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Nom : _______________________________________________ Date : ____________________________ Groupe : ________ © Éditions Grand Duc Merci de ne pas photocopier Corrigé du matériel reproductible 8-1 Module 8 – CST Retour sur les apprentissages Exercices p. 206 à 226 Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes 1. Associez chacune des inéquations suivantes au graphique correspondant. Inéquations : a) Le graphique 3. Le graphique 2. c) b) Le graphique 4. d) Le graphique 1. Graphiques : 1) 3) 2) 4)

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes

1. Associez chacune des inéquations suivantes au graphique correspondant.

Inéquations :

a) Le graphique 3.

Le graphique 2.

c)

b) Le graphique 4. d) Le graphique 1.

Graphiques :

1)

3)

2)

4)

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8-2 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

2. Associez le graphique correspondant à chacune des inéquations ci-dessous. Ensuite, pour chaque association, vérifiez si les quatre points suivants font partie de la région-solution ou non.

Points : P(2, 7) M(–3, –5) N(0, 0) Q(1, –2)

Inéquations :

Le graphique 2. Les points P et N font partie de la région-solution, a)

mais pas les points M et Q.

Le graphique 4. Les points P, M, N et Q ne font pas partie b)

de la région-solution.

Le graphique 3. Les points P, M, N et Q ne font pas partie c)

de la région-solution.

Le graphique 1. Les points P, M, N et Q ne font pas partie d)

de la région-solution.

Graphiques :

1)

3)

2) 4)

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

3. Traduisez les situations suivantes à l’aide d’inéquations.

a) Soit x le nombre de tulipes et y le nombre de jonquilles.

Judith désire agrandir son jardin afin qu’il y ait au moins trois fois plus de tulipes que de jonquilles.

b) Soit x le nombre de tomates et y le nombre de concombres.

Simon dispose de 6,50 $ pour acheter des tomates et des concombres. Un concombre coûte 0,60 $ et une tomate 0,75 $.

c) Soit x le nombre de sacs de terre et y le nombre de sacs d’engrais.

Chaque sac d’engrais permet de couvrir une surface de 7 m2 tandis que chaque sac de terre permet de couvrir une surface de 5 m2. La surface totale couverte d’engrais ne doit pas dépasser le double de la surface totale couverte de terre.

4. Traduisez la situation suivante à l’aide d’un système d’inéquations, en prenant soin de bien définir les variables, et représentez le polygone de contraintes dans le plan.

Joëlle a invité 40 personnes chez elle et se demande combien de pizzas et de poulets elle doit commander pour nourrir tout le monde. Un poulet peut convenir pour au plus quatre personnes alors qu’une pizza peut nourrir jusqu’à cinq personnes. Joëlle veut qu’il y ait au moins deux fois plus de pizzas que de poulets.

x : le nombre de pizzas.

y : le nombre de poulets.

Système d’inéquations :

Le polygone de contraintes est représenté par la région ombrée dans le plan ci-contre.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

5. Traduisez le problème suivant par un système d’inéquations, en définissant correctement les variables que vous aurez choisies. Ensuite, représentez le polygone de contraintes dans le plan.

Josée vend des fruits et des légumes dans un kiosque, dont des fraises à 5 $ le panier et du maïs à 8 $ la douzaine. Selon son expérience, elle vend entre 60 et 121 épis de maïs par jour. De plus, elle vend au moins trois fois plus de paniers de fraises que de douzaines d’épis de maïs pour répondre à la demande de sa clientèle. Finalement, elle sait que ses revenus journaliers sont toujours inférieurs à 280 $.

x : le nombre de paniers de fraises.

y : le nombre de douzaines d’épis de maïs.

Système d’inéquations :

Le polygone de contraintes est représenté par la région ombrée dans le plan ci-dessous.

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Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

6. Dans le plan cartésien ci-contre, on a tracé les droites associées aux inéquations suivantes, puis on a numéroté les régions ainsi délimitées.

a) Déterminez la ou les régions dont les coordonnées des points :

1) ne sont des solutions d’aucune des inéquations ;

La région 1.

2) sont des solutions d’une seule inéquation ;

Les régions 2 et 6.

3) ne sont des solutions que de deux inéquations ;

Les régions 3, 5 et 7.

4) sont des solutions de toutes les inéquations.

La région 4.

b) Déterminez la région représentant le polygone de contraintes des systèmes d’inéquations suivants.

1)

2)

La région 6. La région 2.

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8-6 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

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Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

7. Joey prévoit un voyage qui l’amènera à parcourir une partie du Canada, d’est en ouest. Il souhaite faire une certaine distance à vélo et une autre en train, tout en minimisant ses dépenses. Pour mieux analyser la situation, il a écrit les inéquations la décrivant.

1) 3) 5)

2) 4) 6)

a) En vous référant au contexte de cette situation, définissez les variables utilisées et expliquez en mots chacune des contraintes.

Plusieurs réponses possibles. Exemple :

x : le nombre de kilomètres parcourus en vélo.

y : le nombre de kilomètres parcourus en train.

Contrainte 1 : La distance totale du voyage ne doit pas dépasser 780 km.

Contrainte 2 : La distance parcourue en train doit être au moins le triple de la distance parcourue en vélo.

Contrainte 3 : La distance parcourue en train doit être au minimum de 200 km.

Contrainte 4 : Joey estime que chaque kilomètre parcouru en vélo lui coûtera 0,48 $ comparativement à 1,20 $ en train. Il s’attend à ce que ses déplacements lui coûtent au moins 180 $.

Contrainte 5 : La distance parcourue en vélo ne peut pas être négative.

Contrainte 6 : La distance parcourue en train ne peut pas être négative.

b) Représentez la situation à l’aide d’un graphique.

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Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

8. Pour chacune des inéquations ci-dessous, précisez le ou les points, parmi les suivants, qui font partie de sa région-solution.

L(4, 4) M(–5, 7) N(0, 8) P(–6, –9) Q(–21, 0)

a) Les points L et N.

b) Aucun de ces points.

c) Le point P.

d) Les points L et N.

e) Les points L, M, N et Q.

f) Aucun de ces points.

9. Parmi les inéquations suivantes, lesquelles délimitent le polygone de contraintes qui correspond au triangle ABC ?

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Les inéquations 2, 6 et 7. Démarche :

L’équation de la droite AB est , celle de la droite BC et celle

de la droite AC .

La droite AB est la droite frontière des inéquations 4 et 7, la droite BC celle des inéquations 2 et 8, et la droite AC celle des inéquations 5 et 6.

En utilisant un point situé à l’intérieur du polygone de contraintes, par exemple le point (2, 2), on peut vérifier si les inégalités associées aux droites frontières sont vraies ou non. On détermine ainsi que les inégalités 2, 6 et 7 sont vraies.

Inégalité 2 :

Vraie

Inégalité 6 :

Vraie

Inégalité 7 :

Vraie

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Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

10. a) Déterminez les contraintes, sous la forme d’inéquations, qui délimitent le polygone de contraintes représenté dans le graphique suivant.

Contraintes :

1)

2)

3)

4)

b) En considérant que x représente un nombre de billets au parterre d’un amphithéâtre et y un nombre de billets dans les gradins, décrivez une situation qui pourrait être en lien avec les contraintes trouvées en a).

Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Charles est chargé d’acheter des billets pour un spectacle. Il s’attend à ce qu’au moins deux de ses amis, mais pas plus de 10, préfèrent être assis dans les gradins. Il croit qu’au maximum quatre de ses amis vont opter pour une place au parterre. En somme, il observe que la différence entre le nombre de billets achetés pour des places dans les gradins et le double du nombre de billets achetés pour des places au parterre ne peut pas dépasser 1.

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Exercices p. 206 à 226

Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

11. Paul et Jeanne ont concocté un moût de pommes maison qu’ils veulent commercialiser. Ils souhaitent offrir deux formats de bouteille, soit de 500 mL et de 750 mL. Ils savent qu’ils auront besoin d’au plus 125 bouteilles au total et qu’au minimum 30 d’entre elles seront de 500 mL. Comme ils s’attendent à ce que le format de 750 mL soit le plus populaire, ils veulent offrir un plus grand nombre de bouteilles de ce format, sans toutefois que ce nombre dépasse le double du nombre de bouteilles de 500 mL. Finalement, la différence entre le nombre de millilitres contenus dans les bouteilles de 750 mL et ceux contenus dans les plus petites bouteilles doit être supérieure à 2500 mL. En considérant que x représente le nombre de bouteilles de 500 mL et y le nombre de bouteilles de 750 mL, définissez les inéquations qui représentent cette situation et représentez la situation dans le plan ci-dessous.

Système d’inéquations :

Le polygone de contraintes est représenté par la région ombrée dans le plan ci-contre.

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8-10 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

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Module 1 Les systèmes d’inéquations et le polygone de contraintes (suite)

12. Dans le cas de chaque situation ci-dessous, représentez les contraintes à l’aide d’inéquations, en définissant ce que représentent les variables.

a) Pour organiser une fête réussie, Élise doit inviter au moins autant de filles que de garçons. Or elle ne peut réunir plus de 50 personnes en même temps.

x : le nombre de filles.

y : le nombre de garçons.

Système d’inéquations :

b) Éric veut dépenser la monnaie qu’il a accumulée en pièces de 25 ¢ et de 10 ¢. En tout, il estime avoir amassé au moins 5 $. Le nombre de pièces de 25 ¢ est inférieur à la moitié du nombre de pièces de 10 ¢. La différence entre les deux nombres de pièces n’est pas plus grande que 15.

x : le nombre de pièces de 10 ¢.

y : le nombre de pièces de 25 ¢.

Système d’inéquations :

c) Caleb fait l’élevage de veaux et de cochons en vue de les vendre. Chaque veau se vend 700 $ et chaque cochon 560 $. Caleb ne peut pas vendre plus de 200 animaux par année, compte tenu de la grosseur de sa ferme, mais ses ventes doivent être supérieures à 100 000 $ pour assurer un bon roulement. Il élève toujours au moins trois fois plus de cochons que de veaux.

x : le nombre de veaux.

y : le nombre de cochons.

Système d’inéquations :

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Module 2 L’optimisation

13. Déterminez les coordonnées exactesdes sommets du polygone de contraintes illustré ci-contre, sachant que les équations des droites frontières sont les suivantes.

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont ,

et . Démarche :

Équations des droites formant le polygone de contraintes :

Droite AB :

Droite AC :

Droite BC :

Point d’intersection des droites AB et AC :

Le point d’intersection est .

Point d’intersection des droites AB et BC :

Le point d’intersection est .

Point d’intersection des droites AC et BC :

Le point d’intersection est .

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8-12 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

14. Dans tous les cas qui suivent, représentez graphiquement les systèmes d’inéquations donnés et déterminez les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.

a)

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont et . Démarche :

Point d’intersection des droites AB et AC :

Le point d’intersection est .

Point d’intersection des droites AB et BC :

Le point d’intersection est .

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Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

14. (suite)

b)

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont , et . Démarche :

Point d’intersection des droites AB et AC :

Le point d’intersection est .

Point d’intersection des droites AB et BC :

Le point d’intersection est .

Point d’intersection des droites AC et BC :

Le point d’intersection est .

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8-14 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

14. (suite)

c)

Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont ,

et . Démarche :

Point d’intersection des droites AB et AC :

Le point d’intersection est .

Point d’intersection des droites AB et BC :

Le point d’intersection est .

Point d’intersection des droites AC et BC :

Le point d’intersection est .

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Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

15. Traduisez les contraintes des situations suivantes par des inéquations, en indiquant ce que représentent les variables dans la situation, et déterminez la fonction à optimiser.

a) Pour financer son voyage à New York, Karine vend des oranges en caisses de 4,5 kg et de 9 kg, au coût respectif de 25 $ et de 40 $. L’école exige qu’elle vende au moins trois fois plus de caisses de 4,5 kg que de 9 kg. De plus, le nombre de caisses de 9 kg vendues doit être supérieur à 7, tandis que le nombre de caisses de 4,5 kg vendues doit être au maximum 20.

x : le nombre de caisses de 4,5 kg d’oranges vendues.

y : le nombre de caisses de 9 kg d’oranges vendues.

Contraintes :

Fonction à optimiser :

b) Philippe prépare un voyage à Ottawa qu’il compte effectuer en partie en voiture et en partie en train. Il sait qu’il ne parcourra pas plus de 500 km et estime que la distance parcourue en train devrait être d’au moins 112 km. De plus, il souhaite faire au plus quatre fois moins de kilomètres en voiture qu’en train. Finalement, sachant que la vitesse moyenne d’une voiture est de 95 km/h et que celle d’un train est de 175 km/h, il doit chercher à minimiser la durée de son voyage.

x : la distance parcourue en voiture (km).

y : la distance parcourue en train (km).

Contraintes :

Fonction à optimiser :

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8-16 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

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Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

16. Jean, qui est architecte paysagiste, planifie l’installation de lampes solaires chez un de ses clients. Certaines lampes (au coût unitaire de 45 $) seront suspendues alors que d’autres (au coût unitaire de 52 $) seront plantées dans le sol. Jean estime qu’il faudra entre 15 et 25 lampes pour éclairer le terrain correctement. Il a déjà déterminé quatre endroits où se trouveraient des lampes plantées, mais pense en placer davantage. Pour ce qui est des lampes suspendues, il doit y en avoir au moins trois. De plus, Jean tient à ce qu’il y ait au maximum trois fois plus de lampes suspendues que de lampes plantées. Finalement, il sait que l’installation d’une lampe suspendue exige 35 minutes de travail alors qu’une lampe plantée n’en exige que 20.

a) Les inéquations ci-dessous représentent les contraintes de cette situation, et le quadrilatère tracé dans le plan cartésien est le polygone de contraintes. Associez chacune des inéquations au côté correspondant du polygone de contraintes si x représente le nombre de lampes suspendues et y le nombre de lampes plantées.

1)

2)

3)

4)

5)

L’inéquation 1 correspond au côté .

L’inéquation 2 correspond au côté .

L’inéquation 3 correspond au côté .

L’inéquation 4 correspond au côté .

L’inéquation 5 correspond au côté .

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

16. (suite)

b) Les dépenses liées à ce projet sont constituées des coûts des matériaux et de la main-d’œuvre, dont le salaire horaire est de 9 $. Combien de lampes de chaque type Jean doit-il acheter pour minimiser le coût total de ce projet ? Quel sera ce coût ?

Jean doit acheter 11 lampes à suspendre et 4 lampes à planter dans le sol pour minimiser ses dépenses, qui s’élèveront alors à 772,75 $. Démarche :

Fonction à optimiser :

Sommets :

A(3, 22)

B(3, 12)

C(11, 4)

D(12, 4)

E(18,75, 6,25)

Coût :

La fonction atteint le coût minimal de 772,75 $ au point C(11, 4).

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8-18 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

17. Une boutique de location de vélos propose deux forfaits pour des groupes de personnes qui souhaitent aller en randonnée. Le forfait 1 comprend trois vélos et cinq tandems, et le forfait 2 quatre vélos et quatre tandems. La boutique dispose de 60 vélos et de 80 tandems. Chaque vélo se loue : 9 $/h et chaque tandem 12 $/h. Cette situation est représentée dans le plan cartésien ci-dessous, où x représente le nombre de forfaits 1 et y le nombre de forfaits 2.

a) La propriétaire de la boutique cherche à optimiser ses revenus. Dans le graphique ci-dessus, tracez une droite représentant la fonction à optimiser. Donnez son équation.

Fonction à optimiser :

b) Quels sont les revenus maximaux que peut espérer la propriétaire ? Expliquez votre réponse.

La propriétaire peut espérer des revenus maximaux de 1608 $ si elle vend 4 forfaits 1 et 15 forfaits 2. Démarche :

Sommets :

A(0, 0)

B(16, 0)

C(4, 15)

D(0, 15)

Revenus :

Des revenus maximaux de 1608 $ sont atteints au point C(4, 15).

