formation magistère – cycle 3 « résolution de problèmes

Présentiel 1

Formation Magistère – Cycle 3

« Résolution de problèmes arithmétiques »

Le temps de la mise en place, vous pouvez réfléchirà cette question :

Un problème mathématique, c'est quoi ?

Merci d'inscrire, anonymement, une définition ouquelques mots-clés sur les papiers à disposition...

Introduction

Deuxième temps de formation faisant partie du « plan maths »mis en place au niveau national. Point sur les modalités.

« Présentiel 2 » le mercredi 12 décembre : - G1 : de 8h30 à 10h ; - G2 : de 10h15 à 11h45.

Diaporama et autres ressources disponibles sur padlet :

https://padlet.com/jeromeblondel59/presentiel1rpa

Plan de l'intervention

I – Les enquêtes, les programmes

II – Enseigner la RPA : gestes professionnels, analyses de productions d'élèves et apports didactiques.

III – Les problèmes pour apprendre à chercher

10h30 : pause

Première partie :

Les enquêtes, les programmes

I- Les enquêtes, les programmes

L'évaluation internationale TIMMS

Organisée par l’IAEEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement), l’enquête évalue les performances des élèves (CM1, 4e, Terminale) en maths et en sciences, dans le monde entier.

La France a participé aux études sur le niveau des élèves de CM1 et de Terminale (TIMSS Advance).

Les résultats sont inquiétants ; ils décrivent une importante chute des performances en Terminale S et de grandes difficultés en primaire.

I- Les enquêtes, les programmes

L'évaluation internationale TIMMS

France : rang 35/49

I- Les enquêtes, les programmes

I- Les enquêtes, les programmes

I- Les enquêtes, les programmes

Enquête CEDRE (DEPP)

CEDRE = Cycle des Evaluations Disciplinaires Réalisées sur un Echantillon

I- Les enquêtes, les programmes

Enquête CEDRE (DEPP)

I- Les enquêtes, les programmes

Il convient donc de reconsidérer l'enseignement de la RPA...

Que disent les programmes ?

Quels sont les trois domaines qui composent les programmes de mathématiques ?

→ Nombres et calculs, Grandeurs et mesures, Espace et géométrie.

Comment apparaît donc la RP ?

→ De façon transversale, dans les différents domaines.

Quels sont les 6 grands verbes associés aux activités mathématiques dans les programmes ?

→ Chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer.

I- Les enquêtes, les programmes

Quelques éléments importants des programmes...

(…) l'institutionnalisation des savoirs dans un cahier de leçons est essentielle.

Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d'enrichir le sens des opérations.

Problèmes à une ou plusieurs étapes relevant des structures additive et/ou multiplicative.

(…) problèmes relevant de la proportionnalité

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs...

Deuxième partie :

Comment enseigner la RPA à l'école ?

Gestes professionnels, analyses de productions d'élèves et

apports didactiques.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

II-1) Le développement des gestes professionnels

Mise en activité (travail par 2 ou 3) :

Résoudre le problème proposé (« Les achats de Lise ») et réfléchir aux gestes professionnels qu'il convient de mettre en œuvre pour en faciliter la résolution par les élèves...

LES ACHATS DE LISE

Lise a 10€. Le paquet de gâteaux qu'elle aime coûte 3,49€. Une bouteille de soda coût 1,29€.Combien lui manque-t-il pour acheter deux paquets de gâteaux et trois bouteilles de soda ?

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Le développement des gestes professionnels

Enrichissement des propositions :

Vidéo « Les achats de Lise »

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Le développement des gestes professionnels

La dévolution du problème

Les outils à disposition, les problèmes de référence

Les modalités de la phase de recherche : travail individuel, en binôme, en groupe

La mise en commun, les postures enseignantes (Dominique Bucheton) et le guidage, les procédures

L'institutionnalisation

L'entretien d'explicitation

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

II-2) L'analyse des productions des élèves

Comme l'entretien d'explicitation, elle permet à l'enseignant de mieux comprendre les procédures utilisées par les élèves et donc de mieux définir les aides à apporter.

Mise en activité (travail par 2 ou 3) :

Analyser les productions d'élèves proposées au prisme des 3 questions qui suivent :

1) Quelles sont les réussites ?2) Comment expliquer les erreurs commises ?3) Quelles aides apporter pendant la résolution ?

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

II-3) Apports didactiques

Point sur les idées reçues, les représentations...

