Courbe de convergenced'un tunnel pour un modèlephénoménologiqued'endommagement

Une solution semi-analytique au calcul de la courbe deconvergence d'un terrain est présentée. Les non-linéarités des matériaux rocheux sont modélisées enutilisant le formalisme de l'endommagementphénoménologique isotrope. Une validation de la solutionpar la méthode des matrices de transfert est proposée. Letunnel du Bois de Peu, près de Besançon, sertd'application concrète aux calculs montrant la possibilitéd'utiliser la mécanique de l'endommagement pour ledimensionnement en travaux souterrains.

Mots -clés : endommagement, convergence-confinement,courbe de convergence, méthode des matrices detransfert, méthode hodographique, tunnels, non-linéarités.

:F., II RTI,N,

Centre d'études des tunnels2 5, av.' Franç a,is -Miuerrand

69674 Bron CedexLMT Cachan, ËNS Cachan

R. DESMORATLMT Cachan, ËNS Cachan6I ,v o"**:,lw:#

A, SnITTALaboratoire régional

des ponts et chausséesd'Aix*en*Pravence

I t7,' rule gmen-Einstern'1 3 7 9 7 Aix*en- Provenc e

l'slIEl=| 3t'l.sllÉ,

Ground reaction curvefor a phenomenological damage model

A closed-form solution of the ground reaction curve ispresented. Non-linearities of rock materials are modelled byusing the isotropic phenomenological damage formalism. Avalidation of the solution by the transfer matrix method isproposed. The cc Bois de Peu > tunnel, ciose to Besançon,provides a pratical appiication to calculations showing thepossibility to use the damage mechanics for design inunderground work.

Key words : damage, convergence-confinement ground reactioncurve, transfer matrix method, hodograph method, tunnels,non-linearities.

| +r,l(,lg| {-,lull-ot<

ifDtfi : I,es discussions surcet article sonf acceptéesjusau'au' !:tr màrs 2t07,

15REVUE FRANçAIsE oe cÉotEcHNteuE

N.1163e trimestre 9006

Elntroduction

ffiHf, IIIIIITi WI[]I

Uendommagement

Le phénomène d'endommagement des matériauxrocheux est connu depuis fort longtemps. Il se traduitconcrètement par une perte progressive de rigidité,accompagnée le plus souvent d'un radoucissement [1].A l'échelle des minéraux, des microfissures s'ouvrententre grains et se rejoignent progressivement (coales-cence) jusqu'à la ruine macroscopique.

On a vu se développer depuis quelques années desmodèles et des concepts d'endommagement des géo-matériaux basés sur la théorie de la mécanique de lafracture et de l'homogénéisation macroscopique 12,31.Ces modèles - répondant parfaitement à la modéli-sation pointue d'ouwages dans des matériaux endom-mageables (argilites, grès, granites, marnes indurées,etc.) - nécessitent toutefois l'identification d'un nombrerelativement important de paramètres avec parfois lamise en oeuvre d'essais compliqués ; ils conduisentsouvent à des difficultés numériques conséquentes,tant au niveau de l'implémentation dans un code de cal-culs par éléments ou différences finis qu'au niveau dutemps de calcul.

La mécanique de l'endommagement phénoménolo-gique - ou mécanique de l'endommagement continu14, 51- est en développement depuis près de 30 ans et amontré son utilité et son efficacité pour un nombreimportant de matériaux et d'applications t6-91. Lesmodèles les plus utilisés ont un nombre restreint deparamètres et un simple essai monotone suffit souventpour leur identification. Pour les roches, le couplage del'endommagement avec la plasticité et la viscoplasticitéa été proposé par plusieurs auteurs [10], en particulierpour les argilites de l'Est de la France [L 1-13]. Dans cesmêmes argilites, des travaux ont été menés sur la rela-tion entre l'endommagement et la perméabilité 1141.

Le présent travail propose une application d'unmodèle simple d'élasticité endommageable [15] au casparticulier des travaux souterrains : le calcul de lacourbe de convergence. La simplicité du modèle per-met d'obtenir une solution semi-analytique pour uncomportement néanmoins fortement non linéaire.

ffiRappel sur la méthodeconverge n ce-co nfi neme nt

La méthode convergence-confinement t16l estd'usage très courant en ingénierie souterraine pour sasimplicité et sa rapidité d'utilisation. Elle permet defixer les ordres de grandeur des convergences et des

, efforts dans les soutènements, et ainsi de prédimen-sionner aisément les cintres, coques de béton projetéou revêtements en béton coffré selon le choix duconcepteur.

Plus qu'une méthode, ce concept repose sur uneformulation entièrement analytique du problème méca-nique 117 , 1Bl, issue de calculs en milieux continus utili-sant des hypothèses simplificatrices :

- axis5rmétrie d'axe V,,I'axe du tunnel :

- massif homogène isotrope,- contraintes initiales isotropes,- cavité circulaire,- cavité à moyenne ou grande profondeur;

- état en déformations planes (e, = 0).