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

18. Dans chaque cas ci-dessous, déterminez les contraintes de la situation illustrée par le polygone de contraintes et donnez les coordonnées des sommets du polygone.

a)

Contraintes :

Sommets :

Démarche :

Il faut d’abord trouver les équations des droites formant le polygone de contraintes à l’aide des points donnés pour chacune des droites.

Droite AB :

Droite AC :

Droite BC :

On détermine le symbole d’inégalité de chacune des contraintes en vérifiant la région-solution à l’aide du polygone de contraintes.

On détermine les sommets du polygone de contraintes en trouvant les points d’intersection des droites.

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8-20 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

18. (suite)

b)

Contraintes :

Sommets :

Démarche :

Il faut d’abord trouver les équations des droites formant le polygone de contraintes à l’aide des points donnés pour chacune des droites.

Droite AB :

Droite BC :

Droite CD :

Droite AD :

On détermine le symbole d’inégalité de chacune des contraintes en vérifiant la région-solution à l’aide du polygone de contraintes.

On détermine les sommets du polygone de contraintes en trouvant les points d’intersection des droites.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

19. Traduisez les contraintes des situations suivantes par des inéquations et trouvez les coordonnées des sommets du polygone de contraintes déterminé par ces inéquations.

a) Gilbert veut ouvrir prochainement un parc aquatique. Il souhaite que le nombre de glissades avec tube soit supérieur à 21 et que le nombre de glissades sans tube soit d’au moins 5. De plus, il veut que le nombre de glissades avec tube dépasse un de moins que le double du nombre de glissades sans tube. Finalement, il voudrait avoir un maximum de 40 glissades.

x : le nombre glissades avec tube.

y : le nombre de glissades sans tube.

Contraintes :

x � 0

y � 0

Sommets :

b) Yasmila, qui travaille à la billetterie du Biodôme, a observé le nombre d’entrées qu’il y a eu jusqu’à maintenant depuis le début de sa journée de travail. Elle a remarqué qu’il y avait au moins trois fois plus d’enfants que le nombre d’adultes. De plus, le nombre d’enfants ne dépassait pas 55 tandis que le nombre d’adultes était supérieur à 10.

x : le nombre d’enfants.

y : le nombre d’adultes.

Contraintes :

x � 0

y � 0

Sommets :

c) Dans son coffre à crayons, Amélie a au moins cinq crayons à mine. Le nombre de stylos ne dépasse pas le triple du nombre de crayons plus 4. De plus, la somme du double du nombre de stylos et du triple du nombre de crayons est d’au moins 60.

x : le nombre de stylos.

y : le nombre de crayons à mine.

Contraintes :

x � 0

y � 0

Sommets :

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Module 2 L’optimisation (suite)

20. Les responsables d’un camp de jour organisent une activité de canot. La boutique de location de canots leur propose deux modèles, soit des canots pour 10 enfants se louant 22 $ par jour et des canotspour 5 enfants se louant 15 $ par jour. Le polygone de contraintes associé à cette situation est représenté dans le plan ci-contre.

a) Déterminez les inéquations qui délimitent le polygone, puis décrivez avec des mots les contraintes en lien avec ces inéquations.

x : le nombre de canots pour 5 enfants.

y : le nombre de canots pour 10 enfants.

Contraintes :

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Contrainte 1 : Il y a 185 enfants au maximum.

Contrainte 2 : Le nombre de canots pour 10 enfants correspond au plus au double du nombre de canots pour 5 enfants.

Contrainte 3 : Le nombre de canots pour 5 enfants est au moins de 5.

Contrainte 4 : Le nombre de canots pour 10 enfants est au moins de 5.

Contrainte 5 : Le nombre de canots pour 5 enfants ne peut pas être négatif.

Contrainte 6 : Le nombre de canots pour 10 enfants ne peut pas être négatif.

b) Si le camp de jour souhaite minimiser le coût de location, combien de canots de chaque modèle faut-il louer ? Quel sera alors le coût ?

Le coût minimal de location sera de 185 $ en louant 5 canots pour 5 enfants et 5 canots pour 10 enfants. Démarche

Fonction à optimiser :

Sommets :

A(5, 5)

B(27, 5)

C(7,4, 14,8)

D(5, 10)

Coût de location :

Le coût minimal de 185 $ est atteint au point A(5, 5).

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Module 2 L’optimisation (suite)

21. Observez le polygone de contraintes ci-contre.

a) Déterminez les inéquations qui forment le polygone de contraintes.

Contraintes :

b) Déterminez les coordonnées des sommets du polygone de contraintes.

Sommets :

Point d’intersection des droites :

c) Si représente des profits à optimiser, quel serait le sommet optimal ?

Le sommet C est celui qui correspond à des profits maximaux de 42,50 $. Démarche :

Sommets :

Profits :

Des profits maximaux de 42,50 $ sont atteints au point C.

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Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

22. Définissez les variables dans chacune des situations suivantes, puis déterminez les contraintes et la fonction à optimiser.

a) Au restaurant du coin, on observe que l’on sert au moins autant d’assiettes de pain doré que d’assiettes de crêpes. On prépare habituellement de 4 à 21 assiettes de pain doré. La propriétaire aimerait connaître les revenus maximaux générés si elle vend une assiette de crêpes 12 $ et une assiette de pain doré 9 $.

x : le nombre d’assiettes de crêpes.

y : le nombre d’assiettes de pain doré.

Contraintes :

y � x x � 0

y � 4 y � 0

y � 21

Fonction à optimiser : R = 12x + 9y

b) Dans un café étudiant, on remarque que la différence entre le nombre de chaises et le nombre de tables est d’au moins 25. On y compte plus de 5 chaises et au moins 7 tables. Le coût d’achat d’une chaise est de 15 $ alors que celui d’une table est de 25 $. Quel serait le coût de remplacement minimal du mobilier du café étudiant ?

x : le nombre de chaises.

y : le nombre de tables.

Contraintes :

x – y � 25 x � 0

x > 5 y � 0

y � 7

Fonction à optimiser : C = 15x + 25y

c) À la cafétéria d’une école, on note qu’il y a au moins deux fois plus d’assiettes que de tasses. On observe également qu’il y a plus de 32 tasses, mais pas plus que 157. Le coût d’une assiette est de 3 $ et celui d’une tasse est de 2 $. Il faut remplacer ces pièces de vaisselle, et la directrice de l’école veut minimiser le coût d’achat.

x : le nombre d’assiettes.

y : le nombre de tasses.

Contraintes :

x � 2y x � 0

y > 32 y � 0

y � 157

Fonction à optimiser : C = 3x + 2y

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Module 2 L’optimisation (suite)

23. Dans chaque cas ci-dessous, délimitez sur le graphique le polygone de contraintes associé aux inéquations données et déterminez les coordonnées des sommets de ce polygone.

a)

Sommets :

Point d’intersection des droites :

b)

Sommets :

Point d’intersection des droites :

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Exercices p. 206 à 226

Module 2 L’optimisation (suite)

24. Charlotte est l’ingénieure chargée de l’achat des lampadaires pour la ville de Sainte-Rolande.On lui a remis une liste de contraintes à respecter.

La ville doit être éclairée par au moins 65 lampadaires de 5 m de haut. Il doit aussi y avoir plus de 40 lampadaires de 3 m de haut. On doit trouver au maximum trois fois plus de petits lampadaires que de grands. En tout, il ne peut y avoir moins de 140 lampadaires. Chaque lampadaire de 3 m coûte 380 $ et chaque lampadaire de 5 m coûte 420 $.

Représentez cette situation dans le plan ci-dessous à l’aide d’un polygone de contraintes. Tracez également la fonction à optimiser.

x : le nombre de lampadaires de 3 m.

y : le nombre de lampadaires de 5 m.

Contraintes :

x � 0

y � 0

Fonction à optimiser :

ou

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Module 3 Les transformations géométriques dans le plan cartésien

25. Soit le triangle ayant pour sommets A(3, 5), B(–4, 8) et C(–2, –7). Déterminez les coordonnées des sommets de la figure image du triangle ABC par :

a) la réflexion sx ;

b) la translation t(–2, 11) ;

c) la réflexion sy ;

d) l’homothétie ;

e) la translation t(5, –2).

26. On applique successivement deux transformations géométriques au plan cartésien sur lequel la figure 1 ci-dessous a été tracée. À la suite de cette succession de transformations, la figure 2 est l’image de la figure 1, et la figure 3 est l’image de la figure 2. Décrivez les deux transformations qui ont été appliquées.

t( 8, –4) ° sx

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Exercices p. 206 à 226

Module 3 Les transformations géométriques dans le plan cartésien (suite)

27. Soit le quadrilatère ayant pour sommets A(5, 3), B(9, 2), C(13, –2) et D(–1, –3). Dans chaque cas ci-dessous, déterminez les coordonnées des sommets de l’image obtenue par la composition de transformations géométriques indiquée.

a) h(O, –3) ° t(4, 7)

b) sx ° sy

c) t(5, 2) ° t(–3, 3)

d)

° sy

e)

° sy

° t(6, 5)

28. Dans tous les cas qui suivent, tracez un plan cartésien comprenant la figure image obtenue à la suite de l’application de la transformation géométrique ou de la composition de transformations indiquée dans le plan cartésien où se trouve la figure initiale.

a) sx

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Exercices p. 206 à 226

Module 3 Les transformations géométriques dans le plan cartésien (suite)

28. (suite)

b) t(2, 1) ° t(–1, 3)

c) t(0, –5) ° sx

d) sy ° t(–4, 5)

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8-30 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 3 Les transformations géométriques dans le plan cartésien (suite)

29. Soit le quadrilatère ayant pour sommets A(–5, –2), B(–3, 7), C(4, 6) et D(0, –9). On applique au plan une transformation géométrique ou une composition de transformations géométriques de sorte que chaque quadrilatère A�B�C�D� décrit ci-dessous soit l’image du quadrilatère ABCD défini précédemment. Décrivez précisément, dans chaque cas, la transformation ou la composition de transformations ayant été appliquée au plan.

a)

b)

c)

d)

e)

30. Dans chacun des graphiques qui suivent, le quadrilatère A�B�C�D� ci-dessous est l’image du quadrilatère ABCD par une transformation géométrique ou une composition de transformations géométriques. Dans chaque cas, précisez la règle de la transformation ou de la composition de transformations qui a été appliquée.

a)

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Exercices p. 206 à 226

Module 3 Les transformations géométriques dans le plan cartésien (suite)

30. (suite)

b)

c)

d)

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8-32 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 3 Les transformations géométriques dans le plan cartésien (suite)

31. On applique au plan cartésien une transformation géométrique ou une composition de transformations géométriques. Ainsi, le quadrilatère ABCD a pour image le quadrilatère A�(–2, 3), B�(5, 5), C�(7, –4) et D�(–9, –1). Déterminez les coordonnées des sommets du quadrilatère ABCD si la transformation géométrique ou la composition de transformations géométriques ayant été appliquée est :

a) sy ;

b) t(–7, 2) ;

c) sx ° sy ;

d) .

32. Soit le pentagone illustré ci-contre. Dans chaque cas ci-dessous, indiquez les coordonnées des sommets de l’image obtenue par l’application de la transformation ou de la composition de transformations donnée. Précisez ensuite si la transformation ou la composition de transformations est une contraction, une dilatation ou une isométrie.

a) t(–2, –2) ° h(O, –3)

C’est une dilatation.

b)

C’est une contraction.

c) sx

C’est une isométrie.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 3 Les transformations géométriques dans le plan cartésien (suite)

33. Vrai ou faux? Si l’énoncé est faux, donnez un contre-exemple qui le confirme.

a) Toutes les isométries sont des similitudes.

Vrai.

b) La composition d’une réflexion et d’une translation est toujours équivalente à l’isométrie appelée symétrie glissée.

Vrai.

c) Une figure est tracée dans un plan cartésien. Si l’on applique à ce plan une réflexion ou une homothétie, les deux images ainsi obtenues ne pourront être isométriques.

Faux. Dans le cas d’un coefficient d’homothétie de 1 ou –1, le résultat est le même qu’une réflexion, en considérant l’origine du plan comme centre.

d) Une seule translation peut toujours équivaloir à une composition de plusieurs translations.

Vrai.

e) Une homothétie n’est jamais une isométrie.

Faux. Dans le cas d’un coefficient d’homothétie de 1 ou –1, la figure initiale et la figure image seront isométriques, en considérant l’origine du plan comme centre.

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8-34 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Exploration en géométrie Les figures équivalentes

34. Pour réaliser une courtepointe, Julie veut découper des pièces de tissu de différentes formes, mais qui utiliseraient toutes la même quantité de tissu, soit 80 cm2. Elle souhaite connaître les dimensions ainsi que les mesures des angles des formes qu’elle envisage. Déterminez les mesures que doivent avoir les figures suivantes.

a) Un triangle équilatéral.

Les côtés doivent mesurer environ 13,59 cm et les angles 60°. Démarche :

On peut trouver une expression algébrique qui correspond à la hauteur du triangle, à l’aide de la relation de Pythagore.

Avec la formule de l’aire d’un triangle, on peut trouver la valeur de x, qui correspond à la mesure d’un des côtés du triangle.

Les angles mesurent 60°, soit 180 ÷ 3.

b) Un carré.

Les côtés doivent mesurer environ 8,94 cm et les angles 90°. Démarche :

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Exercices p. 206 à 226

Exploration en géométrie Les figures équivalentes (suite)

34. (suite)

c) Un pentagone régulier dont l’apothème est de 10 cm.

Les côtés doivent mesurer environ 13,53 cm etles angles 108°. Démarche :

La mesure d’un angle au centre est 72°, soit 360 ÷ 5.

Le pentagone régulier peut être divisé en cinq triangles isocèles isométriques. Puisque l’apothème correspond à la hauteur d’un de ces triangles, il est à la fois une médiane, une médiatrice et une bissectrice. Alors, on détermine que la mesure d’un des angles est 36°.

En utilisant la trigonométrie, on peut trouver la mesure de x, qui correspond à la moitié du côté du pentagone.

Le pentagone régulier a des côtés d’environ 14,5308 cm, soit � 2 � 7,2654.

Les angles intérieurs mesurent 108°, soit

.

d) Un cercle.

La mesure du rayon doit être d’environ 5,05 cm. Démarche :

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Exploration en géométrie Les figures équivalentes (suite)

35. Un cône, un cylindre et une demi-boule sont équivalents. En considérant que leurs rayons respectifs mesurent chacun 15 cm, déterminez la hauteur de chaque solide.

La hauteur de la demi-boule correspond à son rayon qui mesure 15 cm, la hauteur du cylindre est de 10 cm et la hauteur du cône de 30 cm. Démarche :

Volume de la demi-boule :

Hauteur du cylindre :

Hauteur du cône :

36. Une pyramide droite à base carrée et un cube sont équivalents. L’aire totale du cube est de 100 cm�. En sachant que la hauteur de la pyramide est trois fois plus grande que la mesure d’un côté de sa base, déterminez toutes les dimensions de cette pyramide.

Chacun des côtés de la base carrée de la pyramide mesure environ 4,082 cm, et la hauteur de la pyramide est d’environ 12,246 cm. Démarche :

Mesure d’un côté du cube :

Volume du cube :

On pose x comme étant la mesure d’un côté de la base de la pyramide.

De plus, on sait que .

Mesure du côté de la base de la pyramide :

Mesure de la hauteur de la pyramide :

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Exercices p. 206 à 226

Exploration en géométrie Les figures équivalentes (suite)

37. Soit l’octogone régulier ci-contre.

Déterminez les dimensions :

a) d’un carré qui lui serait équivalent ;

Chacun des côtés du carré mesurera environ 26,37 dm. Démarche :

Angle au centre d’un octogone :

Mesure de l’apothème de l’octogone :

Aire de l’octogone :

Mesure du côté du carré équivalent :

b) d’un cercle qui lui serait équivalent.

