these caractérisation et modélisation d'interconnexions et d

ECOLE DOCTORALE SCIENCES ET INGENIERIE

de l’Université de Cergy-Pontoise

THESE

présentée pour obtenir le grade de docteur de l’université de Cergy-Pontoise

Spécialité : STIC

Discipline : Electronique

Caractérisation et modélisation d’interconnexions

et d’inductances en technologie BiCMOS.

Application à l’amplification faible bruit.

présentée et soutenue publiquement

par

Linh NGUYEN TRAN

le 07 Mai 2009

Devant le jury composé de :

M. Bernard FLECHET (Professeur à l’Université de Savoie)

Rapporteur

Mme. Catherine ALGANI (Professeur au Conservatoire National des Arts et Métiers)

Rapporteur

Mme. Danielle VANHOENACKER-JANVIER (Professeur à l’Université Catholique de Louvain-la-Neuve)

Examinateur

M. Daniel PASQUET (Professeur à l’ENSEA)

Directeur de thèse

Mme Emmanuelle BOURDEL (Maître de Conférences-HDR à l’ENSEA)

Co-encadrant

M. Sébastien QUINTANEL (Maître de Conférences à l’ENSEA)

Co-encadrant

Linh NGUYEN TRAN, ECIME – ENSEA

À ma famille …

Remerciments

Linh NGUYEN TRAN, ECIME – ENSEA

Remerciements

Tout d’abord, je voudrais présenter tous mes remerciements, ainsi que toute ma gratitude,

à mes directeurs de thèse, Daniel PASQUET et Emmanuelle BOURDEL, ainsi qu’à mon

co-encadrant, Sébastien QUINTANEL pour m’avoir accompagné au cours des trois années de

ma thèse avec leurs conseils, leur aide, et leurs encouragements précieux.

Je tiens à remercier Farid TEMCAMANI, qui m’a accueilli à l’ECIME (Equipe de Circuit

Instrumentation et Modélisation Electronique) et aussi tout le monde de l’équipe : Cédric

DUPERRIER, Bruno DELACRESONNIERE Myriam ARIAUDO, Jean-Luc GAUTIER qui

m’ont aidé au cours de ma thèse ainsi que mon enseignement du post d’ATER (Attaché

Temporaire d’Enseignement et de Recherche).

Je tiens à remercier Monsieur Bernard FLECHET qui m’a fait l’honneur d’être le

président du jury et également le rapporteur. Je souhaite remercier Madame Catherine

ALGANI pour avoir accepté d’être le rapporteur, Madame Danielle VANHOENACKER-

JANVIER pour avoir accepté d’être l’examinateur de cette thèse. Vos remarques pertinants

sur le contenu m’ont permis d’améliorer la qualité de ce document.

Je remercie mes parents qui me sont très chers, pour avoir cru en moi, pour m’avoir

soutenu et sans qui je n’aurai pas eu la possibilité d’effectuer cette thèse.

J’ai une mention très spéciale pour tous mes amis à l’ENSEA (Ecole Nationale Supérieure

de l’Electronique et de ses Applications) qui m’ont beaucoup aidé avec leurs connaissances en

français, en anglais et de la vie, pour le temps passé ensemble et les discussions plus ou moins

liées au travail.

Un grand merci à tous

NGUYEN TRAN Linh

Table des matières

Linh NGUYEN TRAN, ECIME – ENSEA i

Table des matières

Introduction générale...............................................................................................................1

Chapitre I : Caractérisation des composants sur substrat silicium.....................................5

I.1 Introduction .....................................................................................................................5

I.2 Pertes dans les éléments passifs [2].................................................................................7

I.2.1 Effet de peau ...........................................................................................................7

I.2.2 Pertes dans le substrat .............................................................................................8

I.3 Configuration du banc de mesure....................................................................................9

I.4 Méthodes d’auto-calibrage ..............................................................................................9

I.4.1 Méthode TRL........................................................................................................10

I.4.2 Méthode LRM.......................................................................................................13

I.4.3 Caractérisation sur substrat silicium.....................................................................14

I.5 Extraction des paramètres S du dispositif à mesurer .....................................................15

I.5.1 Méthodes de de-embedding à 1 élément...............................................................16

I.5.1.1 Décalage des plans de référence...................................................................16

I.5.1.2 “De-embedding” à 1 élément série...............................................................18

I.5.1.3 Conclusion....................................................................................................19

I.5.2 Méthode de de-embedding à 2 éléments...............................................................19

I.5.3 Méthode de de-embedding à 3 éléments...............................................................21

I.5.3.1 Principe de de-embedding à 3 éléments.......................................................21

I.5.3.2 Détermination de l’impédance caractéristique de ligne sur substrat silicium et difficulté de de-embedding à 3 éléments .............................................................22

I.5.3.2.1 Méthode classique pour la détermination de l’impédance caractéristique d’une ligne de transmission [21]-[24], [33]-[34].....................................................23

I.5.3.2.2 Inconvénient de la méthode de de-embedding à 3 éléments ................24

I.5.4 De-embedding de Ito [7].......................................................................................25

I.5.5 Comparaison des différentes méthodes de de-embedding....................................26

I.6 Conclusion.....................................................................................................................29

Chapitre II : Procédure d’extraction d’un modèle de ligne de transmission....................31

II.1 Introduction ..................................................................................................................31

II.2 Guide d’onde coplanaire ..............................................................................................33

II.2.1 Détermination de l’impédance caractéristique du guide d’onde coplanaire [21]-[24] ................................................................................................................................34

Table des matières

Linh NGUYEN TRAN, ECIME – ENSEA ii

II.2.2 Extraction des paramètres primaires du modèle classique.................................. 36

II.2.3 Partie série du guide d’onde coplanaire .............................................................. 38

II.2.3.1 Modèle équivalent de la partie série du guide d’onde coplanaire .............. 38

II.2.3.2 Extraction des éléments du modèle équivalent de la partie série du guide d’onde coplanaire [38] ............................................................................................ 39

II.2.3.3 Comparaison de la partie série entre la mesure et le modèle proposé........ 43

II.2.4 Partie parallèle du guide d’onde coplanaire........................................................ 44

II.2.4.1 Modèle équivalent de la partie parallèle du guide d’onde coplanaire........ 44

II.2.4.2 Extraction des éléments du modèle équivalent de la partie parallèle du guide d’onde coplanaire .......................................................................................... 45

II.2.4.3 Comparaison de la partie parallèle entre la mesure et le modèle proposé . 47

II.2.4.4 Conclusion.................................................................................................. 48

II.2.5 Validité du modèle proposé pour une ligne de longueur différente.................... 50

II.3 Dépendance des paramètres du modèle équivalent proposé en paramètre géométrique S pour le guide CPW .......................................................................................................... 51

II.4 Ligne TFMS (Thin Film Microstrip)........................................................................... 54

II.4.1 Modèle équivalent, répartition des éléments dans la structure géométrique, et extraction des éléments du modèle de la ligne TFMS.................................................. 54

II.4.2 Comparaison entre la mesure et le modèle équivalent proposé .......................... 56

II.4.3 Comparaison avec le guide d’onde CPW ...........................................................58

II.4.4 Conclusion .......................................................................................................... 59

II.5 Conclusion ................................................................................................................... 59

Chapitre III : Inductance intégrée ....................................................................................... 61

III.1 Introduction ................................................................................................................ 61

III.2 Critère d’évaluation des performances d’une inductance : Le facteur de qualité ...... 62

III.3 Modèle équivalent et extraction des éléments du modèle..........................................63

III.3.1 Topologie fondamentale d’inductance sur substrat silicium ............................. 64

III.3.2 Partie série de l’inductance................................................................................ 65

III.3.2.1 Modèle proposé et extraction des éléments de la partie série ................... 67

III.3.2.2 Résultat et conclusion ............................................................................... 71

III.3.3 Partie parallèle de l’inductance.......................................................................... 72

III.3.3.1 Extraction des éléments de la partie parallèle........................................... 74

III.3.3.2 Résultat et conclusion de la partie parallèle de la inductance 1................ 77

III.3.4 Résultats et conclusions globales....................................................................... 78

III.3.5 Prise en compte de la résistance négative.......................................................... 80

III.3.5.1 Modèle équivalent et extractions .............................................................. 80

Table des matières

Linh NGUYEN TRAN, ECIME – ENSEA iii

III.3.5.2 Comparaisons entre le modèle équivalent et la mesure.............................82

III.3.5.3 Conclusion.................................................................................................84

III.4 Validité du modèle et de la procédure d’extraction....................................................84

III.4.1 Résultats obtenus pour la spirale 2.....................................................................84

III.4.2 Résultat obtenu pour la spirale 3 ........................................................................87

III.4.3 Conclusion..........................................................................................................89

III.5 Modélisation du substrat pour simulations électromagnétiques .................................90

III.5.1 Application du “substrat équivalent ” à la spirale 2 ...........................................96

III.5.2 Application du “substrat équivalent” à la spirale 3 ............................................98

III.5.3 Paramétrage de l’inductance ............................................................................101

III.5.4 Conclusions ......................................................................................................103

III.6 Conclusion ................................................................................................................104

Chapitre IV : Amplificateur faible bruit........... .................................................................105

IV.1 Introduction ..............................................................................................................105

IV.2 Critères de conception ..............................................................................................106

IV.2.1 Facteur de bruit ................................................................................................106

IV.2.1.1 Définition ................................................................................................106

IV.2.1.2 Détermination du facteur de bruit d’un amplificateur.............................107

IV.2.2 Stabilité linéaire vis-à-vis des conditions de fermeture ...................................107

IV.2.3 Linéarité et point de compression d’un amplificateur .....................................108

IV.2.4 Notions de gain disponible et de gain maximum dans les quadripôles ...........109

IV.2.4.1 Gain disponible d’un quadripôle .............................................................109

IV.2.4.2 Gain maximum disponible d’un quadripôle............................................110

IV.2.5 Condition d’adaptation simultanée en termes de bruit et de puissance ...........111

IV.3 Choix du transistor et de la topologie de l’amplificateur .........................................112

IV.3.1 Choix du transistor et du point de polarisation ................................................112

IV.3.1.1 Choix de la tension de polarisation .........................................................113

IV.3.1.2 Choix du transistor ..................................................................................114

IV.3.1.3 Choix de la longueur d’émetteur Le du transistor et du courant de polarisation Ib ........................................................................................................115

IV.3.2 Choix de la topologie de polarisation ..............................................................116

IV.3.3 Stabilisation et choix de la topologie de l’amplificateur..................................117

IV.3.3.1 Stabilisation avec une inductance de dégénérescence.............................117

IV.3.3.2 Stabilisation par la topologie cascode et cascade [95]-[100] ..................118

IV.3.3.2.1 Stabilisation par la topologie cascode [96]-[100]............................118

Table des matières

Linh NGUYEN TRAN, ECIME – ENSEA iv

IV.3.3.2.2 Stabilisation par la topologie cascade [95]...................................... 120

IV.4 Conception de l’amplificateur faible bruit ............................................................... 123

IV.4.1 Comportement d’un réseau de transistors associés en parallèle...................... 123

IV.4.2 Topologie cascade contenant plusieurs transistors en parallèle ...................... 124

IV.4.3 Réseau d’adaptation d’entrée du LNA ............................................................127

IV.4.4 Synthèse du réseau d’adaptation de sortie du LNA......................................... 128

IV.4.5 Topologie finale de l’amplificateur ................................................................. 130

IV.4.6 Résultats de simulation du circuit global du LNA constitué des éléments réels.................................................................................................................................... 134

IV.4.6.1 Résultats de simulation sans optimisation .............................................. 134

IV.4.6.2 Résultats de simulation de l’amplificateur après optimisation ............... 136

IV.4.6.3 Conclusion .............................................................................................. 137

IV.4.7 Comparaison entre les résultats de simulation obtenus avec le circuit final constitué des éléments réels et celui constitué des éléments caractérisés par le fondeur.................................................................................................................................... 138

IV.5 Conclusions.............................................................................................................. 141

Conclusion générale ............................................................................................................. 143

Annexe 1 : Expression finale pour l’extraction de (C1+C2) à basse fréquence du modèle

de ligne de transmission et expression permettant de tracer l’évolution de G1, C1........ 145

Annexe 2 : Calcul approché du coefficient évaluant l’effet de peau ............................... 147

Annexe 3 : Mise en parallèle de quadripôles bruyants..................................................... 149

Références bibliographiques ............................................................................................... 153

Introduction générale

Linh NGUYEN TRAN, ECIME – ENSEA 1


Les communications mobiles mettent en œuvre des dispositifs analogiques et numériques.

La partie analogique concerne l’émission, utilisant l’amplification de puissance, et la

réception dont l'élément essentiel est l’amplificateur faible bruit qui doit amplifier le signal

reçu de l'antenne en y apportant le moins de dégradation possible afin de reconnaître des

signaux de plus en plus faibles. Les performances en bruit de ces amplificateurs influent donc

en particulier sur la consommation en puissance et le nombre de stations de base nécessaire à

la couverture d'une zone donnée.

Actuellement, les amplificateurs faible bruit les plus performants sont fabriqués en

technologie pHEMT (Pseudomorphic High Electron Mobility Transistor) sur arséniure de

gallium (GaAs). Cette technologie très performante est aussi très chère. L'évolution actuelle

des technologies silicium permet d'envisager leur utilisation pour la réalisation de circuits à

des fréquences élevées dans le domaine millimétrique. Certaines offrent, par rapport à

l’arséniure de gallium, une meilleure résistance au rayonnement (Silicon On Insulator SOI),

une puissance délivrée plus importante (carbure de silicium SiC, nitrure de gallium GaN), un

coût modéré (silicium-germanium SiGe). Les technologies silicium permettent de plus

d'envisager l'intégration sur un même substrat des fonctions hyperfréquences et des fonctions

numériques de traitement du signal en utilisant à la fois des transistors bipolaires et des

transistors à effet de champ (BiCMOS). Parmi les technologies silicium, la technologie SOI,

en particulier, s’est développée dans le domaine spécifique du durcissement, pour des

applications militaires ou spatiales, car la réduction du volume de silicium actif permet de

limiter la collection des charges lors de radiations transitoires (impulsions photoniques, ions

lourds, …). Les composants sur substrat SOI ont également longtemps souffert de la mauvaise

réputation de la technologie SOS (Silicon On Sapphire). La technologie SOI connaît pourtant

actuellement une période de développement rapide et prometteur, avec l’amélioration de la

qualité des substrats SOI et la meilleure maîtrise des phénomènes parasites. Les champs des

applications civiles s’élargissent, basés en priorité sur les circuits numériques ULSI (Ultra

Large Scale Integration) à forte densité d’intégration [1].

Classiquement, les filières silicium disposent de plusieurs niveaux de métal positionnés

sur la partie supérieure du substrat. Ces métallisations sont généralement réalisées avec un

alliage à base d’aluminium. Le niveau de métallisation supérieur est toujours le plus épais et



offre la meilleure conductivité parmi tous les niveaux disponibles. Son éloignement par

rapport à la surface du substrat est aussi maximal ce qui permet de minimiser le couplage

électromagnétique entre un ruban métallique et le substrat. Pour tous ces avantages, les lignes

de transmission ainsi que les inductances sont alors préférentiellement réalisées en utilisant ce

dernier niveau métallique. La filière BiCMOS dont nous disposons est constituée de 4

niveaux de métallisation.

Dans les circuits intégrés, les composants passifs, en particulier les inductances (Fig. 2) et

les interconnexions jouent un rôle très important. L’inductance est un composant clé dans les

oscillateurs, filtres, circuits d’adaptation d’impédance et dans les amplificateurs faible bruit où

elle joue le rôle d’inductance de dégénérescence permettant simultanément de minimiser le

bruit et de maximiser le gain. Elle permet de plus d’annuler les harmoniques d’ordre supérieur

pour stabiliser le circuit. Les interconnexions joue également un rôle essentiel pour la

connexion entre composants. D’autre part, elles peuvent être utilisées pour remplacer les

inductances de faibles valeurs. Il y a plusieurs types d’interconnexion mais les guides d’onde

coplanaires (CoPlanar Waveguide, CPW), Fig. 1a et les lignes TFMS (Thin Film Microstrip),

Fig. 1b, sont les plus utilisées.

SiO2

Si

(b)

SiO2

Si

W s

(a)

d WS

WG M4

M1

M4

Figure 1 : Lignes de transmission sur substrat : (a) Ligne CPW ; (b) Ligne TFMS

SiO2

Si

Figure 2 : Inductance intégrée sur le substrat silicium



Pour concevoir des circuits intégrés fiables, il est nécessaire de disposer d’une

bibliothèque complète de modèles électriques performants des composants actifs, passifs et

des interconnexions. Contrairement aux technologies III-V, la conductivité du substrat

silicium est relativement élevée. Les pertes dominantes dans le substrat dues à la pénétration

du champ électromagnétique ne sont donc plus négligeables. À cause de la conductivité dans

ce type de substrat, plusieurs phénomènes apparaissent et en particulier les courants de

Foucault. En conséquence, les composants passifs et les interconnexions déposés sur un tel

substrat présentent des pertes sensibles pour les performances en bruit des circuits. Pour ces

raisons, une étude approfondie et une caractérisation précise des composants sont nécessaires.

La simulation électromagnétique permet, en général, de prévoir les caractéristiques du

composant passif afin de les améliorer. Une caractérisation précise permet d’extraire un

modèle performant du composant passif, essentiel pour la conception des circuits intégrés, en

particulier les amplificateurs faible bruit.

Dans le cadre de cette thèse, nous présentons dans le premier chapitre, le mécanisme des

pertes dans le substrat silicium et les problèmes pour la caractérisation des composants (DUT)

qui en découlent. Dans le deuxième chapitre, les travaux sur les éléments passifs comme les

interconnexions coplanaires (CPW), les TFMS (Thin Film Microstrip), et les inductances

seront décrits. Enfin, nous présentons dans le quatrième chapitre, la conception d’un

amplificateur faible bruit constitué de transistors NPN basée sur les modèles développés dans

les chapitres précédents.

Chapitre I : Caractérisation des composants sur substrat silicium


Chapitre I :

Caractérisation des composants sur substrat silicium

I.1 Introduction

Les substrats employés dans les filières BiCMOS SiGe sont faiblement dopés, de

conductivité de l’ordre de 10 – 20 cm.Ω , afin de garantir des performances convenables pour

les éléments passifs intégrés. Cependant, des couches fortement dopées (couches enterrées

P+/N+) sont généralement implantées à la surface du substrat P- au début du processus de

fabrication. Ces couches sont indispensables pour prévenir des phénomènes de verrouillage

(“latch-up”) dans les circuits logiques CMOS, mais vont aussi induire des pertes importantes

dans certains éléments passifs, notamment les inductances, du fait de leur forte conductivité.

Les caractéristiques de ces couches ainsi que les processus à l’origine des pertes des éléments

passifs sont détaillés dans le paragraphe I.2.

Fort heureusement, il est possible d’éviter l’implantation de ces couches enterrées

fortement dopées dans les zones au-dessus desquelles seront intégrés ensuite les éléments

passifs. Cependant, la couche supérieure du substrat sur laquelle sont fabriqués tous les

éléments actifs est déposée par épitaxie (Népi), après l’implantation des couches enterrées

susnommées. Il n’est donc pas possible d’avoir un dopage P- jusqu’à la surface du substrat

pour des raisons évidentes de planéité. Il est toutefois possible de changer les caractéristiques

de cette couche épitaxiale en procédant à l’implantation de caissons de type P (Pwell) ou N

(Nwell), utilisés notamment pour la fabrication des transistors MOS. Parmi ces trois

configurations possibles, c’est la couche dans sa configuration initiale (Népi) qui est

susceptible de fournir les meilleurs résultats en terme de pertes pour les éléments passifs,

puisqu’elle possède la plus forte résistivité [2].

La figure suivante présente la structure du substrat BiCMOS de la filière utilisée pour les

travaux présentés. La valeur numérique des paramètres technologiques de ce substrat est

disponible dans le Tableau I.1.



N+ enterrée

P-

N+

SiO2

Substrat P

N-well P-well N-well

SiO2 SS GG DD SS GG DD CC BB BB EE

NNMM OOSS PPMM OOSS BBiippoollaaii rr ee SSiiGGee

SiGe

Passivation

Métal niveau 1

Métal niveau 2

Métal niveau 3

Métal niveau 4

N+ P+ N+ P+

SiO2

SiO2

Figure I.1 : Structure de l’empilement de la technologie BiCMOS

Tableau I.1 : Paramètres technologiques du substrat

Épaisseur d )( mµ Conductivité σ )/( mS Permittivité ε

Métal 1 0,665 2,15.107 -

Métal 2 0,64 2,23.107 -

Métal 3 0,64 3,9.107 -

Métal 4 2,8 3,57.107 -

Oxide 1 0 4,1

Substrat Si 740 5,26 11,8

Passivation1 1 0 4

Passivation 2 1 0 7,9

Passivation 3 4,5 0 4

La résistivité des métaux et la conductivité du substrat silicium induisent des pertes non

négligeables dans les composants passifs. Pour cette raison, l’impédance caractéristique des

lignes de transmission n’est pas réelle et varie avec la fréquence. Elles seront difficilement

utilisables pour fournir une impédance de référence sur ce substrat, point essentiel pour la



caractérisation d’un composant sur substrat. Dans le paragraphe suivant, nous présentons le

mécanisme des pertes apparaissant dans les composants passifs déposés sur substrat silicium

ou généralement sur substrat à pertes.

I.2 Pertes dans les éléments passifs [2]

La résistivité finie des couches métalliques entraîne des pertes par effet Joule dans les

conducteurs. Cependant, cette résistivité n’explique pas à elle seule l’intégralité des pertes qui

sont occasionnées et d’autres effets interviennent. Ces derniers, qui sont à l’origine de la

majeure partie des pertes aux fréquences micro-ondes, sont essentiellement connus sous le

nom d’effet de peau et de proximité.

I.2.1 Effet de peau

Lorsqu’un courant alternatif circule dans un conducteur, un champ magnétique est créé

autour de ce dernier. En raison de la conductivité finie du métal qui le constitue, une partie du

champ magnétique est contenue à l’intérieur du conducteur, créant ainsi des courants de

Foucault s’opposant au passage du courant vers le centre du conducteur.

Ce dernier circule alors préférentiellement vers la périphérie du conducteur, augmentant

par là même sa résistance effective, et donc la puissance dissipée par effet Joule. Il peut être

montré que la densité du courant décroît exponentiellement en s’éloignant de la surface du

conducteur [3]. Cette propriété permet de définir une grandeur caractéristique appelée

“l’épaisseur de peau” (Equation I-1). Typiquement, la valeur de la résistance dynamique d’un

conducteur suit une loi de variation en f . L’épaisseur de peau est donnée par :

0µπρδf

c= (1.1)

où : cρ est la résistivité du conducteur, f est la fréquence, 0µ est la perméabilité

magnétique du vide ( 74 .10π − H/m).



I.2.2 Pertes dans le substrat

Contrairement au GaAs, le substrat silicium des technologies CMOS ou BiCMOS n’est

pas isolant. Typiquement, sa résistivité varie entre 10 mΩ.cm pour les filières CMOS pures à

10 – 20 Ω.cm. Dans notre technologie BiCMOS, la conductivité du substrat est de 19 Ω.cm.

L’origine des pertes dans le substrat vient de la pénétration du champ électromagnétique dans

le substrat résistif. Ce champ, créé par le courant qui circule dans le ruban transportant le

signal et dans la masse, induit un courant image dans le substrat, le plus souvent appelé

courant de Foucault. Le sens de ce courant, opposé à celui dans l’inductance, génère par

conséquent un champ magnétique s’opposant au champ principal. Il en résulte une diminution

de valeur réelle de l’inductance. De plus, de l’énergie magnétique est, du fait de ces courants,

convertie en chaleur par effet Joule dans le volume du substrat. Ces conséquences sont

d’autant plus importantes que la résistivité du substrat diminue.

Le mécanisme des pertes dans le substrat résistif est toujours identique pour tous les

éléments passifs. Cependant, pour faciliter les explications, nous envisageons le mécanisme

des pertes dans le substrat causées par une boucle de courant dans le ruban métallique. La

Figure I.2 décrit les lignes de champ magnétique qui pénètrent dans ce substrat où se trouve

les boucles de courants de Foucault. Un phénomène comparable a lieu dans les métaux.

selfH

Courant dans les rubans métalliques

Courant de Foucault dans le substrat

Figure I.2 : Représentation des pertes dans le substrat silicium



I.3 Configuration du banc de mesure

Le banc de mesure est constitué de différents éléments (cf. Figure I.3):

- Un analyseur de réseaux vectoriel (dans notre cas), il nécessite un calibrage précis et

donne les mesures des différents coefficients de réflexion requis et des paramètres S du

quadripôle à mesurer entre deux plans de référence définis avec précision. La précision

du calibrage est très importante car le résultat de mesure en dépend.

- Une station de mesure sous pointes : le moyen le plus sûr pour faire des mesures qui

s’affranchissent des contacts et du report des composants est de venir prendre les

mesures directement sur la tranche de semi-conducteur. Ces mesures se font à l’aide de

pointes de test spécifiques. La pointe est constituée d’une tête munie d’un connecteur

coaxial. L’accès du composant à caractériser se faisant en guide coplanaire, il

convient, lorsqu’on travaille en microruban, de réaliser une transition coplanaire-

microruban [5].

- Une station de travail avec un logiciel de récupération des données : elle permet la

saisie à distance des mesures, leur stockage et leur traitement.

Figure I.3 : Photographie du banc de mesure : a). Analyseur de réseaux vectoriel ; b). Station

sous pointes

I.4 Méthodes d’auto-calibrage

Cette section donne une vision globale des procédures de mesure mises en jeu pour la

caractérisation des composants. Lors de la mesure des paramètres S d’un quadripôle, des



erreurs de mesure interviennent. Elles peuvent être classées en deux types : les erreurs

aléatoires et les erreurs systématiques. Il est possible de modéliser certaines erreurs

systématiques afin de les évaluer puis d’en tenir compte dans les mesures. Le calibrage de

l’analyseur de réseau consiste à déterminer précisément les termes d’erreurs du modèle.

La précision des mesures effectuées à l’aide d’un analyseur de réseaux vectoriel dépend

très fortement de la qualité du calibrage de l’appareil au niveau des accès de mesure. Les

techniques de calibrage les plus répandues sont d’une part la SOLT (Short-Open-Load-Thru),

basée sur un modèle d’erreur à 12 termes et d’autre part les calibrages TRL (Thru-Reflect-

Line) et LRM (Line-Reflect-Load) basés sur un modèle d’erreur à 7 termes et également

appelés auto-calibrages.

La procédure de calibrage SOLT demande l’utilisation de quatre standards de calibrage

parfaitement connus, et se prête plutôt mal à la caractérisation de dispositif sur tranche. Les

procédures TRL et LRM, adaptées aux analyseurs de réseaux vectoriels à double

réflectomètre utilisent trois standards de calibrage dont deux n’ont pas besoin d’être connus

totalement. Elles sont parfaitement adaptées aux mesures sous pointes, mais présentent

cependant certains inconvénients. La procédure de calibrage TRL est difficile en basse

fréquence et de plus, ne peut couvrir qu’une bande de fréquence limitée. Le calibrage LRM

est lui limité par la qualité de la charge adaptée (standard “load”) [6]. Dans notre cas, la

mesure est effectuée grâce à un analyseur de réseaux vectoriel en double réflectomètre. Les

procédures de calibrage TRL et LRM sont donc les plus intéressantes.