La méthode est basée sur une modélisation simpledu déconfinement progressif du massif autour du frontde tailie par l'introduction d'une pression fictive dontl'évolution est gouvernée par le taux de déconfinementÀ(x) où x est la distance au front de taille t19l (Fig. 1) :

P,(x) = (1- l.(x))oo

où oo est la contrainte initiale isotrope et P' la pressionfictive radiale en paroi.

'n:1iiljif!,1:iltiit;i;ftfÏttfui;#.,ffiii*:inii, Notion de déconfinement en déformationsplanes : introduction d'une pression fictiveP, et du taux de déconfinement À.

Loss of confinement concept in plane strains :

introduction of a fictive pressure P, and a

confinement loss À.

L'interaction soutènement-terrain est prise encompte comme suit : la distance d de pose du soutène-ment pilote directement }e niveau de chargement decelui-ci placé en arrière du front. La courbe de conver-gence qui nous intéresse dans cet article est l'expres-sion de la pression Pr(x) en fonction du déplacement enparoi u(x). I1 s'agit donc d'une courbe paramétrique, deparamètre x. Son intersection avec la courbe de confi-nement - ou de chargement du soutènement - mono-tone croissante donne l'équilibre final du système.

-

La méthode hodographiqueen travaux souterrains

La méthode de calcul dite hodographique a été pro-posée et adaptée aux travaux souterrains par Biot en197 41201, afin d'étudier l'impact du comportement nonlinéaire des roches sur les convergences. EIle futensuite reprise par Detournay et aI. en 1985 1211 quil'utilisèrent pour calculer l'expression de la courbe deconvergence dans Ie cas d'un matériau élasto-plastiqueavec écrouissage positif. Récemment, Mitaim et al. ontutilisé la méthode hodographique dans le cas d'uneapproche modélisant l'endommagement rocheux parla mécanique de la rupture 1221, ainsi que pour unmodèle de sol hyperbolique 1231. Précisons juste, à ce

(1)

16REVUE FRANçAIsE oE cÉorccHNIQUEN'1163" trimestre 2006

stade, que la méthode hodographique décrite ci-aprèsa l'avantage de permettre la reformulation d'un pro-blème aux dérivées partielles en une équation différen-tielle, non linéaire dans le cas des matériaux endom-mageables. Cetfe réécriture des équations de la statiquepermet ainsi de résoudre des problèmes non linéairesavec des méthodes d'intégration numérique courantes(Euler, Runge-Kutta, etc.).

Dans les conditions d'application de la méthodeconvergence-confinement décrites au paragraphe pré-cédent et dans le repère cylindrique habituel, les défor-mations s'expriment en fonction du déplacement Ud'un point:

dU(;n

-'dr

Ute =-;

L'équation d'équilibre s'écrit dans le castrique :

do-*o.-o, _0drr

En combinant (2) et (3) on obtient :

tr-te _de,rdr

Les équations (4) et (5) forment un systèmedéduit l'équation différentielle suivante :

do, _ o.-oed% t,^ -%

Une condition nécessaire à la transformation hodo-graphique est la possibilité d'exprimer les déformationsexclusivement en fonction des contraintes :

t. = t. (o., or) to = e, (o., or) (7)

De cette formulation on tire la différentielle de e, :

de, =#do,.#do, (B)

que l'on introduit dans (6) pour obtenir :

do.dot

âet

âot

_ t. -te _ ôe,

o. - oe ôo.

soit encore l'écriture suivante, plus commode pour lasuite de notre étude :

t. -te * ôt,do, ,_ \ o" - oe âo,., \û., Cg /dO, \- ['/ - v /' ôgt

n s'asit d'une équation diffil:,,elle du premierordre d'inconnue o' fonction de la variable o, dont lasolution est recherchée sous la form€ o, = o0 (o.). La toide comportement du matériau permet de relier lescontraintes aux déformations re = e, (o.). L'équation (3)

sert ici à calculer l'équation de la courbe de conver-$eDCCI :

u--Rxe,(o.)où R est le rayon du tunnel.

-

Loi d'endommagementet expression énergétiq ue

Pour aboutir à une solution explicite de l'équation(9), le modèle d'endommagement choisi ne doit pasêtre trop complexe. Le modèle isotrope de Marigo [15],écrit dans un formalisme thermodynamique simple,accompagné d'une loi d'évolution de Ia variable D enracine carrée de I'énergie élastique, a été choisi. Bienque l'isotropie de l'endommagement rocheux soit unehypothèse très forte, elle permet dans un premiertemps d'obtenir une solution. Cette modélisation donneune expression linéaire de D en fonction des déforma-tions. Avec le formalisme de la mécanique de l'endom-magement l4l,I'énergie libre Y du matériau est écrite (pest la masse volumique) :

pV = 1r'E (- D): e |.1)2\où E est le tenseur de Hooke du matériau sain, supposéisotrope.