Le cercle aura un rayon mesurant approximativement 14,877 dm. Démarche :

Mesure du rayon du cercle équivalent :

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8-38 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Exploration en géométrie Les figures équivalentes (suite)

38. Un prisme droit dont la base est un hexagone régulier de 6 cm de côté a une aire équivalente à celle du prisme droit à base rectangulaire illustré ci-contre. Ces prismes ont une aire de 300 cm2.

a) Quelle est la hauteur du prisme droit dont la base est un hexagone régulier ?

Le prisme droit dont la base est un hexagone régulier a une hauteur d’environ 3,14 cm. Démarche :

On doit d’abord calculer la mesure de l’apothème. Puisque la valeur d’un angle au centre est de 60° dans un hexagone régulier, on peut déterminer la mesure de l’apothème en utilisant les rapports trigonométriques.

On peut ensuite calculer l’aire d’une base.

Après, on détermine l’aire latérale.

Finalement, on peut déduire la hauteur du prisme.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Exploration en géométrie Les figures équivalentes (suite)

38. (suite)

b) Quelle est l’autre dimension de la base du prisme droit à base rectangulaire ?

L’autre dimension de la base du prisme droit à base rectangulaire est d’environ 5,29 cm. Démarche :

39. Un prisme et une pyramide équivalents ont des bases isométriques. Exprimez algébriquement et de façon simplifiée le lien entre leur hauteur respective.

Lien algébrique entre les hauteurs des deux solides :

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8-40 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes

40. Certains éléments des graphes ci-dessous ont été mis en évidence en gris. Associez chaque graphe au nom de l’élément ainsi illustré.

a) Arête. Le graphe 1.

b) Sommet. Le graphe 7.

c) Arc. Le graphe 6.

d) Chemin. Le graphe 2.

e) Cycle. Le graphe 3.

f) Circuit. Le graphe 4.

g) Chaîne. Le graphe 5.

Graphe 4

Graphe 1

Graphe 5

Graphe 2

Graphe 6

Graphe 3

Graphe 7

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Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

41. Harry se rend au marché central pour faire ses emplettes de la semaine. Or tous les produits sont regroupés par spécialité, dans des kiosques, et Harry ne dispose pas de beaucoup de temps pour effectuer ses achats. Le graphe ci-dessous représente le plan du marché.

a) Selon le contexte, décrivez :

1) ce que représentent les sommets ;

Les kiosques.

2) ce que représentent les arêtes ;

Les corridors joignant les kiosques.

3) ce que peuvent représenter les valeurs.

Les distances (en mètres) entre les kiosques.

b) Donnez un chemin possible permettant à Harry de voir tous les produits offerts au marché.

Plusieurs réponses possibles. Exemple : 9 – 8 – 7 – 11 – 18 – 16 – 11 – 10 – 14 – 8

c) De quel type de graphe s’agit-il ? Un graphe valué.

d) Tracez l’arbre de valeur minimale.

e) Donnez la valeur de l’arbre de valeur minimale.

L’arbre de valeur minimale vaut 96 m, soit 9 + 8 + 7 + 15 + 11 + 10 + 14 + 14 + 8.

f) Que représente l’arbre de valeur minimale selon le contexte ?

L’arbre de valeur minimale représente le plus court trajet permettant de passer par tous les kiosques.

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8-42 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

42. Parmi les graphes ci-dessous, indiquez ceux où l’on peut décrire un cycle eulérien ou une chaîne eulérienne. Justifiez votre choix.

a)

c)

b)

d)

Les graphes a) et b) permettent de décrire des chaînes eulériennes puisque les degrés de tous leurs sommets respectifs sont pairs, à l’exception de deux sommets dans chaque graphe qui, eux, sont impairs (ces sommets impairs constituent le début et la fin de la chaîne).

Le graphe c) ne permet de décrire ni une chaîne eulérienne ni un cycle eulérien, car le degré de tous les sommets est impair.

Le graphe d) permet de décrire un cycle eulérien, car le degré de tous les sommets est pair.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

43. Déterminez le degré du sommet A ainsi que le nombre total d’arêtes dans le graphe ci-contre.

Le degré du sommet A est 11 et le nombre total d’arêtes est 66. Démarche :

Le graphe a 12 sommets.

Chaque sommet du graphe est relié aux autres sommets.

Donc, chaque sommet est de degré 11, soit 12 – 1.

On sait que la somme des degrés de tous les sommets d’un graphe correspond toujours au double du nombre d’arêtes du graphe.

La somme des degrés est 132, soit 12 � 11.

Le nombre d’arêtes du graphe est 66, soit 132 ÷ 2.

44. Soit le graphe ci-dessous.

a) De quel type de graphe s’agit-il ?

Un graphe orienté.

b) Si c’est possible, décrivez un chemin qui passe une seule fois par chaque arc. Justifiez votre réponse.

Il est impossible de décrire un tel chemin, car il faut passer au moins deux fois

par certains sommets.

c) Si c’est possible, décrivez un chemin qui passe une seule fois par chaque sommet.

a – c – d – f – k – l

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

45. Représentez les situations suivantes par un graphe, en nommant le type de graphe que vous avez utilisé. De plus, décrivez ce que représentent les sommets et les arêtes de votre graphe.

a) Un nouveau complexe résidentiel est en construction dans un quartier. Il est situé à 2 km de l’épicerie, qui est à 5 km de la pharmacie et à 3 km de la banque. La clinique médicale se trouve à 7 km du projet et à 4 km de la banque.

Il s’agit d’un graphe valué. Les sommets représentent les services situés près du nouveau complexe résidentiel. Quant aux arêtes, elles correspondent aux distances, à vol d’oiseau.

b) Chloé a élaboré une chaîne téléphonique pour être en mesure de joindre rapidement les membres de son équipe de volleyball. Elle s’occupe de joindre Jessica et Audrey. Ensuite, Jessica contactera Jade, Laurence et Amélie, pendant qu’Audrey appellera Alexandra et Sabrina.

Il s’agit d’un arbre. Les sommets représentent les membres de l’équipe de volleyball. Quant aux arêtes, elles correspondent aux portions de la chaîne téléphonique.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

45. (suite)

c) Des joueurs des Canadiens de Montréal ont consulté le calendrier des parties que l’équipe doit disputer en décembre. Après trois matchs à domicile, ils partiront dans l’Ouest. Ils iront à Calgary, à Edmonton, à Vancouver et, pour terminer leur périple, à Los Angeles. Il y aura ensuite deux matchs à Montréal, après quoi l’équipe se rendra à Toronto, puis à Boston, et reviendra juste à temps pour le temps des fêtes.

Il s’agit d’un graphe orienté. Les sommets représentent les villes où se rendra l’équipe. Quant aux arêtes, elles correspondent au trajet de l’équipe.

46. Pour chacune des situations ci-dessous, déterminez le type de graphe le plus approprié pour la représenter.

a) Marcel a tracé le trajet de son prochain voyage en y indiquant les distances à parcourir entre les villes qu’il veut visiter.

Un graphe valué.

b) Gilles est messager et il sait déjà où il doit livrer ou prendre des colis chez ses trois prochains clients. Il veut choisir le trajet le plus rapide, en respectant les rues à sens unique.

Un graphe orienté.

c) Un tournoi de quilles est organisé pour amasser des fonds pour les activités étudiantes d’une école. Micheline doit représenter l’horaire des matchs sur une affiche.

Un graphe quelconque.

d) Rita a élaboré un labyrinthe et souhaite illustrer les différents chemins possibles, puis déterminer le chemin le plus court.

Un arbre valué.

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Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

47. Pour chacun des graphes ci-dessous, déterminez l’arbre de valeur minimale et indiquez cette valeur. a)

L’arbre de valeur minimale est A – F – B – G – C – D – E – A et sa valeur est de 60, soit 12 + 7 + 8 + 9 + 11 + 13.

b)

L’arbre de valeur minimale est B – C – D – E – G – H – F – A et sa valeur est de 127, soit 15 + 19 + 20 + 16 + 19 + 17 + 21.

Un autre arbre de valeur minimale peut être obtenu en utilisant l’arête CG au lieu de l’arête DE.

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Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

48. Déterminez le nombre chromatique des graphes suivants.

a)

b)

Le nombre chromatique est 4. Le nombre chromatique est 3.

49. Décrivez le chemin critique des graphes orientés suivants et donnez sa valeur.

a)

Le chemin critique est S – A – F – K – P et sa valeur est 67, soit 15 + 17 + 16 + 19.

b)

Le chemin critique est S – A – B – D – G – H – J – P et sa valeur est 99, soit 15 + 13 + 15 + 21 + 8 + 18 + 9.

Un autre chemin critique de même valeur peut être obtenu : S – A – B – D – G – H – I – P.

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Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

50. Julie ouvre un livre de jeux et tombe sur le labyrinthe ci-dessous. Représentez cette situation à l’aide d’un graphe et indiquez ce que représentent les sommets et les arêtes.

Le graphe ci-dessous modélise la situation. Les sommets représentent les endroitsoù il faut faire un choix quant à la direction à prendre et les culs-de-sac. Les arêtes correspondent au chemin à suivre selon la direction choisie.

Dans le labyrinthe, on a désigné par les lettres A à M les endroits où il est nécessaire de faire un choix quant à la direction à prendre. Les sommets non identifiés dans le graphe correspondent à des culs-de-sac. Le graphe utilisé est un arbre.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Modules 4, 5 et 6 Les graphes (suite)

51. Juliette a établi une routine dans la façon de se préparer avant d’aller au travail. Elle commence par faire son lit, une tâche qui lui demande environ 5 minutes, pour ensuite aller prendre sa douche, ce qui représente une dizaine de minutes. Après, elle passe environ 14 minutes à choisir ses vêtements et à se vêtir, puis déjeune pendant les 18 prochaines minutes. Par la suite, elle prend son café, ce qui lui prend 13 minutes, tout en préparant son lunch, une tâche qui lui demande 10 minutes. Finalement, une fois son café terminé, elle se brosse les dents durant 4 minutes tout en écoutant la télé, qu’elle écoute durant 7 minutes en tout.

a) Représentez la situation à l’aide d’un graphe approprié et précisez ce que représentent les sommets et les arêtes.

Le graphe ci-dessous modélise la situation. Les sommets représentent les tâches à accomplir avant d’aller au travail, et les arêtes correspondent au temps, en minutes, des différentes tâches.

b) Déterminez le chemin critique de ce graphe et donnez son poids.

Un graphe orienté et valué.

c) Déterminez le chemin critique de ce graphe et donnez son poids.

Le chemin critique est Début – Lit – Douche – Se vêtir – Déjeuner – Café – Télé – Fin.

Son poids est de 67 minutes, soit 0 + 5 + 10 + 14 + 18 + 13 + 7.

d) Expliquez à quoi correspond le chemin critique.

Il correspond au temps minimal dont Juliette a besoin pour se préparer avant d’aller

au travail.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 7 Les probabilités conditionnelles

52. Déterminez le type de probabilité (théorique, fréquentielle ou subjective) qui intervient dans les situations suivantes.

a) Emmanuelle participe à un jeu où elle doit deviner derrière laquelle de 20 portes se cache un chat. Quelle est la probabilité qu’elle choisisse la bonne porte ?

Une probabilité théorique.

b) Caleb participe à des compétitions de natation. Cette année, il a gagné les cinq courses auxquelles il a pris part. Quelle est la probabilité qu’il remporte la prochaine compétition ?

Une probabilité subjective.

c) Josie aime faire des excursions en nature. Quelle est la probabilité qu’elle croise un renard sur sa route ?

Une probabilité fréquentielle.

d) Christina laisse tomber une photographie sur son bureau, à plusieurs reprises, en observant de quel côté elle atterrit. Quelle est la probabilité que la photographie atterrisse l’image vers le haut ?

Une probabilité fréquentielle.

53. Déterminez si les situations suivantes font intervenir des événements dépendants ou indépendants.

a) On tire deux cartes au hasard d’un jeu de cartes et on observe les événements « obtenir une somme de 10 » et « obtenir une carte de trèfle ».

Des événements indépendants.

b) On tire deux cartes au hasard d’un jeu de cartes et on observe les événements « obtenir une somme de 10 » et « obtenir un 3 de trèfle ».

Des événements dépendants.

c) Deux personnes sortent l’une derrière l’autre d’une salle de cinéma et on observe les événements « les deux personnes sont des femmes » et « les deux personnes n’ont pas la même couleur de cheveux ».

Des événements indépendants.

d) On tire deux lettres consécutives d’une urne dans laquelle se trouvent les lettres du mot sable et on observe les événements « tirer une voyelle » et « tirer la lettre o ».

Des événements indépendants.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 7 Les probabilités conditionnelles (suite)

54. Parmi les situations suivantes, lesquelles font intervenir des probabilités conditionnelles ?

a) Dans une urne contenant 10 billes, trois sont rouges et les autres sont bleues. On effectue un premier tirage, puis on remet la bille dans l’urne. Au second tirage, on obtient une bille rouge. Quelle est la probabilité que la première bille tirée ait été rouge aussi ?

b) Dans un stationnement se trouvent 40 voitures, dont 10 noires et 12 blanches. On sait qu’il y a 6 voitures noires à transmission automatique et 5 voitures blanches à transmission automatique. Si l’on indique une voiture blanche au hasard, quelle est la probabilité que celle-ci possède une transmission manuelle ?

c) À la sortie d’un magasin, on observe les deux prochaines personnes qui en sortiront. Quelle est la probabilité que la somme des âges des deux personnes soit de 45, si l’on sait que la première personne est de sexe féminin ?

d) Un patron doit annoncer leur congédiement à deux de ses trois employés. Un des employés se demande quelle est la probabilité qu’il perde son emploi, sachant que l’un de ses collègues vient d’être congédié.

Les situations b) et d) font intervenir des probabilités conditionnelles.

55. Ginette et Louise ont décidé de se faire chacune un potager, où elles cultiveront toutes les deux des tomates, des concombres, des haricots et des courgettes, dans quatre rangées l’une à côté de l’autre.

a) Combien d’agencements différents est-il possible de former pour chaque potager ?

Il y a 24 agencements différents possibles, soit 4 � 3 � 2 � 1.

b) Quelle est la probabilité que les concombres soient à côté des courgettes dans l’agencement de Louise ?

La probabilité est de 50 %. Démarche :

Il faut énumérer tous les agencements possibles.

Sur les 24 agencements possibles, il y en a 12 où les concombres seraient à côté des courgettes.

La probabilité que cela se produise dans le potager de Louise est de , soit

.

c) Quelle est la probabilité que Ginette et Louise aient toutes les deux choisi le même agencement, sachant que les concombres se trouveront le plus à l’ouest dans le cas de chaque potager ?

La probabilité est de , soit une chance sur 6.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 7 Les probabilités conditionnelles (suite)

56. Une agence de publicité s’intéresse aux goûts musicaux des jeunes adultes afin de déterminer l’ambiance musicale d’une prochaine publicité pour des téléphones cellulaires. Le diagramme ci-contre illustre les réponses recueillies au cours d’un sondage à ce sujet. Si l’on choisit au hasard une personne ayant participé à ce sondage, quelle est la probabilité que cette personne :

a) aime le jazz ?

La probabilité est de , soit .

b) n’aime pas la musique classique ?

La probabilité est de , soit .

c) aime le rock, sachant qu’elle apprécie deux genres de musique ?

La probabilité est de , soit .

d) n’aime pas le jazz, sachant qu’elle apprécie deux genres de musique ?

