apprentissage des mathématiques résolution de problèmes

1Roland Charnay - 2009

Apprentissage des

mathématiques

Résolution de problèmes

Calcul mental

Sur la résolution de problèmes

Roland Charnay - 2009 2

• La maîtrise des principaux éléments de

mathématiques s'acquiert et s'exerce

essentiellement par la résolution de problèmes,

notamment à partir de situations proches de la

réalité. (socle commun, 2006)

• La résolution de problèmes joue un rôle

essentiel dans l’activité mathématique. Elle est

présente dans tous les domaines et s’exerce à

tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008)


Quelques indicateurs

sur les acquis des élèves


Evaluation sixième

• Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés).

• Deux domaines particuliers de difficultés

– le calcul mental : • 72 % de réussite aux questions "de base"

• Exemples : le quart de 100 (68 %) 36 divisé par 4 (56 %)

– la résolution de problèmes


Deux points faibles caractéristiques

• "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants".

• Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles".

Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006


Quatre enjeux importants

• Compréhension des connaissances (sens)

• Disponibilité des connaissances (problèmes)

• Résultats et techniques mémorisés ou réfléchies

• Idée correcte du "travail mathématique"


Un exemple du rôle de la

résolution de problèmes

dans l’apprentissage des

nombres

en maternelle et au CP


Du sens pour les nombres

Exemple de la mémoire des quantités

La situation "de référence"

Préparer juste ce qu'il faut de bouchons

pour en avoir un pour chaque bouteille.


Exemples de problèmes en PS et MS

– Collections assez nombreuses et proches• Placer les bouchons : respect de la contrainte

– Jusqu'à 7 ou 8 bouteilles, bouchons proches• Préparer sur un plateau avant de placer

– Jusqu'à 4 ou 5 bouteilles, bouchons éloignés• Aller chercher avec un plateau (en plusieurs fois, puis en une

seule fois)

– Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons éloignés mis dans des sachets de 1, 2 ou 3 bouchons

• Aller chercher en plusieurs fois, puis en une seule fois


En GS et début de CP

Un problème de référence

Préparer juste ce qu'il faut de gommettes

pour réparer le robot

Un type de problème

à faire vivre

en maternelle au CP

D’après Cap maths CP


Une condition : Les gommettes sont dans une boîte éloignée du robot

• Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes

pour réparer le robot (allers-retours possibles).

• Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste

assez de gommettes pour réparer le robot.

• Les demander oralement

• Les commander par écrit


Des compétences nécessaires pour réussir

SAVOIR DENOMBRER

par différents moyens

• Reconnaissance immédiate de petites quantités

• Reconnaissance de quantités repères : constellations, doigts…

• Comptage un par un

Pour cela

connaître la comptine ORALE des nombres


Les compétences techniques…

… n'ont d'intérêt que si elles sont au

service de la résolution de

problèmes ;

… mais certaines compétences

techniques doivent être "routinisées"

pour être utilisables.


Les élèves et la

résolution de problèmes

Un constat

Une analyse

Des propositions


Un problème "classique" Evaluation 6e

Xavier range les 50 photos de ses dernières

vacances dans un classeur.

Chaque page contient 6 photos.

a) Combien y a-t-il de pages complètes ?

b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?

Il y a ……… pages complètes. 54 %

Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %


Procédures possibles

• Division par 6• Division (étudiée depuis CE2-CM1)

• Encadrement par deux multiples de 6• Table de multiplication (depuis CE2)

• Addition de 6 en 6• Addition (depuis CP-CE1)

• Schématisation des pages et des photos• Dénombrement (depuis CP)


Une question

Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…

- ne pensent-ils pas…

- n’osent-ils pas…

- ne se croient-ils pas autorisés…

… (à) les utiliser pour répondre à la question?