La loi d'élasticité endommageable dérive de cepotentiel thermodynamique :

o-p+-E(-n),edE

Fn =Y -"(D)-Y - (sn*ffi)'

(2)

(3)

axisymé-

(5)

dont on

(4)

La variable associée à D est appelée taux de restitu-tion de densité d'énergie ; elle est notée Y et s'exprimeainsi :

(1,2)

(13)

(15)

(It1

REVUE FRANçAIsE or cÉotrcHNteuEN.116

3e trimestre 2006

(6) Y--oôv'aD

foD-J,tr-!çLS

soit encore, en définissantd'endommagement Fo

'

1

2

Dans le cas d'une sollicitation monotone,, commecelle du creusement d'un tunnel classique, I'évolutionde l'endommagement peut être écrite :

siy(14)

siyune fonction critère

de sorte que si Fo < 0, le matériau se comporte de façonpurement élastique et si Fo - 0, l'endommagement évo-lue.

Ce modèle nécessite l'identification de deux para-mètres caractéristiques du matériau considéré, en plusdu module de Young E et du coefficient de Poisson V :

le seuil d'endommagement YD et Ia résistance àl'endommagement S. Le paragraphe 7 explicite ]e rôlede ces deux paramètres.

Dans ces conditions, les hypothèses de déforma-tions planes imposent :

6r=v(or+or) (16)

Soit :

Y--ËbG: *o3 +':) mDr(o.*oe*

6,)'

en remplaça.nt 6, gar son expression (16), on aboutit àune expression uniquement dépendante de o., o', et Dque I'on peut réécrire :

17

(10)

où l'on a posé :

REVUE FRANçAIsE oE cÉorecHNreuEN'1163e trimestre 9006

(18)

Dans toute Ia suite, nous travaillerons en incrémentsglobaux de contraintes et de déformations (entre l'instantt et l'instant initial) de sorte que o - q - oo et t : t, - tcravec oo et r0 respectivement la contrainte et la déforma-tion initiales au point considéré.

ERéëcriture de la loi de comport ement

Pour un matériau endommagé suivant la loi d'évo-lution précédente, l'équation (14) peut aussi s'exprimeren fonction de w. :

D-:[g .m)

En faisant l'hypothèse d'une résistance à l'endom-magement suffisamment élevée, S > nÇ,, l'équationprécédente livre une expression analytique de D enfonction de w", donc en fonction de o, et oe :

D_s-!%-

(21)

M-,{[=FI

_E(s*ffi-)23

ï\T_ Et(r-u)r\ - ô

23'

D _ E3v(t+v)-------T-

S'

.+](25)

(26)

(2t1

(28)

(2e)

(1e)

On en tire une équation du second degré en D :

Validation par la méthodeq- -FLDz _)-r/ Yl

D+ Vw. -{ Yo - 0SS

(20) des matrices detransfert

Par une routine d'intégration numérique, parexemple de ffie Runge-Kutfa, il est ensuite possible decalculer point par point le chemin de contrainte en paroiet de tracer ainsi de manière quasi analy[ique la courbede convergence d'un tunnel. Le détail de la feuille decalcul d'un tableur classique est fourni en annexe.

E

La méthode des matrices de transfert est uneméthode de calcul permettant d'approcher les valeursdu couple déplacement radial-contrainte radiale (U, o")à n'importe quelle distance de Ia paroi d'un tunnel dansle cadre restreint de la méthode convergence-confine-ment. Lacroix expose en détail cette métho de l24l pourla première fois et pour le calcul des structures enRDM. L'application au creusement d'un tunnel et aucalcul de la courbe de convergence a été détaillée parSulem en 19941251. Nous nous proposons dans la suitede vérifier la validité de la solution semi-analytiqueissue de (23) à l'aide de cette méthode et réciproque-ment de valider la programmation de la méthode desmatrices de transfert.

ffiDétail de la méthode

La méthode est basée sur l'utilisation des lois incré-mentales pour exprimer les non-linéarités de compor-tement. Partons de la relation linéaire suivante consi-dérée, dans notre cas, valable pour le problème endéformations planes d'un tunnel circulaire :

2qC-r)

L'intégration de l'équation (9) pour la méthodehodographique nécessite les expressions de e. et t'expressions que l'on obtient aisément en écrivant la loid'élasticité endommageable :

,-E-t'o1-D

En développant et en remplaçant o, par son expres-sion (16), on aboutit alors à :

[ L+v r,

l t. - ô t(-v)o, -vor] = t.(o.'or)

I "Y- ") (22)| L+v rt

fe, - ô t(-v) o, -vo.l = te G.,or)

ECalcul de la courbe de convergence

Les étapes suivantes du calcul de la courbe deconvergence consistent tout d'abord à remplacerl'endommagement D par son expression (21), puis àexpliciter successivement :

r, -t6, 9 rt ôetv' ôo, ôo,

On aboutit au final à l'équation différentielle sui-vante :

do, _ qr@- L)(l-v)(r-L)'- NrI)- (zNo, + por)(l-v)o, -vo,) (2"\d"r

: t4JJ

où l'on a posé :

