droite achevée

Universit de RouenLicence 3 Mathmatiques

20122013Mesure & Intgration

La droite relle acheve

1. LA DROITE RELLE ACHEVE

Il est parfois pratique de complter R en lui ajoutant ses deux bouts : et +.On appelle lensemble obtenu la droite relle acheve, R = {}R {+}. On no-tera aussi [0,+] = R+ {+} la demi-droite positive acheve. Toutes les propritsdonnes ci-dessous pour la droite relle acheve se transposent la demi-droite parrestriction.

1.1. Ordre sur R. La premire remarque est quon peut munir R dune relation dordretotal, en ajoutant lordre usuel de R les relations naturelles :

< x

DROITE RELLE ACHEVE 2

puis on pose, pour tout x, y R,d(x, y)= h(x)h(y) .

On a alors :

Proposition 2. d est une distance sur R, qui fait donc de(R,d)

un espace mtrique, avecles proprits suivantes :

1. La fonction h est un homomorphisme isomtrique et strictement croissant entre(R,d)

et([1,1], | |).

2.(R,d)

est compact, et R est ouvert dans R.

3. Lidentit est un homomorphisme entre(R,d|R

)et(R, | |).

Dmonstration.

1. Il est clair que h est une bijection croissante entre R et [1,1]. Ceci permet de d-montrer que d(x, y) = 0 si et seulement si x = y , tous les autres points vrifier pourmontrer que d est une distance tant immdiats.On a aussi que h est une isomtrie, donc un homomorphisme, directement grce la dfinion de d .

2. R est compact car homomorphe [1,1], et R en est un sous-ensemble ouvert caril est homomorphe louvert ]1,1[ de [1,1].

3. Cest une consquence directe du fait que h est un homomorphisme entre R et]1,1[, ce qui est un rsultat classique danalyse des fonctions trigonomtriques.

2. LIMITE SUPRIEURE, LIMITE INFRIEURE DUNE SUITE

Le fait que toute partie non vide de R admet des bornes suprieure et infrieurepermet de gnraliser un certain nombre de rsultats classiques sur les suites et lessries. Par exemple, on a

Proposition 3.

1. Toute suite (xn)n0 dlments de R croissante converge dans R, et

limn+xn = supn0 xn .

2. Toute suite (xn)n0 dlments de R dcroissante converge dans R, et

limn+xn = infn0 xn .

3. Si (xn)n0 est une suite dlments de [0,+], alors la srie de terme gnral xnconverge dans [0,+] (au sens o la suite des sommes partielles converge dans[0,+]), avec

n0xn = sup

n0

( nk=0

xk)

On continuera nanmoins dire quune suite ou une srie est convergente lorsquelleconverge vers une limite finie.

Dmonstration. Exercice.

4 octobre 2012 Jean-Baptiste Bardet Universit de Rouen

DROITE RELLE ACHEVE 3

La droite relle acheve est enfin le bon cadre pour introduire les notions de limitesuprieure et de limite infrieure dune suite :

Dfinition 1. Soit (xn)n0 une suite dlments de R, alors on appelle limite suprieure de la suite (xn)n0 llment de R dfini par

limn+xn = limsupn+ xn = limn+

(supin

xi)= inf

n0

(supin

xi)

;

on appelle limite infrieure de la suite (xn)n0 llment de R dfini par

limn+

xn = liminfn+ xn = limn+

(infin

xi)= sup

n0

(infin

xi)

.

Remarque 2. Les expressions en termes de sup et inf sont bien dfinies car toute par-tie de R admet des bornes suprieure et infrieure dans R. Pour se convaincre quellescoincident avec les expressions en termes de limites, il suffit de remarquer que la suiteMn = supin xi est une suite dcroissante, donc converge vers sa borne infrieure, etque la suite mn = infin xi est une suite croissante, donc converge vers sa borne sup-rieure.

On vrifie directement partir des dfinitions les proprits suivantes des limitesinfrieure et suprieure :

Proposition 4.

1. Soit (xn)n0 et (yn)n0 deux suites dlments de R. Alors :

limsupn+

(xn + yn) limsupn+

xn + limsupn+

yn

liminfn+ (xn + yn) liminfn+ xn + liminfn+ yn

2. Soit (xn)n0 une suite dlments de R et f : RR une application continue etmonotone. Alors :

f

(limsup

n+xn

)= limsup

n+f (xn) et f

(liminfn+ xn

)= liminf

n+ f (xn)

si f est croissante ;

f

(limsup

n+xn

)= liminf

n+ f (xn) et f(liminfn+ xn

)= limsup

n+f (xn)

si f est dcroissante.

Ces deux notions sont fortement relies aux valeurs dadhrence de la suite (xn)n0,dfinies et caractrises par les dfinition et proposition suivantes :

Dfinition 2. Soit (xn)n0 une suite dlments de R. R est une valeur dadhrencede (xn)n0 si, pour tout voisinage V de , et pour tout N 0, il existe n N tel quexn V .Remarque 3. Il suffit en fait de vrifier la dfinition pour une base de voisinages de .Dans le cas de R, on prendra en gnral les intervalles ouverts ],+[ (avec > 0)pour R ; les intervalles ouverts ]K ,+] (avec K ) si =.Proposition 5. Soit (xn)n0 une suite dlments de R. R est une valeur dadhrencede (xn)n0 si et seulement sil existe une sous-suite de (xn)n0 qui converge vers .

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DROITE RELLE ACHEVE 4

Dmonstration. Exercice, ou voir un cours de topologie. On a alors :

Proposition 6. Soit (xn)n0 une suite dlments de R. Alors,1. infn0 xn liminfn+ xn limsupn+ xn supn0 xn .2. limsupn+ xn (resp. liminfn+ xn) est la plus grande (resp. la plus petite) va-

leur dadhrence de (xn)n0.3. La suite (xn)n0 converge vers R si et seulement

liminfn+ xn = limsupn+ xn = .

Dmonstration. On note de nouveau Mn = supin xi et mn = infin xi .1. Pour tout n 0, infi0 xi mn Mn supi0 xi , ce qui donne le point 1. en passant

la limite en n.

2. Vrifions tout dabord que toute valeur dadhrence de la suite (xn)n0 est compriseentre liminfn+ xn et limsupn+ xn : soit une valeur dadhrence et (xnk )k0 unesous-suite de (xn)n0 convergente vers . Alors, pour tout k 0, mnk xnk Mnk , soiten passant la limite (car Mnk est une sous-suite de Mn donc converge aussi vers lalimite suprieure, et il en est de mme pour mnk vers la limite infrieure) :

liminfn+ xn limsupn+ xn .

Montrons maintenant que M = limsupn+ xn est une valeur dadhrence pour lasuite (xn)n0 : si M R, par dfinition de la limite suprieure, on a que pour tout > 0 :

il existe N0 tel que MN0 0, il existe n tel que < mn Mn < + .Mais pour tout k n, on a aussi mn xk Mn , donc xk ] ,+ [. Ceci montreexactement que la suite (xn)n0 converge vers .Les cas = se dmontrent en adaptant le raisonnement aux voisinages de .

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1. La droite relle acheve1.1. Ordre sur R1.2. Oprations sur R1.3. Topologie de R

2. Limite suprieure, limite infrieure d'une suite