Eléments d'analyse


Schéma d’analyse sommaire

Connaissances

- en lecture

- sur le contexte

- mathématiques

- sens des notions

- raisonnement

- calcul

Connaissances

- sur ce qui est attendu

- sur ce qui est permis

- sur ce qui marche souvent

- sur "l'accueil" des erreurs


A la bonne place (évaluation CE2)

Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.

367 582 309

300 400 500 600

300 309 400 367 500 582 600


Quelques pistes

pour le travail avec les élèves


Apprendre…

… le sens du mot chercher


Un mot à double sens !

• Chercher parmi les solutions expertes déjà

éprouvées si certaines sont applicables directement

• Imaginer, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, un peu comme le chercheur


Donner du sens aux situations pour pouvoir

donner du sens aux concepts

Place des manipulations aux cycles 1 et 2

Favoriser…

l'appropriation du problème


Dix dans la boîte (Cap maths CP)

- deux joueurs

- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.


Dix dans la boîte : 3 problèmes

• Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à

chaque coup

• Plusieurs solutions… dont les nombres

• Connaître le contenu de la boîte

• Vers l’addition

• Savoir s’il est possible de gagner au coup

suivant

• Vers le complément


REEL / ANTICIPATION

Réel

Favorise

l’appropriation de la

situation et du

problème

Anticipation

Incite à l'expérience

mentale

Permet la validation de

la réponse ou d'une

procédure

Oblige à élaborer des

procédures


Exploiter

la diversité des procédures

• Favoriser la diversité

• Exploiter la diversité

• Aider au progrès des élèves


Le calcul mental

Deux objectifs

- Mémorisation : résultats et procédures

- Réflexion : élaboration de procédures


Comment aider les élèves

à mémoriser les tables ?


Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ?Exemple avec 6 X7

Quel est le résultat de 6 x 7 et de 7 x 6 ?

Combien de fois 6 dans 42 ?



Quel est le résultat de 42 : 6 et de 42 : 7 ?

Comment décomposer 42 sous forme de produit ?

Addition et multiplicationDes conditions différentes

• Addition

– Mémorisation complète

– Mémorisation partielle et reconstruction

instantanée

• Multiplication

– Mémorisation complète


Une démarche identique

• Comprendre pour mieux mémoriser

• Des résultats reconstruits avant d’être mémorisés

• Des résultats organisés en répertoire

• Des points d’appui– Commutativité

– Appui sur des résultats connus (doubles, voisins)

– Régularités

• Etapes de l’apprentissage– Par zones numériques pour l’addition

– Par tables pour la multiplication

– Conscience de ce qui est su et de ce qui reste à apprendre

• Entraînement

• Conditions de mémorisation et conditions de rappel



Comment aider les élèves

à progresser en calcul réfléchi ?

Trois points importants

• Il y a toujours plusieurs procédures

correctes de traiter un calcul

• Il faut pouvoir s’appuyer sur des résultats

mémorisés sûrs

• La connaissance de quelques propriétés

des opérations est indispensable


Exemple avec 18 + 42

Action justification

Calcul de 42 + 18 (plus

facile)

On peut permuter les 2 termes

42 + 8 + 10 On peut décomposer un terme (avec +)

42 + 20 - 2 On peut décomposer un terme (avec -)

40 + 10 + 2 + 8 On peut décomposer les 2 termes, puis

regrouper

…


Résultats mémorisés indispensables

- Répertoire additif

- Compléments à la dizaine supérieure

- Calcul sur les dizaines entières

- Ajout ou retrait d’un nombre inférieur à 10 ou d’un nombre entier de

dizaines à un nombre quelconque

Exemple avec 25 x 12

Action justification

25 x 10 + 25 x 2 On peut décomposer un terme (avec + ou -)

et distribuer

25 x 4 x 3 On peut décomposer un terme (avec x) et

associer

(12 : 4) x 100 On peut décomposer un terme (avec :)

…

…


Résultats mémorisés indispensables

- Répertoire multiplicatif

- Multiplication par 10, 100… ou dizaine simple

- Relations entre nombres courants (15, 30, 60 / 25, 50, 100 / …)

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