Ao=[L] :Âe

Il s'agit de la loi de comportement incrémentale, oùf incrément de contrainte est relié à l'incrément dedéformations totales par une matrice [L] (tenseur deHooke en élasticité ou opérateur tangent en plasticité).On peut aisément réduire la notation tensorielle à unenotation matricielle de la loi de comportement enPosant: (lor (ae.\lo=l^'rl et Âr-=ll-'l tSOl

[^orJ [^rrJLa contrainte intermédiaire longitudinale o, n'est

pas nulle, mais elle ne jouera aucun rôle dans la modé-lisation que nous avons choisie : les critères sont expri-més en déformations et rappelons qu'avec le repèrechoisi t, = 0. Les grandeurs mécaniques expriméesdans le repère cylindrique correspondent aux gran-deurs principales.

18F=L- (24)

- le rayon du dernier anneau, qui fixe la condition auxlimites a infinie )) ;- l'épaisseur du premier anneau.

La deuxième incrémentation est celle du déconfine-ment en paroi issu de la méthode convergence-confinement (éq. 1). Pour modéliser cette décompres-sion progressive du terrain autour du front de taille, onconsidérera l'indice j tel que la pression fictive estexprimée comme suit :

/ i\(Pt), = oof t-+ | avec j € {1., ..., M} (3t)\ r./J "[ M)

Divisons le terrain autour du tunnel en un nombreN important de tubes creux concentriques et d'épais-seurs assez petites pour pouvoir considérer que la loilinéarisée (29) est valable sur chaque section ainsi for-mée (Fig. 2). Chaque tranche d'indice i est caractériséepar son rayon pi. On choisit une répartition géomé-trique des rayons , car c'est à Ia paroi que les évolutionssont les plus grandes. Trois paramètres ( numériques >

sont donc introduits ici :

- le nombre total d'anneaux N ;

Cela revient simplement à considérer j incrémentsde déconfinements successifs pour arriver au final àune pression en paroi P, = 0. Le schéma de résolutionest explicite.

La solution analy[ique en contraintes et déforma-tions pour une loi de comportement linéaire et pour untube épais de longueur infinie, soumis à un chargementintérieur et e><térieur, est connue. Il est donc possibled'écrire les solutions analytiques pour chaque anneau[p,, p, * r I de proche en proche : coiltrairement aux éIé-ments finis où les inconnues nodales sont directementles déplacements, les inconnues autour de la cavité cir-culaire sont les constantes d'intégration tranche partranche du problème linéaire tangent (dénotées A et Bci-après).

En se plaçant sur l'anneau i entre [p,, p, *., I et à l'étatde déconfinement j, on peut écrire l'équâtion d'équi-libre en coordonnées cylindriques :

d(Âo.),,: (lo, - aoe)i,: ^''J r '

-tldrr

tions en fonction des déplacements (2,3), on obtient lasolution générale :

(lU),,: = Ar,jpai'i * B,,jp9''' (33)

4'.' et B, , sont les deux constantes d'intégration qu'ilva falloir déterminer, o(ij s1 Fi; deux constantes unique-ment fonction des composantes de Ia matrice tll (i.e.déterminées explicitement à chaque itération) . Lacontrainte radiale se calcule par l'intermédiaire de la loide comportement :

(loJ,,: - Ai,j (Lrru + Lrr),,j po',, * B,,j (LrrÊ *Lp),,, pB'., (34)

- (AU)N, = 0 et (Ao.)r, : # pour chaque incrément de

déconfinement j si on choisit de piloter en contraintes ;

- (Âo.)N,i = 0 et (ÂU),., - Au pour chaque j si on choisit depiloter en déplacéments. Dans ce cas Au est uneconstante fixée à l'avance, correspondant à l'incrémentde déplacement en paroi.

Yti:i

{;a-t

fte

A partir des conditions aux limites et des conditionsde raccordement entre anneaux (interface parfaite), ilreste à déterminer A et B qui sont les inconnues nodales.

Nous devons donc exprimer les incréments dedéplacement et de contrainte radiale AU et Ao- dechaque côté de la frontière matérialisée par le rayotr p,.

Par l'écriture de la continuité mécanique, I'égalité desdeux dernières expressions nous permet directementde relier les constantes Ai _ r., .t B, _ r., de l'anneau i - 1

aux constantes A'., et 8,.' de "l'anneau i. Cette relation

peut s'écrire sous forme d'un système matriciel :

(A' ') r--r (a \

l;ll:t'1,,l;:l | (3b)

\ "''r/ \ n'j)

La matrice [T]i i ainsi obtenue est calculable analyti-quement à partir des données du problème. Il s'agit dela matrice de transfert correspondant à la couche dediscrétisation i et à l'incrément de déconfinement j.