I.4.1 Méthode TRL

Pour la méthode TRL (Thru–Reflect–Line), les étalons sont (cf. Figure I.4):

- Une liaison directe (Thru)

- Une ligne de longueur donnée l (Line)

- Un dipôle à fort coefficient de réflexion (Reflect)

La liaison directe est décrite par la matrice de dispersion :

=

01

10ST . Dans le cas des

mesures sous pointes, cette liaison directe est constituée d’un tronçon de ligne. Le plan de



référence de la mesure est alors au milieu de cette ligne à condition que le standard “Reflect”

soit symétrique. Théoriquement, ce tronçon de ligne peut être un tronçon du guide d’onde

coplanaire, une ligne TFMS (Thin Film Microstrip) ou d’autres types de ligne de

transmission. Cependant, pour limiter les problèmes liés aux discontinuités, un tronçon de

guide d’onde coplanaire est plus adapté pour les accès de type coplanaire (cf. Figure I.4a).

La ligne de longueur connue est caractérisée par la matrice :

=

−

−

0e

e0S

l

l

L γ

γ

(cf. Figure

I.4b). Les éléments diagonaux 11S et 22S sont nuls par définition, ce qui implique que

l’impédance de référence de la mesure est donnée par l’impédance caractéristique de la ligne

quand elle est définie. lγ n’a pas besoin d’être connu précisément à priori.

Afin de pouvoir déterminer de façon unique les éléments du modèle d’erreur, il faut éviter

la dégénérescence entre la ligne et de la liaison directe. Plus précisément, comme les éléments

antidiagonaux de la matrice S de la ligne interviennent au carré, il faut donc que 1e l ±≠−γ , ce

qui la rend inadaptée aux mesures très basse fréquence, et qui implique que lβ soit différent

de kπ , où β est la constante de phase, k est un entier relatif. Dans la pratique, on admet que

la valeur en degrés de lβ peut être compris entre 20° et 160°. On ne peut donc faire des

mesures avec un tronçon de ligne que pour une bande de fréquence dont les bornes sont dans

le rapport de un à huit. Si on veut élargir la bande, il suffit de prendre plusieurs tronçons de

ligne de longueurs différentes. Cependant, pour les fréquences les plus basses, il peut être

impossible, ou simplement trop coûteux, de réaliser un tronçon de longueur suffisamment

grande pour satisfaire la condition des 20°. Enfin, le calcul fournit deux solutions pour le

calcul de le γ− . Pour choisir la bonne détermination, il faut donc pouvoir estimer a priori la

longueur de la ligne à 4λ près.

Le standard “Reflect” est constitué d’un dipôle à fort coefficient de réflexion à chaque port

de façon à bien le différencier des précédents et sa matrice de dispersion est

=

ΓΓ0

0SR .

Dans ce cas, le motif du calibrage choisi est soit un court-circuit, soit un circuit ouvert (cf.

Figure I.4c, d).

Le dipôle de fort coefficient de réflexion doit être le même pour les deux ports. Si cette

contrainte n’est pas réalisée, on assiste à un décalage des plans de référence. De plus, comme



le calcul fournit 2Γ , il faut savoir dans quel demi-plan de l’abaque de Smith se trouve son

point représentatif.

La matrice S d’un quadripôle est toujours définie par rapport à un guide d’onde de

référence. Ici ce guide d’onde est celui qui constitue le tronçon de ligne. Si on désire

caractériser un composant ou un dispositif, les mesures n’ont de sens que si le calibrage

s’effectue avec le guide d’onde qui servira à l’alimenter dans son utilisation ultérieure [5]

(b) (a)

2d

P1≡P2 P1,pointes Si P2,pointes Si P1,pointes Si P2,pointes Si P1 P2

(c) (d)

P1 P1,pointes Si P2,pointes Si P2 P1 P1,pointes P2,pointes Si P2

Figure I.4 : Exemple de motifs du calibrage TRL : (a). Liaison directe (Thru); (b) : Ligne de

longueur 2d (Line); (c) : Réflexion (Reflect) en Circuit ouvert ; d : Réflexion en court circuit



I.4.2 Méthode LRM

La différence essentielle par rapport à la méthode TRL est que le standard de calibrage

défini par une ligne de transmission (“Line”) est dans le cas de la LRM remplacé par des

charges résistives à chaque accès. L’impédance de référence de la mesure est dans ce cas

définie par ces charges, généralement 50 Ω . L’avantage apporté par rapport à la TRL est

qu’il n’existe aucune limitation théorique sur la mesure aux basses fréquences. La position

des plans de référence est définie au milieu du standard “Thru” sous réserve de symétrie du

standard “Reflect”. Comme dans le cas de la TRL, l’indétermination liée au standard

“Reflect” est levée par la connaissance du demi-plan de l’abaque de Smith dans lequel se situe

son coefficient de réflexion.

Pour être sûr de la qualité de la charge de référence, on utilise habituellement un standard

sur alumine du commerce et les plans de référence du calibrage correspondent au milieu de la

ligne utilisée comme liaison directe. Ces plans de référence ne correspondent donc pas à ceux

du quadripôle à caractériser. Les standards du calibrage LRM sont définis par :

- Une liaison directe :

=

01

10SL

- Une charge adaptée à chaque port :

=

00

00SM . Les éléments diagonaux sont nuls

par définition. Chaque charge adaptée sert donc de référence pour le port où elle est

connectée.

- Un dipôle à fort coefficient de réflexion à chaque port

=

ΓΓ0

0SR

Les mêmes remarques exposées dans le cas du calibrage TRL restent valables pour le

dipôle à fort coefficient de réflexion [5].

Le fait que le calibrage soit effectué sur un support différent de la puce pose le problème

de la différence de nature des accès.



P1,LRM≡ P2,LRM

P1,pointes Alumines P2,pointes Alumines

Figure I.5 : Exemple de liaison directe du calibrage LRM sur substrat Alumine

I.4.3 Caractérisation sur substrat silicium

Dans le cas de mesures sur tranche, le calibrage TRL présente la possibilité d’intégrer les

standards directement sur un substrat identique à celui sur lesquels se trouvent les dispositifs

que l’on doit caractériser. Ceci est beaucoup plus délicat avec la LRM du fait de la présence

de la charge adaptée et de la différence de structure des éléments d’accès. Lors du calibrage

TRL, l’impédance de référence est l’impédance caractéristique du standard “Line”. En

conséquence, la précision de la mesure dépend fortement de la détermination de son

impédance caractéristique.

Pour que le résultat de mesure présente directement les propriétés du dispositif à

caractériser, les étalons doivent être réalisés sur un substrat identique à celui du dispositif à

caractériser. Théoriquement, la méthode TRL semble donc une bonne méthode pour la

caractérisation des composants. Cependant, dans le cas des technologies silicium et du fait de

la conductivité du substrat, les lignes de transmission présentent une impédance

caractéristique complexe, difficile à déterminer. La mesure grâce à un calibrage TRL sur

substrat à pertes, en particulier sur substrat silicium n’est donc pas fiable. Pour une

caractérisation fiable en technologie silicium, il est préférable d’utiliser un calibrage basé sur

des standards bien définis sur alumine. Notre choix s’est donc porté sur un calibrage de type

LRM.

Pour la méthode LRM, les plans de référence de l’autocalibrage sont définis par la liaison

directe réalisée sur substrat alumine. Les résultats de mesure sont fournis par rapport au plan



de référence défini sur le substrat alumine. Ils peuvent être modélisés par la mise en cascade

de 3 quadripôles (cf. Figure I.6). Les quadripôles accès 1 et 2 modélisent les accès entre les

plans de référence du calibrage LRM (1,LRMP , 2,LRMP ) et les plans de référence du dispositif

sous test (1P , 2P ) en incluant la différence d’environnement électromagnétique des pointes

entre substrat alumine et substrat silicium.

Accès 1

Dispositif à caractériser

P1 P2 P1,LRM P2,LRM

Accès 2

Figure I.6 : Dispositif à caractériser et ses accès

Afin de caractériser ces quadripôles d’accès, une procédure de de-embedding doit être

réalisée. Nous présentons dans le paragraphe suivant différentes méthodes permettant de le

réaliser. De plus, lors de la conception des circuits, la longueur des accès est choisie

soigneusement afin de minimiser l’influence des accès sur le résultat de mesure.

I.5 Extraction des paramètres S du dispositif à mesurer

Une fois le calibrage réalisé, il est nécessaire d’effectuer un de-embedding afin d’obtenir

les caractéristiques électriques du composant. Techniquement, pour effectuer ce de-

embedding, nous avons besoin de :

- L’impédance de référence entre les plans 1P et 2P

- Une modélisation des accès en trois termes en “pi” ou en “T”

Nous avons donc 7 inconnues, qui sont les 3 paramètres S de chaque accès et l’impédance

de référence, à déterminer. À l’heure actuelle, la détermination de ces inconnues, en

technologie silicium, n’est pas toujours évidente car il est difficile de déterminer l’impédance

de référence d’une ligne entre les plans de référence 1P et 2P . Pour cette raison, les effets des

accès sont modélisés par une topologie plus simple.



Il existe plusieurs techniques de de-embedding, généralement basées sur la mesure de

motifs constitués des accès en court-circuit, en circuit ouvert et/ou d’une liaison directe. Le

choix de la méthode dépend du contexte particulier dans lequel on l’applique. Chaque

méthode présente ses avantages et ses incertitudes.

Nous présentons dans les paragraphes suivant quatre de ces méthodes. Dans les 3

premières méthodes, les effets des accès du dispositif à caractériser définis par la liaison

directe, la différence d’environnement des pointes entre le substrat des standards du calibrage

et le substrat du composant à caractériser, sont modélisés par un schéma équivalent à 1, 2 ou 3

éléments. Le quatrième méthode : Méthode de de-embedding de Ito [7] permet d’enlever les

effet des accès au composant grâce à la mesure d’une liaison directe sous condition de

symétrie des accès.

I.5.1 Méthodes de de-embedding à 1 élément

Cette méthode modélise les effets des accès par une impédance série 1Z et 2Z de chaque

côté. Nous présentons dans ce paragraphe deux méthodes de de-embedding à 1 élément : un

de-embedding utilisant un décalage de phase et un de-embedding basé sur la mesure

complémentaire des accès en court circuit (cf. Figure I.7).


P1 P2 P1,LRM P2,LRM

Z1 Z2

Figure I.7 : Modélisation des accès par 1 élément

I.5.1.1 Décalage des plans de référence

D’après cette méthode, le résultat de la mesure effectué après un calibrage LRM est

obtenu dans les plans de référence 1,LRMP et 2,LRMP définis par la liaison directe sur le substrat

alumine. Nous ramenons ce résultat dans les plans des pointes, puis vers les plans de référence



1P et 2P (cf. Figure I.4a) définis par la liaison directe sur le substrat du dispositif. La

constante de propagation γ et la longueur l à décaler dépendent donc de l’étape de décalage.

Etape 1 : Mesures LRM ramenées dans les plans des pointes

On appelle SAL la matrice S mesurée d'une ligne 50 Ohm déposée sur substrat alumine

après calibrage LRM et lA la longueur de la ligne. La constante de propagation Aγ de la ligne

sur alumine se déduit de la relation suivante :

( )A A A AL21A

1+ jβ ln S

lγ α= = − (1.2)

On appelle SA la matrice S mesurée du composant sous pointes, avec un calibrage LRM.

AS représente les propriétés du dispositif à caractériser associé à ses accès mis entre les accès

des étalons LRM. On ramène a priori cette mesure dans les plans des pointes pour obtenir la

matrice 'AS :

( )2' A A Ad jA AS S e α β+= (1.3)

où dA est la longueur de l’accès entre pointes et plan de référence sur alumine, c'est-à-dire

la demi-longueur de la liaison directe.

Etape 2 : Mesures ramenées dans les plans de référence du dispositif

Soit lS la longueur de ligne que l’on utilise par ailleur comme standard de ligne du

calibrage de TRL sur substrat et SSL la matrice S mesurée de la ligne équivalente après

calibrage TRL. La constante de propagation de la ligne sur substrat silicium Sγ peut être

déterminée par :

( )21

1lnS S S SL

S

j Sl

γ α β= + = − (1.4)

On obtient les paramètres SS du dispositif à caractériser dans les plans de référence P1 et P2

en décalant les paramètres '

AS dans les plans des pointes d’une longueur dS, où dS est la

longueur des accès du dispositif à caractériser (cf. Equation (1.5).



( )2' S S Sd jS AS S e α β− += (1.5)

D’après les étapes 1 et 2, la matrice SS mesurée dans les plans de référence P1 et P2 du

DUT est déterminée après 2 décalages des plans de référence. Généralement, il existe des

pertes non négligéable des accès. À chaque fois que l’on change les plans de référence, il faut

prendre en compte non seulement le déphasage mais également les pertes dans la mesure liée

à la déterminations de Aγ et Sγ .

Pour résumer, pour passer des plans de référence de calibrage LRM aux plans de référence

du DUT, on applique le décalage suivant :

2 2S S A Ad dS AS S e γ γ− += (1.6)

Lorsque nous effectuons la procédure de de-embedding, nous considérons que :

- L’impédance caractéristique est constante

- Même à impédance caractéristique constante, aucune discontinuité n’existe. Ce point

élimine en particulier le cas où le calibrage est effectué à l’aide d’un substrat épais et

que le dispositif est attaqué par une ligne microruban très étroite quand elle est réalisée

entre deux niveaux de métallisation (la discontinuité entre les plots d’accès des pointes

et la ligne constitue une capacité parasite trop importante).

I.5.1.2 “De-embedding” à 1 élément série

Cette méthode d’épluchage est basée sur une modélisation des accès par des impédances

en séries 1Z et 2Z . L’extraction de ces éléments est relativement simple. Une seule mesure

complémentaire est nécessaire : la mesure des accès en court circuit (CC) dans les plans de

référence du DUT. Lors de la conception, les accès en court circuit sont suffisamment

éloignés afin que les couplages capacitifs soient négligeables. Les éléments diagonaux de la

matrice mesurée CCZ représentent donc les impédances séries 1Z et 2Z . Le calcul matriciel

de l’équation (1.7) permet d’obtenir les paramètres Z du DUT :

[ ] [ ]CCmesDUT ZZZ −= (1.7)



où mesZ et CCZ sont respectivement les matrices Z mesurées du composant et des accès

en court circuit après calibrage LRM.

I.5.1.3 Conclusion

La méthode de décalage des plans de référence n’est pas toujours précise parce que

l’impédance caractéristique de la ligne sur le substrat silicium permettant de calculer la

constante de propagation Sγ n’est pas réellement à 50 Ohm. Nous pouvons relativement

apprécier la précision de cette méthode dans le paragraphe I.5.5.

La méthode de de-embedding à un élément série est très peu utilisée par rapport aux

méthodes plus complexes parce qu’elle ne prend pas en compte l’influence de la partie

parallèle des accès, dont l’effet n’est pas négligeable en technologie silicium, lors de

l’épluchage du résultat de mesure. Nous pouvons visualiser ce problème dans la comparaison

des méthodes de de-embedding du paragraphe I.5.5 (cf. Figure I.16).

I.5.2 Méthode de de-embedding à 2 éléments

D’après cette méthode de de-embedding, les effets des accès sont modélisés par une

impédance série et une admittance parallèle de chaque côté ( 1Z , 2Z ) et ( 1Y , 2Y ) [8]-[11]. En

réalité, il existe 2 topologies possibles, elles sont présentées sur la Figure I.8a et b. Pour

appliquer cette méthode, il est nécessaire que la longueur des accès soit choisie

judicieusement pour minimiser les impédances séries 1Z et 2Z .


P1 P2 P1,LRM P2,LRM

Z1 Z2

Y1 Y2

(a)




P1 P2 P1,LRM P2,LRM

'1Z

(b)

'2Z

'1Y '

2Y

Figure I.8 : Deux topologies possible pour la modélisation des accès par 2 éléments

Cette méthode de de-embedding également appelée “Open-Short method” est basée sur les

mesures complémentaires des accès en court circuit (Short Circuit) et en circuit ouvert (Open

Circuit). Le principe de de-embedding pour les deux topologies est le même mais les calculs

matriciels permettant d’extraire les caractéristiques des composants sont différents.

Dans le cas de la topologie de la Figure I.8a, la mesure des accès en court circuit (CCZ )

permet d’obtenir les impédances séries 1Z et 2Z correspondants aux éléments diagonaux

( 11CCZ et 22CCZ ). Les éléments 12CCZ et 21CCZ représentent les couplages capacitifs entre

pointes de mesure. Lors de la conception des accès en court circuit, nous avons écarté l’accès

d’entrée et l’accès de sortie pour que 12CCZ et 21CCZ soient négligeable devant 11CCZ et 22CCZ .

De la même façon, les accès en circuit ouvert sont suffisamment écartés afin que 12COZ et

21COZ soient négligeable devant 11COZ et 22COZ . Pour ces raisons, nous pouvons enlever les

impédances séries 1Z et 2Z dans la mesure effectuée dans les plans de référence 1,LRMP et

2,LRMP ( mesZ ) par la relation (1.8). Les admittances 1Y et 2Y peuvent être extraites à partir des

éléments diagonaux 11O CY − et 22O CY − de la matrice O CY − (cf. équation (1.9)).

( ) 1

M C mes CCY Z Z−

− = − (1.8)

( ) 1

O C CO CCY Z Z−

− = − (1.9)

Finalement, les caractéristiques électriques du dispositif à caractériser (DUTY ) sont

obtenues en déduisant O CY − , donc 1Y et 2Y , dans la matrice de M CY − obtenue à partir de (1.8) :

DUT M C O CY Y Y− −= − (1.10)



Dans le cas de la topologie de la Figure I.8b, nous gardons l’hypothèse que les couplages

capacitifs entre pointes de mesure sont négligeables. Les admittances '1Y et '2Y obtenues de la

mesure des accès en circuit ouvert, correspondants aux éléments diagonaux ( 11COY et 22COY ),

sont éliminées dans la mesure effectuée dans les plans de référence 1,LRMP et 2,LRMP par la

relation (1.11). Les impédances séries '1Z et '

2Z peuvent être extraites à partir des éléments

diagonaux ( 11C OZ − et 22C OZ − ) de la matrice C OZ − (cf. équation (1.12)).

( ) 1

M O mes COZ Y Y−

− = − (1.11)

( ) 1

C O CC COZ Y Y−

− = − (1.12)

Finalement, les caractéristiques électriques du dispositif à caractériser (DUTY ) sont

obtenues en déduisant C OZ − , donc '1Z et '

2Z , dans la matrice de M OZ − obtenue par (1.11) :

( ) 1−−− −= OCOMDUT ZZY (1.13)

Si la conception des accès est telle que les impédances séries sont minimales, les résultats

des deux méthodes sont très proches.

I.5.3 Méthode de de-embedding à 3 éléments

I.5.3.1 Principe de de-embedding à 3 éléments

Cette méthode de de-embedding modélise les effets des accès du dispositif à caractériser

par une topologie à 3 éléments inconnus disposés en topologie de type “Pi” (cf. Figure I.9), ou

en topologie de type “T” (cf. Figure I.10). Techniquement, c’est une méthode de de-

embedding plus précise car les effets des accès du composant à caractériser sont plus finement

modélisés. De plus, l’impédance de référence liée à la mesure est celle définie par calibrage

LRM. Dans ces topologies, (π1Y , π4Y ) et ( TZ1 , TZ4 ) sont proportionnels à l’impédance de

référence LRM, ( π1Z , π2Z ) et ( TY1 , TY2 ) sont proportionnels à l’impédance de référence de

x LRM substrat, ( π2Y , π3Y ) et ( TZ2 , TZ3 ) sont proportionnels à la référence du substrat.




P1 P2 P1,LRM P2,LRM

π1Z

π1Y π3Y

Y

π2Z

Z

π2Y

Yπ4Y

Y

Figure I.9 : Modélisation des accès par 3 éléments en ”Pi”


P1 P2 P1,LRM P2,LRM

TZ1

Z

TY1

Y

TZ2

Z

TY2

Y

TZ3

ZTZ4

Z

Figure I.10 : Modélisation des accès par 3 éléments en T

En réalité, nous avons besoin de 7 paramètres pour connaître les paramètres S du DUT,

mais si on veut les matrices Z et Y complètes, nous en avons besoin de 6 car la

dénormalisation fait se simplifier l’impédance caractéristique.

I.5.3.2 Détermination de l’impédance caractéristique de ligne sur substrat silicium et

difficulté de de-embedding à 3 éléments

Bien que la topologie à 3 termes soit proposée avec différentes solutions pour déterminer

ces termes, la détermination de ces termes s’effectue toutefois avec des incertitudes non

négligeables. En effet, la détermination des 3 inconnues dans les topologies en “Pi” ou “T”

demande 3 équations indépendantes. Comme nous l’avons décrit dans le paragraphe I.4.3,

l’impédance caractéristique ZC des lignes en technologie silicium n’est pas réellement

constante en fréquence, les mesures les plus sûres utilisées pour déterminer les termes du

modèle à 3 éléments des accès sont donc le court circuit (CC), le circuit ouvert (CO), et la

liaison directe (Thru). Alors la détermination des termes inconnus du modèle des accès est

donc due à la mesure des 3 étalons : CC, CO et “Thru”. Malheureusement, les matrices

mesurées de ces 3 étalons ne sont pas indépendantes. Nous allons expliquer ce problème,



dans les paragraphes suivants, grâce à la théorie permettant de déterminer l’impédance

caractéristique CZ d’une ligne de transmission.

I.5.3.2.1 Méthode classique pour la détermination de l’impédance caractéristique d’une ligne

de transmission [21]-[24], [33]-[34]

Cette méthode est basée sur la théorie des quadripôles symétriques et en particulier sur le

concept des excitations symétriques et antisymétriques, illustré en Figure I.11. La ligne à

caractériser possède une longueur 2d .

Ligne de

longueur 2d

a1

b1

a1

b1

(a)

Ligne de

longueur 2d

a'1

b'1

-a’1

-b’1

(b)

P1 P2 P1 P2

Figure I.11 : Mode d’excitation : a). Mode pair, b). Mode impair

Si un signal de même amplitude et phase est appliqué aux deux ports d’un quadripôle

symétrique (excitation paire) correspondant à une ligne de longueur 2d , le coefficient de

réflexion à chaque port correspond à celui d’une ligne de longueur d en circuit ouvert et il

vaut :

11 21OS S S= + (1.14)

Autrement dit, le plan de symétrie de la Figure I.11a peut alors être idéalement considéré

comme un mur magnétique (circuit ouvert). Le coefficient OS correspond alors à l’impédance

caractéristique de la ligne ZC ramenée dans le plan d’entrée :

( )( )

01

1 0

tanh

tanhC

OC

Z Z dbS

a Z Z d

γγ

−= =

+ (1.15)

Où γ est la constante de propagation de la ligne, Zc est l’impédance caractéristique de la

ligne, Z0 est l’impédance de référence de la mesure de la ligne de longueur de 2d , liée au

calibrage LRM et utilisée pour la caractérisation de la ligne. Elle est normalement de 50 Ohm.



De la même façon, une excitation antisymétrique place hypothétiquement un court-circuit

dans le plan de symétrie (excitation impaire). Le coefficient de réflexion CS en entrée

s’exprime alors par :

( )( )

'01

11 21 '1 0

tanh

tanhC

CC

Z d ZbS S S

a Z d Z

γγ

−= − = =

+ (1.16)

Les deux relations (1.14) et (1.15) permettent d’accéder à l’impédance caractéristique de

la ligne CZ , ainsi qu’à sa constante de propagation γ :

( )( )( )( )

21

21112111

211121110 11

11

+−−−−+++

=SSSS

SSSSZZC (1.17)

( )( )( )( )

12

11 21 11 211

11 21 11 21

1 11tanh

1 1

S S S S

d S S S Sγ − + − − −

= − + + + (1.18)

Avec les problèmes de détermination de la puissance 12 et du 1tanh− .

I.5.3.2.2 Inconvénient de la méthode de de-embedding à 3 éléments

Nous revenons à la détermination des termes inconnus par les mesures des étalons, les

plus fiables, disposés sur substrat silicium. Si nous supposons que la liaison directe des accès

(“Thru”) joue le rôle d’un bout de ligne de transmission. Grâce à l’excitation en mode pair ou

impair, nous avons les relations suivantes :

11 11 21CO T TS S S= + (1.19)

11 11 21CC T TS S S= − (1.20)

où COS , CCS sont les matrices mesurées des accès en circuit ouvert ou en court circuit, TS

est la matrice mesurée de la liaison direct (“Thru”) après calibrage LRM.

Les matrices mesurées des étalons CC (Court Circuit), CO (Circuit Ouvert) et “Thru”

(Liaison directe) ne sont donc pas complètement indépendantes. En conséquence, nous

n’avons que 2 équations indépendantes pour déterminer 3 variables.



Une méthode classique consiste à remplacer le DUT entre les plans de référence P1 et P2,

par des standard Thru (Liaison directe), Reflect, Line où le standard Reflect peut être un CC

(Court Circuit) ou un CO (Circuit Ouvert), le standard Line est une ligne de transmission.

Cela permet la détermination des 6 éléments caractérisant les accès entre P1,LRM, P1 d’une part

et P2,LRM, P2 d’autre part. Mais on n’a pas accès à l’impédance caractéristique du Line qui

constitue l’impédance de référence.

D’autres méthodes [35][1] permettent d’accéder à l’ensemble des 7 paramètres.

Cependant, les DUT que nous avons mesurés ne présente pas les valeurs de paramètes

permettant de la mettre en place.

I.5.4 De-embedding de Ito [7]

Les méthodes classiques de de-embedding nécessitent au moins deux standards, un court

circuit et un circuit ouvert. La méthode de de-embedding proposée par Ito offre l’avantage de

ne nécessiter qu’un seul motif de de-embedding, une liaison directe (Thru), en supposant que

les accès soient complètement symétriques.

(a)

P1≡P2 P1,LRM P2,LRM

Z2

Z1 Z1

(b)

Figure I.12 : a). Liaison direct (Thru) ; b). Topologie équivalente de la liaison directe

On peut alors déterminer la matrice admittance ThruY du “Thru” (cf. équation (1.21)) puis

en déduire, par la propriété de symétrie, les matrices Y de chacun des accès en utilisant les

relations (1.22) et (1.23).



1 2 211 12

21 22

2 1 2

1 1 1

1 1 1Thru

Z Z ZY YY

Y Y

Z Z Z

− + = = − +

(1.21)

−−

=2121

212111

22

2

YY

YYYYaccès

gauche (1.22)

−−

=122212

1212

2

22

YYY

YYYaccès

droite (1.23)

où accèsgaucheY et accès

droiteY représentent les paramètres Y des accès de chaque côté du DUT

Enfin, les propriétés du dispositif à caractériser (DUT) à partir de la mesure est donnée

par :

( ) ( ) 11 −−= padrightmes

padleftDUT TTTT (1.24)

I.5.5 Comparaison des différentes méthodes de de-embedding

La méthode de de-embedding de Ito suppose que les accès du composant à caractériser

(DUT) soient complètement symétriques. Ce n’est pas le cas en pratique. Cette méthode n’est

donc pas utilisée dans notre cas.

