intégrées dans le code
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BIGFLOW, régissant les écoulements souterrains 2D et 3D, et les écoulement de surface type onde diffusante 2D verticalement intégrée. Nous finirons par présenter un modèle d’onde diffusante 1D.
I.1.1. Les équations d’écoulement (la forme générique) Les écoulements en milieux poreux variablement saturés (présence d’une zone saturée et non saturée en eau) sont décrits, dans la majorité, par des modèles à équations non linéaires. Les méthodes d’approximation numérique sont utilisées pour les résoudre. Ces méthodes doivent êtres capables de supporter à moindre coût (en temps de calcul et de mémoire machine) les nombreuses contraintes imposées, telles que la géométrie du domaine de calcul, les hétérogénéités, les discontinuité entre les conditions initiales et aux limites. La version 1.1 (1993) de BIGLOW résout les équations linéaires et non linéaires tridimensionnelles en milieux saturés et variablement saturés, déduite du principe de conservation de la masse et de la loi de comportement de type Darcy-Buckingam (linéaire) ou de Darcy-Forchheimer (non linéaire). Ces équations sont exprimées en terme de charge hydraulique H [m] pour les écoulements totalement saturés, et en terme de la teneur en eau θ [m3/m3] ou de potentiel de pression h pour les écoulements insaturés. La nouvelle version de BIGFLOW, intègre de nouveau modules permettant de simuler, en plus des écoulements saturés et insaturés de la version 1.1, les écoulements en 3D rapides en milieux grossiers variablement saturés, les écoulements 3D saturés à surface libre, les écoulement 2D plan des nappes aquifères libres ou confinées, les écoulement 2D de pleine eau (cours d’eau, nappes superficielles), et des écoulements 2D plan couplés nappes souterraines/nappes superficielles. Dans cette section, nous présenterons les équations générales régissant les écoulement 3D saturés et variablement saturés modélisés par la première version du code, et nous nous contenterons de donner deux tableaux récapitulatifs des différents écoulements modélisés par la nouvelles version de BIGFLOW.
a) Loi de comportement type Dary- Buckingam Loi de Dary- Buckingam: Cette loi décrit les écoulements à faible nombre de Reynolds (Re < 10) variablement saturés en milieux hétérogènes anisotropes. Elle exprime la densité du flux « q » proportionnelle au gradient de charge hydraulique « ∇H ».
HxhKq ∇−= ),( (I.1) avec,
- H=h+gB.x : charge hydraulique totale [m], somme du potentiel de pression capillaire relatif à la pression atmosphérique h=(Peau-Patm)/ρg, et du potentiel gravitaire gB. x = (-g/|g|).x, g étant le vecteur gravité [m.s-2], et x la position dans l’espace.
- K : est le tenseur de conductivité hydraulique dans le repaire principale d’anisotropie.
5
Principe de conservation de la masse : Ce principe traduit le fait que la vitesse de décroissance de la teneur en eau par unité de volume (θe) du milieu poreux est égale à la divergence du flux. Cette équation est écrite sans les termes sources ou puits.
[ ] )(),(),( qdivxhxhMt e −=+∂∂ θ (I.2)
avec, - M : terme de stockage élastique [m3/m3] qui traduit la compressibilité de l’eau et de la
matrice solide. Il peut être négligé dans les zones insaturées (M = 0 si h < 0), et proportionnel à la pression dans les zones saturées (M = Ss*h si h > 0, où Ss : la storativité spécifique [m-1]). Dans la pratique de la modélisation hydrologique, M = 0, excepté dans un milieu totalement saturé (cas des nappes confinées). Il peut cependant ne pas être négligeable dans les milieux argileux.
En insérant la loi de Darcy (I.1) dans l’équation de conservation de la masse (I.2), nous obtenons l’équation générale de l’écoulement en milieu poreux variablement saturé (M=0) :
[ ] [ Be gxhKdivHxhKdiv
txh ),(),(),(
−∇=∂
]∂θ (I.3)
La résolution de ce système permet donc de simuler les écoulements variablement saturés (h), en milieux hétérogènes et anisotropes [Trégarot, 2000], il nécessite :
- des relations constitutives θ(h,x) [annexe A] et Kii (h,x) continues ; - une condition initiale h(x,0) définie dans l'ensemble du domaine de calcul ; - des conditions limites, principalement de type Dirichlet (pression h imposée)
ou de type Neumann (densité de flux normale qn imposée) pendant toute la durée du phénomène à étudier.
Dans le code BIGLOW, différents modèles des propriétés hydrodynamiques θ(h) et Kii (h), parmi les plus utilisés dans la littérature, sont intégrés [Trégarot, 2000]. Parmi les modèles θ(h) et Kii (h) utilisés dans BIGLOW on trouve :
- Van Genuchten / Mualam : modèle à deux paramètres6 : alpha (α), n et m ; - Fonction exponentielle.
BIGLOW est ainsi un modèle 3D spatialement distribué [Trégarot, 2000], en permettant aux relations θ(h,x) et K(h) de varier dans l'espace, en définissant la géométrie et la taille du domaine d'intérêt, et en spécifiant des conditions limites et initiale dans l'espace en fonction des variables potentiel de pression h ou densité de flux normale qn.
b) Loi de comportement type Darcy-Forchheimer Dans le cas des écoulements à grand nombre de Reynolds (Re>100), la loi de comportement est définit par le modèle de Darcy-Forchheimer. (Dans) BIGFLOW propose une forme dérivée de cette loi, la loi de Ward (1964), généralisée aux écoulements 3D en milieux partiellement saturés, hétérogènes et anisotropes (est proposée). Cette loi s’écrit sous la forme :
6 : Pour plus de détails sur les modèle θ(h) et Kii (h), vous pouvez référez à la thèse de Gildas TREGAROT (INP-Toulouse), chapitre II, qui est consacré aux propriétés hydrauliques des milieux poreux.
6
HHhKq ∇∇−= ),(~ (I.4) Le tenseur de conductivité hydraulique ( ) [m/s] est définit par : K~
( ) 2/12/12 ))(.)((4)(2),(~
HhKHhKhKHhK
ii
iiii
∇∇++=∇
γδδ, i=x, y, z. (I.5)
avec δ=1, γ=C/(gν), C=0.55 (valeur expérimentale). En combinant la loi de comportement (I.4) avec l’équation de conservation de la masse (I.2), on obtient l’équation générale des écoulements 3D à grand nombre de Reynolds semblable à l’équation avec, cette foi-ci, des paramètres non linéaire (nous remplaçons K(h) par ). K~
c) La forme générique du code BIGFLOW Les différents modèles d’écoulement de BIFGFLO sont tous décrits par des équations génériques, dont la forme générale est la suivante : Loi de comportement : ( )xghxHhTq ⋅+∇∇−= )(ˆˆ),ˆ,ˆ(ˆˆ x (I.6)
Loi de conservation de la masse : [ ]qdivt
xhe ˆ),ˆ(ˆ−=
∂∂θ (I.7)
En combinant les deux équations, nous obtenons l’équation générale des écoulements :
[ ] [ ])(ˆ),ˆ,ˆ(ˆˆ),ˆ,ˆ(ˆ),ˆ(ˆxgxHhTdivhxHhTdiv
txhe ∇+∇∇=
∂∂θ (I.8)
Nous représentons dans le tableau I.1, les différents modèles 2D et 3D qui dérivent de l’équation générique utilisée dans le code BIGLOW. Ci-dessous, nous avons représenté les équations générales qui régissent les écoulements 3D variablement saturés. Les équations régissant les écoulements souterrains et surfaciques 2D seront présentées dans la section suivante : Tableau I.1 : variables et paramètres de l’équation d’écoulement générique de BIGLOW,
option 3D. Modèle d’écoulement
3D h eθ T g
Variablement saturés (Re<10)
Darcy-Richards
h Pression
)(heθ Teneur en eau
)(hK Conductivité hydraulique
-g/|g| gravité
Variablement saturés (Re>100)
Ward -Richards
h Pression
)(heθ Teneur en eau
( 2 )(.)((4)(2
HhKHhKhK
ii
ii
∇∇++ γδδ
Conductivité hydraulique modifiée
-g/|g| gravité
Variablement saturés ou à surface libre dans un milieu macroporeux
h Pression
)(heθ Teneur en eau (Modèle à marche
d’escalier)
)(hK Conductivité hydraulique (Modèle à marche d’escalier)
-g/|g| gravité
Totalement saturés (aquifère confiné)
H Charge
hydraulique
)(hSs Eau stockée
KsConductivité à saturation 0
7
Tableau I.2 : variables et paramètres de l’équation d’écoulement générique de BIGLOW, option 2D.(attention mise en page du tableau)
Modèle d’écoulement 2D h eθ T g
Nappe à surface libre
(Dupuit-Boussinesq)
h hauteur d’eau
ηφ ×e épaisseur saturée
η×sK Transmissivité hydraulique
infZ∇ Gradient du fond
Nappe confinée (Dupuit-Boussinesq)
H Charge
hyraulique
)( infsup ZZSs −
Stock d’eau
)( infsup ZZKs −×
Transmissivité hydraulique 0
A surface libre (cours d’eau),
onde cinématique diffusante
h hauteur d’eau
η×1 Tirant d’eau
ηη
.2/1
2/1
SZ∇ziiC
Transmissivité hydraulique modifiée
(formule de Chézy) [annexe 1]
infZ∇ Gradient du fond
I.2 Modèle de couplage surface souterrain On représente dans cette section, une brève description des équations du coulage « onde diffusante » et « Darcy-Wards» (équation régissant les écoulements 3D variablement saturés). Elle a pour but de démontré qu’avec l’équation de type Darcy-Ward on peut simulé un écoulement de rivière type onde diffusante, en effectuant des changements, qui seront présentés dans cette section, sur les paramètres de l’équation de Darcy-Ward.