La récurrence précédente permet de trouver lesconstantes de proche en proche - et par conséquent lesincréments de contrainte et de déplacement - mais ildemeure toujours au final deux inconnues parmi lescouples (AU, Ao.),.,. On utilise alors les conditions auxlimites aux bords du modèle pour lever complètementl'indétermination :

(32)

En couplant cette dernière avec la loi de comporte-ment incrémentale (29) et l'expression des déforma-

./'''14 ,"'

/ ï1"1 n'') Lt s /2 .'<'

Discrétisation spatio-déconfinante de la méthode des matrices de transfert (vue en travers et en long du tunneD.Discretization of space and fictve pressure in the transfer matrix method (transversal and longitudinal view of the tunnel).

19REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUE

N'1163e trimestre 2006

ffiCalcul de la courbe de convergenceavec le modèle d'endommagement

Pour tracer la courbe de convergence avec la loid'endommagement choisie, il suffit de calculer explici-tement Ia matrice incrémentale [L]. Dans notre cas, laloi de Marigo (1,+) s'écrit sous la forme du critèred'endommagement Fo (éq. 15).

La condition de consistance Fo = 0 et Fo - 0 impoSe :

v = 0,3, o0 - 1,,25 MPa et R - 6 m). La figure 3 est le résul-tat des deux calculs, comparés entre eux et avec un cal-cul purement élastique, sans endommagement. Onremarque que les courbes de convergence, de cheminde contrainte et d'endommagement sont rigoureuse-ment identiques. Par ailleurs, la comparaison avecd'autres jeux de paramètres permet de valider la solu-tion semi-analytique ainsi que l'implémentation numé-rique par la méthode des matrices de transfert.

Le chemin de contrainte concorde bien avec lesobservations en paroi. L'endommagement fait chuterla contrainte orthoradiale tandis que la contrainteradiale continue de diminuer pour finalement s'annulerà la fin du déconfinement. Cet amoindrissement deI'effet de votrte entraîne une augmentation du déplace-ment radial du massif. La courbe de convergence leconfirme très nettement.

-

Aralyse de sensibilité aux paramàresd'endommagement Yo et S

La loi d'endommagement de Marigo utilise quatreparamètres , E, V, Yo et S. L'identification de ceux-ci, àpartir d'un essai triaxial, sera explicitée au para-graphe B.

La figure 4 présente les résultats comparés du che-min de contrainte et de la courbe de convergence pourdifférentes valeurs de S allant de 0,25 à lMPa1/z. Onobserve ainsi que le paramètre S pilote la rapidité àlaquelle la roche s'endommage. Plus S est grand et plusle matériau se rapproche d'un comportement parfaite-ment élastique. Pour des faibles valeurs, la chute decontrainte orthoradiale o, est beaucoup plus rapide etle calcul s'arrête bien plus tôt (perte d'unicité).

Sur la figure 5, la valeur de la résistance à l'endom-magement S a été fixée et c'est Ia valeur du seuild'endommagement Yo qui varie. Ce seuil, exprimé enénergie élastique, simule donc bien le moment où lespremiers symptômes d'endommagement se font res-sentir. Dans bien des cas les matériaux rocheux ont uncomportement non linéaire dès les premières déforma-tions. Les chemins de contrainte et les courbes deconvergence réels se rapprochent donc plus de ceux

en remplaçant dans l'équation (371, on obtient la formeincrémentale suivante :

Ën =+y++D=oaY aD

Ce qui donne :

D= ,t -zs$n+JÇ)Or, sachant que Ie tenseur d'élasticité [E] est

trique :

El= (1 - n)tEt- tllË (Ë)' [Elur 2s(sD*,uÇ)

Y = (df [n]e

(36)

(37)

symé-

(38)

(3e)

(41)

La loi d'élasticité s'écrit sous forme incrémentale :

A = (1- n)[E]E - D[E]d (40)

En remplaçant Dpar son expression (39), on a 6 - El ' J

avec pour matrice tangente :

Grâce à cette matrice, il est possible de calculer deproche en proche les incréments de déplacement Auet de contrainte radiale Âo" pour chaque tranche de ter-rain consid érée

Pour valider Ia feuille de calcul basée sur la méthodehodographique, nous avons comparé les résultats issusdes deux méthodes pour un exemple, celui d'un tunnelroutier classique à une cinquantaine de mètres de pro-fondeur (S = 0,35 }y4Pal/z Yo = 0,005 MPa, E - B0 MPa,

8 4.**-*--'.'*."*-fi Ë,2 û,4 A.6 0.8 1 1 ,3 1.4

S,gmar {Iræe}

WComparaisondesdeuxméthodespourrrnexempledevalidation(contrainteinitialeoode1,25MPa).Comparison of the two methods for the seiected validation example.

20REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN" 1163e trimestre 2006

- ûr*itÊ élastique

+ $*0.?sx $*û.3$b $: 0.4$

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du chemin de contrainte (à gauche) et de la courbe de convergence (à droite) pour(en MPal/2) à YD fixé (en MPa).of the stress way (on the left) and of the GRC (on the right) for various values of S (in MPalz)

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Variation normalisée du chemin de contrainte (à gauche) et de la courbe de convergence (à droite) pourdiverses valeurs de Yo (en MPa) à S frxé (en MPav2).Dimensionless variation of the stress way (on the left) and of the GRC (on the right) for various values of Y" (in MPa) forS fixed (in MPal/21.