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Il convient de questionner les problèmes suivant une typologie organisée comme suit :

- les problèmes élémentaires ;

- les problèmes complexes (« à étapes ») ;

- les problèmes atypiques (« problèmes pour chercher »).

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Dans les pratiques, un glissement s'est opéré de « faire résoudre des problèmes » à « apprendre à résoudre des problèmes » (méthodologie).

Les tâches préliminaires à la résolution ne sont pas efficaces (sélectionner les informations utiles/inutiles, trouver la question...). Ces tâches sont simultanées au traitement du problème et ne constituent pas un préalable.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Un exemple de protocole fantaisiste :

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Les apports de la psychologie cognitive (Jean Julo)

Deux processus cognitifs entrent en jeu :

- les processus représentationnels (le sujet construit une représentation mentale du problème qui peut lui en évoquer un autre, déjà résolu) ;

- les processus opératoires (le sujet déclenche un traitement qui peut être inféré de sa mémoire ou nouvellement construit).

Ces processus interagissent et cette interaction permet de conduire à la résolution.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

La représentation du problème :

- ne se réduit pas à la compréhension de l'énoncé (ce n'est pas une situation de compréhension de texte)

- passe par 3 « sous-processus »... Les voici...

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

« Sous-processus » 1 : interprétation et sélection des informations (elles ne sont pas évidentes pour les élèves et dépendent des connaissances de l'élève en lien avec le contexte).

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

« Sous-processus » 2 : structuration Les élèves restent parfois bloqués parce qu'ils n'envisagent pas de sortir du cadre qu'ils ont fixé et qui pourtant n'est pas efficace.

Relier les 9 points par une ligne brisée composée de quatre segments et qui passe une fois et une seule par chacun des points.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

« Sous-processus » 3 : opérationnalisation

C'est le processus qui permet le passage à l'action effective (calcul, tracé...) ou mentale (raisonnement).

Ce processus résulte de la mise en œuvre de connaissances opératoires, issues de nos expériences passées.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Trois types de stratégies :

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

La mémoire des problèmes :

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Il est urgent et crucial d'enrichir la mémoire des problèmes de chaque élève, en commençant par les problèmes élémentaires.

Autant que possible, les élèves doivent pouvoir mener à terme la résolution d'un problème rencontré...

La difficulté persistante des élèves réside dans le fait qu'ils ne sont pas assez souvent mis en situation de RP.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Quelle base utiliser pour les problèmes de référence (notamment les problèmes élémentaires) ?

Une proposition : la typologie de Vergnaud (1990).

La typologie s'organise autour de deux grands axes qui correspondent aux deux champs conceptuels liés au calcul : le champ additif (+/-) et le champ multiplicatif (x/:).

Cette typologie présente de nombreux intérêts pour l'enseignant mais ne doit pas être utilisée en l'état pour les élèves.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

La typologie de Vergnaud : les intérêts pour l'enseignant.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Exemples de problèmes élémentaires multiplicatifs

Caractéristiques des problèmes élémentaires :- pas de donnée superflue ;- une syntaxe facile ;- un contexte facile à comprendre.

Objectif : il s'agit de permettre aux élèves de réussir seuls ces problèmes.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Inférences et contrôles :

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Les problèmes complexes (ou « à étapes »)

Un problème complexe se définit par l'agrégat de problèmes élémentaires cachés.

Au cinéma « Royal Ciné », un adulte paie 6€ par séance et un enfant 4€ par séance. À la séance de l'après-midi, il y avait 50 adultes et des enfants. À la séance du soir, il y avait 15 adultes et 20 enfants. La recette de la journée est de 542€.

Combien y avait-il d'enfants à la séance de l'après-midi ?

(Distanciel 2)

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Les gestes mentaux à mettre en œuvre lors de la résolution d'un problème complexe

Mettre en relation les informations de l'énoncé.

Identifier les sous-problèmes calculables, ce qui implique d'avoir mis en mémoire des problèmes élémentaires résolus.

Qualifier les résultats intermédiaires :- qualification faible : l'unité ;- qualification forte : explicitation de l'intérêt de cette recherche dans le problème donné.

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

2 propositions de dispositifs à mettre en œuvre :

1ère proposition : Viser une catégorisation, implicite ou explicite, des problèmes résolus

- relier les problèmes résolus et consigner ces relations dans un outil structurant ;

- proposer à la résolution non pas un seul problème à la fois mais plusieurs qui se ressemblent (raisonnement, données numériques...)