I.2.1. L’équation d’onde diffusante A partir de modèle de Saint-Venant 2D verticalement intégré et une loi de pertes de charge de types Chez, Manning, ou Manning-Strikler. [Trégarot, 2002]
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
yZT
yxZT
xtZ s
yys
xxs ˆˆ (I.9)
avec, et de coefficient de transmittance non linéaire, qui ont la forme suivante : xxT yyT
4/12
2
2
2
2/1
)(1
)(1)(
ˆ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=
yZ
cxZ
cc
Ts
yy
s
xxxx
xx
ηηη
η ; η
ηηη
η4/12
2
2
2
2/1
)(1
)(1)(
ˆ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=
yZ
cxZ
cc
Ts
yy
s
xxyy
yy
(I.10) - cii (i=x, y) [m -1.s²] : coefficients de frottement anisotrope de pertes de charge,
cii (η)=(Maii )2 η -1/3 , Maii : coefficient de Manning [m -1/3.s]. - η : tirant d’eau [m] - : hauteur totale de la surface libre [m] ; sZ
8
Diffusion 2D isotrope ( ) yyxx cc =
ηη
ηη 2/12/1
2/1
)(ˆˆ
SZ∇==
cKT Avec,
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=∇y
Zx
Z ssSZ (I.11)
Avec l’expression de Manning : On remplace l’expression des coefficients de frottement cii en fonction des coefficients de Manning, on obtient :
2/1
3/5ˆˆ
sZMaKT
∇==
ηη et 2/1
3/2ˆ
sZMaK
∇=
η (I.12)
I.2.2. Formulation 2D comme un écoulement de Darcy-Ward 2D L’équation de mouvements (formulation la plus générale possible, en 2D ou en 3D), s’écrit sous la forme:
( ) ( )Be gKdivhKdiv
t~~ +∇=
∂∂θ (I.13)
Tels que : eθ représente un stock d’eau, par exemple la teneur en eau volumique (en 3D) ou tirant
d’eau (en écoulement de surface 2D plan, verticalement intégré), etc.…
représente soit une conductivité hydraulique (par ex. en 3D non saturé) soit une sorte de transmissivité hydraulique équivalente en verticalement intégré 2D plan (nappe souterraine ou onde diffusante de surface)
K
Le terme est un vecteur qui représente les effets gravitaires (gradient du potentiel gravitationnel en 3D, ou bien la pente du substratum (-gradZ
Bginf) dans le cas d’un
écoulement 2D plan (nappe souterraine et/ou de surface)
Le coefficient de « conductivité » (qui représente en fait une transmissivité si on est en 2D plan) est représenté comme suit dans le cas général:
K
( )
)()(4
2),(~
2/12/32hK
HhK
KHhK R
S
∇++=∇
γδδ
I.2.3. Analogie entre l’équation d’onde diffusante et Darcy-Ward La formule I.9 est semblable avec la formule I.13. Le code peut être utilisé pour résoudre les écoulements d’onde diffusante, en faisant les modifications suivantes dans l’équation générique:
η≡h (η = ZS – Zinf(substratum)) pression capillaire tirant d’eau
SZH ≡ charge hydraulique cote piézo (surface libre) ( ) ηηθ .1≡e (Porosité rivière=1) teneur en eau stock d’une colonne d’eau
( )sZTHhK ∇=∇ ,ˆ),(~ η Conductance non lin. transmittance non linéaire ( )yxZgB ,inf∇≡ Force de volume gravitaire pente du lit
9
I.2.4. Conductance non linéaire transmittance non linéaire K~ T ( SZTHhK ∇→∇ ,ˆ),(~ η ) (I.13)
Nous avons comparé transmittance non linéaire T donnée par la formule I.12, avec la conductance non linéaire (formule I.5) K~
( ) 2/1
3/5
2/12/32)(
)(4
2
SZ∇⇔
∇++ MahK
ZhK
KR
s
S η
γδδ (I.14)
Pour obtenir identité, on voit qu’il suffit de prendre :
4/11SK
Ma= et (I.15) ( )ηη RK=3/5
D’où finalement l’expression des coefficient de l’équation de Darcy-Forchheimer, permettant de simuler avec BIGFLOW les écoulements d’onde diffusante :
41
MaK S = et ( ) 3/5ηη =RK
I.2.5. Interface graphique BF-Pyhton L’interface graphique BF-Python [Albitar & Ababou, 2005] figure I.1 intègre un pré et un post-processeur. Cette interface permet la préparation des données, le lancement code BIGLOW et la visualisation (2D/3D) des résultats d’une manière interactive et conviviale.
Figure I.1 : interface graphique BF-Python.
10
I.3 Application du modèle BIGFLOW dans le cas de la plaine alluviale de la Garonne : Site de Monbéqui
I.3.1. Présentation du site d’étude et les données Le site d’étude est localisé, sur la plaine de la Garonne à 40 Km en aval de Toulouse. La moyenne annuelle des précipitations est de 200 mm, le débit moyen annuelle de la Garonne au niveau du site est de 200m3/s, mais cette valeur variée entre 50m3/s en périodes d’étiages à 4000m3/s en période de crues [Weng et all, 2003]. Nous disposons des données fournies par le LEH (Laboratoire de l’Ecologie des Hydrosystèmes) suivantes :
- Tracer de la ligne centrale de la rivière de la Garonne (Type ligne) ; - Tracer des berges des rivières (type Poly-Lignes) ; - Profiles en travers de la rivière (type points X, Y et Z); - MNT (Modèle Numérique de Terrain) d’une résolution de 100m. - Point IGN (X,Y,Z)
Pour faire la simulation avec le modèle BIGFLOW, nous avons besoin d’une grille régulière du site d’études. Le MNT fourni n’intègre pas la bathymétrie de la rivière pour séparer le domaine potentiel d’écoulement surfacique (rivière) et l’écoulement souterrain. Donc, l’intégration des données du profile et des berges de la rivière avec une résolution fine s’est avérée nécessaire. Pour la faire, on a procédé de la manière suivante :
1. interpoler les profiles en travers fournis pour avoir un maximum de profiles possible permettant de reproduire le mieux possible la bathymétrie du cours d’eau
2. incorporer les profiles interpoler dans le MNT initiale. Après traitement de ces données, sous le système d’information géographique (SIG), nous avons obtenu le MNT final du site d’étude (voir la figure I.2).
Figure I.2 : le MNT du site Monbéqui (à 40 Km de Toulouse)
Vue 3D, Source ; [AL-Bitar & all , IAHR, 2006]
11
Les autres données nécessaires, que nous avons introduites dans le code sont : - Le coefficient de rugosité du lit du cours d’eau : Dans le tronçon d’étude, La Garonne
coule en de nombreux endroits sur les molasses du substratum [Agence de l’eau de la Garonne, 1989]. Le coefficient de Chezy Correspondant est de l’ordre de : 35 m1/2/s [Chow, 1988] [Bedient, 2002].
- Le substratum est considéré comme étant un plan horizontal. - La perméabilité du sol est supposée homogène, k=10-3 m/s.
Nous avons donné des conditions initiales nul, c'est-à-dire qu’il n’y a pas d’eau ni dans la rivière ni dans le cours d’eau. Comme conditions aux limites, nous avons donné une hauteur d’eau constante au niveau de la rivière (H= 5m), et une condition en sortie libre, c'est-à-dire que le gradient de H est nul (grad (H) =0), l’eau est évacuée seulement sous l’effet de la gravité.
I.3.2. Résultats de la simulation Nous avons simulé ce cas test, les résultats obtenus sont illustrés sur les figures I.3, I.4 et I.5.
Figure I.3 : Les iso-valeurs de la surface libre au niveau du cours d’eau et de la nappe.
Quelques minutes d’écoulement
Figure I.4 : Les iso-valeurs de la surface libre au niveau du cours d’eau et de la nappe.
Temps intermédiaire
12
Figure I.5 : Les iso-valeurs de la surface libre au niveau du cours d’eau et de la nappe.
Fin de simulation Le trois figures nous permettent de distinguer les deux types d’écoulement : l’écoulement rapide dans le cours d’eau, et l’écoulement lent dans la nappe. dans la figure I.3, on remarque que l’eau s’écoule très rapidement dans le cours d’eau par rapport à la nappe. Dans la figure I.4, le niveau piézométrique dans la nappe commence à s’élever et dans le cours d’eau l’eau continue à s’écouler. Dans la figure I.5, au niveau du cours d’eau nous avons un régime permanent, cela se voit par le fait que les iso-valeurs n’évoluent pas entre la figure I.4 et I.5, dans la nappe le niveau piézométrique continu à s’élever.