ECas des marnes du tunneldu Bois de Peu

ffiPrésentation du projet et de la géologie

Le tunnel du Bois de Peu est un des ouwages d'art deIa future RN 57, appelée cr voie des Mercureaux ), quipermettra de contourner l'agglomération de Besançon parle sud. Les travaux du tunnel, constitué de deux tubeslongs de 500 mètres chacun, ont débuté à l'été 2005.

L'ouwage se situe entièrement dans des formationssédimentaires du Jurassique. Il traverse tout d'abord, surune centaine de mètres depuis la tête Doubs, le flanc estde l'anticlinal de la Citadelle puis Ie flanc ouest de l'anti-clinal de La Chapelle des Buis. Ces structures se chevau-chent les unes sur les autres par le biais de quatre faillesmajeures et d'une multitude de discontinuités, dans lescalcaires, issues du mouvement compressif global(Fig.6). La présence de marnes homogènes, roches trèsdéformables, dans la partie sud-est du tracé s'ajoute à lacomplexité d'ensemble du modèle géologique et apoussé à la réalisation de reconnaissances détaillées.

Une galerie de reconnaissance a ainsi été creuséesur toute Ia longueur du proj et et 41 sondages ont étéréalisés et exploités pour définir 18 unités géologiqueset géotechniques.

21REVUE FRANçAIsE oe cÉorecuNteuE

N' 1163e trimestre 2006

4

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WProfilentraversdutunnelduBoisdePeudansunesectioncourante(rayonmoyend,excavationde6m).Transversal cut of the < Bois de Peu tunnel > in a common section.

22REVUE FRANçAISE DE GEOTECHNIQUEN'1163e trimestre 9006

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x R*.çultæts *xp*rimëfituus {Pc = 1CIilkPa}

31

Courbes q/t, et qor/t" de la marne pour une pression de confinement de 1O0 kPa.q/e., and euo,/e., curves of the marl.

ffiApplication du modèle aux marnes du Toarcien

La tête sud de l'ouvrage se situe dans les marnes àfaible pourcentage de CaCO, du Toarcien et de l'AaIé-nien. Le LRPC d'Aix-en-Provence a réalisé une cam-pagne d'essais spécifiques sur ces marnes rencontréeslors de la réalisation du sondage horizontal carottéSCH2000 t261. La roche que nous avons étudiée est uneargile marneuse du Toarcien, homogène et continue àl'échelle de l'ouvrage.

Le comportement intrinsèque du matériau est for-tement plastique. Mais en étudiant un peu plus endétails les résultats des essais triaxiaux CD aux petitesdéformations , et en l'absence d'essais de décharge, onpeut le représenter par le modèle d'élasticité endom-mageable précédent.

Les résultats triaxiaux bruts limités aux petitesdéformations sont fournis (Fig. B), avec une pression deconfinement de 100 kPa. On remarque une forte non-linéarité dès le début de l'essai. La courbe de déforma-tions volumiques montre deux phases bien distinctesde contractance puis de dilatance.

Supposons que l'endommagement n'interviennepas de la même façon pour les déformations déviato-riques et isotropes 11,61. On fait alors intervenir unnouveau paramètre n qui module la variable D pour lapartie isotrope des déformations (en compression ici) :

o - 2G(1, - D)eo + K(1 - qD)e,,o,1 (421

G et K sont respectivement le module de cisaille-ment et de compressibilité de la roche, mesurés avecles tangentes initiales de l'essai triaxial. Dans le cas d'unessai triaxial, avec oz = 03 : P., on peut développer lesexpresions de o, et or. Le déviateur est alors :

De la même maniere, il est possible d'exprimer letaux de restitution de densité d'énergie Y. L'énergielibre s'exprime ainsi :

q - 2G (1, - D) (e, - er)

Sachant que tuol = tr * 2r=,on peutfaçon suivante :

D-1,- , Q

G(3e, - s,,or)

(45)

le cas

(46)

Il suffit ensuite de calculer le couple (D, Y) pourchaque point expérimental, grace aux équations (44) et(46). L'expérience montre que lors de la phase decisaillement d'un échantillon, en condition triaxiale derévolution, l'endommagement déviatorique est prédo-minanl tt) (cf. t1l) ce qui justifie de poser Tl - 0 en pre-mière approximation. Le résultat est donné sur lafigure 9. Chaque point est issu de l'exploitation directedes deux courbes de I'essai triaxial.

Par ailleurs nous avons à notre disposition Iemodèle de Marigo qui relit D à Y par le biais de l'équa-tion (14). I1 nous suffit donc de choisir les valeur ad hocde Yo et S pour que Ie modèle se rapproche le plus de laloi d'évolution expérimentale. Le modèle choisi avec lesparamètres suivants est représenté en trait plein sur lafigure 9, E = 24 MPa, v - 0,4, Yo = 0, S= 0,177 },dPal/z.