Nous avons effectué la mesure d’une inductance spirale de 2 tours. Le diamètre externe

des rubans métalliques est 200 µm. La largeur W des rubans et l’espace S entre eux sont

respectivement 20 µm et 3 µm. Selon le fondeur, cette inductance possède une inductance de

1 nH. La mesure est réalisée grâce à un analyseur de réseaux vectoriel (VNA) dans la bande

de fréquence [0,1 – 40 GHz]. Lors de la comparaison des différentes méthodes de de-

embedding, nous utilisons une topologie équivalente simple d’une inductance (cf. Figure

I.13). Les paramètres Y sont obtenus après la procédure de de-embedding.



-Y12

Y11+Y12 Y22+Y12

Figure I.13 : Topologie équivalente d’une inductance intégrée

Nous posons :

−=12

1Re

YR

−=12

1Im

2

1

YfL

π (1.25)

( )1211Re YYG += ( )

f

YYC

π2

Im 1211 += (1.26)

Les figures suivantes comparent en paramètres R, L, C, G des différentes méthodes de de-

embedding : de-embedding à 2 éléments, de-embedding à 1 élément série et la méthode de

décalage :

-800

-600

-400

-200

0

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

2 éléments

1 élément

Décalage-2

0

2

4

6

8

0 3 6 9 12 15

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

2 éléments

1 élément

Décalage

(a) (b)

Figure I.14 : Comparaison de la partie réelle de la partie série des procédures de de-

embedding différentes pour la mesure de l’inductance juste qu’à 40 GHz et à 15 GHz



0

1

2

3

4

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH)

2 éléments

1 élément

Décalage

Figure I.15 : Comparaison de la partie imaginaire de la partie série des procédures de de-

embedding différentes pour la mesure de l’inductance

0

3

6

9

12

15

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

mS

)2 éléments

1 élément

Décalage

0

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF)

2 éléments

1 élément

Décalage

(a) (b)

Figure I.16 : Comparaison en partie parallèle des procédures de de-embedding différentes

pour la mesure de l’inductance

Les figures ci-dessus comparent les différentes méthodes de de-embedding en partie réelle

et partie imaginaire pour les termes série et parallèle (cf. Figure I.13) d’une inductance de

1 nH (selon le fondeur).

La méthode de décalage est d’une part une méthode moins précise car les effets des accès

ne sont pas complètement pris en compte, d’autre part cette méthode de de-embedding donne

une valeur d’inductance de l’ordre de 2 nH. Cette valeur est trop différente de celle donnée

par le fondeur, cette méthode de de-embedding n’est donc pas fiable. L’inconvénient de cette

méthode, présenté dans le paragraphe I.5.1.1 explique ce problème.

Pour les deux dernières méthodes, l’inductance obtenue est très proche à 1 nH. La

méthode de de-embedding à 1 élément série qui ne prend en compte que les effets des accès



par 1 élément série. Pour cette raison, la partie série obtenue de cette méthode et celle de la

méthode de de-embedding à 2 éléments sont confondues dans toute la bande de fréquence

mais il y a un écart important dans la comparaison de la partie parallèle entre ces deux

méthodes.

À cause des pertes dans le substrat silicium, les mesures ont montré que 1Y et 2Y ne sont

pas négligeables (jusqu’à 9 mS). La méthode de de-embedding à 1 élément ne peut pas

marcher. En revanche, les impédances séries 1Z et 2Z ne dépassent pas 6 Ω .

I.6 Conclusion

Nous avons présenté dans ce chapitre le mécanisme des pertes dans les substrats à pertes,

en particulier dans le substrat silicium. Un phénomène comparable a lieu dans les métaux. Ces

pertes liées aux courants de Foucault sont non négligeables, une procédure de de-embedding

précise, qui prend en compte les phénomènes parasites des accès d’un composant sous test

(DUT), est donc nécessaire.

À l’heure actuelle, il n’existe pas une méthode de de-embedding permettant de caractériser

précisément le DUT sur substrat silicium. Nous avons abordé certaines méthodes de de-

embedding connues : méthode de de-embedding à 1 élément, à 2 éléments, à 3 éléments et la

méthode de Ito.

Bien que la modélisation des accès par 3 termes est théoriquement une bonne méthode, en

réalité, la détermination des termes inconnus dans ce modèle n’est pas évidente. La méthode

de de-embedding à 1 élément semble une méthode moins précise parce que les effets des

accès qui influent sur le résultat de mesure sont moins bien décrits. La méthode de de-

embedding de Ito suppose que les accès du composant à caractériser (DUT) soient

complètement symétriques, ce n’est pas le cas en pratique. Pour ces raisons, la méthode de de-

embedding à 2 éléments semble la plus adaptée et est choisie pour la caractérisation ultérieure

des dispositifs.

Chapitre II : Procédure d’extraction d’un modèle de ligne de transmission


Chapitre II :

Procédure d’extraction d’un modèle de ligne de

transmission

II.1 Introduction

Contrairement aux technologies III-V, la conductivité du substrat en technologie silicium

n’est pas négligeable. Les interconnexions déposées sur ce type de substrat présentent des

phénomènes particuliers, provoquant des pertes non négligeables. Ces pertes, en plus de celles

liées à l’effet de peau et à un effet de proximité sont dues à l'apparition de courants de

Foucault dans le substrat résultant de la pénétration des champs électromagnétiques dans le

substrat silicium [12]-[17]. Le choix du type d’interconnexions et le dimensionnement des

interconnexions influent sur les performances globales d’un circuit intégré. Une

caractérisation précise est nécessaire pour appréhender leurs performances réelles.

Il existe plusieurs types d’interconnexions :

- Ligne à fente

- Guide d’onde coplanaire

- Microruban, … etc

Chaque type d’interconnexion possède des avantages différents suivant les applications

considérées. Nous avons choisi d’étudier deux type de lignes de transmission : le guide

d’onde coplanaire et la ligne TFMS (Thin Film MicroStrip) qui présentent des avantages

particuliers [18].

Le guide d’onde coplanaire utilise le niveau de métallisation le plus élevé (M4) ( Figure

II.1b), qui va maximiser les performances attendues de par son épaisseur, sa conductivité et

son éloignement du substrat optimal. Par rapport à la ligne TFMS, les pertes dans les

conducteurs sont réduites mais les lignes de champs qui pénètrent dans le substrat introduisent

des pertes diélectriques. Ce type de ligne offre l’avantage d’une plus grande souplesse pour



synthétiser son impédance caractéristique, propriété importante lorsqu’on veut une adaptation

d’impédance par exemple. De plus, pour le guide d’onde coplanaire, la masse est au même

niveau métallique que le signal, ce qui permet d’éviter d’utiliser des vias pour ramener un

point à la masse.

La ligne TFMS utilise le niveau de métallisation le plus élevé (M4) pour le signal et une

couche métallique inférieure (M1) pour la masse (cf. Figure II.1c). Théoriquement, les pertes

dans le substrat de cette ligne sont réduites par rapport à le guide d’onde coplanaire car le

champ électromagnétique pénètre moins dans le substrat, toutefois les pertes ohmique dans les

rubans métallique est plus élevée du fait de l’étroitesse du ruban.

N+ enterrée

P-

N+

SiO2

Substrat P

N-well P-well N-well

SiO2 SS GG DD SS GG DD CC BB BB EE

NNMM OOSS PPMM OOSS BBiippoollaaii rr ee SSiiGGee

SiGe

Passivation

Métal niveau 1

Métal niveau 2

Métal niveau 3

Métal niveau 4

N+ P+ N+ P+

SiO2

SiO2

(a)

(b)

SiO2

Si

W s

d

(c)

SiO2

Si

WS

WG

M 1

Figure II.1 : a). Structure du substrat silicium ; b). Guide d’onde coplanaire ; c). Ligne TFMS

À l’heure actuelle, il existe peu de modèles électriques précis des interconnexions de type

coplanaire et TFMS sur un substrat à pertes de type silicium dans les logiciels de CAO.

Nous présentons dans un premier temps, les travaux que nous avons effectués sur ces

types d’interconnexion afin de trouver un modèle électrique équivalent. C’est un modèle

linéique, applicable à toutes longueurs de ligne de transmission. Ce modèle et la procédure



d’extraction des éléments du modèle est applicable aux guides d’onde CPW et TFMS

possédant des paramètres géométriques différents. Ces travaux trouvent leur application dans

la conception de circuit afin de tenir compte précisément des effets de ces types

d’interconnexions dans les performances globales des circuits.

II.2 Guide d’onde coplanaire

Nous avons réalisé la mesure du guide d’onde CPW dans la bande de fréquences [0,1 – 40

GHz] à l’aide d’un analyseur de réseaux vectoriel. La largeur W du ruban transportant le

signal et l’espace S entre ce ruban et la masse sont respectivement de 20 µm et de 2 µm. La

longueur L de la ligne est de 500 µm. La largeur du ruban transportant le signal a été choisie

égale à la largeur du ruban spiral des inductances qui seront étudiées par la suite, afin d’éviter

toute discontinuité de connexion à l’origine de couplages parasites lors de la caractérisation

précise des inductance.

La figure ci-dessous montre un guide d’onde coplanaire associée à ses accès. La longueur

des accès, donc la distance entre les plans de référence iP et ,i pointP , est optimisée pour

minimiser l’impédance série CCiZ des accès. La caractérisation des lignes est effectuée après

un calibrage LRM sur alumine. La méthode de de-embedding utilisée est la méthode de de-

embedding à deux éléments (cf. paragraphe I.5.2).

P2,point

ZCC1

YCO1

P1,point P1

ZCC2

P2 P2,point

YCO2 W

s

P1,point P1 P2

L

Ligne CPW

Figure II.2 : Guide d’onde coplanaire associé à ses accès



II.2.1 Détermination de l’impédance caractéristique du guide d’onde

coplanaire [21]-[24]

Lorsqu’on envoie une onde à une extrémité d’un guide d’onde coplanaire, elle se propage

dans ce guide. Grâce à la distribution de champ électromagnétique, on distingue deux modes

TEM fondamentaux de propagation dans ce type de guide d’onde : le mode coplanaire

(impair) et le mode fente (pair).

(a)

Eur

Eur

(b)

Eur

Eur

Figure II.3 : Modes quasi-TEM dans un guide coplanaire : a). Mode coplanaire (Mode pair) ;

b). Mode fente (Mode impair)

Chaque ligne de transmission en mode quasi-TEM possède une impédance caractéristique

CZ qui dépend de ses paramètres géométriques et du substrat. Dans le cas où il existe un plan

de masse, un troisième mode apparaît (dit mode “Strip”) de très faible impédance

caractéristique. Nous choisissons de ne considérer que le mode coplanaire. Il existe plusieurs

méthodes pour la détermination de CZ [25]-[32]. Nous avons choisi la méthode

conventionnelle [33]-[34], la plus connue pour cette détermination. Cette méthode est basée

sur la théorie des quadripôles symétriques et en particulier sur le concept d’excitations

symétriques et antisymétriques aux deux accès. (cf. Paragraphe I.5.3.2.1). Nous rappelons que

l’impédance caractéristique et la constante de propagation d’un guide d’onde coplanaire de

longueur 2d sont données par les relations suivantes :

( )( )( )( )

21

21112111

211121110 11

11

+−−−−+++

=SSSS

SSSSZZC (2.1)

( )( )( )( )

12

11 21 11 211

11 21 11 21

1 11tanh

1 1

S S S S

d S S S Sγ − + − − −

= − + + + (2.2)



Les équations (2.1) et (2.2) permettent d’extraire la partie réelle et la partie imaginaire de

la constante de propagation γ et de l’impédance caractéristique ZC. γ peut être écrit sous la

forme :

βαγ j+= (2.3)

où α représente les pertes de la ligne de transmission. La vitesse de phase vφ de l’onde se

propageant sur cette ligne est définie par :

2 fvφ

πβ

= (2.4)

Sur la Figure II.4, nous présentons les variations en fréquence des composantes du

coefficient de propagation γ et de l’impédance caractéristique CZ de cette ligne.

Les dimensions sont choisies de manière à pouvoir lever facilement les indéterminations

de la puissance 12 et du 1tanh− .

25

30

35

40

45

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Re(

Zc

) ( ΩΩ ΩΩ

)

-12

-9

-6

-3

0

Im(Z

c)

( ΩΩ ΩΩ)

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Re(

γγ γγ) (

dB/m

m)

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

vϕϕ ϕϕ

(x10

8 m/s

)

(a) (b)

Figure II.4 : Variation en fréquence de : a). Partie réelle de γ et vitesse de phase, b). Parties

réelle et imaginaire de CZ de le guide d’onde coplanaire

Les variations de )Re(γ et )Im( CZ (cf. Figure II.4) représentent en réalité des pertes de

transmission du signal dans le guide d’onde coplanaire tandis que la variation en fréquence de

la vitesse de phase vϕ introduit une dispersion en fréquence.



II.2.2 Extraction des paramètres primaires du modèle classique

La Figure II.5 représente le modèle électrique réparti classique d’un tronçon de ligne de

transmission qui comprend deux parties, une partie série et une partie parallèle [36]. Les

éléments de ce modèle, (r, l, c et g) sont les paramètres primaires linéiques de la ligne.

l δx r δx

g δx c δx

Figure II.5 : Modèle classique d’un tronçon de ligne de transmission

Nous rappelons que l’impédance caractéristiques CZ et le coefficient de propagation γ de

la ligne de transmission peuvent être exprimés en fonction des paramètres primaires r, l, c, g

par les deux équations suivantes:

cjg

ljrZC ω

ω++= (2.5)

( )( )cjgljr ωωγ ++= (2.6)

À partir des valeurs de CZ et γ extraites de la mesure et à l’aide des définitions des

équations (2.1) et (2.2), nous introduissons quartre paramètres intermédiaires R, L, C, G

définis par les relations (2.7) et (2.8). Ces paramètres permettront de déterminer un modèle

électrique équivalent constitué d’éléments indépendants de la fréquence (en dehors des

résistances qui sont sujettes à l’effet de peau).

( )γCZR Re= ( )γω CZL Im1= (2.7)

=

CZG

γRe

=

CZC

γω

Im1

(2.8)

Où les couples (R, L) et (G, C) représentent respectivement la partie série et la partie

parallèle du modèle distribué d’un tronçon de ligne de transmission



Les figures suivantes montrent l’évolution en fréquence de la partie série et de la partie

parallèle du tronçon du guide d’onde CPW.

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

k Ω/

Ω/

Ω/

Ω/m

)

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH/m

)

(a) (b)

Valeur d’extraction de R1BF

Valeur d’extraction de L1

Figure II.6 : Variation en fréquence des paramètres linéiques de la partie série du guide

d’onde CPW, W =20 µm, S=2 µm, L=500 µm

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

S/m

)

270

290

310

330

350

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF/m

)

(a) (b)

Figure II.7 : Variation en fréquence des paramètres linéiques de la partie parallèle du guide


Les éléments R, L, C, G extraits à partir de la mesure représentent les paramètres primaires

du modèle classique. Cependant, d’après les Figure II.6 et Figure II.7, ces éléments varient

avec la fréquence. Pour traduire l’évolution en fréquence de ces paramètres, il est nécessaire

de modifier le modèle distribué classique et faire ainsi apparaître les comportements

spécifiques des lignes de transmissions en technologie silicium.



Pour prendre en compte l’influence du guide d’onde CPW dans les caractéristiques

globales du circuit, nous avons besoin d’un modèle linéique précis du guide d’onde coplanaire

dans lequel les éléments sont indépendants de la fréquence.

Les paragraphes suivants décrivent précisément la procédure qui nous a conduit à proposer

notre modèle équivalent ainsi que la méthode d’extraction de la valeur de ses éléments. Le

modèle complet de la ligne est constitué de 2 parties indépendantes : la partie série et la partie

parallèle.

II.2.3 Partie série du guide d’onde coplanaire

II.2.3.1 Modèle équivalent de la partie série du guide d’onde coplanaire

Sur la Figure II.6b, on observe que l’inductance L diminue en haute fréquence. En réalité,

l’inductance linéique L de la ligne de transmission dépend du champ magnétique généré par le

courant alternatif qui circule dans le ruban signal et les masses. Lorsque ce champ magnétique

pénètre dans le substrat silicium, il induit dans ce substrat des courants de Foucault, donc des

pertes. Ce phénomène est représenté par R2, L2, et M où l’inductance mutuelle M traduit le

couplage magnétique entre les boucles de courants de Foucault dans le substrat et celles du

courant qui circulent dans les rubans métalliques (cf. Figure II.8) [37]-[40].

L’augmentation de la résistance R sur la Figure II.6a s’explique par l’effet de peau dans

les résistances R1 et R2 de la partie série [38].

L1δx

L2δx

R2δx

Mδx

R1δx

Figure II.8 : Schéma équivalent de la partie séries pour une longueur xδ du guide d’onde

coplanaire



II.2.3.2 Extraction des éléments du modèle équivalent de la partie série du guide d’onde

coplanaire [38]

Dans le but d’extraire la valeur des éléments du schéma réparti proposé, nous identifions

le modèle proposé avec le modèle classique. Il en résulte l’égalité suivante :

ωωωω

22

22

11 jLR

MjLRjLR

+++=+ (2.9)

À partir de cette relation, il est impossible d’extraire tous les éléments indépendamment.

Or en réalité, les valeurs de R2, L2, M n’ont pas de réelle signification physique car elles ne

sont pas liées à un courant précis dans un circuit. Afin de réduire le nombre d’inconnues, nous

introduisons deux paramètres : le temps de relaxation τ et le coefficient de couplage k . Ils

sont définis par :

2

2

1

inv

L

Rτ

ω= = (2.10)

21

2

LL

Mk = (2.11)

En portant τ et k dans l’équation (2.9), nous obtenons :

+−+

++=+

11 22

221

122

21

1 τωτωω

ωττωω kL

LjkL

RLjR (2.12)

D’après l’équation (2.12), la partie réelle de l’impédance série du tronçon de ligne,

représentée par R, dépend de la résistance R1 liée à la résistance des rubans métalliques de la

ligne et du terme 122

21

+ωττωkL

lié aux courants de Foucault dans le substrat. De plus, la somme de

ces deux termes tend vers une constante en haute fréquence. La caractéristique parabolique de

R en haute fréquence (cf. Figure II.6a) nous a donc conduit à prendre en compte l’effet de

peau dans les rubans métalliques, donc dans la résistance R1. Pour cette raison, nous

modélisons la résistance R1 par une fonction de la forme :

fARR BF += 11 (2.13)



où A est un coefficient évaluant l’effet de peau dans la résistance R1.

En portant l’équation (2.13) dans l’équation (2.12), nous aurons finalement :

+−+

+++=+

11 22

221

122

21

1 τωτωω

ωττωω kL

LjkL

fARLjR BF (2.14)

D’après l’équation (2.14), BFR1 et 1L apparaissent comme la résistance R et l’inductance L

à basse fréquence. Leurs valeurs sont donc extraites directement sur les évolutions en

fréquence de la résistance R et de l’inductance L (cf. Figure II.6) à partir de leurs valeurs

quasi-statiques.

Le coefficient de couplage k correspond à la diminution relative de l’inductance L de la

ligne. Sur la Figure II.6, l’évolution de L devient horizontale en haute fréquence. Pour cette

raison, nous déterminons un paramètre intermédiaire k :

1

1L

Lk −= (2.15)

La valeur de k est donc déterminée grâce à l’évolution du paramètre k en haute fréquence.

La Figure II.9 montre l’évolution en fréquence de k et la valeur du coefficient de couplage k

est extraite dans la zone horizontale (à haute fréquence).

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

k

Zone d’extraction de k

Figure II.9 : Variation en fréquence du coefficient de couplage

Dans l’équation (2.10), nous avons défini le temps de relaxation τ . En séparant l’équation

(2.12) en partie réelle et en partie imaginaire nous trouverons les relations suivantes :



21

1 2 2 1

kLR R

ω ττ ω

= ++

(2.16)

2 21

1 2 2 1

kLL L

ω τω τ

= −+

(2.17)

Ces relations ((2.16) et (2.17)) peuvent être respectivement réécrites sous les formes :

21

1 2 2 1

kLR R

ω ττ ω

− =+

(2.18)

2 21

1 2 2 1

kLL L

ω τω τ

− =+

(2.19)

D’où nous trouvons l’expression de τ sous la forme :

1

1

L L

R Rτ −=

− (2.20)

On peut extraire 1R de l’équation (2.20) :

τ

L - L = R + R 1

1 (2.21)

Si nous identifions la partie imaginaire de l’équation (2.14), nous obtenons :

122

221

1 +−=

τωτωkL

LL (2.22)

Pour extraire la valeur numérique de τ , donc de invω . Nous déterminons un paramètre

intermédiaire τ , ou invω qui est déduit de la relation (2.22) :

11

1

1 −−

==LL

kLinv ω

τω (2.23)

Comme pour la résistance R1, l’effet de peau dans la résistance R2 devient important en

haute fréquence. En prenant en compte cet effet dans la résistance R2, le paramètre invω peut

être écrit sous la forme :



1inv BF B fω ω

τ= = + (2.24)

où B est un coefficient évaluant l’effet de peau et BFω apparaît comme étant la valeur de

invω à basse fréquence. Pour cela, nous avons extrait directement cette valeur à basse

fréquence à partir de l’évolution en fréquence de invω . L’équation (2.23) permet de tracer

l’évolution du paramètre intermédiaire invω en fonction de la fréquence (cf. Figure II.10).

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

ωω ωωin

v (x

109

rad/

s)

Valeur d’extraction de ωBF

Figure II.10 : Variation en fréquence de invω

Enfin, nous déterminons deux paramètres intermédiaires A et B permettant d’extraire les

valeurs de A et B. Leurs expressions sont respectivement obtenues en identifiant les équations

(2.13) et (2.21) et les équations (2.23) et (2.24) :

f

RLL

RA

1BF1 −

−+

= τ (2.25)

f

LL

kL

BBF

1

1 ωω −−−

=1

(2.26)

La Figure II.11 montre l’évolution en fréquence des coefficients de A et B en prenant en

compte l’effet de peau dans les résistances R1 et R2. Puisque l’effet de peau devient beaucoup

plus important en haute fréquence, les valeurs de A et B sont extraites dans la zone à hautes

fréquences où les évolutions de A et B deviennent horizontales (cf. Figure II.11).



0

100

200

300

400

0 10 20 30 40

Frequency (GHz)

B (

x10

3 .Hz1/

2 )

-4

-2

0

2

4

0 10 20 30 40

Frequency (GHz)

A (

mΩ

.Ω

.Ω

.Ω

.Hz-1

/2/m

)

Zone d’extraction de A

Zone d’extraction de B

(a) (b)

Figure II.11 : Variation en fréquence du coefficient évaluant l’effet de peau dans : a).

Résistance 1R , b). Résistance 2R

II.2.3.3 Comparaison de la partie série entre la mesure et le modèle proposé

La Figure II.12 montre un bon accord entre la mesure et le modèle équivalent proposé

pour la partie série représentée par L et R. Le modèle de la partie série proposé permet donc

de bien décrire le comportement réel de la partie série linéique de la ligne.

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

k Ω/

Ω/

Ω/

Ω/m

)

R_mesure

R_modèle

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH/m

)

L_mesure

L_modèle

(a) (b)

Figure II.12 : Comparaison de la partie séries du guide d’onde coplanaire entre le modèle

proposé et la mesure



II.2.4 Partie parallèle du guide d’onde coplanaire

II.2.4.1 Modèle équivalent de la partie parallèle du guide d’onde coplanaire

La Figure II.13 montre les variations en fréquence des paramètres linéiques de la partie

parallèle du modèle classique du guide d’onde coplanaire :

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

S/m

)

270

290

310

330

350

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF/m

)

(a) (b)

Somme de (C1+C2)

Figure II.13 : Variation en fréquence des paramètres linéiques de la partie parallèle du guide


Comme nous l’avons dit précédemment, ces paramètres ne sont pas constants à cause de la

pénétration du champ électromagnétique dans le substrat silicium. Du fait de la structure du

substrat silicium et du comportement fréquentiel de R et C, nous proposons Figure II.14 un

modèle équivalent de la partie parallèle de la ligne.

C2δx

C1δx

G1 δx C3δx

Si

SiO2 C2δx/2 C2δx/2

G1δx/2 G1δx/2 2C1δx

C1δx C1δx

C3δx/2 C3δx/2

G S G

Figure II.14 : Modèle équivalent de la partie parallèle d’un tronçon du guide d’onde

coplanaire et la répartition des éléments dans le substrat

Avec ce modèle, nous avons supposé qu’il y a deux couplages : d’une part, les lignes de

champ à travers la couche d’oxyde sont représentées par la capacité C2. D’autre part, l’effet



des lignes de champ à travers le substrat silicium est représenté par la capacité de couplage C1

dans la couche d’oxyde en série avec la conductance G1 du silicium (cf. Figure II.19). Il existe

théoriquement une capacité C3 en parallèle avec G1, cependant cette capacité n’est pas visible

pour les fréquences mesurées.

II.2.4.2 Extraction des éléments du modèle équivalent de la partie parallèle du guide

d’onde coplanaire

La démarche adoptée pour extraire les valeurs des éléments du modèle linéique est

identique à celle utilisée lors de l’extraction des éléments de la partie série. Nous identifions

cette fois-ci le modèle proposé avec la mesure de la partie parallèle. Il en résulte :

ωωωω

11

112 jCG

GCjCjCjG

++=+ (2.27)

En développant l’équation (2.27) (cf. Annexe 1), nous la réécrivons sous la forme

ordonnée en ω :

+++

+=+

21

21

21

2

21

21

21

21

2

11G

C

CCj

G

C

G

C

CjGω

ωω

ω

ω (2.28)

Sous cette forme, on voit apparaître que la somme de (C1+C2) est la valeur de C à basse

fréquence. Pour cela, nous avons extrait cette somme à partir de l’évolution en fréquence de C

comme montré sur la Figure II.13b.

Pour alléger les calculs et aussi les équations, nous déterminons désormais une variable

intermédiaire Z :

)(-

1

21 CCjCjGZ

++=

ωω (2.29)

Z est connu. Pour extraire les valeurs de 1C et 1G , nous déterminons deux paramètres

intermédiaires 1C et 1G permettant de déduire les valeurs numériques de 1C et 1G . Leurs



expressions sont obtenues en développant l’équation (2.27) (cf. Annexe 1) et sont données par

les relations suivantes :

(Z)ωC

Im

11 = (2.30)

(Z)CωG Re21

21 = (2.31)

La procédure d’extraction des éléments du modèle proposé est réalisée en supposant que

ce modèle décrit bien les phénomènes physiques, donc les couplages apparaissant dans le

substrat. Pour que le modèle proposé soit proche de la mesure dans toute la bande de

fréquence, nous effectuons 2 étapes d’extraction : la première étape concerne l’extraction à

basse fréquence. Dans ce cas, les couplages liés aux hautes fréquences sont négligeables. Les

termes traduisant ces couplages se simplifient dans les calculs. À la deuxième étape, nous

effectuons l’extraction des autres éléments à haute fréquence. Théoriquement, cette fréquence

d’extraction est la plus élevée possible pour que le modèle proposé soit valable dans toute la

bande de fréquence. En pratique, on prendra le point correspondant à la fréquence de mesure

la plus haute.

Nous revenons à l’extraction des derniers éléments de la partie parallèle du modèle

proposé. Nous somme arrivés à extraire la somme de ( )21 CC + et à calculer Z. En haute

fréquence, les termes

1

21

2

G

Cω et

21

21

2

G

Cω ne sont plus négligeables dans l’équation (2.28).