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

Un exemple pour cette première proposition :

Pour Noël, Mathilde reçoit 30€ de sa grand-mère et 20€ de son oncle. Combien Mathilde a-t-elle reçu d'argent ?

Pierre et Louise ont ramassé des pommes dans leur jardin. Pierre a 30 pommes dans son panier, Louise en a 20. Combien de pommes ont-ils ramassées en tout ?

Dans un bac, un maçon réalise un mélange composé de 20kg de ciment et de 30kg de sable. Quelle est la masse du mélange avant qu'il n'y ajoute de l'eau ?

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Apports didactiques

2ème proposition : Les variations de problèmes

Il s'agit d'apprendre aux élèves à voir dans la même situation différentes façons de combiner des nombres, de leur demander de résoudre ces problèmes ressemblants puis d'expliciter avec eux les ressemblances et différences.

Exemple : les problèmes des tulipes

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Quelques ressources

II- Comment enseigner la RPA à l'école ?

Et maintenant...

LA PAUSE !

Troisième partie :

Les problèmes pour apprendre à chercher

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Mise en situation

Des problèmes pour apprendre à chercher ont été distribués. Les résoudre (feuilles de brouillon à disposition) et rechercher l'(les) intérêt(s) de mettre en œuvre ce type de problèmes avec les élèves.

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Pourquoi proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher ?

Quelles fins pour les activités de RP ?

- permettre la construction et l'appropriation de nouvelles connaissances ;

- utiliser de acquis et en contrôler la disponibilité ;

- développer l'aptitude à chercher.

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Pourquoi proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher ?

En quoi consiste la RP pour beaucoup d'élèves ?

→ Rechercher le calcul à faire avec les nombres de l'énoncé.

→ Appliquer ce qui vient d'être vu en classe.

→ Une fois un résultat produit, attendre le verdict du maître pour savoir si « c'est bon » (au lieu de vérifier par soi-même ou de s'interroger sur la vraisemblance du résultat).

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Pourquoi proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher ?

Les problèmes pour apprendre à chercher ont donc vocation à déconstruire ces « mauvaises habitudes ».

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Pourquoi proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher ?

Définition du problème en psychologie cognitive (Jean Brun)

«  Situation initiale avec un but à atteindre, demandant à un sujet d'élaborer une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but. Il n'y problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n'est pas disponible d'emblée, mais possible à construire. »

[Cette définition s'appuie moins sur la notion de traitement de l'information que celle vue précédemment.]

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Pourquoi proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher ?

Cette définition fait également intervenir à la fois les connaissances antérieures du sujet, les possibilités qu'il a de mobiliser des procédures ou des résultats mémorisés, ses capacités à gérer des données et des procédures, à inventer, à contrôler...

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Pourquoi proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher ?

La preuve que les expériences antérieures facilitent la résolution...

Passer sur les 16 points une seule fois, en 6 traits, sans lever le crayon.

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Pourquoi proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher ?

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Une autre piste pour voir les choses autrement : le dispositif ACE

Recherche menée conjointement dans 4 académies : Rennes, Aix Marseille, Lille, Versailles.

III- Les problèmes pour apprendre à chercher

Une autre piste pour voir les choses autrement : le dispositif ACE

4 axes forts :

- importance de la quantification par estimation ;

- pratique guidée du recodage sémantique en RP ;

- calcul mental intensif avec automatisation des connaissances procédurales ;

- maniement de divers systèmes de représentation et d'écritures symboliques.

CONCLUSION

Aborder la RPA autour de 3 catégories : problèmes simples, complexes, pour apprendre à chercher.

Enrichir la mémoire des problèmes de chaque élève.

Pour les problèmes simples, possibilité d'utiliser la classification de Vergnaud.

Pour les problèmes complexes, qualifier les résultats intermédiaires.

Proposer des problèmes pour apprendre à chercher.

Développer des gestes professionnels spécifiques : dévolution du problème, outils (problèmes de référence), modalités de la phase de recherche, entretien d'explicitation, analyse des procédures dans les productions, posture lors de la mise en commun, institutionnalisation (cahier mémoire).

CONCLUSION

Et on n'oublie pas le « DISTANCIEL 2 » !

Merci à vous, bon appétit et bonne fin de journée !