La probabilité est de , soit .

e) aime les trois genres de musique ?

La probabilité est de , soit .

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Exercices p. 206 à 226

Module 7 Les probabilités conditionnelles (suite)

57. Les responsables d’un camp de jour observent les 60 inscriptions, dont 42 reçues de la part de garçons, aux différentes activités offertes. Il y a 22 inscriptions pour le kayak, 28 pour l’escalade, et le reste est pour la natation. Le groupe de jeunes inscrits à l’activité d’escalade est constitué d’autant de filles que de garçons, et 20 garçons se sont inscrits au kayak.

a) Représentez les résultats de ces inscriptions à l’aide d’un tableau à double entrée.

Kayak Escalade Natation Total

Filles 2 14 2 18

Garçons 20 14 8 42

Total 22 28 10 60

b) Si une personne est choisie au hasard parmi tous les jeunes, quelle est la probabilité qu’elle ne soit pas inscrite au kayak ?

La probabilité est de , soit .

c) Si une personne est choisie au hasard parmi tous les jeunes, quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une fille, compte tenu qu’elle est inscrite à la natation ?

La probabilité est de , soit .

d) Si un garçon est choisi au hasard parmi tous ceux inscrits, quelle est la probabilité qu’il soit inscrit à la natation ?

La probabilité est de , soit .

e) Si une personne est choisie au hasard parmi tous les jeunes, quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un garçon, sachant que cette personne est inscrite au kayak ou à l’escalade ?

La probabilité est de , soit .

f) Si une personne est choisie au hasard parmi les filles, quelle est la probabilité qu’elle soit inscrite à l’escalade ?

La probabilité est de , soit .

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 7 Les probabilités conditionnelles (suite)

58. Dans une urne contenant 20 billes, 8 sont rouges, 1 est verte et les autres sont bleues. On effectue deux tirages de bille successifs, sans remettre dans l’urne la première bille tirée, et on observe les couleurs obtenues.

a) Représentez les résultats possibles à l’aide d’un diagramme en arbre.

b) Quelle est la probabilité de tirer une bille rouge, puis une bille bleue ?

La probabilité est de , soit

.

c) Quelle est la probabilité de tirer au moins une bille rouge ?

La probabilité est de . Démarche :

Probabilité de tirer au moins une bille rouge :

d) Quelle est la probabilité de tirer une bille verte, sachant que la première bille tirée est bleue ?

La probabilité est de , soit .

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Exercices p. 206 à 226

Module 7 Les probabilités conditionnelles (suite)

59. On lance deux dés équilibrés. On décrit l’événement A comme suit : obtenir une somme de 4 ou de 10.

a) Décrivez un événement qui serait compatible avec l’événement A.

Plusieurs réponses possibles. Exemple : B : Obtenir le même chiffre sur les deux dés.

b) Décrivez un événement qui serait complémentaire de l’événement A.

Plusieurs réponses possibles. Exemple : B : Obtenir une somme différente de 4 ou de 10.

c) Décrivez un événement qui serait incompatible avec l’événement A.

Plusieurs réponses possibles. Exemple : B : Obtenir une somme supérieure à 10.

60. Dans la poche de François se trouvent cinq pièces de 5 ¢, deux pièces de 10 ¢, quatre pièces de 25 ¢, trois pièces de 1 $ et une pièce de 2 $.

Si François tire deux pièces au hasard dans sa poche :

a) quelle est la probabilité qu’il ait au moins 0,50 $ dans ses mains ?

La probabilité est de . Démarche :

Il y a 210 résultats possibles, soit .

P(avoir au moins 0,50 $)

= 1 – P(avoir moins de 0,50 $)

= 1 – [P(0,05 $, 0,05 $) + P(0,05 $, 0,10 $) + P(0,05 $, 0,25 $) + P(0,10 $, 0,05 $) + P(0,10 $, 0,10 $) + (0,10 $, 0,25 $) + P(0,25 $, 0,10 $) + P(0,25 $, 0,05 $)]

b) quelle est la probabilité qu’il ait au moins 0,50 $ dans ses mains, sachant qu’il a tiré une pièce de 25 ¢ en premier ?

La probabilité est de . Démarche :

P(avoir au moins 0,50 $ si une pièce de 25 ¢ est tirée en premier)

= P(0,25 $, 2 $) + P(0,25 $, 1 $) + P(0,25 $, 0,25 $)

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8-56 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation

1. Renata a reçu le mandat de concevoir un jardin public dans sa ville. Elle cherche à déterminer les dimensions qui permettront au jardin rectangulaire d’avoir la plus grande aire possible. Elle sait que la largeur du jardin doit être d’au moins 10 m et que la longueur doit dépasser 15 m. De plus, la différence entre la longueur et la largeur du jardin doit être inférieure ou égale à 10 m. Finalement, pour clôturer le pourtour du jardin, il faudra installer un poteau tous les 4 m, et Renata dispose au maximum de 25 poteaux. Quelles dimensions Renata devrait-elle choisir pour le jardin ?

Renata devrait faire un jardin de 30 m sur 20 m. Démarche :

x : la longueur du jardin (m).

y : la largeur du jardin (m).

Contraintes :

Fonction à optimiser :

Sommets : Aire :

A(15, 10)

B(20, 10)

C(30, 20)

D(15, 35)

L’aire maximale de 600 m2 est atteinte au point (30, 20).

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation (suite)

2. Josée fait des confitures maison qu’elle vend dans un marché public dans le but d’amasser des fonds pour les sans-abris de sa région. Comme elle doit se procurer de nouveaux pots de 500 mL et de 750 mL, elle réfléchit au nombre de contenants de chaque format qu’elle devrait acheter tout en tâchant de minimiser ses dépenses. Elle veut avoir au moins 40 pots de 500 mL et elle sait qu’elle vend au maximum trois fois plus de petits contenants que de gros. Elle compte préparer une quantité de confiture se situant entre 50 et 70 L. Si Josée doit débourser 2,25 $ pour les pots de 500 mL et 3 $ pour les pots de 750 mL, combien de pots de chaque format devrait-elle acheter ?

Josée devrait acheter 40 pots de chaque format pour minimiser ses dépenses, qui seront alors de 210 $. Démarche :

x : le nombre de pots de 500 mL.

y : le nombre de pots de 750 mL.

Contraintes :

Fonction à optimiser :

Sommets : Dépenses :

B(40, 40)

Les dépenses minimales de 210 $ sont atteintes au point B(40, 40).

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8-58 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation (suite)

3. Julie est responsable d’obtenir une subvention pour la construction d’une nouvelle maison des jeunes dans sa ville. Au préalable, elle doit déterminer l’emplacement à privilégier en tenant compte des informations suivantes. Les jeunes du quartier se déplaçant principalement à pied, à une vitesse moyenne de 4 km/h, il serait donc important que la distance entre la maison des jeunes, l’école et le centre des loisirs ne soit pas trop grande. Il a été établi que la durée de marche entre l’école et la maison des jeunes devrait se situer entre 6 et 15 min. Quant à la durée du trajet entre la maison des jeunes et le centre des loisirs, elle ne devrait pas excéder 24 min, mais elle pourrait être d’au moins 12 min. Ensuite, il faut considérer que la maison des jeunes sera située dans la même rue que l’école et le centre des loisirs, qui sont à 1,9 km de distance l’un de l’autre. Finalement, la Ville souhaite construire un sentier en ciment de 2 m de largeur entre l’école et la maison des jeunes, ainsi qu’un sentier en gravier entre le centre des loisirs et cette dernière. Sachant que le coût du ciment correspond à 25 $/m2 et celui du gravier à 15 $/m2, déterminez quel devrait être l’emplacement de la maison des jeunes pour minimiser les dépenses liées à ce projet.

La maison des jeunes devrait se situer à 400 m de l’école et à 1500 m du centre des loisirs. Démarche :

x : la distance entre la maison des jeunes et l’école (m).

y : la distance entre la maison des jeunes et le centre des loisirs (m).

Contraintes :

Fonction à optimiser :

Les dépenses minimales de 65 000 $ sont atteintes au point B(400, 1500).

x � 0

y � 0

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation (suite)

4. Kim veut se lancer en affaires et mettre du vent dans les voiles de sa production de vêtements recyclés. Elle souhaite louer un espace rectangulaire à la foire commerciale de sa ville pour y installer un kiosque. Elle se questionne sur la surface de l’espace à louer. Elle sait que, par définition, la largeur de l’espace ne doit pas dépasser sa longueur. De plus, elle tient à ce que la longueur mesure au moins 4 m et que la différence entre la longueur et la largeur de l’espace ne dépasse pas 1 m. Elle veut débourser le moins d’argent possible, car chaque mètre carré se loue 8 $ par jour. Quelles sont les dimensions de l’espace que Kim doit louer pour atteindre ses objectifs ?

Kim doit louer un espace de 3 m sur 4 m pour minimiser ses dépenses. Démarche :

x : la largeur de l’espace à louer (m).

y : la longueur de l’espace à louer (m).

Contraintes :

x � 0

y � 0

Fonction à optimiser :

Sommets : Dépenses :

A(3, 4)

B(4, 4)

Les dépenses minimales de 96 $ sont atteintes au point A(3, 4).

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8-60 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation (suite)

5. Souhaitant amasser des fonds pour l’organisme Jeunesse au soleil, Barbara organise un lavothon avec 10 jeunes d’une école secondaire de son quartier. Le coût a été établi à 7 $ pour faire laver un camion et à 5 $ pour une automobile. Les jeunes s’attendent à laver au moins deux voitures pour chaque camion lavé. Chaque élève participant à l’activité devant solliciter deux personnes, il y aura donc au moins 20 véhicules à laver. L’objectif est de laver plus de 80 véhicules, mais les jeunes ne croient pas arriver à laver plus de 100 véhicules en une journée. Quelle somme maximale les élèves peuvent-ils s’attendre à amasser grâce au lavothon ?

Les élèves peuvent s’attendre à amasser une somme maximale de 561 $ en lavant 66 automobiles et 33 camions. Démarche :

x : le nombre de voitures lavées.

y : le nombre de camions lavés.

Contraintes :

x � 0

y � 0

Fonction à optimiser :

Des revenus maximaux de 566,67 $ sont atteints au point B .

Cependant, comme le contexte exige des valeurs entières, on doit donc considérer le point (66, 33) du polygone de contraintes. Les revenus maximaux associés à ce point sont de 561 $, soit R = 5 � 66 + 7 � 33.

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Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation (suite)

6. Suzanne fait des colliers personnalisés pour ses clientes, de différentes grandeurs et de différents styles. Elle cherche à établir sa prochaine commande de matériel. Elle sait qu’elle doit acheter au moins 40 billes par attache. De plus, connaissant ses clientes, elle estime qu’elle aura besoin de moins de 1500 billes, mais elle pense fabriquer plus de 20 colliers. Elle sait aussi que, la plupart du temps, le triple du nombre d’attaches augmenté de 75 est au plus équivalent à 150 de moins que le nombre de billes. Sachant qu’une bille se vend 0,50 $ et une attache 3 $, évaluez les profits maximaux que Suzanne peut réaliser si elle fixe le prix de ses colliers à 1,25 $ la bille.

Suzanne pourra réaliser des profits maximaux de 1061,25 $ en achetant 1499 billes et 21 attaches. Démarche :

x : le nombre de billes.

y : le nombre d’attaches.

Contraintes :

x � 0

y � 0

Fonction à optimiser :

Des profits maximaux de 1065 $ sont atteints au point C(1500, 20).

Cependant, puisque Suzanne pense qu’elle aura besoin aura besoin de moins de 1500 billes et de plus de 20 attaches, on doit donc considérer le point (1499, 21) du polygone de contraintes. Les profits associés à ce point sont de 1061,25 $, soit P = 0,75 � 1499 – 3 � 21.

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Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation (suite)

7. Stéphane est peintre. Pour réaliser sa prochaine toile, il a l’intention de se servir uniquement de deux couleurs, le rouge et le noir, mais pense laisser certains espaces blancs. La toile est de forme rectangulaire et mesure 50 cm sur 40 cm. Stéphane veut que la surface rouge corresponde au moins au double de la surface noire, mais il ne veut pas que le rouge recouvre plus des trois quarts de la toile. De plus, il ne veut pas qu’il y ait plus de 100 cm2 d’espaces blancs. Combien devraient mesurer les surfaces peintes de chaque couleur afin que son œuvre lui coûte le moins cher possible, sachant que chaque décimètre carré de peinture rouge coûte 3,50 $ et chaque décimètre carré de peinture noire 4,25 $ ?

La surface peinte en noire devrait mesurer 400 cm2 et la surface peinte en rouge 1500 cm2 pour que l’œuvre coûte le moins cher possible, soit 69,50 $.

x : la surface peinte en noir (cm2).

y : la surface peinte en rouge (cm2).

Contraintes :

Fonction à optimiser :

Des dépenses minimales de 69,50 $ sont atteintes au point A(400, 1500).

x � 0

y � 0

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Consolidation p. 227 à 239

L’optimisation (suite)

8. Monique donne des cours de ballet aux enfants de son quartier. Le temps étant venu de montrer leurs apprentissages, elle organise un spectacle. Afin de donner des consignes au technicien, elle doit notamment établir les dimensions de la scène rectangulaire où se produiront les enfants. Évidemment, elle veut avoir la plus grande scène possible. Cela dit, elle veut installer un fil lumineux tout autour de la scène, mais ne dispose que de 22 m de ce fil. En tenant compte de ses chorégraphies, elle souhaite que le côté le plus court de la scène mesure au moins 3 m et que le côté le plus long mesure au moins 1,5 m de plus que l’autre. Quelles devraient être les dimensions de la scène compte tenu des objectifs de Monique ?

Le côté le plus court de la scène devrait mesurer 4,75 m et le plus long 6,25 m. Ainsi, la scène aura une surface maximale de 29,6875 m2. Démarche :

x : le côté le plus court de la scène (m).

y : le côté le plus long de la scène (m).

Contraintes :

Fonction à optimiser :

Une aire maximale de 29,6875 m2 est atteinte au point B(4,75, 6,25).

x � 0

y � 0

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie

9. Estelle désire ajouter un aspect technologique à son exposition de tableaux. Elle a pensé utiliser un canon pour projeter ses initiales, E. L., et en faire une animation. Pour ce faire, elle doit déterminer les règles des transformations qui correspondent à l’animation voulue, afin que le programmeur puisse faire son travail correctement.

Déterminez, pour chacune des lettres, la règle de la composition de transformations géométriques nécessaire à l’obtention des figures images (figures 1� et 2�) dans cette animation.

Le déplacement de la lettre E est engendré par la composition de transformations .

Le déplacement de la lettre L est engendré par la composition de transformations .

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

10. En voyage dans l’Ouest canadien, Guy prévoit son itinéraire des prochains jours. Son GPS lui présente le schéma ci-contre, où les différentes villes sont représentées par les lettres A à F.

a) Guy se trouve présentement aux

du segment reliant les villes B et D, en partant de B. Déterminez la règle de la translation qui l’amènerait ensuite jusqu’à la ville E.

La règle de la translation est : (x, y) � (x + 4,3, y – 5,8). Démarche :

Point de partage entre B(5,5, 8) et D(–1,5, 0) :

Donc, Guy se trouve au point P(2,7, 4,8).

Il faut trouver la règle de la translation reliant les points P(2,7, 4,8) et E(7, –1).

La règle de la transformation est donnée par t(a, b) : (x, y) � (x + a, y + b).

Or on sait que t(a, b) : (2,7, 4,8) � (7, –1).

D’où a = 4,3, soit 2,7 + a = 7, et b = –5,8, soit 4,8 + b = –1.