I.4 Propagation de l’onde diffusant de crue 1D Dans la Garonne, en périodes d’étiage, de vastes bancs de braves se développent qui s’engraissent ou se déplace au grès de crues [Agence de la Garonne, 1989]. S’insinuant parmi eux, se dessine et se creuse les chenaux d’étiage. D’importantes extractions de graviers ont contribué à l’enfoncement du lit de la rivière dans la molasse. Ces modifications de la géométrie du cours d’eau, influence directement le régime hydraulique de la rivière. Les usagers s’exposent au risque d’être déstabilisé par une brusque montée des eaux. On caractérise cette montée à partir de l’évolution de la vitesse U et du tirant d’eau H de l’écoulement. Nous avons donc établi un modèle hydraulique 1D qui nous permettrait d’obtenir ces deux paramètres, en nous appuyant sur le cas concret de la Garonne. Dans cette partie, j’ai repris un travail de Master 2 de [Moretto, 2002] de modélisation d’onde diffusante 1D en terme de débit, que j’ai adopter pour simuler l’équation d’onde diffusante 1D en terme de hauteur d’eau (ou tirant d’eau). L’équation d’onde diffusante est obtenue à partir du modèle de Barré Saint Venant et la loi des pertes de charges de Chézy, Dans l’annexe B, nous avons présenté le modèle physique d’onde diffusante ainsi que la démarche de modélisation numérique.
13
L’équation d’onde diffusante 1D modélisée s’écrit sous la forme suivante :
0²
²),(),( =∂∂
−∂∂
+∂∂
xHQhD
xHQhA
tH
avec,
nHBQQhA0
1
23),( = : Coefficient d’advection linéaire [m.s-1]
IBQD
0
10 2= : Coefficient de diffusion linéaire [m².s-1]
Pour un débit caractéristique de 190 m3/s (module annuel de la Garonne à Toulouse) et un cours d’eau de largeur moyenne de 150m et une pente moyenne de 0.0007 (cas de la Garonne), on trouve : D0 =904.4 m3/s A0=1.5 m/s [Morétto, 2002] Données : Les différents paramètres de l’équation d’onde diffusante [annexe B] que nous avons introduites dans le programme sont:
- Taille du maillage (LTM): 800 ; - Vitesse d’advection (VI) en m/s : 1.0 ; - Coefficient de diffusion (CD) en m2/s : 904.4 ; - Condition limite gauche (hauteur d’eau en m) : fichier (figure I.6) ; - Condition initiale (HX0) en m : 5m ; - Pas d’espace (∆X) en m : 200 ; - CAS INSTATIONNAIRE. Pas de temps (DELTAT) en s : 1 ; - Paramètre de décentrage (0<= α <=1) : 1 ; - Paramètre de pondération temporelle(0<= σ <=1) : 1 ; - CAS INSTATIONNAIRE. Nombre de pas de en temps (LPSMT) : 200 ; - Nature du régime (LPR: 0 si stationnaire,1 si in stationnaire) : 1.
14
Figure I.6 : simulation d’one diffusante d’une crue en terme de hauteur A partir de ce résultat, on peut remarquer que la hauteur maximale d’eau est beaucoup plus importante que la hauteur maximale à la sortie du cours d’eau, cela est du en partie à la diffusion de la crue. NB : Nous voulons faire une même simulation avec le code BIGFLOW et comparer les deux résultats. A cause d’un débogage dans le code, nous avons décidé de faire cette simulation dans la suite de mon stage de Master pendant l’été.
Conclusion A la fin de cette première partie, après plusieurs cas test que j’ai repris dans travaux antérieurs sur BIGFLOW [Trégarot, 2002] et [Al-Bitar, 2006], j’ai pu prendre en main ce code. Il me reste à présent, la deuxième partie, qui consiste à coupler ce code avec un autre modèle hydrologique de surface permettant de fournir les différentes données de forçage à ce code. Cette partie fera l’objet de deuxième chapitre.
15
Chapitre II : Couplage d’un modèle SVAT (ISBA), ruisselement de surface, et d’un modèle 3D d’ecoulement souterrain (BIGFLOW)
II.1 Introduction Le projet SEVE a pour objectifs, le développement d’une plate-forme pérenne, ouverte et modulaire permettant une gestion optimale des ressources hydrique à l’échelle du paysage, bassins versants et à l’échelle régionale. La stratégie conceptuelle du projet (figure II.1) répond à un schéma d’interaction à la fois souple et dynamique d’un ensemble d’outils et de méthodes, pouvant fournir à tout décideur dans le domaine un support d’aide à la prise de décision.
Con
nect
ivité
Obj
ets-
UC
Transferts dans la basse atmosphère1D à 3D
Transferts dans le sol saturé ou non-saturé1D/2D/3D
Transferts verticaux
en surface1D
Modules de transfert
Transferts latéraux
en surface:Écoulementsconcentrés
1D/2D
Objets Sol/Sous-sol:Aquifère, versant,
Unité de sol
Objet Basse Atmosphère
Modules de description des classes d’Objets SIC et de leur évolution
Objets SurfaceSol/Végétation
(parcelles végétalisées)Bâti (parcelles
urbaines)Réseaux
hydrographiques (tronçons)
...
Transferts latéraux en
surface:Écoulements
nonconcentrés
1D/2D
Superviseur gère la chronologie des échanges entre modules
Segmenteur - Génère la géométrie et la topologie - Vérifie les connectivités entre Objets-UC et UF-UC- Initialise les propriétés et variables d’état des Objets et UC
Géo
mét
rie-to
polo
gie
des
UC
tran
sfer
t
Géo
m.-t
opol
.-éta
t des
obj
ets
des
clas
ses
TSTV
STL
CTL
STB
A
InterpolationsAgrégations
Flux et variables d’état
Obj
ets
Obs
erva
bles
Con
nect
ivité
Obj
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UC
Transferts dans la basse atmosphère1D à 3D
Transferts dans le sol saturé ou non-saturé1D/2D/3D
Transferts verticaux
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Modules de transfert
Transferts latéraux
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1D/2D
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Objet Basse Atmosphère
Modules de description des classes d’Objets SIC et de leur évolution
Objets SurfaceSol/Végétation
(parcelles végétalisées)Bâti (parcelles
urbaines)Réseaux
hydrographiques (tronçons)
...
Transferts latéraux en
surface:Écoulements
nonconcentrés
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Superviseur gère la chronologie des échanges entre modules
Segmenteur - Génère la géométrie et la topologie - Vérifie les connectivités entre Objets-UC et UF-UC- Initialise les propriétés et variables d’état des Objets et UC
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Flux et variables d’état
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bles
Figure II.1 : Architecture générale du projet SEVE [Site Web du projet SEVE]. Ce projet est très ambitieux, il s’étale sur plusieurs années de travail, c’est pourquoi il apparaît nécessaire de mettre en œuvre une version préalable, SEVE V0, dont le rôle est de mettre en place une première version simplifiée de cette plate-forme de modélisation afin de tester les différents problèmes scientifiques techniques qui pourront être rencontrés.
16
La deuxième partie de mon stage, au CESBIO, s’inscrit dans cette perspective, et consiste à coupler le code BIGFLO avec le modèle hydrologique ISBA (Interaction Sol Biosphère Atmosphère) dans plate-forme SEVE V0. Ce couplage vise à réaliser des simulations hydrologiques pertinentes à différentes échelles en utilisant les avantages qu’offre chaque modèle hydrologique. Avant d’entamer la partie couplage BIGFLO-ISBA, on commencera par donner une simple description du modèle ISBA, le Programme RUNOFF, qui est un programme modélisant l’équation d’onde cinématique régissant le ruissellement de surface, et qui a été couplé avec le modèle ISBA. On présentera aussi le coupleur PALM, un outil très puissant dédié au couplage de codes numériques.
II.2 Description du modèle SVAT ISBA ISBA [Noilhan et all, 1989] est un modèle de transfert de type sol-végétation-atmosphère (SVAT) développé au Centre Nationale de Recherche Météorologique (CNRM) de météo France à Toulouse. ISBA modélise les bilans énergétiques et hydriques entre les basses couches de l’atmosphère, le sol et la végétation. Le schéma de modélisation de la surface met en jeu trois grands types de paramètres [Rivalland, 2004]:
- Paramètres pronostiques : les paramètres des l’équations d’évolution ; - Paramètres primaires : informations sur la surface (maille) étudiée comme le type de
sol, le types de couvert végétal etc… ; - Paramètres secondaires : propriétés physiques d’une surface donnée, sont fonctions
des paramètres primaires. Les paramètres pronostiques (figure II.2) considérés sont : la température de surface Ts et profonde T2, le réservoir d’interception de la végétation Wr, le contenu, le contenu en eau volumique de surface Ws et profond W2. La teneur en eau volumique dans le sol est caractérisée par trois valeurs remarquables :
- La teneur en eau volumique à saturation Wsat, - La capacité au champ « ou capacité de rétention » Wfc, - Le point de flétrissement permanent (pas d’extraction racinaire) Wwilt.