Pour cela, nous réalisons l’extraction de leurs valeurs (C1 et G1) en haute fréquence. La

meilleure précision est obtenue au voisinage de 40 GHz.

L’équation (2.30) permet de tracer l’évolution en fréquence de 1C , à partir de laquelle

nous pouvons extraire directement la valeur de C1 en haute fréquence (cf. Figure II.15).



20

30

40

50

60

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)C

1 (

pF/m

)

Zone d’extraction de C1

Figure II.15 : Variation en fréquence de 1C et la zone d’extraction de 1C

Une fois la capacité C1 déterminée, nous remplaçons sa valeur numérique dans l’équation

(2.31) pour en déduire 1G . La valeur de 1G est alors extraite à partir de la variation en

fréquence de 1G (Figure II.16).

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Fréquence (Ghz)

G1

(S/m

)

Zone d’extraction de G1

Figure II.16 : Variation en fréquence de la conductance 1G et la zone d’extraction de 1G

II.2.4.3 Comparaison de la partie parallèle entre la mesure et le modèle proposé

La Figure II.17 présente la comparaison, pour la partie parallèle, entre la mesure et le

modèle équivalent proposé. Le bon accord obtenu montre que les phénomènes à l’origine de

la partie parallèle sont pris en compte dans le modèle proposé.



270

290

310

330

350

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF/m

)

C_mesure

C_modèle

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

S/m

)

G_mesure

G_modèle

(a) (b)

Figure II.17 : Comparaison en partie parallèle entre le modèle classique et le modèle proposé

II.2.4.4 Conclusion

Les paragraphes II.2.3 et II.2.4 ont présenté concrètement les procédures pour extraire les

éléments du modèle linéique proposé pour la partie série et parallèle d’un guide d’onde

coplanaire à partir du résultat de mesure. La Figure II.18 et Figure II.19 présentent le modèle

linéique complet proposé et une vue globale des couplages et la distribution des éléments d’un

tronçon de guide d’onde CPW.

L1δx

L2δx

R2δx

Mδx

R1δx

C2 δx

C1 δx

G1 δx

Figure II.18 : Modèle équivalent complet proposé d’un tronçon de ligne



L1δx

R1δx

Cδx/2 Gδx/2

C2δx/2 C2δx/2 C1δx

C1δx 2C1δx

L2δx

R2δx

Mδx

Substrat silicium

SiO2

Figure II.19 : Répartition des éléments du nouveau modèle d’un tronçon du guide d’onde

coplanaire

Dans le tableau suivant, nous présentons les valeurs des éléments du modèle proposé

extraites directement de la mesure (sans optimisation) du guide d’onde coplanaire sur substrat

silicium de paramètres géométriques : L=500 µm, W =20 µm, S=2 µm.

Tableau II.1 : Valeur extraite des éléments du modèle proposé du guide d’onde CPW

R1=391 + 0,002 f (Ω/m) C2=270 (pF/m) C1=50 (pF/m) G1=4 (S/m)

ωinv=1/τ=8.109 + 12.104 f ( rad/s) L1=3,6.10-7 (H/m) k=0,38

D’après l’extraction, le coefficient évaluant l’effet de peau dans la résistance série R1 est

de 0,002 (cf. Tableau II.1) qui est comparable à celui de 0,003 calculé approximativment à

partir des paramètres technologiques (cf. Annexe 2). La différence entre eux est probablement

due à la rugosité des rubans métalliques ou à la dispersion technologique lors de la

fabrication.

Nous avons obtenu un bon accord pour la partie série entre le modèle proposé et la mesure

du guide d’onde coplanaire de 500 µm. Ceci confirme que les phénomènes particuliers,

comme l’effet de peau dans les résistances et les courants de Foucault dans le substrat

silicium, sont bien pris en compte dans la partie série du modèle proposé. Les différents

couplages sont pris en compte dans la partie parallèle du modèle. L’écart observé dans la

conductance G a peu de conséquences parce que son influence sur la propagation du signal est

minime [41].



II.2.5 Validité du modèle proposé pour une ligne de longueur différente

Dans les paragraphes II.2.3 et II.2.4, nous avons présenté les procédures qui ont permis de

proposer un modèle équivalent et d’extraire les éléments du modèle d’un tronçon de ligne à

partir de la mesure d’un guide d’onde coplanaire. Ce guide coplanaire possède des paramètres

géométriques : L=500 µm, W =20 µm, S=2 µm. Nous voulons cette fois-ci vérifier la validité

du résultat obtenu en les appliquant à un guide d’onde coplanaire de mêmes W et S, mais de

longueur L différente. Pour cela, nous appliquons le modèle proposé (cf. Figure II.18) et les

paramètres linéiques extraits (cf. Tableau II.1) à un guide d’onde coplanaire de longueur

L=700 µm.

Le modèle proposé est un modèle linéique. Pour simuler le comportement d’une ligne de

longueur L dans un logiciel CAO, nous avons connecté N cellules élémentaires constituées du

modèle linéique proposé (cf. Figure II.20). Chaque élément du schéma est affecté d’un facteur

xδ =1 µm et pour simuler une ligne de 700 µm, N=700. Il est évident que plus le nombre de

cellules est grand, plus cette modélisation est proche du comportement d’une ligne réelle.

Cellule 2 Cellule N Cellule 1

L1δx R1δx

L2δx

R2δx

C2δx C1δx

G1δx

Mδx

Figure II.20 : Schéma électrique d’une ligne de longueur L avec xδ =1 µm

Nous avons comparé cette simulation électrique, pour la ligne de longueur L=700 µm,

avec la mesure. Les figures suivantes montrent cette comparaison en paramètres S.



(a) (b)

-200

-150

-100

-50

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(Deg

)

-80

-60

-40

-20

0

phas

e(S

21)

(Deg

)Mesure

Simulation

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

S21

(dB

)

Mesure

Simulation

Figure II.21 : Comparaisons en paramètres S entre la mesure de guide d’onde CPW 700 µm

et le modèle comportant 700 cellules élémentaires identiques

Le bon résultat obtenu dans ce cas (cf. Figure II.21) permet d’appliquer ce modèle et les

valeurs numériques des éléments du modèle aux guides coplanaires de différentes longueurs.

Dans le paragraphe suivant, nous allons essayer d’appliquer la méthode d’extraction des

éléments de ce modèle à une ligne TFMS (Thin Film MicroStrip). Dans le cas de cette ligne

de transmission, du fait de la structure géométrique, la répartition des lignes de champs dans

le substrat est différente par rapport à celle du guide d’onde coplanaire.

II.3 Dépendance des paramètres du modèle équivalent proposé en

paramètre géométrique S pour le guide d’onde CPW

Dans le paragraphe II.2, nous avons travaillé sur un guide d’onde CPW dont l’espace S

entre le ruban et la masse est fixée à 2 µm. Nous avons effectué les mesures pour plusieurs

valeurs de S. Nous appliquons le modèle proposé et la procédure d’extraction des éléments

dans ce modèle à des guides coplanaires d’espaces S différents et de même largeur W du

ruban.

La figure suivante présente l’impédance caractéristique mesurée du guide d’onde

coplanaire pour différentes valeurs de S :



20

30

40

50

60

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

ZC

(ΩΩ ΩΩ

)

S=2 µm

S=5 µm

S=10 µm

S=14 µm

Re(

ZC)

Figure II.22: Variation de l’impédance caractéristique CZ d guide d’onde coplanaire pour

différentes valeurs de S

La comparaison entre mesure et modèle proposé pour les différentes structures présente un

comportement suffisamment proche. Il nous permet de déterminer la variation des éléments

des lignes en fonction de l’espace S. La Figure II.23 nous rappelle le modèle complet de ligne

de transmission que nous avons proposé.

L1δx

L2δx

R2δx

Mδx

R1δx

C2 δx

C1 δx

G1 δx

Figure II.23 : Modèle équivalent complet d’un tronçon de ligne de transmission

La Figure II.24a et b présentent la dépendance de l’inductance L1 et du coefficient de

couplage k en fonction de S. La Figure II.25 présente la dépendance de l’inductance linéique

du guide d’onde CPW à haute fréquence (HFL ) en fonction de S. Cette inductance est définie

par :

( )1 1HFL L k= − (2.32)



0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15

S (µm)

k

3

3.4

3.8

4.2

4.6

0 5 10 15

S (µm)

L1

(x10

-7 H

/m)

(a) (b)

Figure II.24 : Dépendance en fonction de l’espace S de : a). Inductance 1L ; b). Coefficient

de couplage k

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

0 5 10 15

S (µm)

LH

F (

x10

-7H

/m)

Figure II.25 : Dépendance de l’inductance HFL en fonction de l’espace S en haute fréquence

(zone horizontale)

Les figures précédentes montrent que plus l’espace S entre les rubans augmente, plus

l’inductance quasi-statique du guide d’onde CPW (L1) ou HFL est élevée. C’est

compréhensible parce que plus S augmente, moins les couplages capacitifs entre les rubans

sont importants, l’effet inductif est donc plus dominant. D’autre part, lorsque S augmente, le

champ électrique autour des rubans diminue et le champ magnétique est moins fort. Par

conséquent, les couplages dans le substrat diminuent, cela explique pourquoi le coefficient de

couplage k diminue.



II.4 Ligne TFMS (Thin Film Microstrip)

II.4.1 Modèle équivalent, répartition des éléments dans la structure

géométrique, et extraction des éléments du modèle de la ligne TFMS

Nous appliquons à une ligne TFMS de longueur L de 500 µm le même modèle et la même

procédure que nous avons obtenus dans la partie II.2. Les largeurs du ruban SW et de la masse

GW sont respectivement de 8 µm et 100 µm. Le ruban est toujours le métal M4, niveau le plus

haut, afin de profiter de sa conductance élevée et de sa capacité à supporter des courants de

forte intensité tandis que la masse est le métal M1, le plus profond parmi les différentes

couches métalliques, qui est séparé du métal M4 par les couches d’oxyde (cf. Figure II.1c).

Nous avons mesuré cette ligne TFMS et utilisé la méthode de de-embedding à deux

éléments associée aux calculs matriciels pour obtenir les paramètres S de la ligne sans

l’influence de ses accès. Dans un premier temps, nous avons aussi calculé et tracé les

composantes du coefficient de propagation γ et l’impédance caractéristique ZC (Figure II.26) :

42

44

46

48

50

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Re(

Zc

) ( ΩΩ ΩΩ

)

-20

-15

-10

-5

0

Im(Z

c)

( ΩΩ ΩΩ)

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Re(

γγ γγ) (

Np/

mm

)

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Vϕϕ ϕϕ

(x1

08 m

/s)

(a) (b)

Figure II.26 : Variation en fréquence de la : a). Partie réelle de γ et vitesse de phase, b).

Partie réelle et partie imaginaire de CZ de la ligne TFMS

Les paramètres primaires de la ligne TFMS sont calculés à partir du coefficient de

propagation γ et de l’impédance caractéristique CZ grâce au modèle classique (cf. Figure

II.5). Leurs évolutions en fréquence sont montrées ci-dessous.



0

2

4

6

8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

k Ω/

Ω/

Ω/

Ω/m

)

300

350

400

450

500

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH/m

)

(a) (b)

Figure II.27 : Variation en fréquence des paramètres linéiques de la partie série de la ligne

TFMS, SW =8 µm, GW =100 µm, L=500 µm

160

170

180

190

200

210

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF/m

)

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

S/m

)

(a) (b)

Figure II.28 : Variation en fréquence des paramètres linéiques de la partie parallèle de la

ligne TFMS, SW =8 µm, GW =100 µm, L=500 µm

Visiblement, les courbes des paramètres primaires de la ligne TFMS possèdent une forme

quasi-identique à ceux du guide d’onde coplanaire. Pour cette raison, nous appliquons le

même modèle de ligne. La Figure II.29 montre une vue globale de la répartition des éléments

du modèle électrique équivalent sur la structure géométrique.



Substrat silicium

R1δx

L2δx L1δx

Mδx

R2δx

SiO2

C1δx/2 C1δx/2

C2δx

G1δx/2 G1δx/2

M4

M1

Figure II.29 : Répartition des éléments du nouveau modèle d’un tronçon de ligne TFMS sur

substrat silicium

II.4.2 Comparaison entre la mesure et le modèle équivalent proposé

Les figures suivantes comparent le modèle proposé avec la mesure en partie série et en

partie parallèle pour la ligne TFMS de longueur L de 500 µm.

0

2

4

6

8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

k Ω/

Ω/

Ω/

Ω/m

)

R_mesure

R_modèle

300

350

400

450

500

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH/m

)

L_mesure

L_modèle

(a) (b)

Figure II.30 : Comparaison en partie série entre la mesure et le modèle proposé de la ligne

TFMS



0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

S/m

)

G_mesure

G_modèle

160

170

180

190

200

210

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF/m

)C_mesure

C_modèle

(a) (b)

Figure II.31 : Comparaison en partie parallèle entre la mesure et le modèle proposé de la

ligne TFMS

Nous obtenons un très bon accord entre le modèle proposé et la mesure. Ce modèle a donc

bien pris en compte les phénomènes existant dans le substrat.

Comme pour le guide d’onde coplanaire, nous voulons vérifier la validité du modèle

équivalent proposé avec les éléments extraits directement de la mesure d’une ligne TFMS de

longueur L de 500 µm pour des lignes TFMS de différentes longueurs. Nous avons appliqué

ce résultat à une ligne TFMS de 700 µm. La procédure de modélisation en cellules est

identique à celles appliquée au guide d’onde CPW. Nous avons enfin comparé la simulation

électrique de cette modélisation avec la mesure en paramètres S. Les figures suivantes

représentent cette comparaison.

-40

-35

-30

-25

-20

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

-0.60

-0.45

-0.30

-0.15

0.00

S21

(dB

)

Mesure

Simulation

(a)



-140

-100

-60

-20

20

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(Deg

)-60

-45

-30

-15

0

phas

e(S

21)

(Deg

)Mesure

Simulation

(b)

Figure II.32 : Comparaisons en paramètres S entre la mesure de ligne TFMS 700 µm et le

modèle comportant des cellules

II.4.3 Comparaison avec le guide d’onde CPW

Le Tableau II.2 synthétise la valeur des éléments extraits du modèle équivalent proposé

pour la ligne TFMS et le guide coplanaire de longueur L de 500 µm. Le coefficient évaluant

l’effet de peau dans la résistance série R1 est de 0,002 qui est comparable à celui de 0,003

calculé à partir des paramètres technologiques (cf. Annexe 2). Comme précédemment, la

différence entre eux est probablement due à la rugosité des rubans métalliques ou à la

dispersion technologique lors de la fabrication.

Tableau II.2 : Valeur extraite des éléments du modèle proposé de la ligne TFMS

Paramètres Guide d’onde coplanaire Ligne TFMS

R1 (Ω/m) 391 + 0,002 f 2000 + 0,002 f

L1 (H/m) 3,6.10-7 4,6.10-7

k 0,38 0,285

ωinv=1/τ (rad/s) 8.109 + 12.104 f 1010 + 13.104 f

C1 (pF/m) 50 38

C2 (pF/m) 270 167

G1 (S/m) 4 1,25



D’après ce tableau, la conductance G1 du modèle de la ligne TFMS est plus faible que

celle du guide d’onde coplanaire. Cela confirme encore une fois que dans le cas de la ligne

TFMS, le champ électromagnétique est plus confiné dans l’oxyde que pour le guide

coplanaire. Il y a donc moins de pertes dans le substrat silicium. Par contre la résistance série

R1 de la ligne TFMS est supérieure à celle du guide d’onde coplanaire parce que d’une part, la

largeur du ruban transportant le signal de la ligne TFMS est plus petite et d’autre part, la

masse de la ligne TFMS est déposée sur le métal 1 (M1) qui conduit moins bien que le métal

M4.

II.4.4 Conclusion

Nous avons obtenu un bon accord entre le modèle proposé dans le cas d’une ligne TFMS

de longueur 500 µm. Ce résultat montre que le modèle électrique équivalent et les procédures

d’extraction des éléments du modèle est valable non seulement pour le guide d’onde

coplanaire mais aussi pour la ligne TFMS.

Pour chaque type de ligne de transmission, nous avons appliqué le résultat obtenu à partir

d’une ligne de longueur de 500 µm à une ligne de longueur de 700 µm. Le bon accord obtenu

entre la mesure et le modèle de ligne constituée de plusieurs cellules élémentaires identiques

permet de valider l’approche proposée.

II.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons proposé un modèle équivalent linéique des lignes de

transmission de type coplanaire et TFMS (Thin Film MicroStrip) sur substrat silicium et une

méthode permettant d’extraire analytiquement les éléments du modèle. Les résultats obtenus

sont valables aux différentes longueurs de lignes de transmission.

Le modèle équivalent de lignes de transmission a pris en compte les courants de Foucault

dans le substrat silicium. Par conséquent, nous pouvons comprendre mieux les effets parasites

des autres éléments intégrés sur ce type de substrat.

De plus, le modèle équivalent est intuitivement proposé grâce aux évolutions des

paramètres primaires de la ligne. Ce fait se situe dans une perspective plus générale



permettant de proposer et de trouver un modèle équivalent et une procédure d’extraction

analytique de plusieurs éléments : des éléments passifs et des éléments actifs.

Chapitre III : Inductance intégrée


Chapitre III :

Inductance intégrée

III.1 Introduction

L’utilisation d’inductances est incontournable dans les circuits intégrés, où elles sont

utilisées pour les circuits d’adaptation d’impédance, dans les oscillateurs, les filtres et les

amplificateurs faible bruit. Les composants passifs intégrés fabriqués en technologie III-V, et

en particulier les inductances, possèdent de bonnes caractéristiques du fait de la présence d’un

substrat sans pertes. Généralement, les paramètres importants qui caractérisent les inductances

sont le coefficient de qualité Q, et l’inductance L [20], [42]-[48].

Cependant, cette technologie III-V très performante est aussi très chère. Elle est de plus en

plus remplacée par la technologie silicium. À l’heure actuelle, les transistors fabriqués sur

substrat silicium possèdent des fréquences de coupure fT de plus de 100 GHz. Ceci permet de

concevoir des circuits pour des applications supérieures à 10 GHz. À de telles fréquences, les

inductances proposées par les fondeurs dans les bibliothèques d’éléments associés aux

technologies silicium BiCMOS sont très souvent inadaptées. De plus, les modèles sont limités

en fréquence et ne prennent pas toujours bien en compte les phénomènes particuliers liés à ce

type de substrat. Même si l’application est limitée à quelques GHz, il est nécessaire de

modéliser bien plus haut le comportement des éléments pour une étude non-linéaire multi-

harmonique.

Dans ce chapitre, nous allons proposer une nouvelle méthode d’extraction pour la

définition d’un nouveau modèle d’inductances sur substrat silicium qui décrit les phénomènes

parasites à l’origine des limitations des performances des inductances spirales intégrées. La

méthode pour extraire la valeur des éléments du modèle est inspirée des travaux sur les lignes

de transmission du chapitre précédent. Elle se base sur les mesures et par conséquent ne prend

en compte que les éléments accessibles à la mesure. Dans la dernière partie, nous présentons

une approche permettant d’utiliser un simulateur électromagnétique pour modéliser des

inductances de différentes géométries et permettre ainsi de pouvoir paramétrer les éléments

du modèle en fonction de paramètres géométriques.



Nos travaux ont porté sur 3 inductances intégrées de la bibliothèque AMS. (SP011S200T,

SP015S250T et SP024S250T). Pour simplifier les notations, nous les appelons spirale 1,

spirale 2 et spirale 3. Les spirales possèdent des paramètres géométriques et des valeurs

d’inductance différents (cf. Tableau III.1).

Tableau III.1 : Notation des inductances mesurées et leurs paramètres géométriques

SP011S200T SP015S250T SP024S250T

Nom Spirale 1 Spirale 2 Spirale 3

Diamètre externe (µm) 200 250 250

Nombre de tour 2 2 3

Largeur de ruban (µm) 20 20 20

Espace entre rubans (µm) 3 3 3

Inductance (nH) (selon fondeur) 1 1,5 2,4

III.2 Critère d’évaluation des performances d’une inductance : Le

facteur de qualité

Le niveau de performance des éléments passifs réactifs, qu’ils soient capacitifs ou

inductifs est habituellement évalué par le facteur de qualité.

Par définition, le facteur de qualité Q d’un dipôle représente le rapport entre l’énergie

stockée sous forme électrique ou magnétique et l’énergie dissipée par effet de Joule. Dans le

cas d’une inductance flottante, un de ses deux accès est court-circuité pour définir son

impédance Z ou son admittance Y. Ce facteur de qualité s’exprime par la relation suivante :

( )( )

( )( )

Im Im

Re Re

Z YQ

Z Y= = (3.1)



III.3 Modèle équivalent et extraction des éléments du modèle

Il existe dans la littérature de nombreux modèles équivalents d’inductances sur substrat

silicium. Le modèle le plus simple est celui de Figure III.1 [42], [49]. C’est aussi le modèle

d’inductances proposé par le fondeur AMS.

RS

CS

LS

Rsub2

Cox1

Csub1

Cox2

Rsub1 Csub2

Figure III.1 : Modèle classique de l’inductance

Dans ce modèle, LS et RS représentent respectivement l’inductance et la résistance série de

la spirale. La capacité série SC traduit le couplage capacitif parasite entre les spirales. 1,2oxC

et ( 1,2subC , 1,2subR ) correspondent aux lignes de champ électrique qui traversent la couche

d’oxyde et pénètrent dans le substrat silicium. Cependant ce modèle n’est plus valable à haute

fréquence parce qu’il ne prend pas en compte certains phénomènes particuliers liés au substrat

silicium. Ce modèle a par la suite été modifié en rajoutant des éléments afin d’obtenir une

meilleure concordance avec le comportement réel des inductances.

De façon générale, il existe deux types de modèle d’inductance sur substrat silicium : les

modèles en pi [50] et les modèles en double pi [51] (cf. Figure III.2). Dans ces modèles, des

éléments sont rajoutés afin de prendre en compte les phénomènes physiques apparaissant dans

le substrat. La précision de ces modèles est donc relativement améliorée. Mais plus on rajoute

d’éléments, plus le modèle devient compliqué et les éléments inaccessibles à la mesure [13],

[38], [50]-[60]. En conséquence, il est souvent difficile d’effectuer une extraction analytique

de tous les éléments à partir des résultats de mesure.



Rs

CS

Rsk

Rs

CS

Rs

REddy

LEddy

2Cox

2Csi

Cox

Csi

Ls

Cox

CSi

Lsk

RSi

Lsub Rsub . .

L L

Rsi/2 Rsi

Cox

Csi Rsi

(a) (b)

Figure III.2 : Deux modèles d’inductance sur substrat silicium : a). Modèle en pi [60]; b).

Modèle en double pi [51]

Nous allons présenter dans les paragraphes suivants un nouveau modèle d’inductance

prenant en compte les différents phénomènes dans le substrat silicium et une méthode

permettant d’extraire les éléments du modèle. L’approche innovante que nous proposons

consiste à définir un modèle directement à partir des résultats de mesure. C’est la variation

des paramètres mesurés en fonction de la fréquence qui suggère la topologie du modèle. Le

principal avantage de cette approche est que l’extraction de la valeur des éléments du modèle

est quasiment analytique et que le modèle ne comporte que des éléments accessibles à la

mesure.

III.3.1 Topologie fondamentale d’inductance sur substrat silicium

Comme pour la méthode que nous avons présentée sur la ligne de transmission, le modèle

proposé et la procédure pour extraire les éléments du modèle sont effectués directement à

partir du résultat de la mesure d’une inductance. Nous avons mesuré la spirale 1 (cf. Tableau

III.1) de la bibliothèque AMS. C’est une inductance spirale de 2 tours, d’espace S entre

rubans de 3 µm, de diamètre externe d de 200 µm. Le dessin de masque de cette inductance

est présenté à la Figure III.3. Dans le substrat, sous les inductances de la bibliothèque AMS,

on dispose d’“écrans” (ou shield en anglais) en forme de “V”. Cette technique permet de

limiter les pertes dans le substrat, donc les courants de Foucault. Le facteur de qualité de

l’inductance est amélioré [43], [49], [52], [63].



Figure III.3 : Dessin de masque (layout) de la spirale 1

Cette inductance est mesurée à travers les accès coplanaires à l’aide d’un analyseur de

réseaux vectoriel. Nous appliquons la procédure de de-embedding à 2 éléments pour extraire

les paramètres S de l’inductance dans ses plans de référence. Ces paramètres S sont ensuite

convertis en paramètres Y afin de travailler à partir d’une topologie fondamentale comprenant

trois parties : 1 partie série et 2 parties parallèles (cf. Figure III.4).

-Y12

Y11+Y12 Y22+Y12

12

1SZ

Y

−=

1 11 12PY Y Y= + 2 22 12PY Y Y= +

Figure III.4 : Topologie équivalente de l’inductance envisagé comme un quadripôle

À partir de cette topologie fondamentale, nous allons développer, dans les paragraphes

suivants, l’étude de ses deux parties (partie série et partie parallèle) afin de trouver un modèle

électrique équivalent complet de l’inductance.

III.3.2 Partie série de l’inductance

La procédure de recherche de topologie est similaire à celle développée lors de l’étude sur

les lignes de transmission : nous déterminons un modèle électrique équivalent d’une

inductance à partir de l’évolution fréquentielle des paramètres mesurés.



Dans un premier temps, nous explicitons les parties réelles et imaginaires de l’impédance

série en posant :

−=12

1Im

1

YL

exS ω (3.2)

−=12

1Re

YR

exS (3.3)

Ces relations permettent de tracer les variations en fréquence de exSL et

exSR (Figure III.5

et Figure III.6) :

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

LS (

nH)

Zone I Zone II

Zone III

LS e

x

Valeur d’extraction de L1

Figure III.5 : Variation en fréquence de la partie imaginaire de la partie série de la

inductance 1

-800

-600

-400

-200

0

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

RS

(ΩΩ ΩΩ

)

0

1

2

3

4

0 3 6 9 12

Fréquence (GHz)

RS (

ΩΩ ΩΩ)

(a) (b)

Zone I

Zone I Zone II

Zone III

RS e

x

RS e

x

Valeur d’extraction de R1

Figure III.6 : Variation en fréquence de la partie réelle de la partie série de la inductance 1 :

a). Dans toute la bande de fréquence ; b). À basse fréquence



À partir de l’évolution fréquentielle de exSL et

exSR nous pouvons observer trois zones de

fonctionnement. Dans la zone I, aux basses fréquences, exSL diminue rapidement d’une valeur

quasi-statique à une valeur quasi-constante. Dans la zone II, elle augmente progressivement et

atteint une valeur maximum (zone III) à partir de laquelle, on observe une chute rapide de

exSL à l’image du comportement d’un résonateur. Dans les zones II et III, exSR devient

négative [52], [61]-[62]. Nous reviendrons sur ce point au paragraphe III.3.5.

III.3.2.1 Modèle proposé et extraction des éléments de la partie série

À très basses fréquences, dans la région quasi-statique de la zone I, l’impédance série

21

1Y

− de la spirale 1 peut être modélisée par une résistance R1 et une inductance L1 en série.