Donc, la règle de la translation est : (x, y) � (x + 4,3, y – 5,8).

b) Dans quelques jours, Guy compte séjourner un certain temps dans la ville C. Quand il en repartira, il effectuera le trajet qui relie cette ville à son image, selon une réflexion par rapport à l’axe des abscisses. À ce moment-là, quelle distance le séparera de la ville F ?

La distance sera d’environ 3,606 unités. Démarche :

L’image du point C(–8, 3), après que celui-ci aura subi une réflexion par rapport à l’axe des abscisses, sera C �(–8, –3).

Il faut trouver la distance entre l’endroit où se trouvera Guy et la ville F, c’est-à-dire la distance entre le point C �(–8, –3) et le point F(–6, –6).

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

11. Gisèle confectionne de petits bibelots en verre qu’elle vend ensuite dans sa boutique d’objets d’art. Son amie Évelyne désire s’associer avec elle et lui suggère le plan ci-contre pour sa prochaine création, où l’échelle est de 1 : 2 cm.

Évelyne explique à Gisèle que, pour être en mesure de visualiser l’objet en trois dimensions, il s’agit d’appliquer au plan une rotation de 360° autourde l’axe des abscisses.

a) Quelle est la forme géométrique de l’objet imaginé par Évelyne ? Quelles en sont les dimensions ?

La forme est un cône droit dont la hauteur mesure 16 cm et le rayon 12 cm. Démarche :

La hauteur du cône est donnée par la distance entre les points (0, 0) et (8, 0), soit d = 8 unités.

Comme l’échelle est 1 : 2 cm, la distance est de 16 cm, soit d = 2 · 8.

Le rayon du cône est donné par la distance entre les points (0, 0) et (0, 6), soit d = 6 unités.

Comme l’échelle est 1 : 2 cm, la distance est de 12 cm, soit d = 2 · 6.

b) Quelle quantité de verre sera nécessaire à la réalisation de cet objet, considérant qu’il en sera rempli ?

Il faudra environ 2412,743 cm� de verre. Démarche :

Volume du cône droit :

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

11. (suite)

c) Gisèle observe le plan et pense plutôt lui appliquer une rotation de 360° autour de l’axe des ordonnées. Faudrait-il la même quantité de verre pour fabriquer l’objet qu’elle obtiendrait ainsi ?

Non, la quantité de verre nécessaire ne serait pas la même ; il en faudrait plus. Démarche :

La forme obtenue est un cône droit dont la hauteur mesure 12 cm et le rayon 16 cm.

Le volume de ce cône est supérieur à celui de l’autre cône.

d) Inspirée, Évelyne propose un nouveau plan pour un objet, illustré ci-contre.

Décrivez la forme obtenue après une rotation du plan selon l’axe des abscisses. Décrivez également la forme obtenue à la suite d’une rotation selon l’axe des ordonnées.

Après une rotation selon l’axe des abscisses, la forme obtenue correspond à deux cônes droits isométriques joints par leur base.

Chacun des deux cônes a une hauteur mesurant 4 cm, et le rayon de leur base mesure 8 cm.

Après une rotation selon l’axe des ordonnées, la forme obtenue est un cône droit dont la hauteur mesure 8 cm et le rayon 4 cm.

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

12. Jeanne désire s’impliquer dans son quartier et venir en aide aux jeunes adultes qui souhaitent reprendre leurs études et obtenir de meilleurs certificats. Ainsi, elle doit aider Sylvain à y voir plus clair en géométrie. Celui-ci doit travailler les lieux géométriques, c’est-à-dire les ensembles de points qui ont certaines caractéristiques communes et qui définissent des figures particulières. Pour aborder ce sujet, Jeanne a dessiné les deux plans ci-dessous.

a) Quel est le nom du lieu géométrique obtenu en appliquant une rotation de centre O(0, 0) dans le plan 1, en considérant tous les points situés au bout de la pointe de flèche ?

Il s’agit d’un cercle, c’est-à-dire le lieu géométrique de tous les points qui se trouvent à égale distance (le rayon) d’un point donné (le centre).

b) Quel est le nom du lieu géométrique formé en reliant par une droite les points de rencontre des arcs de cercle obtenus en appliquant des rotations successives aux deux flèches, selon leur centre respectif ?

Il s’agit d’une médiatrice, c’est-à-dire le lieu géométrique de tous les points se trouvant à égale distance des deux extrémités d’un segment de droite donné.

c) Décrivez le solide obtenu en appliquant une rotation de centre O(0, 0) autour de l’axe des abscisses à la flèche AB dans le plan 1.

Le solide obtenu est un cône d’une hauteur de 2 unités et dont le rayon de la base mesure 0,5 unité.

d) Décrivez le solide obtenu en appliquant une rotation de centre O(0, 0) autour de l’axe des ordonnées à la flèche AB dans le plan 1.

Le solide obtenu est un cône d’une hauteur de 0,5 unité et dont le rayon de la base mesure 2 unités.

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

13. Jules organise une soirée-bénéfice en vue d’amasser des fonds pour aider les familles d’enfants malades. Il demandera aux convives une certaine somme pour le banquet et la soirée dansante, mais il voudrait aussi vendre des bouteilles de vin de glace. Il souhaiterait offrir trois modèles de bouteilles : deux équivalents et l’un plus petit. Jules a imaginé le modèle représenté ci-contre pour un des deux grands formats.

a) Tracez le plan d’une autre bouteille qui serait équivalente à celle imaginée par Jules, en y inscrivant toutes les mesures nécessaires.

Plusieurs représentations possibles. Il s’agit de tracer une figure, composée ou simple, dont le volume total est d’environ 751,231 mL. Démarche :

Volume de la bouteille de Jules :

b) Tracez le plan d’une bouteille plus petite, semblable à celle imaginée par Jules, mais qui contiendrait trois fois moins de vin de glace, en y inscrivant toutes les mesures nécessaires.

Voir la représentation ci-contre. Démarche :

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8-70 Corrigé du matériel reproductible Merci de ne pas photocopier © Éditions Grand Duc

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

14. Simone veut préparer des confiseries pour les enfants défavorisés de son quartier. Elle aimerait confectionner des bonbons de trois formes, soit des pentagones réguliers, des hexagones réguliers et des octogones réguliers. Elle voudrait que chaque bonbon ait une surface de 10 cm2. De plus, elle souhaite que tous les bonbons, peu importe leur forme, aient la même mesure de côté. Est-ce possible de confectionner les trois modèles de bonbons qu’elle imagine ? Justifiez votre réponse.

Non, il n’est pas possible de confectionner les trois modèles de bonbons. Démarche :

On doit chercher la mesure d’un des côtés d’une des formes souhaitées. Il faut commencer les calculs avec l’hexagone régulier, puisque les six triangles le composant sont équilatéraux. Ainsi, avec un angle de 60°, qui est coupé en deux parties égales, on obtient un triangle rectangle ayant un angle de 30° qui permettra d’utiliser la relation de Pythagore. Dans un triangle isocèle, la hauteur est à la fois une médiane, une médiatrice et une bissectrice. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 30° mesure la moitié de la longueur de l’hypoténuse. On sait que la surface d’un bonbon en forme d’hexagone régulier doit être de 10 cm2. À l’aide de la formule de l’aire, on peut donc trouver la valeur de x, qui correspond à la mesure d’un des côtés de l’hexagone.

Les côtés de l’hexagone mesurent environ 1,96 cm et ses angles intérieurs sont de 120°,

soit .

Calcul des dimensions du pentagone régulier :

La mesure d’un angle au centre d’un pentagone régulier est de 72°, soit 360° ÷ 5. Le pentagone régulier peut être divisé en cinq triangles isocèles isométriques. Puisque l’apothème correspond à la hauteur d’un de ces triangles, il est à la fois une médiane, une médiatrice et une bissectrice. Alors, on trouve que la mesure d’un des angles du demi-triangle est 36°, soit 72 ÷ 2, et que sa base est de 0,98 cm, soit 1,96 ÷ 2, car le côté du pentagone a la même mesure que celui de l’hexagone.

À l’aide des rapports trigonométriques, on peut déterminer la mesure de l’apothème.

On peut ensuite calculer l’aire du bonbon en forme de pentagone régulier.

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

14. (suite)

Il n’est donc pas possible d’obtenir un bonbon en forme de pentagone régulier qui aurait la même mesure de côté que le premier bonbon et la même aire.

Calcul des dimensions de l’octogone régulier :

La mesure d’un angle au centre d’un octogone régulier est de 45° , soit 360° ÷ 8. L’octogone régulier peut être divisé en huit triangles isocèles isométriques. Puisque l’apothème correspond à la hauteur d’un de ces triangles, il est à la fois une médiane, une médiatrice et une bissectrice. Alors, on trouve que la mesure d’un des angles du demi-triangle est 22,5°, soit 45 ÷ 2, et que sa base est de 0,98 cm, soit 1,96 ÷ 2, car le côté de l’octogone a la même mesure que celui de l’hexagone.

À l’aide des rapports trigonométriques, on peut déterminer la mesure de l’apothème.

On peut ensuite calculer l’aire du bonbon en forme d’octogone régulier.

Il n’est donc pas possible d’obtenir un bonbon en forme d’octogone régulier qui aurait la même mesure de côté que le premier bonbon et la même aire.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

15. Franco est un artiste photographe. On lui a proposé un contrat consistant à comparer des paysages urbains d’aujourd’hui avec des images d’antan. Il a en sa possession une carte photographique d’un paysage des années 1800 qu’il souhaite agrandir pour l’introduire dans son œuvre. La carte est représentée dans le plan ci-dessous, où chaque unité correspond à 1 dm.

a) Franco veut utiliser la carte agrandie et la carte initiale pour réaliser une sculpture, où les deux cartes constitueraient l’aire latérale de deux cylindres droits distincts. Il souhaite que l’aire latérale du grand cylindre soit quatre fois supérieure à celle du petit cylindre. Par conséquent, quel doit être le coefficient de similitude de l’homothétie à appliquer pour agrandir la carte initiale ?

Le coefficient de similitude de l’homothétie à appliquer est 2. Démarche :

Le coefficient de similitude de l’homothétie correspond au rapport de similitude des segments, soit 2.

b) Dans le plan cartésien ci-dessus, appliquez l’homothétie de centre O(0, 0) selon le coefficient trouvé en a).

c) Les deux cylindres seront moulés en plâtre. Combien de fois plus de plâtre faudra-t-il pour le grand cylindre que pour le petit ?

Il faudra huit fois plus de plâtre. Démarche :

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Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

16. À une exposition au musée d’art de sa ville, Florence a observé une sculpture de verre en forme de tétraèdre de 1,5 m d’arête, dans laquelle on peut voir des cristaux de métal. Inspirée, elle aimerait recréer cette sculpture, en plus petit.

a) Quel est le volume des cristaux de métal contenusdans la sculpture du musée ?

Le volume des cristaux de métal contenus dans la sculpture est d’environ 0,398 m3. Démarche :

Hauteur d’une des faces :

Puisque chaque face est un triangle équilatéral de 1,5 m de côté, on peut facilement appliquer la relation de Pythagore pour en déterminer la hauteur.

Ensuite, il faut trouver la mesure de la hauteur du tétraèdre lui-même. Cette hauteur forme un triangle rectangle avec la hauteur d’une des faces latérales et l’apothème de la face qui constitue la base. Voir la représentation ci-contre.

Apothème de la base du tétraèdre :

Hauteur du tétraèdre :

Aire de la base du tétraèdre :

Volume du tétraèdre :

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

La géométrie (suite)

16. (suite)

b) Florence veut construire un tétraèdre occupant cinq fois moins d’espace que celui du musée. Déterminez la mesure des côtés de ce tétraèdre et donnez la quantité de verre dont Florence aura besoin pour fabriquer les parois.

Les côtés du tétraèdre mesureront environ 0,877 m, et Florence aura besoin d’environ 1,332 m2 de verre pour fabriquer les parois. Démarche :

Mesure des arêtes du tétraèdre :

Aire d’une face du tétraèdre :

Aire totale du tétraèdre :

c) Ayant éprouvé des difficultés dans la construction de son tétraèdre, Florence aimerait trouver une autre forme géométrique pour réaliser sa sculpture, mais qui pourrait contenir la même quantité de cristaux de métal. Tracez une figure répondant aux critères de Florence en y indiquant toutes les mesures nécessaires.

Plusieurs réponses possibles. Le volume du solide doit être de 0,398 m�.

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Consolidation p. 227 à 239

Les graphes

17. Benoit organise un voyage en Europe pour les élèves de la dernière année du secondaire de son école. Il a choisi 10 villes à visiter et voudrait établir un itinéraire permettant de ne passer qu’une seule fois à chaque endroit tout en parcourant le moins de kilomètres possible.

Le tableau ci-dessous représente les distances entre les diverses villes. Les cases vides correspondent à des chemins qui ne peuvent pas être empruntés au cours du voyage.

Zurich Lisbonne Barcelone Madrid Paris Amsterdam Prague Bruxelles Rome

750 3000 255 Vienne

615 530 500 Zurich

1010 505 Lisbonne

500 860 Barcelone

1060 Madrid

430 Paris

175 1300 Amsterdam

720 920 Prague

Bruxelles

Déterminez le trajet qui conviendrait selon les contraintes fixées par Benoit.

Le trajet que Benoit devrait emprunter est le suivant : Paris – Amsterdam – Bruxelles – Zurich – Vienne – Prague – Rome – Barcelone – Madrid – Lisbonne. Démarche :

On peut modéliser la situation par le graphe valué ci-dessous, où les sommets représentent les villes à visiter et où les arêtes correspondent à la distance en kilomètres entre deux villes.

Le trajet Paris – Amsterdam – Bruxelles – Zurich – Vienne – Prague – Rome – Barcelone – Madrid – Lisbonne représente à la fois une chaîne hamiltonienne et le chemin le plus court. Le poids de cette chaîne est de 4895 km, soit 430 + 175 + 500 + 750 + 255 + 920 + 860 + 500 + 505.

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Consolidation p. 227 à 239

Les graphes (suite)

18. Audrey est responsable d’établir le programme des activités de soirée dans le cadre de la semaine culturelle de son école. Étant donné que certains élèves participeront à plus d’une activité, elle doit s’assurer de ne pas causer de conflits d’horaire. Elle a représenté la situation dans le tableau ci-dessous, en indiquant par un X les activités qui ne doivent pas avoir lieu en même temps.

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du

mo

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e

Défilé de mode X X X

Spectacle de musique

du monde

X X

Lancement d’un livre

et conférence avec l’auteur

X X X X

Présentation de courts

métrages

X

Spectacle de danse X X

Atelier avec une peintre X X X

Spectacle d’art vocal X

Atelier de photo X X

Vernissage X

Rencontre avec des

comédiens et comédiennes

X X

Spectacle d’acrobates X X

Exposition de sculptures

Pièce de théâtre 2 X

Pièce de théâtre 1

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

Les graphes (suite)

18. (suite)

Selon les contraintes résumées dans le tableau de la page précédente, quel est le nombre minimal de soirées nécessaires pour présenter toutes les activités ?

Il faut un minimum de trois soirées pour présenter toutes les activités. Démarche :

On peut modéliser la situation par le graphe coloré ci-dessous, où les sommets représentent les activités au programme et où les arêtes correspondent aux activités qui ne peuvent pas avoir lieu en même temps.

Sommets par ordre décroissant de degré :

Théâtre 1 (6), Théâtre 2 (5), Lancement (4), Sculptures (4), Mode (3), Courts métrages (3), Acrobates (3), Danse (3), Comédiens et comédiennes (3), Vernissage (3), Art vocal (3), Peintre (3), Musique du monde (2), Photo (2), Concert acoustique (1).

Le nombre chromatique de ce graphe est 3.

Il faut donc un minimum de trois soirées.