Le schéma de la figure II.2 représente les différents transferts modélisés par ISBA. Une partie de la pluie Pl est interceptée par la végétation (vegP1) et stockée dans le réservoir végétation Wr d’une capacité maximale Wrmax et une autre partie atteint directement le sol (1-veg) P1. L’infiltration dans le sol Pg est calculée à partir de l’équation de bilan hydrique :
« Pg= (1-veg)Pl + Rr - Qr = Rt - Qr »
II.2.1. Evaporation L’évaporation est représentée par trois termes différents (E = Eg + Ev + Es )
- Eg : évaporation du sol nu ; - Ev : évaporation provenant de la végétation ; - Es : évaporation du manteau neigeux.
17
Figure II.2 : schéma du cycle de l’eau dans ISBA [Rivalland, 2004]
avec, Ws : contenu en eau en surface, W2 : teneur de la zone racinaire, Wr : interception de la végétation, Dr : Drainage, Xs : apports latéraux, Pg : précipitation, Pl : Précipitation Er : évaporation de l’eau interceptée, Etr : transpiration de la végétation, Eg : évaporation du sol nu, d1 : couche du superficielle (quelques cm) d2 : couche du sol, LAI : indice foliaire, Rr : ruissellement depuis la végétation, R2 : précipitations atteignant le sol, Qr : ruissellement.
II.2.2. Le ruissellement de surface Dans la littérature, on trouve que le ruissellement de surface se déclenche sous l’effet de deux processus différents :
1. quand l’intensité des précipitations est supérieure à la conductivité hydraulique, qu’on appelle ruissellement Hotonien ;
2. quand le sol est complètement saturé, qu’on appelle ruissellement de Dunne. Dans ISBA on ne tient compte que du deuxième effet (ruissellement de Dunne), quand la teneur en eau dans le sol atteint sa valeur à saturation Wsat, l’excès d’eau est évacué par ruissellement. Le schéma ISBA s’appliquant à des mailles à grande échelle, le contenu en eau simulé représente la moyenne sur toute la maille. Pour tenir compte de la variabilité spatiale de la teneur en eau dans une maille, ISBA utilise une paramétrisation sous-maille du ruissellement : une maille est constituée d’un nombre infini de réservoirs de capacité d’infiltration variable. Pour un contenu d’eau donné, il y a une proportion du réservoir qui est saturé et qui participe au ruissellement de surface. La relation qui permet de déterminer cette proportion est fonction de la texture du sol.
II.2.3. Drainage gravitationnel : Le drainage gravitaire est le flux d’eau vertical à la base du réservoir sol, il représente les échanges entre la zone racinaire et la couche du sol profond. Ce processus se déclenche lorsque la teneur en eau dans le sol est supérieure à sa capacité au champ (Wfc) et par diffusion.
18
De même que pour le ruissellement de surface, une paramétrisation sous-maille est introduite dans ISBA. En pratique, le drainage sous-maille permet de soutenir les débits d’étiage [Quintana, 2005].
II.3 Description du modèle RUNOFF Le programme RUNOFF permet le routage et la redistribution dans l’espace du ruissellement de surface, ce programme a été réalisé par [Thirel, 2006] dans la perspective de le coupler avec le Modèle de surface ISBA. L’évolution du ruissellement de surface est décrite par l’équation d’onde cinématique (II.1), déduite à partir de l’équation de conservation de la masse, de la conservation de la quantité de mouvement, et la loi des pertes de charge de Manning.
qx
nS
th
=∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛∂
+∂∂
3/20
(II.1)
avec, - h : lame d’eau ruisselante ; - S0 : pente ; - n : coefficient de pertes de charge de Manning ; - q : l’excès des précipitations (quantité de la pluie qui échappe à l’évaporation et aux
infiltrations). Pour résoudre cette équation, le programme utilise le schéma de MacCormack, qui est un splitting de type prédicteur/correcteur. La phase de prédiction utilise un schéma différence finie décentrée avant, et la phase de correction est décentrée arrière. Le programme utilise la discrétisation naturellement donnée par un MNT ou toute description de pente.
II.4 Description du coupleur PALM PALM (Projet d’Assimilation par Logiciel Multi-méthodes), est un logiciel développé par Global Change and Climate Modelling Team au CERFACS (Centre Européen de Recherche et Formation Avancée en Calcul Scientifique) de Toulouse. A l’origine, Palm a été crée pour mettre en œuvre un modèle pour simuler l’état de l’océan. Il visait à établir un couplage entre un modèle océanique et atmosphérique permettant l’échange entre ces deux modèles de variable température. PALM permet de réaliser des couplages entre différents modules d’une manière aisée, modulaire et efficace. Ce logiciel permet de coupler des programmes écrits avec les langages de programmation C, C, F77 et F90, ce qui permet donc d’y inclure la plupart des modèles numériques existants de la communauté scientifique. Il dispose d’une interface graphique, appelée Pré-PALM (figure II.3), permettant la création et la personnalisation des communications entre les différents codes à coupler d’une manière interactive et d’utilisation simple.
19
Figure II.3 : Interface graphique de PALM, Pré-PALM
Le développement d’une application sous PALM comporte plusieurs étapes [Thirel, 2006], nous les numérotons ci-dessous par ordre chronologique :
1. Inclure dans le programme principale de chaque code, une « carte d’identité » qui définit les Palm-Units (des unités du code permettant de définir les objets PALM : différentes variables à échanger avec les autres modèles à coupler) ;
2. Communication des objets avec PALM grâce aux primitives prédéfinies dans PALM : Palm_Put(…) signifie que le modèle met à disposition un objet là où la commande est insérée, et Palm-Get(…) signifie que le modèle a besoin de recevoir un objet ;
3. Sous l’interface Pré-PALM, on définit les branches de communication entre modèles permettant l’échange des objets définis dans la deuxième étape. Dans chaque branche on peut faire intervenir des scripts et des commandes Fortran (des boucles, des tests, …), on peut aussi réaliser des interpolations temporelles ou spatiales dans le cas où les différents codes utilisent des discrétisations différentes. Cette option nous permet de coupler des codes multi-échelles.
II.5 Schéma du couplage BIGFLO-ISBA Dans cette section, nous présenterons les différents algorithmes de couplage entre les différents modèles (ISBA, BIGFLO, RUNOFF) et leur implémentation dans PALM. Le couplage ISBA-BIGFLO-RUN a pour but de simuler les écoulements de surface, les écoulements souterrains, ainsi que le bilan hydrique en surface. Le modèle ISBA calcule le bilan énergétique et hydrique à la surface du domaine d’étude, il permet de déterminer la partie des précipitations qui participe au ruissellement de surface, la partie qui s’infiltre et le stockage en surface à partir des données météorologiques, de végétation et d’occupation du sol fournies. Le calcul se fait en chaque maille du domaine. Le programme RUNOFF [Thirel, 2006], déjà couplé avec le code ISBA, simule le ruissellement de surface (transfert des excès des précipitations vers les mailles - cours d’eau).
20
La seule variable échangée est la lame d’eau. Le modèle ISBA simule l’évolution de la partie ruisselante des précipitations à chaque pas de temps, et sur chaque maille du domaine. La quantité d’eau est alors communiquée, par PALM, avec le modèle RUNOFF. Ce dernier simule le ruissellement de surface de manière adéquate. Le ruissellement se fait de manière gravitaire jusqu’aux mailles – cours d’eau, où un hydrogramme de crue est calculé à la fin de la simulation. BIGFLO (module 3D non saturé), quant à lui, permet de simuler les écoulements souterrains variablement saturés en 3D. Le colaboration entre A. AL-BITAR et R. ABABOU de l’ IMFT, V. Borrell et V. Rivalland de CESBIO a permis de définir deux schémas de couplage de ISBA avec le code BIGFLO sont possibles.
II.5.1. Schéma N° 1 : Il consiste à échanger la variable « teneur en eau » [m3/m3] (figure II.4) entre les deux modèles à chaque pas de temps. L’objectif de ce couplage est de mettre le code BIGFLO à la disposition du modèle ISBA pour calculer les transferts latéraux de l’humidité dans la couche du sol profond.
ISBA Bilan hydrique
(P, E, R, w et Qr)
Figure II.4 : Premier schéma du couplage ISBA-BIGFLO Afin de limiter les difficultés dans le couplage, nous nous contenterons de faire évaluer les deux modèles au même pas de temps, et sur une même grille. De cette manière, aucune interpolation spatiale ou temporelle n’est nécessaire. En plus, dans le couplage, nous allons utiliser le module « BIGLFO 3D non saturé », or que nous n’avons besoin que de simuler l’écoulement en 2D (voir 1D dans le cas test que nous présenterons par la suite). La solution proposée est d’utiliser le modèle 3D avec 3 nœuds suivant la composante « Z » et des conditions aux limites (à la surface et au fond du domaine) à flux nul. Ainsi les calculs de BIGFLO se limiteront uniquement au nœud – milieu.