Pour vérifier que nos paramètres sont bien choisis,,il est possible de retracer la courbe (q, rr) avec l'évolu-tion de D pilotée par notre modèle. Le résultat estsuperposé au trait continu sur la figure B, graphe degauche.

A titre d'illustration enfin, il est possible de calculerla courbe de convergence du tunnel du Bois de Peu àfaible profondeur et à court terme (Fig. 10). Bienqu'étant à la limite d'applicabilité de la méthode conver-gence-confinement, les résultats sont tout de même

(1) La compression purement isotrope peut toutefois entraîner unendommagement très important jusqu'à la ruine de l'échantilion soustrès fort confinement. C'est le cas pour les roches très poreuses (craiespar exemple) ou pour les effets à long terme causés par la dilatance.

pv = G(1- D)rD: rD .+K(1- îtD)eî",

Et par définition (éq. 13), développée dansparticulier de l'état triaxial de révolution :

Y - f c(3r, - €,,or)2 .5 sfor

(43)

exprimer D de Ia

e3REVUE FRANçAISE DE GÉOTECHNIQUE

N" 1163e trimestre 9006

(44)

a,g 'tt1

1

t

1

1.8,s1

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i o.eIi

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i

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1, *,2

1

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it...i.

^,,2

l'.W Évolution de l'endommagement D de Iamarne en fonction de la variable Y en MPa.Damage evolution D of the marl function to theY variable in MPa.

intéressants : ils permettent, au stade du prédimension-nement, de mieux appréhender qualitativement le com-portement de l'ouwage et de comparer différentes loisconstitutives. La courbe élastique endommagées'éloigne du calcul purement élastique pour atteindreune convergence finale absolue de 38 mm (soit 3 mm deplus et une déformation orthoradiale finale de 0,6 %environ). L'ordre de grandeur des convergences obte-nues avec cette méthode - très faibles car considérées àune profondeur modérée, pour coller avec notremodèle - n'a bien sûr pas été dimensionnant pour le cal-cul du soutènement du tunnel de Bois de Peu. Il s'agitsimplement d'une première étape vers une modélisa-tion numérique 2D ou 3D, plus conforme.

Comparaison avec un modèIe éIastoplastiqueLe calage des paramètres du modèle de Mohr-Cou-

lomb est possible à partir de notre essai triaxial. Lemodule de Young est alors pris égal à 19,2 MPa et lecoefficent de Poisson à 0,4. Le couple cohésionc = 50 kPa et angle de frottement interne g = 25" permetd'obtenir la courbe élasto-plastique représentée en traitpointillé sur la figure B, graphe de gauche.

La convergence finale qui en découle, calculée àpartir des formules élastoplastiques de la littérature l17lest de 44,8 mm soit pratiquement celle du calcul pure-ment élastique (très peu de plasticité à ce niveau decontrainte et pour le modèle choisi). La prise en compted'une élasticité linéaire ( équivalente )) donne uneconvergence légèrement plus importante que celle cal-culée avec la loi d'endommagement.

En d'autres termes, il est possible d'identifier unmodèle d'endommagement pour l'argile marneuse duToarcien et d'envisager un dimensionnement en tra-vaux souterrains.

EConclusion

^ / ,Après avoir présenté succinctement la méthode de

O A calcul hodographique, nous avons développé, à l'aide

L'tREVUE FRANçAIsE oe cÉorecHNreuEN'1163e trimestre 2006

0ourbe de convergence et endommagemenl D

fffi Exemple de courbe de convergence pour letunnel du Bois de Peu (valeurs normaliséespour oo = 100 kPa et U" = 35 mm).Example of GRC for the r< Bois de Peu > tunnel.

de cette dernière, l'expression de la courbe de conver-gence dans le cas d'un endommagement isotrope detype Marigo. La validation de cette solution a été effec-tuée conjointement à la programmation de la méthodedes matrices de transfert.

L'application de ce modèle sur un exemple concret apermis de tracer la courbe de convergence cor-respondante. Ce cas simple a mis en évidence la possi-bilité de prendre en compte un type de comportementnon linéaire, élastique endommageable, dans les calculsde convergence-confinement. Cette approche constitueune alternative intéressante au modèle de Mohr-Cou-lomb lorsque les déformations élastiques restent impor-tantes face aux déformations plastiques irréversibles.C'est Ie cas des roches tendres aux petites déformationset des roches homogènes dites cc fragiles I dans leurensemble. Lorsque cela est possible, ce comportementendommageable est très bien mis en évidence sur unessai triaxial avec décharge. Comparativement auxmodèles élastoplastiques courants, on conserve lenombre restreint de paramètres à identifier: deux para-mètres d'élasticité E, v ; un seuil d'endommagement Yoet un paramètre d'endommagement S.