Le comportement de exSL dans la zone I nous a conduit à proposer une topologie de type

transformateur (cf. Figure III.7) qui introduit les pertes dues aux courants de Foucault dans le

substrat silicium [38], [43], [49], [52], [63] et traduit la décroissance de exSL vers une valeur

constante.

R1

M

L1

R2

L2

Figure III.7 : Schéma équivalent de la partie série de la inductance dans la zone I et II

L’impédance de la partie série dans cette bande de fréquence (zone I), peut donc être

approximée par :

2 2

1 112 2 2

1ex exS S I

MR j L Z R j L

Y R j L

ωω ωω

− = + ≈ = + ++

(3.4)

où IZ représente l’impédance des éléments de la Figure III.7. Pour réduire le nombre

d’inconnues, nous utilisons la même approche que pour les lignes de transmission. Ainsi les

inconnues 2R , 2L , M sont remplacées par deux paramètres dont la signification physique est

plus directe : le temps de relaxation τ et le coefficient de couplage k. Ils sont définis par :



2

2

L

Rτ = (3.5)

21

2

LL

Mk = (3.6)

En reportant les équations (3.5) et (3.6), dans l’équation (3.4), nous obtenons :

2 2 21 1

1 12 2 2 212

1

1 1ex exS S I

kL kLR j L Z R j L

Y

ω τ ω τω ωω τ ω τ

− = + ≈ = + + − + +

(3.7)

D’après la relation (3.7), on voit apparaître que 1R et 1L sont les valeurs de exSR et de

exSL

à basse fréquence. Leurs valeurs sont donc extraites directement sur les courbe de exSR et de

exSL à basse fréquence (zone I) à leur valeur quasi-statique (cf. Figure III.5 et Figure III.6b).

Si nous identifions la partie imaginaire de l’équation (3.7), nous trouvons l’expression

d’un paramètre τex qui permet d’extraire la valeur de τ à l’étape suivante.

1

1

1 1

−

−

−=

exSex LL

kLωτ (3.8)

Comme k est le coefficient de couplage, il représente le pourcentage de diminution de

l’inductance exSL dans la zone I (Figure III.5) entre sa valeur quasi-statique et la valeur où elle

devient constante. On introduit donc un paramètres intermédiaire exk , défini par l’équation

(3.9).

1

1L

Lk exS

ex −= (3.9)

De ce fait, les valeurs de k et τ sont alors extraites à partir des évolutions en fréquence de

kex et τex dans la zone I où leur allure devient constante (cf. Figure III.8).



0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0 2 4 6 8 10

Fréquence (GHz)

kex

100

200

300

400

500

0 2 4 6 8 10

Fréquence (GHz)

ττ ττ (p

s)

(a) (b)

Zone d’extraction pour k

Zone d’extraction pour τ

ττ ττ ex

Figure III.8 : Variation en fréquence de exk et exτ

Dans la zone II (Figure III.5 et Figure III.6), à partir d’environ 12 GHz, exSR devient

négative tandis que exSL augmente légèrement. Ce comportement peut se traduire par

l’introduction d’une capacité C3 en série avec une résistance négative R3 [52]. Le modèle

équivalent de la partie série dans les zones I et II devient :

R1

C3 R3

M

L1

R2

L2

Figure III.9 : Partie série de l’inductance dans les zones I et II

Enfin, le comportement résonnant de exSL en haute fréquence (cf. Figure III.5) dans la

zone III est décrit par un couple série (C4, L4) en parallèle sur l’ensemble. La Figure III.10

montre une vue globale de la partie série de l’inductance traduisant son comportement dans

toute la bande de fréquence.



R1

C3 R3

C4 L4

M

L1

R2

L2

Figure III.10 : Partie série complète de l’inductance dans toute la bande de fréquence

Le schéma initial de la partie série de l’inductance (cf. Figure III.7) n’est valable que dans

la zone I. Grâce au comportement de exSL dans les zones II et III, nous avons respectivement

rajouté les couples des éléments (C3, R3) et (C4, L4) dans ce schéma. Chaque couple est

ensuite extrait indépendamment dans sa zone équivalente.

Nous déterminons deux variables intermédiaires 3exC et 3exR qui permettent ensuite

d’extraire les valeurs de C3 et R3, elles sont déterminées par :

312

Re1

Iex

I

ZR

Y Z

= − +

(3.10)

1

312

Im1

Iex

I

ZC

Y Zω

−

= + (3.11)

Ces relations permettent de tracer les évolutions en fonction de fréquence de 3exC et 3exR

(Figure III.11)



10

30

50

70

90

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C3e

x (

pF)

-2400

-1800

-1200

-600

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R3e

x (

ΩΩ ΩΩ)

(a) (b)

Valeur d’extraction de R3

Valeur d’extraction de C3

Figure III.11 : Variations en fonction de fréquence de C3ex (a) et R3ex (b)

Le domaine fréquentiel dans lequel est extrait la valeur de ces couples devra donc être

choisie judicieusement afin de limiter le plus possible l’influence de (C3,R3) sur (C4,L4) et en

revanche. Les valeurs de (C3,R3) sont donc extraites dans le domaine des basses fréquences de

la zone II afin de limiter le plus possible l’influence de (C4,L4). Nous avons choisi d’extraire

les valeurs de C3 et R3 à 17 GHz à partir de l’évolution en fonction de la fréquence de C3ex et

R3ex (cf. Figure III.11). Nous expliquerons au paragraphe III.3.5 pourquoi R3 est négative.

Les derniers éléments (C4,L4) sont extraits par l’“interpolation” des courbes des Figure

III.5 et Figure III.6a : on fait varier les valeurs de C4 et L4 afin que exSL et

exSR obtenus par

simulation électrique du modèle soient proches de exSL et

exSR obtenus en mesure au

voisinage de la fréquence où exSL atteint sa valeur maximum. Le Tableau III.2 synthétise la

valeur des éléments de la partie série du modèle proposé de la Figure III.10.

Tableau III.2 : Valeurs extraites des éléments de la partie série du modèle électrique

équivalent de la spirale 1

L1 R1 k τ R3 C3 L4 C4

1,23 nH 1,4 Ω 0,246 133 ps -800 Ω 24 fF 2,2 nH 4,6 fF

III.3.2.2 Résultat et conclusion

Nous montrons une comparaison entre mesure et modèle équivalent proposé pour la partie

série sur les Figure III.12 et Figure III.13. Nous obtenons un bon accord dans toute la bande



de fréquence entre la mesure et le modèle proposé. La partie série prend donc bien en compte

les phénomènes à l’origine du comportement de l’inductance.

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

LS

(nH

)

Mesure

Modèle

LS e

x

Figure III.12 : Comparaison de la partie série de la spirale 1 en partie imaginaire,

représentée par exSL , entre la mesure et le modèle équivalent proposé

0

1

2

3

4

0 3 6 9 12

Fréquence (GHz)

RS (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Modèle

-700

-500

-300

-100

100

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

RS (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Modèle

(a) (b)

RS e

x

RS e

x

Figure III.13 : Comparaison de la partie série de la spirale 1 en partie réelle, représentée par

exSR , entre la mesure et le modèle proposé : a). Dans toute la bande de fréquence ; b). À

basse fréquence

III.3.3 Partie parallèle de l’inductance

Comme pour la partie série de l’inductance, pour pouvoir proposer un modèle équivalent

de la partie parallèle, nous essayons, dans un premier temps, de modéliser la partie parallèle

de l’accès i de l’inductance par la topologie très simple suivante :



( )Re PiY ( )Im PiY

ω

PiY

Figure III.14 : Modélisation de la partie parallèle de l’accès i de la spirale par la partie

réelle et la partie imaginaire (avec i=1, 2)

Pour simplifier les notations, nous posons :

( )22

Im PP

YC

ω= (3.12)

( )2 2ReP PG Y= (3.13)

où 2PC et 2PG sont extraits directement à partir de la mesure, elles représentent la partie

imaginaire et la partie réelle de l’admittance parallèle de la spirale à l’accès 2.

Les deux relations (3.12) et (3.13) permettent de tracer les évolutions en fréquence de 2PC

et 2PG (Figure III.15) :

0

3

6

9

12

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

GP

2 (

mS

)

50

80

110

140

170

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

CP

2 (

pF)

(a) (b)

Figure III.15 : Variation en fréquence de l’admittance parallèle de la spirale 1 en : a). Partie

imaginaire représentée par 2PC ; b). Partie réelle représentée par 2PG

Nous retrouvons la forme habituelle de 2PC (comme pour le cas de la ligne CPW ou

TFMS) mais 2PG augmente de façon relativement importante à haute fréquence, à partir



d’environ 25 GHz. Le modèle proposé pour les lignes de transmission (cf. Figure II.14) n’est

donc plus valable. Les comportements de 2PC et 2PG représentant l’admittance parallèle de la

spirale 1 nous ont conduit à proposer le modèle équivalent suivant :

CR1

RR1

CR2

RR2

Figure III.16 : Modèle équivalent de la partie parallèle de l’inductance sur substrat silicium

où CR1 représente le couplage capacitif correspondant aux lignes de champ à travers la

couche d’oxyde. Les autres éléments, (RR1, CR2, RR2) correspondent à la pénétration des lignes

de champ dans le substrat silicium.

III.3.3.1 Extraction des éléments de la partie parallèle

Pour extraire les éléments du modèle proposé de la partie parallèle (cf. Figure III.16), nous

identifions ce modèle avec la topologie équivalente de l’inductance (cf. Figure III.14). Il en

résulte que :

( )( )

1 2 2

2 1 2 1 2

11 1

1R R R

P R R R R

R j R C

Y j C j C R R

ωω ω

+= +

+ + (3.14)

D’après cette relation, nous voyons que 1RR et 1

1

Rj Cω représentent respectivement la

partie réelle et la partie imaginaire de 2

1

PY aux basses fréquences car les termes ( 12 RR RCω ) et

( 22 RR RCω ) sont négligeables devant 1. Pour ces raisons, nous posons :

22

1ReP ex

P

RY

=

(3.15)



1

22

1ImP ex

P

CY

ω−

= −

(3.16)

La relation (3.14) devient:

( )( )

1 2 22

2 1 2 1 2

11 1

1R R R

P exP ex R R R R

R j R CR

j C j C j C R R

ωω ω ω

++ = +

+ + (3.17)

Les relations (3.15) et (3.16) permettent de tracer les évolutions en fréquence de 2P exR et

2P exC (Figure III.17) où nous pouvons extraire les valeurs de 1RR et 1RC comme les valeurs

quasi-statiques de 2P exR et 2P exC . Il existe, en réalité, une zone de perturbation liée au

calibrage aux très basses fréquences. Pour éviter ce problème, les valeurs quasi-statiques sont

donc déterminées aux fréquences relativement basses où ces perturbations n’interviennent

pas.

40

70

100

130

160

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

CP

2 (

fF)

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

RP

2 (

ΩΩ ΩΩ)

Valeur d’extraction

de CR1 Valeur d’extraction

de RR1

(a) (b)

CP

2 ex

RP

2 ex

Figure III.17 : Variation en fréquence de la partie parallèle de la spirale 1 en : a). Partie

imaginaire représentée par 2exPC ; b). Partie réelle représentée par 2exPR

Une fois les valeurs de 1RR et 1RC déterminées, il nous reste encore 2 éléments à extraire :

2RR et 2RC . Pour cela, nous déterminons deux variables intermédiaires, 2R exR et 2R exC , qui

sont déduites en développant l’équation (3.17) et en identifiant ses parties réelle et imaginaire.

Il en résulte :

11

22 1 1

1 1 1ReR ex

P R R

RY j C Rω

−− = − −

(3.18)



111

22 1 1

1 1 1 1ImR ex

P R R

CY j C Rω ω

−−− − = − −

(3.19)

Ces équations permettent de tracer les évolutions en fréquence de 2R exC et 2R exR (Figure

III.18). En considérant qu’en haute fréquence, les produits : ( 12 RR RCω ) et ( 22 RR RCω ) ne sont

plus négligeables dans l’équation (3.14), et que les éléments 1RR et 1RC sont extraits aux

basses fréquences, 2RR et 2RC doivent être extraits à haute fréquence afin que le modèle

électrique proposé soit valable dans toute la bande de fréquence. Pour ces raisons, nous avons

effectué l’extraction de leurs valeurs dans le domaine des hautes fréquences des évolutions de

2R exC et 2R exR où elles deviennent constantes (Figure III.18).

65

70

75

80

85

8 16 24 32 40

Fréquence (GHz)

CR

2ex (

fF)

20

30

40

50

60

8 16 24 32 40

Fréquence (GHz)

RR

2ex (

ΩΩ ΩΩ)

(a) (b)

Zone d’extraction pour CR2 Zone d’extraction pour RR2

Figure III.18 : Variation en fréquence de 2R exC et 2R exR pour la inductance 1

Dans ce paragraphe, nous avons décrit les procédures qui ont permis de proposer un

modèle équivalent et d’extraire les éléments du modèle équivalent proposé de la spirale 1.

Nous avons appliqué ces procédures aux deux accès de l’inductance. Les valeurs numériques

obtenues pour ces éléments sont synthétisées dans le Tableau III.3.



Tableau III.3 : Valeurs extraites des éléments de la partie parallèle du modèle électrique


Accès gauche Accès droit

Paramètres Valeur Paramètres Valeur

CL1 (fF) 140 CR1 (fF) 136

RL1 (Ω) 115 RR1 (Ω) 150

CL2 (fF) 95 CR2 (fF) 71

RL2 (Ω) 33 RR2 (Ω) 25

III.3.3.2 Résultat et conclusion de la partie parallèle de la inductance 1

Les Figure III.19 et Figure III.20 présentent la comparaison, pour la partie parallèle, entre

la mesure et le modèle équivalent proposé aux deux accès de la spirale 1. Nous obtenons un

très bon accord dans toute la bande de fréquence entre la mesure et le modèle équivalent

proposé en partie parallèle pour l’accès droit. Pour l’accès gauche, il y a un petit écart pour

CP1ex aux très hautes fréquences. Ce modèle reflète donc correctement les phénomènes liés à

la partie parallèle de l’accès droit de la inductance. Les effets parasites à très hautes

fréquences sont moins bien pris en compte.

40

70

100

130

160

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

CP

2 (fF

)

Mesure

Modèle

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

RP

2 ( ΩΩ ΩΩ

)

Mesure

Modèle

(a) (b)

CP

2 ex

RP

2 ex

Figure III.19 : Comparaison entre la mesure et le modèle proposé en partie parallèle de

l’accès droit pour la spirale 1



20

50

80

110

140

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

RP

L1

( ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Modèle

70

90

110

130

150

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

CP

L1

(pF

)

Mesure

Modèle

(a) (b)

CP

1 ex

RP

1 ex

Figure III.20 : Comparaison entre la mesure et le modèle proposé en partie parallèle de

accès gauche pour la spirale 1

III.3.4 Résultats et conclusions globales

Dans les paragraphes II.2.3 et II.2.4, nous avons présenté les procédures qui ont permis de

proposer un modèle équivalent et d’extraire les éléments du modèle d’une inductance intégrée

à partir de la spirale 1. La figure suivante présente le modèle électrique équivalent proposé :

R1

C3 R3

C4 L4

M

L1

R2

L2

CL1

RL1

CL2

RL2

CR1

RR2

CR2

RR2

Figure III.21 : Modèle équivalent proposé de l’inductance sur substrat silicium

Les figures suivantes présentent la comparaison entre la mesure et le modèle équivalent

proposé pour le facteur de qualité Q et les paramètres S.



0

2

4

6

8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)Q

Mesure

Modèle

Figure III.22 : Comparaison du facteur de qualité Q entre la mesure et le modèle proposé de

la spirale 1

²²

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Mesure

Modèle

-80

-40

0

40

80

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Pha

se(S

11)

(deg

) Mesure

Modèle

(a) (b)

Figure III.23 : Comparaison de 11S en dB (a) et en phase (b) entre la mesure et le modèle

proposé de la spirale 1

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S12

(dB

)

Mesure

Modèle

(a) (b)

-250

-200

-150

-100

-50

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Pha

se(S

12)

(deg

)

Mesure

Modèle





(a) (b)

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Mesure

Modèle

-80

-40

0

40

80

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Pha

se(S

22)

(deg

)

Mesure

Modèle



Le bon accord entre la mesure et le modèle pour chaque partie montre que le modèle

proposé a bien pris en compte les phénomènes particuliers dans les rubans métalliques et dans

le substrat silicium tels que les courants de Foucault dans la partie série et les différents

couplages dans la partie parallèle.

III.3.5 Prise en compte de la résistance négative

III.3.5.1 Modèle équivalent et extractions

Nous revenons au modèle électrique équivalent proposé de la Figure III.21. Les éléments

de chaque branche de la partie série sont extraits dans la zone équivalente. Les éléments de la

partie série sont analytiquement extraits, cependant, la résistance 3R est négative. Cette

résistance négative provient du fait qu’une représentation en “Pi” est rudimentaire et qu’un

élément vient en série avec la partie parallèle du modèle. Le schéma de la Figure III.26a

permet de décrire plus précisément ce comportement. Ce schéma peut être divisé en 3 parties :

partie I, II et III . La Figure III.26b représente la topologie équivalente d’une inductance

envisagée comme un quadripôle, dont les paramètres Y sont extraits de la mesure après la

procédure de de-embedding (de-embedding à 2 éléments).



MN R1N

L1N

R2N

L2N

RL1N

C1N

C3N C4N

CR1N

RR1N

C2N

R3N R4N

RL2N

CR2N

RR2N

(a) (b)

(I) (II) (III)

-Y12

Y11+Y12 Y22+Y12

CL1N

CL2N

Figure III.26 : a). Modèle équivalent de l’inductance spirale intégrée sur substrat silicium;

b). Topologie équivalent de l’inductance envisagée comme un quadripôle

- La partie II est une combinaison d’éléments liés aux parties série et parallèle.

L’extraction de tous les éléments dans cette partie à partir de la mesure n’est pas

évidente. Les éléments (1NL , 1NR , 2NL , 2NR ) prennent les valeurs présentées au

paragraphe III.3.2.1. Pour trouver les valeurs des éléments ( 1NC , 2NC , 3NC , 4NC , 3NR ,

4NR ) dans cette partie, nous avons donc effectué une procédure d’optimisation.

- Les parties I et III sont purement parallèles. Elles ne contiennent pas d’éléments liés à

la partie série de l’inductance.

Une fois les éléments de la partie II déterminés, si nous envisageons la partie II comme un

quadripôle, représenté par des paramètres IIY , les éléments de la matrice IIY sont déterminés.

Les admittances des parties I et III de la Figure III.26a, donc IY et IIIY , sont déterminées par

les relations suivantes :

( )11 12 12II

IY Y Y Y= + − (3.20)

( )22 12 12II

IIIY Y Y Y= + − (3.21)

Les derniers éléments (1L NC , 2L NC , 1L NR , 2L NR ) et ( 1R NC , 2R NC , 1R NR , 2R NR )

correspondant aux parties parallèles I et II sont extraits grâce à la procédure d’extraction de la



partie parallèle présentée au paragraphe III.3.3.1. Les valeurs des élément du modèle de la

Figure III.26a pour la spirale 1 sont présentées dans le tableau suivant :

Tableau III.4 : Valeurs des éléments du schéma de la Figure III.26a pour la spirale 1

L1N=1,24 nH C1N=1 fF R3N=270 Ω CL1N=105 fF CR1N=95 fF

R1N=1,4 Ω C2N=50 fF R4N=270 Ω CL2N=115 fF CR2N=70 fF

kN=0,246 C3N=50 fF RL1N=330 Ω RR1N=380 Ω

τΝ= 133 ps C4N=30 fF RL2N=25 Ω RR2N=10 Ω

III.3.5.2 Comparaisons entre le modèle équivalent et la mesure

Nous considérons l’inductance comme un quadripôle (cf. Figure III.26b). Les figures

suivantes comparent les résultats de la mesure avec ceux obtenus du schéma de la Figure

III.26a pour la partie série et les parties parallèles.

-700

-500

-300

-100

100

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

RS (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Modèle

0

1

2

3

4

0 3 6 9 12

Fréquence (GHz)

RS (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Modèle

(a) (b)

Figure III.27 : Comparaison entre la mesure et le modèle pris en compte de la résistance

négative pour la partie réelle de partie série de la spirale 1 : a). Dans toute la bande de

fréquence ; b). À basse fréquence



0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)L

S (

nH)

Mesure

Modèle


négative pour la partie imaginaire de partie série de la spirale 1

40

70

100

130

160

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

CP

1 (p

F)

Mesure

Modèle

0

3

6

9

12

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

GP

1 (m

S)

Modèle

Mesure

(a) (b)


négative de l’accès 1 de la spirale 1 pour la : a). Partie imaginaire ; b). Partie réelle

40

70

100

130

160

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

CP

2 (p

F)

Mesure

Modèle

0

2

4

6

8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

GP

2 (m

S)

Modèle

Mesure

(a) (b)


négative de l’accès 2 de la spirale 1 pour la : a). Partie imaginaire ; b). Partie réelle



III.3.5.3 Conclusion

Nous avons présenté dans ce paragraphe un schéma équivalent de l’inductance. Certaines

valeurs d’éléments de ce schéma sont obtenues par une procédure d’optimisation. Ce schéma

ne contient que des éléments possédant des valeurs positives, mais la partie réelle de la partie

série de l’inductance devient négative aux hautes fréquences. Cela permet d’expliquer

l’existence de la résistance négative 3R dans le schéma de la Figure III.21, pour lequel les

éléments du schéma sont analytiquement extraits. L modèle de la Figure III.21 sera appliqué

sur les autres inductances.

III.4 Validité du modèle et de la procédure d’extraction

Nous avons proposé un modèle électrique équivalent d’une inductance et la procédure

d’extraction des éléments dans ce modèle. Ce résultat est obtenu à partir de la mesure de la

spirale 1. Pour apprécier la validité du modèle et de la procédure, nous les appliquons aux

deux autres inductances mesurées : spirale 2 et spirale 3. Leurs paramètres géométriques se

trouvent dans le Tableau III.1.

III.4.1 Résultats obtenus pour la spirale 2

Cette spirale possède le même nombre de tours que la spirale 1 (2 tours), le même espace

S (3µm) et la même largeur du ruban spiral W. La seule différence réside dans son diamètre

externe d plus large (250 µm) qui fournit une inductance plus élevée (1,5 nH). Nous avons

appliqué le modèle électrique équivalent et la procédure d’extraction proposée à la spirale 2.

Les Tableau III.5 et Tableau III.6 représentent les valeurs extraites des éléments de la partie

série et de la partie parallèle du modèle équivalent complet de la Figure III.21.



L1 R1 k τ R3 C3 L4 C4

1,7 nH 1,5 Ω 0,201 113,3 ps -750 Ω 70 fF 2,1 nH 8 fF



Tableau III.6 : Valeurs extraites des éléments de la partie parallèle du modèle électrique



Paramètres Valeurs Paramètres Valeurs

CL1 (fF) 170 CR1 (fF) 180

RL1 (Ω) 128 RR1 (Ω) 149

CL2 (fF) 110 CR2 (fF) 78

RL2 (Ω) 35 RR2 (Ω) 30

Les figures suivantes montrent les comparaisons entre le modèle proposé et la mesure

pour le facteur de qualité Q et les paramètres S :

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Q

Mesure

Modèle

Figure III.31 : Comparaison du facteur de qualité Q de la spirale 2 entre la mesure et le

modèle équivalent



-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Mesure

Modèle

-210

-140

-70

0

70

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(deg

)

Mesure

Modèle

(a) (b)

Figure III.32 : Comparaison du S11 en dB (a) et en phase (b) de la spirale 2 entre la mesure et

le modèle équivalent

-200

-100

0

100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

12)

(deg

) Mesure

Modèle

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S12

(dB

)

Mesure

Modèle

(a) (b)



-210

-140

-70

0

70

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

22)

(deg

)

Mesure

Modèle

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Mesure

Modèle

(a) (b)





D’après ces comparaisons, le modèle proposé est valable jusqu’à 30 GHz. Aux plus hautes

fréquences, les éléments L4, C4 deviennent plus importants (cf. Figure III.21). À la fréquence

de résonnance, au voisinage de 40 GHz, le facteur de qualité Q tend donc vers l’infini. Le

modèle proposé n’est plus valable.

III.4.2 Résultat obtenu pour la spirale 3

Cette spirale possède des paramètres géométriques identiques à la spirale 2 sauf qu’elle est

constituée de 3 tours. Son inductance est donc plus élevée (2,4 nH au lieu de 1,5 nH). Nous

avons également appliqué le modèle électrique équivalent et la procédure d’extraction à cette

spirale. Les Tableau III.7 et le Tableau III.8 présentent les valeurs extraites des éléments de la

partie série et de la partie parallèle du modèle équivalent complet de la Figure III.21.



L1 R1 k τ R3 C3 L4 C4

2,58 nH 2,1 Ω 0,16 115,8 ps -1000 Ω 45 fF 3,2 nH 11,5 fF

Tableau III.8 : Valeurs d’extraites des éléments de la partie parallèle du modèle

électrique équivalent de la spirale 3


Paramètres Valeurs Paramètres Valeurs

CL1 (fF) 215 CR1 (fF) 215

RL1 (Ω) 150 RR1 (Ω) 165

CL2 (fF) 120 CR2 (fF) 75

RL2 (Ω) 45 RR2 (Ω) 25

Les figures suivantes montrent les comparaisons entre la mesure et le modèle pour le

facteur de qualité Q et les paramètres S.



0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

Q

Mesure

Modèle

Figure III.35 : Comparaison du facteur de qualité Q de la spirale 3 entre la mesure et le

modèle équivalent

-200

-100

0

100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(deg

)

Mesure

Modèle-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Mesure

Modèle

(a) (b)

Figure III.36 : Comparaison du 11S en dB (a) et en phase (b) de la spirale 3 entre la mesure

et le modèle équivalent

-200

-100

0

100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

12)

(deg

) Mesure

Modèle

-32

-24

-16

-8

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S12

(dB

)

Mesure

Modèle

(a) (b)


et le modèle



-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Mesure

Modèle

-200

-100

0

100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

22)

(deg

)

Mesure

Modèle

(a) (b)


et le modèle équivalent

D’après ces comparaisons, le modèle proposé est valable jusqu’à 25 GHz. La bande de

fréquence de validation est encore réduite parce que cette inductance possède une valeur

encore plus grande que la spirale 2.

III.4.3 Conclusion

Le modèle électrique équivalent et la procédure qui permet d’extraire des éléments du

modèle sont proposés à partir des mesures de la spirale 1 de 1 nH. Nous avons obtenu un bon

accord entre la mesure et le modèle dans toute la bande de fréquence de mesure (jusqu’à 40

GHz).

Nous avons appliqué ce modèle et la procédure d’extraction aux deux autres spirales

(spirale 1 et spirale 2), nous obtenons également un bon accord entre la mesure et le modèle.

Cependant, la bande de fréquence valable est inversement proportionnelle à l’inductance.

Concrètement : pour une inductance de 1,5 nH, le modèle est valable jusqu’à 30 GHz, pour

celle de 2,4 nH, le modèle est valable jusqu’à 25 GHz. Ces résultats proviennent

vraisemblablement du fait que, plus l’inductance est élevée, plus les champs

électromagnétiques pénètrent fortement dans le substrat silicium, provoquant des phénomènes

supplémentaires qui ne sont pas encore pris en compte par le modèle proposé.