Teneur en eau dans le sol (w)
BIGFLO Bilan hydrique
Ecoulement souterrain (1D)
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a) Principe du couplage : Chaque modèle est situé sur une branche différente. Cela permettra d’utiliser un processeur pour chaque modèle (figure II.5), ce qui va optimiser le temps de calcul. La seule variable échangée entre ISBA et BIGFLO est la teneur en eau. A chaque pas, la teneur en eau, calculée par le modèle ISBA sur chaque maille du domaine, est renvoyée par PALM au modèle BIGFLO. Ce dernier simule les transferts horizontaux de la teneur en eau, sous l’effet de gradient de charge et de gravité entre les différentes mailles du domaine.
Figure II.5 : Couplage BIGFLO-ISBA-RUNOFF sous PALM
La teneur en eau, renvoyée au programme BIGFLO, est exprimée en terme de pression interstitielle à l’aide des modèles continus θ(h) (θ(h) : c’est une fonction bijective intégrée dans le code BIGFLO. C’est sur la base des pressions interstitielles que BIGFLO simule l’écoulement souterrain. A la fin du calcul, la variable teneur en eau est calculée de nouveau par la fonction θ(h).
b) Test de validation Nous avons testé le système couplé sur un domaine plan de 182 mètres de long et de pente régulière de 0.0016. Les trois modèles (ISBA, BIGFLO et RUNOFF) utilisent un même maillage pour le calcul (183 nœuds suivant l’axe des abscisses, voir la figure II.6). Les caractéristiques physique et hydrodynamique du sol sont :
- La teneur en eau volumique à saturation, Wsat=0.36 m3/m3 ; - La capacité au champ « ou capacité de rétention » Wfc= 0.34 m3/m3 ; - Le point de flétrissement permanent (pas d’extraction racinaire) Wwilt= 0.12 m3/m3 ; - La profondeur de la couche du sol, d2 = 1.4 m.
Communication de la variable lame d’eau (h)
Communication de la variable teneur en eau (θ).
22
Figure II.6 : maillage du domaine de calcul et les conditions aux limites imposées.
Nous simulons l’évolution de la teneur en eau dans le sol sur une durée de 21600 s (6 heures), avec un pas de temps d’une seconde qui donnera 21600 d’itérations de calcul. Nous donnons comme forçage météorologique une pluie d’une intensité de 5.185 10-6 m/s pendant les 1800 premières secondes, et nulle dans le reste du temps.
c) Interprétation des résultats Sur les deux graphiques de la figure II.6 nous avons tracé l’évolution de la teneur en eau au niveau de la maille 2 (à la sortie du domaine) et de la maille 182 en haut du domaine, avant le couplage Bigflo-Isba (a) et après le couplage.
Figure II.7 : Comparaison de la variation de la teneur en eau au niveau de la maille 2
(à la sortie du domaine) et de la maille 182 en haut du domaine, avant le couplage Bigflo-Isba (a) et après le couplage (b).
Sortie libre, Limites à flux nul
- Grad(h)=0 - Ecoulement sous l’effet de la gravité uniquement.
. . . .1.4 m
1 183 1 m
Zoom Zoom
(a) (b)
23
Sur le graphique b, on remarque de façon évidente que la maille 182 (au point le plus haut du domaine) se vide un peu plus vite que la maille 2 (la maille proche de la sortie du domaine). Cela est du d’une part, à la condition aux limites à flux nul que nous avons imposée, au niveau de cette maille, dans BIGFLO, et d’autre part, au fait que l’écoulement se fait du point le plus haut vers le bas sous l’effet de gravité et du gradient de charge, en plus de l’effet d’évaporation et de drainage (calculé à chaque pas de temps par ISBA) alors qu’avec ISBA seul, l’eau est évacuée sous l’effet d’évaporation et de drainage seulement. Comme les différents paramètres introduits dans ISBA sont homogènes, l’évolution de la teneur en eau sera aussi homogène, comme on peut le remarquer sur le graphique a. La figure II.7 montre l’état de saturation du sol après 18600 secondes de calcul.
Figure II.7 : l’état de saturation du sol à t = 18600 s.
La condition « sortie libre » imposée à la sortie du domaine, appeler aussi « condition de drainage » : c'est-à-dire que l’eau est évacuée sous l’effet de la gravité, le gradient de charge (gard h) étant nul. La figure II.8 montre l’évolution du débit en fonction de temps à la sortie du domaine.
Figure II.7 : Variation du débit en fonction de temps à la sortie du domaine
24
II.5.2. Schéma N° 2 : Ce deuxième schéma de couplage consiste à échanger les flux de surface issus de ISBA vers le code BIGFLO (1D colonne ou 3D insaturé) et les teneurs en eaux dans les différentes couches du sol du BIGFLO vers le modèle ISBA. Les écoulements souterrains sont simulés au sens propre de BIGFLO sous un forçage en surface de ISBA en tant que conditions aux limites variables dans le temps à la surface du sol (flux d’infiltration ou d’évaporation), ainsi la teneur en eaux dans le sol n’est plus une variable calculée par ISBA, mais c’est une donnée fournie par le BIGLOW. Le schéma de la figure II.8 explique les différents variables échangés entre les modèles. Les flèches indiquent le sens d’échange.
Thêta moyenne (W2)
Infiltration ou évaporation (Condition limite en surface)
BIGFLO Ecoulement 3D variablement saturé
Figure II.8 : Deuxième Schéma du couplage ISBA-BIGFLO La mise en place de ce schéma est plus compliquer que la première, car elle nécessite d’imposer certaines conditions sur les variables à échanger, ainsi que des hypothèses d’application. Dans ISBA on ne tient compte que de l’effet ruissellement de Dunne, le ruissellement en surface ne se produit qu’une fois la couche du sol est totalement saturée. Alors qu’on réalité le ruissellement peut avoir lieu même si le sol n’est pas saturé, ce qu’on appelle ruissellement par refus d’infiltration (ou Hortonnéen), c’est ce deuxième effet qui est pris en compte dans le code BIGFLO. Car, on ne peut pas avoir un écoulement supérieur à la conductivité à saturation, sinon on risque de diverger le code numérique BIGFLO. Toutefois, La paramétrisation sous-maille du ruissellement utilisé par ISBA permet d’avoir un ruissellement avant la saturation totale du sol, mais il reste à rajouter la condition qui permet de limiter les infiltrations dans le sol par la conductivité à saturation.
25
Le couplage et le test de ce schéma seront mis en place dans la deuxième partie de mon stage qui se déroulera après les soutenances de mois de juin 2006.
II.6 Tests de sensibilité du premier schéma Les tests de sensibilité du code permettent d’identifier les paramètres qui ont le plus d’influence sur les résultats du modèle numérique, et guider l’utilisateur dans le calibrage de son modèle. Par défaut de temps, nous nous contenterons de faire des teste simple, sur la sensibilité de d’un paramètres essentiel pour le modèle ISBA, qui est la LAI [m²] (Leaf Area Index, où indice foliaire), qui exprime le rapport de la moitié de l’aire totale des feuilles sur la surface unitaire [m²/m²], ainsi que la pente de la ligne d’écoulement (paramètre du code BIGFLO). Les tests ont été réalisés sur le même exemple du test de validation, en faisant varier à chaque fois la pente dans le code BIGFLO et la LAI dans le modèle ISBA. Nous avons réalisé quatre tests avec deux pentes et deux LAI (tableau II.1).
LAI = 0 (Sol nu)
LAI = 6 (sol très dense)
Pente de 16 %
Figure II.10 X
Pente de 0.16 %
Figure II.9 Figure II.10
Figure II.9
La figure II.9 l’influence de la LAI sur le débit souterrain, nous remarquons que plus la végétation est importante plus le débit souterrain diminue, cela est du au prélèvement racinaire de la végétation d’une partie de l’eau dans le sol, donc d’une partie de l’eau disponible qui s’écoule vers l’exutoire. Sur la figure II.10, nous avons tracé la variation du débit souterrain pour deux pentes différentes. Nous remarquons que l’influence de la pente sur les débits est importante. Plus la pente est grande plus les débits sont importants, cela explique que la pente joue un rôle important dans la vidange du réservoir souterrain (sub-surface). Pour avoir une idée claire sur les débits de vidange du réservoir, simulés par BIGFLO, en fonction de la teneur en eau dans le sol, pour différentes pentes. Nous avons réalisé ce test avec BIGFLO tout seul. La figure II.11 montre que plus la pente est importante, plus la vitesse de vidange du réservoir est rapide.
26
Figure II.9 : Variation du débit à la sortie du domaine en fonction du temps pour les
LAI (0 et 6), pente = 0.16%.
Figure II.10 : Variation du débit à la sortie du domaine en fonction du temps pour les
pentes (0.16% et 16%), LAI=0.
Figue II.11 : variation des débits en fonction de la teneur en eau pour différentes
pentes d’écoulement sous BIGFLO.
27
Conclusion Les résultats obtenus par le couplage du premier schéma BIGFLO-ISBA sont satisfaisants, les résultats obtenus ont montrés que l’introduction du transfert latéral de sub-surface pour les modèles SVAT 1D, pourrait améliorer la prédiction des flux de surface et de l’impact de la spatialisation de l’humidité sur la végétation. Aussi, nous avons montré que l’effet de la pente est très important, dans la mesure où il influe directement le taux de transfert latéraux de l’humidité dans le sol.