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19. Ginette est conseillère en ressources humaines. Elle a reçu le mandat d’aider la compagnie BOTEC à se lancer en affaires. Elle doit planifier son horaire en ordonnant de manière chronologique toutes les étapes menant à l’ouverture de la compagnie. Le tableau ci-dessous présente la liste des tâches.

Tâches Durée (h) Préalables

A Effectuer une première ronde d’entrevues 25 J

B Effectuer une seconde ronde d’entrevues 8 A

C Rencontrer les gens lui ayant confié le mandat 2 Aucun

D Établir un concept publicitaire 20 Aucun

E Vérifier les références des candidats et candidates 7 H

F Former le nouveau personnel 80 M

G Établir l’horaire des entrevues 2 E, N

H Annoncer des offres d’emploi dans les quotidiens 5 O, K, I, L

I Dresser la liste des tâches à accomplir 2 C, D

J Inviter à une entrevue les candidats et candidates retenus 5 G

K Déterminer le nombre de personnes à engager 1 C, D

L Établir le programme de formation 13 C, D

M Contacter les candidats et candidates choisis 3 B

N Trier les curriculum vitæ 18 H

O Rencontrer les cadres 3 C, D

Sachant qu’une journée de travail comporte habituellement huit heures, déterminez combien de jours au minimum Ginette doit prévoir avant l’ouverture de la compagnie.

Ginette doit prévoir au minimum 23 jours avant l’ouverture de la compagnie. Démarche :

On peut modéliser la situation par le graphe orienté et valué ci-dessous, où les sommets représentent les tâches à accomplir avant l’ouverture de la compagnie et où les arêtes correspondent au temps nécessaire, en heures, pour réaliser les diverses tâches.

Le chemin critique est Début – D – L – H – N – G – J – A – B – M – F – Fin.

Son poids est de 179 heures, soit 0 + 20 + 13 + 5 + 18 + 2 + 5 + 25 + 8 + 3 + 80.

Ce poids correspond à 22,375 jours de travail, soit 179 ÷ 8.

Il faut donc compter au minimum 23 jours pour effectuer toutes les tâches avant l’ouverture de la compagnie.

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20. Charline fait un peu de bénévolat auprès de l’organisation chargée de protéger les animaux de sa ville. Elle s’est proposée pour nettoyer, dimanche prochain, une partie des cages des animaux qui séjournent dans les locaux de l’organisation en attendant d’être adoptés. Tous les animaux ont leur propre cage, mais, au moment de nettoyer les cages, Charline devra momentanément placer les animaux dans de grandes pièces fermées, où ils seront surveillés. Évidemment, certains animaux ne peuvent se trouver, même pour un bref instant, dans la même pièce. On a remis la liste ci-dessous à Charline pour lui indiquer l’incompatibilité de certains animaux.

Nom de l’animal Noms des animaux incompatibles

Rex Odie, Poilu, Frimousse, Goglu, Fido

Fido Rex, Grisou, Belle, Frimousse

Odie Rex

Frimousse Rex, Fido, Milou, Poilu

Grisou Fido, Belle, Goglu

Belle Fido, Grisou, Poilu, Goglu

Milou Frimousse, Goglu

Poilu Rex, Frimousse, Belle

Goglu Rex, Grisou, Belle, Milou

Pour que la journée se déroule bien, Charline doit laisser savoir aux responsables de l’organisation le nombre minimal de pièces fermées dont elle aura besoin au moment de nettoyer les cages. Déterminez ce nombre et justifiez votre réponse.

Il faudra au minimum trois pièces fermées. Démarche :

On peut modéliser la situation par le graphe coloré ci-contre, où les sommets représentent les animaux et où les arêtes correspondent à une incompatibilité entre deux animaux.

Sommets par ordre décroissant de degré : Rex (5), Fido (4), Frimousse (4), Belle (4), Goglu (4), Grisou (3), Poilu (3), Milou (2), Odie (1).

Le nombre chromatique de ce graphe est 3.

Ginette aura donc besoin de trois pièces fermées au minimum.

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21. Nathalie est chef d’équipe pour les livreurs et livreuses de la compagnie Livraison express. Elle observe les routes empruntées par les livreurs pour relier les villes entre elles. Le graphe ci-dessous indique les villes, les routes utilisées ainsi que les distances, en kilomètres, entre certaines villes.

En vue des prochaines négociations salariales, Nathalie veut connaître le nombre maximal de kilomètres que peut parcourir un livreur ou une livreuse en une semaine, s’il faut passer au moins une fois par toutes les villes. Pour déterminer ce nombre, Nathalie croit qu’elle n’a d’autre choix que de procéder par essais et erreurs, en imaginant divers trajets et en comparant le nombre de kilomètres parcourus. Que pensez-vous de sa démarche ? Existe- t-il une méthode plus efficace ? Si oui, nommez-la et décrivez-la, puis donnez l’information que cherche Nathalie.

La démarche de Nathalie n’est pas efficace. Dans un tel cas, il s’agit de déterminer l’arbre de valeur maximale. Pour ce faire, on choisit l’arête ayant le plus de poids dans le graphe. Ensuite, on choisit toujours l’arête ayant le plus grand poids parmi les arêtes restantes, à moins qu’elle ne forme un cycle simple avec les précédentes. Lorsqu’on ne peut plus choisir d’arête sans former un cycle simple, c’est qu’on a obtenu l’arbre de valeur maximale. Il ne reste qu’à additionner les valeurs des différentes arêtes pour obtenir la valeur totale de cet arbre. Dans la présente situation, l’arbre de valeur maximale est Sainte-Benjamine – Saint-Bernard – Saint-Robert – Sainte-Anick – Sainte-Rénaldine – Saint-Benoît – Saint-Gédéon – Saint-Lucien – Sainte-Anick – Sainte-Isabelle – Sainte-Caroline. La valeur maximale de l’arbre est de 1982 km, soit 446 + 120 + 183 + 124 + 148 + 225 + 405 + 111 + 90 + 130.

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22. Alexandre et Marianne jouent à la « course à 20 ». Alexandre commence en écrivant au choix 1 ou 2. Marianne ajoute 1 ou 2 au nombre d’Alexandre et écrit la somme obtenue. Puis, Alexandre ajoute 1 ou 2 au nombre obtenu par Marianne, et ainsi de suite à tour de rôle. La personne qui arrive à 20 gagne la partie. Alexandre affirme qu’il a une stratégie permettant à la personne qui joue en premier de gagner à coup sûr. Expliquez la stratégie d’Alexandre.

On peut modéliser la situation par le graphe orienté et valué ci-dessous, où les sommets représentent les nombres possibles au jeu de la « course à 20 », soit les nombres de1 à 20, et où les arêtes correspondent aux ajouts de 1 ou 2 que l’on peut faire à chacun des sommets sans que la somme dépasse le nombre 20.

La stratégie d’Alexandre est simple. Pour gagner, il lui suffit de se débrouiller pour obtenir l’un des nombres suivants : 2, 5, 8, 11, 14 ou 17. Ensuite, il n’a qu’à choisir le chiffre qu’il faut pour créer des bonds de 3. Si Marianne choisit 1, il doit choisir 2. Si Marianne choisit 2, il doit choisir 1.

Si Alexandre commence la partie, il lui suffit alors de choisir 2 et ensuite de se débrouiller pour faire des bonds de 3 en s’ajustant aux choix de Marianne, quels qu’ils soient. Exemple : 2 – 3 – 5 – 7 – 8 – 9 – 11 – 12 – 14 – 16 – 17 – 18 – 20.

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23. Simon et Stéphanie se marieront dans quelques mois et veulent s’arranger pour que les préparatifs, énumérés ci-dessous, durent le moins longtemps possible.

Tâches Durée (jours) Préalables

A Engager un quatuor à cordes 11 M

B Faire les réservations pour le voyage de noces 14 J, I, E

C Trouver une chapelle 15 P

D Trouver un célébrant 5 P

E Choisir les témoins 10 O, F, A, H

F Trouver un D.J. 27 M

G Réserver les services d’un traiteur 18 C, D

H Retenir les services d’une coordonnatrice 9 M

I Acheter les alliances 23 O, F, A, H

J Trouver la robe 42 O, F, A, H

K Choisir un endroit pour la réception 20 C, D

L Louer l’équipement nécessaire (tables, chaises, nappes…) 12 C, D

M Envoyer les invitations 32 K, L, G

N Remplir les papiers administratifs exigés 12 J, I, E

O Trouver un ou une photographe 23 M

P Établir le budget 2 Aucun

Quel temps minimal faut-il compter pour la préparation de ce mariage, en tenant compte de la liste des tâches établie par Simon et Stéphanie ?

Il faut compter 152 jours pour la préparation du mariage. Démarche :

On peut modéliser la situation par le graphe orienté et valué ci-dessous, où les sommets représentent les tâches et où les arêtes correspondent au nombre de jours nécessaires pour réaliser les diverses tâches.

Le chemin critique est Début – P – C – K – M – F – J – B – Fin.

Son poids est de 152 jours, soit .

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Les graphes (suite)

24. Hassan vient d’être embauché pour livrer le journal aux personnes abonnées de son village. Sur le plan ci-dessous, les maisons où il doit livrer le journal sont représentées par des lettres. On y voit aussi les rues reliant certaines d’entre elles et le temps nécessaire pour les parcourir (en minutes).

Déterminez un trajet, partant de la maison de Hassan, qui lui permettrait de livrer tous les journaux en moins de temps possible, en sachant qu’il doit d’abord aller chercher les journaux à l’imprimerie. De plus, déterminez l’heure à laquelle Hassan serait de retour chez lui s’il commence sa tournée à 5 h 30 du matin et qu’il prend une pause de 15 min au cours de sa tâche.

Selon les conditions de la situation, le trajet le moins long est Maison de Hassan – Imprimerie – A – B – E – B – C – D – G – F – A – Maison de Hassan.

Le poids de cette chaîne est de 108 min, soit .

En suivant ce trajet, Hassan terminerait sa tâche en 123 min, en incluant sa pause, soit 108 + 15.

Il serait donc de retour chez lui à 7 h 33, soit 5 h 30 + 2 h 03, car 123 min équivalent à 2 h 03.

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Les graphes (suite)

25. Thierry souhaite participer à la campagne électorale en vue de l’élection à la mairie de sa ville. Il appuie fortement un candidat et veut faire un peu de porte-à-porte pour le faire connaître davantage aux citoyens et citoyennes. Il sait que le quartier où il veut aller rencontrer les gens compte deux culs-de-sac. Thierry est donc convaincu qu’il peut réussir à passer par toutes les rues, sans jamais passer deux fois par la même rue, simplement en s’assurant de partir d’un cul-de-sac et de terminer son trajet à l’autre cul-de-sac. Thierry a-t-il raison de penser ainsi ? Justifiez votre position.

Non, il n’a pas raison. Thierry voudrait parcourir une chaîne eulérienne. Pour qu’un graphe ait une chaîne eulérienne, il faut que seulement deux de ses sommets soient de degré impair. On sait que deux des sommets du graphe qui correspondrait à la situation sont de degré impair. Il s’agit des deux culs-de-sac, qui sont de degré 1. Cependant, on ne sait pas s’il y a d’autres sommets de degré impair (comme une intersection où trois rues se croiseraient). Thierry ne peut donc pas savoir si ce qu’il souhaite faire est possible ou non.

26. Fabienne a sa propre entreprise de décoration d’événement. Son plus récent contrat consiste à décorer le site du Festival du clown de Saint-Gratin. Elle réfléchit à la façon d’installer d’immenses banderoles entre les divers petits chapiteaux. Pour cela, elle a pris en note l’emplacement des chapiteaux ainsi que les distances, en mètres, entre eux.

Chapiteau 2 3 4 5 6 7

1 104 329 220 467 208 79

2 178 118 315 298 286

3 97 144 450 502

4 133 282 311

5 409 501

6 126

Fabienne ne croit pas relier tous les chapiteaux entre eux par des banderoles, car elle craint que le décor soit alors trop chargé. Cependant, elle souhaite que chaque chapiteau soit relié à au moins un autre par une banderole.

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Les graphes (suite)

26. (suite)

a) Suggérez à Fabienne un arrangement possible de banderoles qui créerait un décor agréable.

b) Toujours en tenant compte des contraintes que Fabienne s’est fixées, quel serait l’arrangement le plus économique, sachant que les banderoles se vendent au mètre ?

L’arrangement le plus économique, où chaque chapiteau serait relié à au moins un autre par une banderole, est donné par l’arbre de valeur minimale ci-dessous.

c) Lequel des deux arrangements Fabienne devrait-elle choisir, à votre avis ? Justifiez votre réponse.

Fabienne devrait choisir le premier arrangement, car ce qui importe, c’est que les personnes qui lui ont octroyé le contrat soient satisfaites de son travail. De plus, elle peut sans doute justifier le coût supplémentaire des banderoles nécessaires pour faire un arrangement esthétiquement réussi plutôt qu’un arrangement économique. D’autre part, l’installation des banderoles exigera seulement un peu plus de temps pour le premier arrangement que pour le second, ce qui confirme qu’elle devrait opter pour la qualité de son travail et non simplement pour le profit supplémentaire qu’elle pourrait réaliser.

Plusieurs réponses possibles. Exemple :

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Les graphes (suite)

27. Pendant le Festival de la danse de Montréal, Laurence et six camarades, Steve, Françoise, Amélie, Sylvain, Lucie et Jacynthe, ont décidé d’aller tous ensemble à un spectacle. Par souci écologique et comme ils habitent tous relativement loin de la ville, Laurence souhaiterait qu’ils s’y rendent tous dans la même minifourgonnette. Elle envoie donc un courriel aux autres pour leur demander ce qu’ils en pensent. D’abord, Steve trouve qu’Amélie habite trop loin des autres et qu’elle devrait faire le trajet seule. Françoise, quant à elle, n’apprécie pas beaucoup la présence de Lucie et de Jacynthe, et préférerait donc ne pas faire la route avec elles. Lucie affirme que Steve et Amélie sont toujours en retard et devraient donc se rendre à Montréal par leurs propres moyens. Jacynthe estime que ce serait un trop long détour que d’aller chercher Françoise, Lucie et Amélie. Amélie trouve Sylvain trop bruyant en voiture ; elle préférerait ne pas faire la route avec lui. Finalement, Sylvain est d’avis que le voyage serait trop inconfortable à sept dans un même véhicule ; il suggère que Lucie fasse le trajet séparément puisqu’elle habite près de Montréal.

Si Laurence essayait de satisfaire les demandes de tous ses camarades, combien de véhicules, au minimum, seraient nécessaires ?

Il faudrait un minimum de trois véhicules pour satisfaire les demandes de tout le monde. Démarche :

On peut modéliser la situation par le graphe coloré ci-dessous, où les sommets représentent les personnes devant se rendre à un spectacle de danse et où les arêtes correspondent à une incompatibilité entre deux personnes à propos du partage d’un même véhicule.

Sommets par ordre décroissant de degré : Lucie (5), Amélie (4), Jacynthe (3), Steve (2), Françoise (2), Sylvain (2).

Le nombre chromatique de ce graphe est 3.

Il faudrait donc un minimum de trois véhicules pour que les sept camarades puissent se rendre au spectacle.

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Les graphes (suite)

28. Charles désire amasser des fonds pour aider la recherche sur le cancer en parcourant la France à vélo. Pour chaque kilomètre parcouru, il compte remettre une somme de 5 $ à la Société canadienne du cancer et il espère que la population de sa ville participera à cette cause en l’appuyant financièrement. Pour établir son trajet, il a choisi huit villes par où il aimerait passer. Ces villes sont énumérées dans le tableau ci-dessous, qui donne aussi les distances, en kilomètres, entre certaines d’entre elles.