III.5 Modélisation du substrat pour simulations

électromagnétiques

Dans les paragraphes précédents, nous avons présenté une méthode permettant d’extraire

un modèle équivalent d’inductance. Ce modèle, pour être utilisable, doit être paramétré en

fonction de la géométrie de l’inductance. Cela suppose donc de réaliser la procédure sur un

nombre important de motifs différents. L’utilisation d’un simulateur électromagnétique

s’avère indispensable afin de limiter le nombre de motif de tests à réaliser et donc de diminuer

le coût de l’étude. Pour notre étude, nous avons utilisé le logiciel Momentum-ADS, qui est un

simulateur électromagnétique 2,5D et qui nous permet de concevoir et de simuler les

composants passifs sur substrat silicium.

Nous avons simulé les inductances à l’aide de ce logiciel en utilisant les caractéristiques

technologiques fournies par le fondeur. Cependant, le résultat obtenu est différent de ce qui

est attendu : on observe un écart entre simulation électromagnétique et mesure. Si l’on

compare les paramètres S pour la spirale 1 obtenus par la mesure, la simulation

électromagnétique et la simulation électrique utilisant le modèle du fondeur valable jusqu’à 6

GHz, on observe un écart non négligeable (cf. Figure III.39 à Figure III.41). Cette inductance

de 1 nH est celle que nous avons utilisée pour proposer le modèle équivalent et extraire les

éléments de ce modèle (cf. paragraphe III.3). Le modèle de l’inductance donné par le fondeur

est valable jusqu’à 6 GHz, les courbes liées à la simulation électrique donnée par le fondeur

s’arrêtent donc à 6 GHz.

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Momentum

Mesure

Fondeur

-100

-50

0

50

100

150

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(deg

) Momentum

Mesure

Fondeur

(a) (b)

Figure III.39 : Comparaison du S11 en dB (a) et en phase (b) entre la simulation

électromagnétique par Momentum (Momentum), la mesure (Mesure), et la simulation

électrique donnée par le fondeur AMS (Fondeur)



-200

-150

-100

-50

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

12)

(deg

)

MomentumMesure

Fondeur-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S12

(dB

)

Momentum

Mesure

Fondeur

(a) (b)

Figure III.40 : Comparaison du 12S en dB (a) et en phase (b) entre la simulation



-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Momentum

Mesure

Fondeur-80

-40

0

40

80

120

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

22)

(deg

) Momentum

Mesure

Fondeur

(a) (b)

Figure III.41 : Comparaison du 22S en dB (a) et en phase (b) entre la simulation



L’écart entre la mesure, la simulation électromagnétique par Momentum et la simulation

électrique donnée par le fondeur AMS est probablement dû au simulateur qui n’a pas bien pris

en compte les phénomènes particuliers dans les rubans métalliques et surtout dans le substrat

silicium et à une incertitude sur les paramètres technologiques. Pour cela nous avons changé

les paramètres technologiques du substrat afin de trouver un “substrat équivalent” qui permet

d’obtenir un comportement le plus proche possible de celui de la mesure. En modifiant ces

paramètres, nous avons fini par trouver un nouvel ensemble de paramètres technologiques qui



nous donnent un résultat de simulation très proche des mesures (cf. Tableau III.9). Ce travail

est réalisé sur la spirale 1 de 1 nH.

Tableau III.9 : Paramètres technologiques du substrat

Donnés du fondeur Substrat équivalent

Épaisseur

d )( mµ

Conductivité

σ )/( mS

Permittivité

ε

Épaisseur

d )( mµ

Conductivité

σ )/( mS

Permittivité

ε

Métal 1 0,665 2,15.107 - 0,665 2,15.107 -

Métal 2 0,64 2,23.107 - 0,64 2,23.107 -

Métal 3 0,64 3,9.107 - 0,64 3,9.107 -

Métal 4 2,8 3,57.107 - 2,8 1,7.107 -

Oxyde 1 1 0 4,1 1 0 6,5

Oxyde 2 1 0 4,1 1 0 6,5

Oxyde 3 1 0 4,1 1 0 6,5

Oxyde 4 0,935 0 4,1 0,935 0 6,5

Substrat Si 740 5,26 11,8 740 24 10,5

Passivation 2 0 4 2 0 1,8

Nous remarquons que les modifications les plus importantes apparaissent pour la

permittivité des couches d’oxyde et à la conductivité du substrat silicium. Ces deux

paramètres jouent un rôle important pour le renforcement des pertes dans le substrat où ils ne

sont pas bien pris en compte dans la simulation électromagnétique. Dans la définition du

“substrat équivalent”, la variation de la conductivité du métal 4 peut être expliquée par la

rugosité des rubans métallique et la dispersion technologique.

Dans les Figure III.43 et Figure III.44, nous présentons la comparaison entre la mesure et

la simulation avec “substrat équivalent” de la partie série et de la partie parallèle de la



topologie fondamentale pour la spirale 1 (cf. Figure III.4). Pour alléger les notation, nous

introduisons les paramètres R, L, G, C, définis par :

Re( )SR Z= Im( )SZ

Lω

= (3.22)

1Re( )PG Y= 1Im( )PYC

ω= (3.23)

-790

-590

-390

-190

10

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Sub_Eq

0

1

2

3

4

0 3 6 9 12

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Sub_Eq

(a) (b)

Figure III.42 : Comparaison de la partie réelle de la partie série entre la mesure (Mesure) et

la simulation Momentum avec “substrat équivalent” (Sub_Eq) pour la spirale 1 : a). Dans

toute la bande de fréquence ; b). À basses fréquences

0.6

0.9

1.2

1.5

1.8

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH)

Mesure

Sub_Eq

Figure III.43 : Comparaison de la partie imaginaire de la partie série entre la mesure

(Mesure) et la simulation Momentum avec “substrat équivalent” (Sub_Eq) pour la spirale 1



50

80

110

140

170

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF)

Mesure

Sub_Eq

0

3

6

9

12

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

mS

)

Sub_Eq

Mesure

(a) (b)

Figure III.44 : Comparaison de la partie parallèle entre la mesure (Mesure) et la simulation

Momentum avec “substrat équivalent” (Sub_Eq) pour la spirale 1

Nous trouvons que la valeur quasi-statique de L, donc 1L , obtenue de la simulation

Momentum avec “substrat équivalent” est plus petite que celle obtenue de la mesure mais aux

fréquences plus hautes, la valeur de L est la même. Ce problème peut provenir de la mesure

où nous avons une perturbation aux bases fréquence. Pour cette raison, le coefficient de

couplage obtenu de la mesure est plus grand que celui obtenu de la simulation Momentum

avec “substrat équivalent”.

Les figures suivantes montrent la comparaison des paramètres S entre la mesure et la

simulation en Momentum avec “substrat équivalent” pour cette inductance.

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Mesure

Sub_Eq

-100

-50

0

50

100

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(deg

)

Mesure

Sub_Eq

(a) (b)

Figure III.45 : Comparaison du 11S en dB (a) et en phase (b) entre la mesure (Mesure) et la

simulation Momentum avec “substrat équivalent” (Sub_Eq) pour la spirale 1



-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S12

(dB

)

Mesure

Sub_Eq-200

-150

-100

-50

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

12)

(deg

)

Mesure

Sub_Eq

(a) (b)



-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Mesure

Sub_Eq

-80

-40

0

40

80

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

22)

(deg

)

Mesure

Sub_Eq

(a) (b)



Nous observons un très bon accord entre la mesure et la simulation Momentum avec le

“substrat équivalent”. Cela veut dire que la simulation électromagnétique utilisant la

définition d’un “substrat équivalent” prend en compte les phénomènes physiques expliquant

le comportement de l’inductance. Nous avons simulé avec cette définition de substrat les deux

autres spirales : spirale 2 et spirale 3. Ces deux spirales possèdent des paramètres

géométriques différents de ceux de la spirale 1 comme le diamètre externe et le nombre de

tours. Puis, nous comparons aussi la mesure avec la simulation afin de pouvoir apprécier la

validité de ce substrat.



III.5.1 Application du “substrat équivalent ” à la spirale 2

C’est une inductance de 1,5 nH, de 2 tours, de largeur W des rubans métalliques et

d’espace S entre les rubans de 20 µm et 3 µm. Comme pour la spirale 1, nous présentons la

comparaison entre la mesure et la simulation avec “substrat équivalent” de la partie série et de

la partie parallèle de la topologie fondamentale (cf. Figure III.4) pour la spirale 2 (Figure

III.48 et Figure III.50).

-1000

-700

-400

-100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Sub_Eq

0

1

2

3

4

0 2 4 6 8

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Sub_Eq

(a) (b)




-3.0

-1.5

0.0

1.5

3.0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH)

Mesure

Sub_Eq





60

90

120

150

180

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF)

Mesure

Sub_Eq

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

mS

)

Sub_Eq

Mesure

(a) (b)


Momentum avec “substrat équivalent” (Sub_Eq) de la spirale 2

Les figures suivantes montrent la comparaison des paramètres S entre la mesure et la

simulation avec le “substrat équivalent” pour cette inductance.

-150

-100

-50

0

50

100

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(deg

)

Sub_Eq

Mesure-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Sub_Eq

Mesure

(a) (b)

Figure III.51 : Comparaison du 11S en dB et en phase entre la mesure (Mesure) et la




-200

-100

0

100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

21)

(deg

) Sub_Eq

Mesure

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S21

(dB

)

Sub_Eq

Mesure

(a) (b)



-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Sub_Eq

Mesure

-100

-50

0

50

100

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

22)

(deg

) Sub_Eq

Mesure

(a) (b)



Le bon accord dans les comparaisons ci-dessus suggère que le “substrat équivalent” reste

valable pour cette inductance.

III.5.2 Application du “substrat équivalent” à la spirale 3

C’est une inductance de 2,4 nH, de 3 tours, de largeur W des rubans métalliques et

d’espace S entre les rubans de 20 µm et 3 µm. Nous présentons la comparaison entre la

mesure et la simulation avec “substrat équivalent” de la partie série et de la partie parallèle de



la topologie fondamentale (cf. Figure III.4) pour la spirale 3 (Figure III.54, Figure III.48 et

Figure III.56).

-1400

-1100

-800

-500

-200

100

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Sub_Eq

0.0

1.5

3.0

4.5

6.0

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

R (

ΩΩ ΩΩ)

Mesure

Sub_Eq

(a) (b)




-6.0

-3.0

0.0

3.0

6.0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

L (

nH)

Mesure

Sub_Eq





0

50

100

150

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

C (

pF)

Mesure

Sub_Eq

0

6

12

18

24

30

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

G (

mS

)

Sub_Eq

Mesure

(a) (b)


Momentum avec “substrat équivalent” (Sub_Eq) de la spirale 3

Les figures suivantes montrent les comparaisons des paramètres S entre la mesure et la

simulation avec le “substrat équivalent” pour cette inductance.

-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Sub_Eq

Mesure

-200

-100

0

100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

11)

(deg

) Sub_Eq

Mesure

(a) (b)





-28

-21

-14

-7

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S21

(dB

)Sub_Eq

Mesure

-200

-100

0

100

200

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

21)

(deg

)

Sub_Eq

Mesure

(a) (b)



-40

-30

-20

-10

0

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Sub_Eq

Mesure

-150

-100

-50

0

50

100

0 10 20 30 40

Fréquence (GHz)

phas

e(S

22)

(deg

) Sub_Eq

Mesure

(a) (b)



Les comparaisons entre la mesure et les résultats de simulation avec substrat équivalent

défini à partir de la spirale 1 montrent un comportement suffisament proche pour les spirales 2

et 3. Ces résultats permettent de développer les études sur les inductances intégrées,

présentées au paragraphe suivant.

III.5.3 Paramétrage de l’inductance

Avec le “substrat équivalent” trouvé, nous avons effectué le paramétrage des inductances

de diamètre externe de 200 µm pour différents espaces S et nombres de tour N (le diamètre

externe d de l’inductance reste le même). Nous présentons dans les figures suivantes la



dépendance en paramètres géométriques des paramètres les plus importants : LHF, R1, k, où

LHF est défini par la relation suivante :

( )1 1HFL L k= − (3.24)

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

1 2 3 4

S (µm)

LH

F (

nH)

N=2 N=3 N=4

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

2 3 4

N (tours)L

HF

(nH

)

S=1 µm

S=2 µm

S=3 µm

S=4 µm

(a) (b)

Figure III.60 : Variation de LHF en fonction de : a). Espace S pour différents nombres de tour

N ; b). Nombre de tour N pour différents espaces S

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

2 3 4

N (Tours)

R1

( ΩΩ ΩΩ)

S=1 µm

S=2 µm

S=3 µm

S=4 µm

1.5

1.8

2.1

2.4

2.7

1 2 3 4

S (µm)

R1

( ΩΩ ΩΩ)

N=2 N=3 N=4

(a) (b)

Figure III.61 : Variation de R1 en fonction de : a). Espace S pour différents nombres de tour

N ; b). Nombre de tour N pour différents espaces S



0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

2 3 4

N (Tours)k

S=1 µm

S=2 µm

S=3 µm

S=4 µm

Figure III.62 : Variation du coefficient de couplage k en fonction d’espace S

Pour chaque nombre de tours N, en considérant que le diamètre externe d de l’inductance

reste le même, nous observons une diminution des valeurs de L1 et R1 lorsque l’espace S entre

les rubans métalliques augmente. C’est compréhensible et concordant car l’augmentation de

l’espace S entraîne un raccourcissement de longueur totale des rubans métalliques. De même,

pour chaque espace S, les valeurs de L1 et R1 sont directement proportionnelles avec le

nombre de tours N.

Nous observons également une augmentation du coefficient de couplage k en fonction de

nombre de tours pour chaque espace S parce que plus nombre de tour N augmente, plus le

champ électromagnétique pénètre fortement dans le substrat silicium. Il entraîne donc un

couplage plus important.

III.5.4 Conclusions

Nous avons trouvé un nouvel ensemble des paramètres technologiques qui constituent un

“substrat équivalent” permettant de simuler correctement le comportement d’inductance

spirale. Ce substrat permet une interpolation entre les inducntances mesurées ouvrant la

possibilité d’une étude paramétrique à partir de simulations.

La validité de ce substrat est vérifiée par son utilisation lors de la simulation des deux

autres inductances possédant des paramètres géométriques différents (cf. III.5.1 et III.5.2). Le

résultat de la simulation électromagnétique et celui de la mesure sont toujours suffisamment

proches. Cependant, le résultat obtenu dans ce cas de la spirale 2 de 1,5 nH est meilleur que

celui de la spirale 3 de 2,4 nH. Ceci est compréhensible parce que plus l’inductance est



élevée, plus les champs électromagnétiques pénètrent fortement dans le substrat silicium. Par

conséquent, des phénomènes supplémentaires apparaissent dans le substrat.

III.6 Conclusion

Nous avons proposé un nouveau modèle équivalent d’inductances sur substrat silicium et

une procédure permettant d’extraire analytiquement les éléments du modèle. Cette méthode

s’inspire des travaux sur les lignes de transmission, présentés au chapitre précédent.

Cependant, lors de l’extraction analytique, il apparaît une résistance négative. Elle provient du

fait qu’une représentation en “Pi” est rudimentaire et qu’un élément vient en série avec la

partie parallèle du modèle.

Un nouveau modèle prenant en compte ce phénomène est proposé. Les éléments de ce

modèle ne sont pas tout à fait analytiquement extraits. Certains éléments sont obtenus par une

procédure d’optimisation. Toutefois, ce modèle permet de comprendre les phénomènes

physiques, les couplages parasites dans le substrat silicium. Il permet également d’expliquer

l’apparition de la résistance négative du modèle équivalent de l’inductance où les éléments du

modèle sont quasi-analytiquement extraits.

Il existe un écart important entre la mesure et la simulation électromagnétique. Pour cette

raison, nous avons modifié les paramètres technologiques du substrat afin de rapprocher le

résultat obtenu de la simulation électromagnétique de la mesure.

Avec le “substrat équivalent”, nous pouvons ainsi effectuer le paramétrage des

inductances s’appuyant sur un nombre limité de mesure. Nous pouvons donc limiter le

nombre de motifs de test, donc le coût de l’étude. Cependant, la confrontation avec d’autres

motifs de mesure est nécessaire pour s’assurer de sa fiabilité.

Chapitre IV : Amplificateur faible bruit


Chapitre IV : Amplificateur faible bruit (LNA : Low Noise

Amplifier)

IV.1 Introduction

Les communications mobiles mettent en œuvre des dispositifs analogiques et numériques.

La partie analogique concerne l’émission, utilisant l’amplification de puissance, et la

réception dont l'élément essentiel est l’amplificateur faible bruit qui doit amplifier le signal

reçu de l'antenne en y apportant le moins de dégradation possible afin de reconnaître des

signaux de plus en plus faibles.

On trouve toujours des sections dédiées au bruit dans les ouvrages consacrés aux

hyperfréquences. En effet, lorsque la fréquence de fonctionnement des composants, circuits

ou systèmes pour les applications en télécommunications augmente, la valeur efficace du

signal portant l’information se trouve souvent dans des gammes très faibles et souvent

comparables au niveau du bruit. C’est pourquoi on cherche à réduire le bruit intrinsèque des

composants pour les HF et on s’intéresse de près à ce phénomène.

Depuis une dizaine d’années, le développement des applications sans fil (WIFI) nous a

apporté un grands nombre de standards comme WPAN (Wireless Personal Area Network),

WLAN (Wireless Local Area Network), WiMAX fixe (Worldwide Interoperability for

Microwave Access), également appelé IEEE 802.16-2004, WiMAX mobile… etc. La plupart

des standards possèdent une bande de fréquence de fonctionnement comprise dans la gamme

de fréquence entre 800 MHz et 6 GHz (cf. Tableau IV.1). Notre étude se situe dans ces

gammes de fréquence.

Tableau IV.1 : Bande de fréquence de fonctionnement des standards sans fil

WPAN WLAN WiMAX GSM (2G) GPS

2,4 GHz 2,6 – 5,15 – 5,3 GHz 2 à 6 GHz 0,9 – 1,8 – 1,9 GHz 1575,42 – 1227,6 MHz



L’utilisation d’inductances est incontournable dans la conception d’un amplificateur faible

bruit. De plus, les inductances intégrées sur substrat silicium que nous utilisons atteignent leur

meilleure qualité au voisinage de 5 GHz, nous avons donc choisi cette fréquence comme

fréquence de fonctionnement centrale de l’amplificateur pour profiter des bonnes

caractéristiques des inductances.

Dans ce chapitre, nous allons appliquer les résultats des travaux sur les éléments passifs

présentés dans les chapitres précédents à la conception de notre amplificateur faible bruit.

IV.2 Critères de conception

Il y a plusieurs critères pour apprécier les performances d’un amplificateur faible bruit.

Les plus importants pour ce type d’amplificateur sont généralement : le facteur de bruit, la

stabilité, la linéarité, et le gain. Nous allons donc présenter dans ce paragraphe la définition de

ces critères.

IV.2.1 Facteur de bruit

IV.2.1.1 Définition

Le facteur de bruit, noise figure (F ou NF) en anglais, définit la qualité d’un système

linéaire du point de vue de son bruit propre : c’est le quotient entre le rapport signal sur bruit à

l’entrée et le rapport signal sur bruit à la sortie [83] :

e

e

s

s

SN

NFS

N

= (4.1)

où e

eN

S et s

sN

S sont respectivement le rapport signal à bruit en entrée et en sortie.

( )ee NS , et ( )ss NS , sont les puissances disponibles du signal et du bruit à l’entrée et à la

sortie de l’amplificateur. Le bruit à l’entrée est celui fourni par l’impédance du générateur

placée à la température conventionnelle T0=290 K. Le facteur de bruit s’exprime souvent en

décibel NF (dB)



IV.2.1.2 Détermination du facteur de bruit d’un amplificateur

Les performances d’un amplificateur dépendent de l’impédance présentée à son entrée

comme le montre l’expression du facteur de bruit [82], [83] :

min 1Re

n G

G opt

R ZNF NF

Z Z= + − (4.2)

- optZ : impédance complexe optimale en bruit. Si l’on présente cette impédance à

l’entrée de l’amplificateur, le facteur de bruit global est égal à minNF .

- minNF : valeur minimale du facteur de bruit. Le minNF ne dépend pas de l’impédance

présentée à l’entrée de l’amplificateur mais de sa topologie.

- RN : résistance équivalente de bruit (Ohm). Cette résistance représente la dégradation

du facteur de bruit lorsque l’impédance à l’entrée s’éloigne de l’impédance optimale

optZ

- GZ : impédance complexe du générateur.

Il est évident que le facteur de bruit est plus grand que 1, donc F(dB)>0 (dB).

IV.2.2 Stabilité linéaire vis-à-vis des conditions de fermeture

La stabilité d’un système, en particulier de l’amplificateur faible bruit, est très importante.

Dans la majorité des cas, le transistor n’est pas inconditionnellement stable. Il est donc

nécessaire, avant tout, de rendre inconditionnellement stable le bloc de transistors. Le critère

de stabilité inconditionnelle doit être assuré à toutes les fréquences, y compris en dehors de la

bande d’utilisation.

Le facteur de Rollet permet d’évaluer la stabilité vis-à-vis des conditions de fermeture du

transistor. Il est défini à l’aide des paramètres S du circuit étudié. Les formules sont rappelées

ci-dessous [84], [86] :

2112

2

22

2

112

2

1

SS

SSK

−−∆+= (4.3)



Avec 21122211 SSSS −=∆ (4.4)

Le critère pour être inconditionnellement stable est, pour toutes les fréquences :

1>K et 1≤∆ (4.5)

Lors de la conception d’un amplificateur faible bruit, il sera donc primordial de s’assurer

que cette condition soit remplie.

IV.2.3 Linéarité et point de compression d’un amplificateur

La linéarité de l’amplificateur faible bruit, dans notre cas, est évaluée à partir de la relation

entre la puissance du signal d’entrée et celle du signal de sortie. La courbe de la Figure IV.1

montre à titre d’exemple, l’évolution de la puissance de sortie en fonction de la puissance

d’entrée d’un dispositif. Cette courbe, réalisée à une fréquence fixe, peut être divisée en deux

zones : une zone linéaire et une zone de saturation. La région d’intersection de ces deux zones

permet de déterminer le point de compression où l’amplificateur perd sa linéarité. À partir

d’un certain niveau de puissance d’entrée, la puissance de sortie devient plus faible que prévu.

On spécifie généralement le point de compression à 1 dB comme étant le point pour lequel la

puissance de sortie est de 1 dB inférieure à la puissance théorique idéale définie par la zone

linéaire. La puissance correspondante est P1dB.

Pin (dBm)

Pout (dBm)

Point de compression

Zone linéaire Zone de saturation

1 dB

P1dB

Figure IV.1 : Point de compression à 1 dB



Dans la majorité des cas, le système, et en particulier l’amplificateur faible bruit,

fonctionne dans la zone linéaire afin que le signal obtenu à la sortie ne soit pas déformé. La

linéarité devient donc un critère important, c’est une performance du système.

IV.2.4 Notions de gain disponible et de gain maximum dans les quadripôles

En général, un amplificateur est constitué de 3 blocs modélisés par une chaîne de

quadripôles (Figure IV.2).

,S SZ Γ

,C CZ Γ

0Z

,G GZ Γ

,E EZ Γ

Bloc de transistors

0Z

Amlificateur complet

[ ]S

Réseau 2

Réseau 1

Figure IV.2 : Schéma bloc de l’amplificateur

Où ( ),G GZ Γ , ( ),E EZ Γ , ( ),S SZ Γ , ( ),C CZ Γ sont respectivement les impédance et les

coefficients de réflexion vus aux accès entrée/sortie du bloc de transistors.

Dans la plupart des cas, les impédances d’entrée EZ et de sortie SZ du bloc de transistors

de l’amplificateur sont différentes de l’impédance de référence Z0 (généralement égale à 50

Ω ). C’est la raison pour laquelle il est nécessaire d’ajouter des quadripôles d’adaptation

(Réseau 1 et Réseau 2) pour assurer au dispositif global, un transfert de puissance optimal de

l’entrée vers la sortie.

IV.2.4.1 Gain disponible d’un quadripôle

Le gain disponible d’un quadripôle est défini comme étant le rapport entre la puissance

maximum disponible à la sortie du quadripôle et la puissance maximum disponible aux bornes

du générateur :



edisp

sdispdisp P

PG = (4.6)

Revenons à la Figure IV.2, nous obtenons une adaptation en puissance aux accès du bloc

de transistors si nous avons simultanément :

*G EZ Z= (4.7)

*C SZ Z= (4.8)

Le gain disponible du bloc de transistors est défini par [83]-[87] :

( )( )22

11

22

21

11

1

SG

Gdisp

S

SG

Γ−Γ−

Γ−= (4.9)

IV.2.4.2 Gain maximum disponible d’un quadripôle (MAG)

Le gain maximum disponible d’un quadripôle maxG est lié à la capacité maximum de

transfert de puissance d’un quadripôle, il est souvent appelé MAG (Maximum Available

Gain). Ce gain est défini par les relations suivantes [84] :

22

212 2

22

11

1 1CM

MAX

GM CM

G SS

− Γ=

− Γ − Γ (4.10)

Ou ( )221

12

1MAX

SG K K

S= ± − (4.11)

Où ( GMΓ , CMΓ ) sont les coefficients de réflexion (GΓ , CΓ ) qui correspondent à la

condition d’adaptation en puissance (cf. (4.7) et (4.8)). K est le facteur de Rollet, défini par la

relation (4.3). Le signe +(-) de la relation (4.11) correspond à B<0 (>0) avec :

2 2 2

11 221B S S= + − − ∆

Ce gain n’a de sens que si le circuit est inconditionnellement stable (K>1). Si le dispositif

est instable (K<1), alors on utilise le gain maximum stable obtenu en faisant K=1 dans la

relation (4.11).



IV.2.5 Condition d’adaptation simultanée en termes de bruit et de

puissance

Une fois le bloc de transistors stabilisé, il faut effectuer une adaptation en impédance à ses

accès d’entrée et de sortie. Il existe deux notions concernant l’adaptation d’impédance :

- Les impédances d’adaptation en puissance aux accès du bloc de transistors (GMZ et

CMZ ) correspondant aux coefficients de réflexion (GMΓ et CMΓ ) : ce sont celles que

nous devrons présenter à l’entrée ou à la sortie du bloc de transistors (cf. Figure IV.3)

afin que le maximum de puissance soit transmis au travers de ce bloc. Ces deux

impédances sont définies par les relations (4.7) et (4.8).

- L’impédance optimale en bruit : le bloc de transistors (cf. Figure IV.3) possède une

caractéristique intrinsèque de bruit, représentée par minNF . L’impédance optimale en

bruit ( optZ ) est celle que nous devons présenter à l’entrée du bloc de transistors afin

que le facteur de bruit soit égal à minNF . En réalité, il est difficile d’y arriver. Nous

approchons cette impédance (optZ ) afin que le facteur de bruit global du circuit NF soit

le plus proche possible de minNF dans toute la bande de fonctionnement [0,8 – 6 GHz].