28
Conclusion générale Au terme de ce travail, j’ai pu accomplir les différentes taches qui m’ont été confiées, à savoir la prise en main du code BIGFLOW, la modélisation couplé nappe/rivière sur le site expérimentale de Monbéqui (Garonne Sud-Ouest de la France), et le couplage du code BIGFLOW avec un code de ruissellement surfacique et d’un modèle SVAT (ISBA). La majeure partie du travail a été consacrée à la modélisation couplée des écoulements souterrains et surfacique avec le code BIGFLOW. En première application de ce code, la modélisation des écoulements couplés nappe/rivière, pour le site expérimental de Monbéqui (Garonne, Sud-Ouest de la France), a montrée toute son efficacité pour ce genre de simulation. Les résultats obtenus sont satisfaisants en terme de hauteur d’eau et les vitesses d’écoulement. Un modèle 1D d’onde diffusante a été aussi réalisé afin de valider les solutions du code BIGFLOW. Les premiers résultats obtenus par le couplage du premier schéma BIGFLO-ISBA (échange de la variable teneur en eau dans le sol), ont été très satisfaisants. L’analyse de sensibilité des différents codes a été faite pour évaluer les ordres de grandeur des variables mises en jeux et échangées par les modèles. Nous avons montré, à travers ces test, qu’il apparaît pertinent d’introduire le transfert latéral dans un modèle SVAT tel que ISBA. Le facteur qui influence le plus les échanges latéraux de la teneur en eau dans le sol étant la pente de la ligne d’écoulement. L’élaboration d’autres simulations afin d’analyser les effets du couplage sont nécessaires. Les simulations que nous avons réalisées restent insuffisantes pour valider complètement le couplage. Cette partie sera une priorité pour la suite de mon stage.
29
Bibliographie
Noilhan J. et Planton S., A simple parameterization of land surface processes for meteorological models. Mon. Wea. Rev., 177:536-549, 1989.
Quintana SEGUI P., Amélioration de la simulation des crues en Méditerranée à l’aide du
système SIM. Stage de M2, Université Paul Sabatier Toulouse, 2005 Trégarot G., Modélisation Couplée des Ecoulements à Saturation Variable avec
Hétérogénéités, Forçages, et Interfaces Hydrologiques. Thèse de Doctorat, Institut National Polytech., IMFT, Toulouse, France, Mai 2000.
Albitar A. & Ababou R., Random Field Approach to Seawater Intrusion in Heterogeneous
Coastal Aquifers:Unconditional Simulations and Statistical Analysis, Chapter in GeoENV: Geostatistics for Environmental Applications, Renard P., Demougeot-Renard H., Froidevaux R. (Eds.), ISBN: 3-540-26533-3, Springer, 2005.
Albitar A. & Ababou R., Modeling of Salt Water Intrusion In Coastal Aquifers: Studying
the effect of Heterogeneity and Uncertainties towards seawater intrusion remediation, Chapter in Monitoring Modeling and management of coastal aquifers Benavente J., Larabi A., El Mabrouki K.(Eds.), ISBN: 84-699-7903-5, Water Research Institute, University of Granada, Spain, 2004.
Guillaume Thirel, Modélisation Hydrologique du Bassin Versant d’Auradé avec SEVE 0,
Stage de Fin d’Etude, Ecole d’Ingénieur en Modélisation Mathématique et Mécanique Bordeaux - Cesbio Toulouse, Juin 2006.
Agence de l’eau de la Garonne, Monographie des Crues de la Garonne du pont de Roy au
Bec d’Ambès, Schéma de protection contre les eaux de la Garonne, 1989. Ababou R.(1), Al-Bitar a. (1), Peyrard D.(2), Quintard M.(1), Sanchez-Perez J.M.(2), Sauvage
S.(2), Vervier P.(2), Weng P.(3)., Modeling coupled surface / subsurface flow interactions : implementation and comparison of three models based on Darcy, Boussinesq / Saint Venant and Boussinesq / diffusive wave, with application to the Garonne floodplain, Midi-Pyrénées, France. Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse ; (2) Laboratoire d’Ecologie des Hydrosystèmes (Toulouse) ; (3) Bureau des Recherche Géologiques et Minières (BRGM). IAHR-GW2006, Juin 2006.
Chow V. T., Maidment A. R., Mays L.W.,Applied Hydrology, Edition International, 1988. Bedient P. B., Huber C. W., Hydrology and Floodplain analysis, Edition Third, 2002. Moretto A., Analyse de risques rivière – DEA enseeiht, juin 2002
30
Annexe A : Modèle des propriétés hydrodynamique θ(h) Rappels : La teneur en eau est donnée par la relation suivante
10 ⟨=⟨t
eau
VVθ
Le potentiel de pression capillaire :
⟨+∞−
=∞⟨−gPPh atmeau
ρ
Dans la littérature on trouve plusieurs relations de θ(h), la relation de Van Gnuchten Mualam [Trégarot, 2000] (figure cidessou) , est donnée par l’expression suivante :
m
nds
d
h ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
=−−
)(11αθθ
θθ
avec,
- θd et θs sont respectivement la teneur en eau de drainage et a saturation. - α et n : constantes physiques dépendant de la texture du sol. - M=1-2/n, selon le modèle de Mualam.
Figure 1) ; Courbe d’humidité θ(h) pour l’argile et le sable,
31
Annexe B : Onde diffusante L’objectif de ce travail est d’établir une équation d’onde diffusive 1D. Les équations de départ sont l’équation de conservation de la de masse et de quantité de mouvement de Saint-Venant intégré sur la hauteur. Pour la fermeture du système, nous utiliserons la loi des pertes de charge de Chézy.
Equation d’onde diffusante 1D Le modèle Saint-Venant 1D Les équations de continuité et de conservation de quantité de mouvement de Saint-Venant sous leur forme non conservative s’écrivent de la façon suivante :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=∂∂
+∂
∂+
∂∂
=∂∂
+∂∂
⇔=∂
∂+
∂∂
)()/()(
)()(
2
JIgSxHgS
xSQ
tQb
rxQ
tSr
xUS
tSa
(1)
Hypothèses simplificatrices :
- On néglige les termes d’accélération eulérienne t
U∂∂ ;
- on néglige les termes d’accélération convective (inertiels) xUU∂∂ ;
- on suppose qu’on a ni apport ni de pertes (r=0) Les deux équations de continuité et conservation de la quantité de mouvement se résument donc à :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=∂∂
=∂∂
+∂∂
JIxHb
xQ
tSa
)(
0)( (2)
Avec, - Q : le débit total dans le cour d’eau [m3.s-1]; - H : tirant d’eau [m]. H(x) est défini par rapport à Zinf(x); Zinf(x) représente le min (Zinf(x,y))quel que soit y (figure 1) ; H(x) = Max (H(x,y)) quel que soit y ;
32
- x
ZI
∂∂
−= inf : pente du lit du cour d’eau [m/m] ;
- : Pertes de charges [m/m] ; J- S : Section mouillé [m²] ; - r : terme source (positif si production), [m².s-1] ; - g : accélération de la pesanteur [m.s-2].
Transformation de l’équation (2.a) Par définition :
∫+
=),()(
)(
inf
inf
),,(),(txHxZ
xZ
dztzxbtxS
D’après le théorème de Leibniz, on a ; à x=x1 fixé
dzt
tzbttHtHxb
tS tHZ
Z∫+
∂∂
+∂
∂=
∂∂ )(
1
inf
inf
),()(),,(
Par définition, notons B(x,t)=b(x,H,t), où B(x,t) n’est autre que la largeur au miroir.
Dans le terme dzt
tzbtHZ
Z∫+
∂∂)(inf
inf
),( , la dépendance en t de la largeur « intermédiaire » b(z,t) n’est
à considérer que si l’on choisit de ne pas négliger la variation temporelle de la morphologie géométrique du canal. > HYPOTHESE 2 : En supposant que sur l’intervalle de temps considéré, c’est-à-dire le temps de propagation du lâcher d’eau, le phénomène d’érosion qui cause une modification de la section du canal au
cours du temps est négligeable, on annule le terme (t
tzb∂
∂ ),( ) dans tout le reste du calcul.
L’équation (1.a) devient alors :
01=
∂∂
+∂∂
xQ
BtH (3)
Figure 1: définition du tirant d’eau en chaque section d’un cours d’eau.
Zinf(x) Zinf(x)
x = x1 x = x2
H(x)
S
P H(x)
33
On simplifier la deuxième équation (1.b) :
n à la loi des pertes de charges de Chézy suivante :
O
22 SRC
QQJ
Hz
rr
= (4)
RH : étant le rayon hydraulique définit comme le rapport entre la section mouillée « S » et le
être positif ou négatif, selon le sens de l’écoulement. La dérivée
- périmètre mouillé « P ». Le coefficient « J » peutpartielle de « J » par rapport « x » à « t » constant s’écrit comme suit:
tQhQxQhxht x
Jxh
hJ
xQ
QJ
xJ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=∂∂
,,,
.. (5)
> HYPOTHESE 3 :
our qu’on puisse dérivé « J » par rapport à t, on doit imposer certaines simplifications sur les
ans notre cas, on suppose que : ngulaire (S=B*H ; B : largeur au miroir) ;
la tirant
- ait un seul sens (dans le sens positif).