Toulouse Nice Nantes Bordeaux Marseille Lyon Orléans

Paris — — 346 — — 392 112

Orléans 482 — 273 — 578 327

Lyon — 298 — 438 280

Marseille 318 158 — 508

Bordeaux 208 — —

Nantes — —

Nice 470

Charles veut déterminer le trajet le plus court lui permettant de passer par toutes ces villes. Quel parcours doit-il choisir pour répondre aux exigences qu’il s’est fixées et à combien s’élèveraient alors les fonds amassés pour la Société canadienne du cancer ?

Le parcours que Charles doit choisir est Nantes – Orléans – Paris – Lyon – Nice – Marseille – Toulouse – Bordeaux, et les fonds amassés s’élèveraient à 8795 $. Démarche :

On peut modéliser la situation par le graphe valué ci-contre, où les sommets représentent les villes par lesquelles Charles veut passer et où les arêtes correspondent à la distance, en kilomètres, entre deux villes.

Le trajet le plus court est Nantes – Orléans – Paris – Lyon – Nice – Marseille – Toulouse – Bordeaux.

Son poids est de 1759 km, soit .

Ce trajet permettrait d’amasser 8795 $, soit 1759 � 5.

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Les probabilités conditionnelles

29. Le directeur des ventes d’un fabricant de chocolat observe les quantités de barres différentes produites par l’entreprise, en lien avec la demande. Il remarque que 66 % des barres de chocolat sortant de l’usine sont au chocolat noir et le reste au chocolat au lait. Il y a 48 % des barres de chocolat noir qui contiennent des noix, comparativement à 33 % dans le cas des barres de chocolat au lait. Si l’on tire au hasard une barre de chocolat d’un lot sortant de l’usine, quelle est la probabilité qu’elle soit faite de chocolat au lait, sachant qu’elle contient des noix ?

La probabilité est d’environ 26,15 %. Démarche :

Posons les événements suivants.

A : Être une barre au chocolat au lait.

A� : Être une barre au chocolat noir.

B : Être une barre de chocolat avec des noix.

B� : Être une barre de chocolat sans noix.

Le diagramme en arbre ci-contre modélise la situation.

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Consolidation p. 227 à 239

Les probabilités conditionnelles (suite)

30. Jules travaille au sein d’un organisme dont les 220 membres doivent élire le conseil d’établissement. Chargé de dépouiller les votes, il a résumé dans le tableau ci-dessous les préférences des membres quant aux candidatures au poste de présidence du conseil.

Nombre de membres

65 80 75

1er

choix Sylvie Vincent Marilou

2e choix Marilou Marilou Sylvie

3e choix Vincent Sylvie Vincent

a) Jules utilisera l’une des procédures de votation suivantes : un scrutin à la majorité, un scrutin à la pluralité ou le critère de Condorcet. Déterminez qui, selon chacune des procédures, accéderait à la présidence du conseil d’établissement.

1) Le scrutin à la majorité

Selon un scrutin à la majorité, personne ne serait élu à la présidence. Démarche :

Sylvie a obtenu 65 votes de 1er choix, Vincent 80 votes et Marilou 75.

Personne n’a obtenu plus de la moitié des votes de 1er choix, car il aurait fallu

obtenir plus de 110 votes pour l’emporter, soit .

Donc, personne ne serait élu à la présidence.

2) Le scrutin à la pluralité

Selon un scrutin à la pluralité, Vincent serait le nouveau président. Démarche :

Vincent a obtenu le plus grand nombre de votes de 1er choix, soit 80, alors que Sylvie et Marilou ont obtenu respectivement 65 et 75 votes.

Donc, Vincent serait élu à la présidence.

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation p. 227 à 239

Les probabilités conditionnelles (suite)

30. (suite)

3) Le critère de Condorcet

Selon le critère de Condorcet, Marilou serait la nouvelle présidente. Démarche :

Parmi les personnes ayant voté, 140 préféraient Sylvie à Vincent, soit 65 + 75, alors que 80 préféraient Vincent à Sylvie. Sylvie remporte donc le duel contre Vincent.

De plus, 65 personnes préféraient Sylvie à Marilou, alors que 155 préféraient Marilou à Sylvie, soit 80 + 75. Marilou remporte donc le duel contre Sylvie.

Enfin, 140 personnes préféraient Marilou à Vincent, soit 65 + 75, alors que 80 préféraient Vincent à Marilou. Marilou remporte donc le duel contre Vincent.

Ainsi, Marilou serait élue à la présidence, car elle a remporté ses duels contre les autres candidats.

b) Sur les 220 membres, 120 sont des femmes. Des 65 membres ayant mis dans l’ordre décroissant de préférence Sylvie, Marilou et Vincent, 42 sont des femmes. Du groupe de membres qui ont choisi Marilou comme premier choix, 64 sont des hommes et 11 des femmes. À la lumière de ces données, et si l’on désignait un membre de cet organisme au hasard, quelle est la probabilité que cette personne soit un homme, sachant qu’elle a choisi Vincent comme premier choix ?

La probabilité est de 16,25 %. Démarche :

Posons les événements suivants.

H : Être un homme.

F : Être une femme.

V : Avoir choisi Vincent comme premier choix.

S : Avoir choisi Sylvie comme premier choix.

M : Avoir choisi Marilou comme premier choix.

Le diagramme en arbre ci-contre modélise la situation.

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Consolidation p. 227 à 239

Les probabilités conditionnelles (suite)

31. Véronique est travailleuse sociale auprès des jeunes de sa ville. Le week-end prochain, elle veut aller discuter de choix de carrière avec des ados à la maison des jeunes. Pour attirer leur attention, elle veut leur présenter des énigmes. En effectuant des recherches à ce sujet, elle est tombée sur ce qu’on appelle le paradoxe des trois pièces de monnaie.

La mise en situation de ce paradoxe est la suivante : il s’agit de déterminer la probabilité que trois pièces de monnaie affichent le même côté (pile ou face) après qu’on les a lancées dans les airs. L’essence du paradoxe vient de l’affrontement des deux raisonnements

suivants : certains diront que cette probabilité est de puisque deux possibilités sur huit

permettent de réaliser l’événement attendu (PPP ou FFF), alors que d’autres avancent que

cette probabilité est plutôt de , puisque deux des trois pièces afficheront nécessairement

le même côté et qu’il y a donc une chance sur deux que la troisième affiche aussi ce côté (PP-P ou FF-F).

Lequel des deux raisonnements est valable ? Appuyez votre position par des arguments mathématiques faisant appel aux probabilités conditionnelles.

Le premier raisonnement est valable. Démarche :

Le second raisonnement néglige le fait que les quatre résultats possibles (PP-P, PP-F, FF-P et FF-F) ne sont pas équiprobables. En effet, PP-F a beaucoup plus de chance de se réaliser que PP-P, puisque FPP, PFP et PPF sont trois possibilités qui correspondent à cet événement, alors qu’il n’y a qu’une seule possibilité dans le cas de PP-P. Cette affirmation est aussi valable pour FF-P, qui devrait se réaliser plus souvent que FF-F.

C’est pourquoi on ne peut pas simplement affirmer que la probabilité est de .

On peut faire appel aux probabilités conditionnelles pour appuyer le premier raisonnement, c’est-à-dire que la probabilité d’obtenir trois pièces de monnaie affichant le même côté

est de .

Soit A l’événement « obtenir trois pièces affichant le même côté » et B l’événement « obtenir deux des trois pièces affichant le même côté ».

On cherche la probabilité d’obtenir trois pièces affichant le même résultat, sachant que ce sera nécessairement le cas de deux d’entre elles. On cherche donc P(A | B).

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Consolidation p. 227 à 239

Les probabilités conditionnelles (suite)

32. Nicolas travaille au sein d’un organisme qui fait la promotion de l’exercice physique dans les pays d’Amérique du Sud, où le taux d’obésité ne cesse d’augmenter depuis quelques années. Avant sa prochaine mission, il doit subir un test de dépistage pour s’assurer de ne pas être porteur d’un virus dont sont atteintes environ 2 personnes sur 5000. Nicolas s’interroge sur la fiabilité des résultats obtenus avec ce test de dépistage. Selon ses recherches, lorsqu’une personne souffre de la maladie causée par le virus, le test sera positif (indiquant donc que la personne est malade) dans 98 % des cas. Cependant, si une personne n’est pas malade, le test s’avérera malgré tout positif dans 0,2 % des cas. Bien que les statistiques semblent de prime abord satisfaisantes, Nicolas voudrait connaître la probabilité qu’une personne soit effectivement malade si le résultat du test est positif. Déterminez cette probabilité.

La probabilité est d’environ 16,39 %. Démarche :

Soit les événements suivants.

A : Être malade.

A� : Ne pas être malade.

B : Le test est positif.

B� : Le test est négatif.

Le diagramme en arbre ci-contre modélise la situation.

On cherche la probabilité que la personne ayant subi le test soit effectivement malade, sachant que le résultat du test est positif. On cherche donc P(A | B).

La probabilité que la personne soit effectivement malade si le résultat du test est positif est d’environ 16,39 %. Le test n’est donc pas très fiable.

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Consolidation plusp. 240 à 243

1. Gilles est sculpteur. Sa ville lui a confié le mandat de créer une sculpture qui sera placée dans la fontaine du centre-ville. Il a imaginé une forme plutôt complexe qu’il appuierait sur une des bases d’un cylindre droit qui jouerait le rôle de piédestal. Il veut que ce cylindre occupe le plus grand espace possible. Cela dit, il ne veut pas que son aire latérale dépasse 2 m2, car cela correspond à la quantité de fibre plastique dont il dispose pour le fabriquer. De plus, il veut que la hauteur du cylindre soit au moins trois fois la mesure du diamètre d’une des bases. Aussi, le rayon des bases doit mesurer entre 10 et 60 cm. Quelles doivent être les dimensions du cylindre ?

La hauteur du cylindre doit mesurer environ 1,38 m et le diamètre de chaque base 0,46 m. Démarche :

x : le diamètre des bases (m).

y : la hauteur du cylindre (m).

Contraintes :

Fonction à optimiser :

Sommets : Volume :

A(0,2, 3,2)

B(0,46, 1,38)

C(0,2, 0,6)

Le volume maximal d’environ 0,23 m3 est atteint au point B(0,46, 1,38).

x � 0

y � 0

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Consolidation plusp. 240 à 243

2. Louis travaille pour une petite organisation qui fait la promotion du commerce équitable en Amérique du Nord. Son mandat actuel consiste à diriger une campagne de sensibilisation dans les épiceries indépendantes de différentes villes. Il doit notamment commander 120 pancartes destinées à recevoir divers slogans de sensibilisation. Ces pancartes auront la forme d’un triangle rectangle dont le plus petit côté mesure 75 cm et dont l’un des deux angles aigus mesure 35°. Souhaitant que sa campagne soit le plus explosive possible, Louis veut qu’un certain nombre des pancartes soient peintes en rouge et les autres en vert. Cependant, il veut au plus deux fois moins de pancartes vertes que de pancartes rouges, mais aimerait quand même avoir plus de 35 pancartes vertes. Aussi, il ne dispose de suffisamment de peinture rouge que pour couvrir environ 48 m2.

Compte tenu de toutes ces contraintes, déterminez le coût minimal des pancartes de couleur, sachant qu’une pancarte rouge coûte 2,20 $ à fabriquer et qu’une pancarte verte coûte 1,75 $. Précisez le nombre de pancartes de chaque couleur que Louis devra peindre.

Le coût minimal des pancartes de couleur sera de 215,25 $. Louis devra peindre 70 pancartes en rouge et 35 en vert. Démarche :

Il faut d’abord déterminer l’aire d’une seule pancarte en faisant appel à la trigonométrie.

On sait que le plus petit angle intérieur d’un triangle fait nécessairement face au plus petit côté dudit triangle.

Les trois angles de ce triangle mesurent respectivement 35°, 55° et 90°.

Il faut trouver la mesure de la seconde cathète.

On détermine ensuite l’aire d’une pancarte.

Comme il y aura 120 pancartes en tout, l’aire totale à couvrir est d’environ 48,204 m2, soit .

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Consolidation plusp. 240 à 243

2. (suite)

x : le nombre de mètres carrés de pancarte rouge.

y : le nombre de mètres carrés de pancarte verte.

Contraintes :

Comme la fonction à optimiser est en lien avec le nombre de pancartes de chaque couleur, il faut donc exprimer ces sur-faces en nombre de pancartes qu’elles représentent.

On a déjà établi que l’aire d’une pancarte est d’environ 0,4017 m2.

Fonction à optimiser :

Sommets : Coût :

A(28,119, 14,0595) = 215,25 $

B(32,136, 16,068) = 246 $

C(34,1445, 14,0595) = 248,25 $

La fonction atteint le coût minimal de 215,25 $ au point A(28,119, 14,0595).

Louis devra donc peindre 70 pancartes en rouge, soit , et 35 pancartes

en vert, soit .

x � 0

y � 0

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Consolidation plusp. 240 à 243

3. Sylvie souhaite mettre sur pied une petite entreprise de peinture extérieure. Elle doit notamment déterminer combien de dépliants elle devrait préparer.

a) Sylvie compte offrir ses services à deux types de clientèle : les propriétaires d’immeubles commerciaux et les propriétaires de résidences privées. Elle doit donc préparer deux dépliants différents. Elle s’attend à intéresser au moins trois fois plus de petites familles que de commerces. Pour commencer à se faire connaître, elle veut avoir en main au plus 600 dépliants, dont plus de 300 seront destinés aux résidences. Elle sait que les quartiers qui l’intéressent comptent au minimum 120 commerces. Comme elle veut réduire le plus possible ses dépenses, combien de dépliants de chaque sorte devrait-elle préparer si le dépliant destiné aux commerces engendre des frais de production de 0,80 $ et le dépliant destiné aux résidences des frais de 0,90 $ ?

Afin de réduire ses dépenses, Sylvie devrait préparer 360 dépliants destinés aux résidences et 120 destinés aux commerces. Démarche :

x : le nombre de dépliants destinés aux résidences.

y : le nombre de dépliants destinés aux commerces.

Contraintes :

Fonction à optimiser :

Sommets : Dépenses :

A(360, 120) = 420 $

B(480, 120) = 528 $

C(450, 150) = 525 $

Des dépenses minimales de 420 $ sont atteintes au point A(360, 120).

x � 0

y � 0

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Consolidation plusp. 240 à 243

3. (suite)

b) Sylvie s’est intéressée à diverses statistiques liées à la vente de porte à porte. Ainsi, elle a lu que dans 60 % des cas c’est l’homme de la maison qui ouvre la porte alors que le reste du temps c’est la femme. De plus, 6 fois sur 10, les gens refusent tout produit vendu de porte à porte, tous genres confondus.

1) Quelle est la probabilité que, lorsque Sylvie sonnera chez quelqu’un, ce soit une femme qui lui ouvre la porte et qu’elle se montre intéressée par les services qu’elle a à offrir ?

La probabilité est de 16 %. Démarche :

Posons A l’événement « être une femme montrant de l’intérêt pour les services offerts par Sylvie ».

2) Quelle est la probabilité que la personne qui viendra ouvrir la porte à Sylvie soit un homme et qu'il ne veuille pas en connaître davantage sur ce qu’elle a à offrir ?

La probabilité est de 36 %. Démarche :

Posons A l’événement « être un homme qui ne s’intéresse pas aux services offerts par Sylvie ».

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Consolidation plusp. 240 à 243

4. Rose confectionne des chocolats et en fait la vente dans son voisinage. Elle a conçu une nouvelle tablette de chocolat en se basant sur la transformation géométrique illustrée ci-contre.

Elle veut maintenant calculer la quantité, en unités carrées, de papier d’aluminium nécessaire pour recouvrir la tablette ainsi que la quantité de chocolat qu’elle devra utiliser par tablette.