C CMΓ = Γ

0Z

G opt GMΓ = Γ = Γ

Bloc de transistors

0Z

Amlificateur complet

C CMZ Z=

Réseau 1

[ ]S

Réseau 2

G opt GMZ Z Z= =

,E EZ Γ ,S SZ Γ

Figure IV.3 : Représentation des différentes impédances et coefficients de réflexion dans un

amplificateur idéalement adapté

À l’entrée du bloc de transistors, il existe donc 2 impédances importantes (ZGM et Zopt)

correspondant au (ΓGM et Γopt). Pour obtenir simultanément les performances optimales en



bruit et en puissance, il est nécessaire que la relation suivante soit vérifiée dans toute la bande

de fréquence de fonctionnement.

opt GMZ Z= (4.12)

D’un point de vue conception, l’égalité entre Zopt et ZGM est difficile à obtenir de façon

rigoureuse. Nous essaierons de faire coïncider au maximum les deux impédances sur toute la

bande de fonctionnement.

IV.3 Choix du transistor et de la topologie de l’amplificateur

Notre but est de concevoir un amplificateur faible bruit en utilisant des transistors

bipolaires. La technologie dont nous disposons est la technologie BiCMOS SiGe 0,35 µm de

AMS (Austria Microsystem).

La conception d’un amplificateur à partir d’un seul transistor est difficilement réalisable

car le transistor seul n’est pas inconditionnellement stable. D’après les résultats de simulations

électriques, il est possible de stabiliser le transistor seul en lui associant des inductances de

forte valeur, des capacités et éventuellement des résistances de faible valeur. D’un point de

vue pratique, ce n’est pas faisable parce que les inductances de forte valeur possèdent aussi de

mauvaises caractéristiques. L’utilisation de ces inductances rajoute non seulement du bruit,

mais dégrade également le gain total du système.

Dans ce paragraphe, nous présentons les choix que nous avons fait en ce qui concerne la

taille des transistors ainsi que leur topologie d’association au sein du bloc de transistors.

L’objectif est d’obtenir un dispositif inconditionnellement stable avec les meilleures

performances possibles.

IV.3.1 Choix du transistor et du point de polarisation

Il existe plusieurs transistors bipolaires dans la bibliothèque, nous avons choisi le

transistor suivant ses performances intrinsèques en bruit, donc ayant le facteur de bruit

minimum ( minNF ).



Les transistors bipolaires sont paramétrés en nombre de doigts de collecteur, base et

émetteur et en longueur totale de doigt d’émetteur. La terminologie employée est la suivante :

un transistor NPNxyz est un transistor bipolaire NPN où x, y et z correspondent

respectivement au nombre de doigts de collecteur, de base et d’émetteur. La Figure IV.4

représente un dessin de masque du transistor NPN232.

BASE

Figure IV.4 : Dessin de masque du transistor NPN232

IV.3.1.1 Choix de la tension de polarisation

Nous avons tracé la caractéristique de tous les transistors présents dans la bibliothèque

AMS : Ic en fonction de Vce pour plusieurs valeurs de Ib. La figure suivante représente la

caractéristique statique du transistor NPN232.

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4

Vce (V)

Ice

(mA

)

VS VA

Ib

Ic

Ib Vce

Base

Collecteur

Emetteur

Figure IV.5 : Dépendance du courant Ic en fonction de tension de polarisation Vce du

transistor NPN232 pour Ib=5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 µA et Le=30 µm

Grâce à la caractéristique statique du transistor, nous déterminons les tensions VS et VA où

VS est définie à la transition entre la zone linéaire et la zone de saturation, VA est le seuil



maximum de tension Vce où le point de polarisation du transistor ne se situe pas dans la zone

d’avalanche. Classiquement, la tension de polarisation 0Vce du transistor est déterminée par :

20SA VV

Vce+

≈ (4.13)

Cette tension de polarisation est quasiment la même pour tous les transistors de la

bibliothèque AMS et elle vaut 1,2 V. Nous avons donc fixé cette tension de polarisation à

0Vce =1,2 V.

IV.3.1.2 Choix du transistor

Parmi les transistors de la bibliothèque AMS, les transistors de plusieurs doigts possèdent,

théoriquement, de bonnes caractéristiques en termes de facteur de bruit, de transconductance,

de linéarité, … etc. Pour un amplificateur de faible facteur de bruit, il est important de choisir

un transistor à très faible facteur de bruit minimum. La figure suivante montre une

comparaison du facteur de bruit minimum (minNF ) en fonction du courant de polarisation Ib

pour les transistors existant dans la bibliothèque. La longueur de l’émetteur Le est de 24 µm.

Ce résultat est obtenu par la simulation à la fréquence centrale de l’amplificateur (5 GHz).

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0 10 20 30 40

Ib (µA)

NF

min

(dB

)

NPN143

NPN254

NPN132

NPN111

NPN243

NPN232

Figure IV.6 : Dépendance de minNF en fonction du courant de polarisation Ib à 5 GHz pour

tous les transistors de la bibliothèque AMS (0Vce =1,2 V, Le=24 µm)



Nous observons que parmi les transistors de plusieurs doigts possédant une longueur

d’émetteur Le de 24 µm, le transistor NPN232 donne la meilleure caractéristique du point de

vue du bruit. L’ordre des courbes reste le même quelque soit la longueur d’émetteur. Notre

choix s’est donc porté sur le transistor NPN232 pour la conception de notre amplificateur

faible bruit.

IV.3.1.3 Choix de la longueur d’émetteur Le du transistor et du courant de polarisation

Ib

La Figure IV.7 représente la variation du facteur de bruit minimum minNF en fonction du

courant de polarisation Ib pour plusieurs valeurs de longueur d’émetteur Le. Nous observons

que plus Le est grand, plus minNF devient faible. Cependant, à partir d’environ 20 µm, la

diminution de minNF devient moins importante pour tendre vers une valeur constante. Une

longueur d’émetteur Le>20 µm est donc choisie pour améliorer les autres performances de

l’amplificateur.

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Ib (µA)

NF

min

(dB

)

Le=5 µm

Le=10 µm

Le=15 µm

Le=20 µm

Le=25 µm

Le=30 µm

Zone pour un fonctionnement optimal en bruit

Figure IV.7 : Dépendance de minNF en fonction de la longueur de l’émetteur Le à 5 GHz du

transistor NPN232 avec 0Vce =1,2 V

Aux grandes longueurs de Le (Le>20 µm), le facteur de bruit minimum minNF atteint sa

valeur optimale pour un courant de polarisation Ib d’environ 12 µA. Nous remarquons que

dans les domaines de variation de Ib [8 – 25 µA] et de Le [20 – 30 µA], le paramètre minNF

présente peu de dispersion. Ceci nous conduit à définir une zone dans laquelle nous pouvons

considérer que le transistor a un fonctionnement optimal en bruit. Le courant de polarisation

0Ib et la longueur d’émetteur Le seront donc choisis à l’intérieur de cette zone. Nous avons



enfin choisi 0Ib =20 µA et Le=30 µm parce que cet ensemble donne les meilleures

performances en maxG et minNF .

Le tableau suivant donne une vue globale de fT et fmax de tous les transistors de la

bibliothèque AMS où fT et fmax correspondent à la fréquences de coupure et à la fréquence

maximale d’oscillation de chaque transistor. Ces fréquences sont déterminées au même point

de polarisation et à même longueur d’émetteur que pour le transistor NPN232 (Le=30 µm,

Ib0=20 µm, Vce0=1,2 V).

Tableau IV.2 : fT et fmax de différents transistors de la bibliothèque AMS

NPN111 NPN132 NPN143 NPN232 NPN243 NPN254

fT (GHz) 50,7 52,4 47,8 50,2 51 49,9

fmax (GHz) 39,5 69,7 61,9 49,7 55,7 56,1

IV.3.2 Choix de la topologie de polarisation

Il existe plusieurs méthodes qui permettent de polariser le transistor :

- Polarisation par des éléments passifs : elle est normalement réalisée à l’aide de

résistances disposées selon différentes topologies

- Polarisation par des circuits actifs : elle peut être réalisée par des miroirs de courant,

source de courant de Widlar, source de courant à gain, source de courtant Wilson, …

etc [85].

Chaque méthode présente ses avantages. Nous avons choisi la topologie de polarisation

par des résistances (cf. Figure IV.8), la plus simple possible, notre but étant d’appliquer les

résultats de nos travaux sur les éléments passifs, présentés aux chapitres précédents. Cette

topologie très simple comprenant deux résistances permet également de limiter la dégradation

en terme de bruit et d’avoir une consommation d’énergie réduite par rapport aux techniques

utilisant des circuits actifs.



Ib Vce

Ic

R2

R1

VCC

T

Figure IV.8 : Schéma de polarisation du transistor

IV.3.3 Stabilisation et choix de la topologie de l’amplificateur

Avant de commencer la conception de l’amplificateur faible bruit, il faut s’assurer que le

bloc de transistors qui constitue le coeur du LNA est inconditionnellement stable. La stabilité

doit être étudiée sur une large bande de fréquence qui doit s’étendre au-delà de la bande

d’utilisation et notamment vers les basses fréquences où le gain est potentiellement plus élevé.

Les transistors de la bibliothèque AMS ne sont pas inconditionnellement stables aux

basses fréquences. Il existe plusieurs techniques afin de stabiliser les transistors. Parmi ces

techniques, on peut citer l’ajout d’une inductance de dégénérescence sur l’émetteur,

l’utilisation d’une topologie cascode ou cascade.

IV.3.3.1 Stabilisation avec une inductance de dégénérescence

La méthode la plus couramment utilisée pour stabiliser un transistor consiste à placer en

série sur l’émetteur une inductance de dégénérescence. Cette méthode bien connue pour les

transistors à effet de champ est applicable aux transistors bipolaires [92]-[94]. Cette technique

est très utilisée dans la conception des LNA car elle offre un moyen supplémentaire pour

optimiser l’adéquation entre les adaptations en termes de bruit et de transfert de puissance

optimal. Cette inductance joue un rôle clé dans la conception du LNA, sa valeur doit être

maîtrisée ainsi que ses éléments parasites et notamment sa résistance série qui peut dégrader

considérablement le facteur de bruit.



Dans notre cas, la stabilisation par une inductance de dégénérescence seule n’est pas

réalisable. Il faudrait utiliser une inductance ayant une forte valeur et donc des éléments

parasites importants qui dégraderaient considérablement les performances en Gmax et NFmin.

IV.3.3.2 Stabilisation par la topologie cascode et cascade [95]-[100]

La stabilisation inconditionnelle du bloc de transistors peut être réalisée par une topologie

de type cascode ou cascade. Nous choisirons parmi ces deux techniques celle pour laquelle les

réseaux d’adaptation d’impédance à l’entrée, ainsi que celui à la sortie sont les plus simples.

IV.3.3.2.1 Stabilisation par la topologie cascode [96]-[100]

La Figure IV.9a présente la topologie de stabilisation constituée de 2 transistors en

cascode. Les capacités C1 et C3 sont utilisées pour isoler la composante continue. La capacité

C2 permet non seulement d’isoler la composante continue mais également d’assurer le

fonctionnement en base commune du transistor T1.

Vcc

Entrée

R1

R2

R3 Sortie

C1

C2

C3

T1

T2

Vcc

Entrée

R4

R5

Sortie

C4

C5

T3

(a) (b)

Figure IV.9 : a). Topologie cascode constituée de 2 transistors NPN232 ; b) Topologie à un

seul transistor NPN 232 (Le=30 µm)

La Figure IV.10a présente le facteur de Rollet K de la topologie cascode, qui est supérieur

à 1 dans toute la bande de fonctionnement [0.8 – 6 GHz] ainsi qu’aux basses fréquences. Ce

facteur est inférieur à 1 pour la topologie à un seul transistor de même taille et de même point

de polarisation (Figure IV.10b). La topologie cascode permet donc de stabiliser



inconditionnellement le circuit dans toute la bande de fréquence [0.8 – 6 GHz] ainsi qu’aux

plus basses fréquences.

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

K

5

25

45

65

85

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

K

(a) (b)

Figure IV.10 : Facteur de Rollet K pour le bloc de transistors constitué de : a). 2 transistors

en topologie cascode ; b). 1 seul transistor

- La Figure IV.11 présente la caractéristique ( )out inP f P= à la fréquence centrale de

fonctionnement (5 GHz) de la topologie cascode constituée de deux transistors

NPN232 (Le=30 µm). La Figure IV.12 présente l’évolution fréquentielle des

coefficients de réflexion relatifs à l’adaptation en puissance (GMΓ et CMΓ ) et à

l’adaptation en bruit ( optΓ ).

-30

-20

-10

0

10

-50 -40 -30 -20 -10

P in (dBm)

Po

ut

(dB

m)

Point de compression à 1 dB

P1dB

Figure IV.11 : ( )out inP f P= à la fréquence centrale de fonctionnement (5 GHz) du bloc de

transistors constitué de 2 transistors identiques (Le=30 µm) en topologie cascode



freq (100.0MHz to 6.000GHz)

GMΓ

CMΓ

optΓ

Figure IV.12 : Coefficients de réflexion à présenter aux accès du bloc de transistors pour

l’adaptation en puissance et en bruit pour la topologie cascode de la Figure IV.9

Cette topologie présente des inconvénients :

- Le point de compression à 1 dB correspond à une puissance d’entrée de -24 dBm.

Cette puissance est trop faible pour un fonctionnement classique du LNA [92]-[102].

- Les coefficients de réflexion GMΓ et optΓ sont très différents (cf. Figure IV.12).

L’impédance d’adaptation en puissance GMZ et l’impédance optimale en bruit optZ à

l’entrée du bloc de transistors sont donc très différentes dans toute la bande de

fonctionnement. Nous n’obtenons pas l’adaptation simultanée en puissance et en bruit.

De plus, compte tenu des ordres de grandeur des impédances GMZ et CMZ , qui sont

loin de 50 Ω , les réseaux d’adaptation d’entrée ou de sortie risquent d’être très

compliqués.

IV.3.3.2.2 Stabilisation par la topologie cascade [95]

La Figure IV.13a présente la topologie de stabilisation constituée de 2 transistors en

cascade. Les capacités 1C et 3C permettent d’isoler la composante continue.



Vcc

Entrée

R1 R2 R3 Sortie

C1

C2

C3 R4

Vcc

Entrée

R6

R5

Sortie

C4

C5

T3

(b) (a)

T1

T1

Figure IV.13 : a) Stabilisation par topologie cascade constituée de 2 transistors NPN232

(Le=30 µm) ; b).Bloc de transistors constitué d’un transistor seul

La Figure IV.14a présente le facteur de Rollet K de la topologie cascade, il est supérieur à

1 dans toute la bande de fonctionnement [0.8 – 6 GHz] ainsi qu’aux basses fréquences. Ce

facteur est inférieur à 1 pour la topologie à un seul transistor de même taille et de même point

de polarisation (Figure IV.14b). La topologie cascade permet donc de stabiliser

inconditionnellement le circuit dans toute la bande de fréquence [0.8 – 6 GHz] ainsi qu’aux

plus basses fréquences

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

K

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

K

(a) (b)

Figure IV.14 : Facteur de Rollet K pour le bloc de transistors constitué de : a). 2 transistors

en topologie cascade ; b). 1 seul transistor

La Figure IV.15 représente la caractéristique ( )out inP f P= à la fréquence centrale de

fonctionnement (5 GHz) de la topologie cascade constituée de deux transistors NPN232



(Le=30 µm). La Figure IV.16 représente l’évolution fréquentielle des coefficients de réflexion

GMΓ , CMΓ et optΓ .

-20

-15

-10

-5

0

5

-50 -40 -30 -20 -10

P in (dBm)

Po

ut

(dB

m)


Figure IV.15 : ( )out inP f P= à la fréquence centrale de fonctionnement (5 GHz) du bloc de

transistors constituée de 2 transistors (Le=30 µm) en topologie cascade


GMΓ

CMΓ

optΓ

Figure IV.16 : Coefficients de réflexion pour la topologie cascade de la Figure IV.13

Avec cette topologie, le point de compression à 1 dB correspond à une puissance d’entrée

de -33 dBm. Comme pour la topologie cascode, cette puissance est également trop faible [92]-

[102]. Cependant, par rapport à la topologie cascode, les coefficients de réflexion GMΓ et optΓ

sont très proches l’un de l’autre sur l’abaque de Smith. Cela permet de faire coïncider optZ à

GMZ facilement en rajoutant une inductance de dégénérescence de faible valeur. Pour cette

raison, nous avons choisi cette topologie pour notre bloc de transistors.



Dans le paragraphe suivant, nous allons présenter la méthode permettant d’améliorer la

linéarité de la topologie cascade. Cette méthode permet également de ramener les impédances

GMΓ et optΓ proche de 50 Ω de façon simultanée.

IV.4 Conception de l’amplificateur faible bruit

Dans les paragraphes précédents, nous avons choisi la taille du transistor : Le=30 µm, le

point de polarisation du transistor : 0Ib =20 µA, 0Vce =1,2 V. La topologie cascade choisie (cf.

Figure IV.13) permet de stabiliser inconditionnellement l’amplificateur dans toute la bande de

fréquence de fonctionnement [0,8 – 6 GHz] ainsi qu’aux basses fréquences. Ce choix assure

un bon facteur de bruit minimum minNF , un écart suffisamment faible entre l’impédance

d’adaptation en puissance GMZ et en bruit optZ . Cependant, la linéarité de l’amplificateur

n’est pas encore suffisante.

Théoriquement, la linéarité d’un amplificateur est liée à la taille des transistors.

Concrètement, plus le transistor est gros, plus la linéarité est améliorée. Cependant, la taille du

transistor est, en pratique, limitée par la technologie. Dans la technologie BiCMOS 0,35 µm,

la taille du transistor choisie, donc Le, est limitée à 48 µm. Avec cette taille de transistor, la

linéarité de l’amplificateur n’est pas suffisante. De plus, les performances optimales en bruit

du transistor sont obtenue pour Le=30 µm. Le changement de la taille physique du transistor

n’est donc pas une bonne solution.

Dans ce paragraphe, nous appliquons une nouvelle technique [64] qui permet non

seulement d’améliorer la linéarité de l’amplificateur mais également de ramener l’impédance

optimale en bruit et l’impédance d’adaptation en puissance proche de 50 Ω sans dégrader les

autres performances.

IV.4.1 Comportement d’un réseau de transistors associés en parallèle

La Figure IV.17 présente la topologie comprenant plusieurs transistors identiques en

parallèle. Si nous appelons optZ l’impédance optimale en bruit d’un transistor seul. Cette

impédance optimale en bruit associée à un réseau de n transistors en parallèle est réduite n

fois par rapport à celles d’un transistor seul (cf. Annexe 3).



optZ optZ

n

T2 T1 Tn

Figure IV.17 : Impédance optimale en bruit d’un réseau de n transistors en parallèle

La topologie constituée de plusieurs transistors identiques en parallèle permet non

seulement de ne pas modifier la taille physique du transistor pour profiter des bonnes

caractéristiques du transistor possédant la taille étudiée (Le=30 µm), mais aussi d’augmenter

techniquement sa taille. La linéarité du bloc de transistors est ainsi améliorée. Le fait de

mettre plusieurs transistors en parallèle modifie également les impédances d’entrée ou de

sortie, donc les coefficients de réflexion, aux accès du bloc de transistors. Ce comportement

est présenté dans le paragraphe suivant.

IV.4.2 Topologie cascade contenant plusieurs transistors en parallèle

La figure suivante présente le schéma de principe de la topologie cascade contenant

plusieurs transistors identiques en parallèle.

T2 T1

T2 Tn

R1

R2

R3

R4

C1

C2

C3

Vcc

Bloc de transistors

T1

Tn

Figure IV.18 : Deux groupes de n transistors identiques associés en parallèle mis en montage

cascade

Pour profiter des bonnes caractéristiques du transistor, nous fixons sa taille : Le=30 µm et

tous les transistors sont polarisés au point étudié : Vce0=1,2 V, Ib0=20 µA, Ice0=4,2 mA.

D’après la simulation, pour ramener Zopt et ZGM au voisinage de 50 Ω, le nombre optimal de

transistors n est 4.



La figure suivante montre les coefficients de réflexion à présenter aux accès du bloc de

transistors, relatifs respectivement à l’adaptation en puissance (ΓGM et ΓCM) et en bruit (Γopt),

dans toute la bande de fréquence [0,8 – 6 GHz].


optΓ GMΓ

CMΓ

Figure IV.19 : Coefficients de réflexion à présenter aux accès du bloc de transistors constitué

de 2 groupes de 4 transistors identiques en cascade pour l’adaptation en puissance et en bruit

Par rapport à la topologie constituée de deux transistors en cascade (cf. Figure IV.13), les

coefficients de réflexion pour l’adaptation en bruit et en puissance aux accès du bloc de

transistors ( optΓ , GMΓ , CMΓ ) se sont rapprochés du centre de l’abaque. Les impédances

équivalentes optZ , GMZ , CMZ sont donc plus proches de 50 Ω . Cela permet de simplifier les

réseaux d’adaptation d’impédance (Réseau 1 et Réseau 2) aux accès du bloc de transistors.

De plus, les coefficients de réflexion optΓ et GMΓ sont suffisamment proches sur l’abaque

de Smith. Par conséquent, une inductance de dégénérescence de faible valeur, 1L =0,12 nH

(obtenue après optimisation) permet d’obtenir des valeurs de optZ et GMZ relativement

proches de 50 Ω .



T2 T1 T3

R1

R2

R3

R4

C1

C2

C3

VE

VS

L1

T4

T2 T1 T3 T4

VCC

Figure IV.20 : Topologie cascade de 4 transistors identiques en parallèle avec ajout d’une

inductance de dégénérescence 1L de faible valeur

La figure suivante montre l’intérêt de l’inductance de dégénérescence 1L : optZ et GMZ

s’approchent et ces deux impédances sont très proches de 50 Ω dans toute la bande de

fonctionnement [0,8 – 6 GHz]. La présence de cette inductance ne dégrade pas l’impédance

d’adaptation en puissance à l’accès de sortie du bloc de transistors.


optΓ

GMΓ

CMΓ

Figure IV.21 : Coefficients de réflexion à présenter aux accès du bloc de transistors pour

l’adaptation en puissance et en bruit par rapport à 50 Ω pour la topologie cascade de la

Figure IV.20

Dans ce cas, la linéarité du bloc de transistors est nettement améliorée par rapport à celle

du montage constitué de deux transistors en cascade (cf. Figure IV.13). La Figure IV.22

compare la linéarité du bloc de transistors pour ces deux topologies.



-40

-30

-20

-10

0

10

-50 -40 -30 -20 -10 0

P in (dBm)

Po

ut

(dB

m)

1 Transistor

4 Transistors


Figure IV.22 : Linéarité du bloc de transistors de la topologie de 2 transistors en cascade (1

transistor) ou de 2 groupes de 4 transistors parallèles, chacun en cascade (4 transistors)

Nous observons que le point de compression à 1 dB pour la topologie cascade constituée

de 2 groupes de 4 transistors est déterminé à une puissance d’entrée de -13 dBm (la puissance

de sortie de 0 dBm) par rapport à -32 dBm (la puissance de sortie de -3,5 dBm) pour la

topologie constituée de deux transistor en cascade. La linéarité du bloc de transistors est

nettement améliorée et comparable aux résultats récents trouvés pour les amplificateurs faible

bruit [92]-[102].

IV.4.3 Réseau d’adaptation d’entrée du LNA

Plusieurs techniques permettent de ramener l’impédance d’adaptation en puissance GMZ et

l’impédance optimale en bruit optZ de l’entrée d’un amplificateur à des valeurs relativement

proches. Mais dans la plupart des cas, ces impédances sont loin de 50 Ω . Il est donc

nécessaire dans ce cas de synthétiser un réseau d’adaptation en entrée du bloc de transistors.

Lors de la conception du bloc de transistors, nous avons choisi le nombre de transistors en

parallèle n, de façon à ce que GMZ et optZ soient proches de 50 Ω . La technique consistant à

utiliser une inductance de dégénérescence permet non seulement d’obtenir des valeurs

proches pour ces deux impédances mais aussi de les ramener près de 50 Ω . Par conséquent, il

n’est pas nécessaire d’ajouter un réseau d’adaptation d’impédance à l’entrée du bloc de

transistors. Ce fait permet de ne pas dégrader les performances de l’amplificateur et de

simplifier le circuit global. Les figures suivantes présentent le paramètre S11 du bloc de



transistors, donc également du LNA, et la comparaison du facteur de bruit total du circuit par

rapport au bruit intrinsèque minNF de ce bloc.

-19

-18

-17

-16

-15

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Figure IV.23 : Variation en fréquence du coefficient de réflexion à l’entrée du dispositif de la

Figure IV.20

1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

NF

(dB

)

NFmin

NF

Figure IV.24 : Variation en fréquence du facteur de bruit du bloc de transistors

IV.4.4 Synthèse du réseau d’adaptation de sortie du LNA

Les Figure IV.25 et Figure IV.26 montrent les variations en fréquence du paramètre S22 et

du gain maximum Gmax du bloc de transistors (cf. Figure IV.20).



-14

-12

-10

-8

-6

-4

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)S

22 (

dB)

Figure IV.25 : Variation en fréquence du coefficient de réflexion à la sortie du bloc de

transistors

10

20

30

40

50

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

Gm

ax (

dB)

Figure IV.26 : Variation en fréquence du gain maximum du bloc de transistors

D’après la Figure IV.25, la sortie du bloc de transistors n’est pas bien adaptée en

puissance, il est donc nécessaire de synthétiser un réseau d’adaptation d’impédance pour cet

accès. De plus, le gain maximum de la topologie de la Figure IV.20 n’est pas plat. Le réseau

d’adaptation devra permettre aussi d’aplanir le gain du LNA. Pour ces raisons, nous avons

rajouté en sortie de l’amplificateur un réseau d’adaptation d’impédance qui compense le gain

maximum du bloc de transistors à basse fréquence. Autrement dit, dans la bande de

fonctionnement, la pente du gain du réseau rajouté est opposée à celle de la Figure IV.26.

Théoriquement, nous pouvons profiter de la caractéristique non idéale aux fréquences

inférieures à la fréquences de coupure d’un filtre passe bande ou d’un filtre passe haut pour

réaliser un tel réseau d’adaptation. Cependant, nous voulons concevoir un amplificateur faible

bruit large bande, un filtre passe haut est donc préféré. La synthèse d’un tel filtre peut être

réalisée analytiquement ou effectuée à l’aide d’un outil qui est disponible dans le logiciel



ADS. La synthèse analytique du filtre est assez compliquée, nous avons donc synthétisé ce

filtre en utilisant l’outil disponible dans le logiciel ADS.

La figure suivante représente le gain maximum du bloc de transistors (maxG ) et la

caractéristique de transfert du réseau d’adaptation d’impédance qu’il faut rajouter à la sortie

du bloc de transistors (cf. Figure IV.20) pour aplanir le gain total de l’amplificateur.

10

20

30

40

50

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

G (

dB)

-40

-30

-20

-10

0

Gmax

G_filtre

Figure IV.27 : Représentation du gain du réseau d’adaptation d’impédance (G_filtre) à la

sortie du bloc de transistors

IV.4.5 Topologie finale de l’amplificateur

Le gain maximum du bloc de transistors présente une forte décroissance (Figure IV.27), il

est donc difficile de synthétiser un filtre passe haut comprenant un seul étage avec lequel, la

caractéristique à basse fréquence permet d’aplanir ce gain maximum. Nous y sommes

parvenus à l’aide d’un filtre de 2 étages jouant le rôle de réseau d’adaptation d’impédance à la

sortie de l’amplificateur. La Figure IV.28 montre la topologie finale de l’amplificateur faible

bruit que nous avons conçu. Les blocs 1T et 2T représentent, en réalité, 4 transistors NPN232

identiques en parallèle.