Pdifférents termes du coefficient de pertes de charge. Sachant que la section mouillée et le rayon hydraulique sont fonction de la géométrie du canal et du tirant d’eau, pour exprimer ces deux paramètres en fonction du tirant d’eau uniquement, on cherche à comparer la section du canal à une des section prismatiques simples (rectangulaire ou trapézoïdale par exemple ). D
- la section du canal est recta- le canal est très large pour que le rayon hydraulique soit confondu avec
d’eau. (RH≈H) ; l’écoulement se f
232
2QQQrr
22 BHCSRCJ
zHz
≈= (6)
Donc,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=∂∂
xh
HJ
xQ
QJ
xJ 32 (7)
n dérive l’équation 2.b par rapport à x, et on remplace xJ∂∂O par l’équation 7, on trouve :
xH
hJ
xQ
QJ
xI
xh
∂∂
+∂∂
−∂∂
=∂∂ 32
²² (8)
On remplace xQ∂∂ de l’équation de conservation de la masse simplifier (3) dans l’équation de
mouvement (8) on trouve :
xH
hJ
tHB
QJ
xI
xH∂²
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−−∂∂
=∂
32²
xI
BJQ
xH
JBQ
xH
BHQ
tH
∂∂
−=∂∂
−∂∂
+∂∂
2²²
223 (9)
34
On remplace J par la formule de Chézy donnée par l’équation (4), l’objectif de cette opération
est d’exprimer les coefficients de diffusion et d’advection en fonction de H et de Q :
xI
QBHC
xH
QBHC
xH
BHQ
tH zz
∂∂
−=∂∂
−∂∂
+∂∂
2²²
223 3232
(10)
Ou sous la forme :
)(').,(²
²),(),( xIQhDxHQhD
xHQhA
tH
=∂∂
−∂∂
+∂∂ (11)
Avec, I’(x)=dI/dx ,
BHQQhA 3),( =
2 : Coefficient d’advection [m.s-1]
Q
BHCQhD z
2),(
32
= : Coefficient de diffusion [m².s-1]
xpression de « A » et « D » en fonction de H et
ExH∂∂ .
On remplace « J » dans l’équation de mouvement 2.b, et on exprime Q en fonction de H
etxH∂ . On trouve : ∂
xHIBHCQ z ∂∂
−= 2/3 (12)
On remplace Q de cette expression (12) dans l’équation d’onde diffusante obtenue précédemment (10), on trouve :
xI
xHI
HCxH
xHI
HCxHx
HIHC
tH zz
z
∂∂
∂∂
−
−=∂∂
∂∂
−
−∂∂∂
∂−
+∂∂
2²
²
22
3 2/32/32/1
(13)
Ou sous la forme :
)(').,(²
²),(),( xIxHhD
xH
xHhD
xH
xHhA
tH
∂∂
=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂ (14)
avec, le Coefficient d’advection2
3),(
2/1
xHIHC
xHhA
z ∂∂
−=
∂∂ et le Coefficient de
diffusion
xHI
HCxHhD z
∂∂
−
=∂∂
2),(
2/3
.
es équations (11) et (14) représentent les équations d’onde diffusante mono dimensionnelle. L
La variable résolue par ces équations est le tirant d’eau en chaque section du cours d’eau.
35
Discussion du terme I’(x) :
xI∂ : représente les courbures lo∂
cales dans le cours d’eau.
Rem ent faible pour que la pente arque : si on suppose que le gradient de charge est suffisammhydraulique (J) soit à peu près égale à la pente du fond du cours d’eau (J≈I) alors on obtient pour le terme auxiliaire (I’):
xI
BQxI
BIQxIQ
BJ ∂∂
=≈)ln(
2)('
2)
2.
onséquence : on voit donc, en 1ère approximation, que le terme auxiliaire peut être
('
Cnégligeable dans le cas d’un cours d’eau ne comportant pas de changements brusques de pentes (ni de courbures locales importantes). Avec cette hypothèse-ci, on obtient :
0²),(),( =²∂
∂−
∂∂
+∂∂
xHQhD
xHQhAH
t(15)
En régime généralement non-uniforme.
inéarisation de l’équation (11) L
On a :
BhQQhA
23),( =
JBQQhD
2),( =
On peut linéariser de la manière suivante :
Q1 peut être considéré comme un débit caractéristique de l’écoulement :
• D(h,Q) :
IBQ
D0
10 2=
• A(h,Q) : s sont possibles :
e Q et H (ou U) :Deux piste
- soit on caractéris « Q1 » p ractéristique de l’écoulement, eut être considéré comme un débit cacomme pour D h,Q). La caractérisation de « H » s’avère plus difficile car il représente la variable qu’on cherche à estimer. On peut éventuellement utiliser la valeur de la hauteur normale « Hn » en régime uniforme à débit « Q1 »
nHBQA0
10 2
3=
- soit on évalue directement la vitesse de propagation A :
En conn nce les aissant le temps de propagation « tpropag. » et la distadistances à l’ouvrage « L », pour chaque site Si, on définit la vitesse de
propagation par : .propagt
LA =
Modélisation numérique
36
1) FORMULATION DU PROBLEME
(11), il faut préciser les conditions aux limites et
x=0, t 0:
Pour résoudre numériquement l’équation
itiales. Dans notre démarche nous utiliserons : in • Une condition limite de type Dirichlet (constante ou variable) à l’entrée gauche :
≥ )(),0( 0 tHtH = (16.a) • Une condition limite de type Neumann (nulle) à la sortie droite:
x=L, t≥0: 0/),( =xtLH ∂∂ (16.b) • Et une condition initiale uniforme (nulle) à l’intérieur du domaine :
Lt=0, 0 < x < : 0)()0,( 0 =≡ xHxH
Ce problème particulier est donc complètement sp
(16.c)
écifié par les équations :
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎧
=−+ 0 2
2
00HDHAH ∂∂∂
⎨
<=
=
=
Lx<0pour 0)0,(
0),( 1),0(
xHx
tLHtH
xxt
∂∂
∂∂∂
(17)
2) DISCRETISATION SPATIO-TEMPORELLE
forme :
(18)
Remarquons que l’équation (17) peut se mettre sous la ∂θ/∂t = ℜθ où ℜ représente l’opérateur différentiel spatial:
2
2
00 DA ∂∂+−=ℜ
xx ∂∂ (19)
Nous allons utiliser une méthodedifférences finies en temps et volume
éthode d’Euler à un pas (pondérée), on obtient l’équation
de différences finies spatio-temporelles, ou encore, s finis en espace, pour discrétiser cette équation.
2.1. Discrétisation Temporelle En intégrant ∂θ/∂t = ℜθ par la memi-discrétisée: s
( ) ( )( )[ ]nnnnH ++ 11 HHtH ℜ−+ℜ∆+= σσ 1 (20)
ù σ représente un paramètre de pondération temporelle compris entre 0 et 1 (inclusivement), qui permet de spécifier le degré d’implicitation du sch
les schéma numérique de type Crank-Nicholson ou Euler semi-implicite, avec σ = 1/2 ; • les schéma numérique de type Euler explicite (forward) pour lesquels σ = 0.
oéma. Pour fixer les idées, on peut
distinguer trois grandes classes de schémas: • le schéma numérique de type Euler implicite (backward) pour lesquels σ = 1 ; •
37
Notons de plus que le schéma d’Euler explicite est parfois appelé méthode de tangente simple,
il s’agit d’une éthode RK11, c’est-à-dire de Runge-Kutta à 1 pas et d’ordre 1).
a) Opérateur de diffusion
et qu’on peut aussi le classer dans la catégorie des méthodes de Runge-Kutta (m 2.2. Discrétisation Spatiale
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
020 Dx
Di∂
⎛
∆+−⎞⎛ −+
211
2 2x
HHHH iii∂ (21)
ateur d’advectionb) Opér
( ) ⎥⎦
⎤⎡∆−
+∆−
−⎞⎛ −+
xHH
xHH iiii 11 ααθ∂ (22)
uit un paramètre de pondération spatiale α, qui pesation de l’opérateur d’advection
α = 0 pour un décentrage aval (déconseillé).
UMERIQUE
fin de simplifier la formulation du schéma numérique spatio-temporel, on introduit trois Courant (C ou Co), le coefficient de
iffusion adimensionnel (ρ), et le nombre de Péclet numérique (Pe), définis par les relations :
⎢⎣=⎟
⎠⎜⎝
Ax
Ai
00 1∂
où l’on a introd rmet de spécifier le degré de décentrage spatial dans la discréti : α = 1 pour un décentrage amont ; α = 1/2 pour un schéma centré ; 3) FORMULATION DU SCHEMA N Anombres adimensionnels « numériques »: le nombre ded
( )2
0
0
0 ; ; x
tDPeC
DxVPe
xtAC
∆∆
==∆
=∆∆
= ρ (23)
En remplaçant ient le schéma numérique détaillé qui correspond à l’équation (17) en régim a qui tient compte
par (21), (22) et (23) dans (20), on obte instationnaire, pour avoir un schém
la fois du régime stationnaire (à 0/ =∂∂ tH ) et instationnaire, nous introduisons la variable LPR (paramètre de reconnaissance de régime), tel que : - LPR = 1 : en régime instationnaire ; - LPR = 0 : en régime stationnaire.