L'application plus générale des lois d'endommage-ment continues pour le dimensionnement des travauxsouterrains (calculs 2D et surtout 3D) passera obliga-toirement par plusieurs étapes de perfectionnement :

- Ies expérimentations montrent que Ia raideur initialedu matériau rocheux, après consolidation isotrope,augmente avec le confinement [1, 26].Ceci n'est pastraduisible par un mécanisme d'endommagement seul,mais par un mécanisme additionnel de refermeturegraduelle des micropores et des micro-fissures [6] ;

- la détermination précise du seuil d'endommagement,lorsqu'il existe, et sa modélisation corrune dépendant de lapression de confinement sont deux points à approfondir;

- la modélisation de l'anisotropie du matériau, initialeou induite par l'endommagement, permettra de rendrecompte de façon plus précise des phénomènes obser-vés 16, 1,2, 131 ;

- le couplage endommagement-plasticité et l'intégra-tion des effets différés, essentiels pour les roches pré-sentant une ductilité certaine 127, 131 ;

Q,8

û.7

û,8

û,5

0,3

rJ,?

0,1

x Rèsultats expérirnentaux

* MsdÈte de Marigo

- l'utilisation de lois d'endommagement avec un com-portement post-pic beaucoup moins brutal que celuiutilisé dans cet article. Ce dernier surestime assez for-tement la dégradation du matériau étudié.

Il faut par ailleurs garder à l'esprit qu'afin d'être uti-lisés en travaux souterrains, Ies modèles développés

ffiFeuill e de calcul automatique

La figure A.1 représente la partie ( haute )) de lafeuille de calcul produite par le Cetu pour calculer lacourbe de convergence et le chemin de contrainte avec

-87 -F23;- F7 = SB$10.(1 - (($B$12 - RACINE($8913))/(2.$B$12)) + RACTNE(((($B$12 _ RACTNE($B$13))/SB$12)^2+ 4*((RACINE($B$13) - RACINE(I -$B$1.1^2)/(2.$B$10).(Ef2 +L7^2) - $B$11.(1 + $B$11)/$B$10*87*L7))/gBg72))/4));-G7=-(4*F7*(F7-$8$16)"(1 -$B$11).((F7-$B$16f2-$B$17)-(2*$B$18.E7+$B$19.L7).((1-$B$11).L7-$B$11*E7)y(4*F7.[F7*$B$16F(1-$B$11F([F7-$B$16)2-$B$17)-(2.$B$18.L7+$B$19.E7)*(1-$B$11FL7-$B$11.E7));

-H7 =87 +$B$27/2;

-17 =L7 +$B$27/2*G7;

- J7 = $8$10.(1 - (($B$12 - RACINE($B$13))/(2.$B$12)) + RACINE(((($B$12 - RACINE($B$13))/ $8g12)"2 +4.((RACINE($B$13) - RACINE(I -$B$77^2)/(2.$B$10).(H7^2 +17^2) - $B$11. (1 + $B$11)/$B$10*H7*I7))/LB$14)/ù;-K7=-(4*J7*(J7-$8$16).(1 -$B$11).((J7-$B$16f2-$B$17)-(2.$B$18*H7+$B$19*I7)*((1 -$B$11)I7-$B$11.H7)(4.J7.(J7-$B$16X1-$B$11F(J7-$B$16)2-$Bg1z)-(2.98$18*17+$B$19.H7F(1-$B$11Fr7-$B$11.H7);-L7 =822;-M7=E7+$B$B;- N7 = L7 + $B$B;

- 07 = 1000*$B$7.((1 + $8$11).((1 - $B$11FL7 - $B$11.E7)Æ7) ;

-P7=1-(F7l$B$10).Pour les lignes B à 10O correspondant à 100 points de calcul il suffit de changer l'indice de lignste) dans les formules.Pour les colonnes E et L, la formule change à partir de Ia ligne B :

- EB = $B$23 + (- $B$B - $B$23)/($B$26 - 1).D7 ;

- LB = L7 + $B$27.K7.

Les résultats sont contenus dans les colonnes M(oJ, N(o.), O(U) et P(D).

(2) Sauf pour les valeurs précédées de $.

.WPrésentationdelafeuilledecalculautomatiqueduCetu.Presentation of the Cetu automatic worksheet.

dewont conserver leur simplicité d'identification, touten apportant un gain de compréhension avéré desmécanismes rocheux. En particulier, les modèlesd'endommagement continus dewaient s'avérer extrê-mement utiles pour la compréhension des mécanismesrencontrés dans les tunnels profonds creusés au rocher.

le modèle proposé au paragraphe 3. Cette feuille four-nit une résolution de l'équation (23) par la méthode deRunge-Kutta 2. Les données sont à rentrer dans letableau de gauche, colonne B.

Le contenu des autres colonnes du tableau, d'aprèsla Fig. A.1,, pour la ligne 7 est calculé par les formulessuivantes :

*r. rtion de Ëuns*-Krtttâ e dsd

Étx,lJ , f{n,y} r X:a+hlZ ; 1=u.hlâ'ff*.tl i Ë1i1.11 , lllt.tt $iqmr Sioma th*t u nli'>:

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