R2

R1

R4

R3

VCC

Entrée

Sortie

T1 T2

C1

C3 C4

L3 L2

C5 R5 R6 C6 L1

C2

Figure IV.28 : Architecture complète de l’amplificateur faible bruit

À partir du point de polarisation choisi, nous pouvons calculer les valeurs des résistances

de polarisation (1R , 2R , 3R et 4R ). Notre but étant d’appliquer nos travaux sur les éléments

passifs, présentés aux chapitres précédents, nous avons donc fixé les valeurs des inductances

L2 et L3 à celle précédement étudiées : spirale 2 (1,5 nH) et spirale 3 (2,4 nH).

Les valeurs des derniers éléments sont obtenues par une procédure d’optimisation. Le

tableau suivant présente les valeurs des éléments du circuit global de notre amplificateur

faible bruit (cf. Figure IV.28).

Tableau IV.3 : Valeurs des éléments idéaux constituant le circuit global du LNA

Vcc=10 V R3=4,6 kΩ R6=43,84 Ω L3=1,5 nH C4=0,3 pF

R1=4,6 kΩ R4=520,8 Ω L1=0,12 nH C1=C3=60 pF C5=1 pF

R2=520,8 Ω R5=41,76 Ω L2=2,4 nH C2=6,58 pF C6=0,42 pF

La topologie de l’amplificateur étant fixée, nous remplaçons chaque élément par leur

modèle. Pour les inductances L2 et L3, nous utilisons les modèles de la spirale 2 et de la spirale

3 présentés au chapitre III. L’inductance de faible valeur L1 est synthéthisée par un tronçon de

guide d’onde coplanaire. Lors de la conception du dessin de masque (Layout), les accès

d’entrée et de sortie de l’amplificateur (cf. Figure IV.28) ont besoin d’être connectés aux plots

de mesure. Nous avons donc rajouté deux tronçons de ligne CPW d’impédance caractéristique



voisine de 50 Ohm pour ne pas modifier les propriétés de l’amplificateur. Enfin, nous avons

simulé notre circuit global.

L’inductance est toujours un élément sensible dans la conception d’un amplificateur faible

bruit à cause de ses caractéristiques en fréquence ainsi que de ses dimensions géométriques.

Les avantages de notre LNA résident dans le nombre et la valeur des inductances utilisées, le

faible facteur de bruit et le gain suffisamment élevé (>13 dB) et plat.

- Les deux inductances du réseau d’adaptation à la sortie du bloc de transistors (L2 et L3)

possèdent des valeurs modérées (2,4 nH et 1,5 nH), elles ont été mesurées et

caractérisées (cf. chapitre III).

- L’inductance de dégénérescence 1L possède une valeur très faible (0,12 nH). Dans la

bibliothèque AMS, il n’existe pas d’inductance possédant une valeur inférieure à 1 nH.

Nous avons donc réalisé cette faible inductance par un tronçon du guide d’onde

coplanaire possédant une impédance caractéristique élevée, CZ supérieure à 50 Ω . CZ

est choisi afin que la caractéristique de cette ligne soit inductive dans la bande de

fréquence de fonctionnement. Pour cette raison, la ligne CPW choisie dans ce cas

possède un très faible rapport sW .

Les études sur les guides d’onde coplanaires (deuxième chapitre) montrent que plus

l’espace S entre le signal et la masse augmente, moins le coefficient de couplage k est

important (cf. Figure II.24). Par conséquent, un espace S du guide d’onde coplanaire plus

large permet non seulement d’augmenter son impédance caractéristique CZ (car le rapport

sW est diminué) mais également de diminuer les couplages électromagnétiques dans le

substrat silicium. Les dimensions géométriques du guide coplanaire jouant le rôle d’une

inductance de dégénérescence sont présentées à la Figure IV.29a. Son impédance

caractéristique est 90 CZ ≈ Ω .



50 µ

m

50 µ

m

50 µ

m

5 µ

m

50 µ

m

L

50 µ

m

50 µ

m

50 µ

m

5 µ

m

50 µ

m

L

Figure IV.29 : a). Guide d’onde coplanaire avec CZ élevé ; b). Inductance de faible valeur

constituée d’une ligne CPW court circuitée à son extrémité

Pour ce type de ligne, l’espace S entre le signal et la masse est très grande (50 µm). À cet

écart, les couplages électromagnétiques dans le substrat sont très diminués par rapport au cas

de la ligne CPW que nous avons mesurée où S=2 µm (cf. chapitre II). Pour cette raison, une

simulation de type électromagnétique de cette ligne à l’aide du logiciel Momentum utilisant

les paramètres technologiques du substrat donnés par le fondeur doit suffire à modéliser le

comportement de la ligne. La variation de son impédance caractéristique en fonction de la

fréquence est présentée à la figure suivante :

80

100

120

140

160

0 2 3 5 6

Fréquence (GHz)

ZC

(ΩΩ ΩΩ

)

Figure IV.30 : Evolution fréquentielle de l’impédance caractéristique du guide d’onde

coplanaire

Cette ligne inductive est mise à la place de l’inductance de dégénérescence. Elle doit être

court-circuitée (cf. Figure IV.29). Pour une valeur d’inductance au voisinage de 0,12 nH, la



longueur L de ce tronçon de ligne est de 130 µm. Si nous appelons Z l’impédance série de ce

tronçon de ligne, ses comportements inductif et résistif sont déterminés par les relations

suivantes :

( )1

Im

2

ZL

fπ= (4.14)

( )1 ReR Z= (4.15)

La figure suivante présente la variation fréquentielle de L1 et de R1 dans la bande de

fréquence de fonctionnement de l’amplificateur.

1.20

1.22

1.24

1.26

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

L1

(x10

-10 H

)

0.30

0.35

0.40

0.45

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

R1

( ΩΩ ΩΩ)

(a) (b)

Figure IV.31 : Evolution fréquentielle de L1 et de R1 de ligne CPW court-circuitée (W=5 µm,

S=50 µm, L=130 µm)

Nous observons une légère diminution de L1 au voisinage de 0,12 nH et une faible

résistance série R1 qui permettent de ne pas dégrader les performances de notre amplificateur.

IV.4.6 Résultats de simulation du circuit global du LNA constitué des

éléments réels

IV.4.6.1 Résultats de simulation sans optimisation

Les figures suivantes présentent les paramètres importants du LNA constitué des éléments

réels (avec nos modèles et ceux du fondeur) :



1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)N

F (

dB)

NF

NFmin

Figure IV.32 : Comparaison entre le facteur de bruit minimum NFmin et le facteur de bruit

total du LNA constitué des éléments réels

-26

-23

-20

-17

-14

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

S11

,S22

(dB

)

S11

S220

5

10

15

20

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

G (

dB)

S21

Gmax

(a) (b)

Figure IV.33 : a). Variation en fonction de la fréquence des coefficients de réflexion S11 et S22

aux accès du LNA constitué des éléments réels ; b). Comparaison entre le gain total S21 et le

gain maximum du LNA constitué des éléments réels

Le facteur de bruit total NF et le facteur de bruit minimum NFmin obtenus sont

suffisamment proches. Nous obtenons également de bons coefficients de réflexion S11 et S22

(Figure IV.33), ce qui expliquent que le gain global du circuit S21 et le gain maximum sont

quasiment identiques. Cependant, ce gain n’est pas suffisamment plat dans toute la bande de

fréquence de fonctionnement. Nous avons donc besoin d’effectuer une procédure

d’optimisation de la valeur des éléments des réseaux d’adaptation d’impédance à la sortie de

l’amplificateur pour aplanir ce gain.



IV.4.6.2 Résultats de simulation de l’amplificateur après optimisation

Après une procédure d’optimisation, nous obtenons les valeurs des derniers éléments du

circuit final avant la fabrication du dessin de masque (Layout) de notre amplificateur. Elles

sont présentées dans le tableau suivant.

Tableau IV.4 : Valeurs des éléments du circuit final du LNA

Vcc=10 V R3=4,6 kΩ R6=32,2 Ω L3=1,5 nH C4=0,3 pF

R1=4,6 kΩ R4=520,8 Ω L1=0,12 nH C1=C3=60 pF C5=0,88 pF

R2=520,8 Ω R5=34,27 Ω L2=2,5 nH C2=7,18 pF C6=0,4 pF

Les figures suivantes présentent les paramètres importants du circuit final :

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

NF

(dB

)

NFmin

NF

Figure IV.34 : Comparaison entre le facteur de bruit minimum NFmin et le facteur de bruit

total NF du circuit final

-22

-20

-18

-16

-14

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

S11

, S

22 (

dB)

S11

S22

Figure IV.35 : Variations en fonction de la fréquence des coefficients de réflexion du circuit

final aux accès



0

4

8

12

16

20

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)G

(dB

)

Gmax

S21

Figure IV.36 : Comparaison entre le gain maximum Gmax et le gain total S21 du circuit final

Le tableau suivant synthéthise les performances du LNA que nous avons conçu. Les

paramètres sont donnés à la fréquence centrale : 5 GHz.

Tableau IV.5 : Synthèse des perfomances du LNA à la fréquence centrale (5 GHz)

Point de polarisation Facteur de bruit Coefficient de réflextion Gain

Vce0=1,2 V, Ib0=20 µA

Ice0=4,2 mA

NF=2 dB

NFmin=1,9 dB

S11= –16 dB

S22= –17 dB

Gmax=14,8 dB

S21=14,8 dB

IV.4.6.3 Conclusion

Après une procédure d’optimisation sans modifier les modèles équivalents de spirale 2 et

de spirale 3, le gain total du circuit final de notre amplificateur est aplani. Ce gain atteint une

valeur suffisamment élevée (au voisinage de 14 dB). Le facteur de bruit total du circuit reste à

la même valeur. Les paramètres 11S (dB) et 22S (dB) aux accès de l’amplificateur sont

suffisamment faibles.

Les résultats obtenus permettent de créer un dessin de masque (Layout) de notre

amplificateur faible bruit. Il est présenté à la figure suivante :



Figure IV.37 : Dessin de masque de l’amplificateur faible bruit

IV.4.7 Comparaison entre les résultats de simulation obtenus avec le circuit

final constitué des éléments réels et celui constitué des éléments caractérisés

par le fondeur

Pour des raisons techniques non résolues à ce jour, nous n’avons pas pu mesurer le circuit

intégré de notre amplificateur faible bruit. Dans ce paragraphe, nous comparons la simulation

de l’amplificateur constitué des éléments réels (nos modèles et ceux du fondeur) avec modèle

constitué des éléments caractérisés par le fondeur. Les figures suivantes présentent ces

comparaisons.



1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

NF

min

(dB

)Fondeur

Réel

1.0

1.4

1.8

2.2

2.6

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

NF

(dB

)

Fondeur

Réel

(a) (b)

Figure IV.38 : Comparaison entre le circuit final constitué des éléments réels (Réel) et celui

constitué des éléments caractérisés par le fondeur (Fondeur) pour le : a).Facteur de

bruit minimum ; b). Facteur de bruit global

-25

-22

-19

-16

-13

-10

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

S11

(dB

)

Fondeur

Réel_-20

-18

-16

-14

-12

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

S22

(dB

)

Fondeur

Réel_

(a) (b)

Figure IV.39 : Comparaison entre le circuit final constitué des éléments réels (Réel) et celui

constitué des éléments caractérisés par le fondeur (Fondeur) pour les coefficients de réflexion

11S (a) et 22S (b) aux accès de l’amplificateur



0

5

10

15

20

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

Gm

ax (

dB)

Fondeur

Réel

0

5

10

15

20

0.0 1.5 3.0 4.5 6.0

Fréquence (GHz)

S21

(dB

)

Fondeur

Réel

(a) (b)

Figure IV.40 : a). Comparaison entre le circuit final constitué des éléments réels (Réel) et

celui constitué des éléments caractérisés par le fondeur (Fondeur) pour : a). Le gain

maximum ; b). Le gain global S21 de l’amplificateur

Conclusions :

Nous observons sur la Figure IV.38 que le facteur de bruit minimum du schéma constitué

des éléments caractérisés par le fondeur est plus petit que celui du schéma constitué des

éléments réels. Ceci est compréhensible et concordant car les éléments réels, donc les

inductances et les interconnexions aux accès, prennent en compte plus de phénomènes

parasites. Le facteur de bruit total du circuit est faible, il est comparable aux publications

récentes [92]-[102].

Le paramètre S22 obtenu avec la simulation du circuit constitué des éléments réels et celui

des éléments caractérisés par le fondeur sont satisfaisants. Cependant, nous constatons un

écart non négligéable entre les deux (cf. Figure IV.39b). Cet écart est dû aux réseaux

d’adaptation d’impédance de sortie du LNA, donc les spirales 2 et 3. De plus, les derniers

éléments du circuit final sont obtenus après une procédure d’optimisation en fixant les

modèles équivalents des inductances, le coefficient de réflexion S22 obtenu de la simulation du

circuit constitué des éléments réels est donc meilleur. Les gains globaux du circuit final (S21)

pour ces deux simulations sont très proches et ils sont plats et suffisamment élevés, au

voisinage de 14 dB (cf. Figure IV.40b).



IV.5 Conclusions

Nous avons conçu un amplificateur faible bruit simple. Le facteur de bruit global du

circuit NF est relativement faible, le gain total obtenu est plat et supérieur à 14 dB dans toute

la bande de fonctionnement [0,8 – 6 GHz]. L’architecture de cet amplificateur est très simple

grâce à une inductance de dégénérescence de faible valeur permettant de ramener l’impédance

optimale en bruit optZ et l’impédance d’adaptation en puissance de l’entrée à 50 Ω . Pour la

simulation du circuit final constitué des éléments réel, nous obtenons donc un bon accord

entre le facteur de bruit total NF et le facteur de bruit minimum minNF (cf. Figure IV.34).

La topologie cascade constituée de deux groupes de quatre transistors bipolaires NPN232

identiques associés en parallèle permet d’augmenter techniquement la taille des transistors. La

linéarité de l’amplificateur est donc améliorée.

Nous obtenons aussi un bon accord entre le gain total et le gain maximum car l’entrée et la

sortie de l’amplificateur sont bien adaptées en puissance. Le gain total de l’amplificateur est

aplani (cf. Figure IV.36), les réseaux d’adaptation d’impédance à la sortie de l’amplificateur

sont donc bien synthétisés. À cause des problèmes techniques, la mise en œuvre des mesures

n’est pas effectuée.

Conclusion générale



La technologie silicium est de plus en plus utilisée dans la conception des circuits intégrés

micro-ondes car cette technologie offre aujourd’hui de très bonnes performances en haute

fréquence. Cette technologie moins coûteuse que celles sur substrat III-V permet d’intégrer

sur une même puce la partie numérique et la partie analogique. Cependant, les éléments

déposés sur ce type de substrat, notamment les interconnexions et les éléments passifs,

possèdent des caractéristiques parasites importantes. Ces caractéristiques sont liées aux

couplages électromagnétiques dans le substrat silicium. Notre objectif est de caractériser des

éléments passifs (des interconnexions et des inductances) sur substrat silicium. Les résultats

obtenus ont été ensuite appliqués à la conception d’un amplificateur faible bruit.

Dans le premier chapitre, nous avons abordé certaines méthodes de de-embedding qui

constituent une première difficulté lors de la caractérisation d’un dispositif sous test (DUT)

intégré sur substrat silicium. Parmi ces méthodes de de-embedding, la méthode à 2 éléments,

la plus compatible à notre cas, est choisie pour caractériser les éléments que nous avons

mesurés.

Dans le deuxième chapitre, un modèle équivalent linéique de la ligne de transmission sur

substrat silicium et une méthode d’extraction analytique des éléments du modèle sont

proposés à partir du modèle classique de ligne de transmission. Les résultats obtenus sont

valables pour différentes longueurs de lignes de transmission. Le modèle équivalent de lignes

de transmission prend en compte les courants de Foucault dans le substrat et il est

intuitivement proposé grâce aux évolutions des paramètres primaires de la ligne. Ceci a ouvert

une nouvelle perspective permettant de proposer et de trouver un modèle équivalent et une

procédure d’extraction analytique pour plusieurs composants : des éléments passifs.

Les travaux du troisième chapitre portent sur les inductances spirales. Nous proposons un

modèle équivalent et la méthode associée d’extraction des éléments du modèle inspirée des

travaux sur la ligne de transmission. Cependant, l’extraction analytique fait apparaître une

résistance négative. Cette résistance négative provient du fait qu’une représentation en “Pi”

est trop rudimentaire et qu’un élément vient en série avec la partie parallèle du modèle. Un

nouveau modèle constitué d’éléments accessibles de la mesure est donc proposé. Il existe



certains éléments de ce modèle qui ne sont pas analytiquement extraits. Toutefois, ce modèle

a ouvert une nouvelle perspective intéressante.

Les phénomènes parasites d’une inductance liés au substrat silicium, en réalité, sont très

compliqués aux hautes fréquences. De plus, nous ne connaisons pas précisément les

paramètres technologiques du substrat. Par conséquent, les résultats obtenus à partir de la

simulation électromagnétique ne présente pas tout à fait les comportements de l’inductance

obtenus lors de la mesure. Un substrat équivalent que nous avons proposé permet de

rapprocher les résultats obtenus de la simulation électromagnétique de la mesure. Nous

pouvons donc limiter le nombre de motifs de test, donc le coût de l’étude. Cependant, la

confrontation avec d’autres motifs de mesure est nécessaire pour s’assurer de sa fiabilité, les

motifs simulés ne pouvant servir que de “points” d’interpolation entre les motifs mesurés.

Une étude de paramétrage des inductances suivant ses paramètres géométriques est

intéressante.

Dans le dernier chapitre, nous avons proposé une topologie très simple d’un amplificateur

faible bruit. Les performances de l’amplificateur proviennent d’une inductance de

dégénérescence de faible valeur et des inductances des réseaux d’adaptation d’impédance de

sortie de valeurs modérées dont les caractéristiques sont étudiées aux chapitres 2 et 3. Une

conception de circuit, utilisant les résultats des modèles de ligne et d’inductance, a été menée

jusqu’à la conception et la simulation du masque.

Les travaux sur les lignes de transmission et les inductances ouvrent des possibilités pour :

- Une étude de paramétrage à partir de simulation électromagnétique avec “substrat

équivalent”

- Un modèle équivalent d’inductances constitué des éléments accessibles de la mesure et

une procédure permettant d’extraire analytiquement des éléments du modèle.

- Des règles d’échelle faciles à intégrer en logiciel de CAO … etc.

- Une approche comparable pour d’autres motifs (résistances, capacités, … etc)

Annexe 1


Annexe 1 : Expression finale pour l’extraction de (C1+C2) à basse

fréquence du modèle de ligne de transmission et expression

permettant de tracer l’évolution de G1, C1

À partir du modèle équivalent de la partie parallèle de ligne de transmission (cf. Figure

II.14), nous avons :

11

112 CjG

GCjCjCjG

ωωωω+

+=+ A1.1

Nous pouvons réécrire A1.1 sous la forme :

1

1

12

1G

CjCj

CjCjG ωωωω

++=+ A1.2

Le dénominateur de A1.2 est complexe, la partie imaginaire du dénominateur est éliminée

en multipliant sa partie conjuguée :

21

21

2

1

11

2

1

1

G

C

G

CjCj

CjCjGω

ωωωω

+

−

+=+ A1.3

Finalement, nous obtenons :

+++

+=+

21

21

21

2

21

21

21

21

2

11G

C

CCj

G

C

G

C

CjGω

ωω

ω

ω

A1.4

Nous pouvons développer l’expression A1.1 d’autrement :

( )11

112 CjG

GCjCjCjG

ωωωω+

=−+ A1.5

Annexe 1


Nous rajoutons ( )1Cjω− de chaque côté de l’expression A1.5 :

( ) ( ) 111

1112 Cj

CjG

GCjCCjCjG ω

ωωωω −+

=+−+ A1.6

Simplifions A1.6, nous avons :

( ) ( )11

21

2

12 CjG

CCCjCjG

ωωωω+

=+−+ A1.7

Nous déterminons une variable intermédiaire :

( )12

1

CCjCjGZ

+−+=

ωω A1.8

Sous la forme de la relation A1.4, on voit apparaître que la somme (C1+C2) est la valeur de

C à basse fréquence (cf. Figure II.13b). Z est donc déterminée.

En portant A1.8 dans A1.7, il en résulte :

21

211

C

CjGZ

ωω+

= A1.9

Nous isolons Z en partie réelle et en partie imaginaire :

121

21

C

j

C

GZ

ωω+= A1.10

Enfin, l’expression A1.10 permet d’extraire 1C et 1G , avec lesquelles nous pouvons

tracer leurs évolutions en fréquence pour extraire les valeurs de C1 et G1.

( )ZC

Im

11 ω

=

( )ZCG Re21

21 ω=

A1.11

Annexe 2


Annexe 2 : Calcul approché du coefficient évaluant l’effet de peau

Les formules classiques permettent de calculer la résistance linéique r et l’épaisseur de

peau δ d’un conducteur par les relations suivantes :

Sr

1

σ= A2.1

frµπσµδ

0

1= A2.2

où σ et S sont respectivement la conductivité et l’aire d’une coupe horizontal du

conducteur. Lorsqu’on prend en compte de l’effet de peau dans ce conducteur, r est écrit sous

la forme :

fArr BF += A2.3

Dans le domaine des hautes fréquences où l’effet de peau devient plus important, BFr peut

être négligeable. En portant l’équation A2.1 dans l’équation A2.3, le coefficient évaluant

l’effet de peau est donné par :

fSA

1

σ= A2.4

D’autre part, pour simplifier les calculs, nous considérons le conducteur comme un ruban

carré (cf. A2.1) où a est sa largeur, b est son épaisseur, δ est l’épaisseur de peau.

δ

a

b

Figure A2.1 : Une coupe horizontale du conducteur

Annexe 2


À cause de l’effet de peau, en haute fréquence, ce conducteur ne conduit que dans la zone

périphérique du conducteur (la zone de pattern de la figure A2.1). L’aire de conduction est

donc calculée par :

( ) ( ) 242222 δδδδδ −+=−+= babaS A2.5

Car la grandeur 24δ est petite, elle est négligeable, nous avons donc :

( )baS += δ2 A2.6

En portant l’équation A2.2 dans l’équation A2.6, nous obtenons :

( )f

baS

rµπσµ0

2 += A2.7

Avec 70 10.4 −= πµ , 1=rµ

Nous remplaçons cette expression de S dans l’équation A2.4, il en résulte :

( ) σµπµ

baA r

+=

20 A2.8

En remplaçant la valeur numérique des paramètres technologiques fournis par le fondeur,

nous obtenons enfin :

( )1 10,0032 . .A m Hz− −≈ Ω A2.9

Annexe 3


Annexe 3 : Mise en parallèle de quadripôles bruyants

A3.1 Calcul du facteur de bruit à partir de la matrice de corrélation admittance

igN Yg Y11 iN1 Y12v2 Y22 iN2

Quadripôle bruyant

i2 v1 v2

Figure A3.1 : Modélisation d’un quadripôle bruyant

21212 NivYi +=

11

11 YY

iiv

g

NgN

+−

=

211

211

11

212 N

gN

ggN i

YY

Yi

YY

Yii +

+−

+=

2211

21122

11

221

11211

221

0*

22 24 Yg

Y

g

Y

g

g CYY

YC

YY

YC

YY

YGkTii +

+ℜ−

++

+=⋅

221

211

0

22*

21

*11

*

0

12

0

1144

24

1Y

YY

GkT

C

Y

YY

GkT

C

GkT

CF

g

g

Yg

g

Y

g

Y+

+

+ℜ−+=

Avec : g g gY G jB= +

A3.2 Développement du facteur de bruit exprimé en fonction de la matrice de

corrélation admittance

Développons le terme MY

YYC

gY =

+*

21

*11

*

12 :

Annexe 3


( )( )″−′

″−′+−″+′=

2121

11111212

jYY

jYYjBGjCCM

ggYY

( ) ( )( ) ( ) ( )( )″−′

″+′−′+″+″+″+′+′=

2121

1112111211121112

jYY

YBCYGCjYBCYGCM

gYgYgYgY

En réalisant le dénominateur, on obtient la partie réelle de A :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

21

21111211122111121112

Y

YYBCYGCYYBCYGCM

gYgYgYgY″″+′−′+″−′″+″+′+′

=ℜ

Qu’on peut ordonner en Gg et Bg :

( ) 12 21 12 21 12 21 12 212 2

21 21

12 21 12 21 12 21 12 2111 112 2

21 21

Y Y Y Yg g

Y Y Y Y

C Y C Y C Y C YM G B

Y Y

C Y C Y C Y C YY Y

Y Y

′ ′ ″ ″ ″ ′ ′ ″− +ℜ = + +

′ ′ ″ ″ ″ ′ ′ ″− +′ ″+ +

Développons le terme NYYg =+2

11 :

( )( )″−′+−″+′++= 11111111 jYYjBGjYYjBGN gggg

211

21111

2 22 YBYBYGGN gggg ++″+′+=

On peut ordonner F en Gg et Bg :

Terme en Gg :

222

0 21

1

4YC

AkT Y

=

Lorsqu’on met n quadripôles identiques en parallèle, ce terme est proportionnel à 1/n.

Terme en Bg2/Gg :

Annexe 3


2210

22 1

4 YkT

CB Y=

Lorsqu’on met n quadripôles identiques en parallèle, ce terme est proportionnel à 1/n.

Terme constant :

2210

11222

210

21122112

42

421

YkT

YC

YkT

YCYCC YYY

′+

″″−′′−=

Lorsqu’on met n quadripôles identiques en parallèle, ce terme est constant.

Terme en Bg/Gg :

2210

11222

210

21122112

42

42

YkT

YC

YkT

YCYCD YYY

″+

″′+′″−=

Lorsqu’on met n quadripôles identiques en parallèle, ce terme est constant.

Terme en 1/Gg :

( ) ( )2

21

211

0

222

210

21122112112112211211

0

1144

24 Y

Y

kT

C

YkT

YCYCYYCYCY

kT

CE YYYYYY +

″′+′″″+″″−′′′−=

Lorsqu’on met n quadripôles identiques en parallèle, ce terme est proportionnel à n.

A3.3 Développement du facteur de bruit exprimé en fonction des paramètres de bruit

conventionnels

2OPTg

g

NMIN YY

G

RFF −+=

Développons le terme PYY OPTg =−2

:

( )( )OPTOPTggOPTOPTgg jBGjBGjBGjBGP +−−−−+=

222 22 OPTgOPTgOPTgg YBBBGGGP ++−−=

Annexe 3


Si on développe F en Gg et Bg :

Terme en Gg :

NRA =

Comme A varie en 1/n, il en va de même pour RN.

Terme en Bg2/Gg :

NRB =

Comme A varie en 1/n, il en va de même pour RN. Cela se confirme.

Terme constant :

OPTNMIN GRFC 2−=

Comme C ne varie pas avec n, FMIN ne dépend pas avec N et GOPT est proportionnel à n.

Terme en Bg/Gg :

OPTN BRD 2−=

Comme D ne varie pas avec n, BOPT est proportionnel à n.

Terme en 1/Gg :

2OPTN YRE =

Comme E est proportionnel à n cela confirme que |YOPT| est proportionnel à n ou Zopt est

inversement proportionnelle à n.

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