A condition de prendre( )2x∆
aire, nous0 D=ρ en régime stationn aboutissons au résultat
uivant s :
38
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ni
ni
ni
ni
ni
ni
HCHCLPRHC
HCHCLPRHC
11
11
111
)1()1()21(2)1(+ )1(
)1( )21(2 +
+−
++
++−
−−−+−−−−+−
=−−−−−++−
αρσαρσαρσ
αρσαρσαρσ
(24)
Avec ,
( )200
0
)1(LPR(1 ;)1(LPR(1 ; x
tDPeC
xtAC
DxVPe
∆−∆×+
==∆
−∆×+=
∆= ρ (25)
INTRODUCTION DES CONDITIONS AUX LIMITES
Figure 1: Visualisation schématique du maillage (xi) x=0 * ======= 0
+ ======= 1
+ ======= 2
+ ======= 3
+ ======= 4
+ ======= 5
x=L + ======= * 6=N 7=N+1
La Figure 1 montre le maillage utilisé dans M.A.D.0, du moins pour l’interprétation « différences finies ». Une autre interprétation « volumes finis » est possible et devrait être développée de préférence dans les versions ultérieures du code (avec termes sources etc). Dans le cadre de l’interprétation « différences finies », on notera les noeuds internes xi avec i=1,...,N (N = nombre de noeuds internes), et les deux noeuds frontières x0 et xN+1 (Fig.4.1). Il y a donc en tout N+2 noeuds (N internes + 2 frontières). La taille totale du domaine de calcul d’un noeud frontière à l’autre est L’=(N+1).∆x, mais la taille physique réelle du domaine, L, peut être légèrement différente de L’ à une demi-maille ou une maille près, selon la façon dont on interprète la discrétisation et selon le type de conditions limites. Dans tous les cas, la différence relative entre L’ et L s’amenuise lorsque N augmente. Ici, on a supposé des Conditions-Limites particulières, Dirichlet à gauche, et Neuman à droite. On peut introduire ces conditions limites particulières dans le schéma numérique (24) par simple substitution comme suit: • Condition limite à l’entrée (à gauche) de type Dirichlet :
• Si teconsHHtH n tan),0( 00 === : On applique cette condition de Dirichlet au noeud frontière i=0, ce qui donne:
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] 021
12
11
) ()1()1()21(2)1(
)1( )21(2
HCHCHCLPR
HCHCLPRnn
nn
αραρσαρσ
αρσαρσ
++−−−+−−−−
=−−−−−+ ++
(26)
• Si tempsledansiableestHHtH n var),0( 00 == :
39
( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ][ ] 27) (
)1()1()1()21(2)1(
)1( )21(2 1
0021
12
11
+
++
+++−+−−−+−−−−
=−−−−−+nnnn
nn
HCHCHCHCLPR
HCHCLPR
αρσαρσαρσαρσ
αρσαρσ
• Condition limite à la sortie (à droite) de type Neuman :
0),( =
xtLH
∂∂
:
On choisit d’appliquer cette condition de gradient nul (flux diffusif nul) entre les noeuds i=N et i=N+1, c’est-à-dire, à la position midnodale N+1/2, en utilisant une formule de Taylor centrée à deux points. On obtient alors :
NNNN HH
xHH
=⇒=∆−
++
11 0 ,
d’où : ( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ] n
NnN
nN
nN
HCHC
HCHC
)1(1 )1(
1
1
111
αρσαρσ
αρσαρσ
+−−++−
=++++−
−
++− (28)
• Conditions initiales : 0)0,( iHxH = ; 0 < x ≤ L : (29) 1,1 : (x)0
0 +== NiHHi
Le code résout l’équation linéaire (24) à chaque pas de temps formé par N équations avec N inconnues ( .), et sont éliminées par les conditions aux limités. NiH n
i ...1,1 =+ 10+nH 1+n
LH Le code, donc, consistera à résoudre le système suivant pour chaque itération en temps « n+1 », connaissons la solution au pas de temps « n » :
nn bHA =+1 (30.a) ou sous la forme : (30.b) nnn bCLHBHA =+≡+ 1
avec : - A et B : sont des matrices carrées tridiagonales ; - Hn+1=[ ]NiH n
i ..1,1 =+ T : est le vecteur des variables nodales aux noeuds internes au pas de temps « n » ; - bn : est le vecteur nodal qui est connu à chaque pas de temps « n » ; - CL : est un vecteur nodal connu, le « vecteur de Conditions-Limites ».
La structure creuse de la matrice A permet l’utilisation de l’algorithme de Thomas pour inverser le système matriciel (30). CAS EXPLICITE STATIONNAIRE Si on veut résoudre le système précédent en explicite stationnaire (σ=0 et LPR=0), on obtient une matrice A nulle, dans ce cas l’algorithme de Thomas ne marchera plus (division par 0). Pour palier à ce problème, on introduit la variable SWITCH qui permet de remplacer la matrice la matrice A du système (30.b) par la matrice B initial et annule A, et bn par –CL dans le cas explicite stationnaire, et gardera la forme (30) du système dans les autres cas.
40
Donc pour le cas explicite stationnaire, l’algorithme de Thomas résout le système suivant :
CLH n −=+1 B (31) Le système matriciel final à résoudre par la méthode de Thomas aura la forme suivante :
- AM(1)=0 et ( ) ( ) )(1 αρσ CSWITCHiAM +−−= ; i = 2,N;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=A - ( )( )21(2SWITCH- )( )αρσ −−+= CLPRiAO ; i = 1,N-1; 0 ( ) ( )( )αρσ CSWITCHLPRNAO +−+=
0- ( ) ( )1( )(1 )αρσ −−−−= CSWITCHiAP ; i = 1,N-1 et AP1(N)=0.
- BM1(1)=0 et ( ) )1()(1 αρσ CSWITCHiBM +−−= ;i = 2,N;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=B - ( ))21(2)1()( αρσ −−−−−= CSWITCHLPRiBO ; i = 1,N-1; 0 ( ) )1()( αρσ CSWITCHLPRNBO +−−−= ;
0- ( ))1()1()(1 αρσ −−−−= CSWITCHiBP ; i = 1,N-1
⎤⎡ )1(CL( ) ( )[ ] ( )[ ] 100 )1(21)1( ++++−×−= nn HCHCSWITCHCL αρσαρσ
et CL(i)=0, i= 2,N.
Avec ce système, l’algorithme de Thomas peut résoudre le problème danspossibles :
1. stationnaire explicite ; 2. stationnaire implicite ; 3. instationnaire explicite ; 4. instationnaire implicite.
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣
=CL
les différents cas
41
Annexe C. Commandes PALM insérées dans le code BIGFLO
CPALM_UNIT -name mainflow_3DSWIM_3_nu\ C -functions {F77 mainflo}\ C -object_files {../bigflow2/mainflow_3DSWIM_3_nu.o ../bigflow2/libscrip.a}\ C -comment {bigflow2}\ C -minproc 1\ C -maxproc 2 CPALM_SPACE -name vect_space_real\ C -shape (Kmax)\ C -element_size PL_DOUBLE_PRECISION\ C -comment {Vect reels pour communications} CPALM_OBJECT -name dla_theta\ C -space vect_space_real\ C -intent INOUT\ C -time ON \ C -comment {vect de sortie} subroutine mainflo ... CCCC Fichiers PALM CCCCCCC use palmlib !! The Palm interface use palm_user_param !! The PrePALM constant ... CCCCCC Declarations palm CCCCCCCCCCCCCCCCCC CHARACTER*64 cl_name, cl_space INTEGER il_time, il_usrtag, il_err INTEGER il_err2, k, dla_temps DOUBLE PRECISION dla_theta(Kmax) dla_temps = 0 .... CCCCCCCCCCCCCCCCC DEBUT PALM GET : Palm_get Atheta CCC dla_temps = dla_temps + 1 cl_space = 'vect_space_real' il_time = dla_temps il_usrtag = PL_NO_TAG cl_name = 'dla_theta' CALL PALM_Get(cl_space, cl_name, il_time, il_usrtag, dla_theta, *il_err) IF (il_err.ne.0) THEN print*, 'y a un pb... dans le get du theta d''isba au * temps ', il_time CALL PALM_Error_explain(il_err, il_err2) CALL PALM_Abort(il_err) ENDIF ... CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC PALM PUT CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC dla_theta = ATHETA cl_space = 'vect_space_real' il_time = dla_temps il_usrtag = PL_NO_TAG cl_name = 'dla_theta' CALL PALM_Put(cl_space, cl_name, il_time, il_usrtag, dla_theta, *il_err) IF (il_err.ne.0) THEN print*, 'y a un pb... dans le put du theta d''isba au * temps ', il_time CALL PALM_Error_explain(il_err, il_err2) ENDIF ... AND PROGRAM
Déclaration des objets échangés
Palm_GET Récupération des objets
Palm_GET Envoie des objets
Carte d’identité propre à pal
42
43