Pour chaque tablette de chocolat, Rose aura besoin d’environ 317,83 unités carrées de papier d’aluminium et d’environ 314,16 unités cubes de chocolat. Démarche :

Il faut d’abord déterminer la règle de la translation pour pouvoir calculer la longueur de la tablette.

La règle de la translation est t(11, 5).

En utilisant la relation de Pythagore, on trouve que la longueur de la tablette est d’environ

12,08 unités, soit .

Pour calculer la quantité de papier d’aluminium nécessaire, il faut également déterminer les mesures des côtés du trapèze, c’est-à-dire la distance entre chacun des sommets

du trapèze .

Les sommets du trapèze sont .

Distance entre A et B : unités

Distance entre B et C : unités

Distance entre C et D : unités

Distance entre D et A : unités

Quantité de papier d’aluminium :

Quantité de chocolat :

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5. Marco est le directeur du marketing d’une compagnie spécialisée dans les fournitures de bureau. Son plus récent mandat est d’organiser la mise en marché d’un nouveau modèle de lampe de travail, offert en trois formats.

a) Marco veut notamment préparer pour la télévision une publicité présentant les trois formats de la lampe. Pour donner clairement ses consignes à la personne responsable de la réalisation de l’annonce, il veut se servir du plan cartésien ci-contre, où les cercles représentent les formats de lampe.

Déterminez les règles des compositions de transformations qui relient la figure initiale 1 aux deux autres figures.

Pour aller de la figure 1 à la figure 2 :

Pour aller de la figure 1 à la figure 3 :

b) Pour emballer les lampes, Marco voudrait quelque chose qui soit à la fois attrayant et écologique. Il penche pour des emballages de carton en forme de prismes, qui reviennent à 0,02 $/cm2. Dans le cas de la lampe de format moyen, une demi-boule d’un rayon de 12 cm, quelle est la fonction permettant de déterminer le coût de la commande que Marco devra placer, selon le nombre de boîtes dont il aura besoin ?

La fonction est y = 46,08x, où x représente le nombre de boîtes commandées et y le coût de la commande. Démarche :

x : le nombre de boîtes commandées.

y : le coût de la commande.

C’est un prisme droit à base carrée qui correspond à l’emballage le plus écologique possible (la plus petite aire totale possible), selon les critères de Marco. La hauteur de ce prisme sera de 12 cm et les côtés de la base carrée mesureront chacun 24 cm.

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6. Jean souhaite fabriquer un capteur solaire pour aider à conserver l’eau de sa piscine à une température plus élevée. Après des recherches, il établit qu’il lui faut un capteur d’une surface de 4 m2. Cela dit, il doit installer une courroie autour du capteur, qui, elle, est très coûteuse. Pour minimiser le coût d’achat de cette courroie, il se questionne surle polygone à privilégier pour le capteur.

À l’aide d’un mode de représentation approprié, représentez la relation entre le périmètre et le nombre de côtés pour des polygones équivalents, puis indiquez la forme géométrique que Jean devrait choisir pour son capteur.

Jean devrait choisir la forme circulaire pour son capteur. Démarche :

On sait qu’on peut établir la mesure d’un angle au centre � d’un polygone

régulier à l’aide de la formule , où n représente le nombre de côtés

de la figure.

De plus, à l’aide de notions de base en trigonométrie, on peut trouver la relation qui unit la mesure du côté du polygone à celle de l’apothème.

Par exemple, pour un décagone régulier, la mesure de l’apothème se calcule à l’aide de la relation suivante, où x représente la demi-mesure du côté du décagone.

Étudions le cas où il faut déterminer le périmètre d’une figure régulière ayant une aire de 4 m2 selon son nombre de côtés.

Pour un hexagone régulier, on a les informations suivantes.

Nombre de côtés : n = 6

Demi-mesure de l’angle au centre : 30º

Mesure du côté de l’hexagone : c = 2x

Demi-mesure du côté : x

Périmètre :

Mesure de l’apothème :

Aire de l’hexagone :

Comme l’aire de l’hexagone est de 4 m2, on peut déterminer la valeur de la variable x.

Mesure du côté : c � 2 · 0,6204 = 1,2408

Périmètre :

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6. (suite)

Le tableau ci-contre indique le périmètre d’un polygone régulier dont l’aire est de 4 m2 selon son nombre de côtés.

Le graphique ci-dessous met en évidence le fait que, pour deux figures équivalentes, celle ayant le plus grand nombre de côtés aura le plus petit périmètre.

Nombre de côtés

Périmètre (m)

3 9,12

4 8,00

5 7,63

6 7,44

7 7,34

8 7,28

9 7,24

10 7,21

11 7,19

12 7,17

La fonction suivante décrit la relation qui existe entre le nombre de côtés d’un polygone régulier (x) et son périmètre (y).

En effet, si z est la demi-mesure d'un côté du polygone, on a y = 2xz et z = .

On constate donc que plus le nombre de côtés est grand, plus le périmètre diminue.

À la lumière de ces informations, Jean devrait construire un capteur de forme circulaire.

Pour une aire de 4 m2, le rayon serait d’environ 1,128 m, soit r = , car A = �r2.

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7. Michelle est organisatrice d’événements et sa ville lui a demandé d’organiser un rallye ayant pour but d’aider les nouveaux résidents et résidentes à se familiariser avec les différents quartiers. Elle a donc dressé une liste de 10 endroits où elle souhaiterait que s’arrêtent les personnes participant à ce rallye. Le plan ci-dessous représente l’emplacement des 10 endroits ainsi que les rues qui les relient. Les coordonnées correspondent à des distances données en mètres.

a) Quelqu’un peut-il passer par chacun des 10 endroits sans emprunter plus d’une fois une même rue ? Justifiez votre réponse.

Non. Si l’on considère les endroits 2, 8 et 7 comme trois sommets d’un graphe, ils devraient tous constituer le début ou la fin de cette chaîne hamiltonienne étant donné qu’ils sont tous de degré 1. Il ne faudrait que deux sommets de degré 1 au lieu de trois.

b) Est-il possible de compléter le rallye en effectuant une chaîne eulérienne ? Justifiez votre réponse.

Non. Pour qu’un graphe ait une chaîne eulérienne, il faut que seulement deux de ses sommets soient de degré impair, ce qui n’est pas le cas ici puisque quatre sommets sont de degré impair.

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Consolidation plusp. 240 à 243

7. (suite)

c) Michelle a l’intention d’installer un kiosque d’information pour les participants et participantes qui auraient besoin d’aide. Ce kiosque se situera à égale distance des endroits 3 et 4, le long de la rue qui les relie. Les coordonnées de son emplacement sont (–290, 85). Déterminez les coordonnées de l’endroit 4.

Les coordonnées de l’endroit 4 sont (–130, 390). Démarche :

On a PM(–290, 85) et P3(–450, –220).

On sait que .

Les coordonnées de l’endroit 4 sont (–130, 390).

d) Le jour de l’événement, une équipe a effectué le rallye en suivant le trajet 7 – 10 – 6 – 9 – 8 – 9 – 5 – 4 – 3 – 1 – 2. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

L’équipe a parcouru une distance d’environ 3806,17 m. Démarche :

Distance entre 7 et 10 : � 278,57 m

Distance entre 10 et 6 : � 509,61 m

Distance entre 6 et 9 : � 290,69 m

Distance entre 9 et 8 : � 102,96 m

Distance entre 9 et 5 : � 384,19 m

Distance entre 5 et 4 : � 545,71 m

Distance entre 4 et 3 : � 688,84 m

Distance entre 3 et 1 : � 497,52 m

Distance entre 1 et 2 : � 405,12 m

Distance totale parcourue : � 278,57 + 509,61 + 290,69 + 2 � 102,96 + 384,19 + 545,71 + 688,84 + 497,52 + 405,12 = 3806,17 m

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Consolidation plusp. 240 à 243

8. Sylvie est une jeune entrepreneure qui désire ouvrir un petit restaurant familial dans sa banlieue. Pour attirer les jeunes familles, elle compte offrir un menu abordable, mais elle veut aussi juxtaposer à son resto un petit labyrinthe pour les enfants, dont les murs seront formés d’arbustes. Voici le plan qu’elle a en tête pour ce labyrinthe.

a) Sylvie veut s’assurer que son labyrinthe sera accessible aux petits. À l’aide d’un graphe, trouvez la probabilité qu’un jeune enfant qui entrera dans le labyrinthe réussisse à trouver la sortie sans faire d’erreur.

La probabilité est de 1,5625 %. Démarche :

Le labyrinthe compte six culs-de-sac.

On peut modéliser la situation par le graphe valué ci-contre, où les sommets représentent l’entrée, la sortie, les culs-de-sac et les endroits où il faut prendre une décision quant à la direction à choisir, et où les arêtes correspondent à la probabilité de choisir une direction.

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Consolidation plusp. 240 à 243

8. (suite)

b) Sylvie prévoit installer une fontaine au centre de son labyrinthe et l’entourer de trois murs d’arbustes. La figure ci-contre représente un agrandissement de la partie correspondante du plan du labyrinthe, où quelques mesures sont données.

De quelle surface Sylvie dispose-t-elle pour installersa fontaine ?

Sylvie dispose d’environ 5,16 m2 de surface pour installer sa fontaine. Démarche :

Pour pouvoir utiliser la formule de Héron, il faut connaître la mesure des trois côtés du triangle.

Le troisième angle mesure 61°, soit 180 – 55 – 64.

À l’aide de la loi des sinus, il est possible de trouver la mesure des deux autres côtés.

À l’aide de la formule de Héron, on peut calculer l’aire.

Demi-périmètre :

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Consolidation plusp. 240 à 243

9. Joseph est technicien en aménagement paysager. Son contrat actuel concerne l’aménagement d’un terrain de golf. Il est rendu à l’étape de déterminer où installer des fontaines d’eau potable le long du parcours 18 trous. Le plan ci-dessous représente le système souterrain de conduites d’eau avec toutes les sorties d’eau possibles.

a) Les propriétaires du terrain de golf ont informé Joseph que le système souterrain est relativement vieux et qu’il faudra donc nettoyer en profondeur les tuyaux dont il aura besoin. Si Joseph souhaite installer une fontaine à toutes les sorties d’eau existantes tout en minimisant les dépenses des propriétaires, indiquez tous les tuyaux qui devront être nettoyés en les surlignant dans le graphe ci-dessus.

Plusieurs réponses possibles. Exemple : Voir les arêtes en gris dans le graphe ci-dessus.

b) Joseph s’est informé du prix unitaire des fontaines auprès de son fournisseur. La réponse qu’on lui a fournie est donnée ci-dessous.

Déterminez ce que x et f(x) représentent dans le contexte. De plus, en tenant compte de votre réponse en a), déterminez la somme que Joseph devra payer à son fournisseur.

x : le nombre de fontaines achetées.

f(x) : le coût unitaire des fontaines ($).

Joseph devra payer 5600 $ à son fournisseur, soit 16 � 350, puisqu’il a besoin de 16 fontaines et que chacune coûte 350 $.

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Consolidation plusp. 240 à 243

10. Selma fait du bénévolat auprès d’organisations sportives de sa communauté. Pour aider l’équipe juvénile féminine de waterpolo à amasser des fonds, elle organise un petit triathlon amical. Comme elle s’attend à un taux de participation élevé, elle compte proposer un choix d’itinéraires équivalents aux participants et participantes. Le plan ci-dessous représente les différentes épreuves du triathlon : un trait continu noir indique une portion à effectuer en vélo, un trait continu gris une portion à faire en course à pied et un trait en pointillés une portion à faire à la nage.

a) Selma veut proposer deux itinéraires constitués de six portions, soit deux de vélo, deux de course et deux de nage. Déterminez un cycle et une chaîne qui respectent les contraintes de Selma.

Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Cycle : 3 – 1 – 2 – 7 – 6 – 7 – 3

Chaîne : 1 – 5 – 4 – 3 – 5 – 6 – 7

b) La journée du triathlon, Pierre, un participant, est la 47e personne à franchir la ligne d’arrivée. Selma lui annonce que son rang centile est 78. Déterminez le nombre de personnes ayant participé à l’activité de Selma.

Il y a eu 214 personnes qui ont participé à l’activité de Selma. Démarche :

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11. Caroline travaille au Service des ventes d’une compagnie pharmaceutique qui, dernièrement, a mis sur le marché un sirop contre la toux. Elle observe certaines caractéristiques des personnes qui achètent ce nouveau produit, afin d’en adapter la campagne publicitaire.

a) Le tableau à double entrée ci-dessous illustre les différences de consommation entre hommes et femmes, pour un échantillon représentatif de 500 individus formé d’autant de femmes que d’hommes. Complétez ce tableau.

Habitudes de consommation N’achète

jamais Achète

occasionnellement Achète

fréquemment Total

Hommes 184 40 26 250

Femmes 57 125 68 250

Total 241 165 94 500

b) Si Caroline veut en savoir davantage sur les habitudes de consommation des gens et qu’elle téléphone à une des personnes ayant répondu au sondage, quelle est la probabilité que cette personne ait répondu qu’elle n’achète jamais le sirop si c’est une femme ?

La probabilité est de .

c) En poursuivant ses observations, Caroline a construit le graphique ci-contre qui met en évidence le taux d’efficacité du sirop (en pourcentage) selon l’âge (en années) de la personne qui l’utilise.

Si une personne de 42 ans utilise ce sirop, quel est le taux d’efficacité de ce dernier ? Justifiez votre réponse à l’aide d’arguments mathématiques.

Le taux d’efficacité est de 74 %. Démarche :

Il faut d’abord trouver l’équation de la droite.

Sur le graphique, on peut facilement déterminer les coordonnées de deux points situés sur la droite. Par exemple, les points (50, 70) et (90, 50).

L’équation de la droite est donc , où x représente l’âge de l’individu en années et y le taux d’efficacité du sirop en pourcentage.

Il suffit ensuite de remplacer la variable x par sa valeur dans l’équation.

Lorsque x = 42 ans, y = 74 %, soit .

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Module 8 – CST Retour sur les apprentissages

Consolidation plusp. 240 à 243

12. À la demande d’un parc d’attractions intérieur, Guillaume a conçu un nouveau jeu destiné aux enfants de moins de six ans. Le jeu consiste en une cible ayant la forme d’un cylindre droit, d’une hauteur de 4 dm et d’un diamètre de 2 dm, qui est sans cesse en mouvement et qu’il faut atteindre d’une balle. La surface latérale du cylindre est peinte de trois couleurs : la moitié en vert, le tiers en bleu et le reste en rouge. Pour ce qui est des bases, identiques, elles sont peintes en deux couleurs (bleu et rouge), comme l’illustre la figure ci-contre.

Si l’on atteint une surface verte, on accumule 15 points, alors qu’une surface bleue en donne 8 et une surface rouge 5. Guillaume a établi, en étudiant les probabilités fréquentielles, que les joueurs ou joueuses atteignent la surface latérale deux fois sur cinq. En essayant son nouveau jeu, il a atteint une surface rouge. Quelle est alors la probabilité qu’il ait atteint une des deux bases de la cible ?

La probabilité est d’environ 58 %. Démarche :

Aire des deux bases :

Aire totale du cylindre :

Aire des surfaces rouges sur les bases du cylindre :

Le rayon du cercle rouge sur la base du cylindre est de 0,4 dm, soit 1 – 0,6.

Aire de la surface rouge sur la surface latérale du cylindre :

Il y a de la surface latérale du cylindre qui est peint en rouge, soit .

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12. (suite)

Aire totale des surfaces rouges :

Posons les événements suivants.

A : Atteindre une des deux bases.

B : Atteindre une surface rouge.

On cherche la probabilité d’atteindre une des deux bases, sachant que Guillaume a atteint une surface rouge, soit P(A | B).

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